Aula-04-F328-2S-2013

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Física Geral III F -328 
Aula-4 
 O Potencial Elétrico 
 
1 F328 – 2S20123 
Potencial elétrico 
Como podemos relacionar a noção de força elétrica 
com os conceitos de energia e trabalho? 
Definindo a 
energia potencial elétrica 
(Força elétrica conservativa) 
F328 – 1S20123 2 2 F328 – 2S20123 
 Energia potencial elétrica (U) 
 Analogia gravitacional 
EhqldrEqWUU
f
i
r
r
if 00 )( =⋅−=−=− ∫



onde U é a energia potencial 
associada ao campo da força 
gravitacional mg. 
,. mghldgmWUU
f
i
if =−=−=− ∫

No caso eletrostático, como EqF

0=
No caso de forças conservativas (como o nosso) , o resultado desta 
integral não depende do caminho de integração, mas apenas dos pontos 
inicial e final. 
if hhh −=
fh
ih
Note que 
q0 
3 F328 – 2S20123 
∫
∝
⋅−=
r
sdEqrU


0)(
Se a força é devida a uma 
distribuição finita de cargas, 
convém tomar como a 
configuração de referência tal que 
∞→|| ir

0=iU
Com isto, podemos definir a 
função energia potencial : )(rU 
Ou seja, é o negativo do trabalho realizado pela 
força do campo elétrico sobre a partícula com carga 
para trazê-la desde o infinito até . (Unidade SI: J = Nm) 
)(rU 
r
0q
)(rF 

C
ir

fr

Q
sd
i 
f 
Energia potencial elétrica (U) 
F328 – 1S20123 4 
y 
z 
x 
q0 
4 F328 – 2S20123 
Potencial elétrico (V) 
 É a energia potencial por unidade de carga: 
0q
UV ≡
0q
UV Δ≡Δ
 Note que o potencial elétrico só depende do campo elétrico da 
distribuição de cargas e não depende de . 
 Unidade SI: joule/coulomb = J/C = volt (V) 
 Unidade de energia conveniente para cargas 
 elementares: 1eV = elétron-volt= 1,6 x 10-19 J 
 Potencial em função do campo: 
∫ ⋅−=−=Δ
f
i
r
r
if ldrEVVV


 )(
Se escolhermos o infinito como referência: 
∫
∝
⋅−=
r
ldrErV

 )()(
0q
5 F328 – 2S20123 
 Potencial elétrico 
 V de um campo uniforme 
)a )b
)a
)b
EdVV if −=−
EdVV if −=−
 Vemos que o resultado não 
depende do caminho da integração. 
 Portanto, para se calcular V, pode-se 
sempre escolher o caminho mais simples. 
E

E

i f
E

ld

ld

ld

E

∫ ⋅−=−
f
i
r
r
if ldrEVV


 )(
(Vi >Vf ) 
O campo elétrico aponta sempre 
no sentido de potenciais decrescentes. 
E

6 F328 – 2S20123 
 Superfícies equipotenciais 
 Superfícies equipotenciais 
 São superfícies em que todos os 
pontos têm o mesmo potencial. 
?e,, IVIIIIII =WWWW
 As linhas de são perpendiculares 
 às superfícies equipotenciais. Por quê? 
E

E
 E

E

E

Campo uniforme Carga positiva Dipolo elétrico 
Um deslocamento ao longo de uma equipotencial não requer trabalho ( )0=⋅ ldE 
7 F328 – 2S20123 
V de uma carga puntiforme 
∫ ⋅−=−
f
i
r
r
if ldrEVV


 )(
r
r
q
E ˆ
4
1
2
0πε
=

Escolhendo : 
 
∝→= rVi para0
=′′=⋅−= ∫∫
∝
∝ r
r
rdrEldrErV )()()(

r
qrV
04
)(
πε
=
Ou: 
E

ld

dr
r
q
r
2
04
1
∫
∝
=
πε
)(rV
Carga + Carga - 
8 F328 – 2S20123 
U de uma carga puntiforme 
Equivalente ao trabalho executado 
por um agente externo para trazer as 
duas cargas do infinito até uma 
distância r. 
E

ld

r
qqVqU 0
0
0 4
1
πε
==
 Energia potencial de uma carga q0 ao redor de q 
F328 – 1S20123 9 
?
0
=qU
9 F328 – 2S20123 
∑∑ −== i i
i
i
i rr
qrVrV
||4
)()(
0


πε
||4
)(
0 i
i
i rr
qrV 

−
=
πε
V de um sistema de cargas puntiformes 
Potencial no ponto P 
devido a cada carga : 
Princípio de superposição: 
F328 – 1S20123 10 
- 
- - 
- 
- 
+ 
+ 
+ 
+ 
x
y
z
r
ir

irr
 − P 
iq
iq
(soma escalar!) 
10 F328 – 2S20123 
Exemplos 
 nC121 =q
 nC242 −=q
 nC313 =q
 nC174 =q
?=PV
Sistema de cargas puntiformes (V) 
 12 eq ×−=
R
eVC
04
12
πε
−=
0

=CE
m3,1=d
F328 – 1S20123 11 11 F328 – 2S20123 
U de um sistema de cargas puntiformes 
 U é o trabalho executado por um agente 
externo para trazer todas as cargas do infinito até a 
configuração desejada. Dada a energia potencial 
elétrica entre cada par de cargas 
||4 0 ji
ji
ij rr
qq
U  −
=
πε
temos que: 
 
qq =1
qq 42 −=
qq 23 =
d
qW
0
2
4
10
πε
−=
, 
 
∑
≠
=
ji
ji ij
ji
r
qq
U
, 042
1
πε
 Se U > 0: cargas livres (trabalho para uni-las); 
 Se U < 0: cargas ligadas (trabalho para separá-las) 
 Fator : Contar só uma vez cada par de carga, 
 isto é: Uij = Uji 
2
1
12 F328 – 2S20123 
Sistema de cargas puntiformes (U) 
Dado que energia potencial elétrica entre cada par de cargas 
é dada por: 
||4 0 ji
ji
ij rr
qq
U  −
=
πε
temos que a energia do sistema de cargas é: 
, 
 A generalização para uma distribuição contínua de cargas com 
 densidade é: 
( ) ( )1
2
U r V r dvρ ′ ′ ′= ∫
( )rρ ′
, 
onde é o potencial na posição da carga i. )( irV

)(
2
1
4
1
2
1
42
1
0, 0
i
i
i
i ij ij
j
i
ji
ji ij
ji rVq
r
q
q
r
qq
U ∑∑ ∑∑ =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
==
≠
≠
πεπε
ijU
13 F328 – 2S20123 
)(0)(0
0
44
||4
)()(
−+
−=
−
=
=
∑
∑
r
q
r
q
rr
q
rVrV
i i
i
i
i
πεπε
πε 

3
0
2
0 44
cos)(
r
rp
r
prV
πεπε
θ  ⋅==
 Dipolo elétrico (r >> d) 
θcos)()( drr ≈− +−
2
)()( rrr ≈+−
⇒>> dr
)( qdp =
p
Momento de dipolo 
elétrico 
F328 – 1S20123 14 14 F328 – 2S20123 
Distribuição contínua finita de cargas 
•  V = 0 no infinito 
•  Válido somente para distribuição finita de cargas 
F328 – 1S20123 15 
z 
x 
∫ ′−
′
=
)ou,( 0
||
)(
4
1)(
LSV rr
rdqrV 


πε
),( rrdV ′
r ′
rr ′− 
r
P)(rdq ′
y 
15 F328 – 2S20123 
Distribuições contínuas de carga 
 Potencial de uma linha finita de carga )( dxdq λ=
∫ +=
L
dx
dxV
0
22
04
1 λ
πε
∫=
)ou,( 04
1)(
LSV r
dqrV
πε

⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ ++=
d
dLLV
22
0
ln
4πε
λ
L 
d 
16 F328 – 2S20123 
 b) disco (raio a e densidade ) 
Distribuições contínuas de carga 
 Potencial de um anel e de um disco carregados 
σ
|)|(
2
)( 22
0
xaxxV −+=
ε
σ
22
04
1)(
xa
dqPdV
+
=
πε 2204
1)(
xa
qxV
+
=
πε
a) anel (raio a e carga q) 
drrdq
xr
dqPdV πσ
πε
2;
|4
1)(
22
0
=
+
=
∫ +=
a
xr
rdrxV
0
22
0
2
4
1)( πσ
πε
17 F328 – 2S20123 
 Campo a partir do potencial V 
ds
dVE −=θcos
sV
s
VEs ˆ⋅∇−=∂
∂−=

duas superfícies 
equipotenciais 
Trabalho sobre ao se deslocar entre duas equipotenciais: 
 
 dsEqsdEqdVqdW θcos. 000 ==−=

 Como é a componente de 
na direção de : 
 
θcosE
sd
E

 Isto é, a componente de em qualquer 
direção é o negativo da taxa de variação do 
potencial com a distância naquela direção 
( derivada direcional) . 
E

VE ∇−=

Generalizando: 
0q
E

sd
E

18 F328 – 2S20123 
Dedução alternativa 
∫−=−
f
i
r
r
if ldrEVV


 .)( ldEdV

.−= (1) 
Sejam, em coordenadas cartesianas:
),,(
ˆˆˆ
zyxVV
kEjEiEE zyx
=
++=

Então: 
dz
z
Vdy
y
Vdx
x
VdV
dzEdyEdxEldE zyx
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
++=

.
Por (1): 
 
 
z
VE
y
VE
x
VE zyx ∂
∂−=
∂
∂−=
∂
∂−= ;;
Como VE ∇−=

k
z
Vj
y
Vi
x
V ˆˆˆ
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=V∇

19 F328 – 2S20123 
O campo a partir de V 
 Campo de um disco uniformemente carregado 
VE ∇−=

x
ax
x
x
xxE ˆ
||2
)(
22
0
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
−=
ε
σ
Neste caso, somente. Então: )(xVV =
dx
dVEx −=
Derivando V , obtemos: 
Vimos: 
(resultado já conhecido!) 
|)|(
2
)( 22
0
xaxxV −+=
ε
σ
E

E

20 F328 – 2S20123 
Sim, pois dentro do condutor 0

=E
Potencial de um condutor isolado 
 Os pontos dentro e na superfície de um condutor qualquer estão 
ao mesmo potencial? 
Consequências para um condutor isolado, carregado ou não : 
•  O volume é equipotencial 
•  A superfície é uma equipotencial 
0

=E
F328 – 1S20123 21 21 F328 – 2S20123 
 Um condutor carregado isolado 
∫ ⋅−=−
f
i
r
r
if rdrEVV


 )(
VE ∇−=

 Condutor esférico (carga Q, raio R) 
 , r > R (fora) 
, r < R (dentro) 
Sendo i e f dois pontos dentro de um condutor qualquer: 
∫ =⋅−=−
f
i
if rdrEVV 0)(

 condutor. 
0

=E
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
R
Q
r
Q
rV
0
0
4
4
)(
πε
πε
Note que: 
(ou ) 
r
VEr ∂
∂−=
, pois dentro do 
f i
E

0

=E
22 F328 – 2S20123 
Distribuição das cargas em um condutor 
 Excluindo-se os condutores esféricos, a carga de um condutor não se distribui 
uniformemente sobre sua superfície, mas vai depender do raio de curvatura local. 
 Sejam duas esferas condutoras carregadas, ligadas por um fio condutor muito 
longo. Como estão ao mesmo potencial V: 
2
1
2
1
20
2
10
1
44 R
R
q
q
R
q
R
qV =⇒==
πεπε
Agora: 
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
22
2
11
2
1
4/
4/
R
R
R
R
R
R
R
R
q
q
Rq
Rq ====
π
π
σ
σ
 Então, é inversamente proporcional ao raio de curvatura local. Em pontos 
onde o condutor é mais “pontiagudo”, a densidade de cargas (e, portanto, o campo 
elétrico) é maior. Este campo pode ser suficiente para ionizar o ar em volta da ponta, 
tornando-o condutor e permitindo uma descarga (descarga corona). 
σ
(1) 
(1) 
fio longo 
23 F328 – 2S20123 
 Resumo 
•  Potencial elétrico em um ponto: 
•  Diferença de potencial entre dois pontos: 
•  As linhas de campo elétrico são perpendiculares às superfícies 
equipotenciais e no sentido dos potenciais decrescentes 
•  Cálculo do campo elétrico a partir do potencial: 
•  Os pontos dentro e na superfície de um condutor em equilíbrio 
eletrostático estão no mesmo potencial. 
VE ∇−=

∫ ⋅−=−=Δ
f
i
r
r
if ldrEVVV


 )(
0q
UV ≡
F328 – 1S20123 24 24 F328 – 2S20123 
Os exercícios sobre Potencial elétrico estão na página da disciplina : 
(http://www.ifi.unicamp.br). 
Consultar: Graduação à Disciplinas à F 328 Física Geral III 
Lista de exercícios do capítulo 24 
F328 – 1S20123 25 
Aulas gravadas: 
http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi) 
 ou 
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin) 
25 F328 – 2S20123