1 lista CII 2013-2

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Lista de exercícios 1 
Calculo I I ECT-2013.2 
Prof: Hector carrion 
 
Problema 1.-Determine o domínio e a imagem das seguintes funções 
vetoriais a) f(t)=(cos(2t), sin(2t)) b)f(t)=( , t) c) f(t) = (
 
 
 
t2+1, ) 
Problema 2. Parametrizar apropriadamente a curva r(t) que descreve a 
elipse 
 
 
 
 
 
=1, de tal forma que a curva seja percorrida em 
sentido horário conforme o parâmetro t aumenta. 
Problema 3.- Desenha as curvas definidas (em coordenadas cartesianas) 
pelas seguintes funções vetoriais, identifique cada uma dela caso for 
possível. 
a) F(t)=(t2, t-1) , b) F(t)=(sin(t), 1+2 cos(t)) , 
c) f(t)=(-sin(t), cos(t), t2), d) F(t)=(t,2t+4,5), e) f(t)=(cos(2t),-sin(2t),0). 
Problema 4.- Desenhe a curva paramétrica definida pela 
função vetorial F(t)=( t, t, 2t2). 
Problema 5.- Parametrize a seguinte curva espacial no sentido A->o->B 
 
Problema 5.-determine o limite da função vetorial 
 
 
 
 quando t→0. 
Problema 6.- Analisar a continuidade das seguintes funções vetoriais : 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 ; para w∞ 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ; no ponto t=1 
Problema 7.- Analise a continuidade da seguinte função 
vetorial no ponto t=1. 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 8.- Dada uma partícula pontual de massa variável m(t)= t2 (kg) e 
velocidade m/s que se movimenta no espaço tri-
dimensional. Determine a força que age sobre esta partícula para cada 
instante do tempo. 
Problema 9.- Seja 
a) (t) = (f(t), g(t), h(t)) onde : , 
 , 
 
b) (t) = (t3+4t+3, t sin(t), 3t2 ). 
Determine . 
Problema 10. Demonstrar a quinta regra de derivação do slide. 
Problema 11.- dado os vetores 
 determine 
 
 
 
Problema12.- Demonstrar que si o módulo de da função vetorial 
 permanece constante para todo valor de t, então 
 
 
 é 
perpendicular a para todo t. 
Problema 13.- Considere uma função vetorial 
 A imagem desta função é uma curva espacial. Defina o 
vetor 
 
 
, sendo o modulo do vetor . 
a) Provar que | |=1. 
b) Provar que o produto escalar ° 
 
 
 é zero. 
Ajuda: para um vetor arbitrário , , sendo “ ° ” 
representa o produto escalar de vetores. 
Problema 14.- Considere o vetor , logo 
provar que . a,b,w são constantes numéricas. 
Problema 15.- Considere as seguintes função vetoriais que dependem da 
variável t. 
 . 
 
a) Provar que 
 
 
 
 
 
 . 
b) Provar que 
 
 
 
 
 
 . 
 
 Problema 16. 
Seja (t) = ((sin(t))2, cos(2t+1), 
 ), etermine 
Problema 17.- Seja uma partícula pontual que segue uma trajetória dada 
pela curva  : RR3, definida assim: 
: t  (t) = (t,t,2t2). 
a) Determine a posição e a velocidade no instante t=0s, e t=1/4. 
b) Determine o vetor unitário tangente à trajetória no instante 
t=1/4, e a equação da reta tangente a curva  no mesmo instante 
c) Determine o comprimento de arco (espaço percorrido pela 
partícula) entre o instante t=0s e o instante t=1/4, deixe na forma 
integral. 
d) Determine a aceleração da partícula, a aceleração tangencial e a 
aceleração centrípeta no instante t=1/4 
e) Determine a curvatura da trajetória no instante t=1/4, determine o 
vetor unitário normal , e o vetor unitário bi-normal no mesmo 
instante. 
 
Problema 18 - Repetir todas as questões do problema anterior 14 para 
as trajetórias definidas pelo radio vetor posição: 
 no instante t=. 
Em particular mostre que para todo instante t. 
Problema 19.- Uma partícula descreve a seguinte ciclóide definida pela 
seguinte função vetorial . 
Identifique a velocidade instantânea e a aceleração instantânea da 
partícula no instante t=π/4. 
a) Determina o radio de curvatura instantânea no mesmo instante. 
b) Identifique o vetor normal , e o vetor unitário tangente , a 
trajetória no mesmo instante. 
c) Defina a aceleração radial e tangencial no mesmo instante. 
d) Interprete fisicamente a trajetória, considerando que dita partícula 
representa um ponto localizado na borda de uma roda que realiza 
rolamento sem deslizamento numa superfície horizontal. 
Identifique a velocidade angular e a velocidade tangencial para todo 
instante t da roda. 
Problema 20.- Repita o problema anterior no instante t=π/2. 
Problema 21.- Seja uma partícula lançada com uma velocidade inicial 
V0=(2,0,1) m/s da posição inicial r0 =(0,0,0) m. Considere que a partícula 
de massa m=2 kg esta submetida a uma força total N, 
para todo instante do tempo t. Determine a velocidade instantânea v(t) e 
a equação do movimento r(t). ajuda: 
 
 
 
 
 
 , e . 
Reposta: r(t)=(2 t, t2, t+t3/6) m. 
Os seguintes sites são recomendados para complementar 
O aprendizado 
http://demonstrations.wolfram.com/FrenetFrame/ 
observe aqui como varia a curvatura=k de uma curva espacial. 
http://demonstrations.wolfram.com/CurvatureAndTorsion/ 
algumas respostas: 
3.- 
a) parábola aberta para direita com vértice no ponto v=(1,0). 
b) elipse centrada no ponto (0,1) a curva parametrizada é percorrida no 
sentido horário. 
4.- a curva se encontra sobre parabolóide de rotação 
5.- resposta L=(1,0,1). 
6.- funções continuas 
7.- função descontinua 
8.- F=(3t2,4t,5t4+6t2) Newton 
17.- para t=1/4 
Velocidade V=(1,1,1) 
Aceleração a=(0,0,4) 
Vetor unitário tangente a curva no instante t=1/4 
 
Equação da reta tangente à trajetória 
L: {P= (x,y,z) ϵ R3/ P= (1/4, ¼, 1/8) + λ(1,1,1)) 
O comprimento de arco de t=0 ate t=1/4 
S= 
 
 
 
Aceleração tangencial 
Vetor unitário 
 
 
 
Curvatura /9 
 
Lista adicional: 
Tema: funções vetoriais e curvas paramétricas. 
Lista do livro Stewart, sexta edição 
10.1 
1,3,5,7,9,11,13,15,17,19, 33,37,41, 
 
Problemas extra 
PE1.- Considere a reta em R3 que passa pelo ponto (0,1,0) e é 
paralelo ao vetor (1,2,-1). 
a) Qual a distancia desta reta a origem 
b) Qual a distancia desta reta a ponto (0,2,1). 
PE1.- Qual é a distancia do plano x-2y+2z=1 à origem e qual é o ponto 
do plano mais próximo da origem. Qual é o ponto de interseção deste 
plano com o eixo y. 
PE2.- temos o plano 2x+y-z=8, e o ponto P0=(2,1,d) deste plano. Seja o 
ponto P=(3,1,2) fora deste plano. Determine o vetor projeção do vetor P0P 
no plano anterior. 
PE1 a) /3