Introdução à Informática_TSC-CEDERJ_05

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Introdução à InformáticaIntrodução à Informática
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Conversão entre BasesConversão entre Bases
Ageu Pacheco e Alexandre MeslinAgeu Pacheco e Alexandre Meslin
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
zz Objetivo dObjetivo da Aula: a Aula: 
ConhecerConhecer e saber aplicar os e saber aplicar os métodosmétodos dede conversão conversão 
entreentre bases, com especialbases, com especial ênfase na conversãoênfase na conversão dede
números entrenúmeros entre as bases 10, 2, e 16.as bases 10, 2, e 16.
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
ConversãoConversão entreentre BasesBases
zz ProblemaProblema: Dado um número : Dado um número NNss expressoexpresso emem umauma
base base ss ((origemorigem)) achar sua representaçãoachar sua representação
NNrr nana base base rr ((destinodestino).).
zz Dois métodosDois métodos::
-- desenvolvimento da notação posicionaldesenvolvimento da notação posicional ((polinomialpolinomial))
-- divisões sucessivasdivisões sucessivas
zz EmboraEmbora ambos os ambos os métodos possammétodos possam serser utilizados utilizados 
para conversão direta entre quaisquerpara conversão direta entre quaisquer bases bases ss e e rr, é, é
desejável que uma delas sejadesejável que uma delas seja a 10.a 10. Senão vejamosSenão vejamos::
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Conversão entreConversão entre BasesBases
zz Desenvolvimento da notação posicionalDesenvolvimento da notação posicional::
Dado NDado Nss == AAnnAAnn--11……A……A11AA00, N, Nrr éé obtido avaliandoobtido avaliando aa
expressão expressão NNrr == AAnnssnn + A+ Ann--11ssnn--1 1 + …… + A+ …… + A11s + As + A0 0 nono
sistemasistema de base de base rr..
 -- Se s < r aSe s < r a expressãoexpressão éé avaliada diretamenteavaliada diretamente..
-- Se s > r éSe s > r é necessário primeiramentenecessário primeiramente converter a converter a 
base base ss e os e os dígitosdígitos AAii parapara a base a base rr..
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos::
1)1) s = 2, Ns = 2, Nss = 1110101, r = 10, N= 1110101, r = 10, Nrr = ?= ?
NNrr = 1 x 2= 1 x 266 + 1 x 2+ 1 x 255 + 1 x 2+ 1 x 244 + 1 x 2+ 1 x 222 + 1 = 117+ 1 = 1171010
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos::
1)1) s = 2, Ns = 2, Nss = 1110101, r = 10, N= 1110101, r = 10, Nrr = ?= ?
NNrr = 1 x 2= 1 x 266 + 1 x 2+ 1 x 255 + 1 x 2+ 1 x 244 + 1 x 2+ 1 x 222 + 1 = 117+ 1 = 1171010
2)2) s = 10, Ns = 10, Nss = 117, r = 2, N= 117, r = 2, Nrr = ? = ? ((casocaso de s > r)de s > r)
NNr r = 1 x (10= 1 x (1022))22 + 1 x (10+ 1 x (1022))1 1 + (7+ (722))
NNrr = 1010= 101022 + 1010 + 111 = 1100100 + 10001+ 1010 + 111 = 1100100 + 10001
NNrr = 1110101= 111010122
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz Cálculos envolvidosCálculos envolvidos nono ExemploExemplo 2:2:
10101010 11001001100100
x 1010x 1010 10101010
00000000 ++ 111111
10101010 11101011110101
00000000
+ 1010+ 1010
11001001100100
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz Exemplos Exemplos (cont.):(cont.):
3)3) s = 9, Ns = 9, Nss = 857, r = 10, N= 857, r = 10, Nrr = ?= ?
NNrr = 8 x 9= 8 x 922 + 5 x 9 + 7 = 700+ 5 x 9 + 7 = 7001010
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos::
3)3) s = 9, Ns = 9, Nss = 857, r = 10, N= 857, r = 10, Nrr = ?= ?
NNrr = 8 x 9= 8 x 922 + 5 x 9 + 7 = 700+ 5 x 9 + 7 = 7001010
4)4) s = 16, Ns = 16, Nss = BF7, r = 10, N= BF7, r = 10, Nrr = ?= ? ((casocaso de s > r)de s > r)
NNrr = (B= (B1010) x 16) x 1622 + (F+ (F1010) x 16 + 7 ) x 16 + 7 
NNrr = 11 x 256 + 15 x 16 + 7 = 3063= 11 x 256 + 15 x 16 + 7 = 30631010
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos::
3)3) s = 9, Ns = 9, Nss = 857, r = 10, N= 857, r = 10, Nrr = ?= ?
NNrr = 8 x 9= 8 x 922 + 5 x 9 + 7 = 700+ 5 x 9 + 7 = 7001010
4)4) s = 16, Ns = 16, Nss = BF7, r = 10, N= BF7, r = 10, Nrr = ?= ?
NNrr = (B= (B1010) x 16) x 1622 + (F+ (F1010) x 16 + 7 ) x 16 + 7 
NNrr = 11 x 256 + 15 x 16 + 7 = 3063= 11 x 256 + 15 x 16 + 7 = 30631010
5)5) s = 7, Ns = 7, Nss = 100, r = 2, N= 100, r = 2, Nrr = ?= ?
NoNo casocaso,, nemnem a basea base origem nemorigem nem aa destinodestino é a 10.é a 10.
AA soluçãosolução éé transformar primeiramentetransformar primeiramente 10010077 parapara a a 
base10 ebase10 e depois desta paradepois desta para a base 2a base 2 pelo métodopelo método
dasdas divisões sucessivasdivisões sucessivas aa seguirseguir..
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz MétodoMétodo dasdas divisões sucessivasdivisões sucessivas::
NNss == AAnnAAnn--11……A……A11AA00 (n(noo nana basebase origemorigem) ) 
NNrr == BBmmBBmm--11……B……B11BB00 (n(noo nana basebase destinodestino))
zz Consiste em dividir sucessivamente o número dado Consiste em dividir sucessivamente o número dado 
NNss da base origem da base origem ss pela base destino pela base destino rr..
-- Se s > rSe s > r os restosos restos BB obtidos já são os dígitosobtidos já são os dígitos
procuradosprocurados,, ou sejaou seja, N, Nrr == BBmmBBmm--11……B……B11BB0..0..
-- Se s < rSe s < r os restosos restos BB devemdevem serser primeiramente primeiramente 
convertidos paraconvertidos para a base r.a base r.
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz Divisões sucessivasDivisões sucessivas::
NNss rr
BB00 NN11 rr
BB11 NN22
NNmm--11 rr
BBmm--11 NNmm rr
((BBmm = N= Nmm)) BBmm 00
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos::
6)6) s = 10, Ns = 10, Nss = 70, r = 4, N= 70, r = 4, Nrr = ?= ?
70 470 4
22 1717 44
11 4 44 4
0 1 40 1 4 70701010 = 1012= 101244
1 01 0
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos (cont):(cont):
 7)7) s = 10, Ns = 10, Nss = 70, r = 6, N= 70, r = 6, Nrr = ?= ?
70 670 6
44 1111 66
55 1 61 6
1 0 1 0 70701010 = 154= 15466
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz Algoritmo da divisão sucessivaAlgoritmo da divisão sucessiva::
NNss rr
BB00 NN11 rr
BB11 NN22
NNmm--11 rr
BBmm--11 NNmm rr
((BBmm = N= Nmm)) BBmm 00
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz DemonstraçãoDemonstração::
NNs s = N= N11 . r + B. r + B00
NN11 = N= N22 . r + B. r + B11
NNmm = 0 . r += 0 . r + BBmm
NNss = (N= (N22 . r + B. r + B11) r + B) r + B00 = N= N22 . r. r22 + B+ B1 1 . r + B. r + B00
NNss = (N= (N33 . r + B. r + B22) r) r22 + B+ B1 1 . r + B. r + B00 ..................
NNss == BBmm .. rrmm ++ BBmm--11.. rrmm--11 + ....... + B+ ....... + B11. r + B. r + B00 = N= Nrr
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos (cont.):(cont.):
8)8) s = 10, Ns = 10, Nss = 69, r = 2, N= 69, r = 2, Nrr = ?= ?
69 269 2
1 34 21 34 2
00 17 217 2
1 8 21 8 2 69691010 = 1000101= 100010122
0 4 20 4 2
0 2 20 2 2
0 1 20 1 2
1 01 0
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos (cont.):(cont.):
9)9) s = 2, Ns = 2, Nss = 1000101, r = 10, N= 1000101, r = 10, Nrr = ? (= ? (casocaso s < r)s < r)
A baseA base destinodestino rr nãonão temtem representaçao direta narepresentaçao direta na
base base ss origemorigem. É. É precisopreciso antesantes achar representaçãoachar representação
dada basebase destino nadestino na dede origem para depois realizarorigem para depois realizar aa
conversãoconversão..
r = 10r = 101010 = 1010= 101022
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos (cont.):(cont.):
9)9) 1000101 10101000101 1010
-- 10101010 110 1010110 1010
11101110 00
-- 10101010
10011001 Nr = (110)Nr = (110)22 (1001)(1001)22 = 69= 691010
110110
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz Apenas relembrandoApenas relembrando aa sequência inicial dasequência inicial da base 2:base 2:
zz Base 2: Base 2: 
0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,...0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,...
0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 10,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...1, ...
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos (cont.):(cont.):
9a)9a) s = 2, Ns = 2, Nss = 1000101, r = 10, N= 1000101, r = 10, Nrr = ?= ?
AA solucãosolucão dodo exemploexemplo 4, em4, em queque s < r, és < r, é muito maismuito mais
facilmente obtida através da decomposição posicionalfacilmente obtida através da decomposição posicional
dodo número fornecidonúmero fornecido. . 
NNrr = 1 x 2= 1 x 266 + 1 x 2+ 1 x 222 + 1 = 64 + 4 + 1 = 69+ 1 = 64 + 4 + 1 = 691010
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ConsiderandoConsiderando ss (base(base origemorigem) e ) e rr (base(base destinodestino))
temos na prática quetemos na prática que::
 -- Quando Quando s < r e r = 10s < r e r = 10 aplicaraplicar oo métodométodo dodo
desenvolvimento da notação posicionaldesenvolvimento da notação posicional dodo númeronúmero NNss
-- Quando Quando s > r e s = 10s > r e s = 10 aplicaraplicar oo métodométodo dasdas
divisões sucessivasdivisões sucessivas..
-- Quando Quando s = 10 e r = 10 converter Ns = 10 e r = 10 converter Nss parapara aa
base 10 (base 10 (desenvolvimento posicionaldesenvolvimento posicional) e) e depois depois 
converterconverter parapara a base a base rr ((divisões sucessivasdivisões sucessivas). ). 
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos (cont):(cont):
10) 10) s = 7, Ns = 7, Nss = 100, r = 2, N= 100, r = 2, Nrr = ? (Ex5= ? (Ex5 não resolvidonão resolvido))
NNss = 1 x 7= 1 x 72 2 = 49= 491010
49 249 2
1 24 21 24 2
0 12 20 12 2 10010077 = 110001= 11000122
0 6 20 6 2
0 3 20 3 2
1 1 21 1 2
1 01 0
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos (cont):(cont):
11)11) s = 9, Ns = 9, Nss = 87, r = 4, N= 87, r = 4, Nrr = ? = ? 
NNss = 8 x 9 + 7 = 79= 8 x 9 + 7 = 791010
79 479 4
3 19 43 19 4
3 4 43 4 4 878799 = 1033= 103344
0 1 40 1 4
1 01 0
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos (cont):(cont):
12)12) s = 3, Ns = 3, Nss = 2120, r = 9, N= 2120, r = 9, Nrr = ? = ? 
NNss = 2 x 3= 2 x 333 + 3+ 322 + 2 x 3 = 54 + 9 + 6 = 69+ 2 x 3 = 54 + 9 + 6 = 691010
69 969 9
6 7 96 7 9 2120212033 = 76= 7699
7 07 0
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos (cont):(cont):
11)11) s = 9, Ns = 9, Nss = 76, r = 3, N= 76, r = 3, Nrr = ? = ? 
NNss = 7 x 9 + 6 = 63 + 6 = 69= 7 x 9 + 6 = 63 + 6 = 691010
69 369 3
0 23 30 23 3
2 7 32 7 3 767699 = 2120= 212033
1 2 31 2 3
2 02 0
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz OsOs dois exemplos anteriores podemdois exemplos anteriores podem serser resolvidosresolvidos de de 
formaforma mais rápidamais rápida sese atentarmos paraatentarmos para oo fatofato dede queque a a 
base 9 ébase 9 é potência dapotência da base 3.base 3. SenãoSenão,, vejamosvejamos aa
sequência inicial dasequência inicial da base 3: base 3: 
0,1,2,10,11,12, 20,21,22,100,101,102,110…(base 3)0,1,2,10,11,12, 20,21,22,100,101,102,110…(base 3)
0,1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 , 11, 12, 13….(base 9) 0,1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 , 11, 12, 13….(base 9) 
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Conversão entreConversão entre BasesBases
zz Repare que cada dois dígitosRepare que cada dois dígitos emem sequênciasequência de um dadode um dado
número nanúmero na base 3base 3 corresponde diretamentecorresponde diretamente a uma um dígito dígito 
dada base 9.base 9. Assim teríamosAssim teríamos: : 
21 2021 2033 = (2 x 3 )+ 1 (2 X 3) = 7 6 = (2 x 3 )+ 1 (2 X 3) = 7 6 99
zz ÉÉ esta relaçãoesta relação dede potências entrepotências entre as basesas bases que tornaráque tornará, , 
com ocom o passarpassar do tempo, ado tempo, a conversão entreconversão entre as bases as bases 
2, 4, 8, e2, 4, 8, e principalmente entreprincipalmente entre a 2 e a 16 (e vicea 2 e a 16 (e vice--versa),versa),
muito maismuito mais simples. simples. 
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos (cont.):(cont.):
12)12) s = 2, Ns = 2, Nss = 1011011, r = 4, N= 1011011, r = 4, Nrr = ?= ?
001 01 10 11 = 1 1 2 3 = 11231 01 10 11 = 1 1 2 3 = 112344
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos (cont.):(cont.):
12)12) s = 2, Ns = 2, Nss = 1011011, r = 4, N= 1011011, r = 4, Nrr = ?= ?
01 01 10 11 = 1 1 2 3 = 112301 01 10 11 = 1 1 2 3 = 112344
13)13) s = 4, Ns = 4, Nss = 1123, r = 2, N= 1123, r = 2, Nrr = ?= ?
1 1 2 3 = 01 01 10 11 = 10110111 1 2 3 = 01 01 10 11 = 101101122
Sistemas NuméricosSistemas Numéricos
Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos (cont.):(cont.):
14)14) s = 2, Ns = 2, Nss = 1011011= 101101122, r = 8, N, r = 8, Nrr = ?= ?
00001 011 011 = 1 3 3 = 1331 011 011 = 1 3 3 = 13388
15)15) s = 2, Ns = 2, Nss = 1011011, r = 16, N= 1011011, r = 16, Nrr = ?= ?
00101 1011 = 5 B = 5B101 1011 = 5 B = 5B1616
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz MudançaMudança de base dede base de números reaisnúmeros reais::
NNRR = (= (AAnnAAnn--11… A… A22AA11AA00 .. AA--11AA--22AA--33...)...)
NNR R = N= NII + N+ NF F ,, ondeonde::
NNII = A= Ann.bbnn + AAnn--11.bbnn--11 + …… ++ …… + AA11.bb11 ++ AA00.bb00
NNFF = A= A--11.bb--11 + AA--22.bb--22 + A+ A--33.bb--33 + ............
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz AA parte fracionáriaparte fracionária NNFF de umde um númeronúmero emem umauma dada dada 
basebase corresponde semprecorresponde sempre `a`a parte fracionáriaparte fracionária dede sua sua 
representaçãorepresentação emem outraoutra base.base.
NNFF = A= A--11.bb--11 + AA--22.bb--22 + A+ A--33.bb--33 + ......+ ......
zz OO problemaproblema sese reduz ao cálculoreduz ao cálculo dosdos dígitos dígitos 
 AA--1 1 , A, A--2 2 , A, A--33 , ......., .......
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz MultiplicandoMultiplicando aa expressãoexpressão de Nde NFF porpor bb temostemos::
b.Nb.NFF = (A= (A--11.bb--11 + AA--22.bb--22 + A+ A--33.bb--3 3 + + ......).b......).b
b.Nb.NFF = A= A--1 1 + AA--22.bb--11 + A+ A--33.bb--33 + ……+ ……
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz Repare que na expressãoRepare que na expressão anterior Aanterior A--11 é aé a parte inteiraparte inteira
de b.Nde b.NFF.. SubtraindoSubtraindo--se Ase A--1 1 de b.Nde b.NFF ee multiplicando multiplicando 
novamente pornovamente por b ab a expressão resultante temosexpressão resultante temos::
b.(b.Nb.(b.NFF -- AA--11) = A) = A--22 + A+ A--33.bb--11 + ......+ ......
zz OO processo deve continuar até alcançarprocesso deve continuar até alcançar oo númeronúmero dede
dígitos desejado na parte fracionáriadígitos desejado na parte fracionária. A. A aplicaçãoaplicação dodo
método na práticamétodo na prática éé bem maisbem mais simplessimples queque asas
equações anteriores parecem sugerirequações anteriores parecem sugerir..
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos::
1)1) Converter 69.71Converter 69.711010 parapara a base 2.a base 2.
NNII = 1000101 de um= 1000101 de um exemploexemplo anterior.anterior.
Para NPara NFF:: 2 x (0.71) = 1.42 2 x (0.71) = 1.42 AA--1 = 11 = 1
2 x (0.42) = 0.842 x (0.42) = 0.84 AA--2 = 02 = 0
2 x (0.84) = 1.682 x (0.84) = 1.68 AA--3 = 13 = 1
2 x (0.68) = 1.362 x (0.68) = 1.36 AA--4 = 14 = 1
2 x (0.36) = 0.722 x (0.36) = 0.72 AA--5 = 05 = 0
2 x (0.72) = 1.442 x (0.72) = 1.44 AA--6 = 16 = 1
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos (cont.):(cont.):
1)1) ContinuandoContinuando …N…NFF = 101101…… e o= 101101…… e o resultado ficaresultado fica::
69.7169.711010 = (1000101.101101……)= (1000101.101101……)22
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Conversão entreConversão entre BasesBases
zz ExemplosExemplos (cont.):(cont.):
1)1) ContinuandoContinuando …N…NFF = 101101…… e o= 101101…… e o resultado ficaresultado fica::
69.7169.711010 = (1000101.101101……)= (1000101.101101……)22
2)2) Converter (1000101.101101)Converter (1000101.101101)22 parapara a base 10.a base 10.
Aqui comoAqui como s < r, as < r, a soluçãosolução éé desenvolverdesenvolver aa notação notação 
posicionalposicional dodo númeronúmero::
1000101.101101 = 21000101.101101 = 266 + 2+ 222 + 1 + 2+ 1 + 2--11 + 2+ 2--3 3 + 2+ 2--4 4 + 2+ 2--6 6 ==
= 64 + 4 + 1 + 0.5 + 0.125 + 0.0625 + 0.015625 == 64 + 4 + 1 + 0.5 + 0.125 + 0.0625 + 0.015625 =
= 69.703125= 69.7031251010
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zz ExemplosExemplos (cont.):(cont.):
3)3) s = 2, Ns = 2, Nss = 1001011.0110011, r = 4, N= 1001011.0110011, r = 4, Nrr = ?= ?
001 00 10 11 1 00 10 11 .. 01 10 01 101 10 01 100 = 1 0 2 3 = 1 0 2 3 .. 1 2 1 21 2 1 2
1001011.01100111001011.011001122 = 1023.1212= 1023.121244
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zz ExemplosExemplos (cont.):(cont.):
3)3) s = 2, Ns = 2, Nss = 1001011.0110011, r = 4, N= 1001011.0110011, r = 4, Nrr = ?= ?
01 00 10 11 01 00 10 11 .. 01 10 01 10 = 1 0 2 3 01 10 01 10 = 1 0 2 3 .. 1 2 1 21 2 1 2
1001011.01100111001011.011001122 = 1023.1212= 1023.121244
4)4) s = 2, Ns = 2, Nss = 10101110.10011111, r = 8, N= 10101110.10011111, r = 8, Nrr = ?= ?
0010 101 11010 101 110 . 100 111 11. 100 111 1100 = 2 5 6 . 4 7 6= 2 5 6 . 4 7 6
10101110.10011111010101110.10011111022 = 256.476= 256.47688
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zz ExemplosExemplos (cont.):(cont.):
5)5) s = 2, Ns = 2, Nss = 101011.1100111, r = 16, N= 101011.1100111, r = 16, Nrr = ?= ?
000010 1011 10 1011 .. 1100 1111100 11100 = 2 B = 2 B .. C EC E
101011.1100111101011.110011122 = 2B.CE= 2B.CE1616
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zz ExemplosExemplos (cont.):(cont.):
5)5) s = 2, Ns = 2, Nss = 101011.1100111, r = 16, N= 101011.1100111, r = 16, Nrr = ?= ?
0010 1011 0010 1011 .. 1100 1110 = 2 B 1100 1110 = 2 B .. C EC E
101011.1100111101011.110011122 = 2B.CE= 2B.CE1616
6)6) s = 16, Ns = 16, Nss = AB.CD, r = 8, N= AB.CD, r = 8, Nrr = ?= ?
NNss = = AA BB . . CC DD = (= (10101010 10111011 . . 11001100 11011101))22
NNss = (= (001010 101101 011011 . . 110110 011011 010100))22
NNss = (= (22 55 33 . . 66 33 22) ) 88
AB.CDAB.CD1616 = 253.632= 253.63288
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