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Lista de Exercícios de Cálculo 3
Funções, Limites e Derivadas
Parte A
1. Dada a função f(x, y) = 5x2 + 7xy, calcule o valor das expressões
• [(a)] f(3,−4)
• [(b)] f(
√
a, b)
2. Ache o limite
lim
(x,y)→(pi/2,1)
y + 1
2− cosx ·
3. Calcule o limite abaixo
lim
(x,y)→(0,1)
x4 − (y − 1)4
x2 + (y − 1)2 ·
4. Determine todos os pontos onde a função
f(x, y) =
x2
y − 1 ·
é descontínua.
5. Dada a função
f(x, y) =
4x2 − y2
2x− y ,
determine
• [(a)] O domínio de f .
• [(b)] O conjunto de pontos do domínio para os quais f é descontínua.
6. Determine
∂w
∂x
, onde
w(x, y) =
x2 + y2
y2 − x2 ·
7. Encontre as derivadas parciais da função
f(t, v) = ln
√
t+ v
t− v ·
8. Determine as derivadas parciais
∂f
∂x
(x, y) e
∂f
∂y
(x, y) da função
f(x, y) =
∫ y
x
ln sen t dt.
1
9. Calcule
∂w
∂x
e
∂w
∂y
utilizando a regra da cadeia, sabendo que w = usenv; u = x2 + y2 e v = xy.
10. Sabendo que u = ey/x, x = 2r cos t e y = 4rsent, calcule
∂u
∂r
e
∂u
∂t
·
11. Calcule
∂2f
∂x2
,
∂2f
∂y2
,
∂2f
∂x∂y
e
∂2f
∂y∂x
, onde
f(x, y) =
x2
y
− y
x2
·
Parte B
1. Encontre o domínio da função
f(x, y) =
x4 − y4
x2 − y2 ·
2. Calcule o limite dado
lim
(x,y,z)→(pi/3,1,pi)
secxy + sec yz
y − sec z ·
3. Ache o limite
lim
(x,y,z)→(2,3,1)
y2 − 4y + 3
x2z(y − 3) ·
4. Use coordenadas polares para achar o limite
lim
(x,y)→(0,0)
xy2
x2 + y2
·
Obs: realize a mudança de coordenadas (x, y) = (r cos θ, rsen θ).
5. Dadas as funções f(x, y) = x2 − y2 e g(t) = (t2 − 4)/t, determine os pontos para os quais a
função h(x, y) = g(f(x, y)) é contínua.
6. A temperatura em qualquer ponto de uma placa plana é T graus e
T (x, y) = 54− 2
3
x2 − 4y2.
Se a distância for medida em centímetros, ache a taxa de variação da temperatura em relação
à distância movida ao longo da placa nas direções dos eixos positivos x e y, respectivamente,
no ponto (3, 1).
7. A resistência R ohms de um circuito elétrico é dada pela fórmula R = E/I, onde I é a corrente
em ampères e E a força eletromotriz em volts. Calcule ∂R/∂I e ∂R/∂E quando I = 15 ampères
e E = 110 volts e dê uma interpretação para essas duas derivadas parciais utilizando o conceito
de taxa de variação.
8. Suponhamos que o potencial elétrico V no ponto (x, y, z) seja dado por
V (x, y, z) =
100
(x2 + y2 + z2)
,
onde V é dado em volts e x, y, z em centímetros. Ache a taxa instantânea de variação de V em
relação a distância em (2,−1, 1) na direção dos eixos x, y e z, respectivamente.
9. Calcule
∂w
∂t
, onde w = ln
x3y2
5z
;x = 7t; y = sec t e z = cot t.
2
10. O raio r e a altura h de um cilindro circular reto aumentam à razão de 0,01 cm/min e 0,02
cm/min, respectivamente.
(a) Ache a taxa de variação do volume quando r = 4cm e h = 7cm.
(b) A que taxa a área da superfície curva está variando neste instante?
11. Calcule
∂2f
∂x2
,
∂2f
∂y2
e prove que
∂2f
∂x∂y
=
∂2f
∂y∂x
, onde
f(x, y) = 4xsenhy + 3y coshx.
Parte C
1. Ache a equação da curva de nível de f(x, y) = y arctanx que contém o ponto P (1, 4).
2. Mostre que o limite
lim
(x,y)→(0,0)
2x2 − y2
x2 + 2y2
·
não existe.
3. Mostre, usando a definição de limites, que
lim
(x,y)→(2,1)
(5x+ 3y) = 13.
4. Uma função f(x, y) é harmônica se
∂2f
∂x2
(x, y) +
∂2f
∂y2
(x, y) = 0
em todo domínio de f . Prove que a função f(x, y) = ln
√
x2 + y2 é harmônica.
5. Se w = f(x, y), em que x = r cos θ e y = rsenθ, mostre que(
∂w
∂x
)2
+
(
∂w
∂y
)2
=
(
∂w
∂r
)2
+
1
r2
(
∂w
∂θ
)2
·
6. A equação de Laplace em R3é
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
+
∂2u
∂z2
= 0.
Mostre que
u(x, y, z) =
1√
x2 + y2 + z2
satisfaz a equação de Laplace para (x, y, z) 6= (0, 0, 0).
Respostas
3
Parte A
1. (a) -39; (b) 5a+ 7
√
ab
2. 1
3. 0
4. {(x, y) | y = 1}
5. (a) {(x, y) | y 6= 2x}; (b) A função é contínua em todos os pontos do domínio.
6.
4xy2
(y2 − x2)2
7.
∂f
∂t
(t, v) =
v
t2 − v2 ;
∂f
∂v
(t, v) =
t
t2 − v2
8.
∂f
∂x
(x, y) = − ln senx;∂f
∂y
(x, y) = ln sen y
9.
∂w
∂x
(x, y) = 2xsen(xy) + y(x2 + y2) cos(xy);
∂w
∂y
(x, y) = 2ysen(xy) + x(x2 + y2) cos(xy)
10.
∂u
∂r
= 0;
∂u
∂s
= 2e2 tan t sec2 t
11.
∂2f
∂x2
(x, y) =
2
y
− 6y
x4
;
∂2f
∂y2
(x, y) =
2x2
y3
;
∂2f
∂x∂y
(x, y) =
∂2f
∂y∂x
(x, y) = −2x
y2
− 2
x3
Parte B
1. {(x, y) | y 6= ±x}
2. 1/2
3. 1/2
4. 0
5. {(x, y) | y2 6= x2}
6. −4◦/cm; −8◦/cm.
7.
∂R
∂I
= −22
45
;
∂R
∂E
=
1
5
8. −100
9
;
50
9
;
50
9
9.
21
x
+
2 sec t tan t
y
+
csc2 t
z
10. (a) 0, 88picm³/min; (b) 0, 3picm³/min
11.
∂2f
∂x2
(x, y) = 3y coshx;
∂2f
∂y2
(x, y) = 4x cosh y
4
Parte C
1. y arctanx = pi
2. Mostre que o limite difere se nos aproximarmos de (0, 0) por diferentes direções.
3. Mostre que, para cada � > 0 dado, existe um δ > 0 tal que satisfaça as condições impostas na
definição de limites.
4. Determine o domínio da função, calcule as derivadas parciais em relação a x e a y e verifique a
soma.
5. Calcule
∂w
∂r
e
∂w
∂θ
, eleve ambos ao quadrado, coloque r em evidência em
∂w
∂θ
e some os resultados.
6. Compute as derivadas parciais e some os resultados obtidos.
5