Provas Antigas - Física 3

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Provas Antigas - Física 3/P1-2005.2-Gab.pdf
 
Provas Antigas - Física 3/P1-2005.2.pdf
IF/UFRJ – FÍSICA III – 2005/2 – TURMA EQA 
1
a
 Prova – 9/9/2005 – Duração: 2h 
 
 
 
1. (3,5 pontos) Dois planos paralelos, cada um 
de área A = 2,0 m
2
, e separados por uma 
distância d = 5,0 mm, estão uniformemente 
carregados com +40 µC e −40 µC; veja a 
figura. 
a. Deduza uma expressão literal para o 
campo elétrico em pontos próximos ao 
centro das placas, em cada uma das 
três regiões: x<0, 0<x<d, e x>d. 
Justifique cuidadosamente as hipóteses 
e aproximações feitas. 
b. Faça um esboço de E como função de 
x. 
c. Obtenha uma estimativa numérica para 
o campo elétrico entre as placas. 
 
 
2. (3,5 pontos) Um cilindro condutor, maciço, de 
comprimento L e raio a está carregado com 
carga +q. Uma casca cilíndrica de mesmo 
comprimento, raio interno b e raio externo c, 
também condutora e com carga −2q, é 
colocada concentricamente com o cilindro; 
veja a figura. Considere L>>a, b, e c, de modo 
que os efeitos de borda possam ser 
desprezados. Chame de s a distância ao eixo 
do cilindro. 
a. Obtenha o campo elétrico, E, nas 
quatro regiões: s < a, a<s <b, b<s <c, 
e s > c. 
b. Faça um esboço de E como função de s. 
c. Suponha agora que uma carga puntiforme q’’ seja colocada 
externamente, a uma distância d > c do eixo do cilindro, perto 
de seu ponto médio. (i) Quais das respostas do item (a) acima 
Instruções: 
1) Respostas sem justificativas não serão consideradas. 
2) Argumentos de simetria devem ser cuidadosamente justificados. 
3) Os ítens em cada questão não têm, necessariamente, os mesmos valores. 
4) Não é permitido o uso de calculadoras. 
+Q −Q 
d 0 x 
a 
b 
c 
L 
+q 
−2q 
seriam modificadas pela presença desta carga? Por quê? (ii) Que 
força esta carga exerce sobre o cilindro interno? 
 
3. (3,0 pontos) Dois finos bastões isolantes, semi-infinitos, possuem 
cargas constantes por unidade de comprimento −λ e +λ. Eles são 
colocados de modo que um fique no prolongamento do outro, como 
mostra a figura. 
a. Qual a direção e o sentido do campo elétrico, E, no ponto P, 
situado a uma distância y da extremidade de ambos? 
b. Obtenha uma expressão para E, e compare sua dependência 
com y com a de um dipolo elétrico. Explique a diferença ou a 
semelhança. 
 
 
 
Constantes físicas: 
 
 ε
0
 = 8,85 × 10−12 C2/N⋅m2 
 1/(4piε
0
) = 8,99 × 109 N⋅m2/ C2 
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 
P 
y 
Provas Antigas - Física 3/P1-2008.1.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
INSTITUTO DE FÍSICA 
1a PROVA DE FÍSICA III, 30/04/2008 
 
Questão I (2,5) Um capacitor de placas paralelas e carga q, tem placas de área A e 
separação d.Uma lâmina de espessura b é introduzida exatamente no 
meio entre as placas do capacitor como mostra a figura. 
(a) Desenhe as linhas de campo elétrico considerando a lâmina 
introduzida como sendo (i) de um material condutor; (ii) de um 
material dielétrico. 
(b) Supondo que a lâmina seja de cobre, calcule (i) A capacitância 
depois da introdução da lâmina; (ii) O trabalho realizado sobre a 
lâmina durante a sua introdução. Ela é puxada ou temos de empurrá-
la para o interior do capacitor ? 
 
Questão II (2,5). Uma esfera oca condutora eletricamente neutra tem 
raio interno a e raio externo b. Uma carga puntiforme q, positiva, está no centro da casca 
(veja a figura). 
(a) Calcule o módulo do campo elétrico nas regiões r>b, a<r<b e 
r<a, onde r é a distância ao centro da casca. 
(E r)
(b) Com V=0 no infinito, encontreV(r) para os valores de r do item anterior. 
(c) Agora considere que uma carga -3q seja colocada na esfera condutora. O 
que muda nos resultados do item (a)? Justifique. 
 
Questão III ( 2,5) Uma carga q está uniformemente distribuida ao redor de um anel de raio 
R que está no plano yz com seu centro na origem. 
(a) Calcule o potencial elétrico num ponto P de coordenadas (x,0,0). 
(b) Calcule o vetor campo elétrico em P (Sugestão: use o resultado do item anterior). 
(c) Se um dipolo for colocado em P na condição de que sua energia potencial seja máxima, 
qual a direção e o sentido do momento de dipolo p ? 
 
Questão IV (2,5) Um bloco metálico, na forma de um sólido retangular, tem seção 
transversal de área 3,5 cm2, um comprimento de 15,8 cm e uma resistência de 935 Ω. O 
bloco é feito de um material que tem 5,33 × 1033 elétrons de condução / m3. Uma diferença 
de potencial de 35,8 V é mantida entre suas extremidades. 
(a) Qual a corrente no bloco ? 
(b) Sabendo-se que a densidade de corrente é uniforme, qual é o seu valor ? 
(c) Qual é o campo elétrico no bloco ? 
(d) Qual a velocidade de arrasto dos elétrons de condução ? 
 
Fórmulas: 0. /liqE d A q ε=∫ JG JGv , .ba b
a
V V E dl− = ∫ GG , 2021 Eu ε= , ( )a b b aW U U→ = − − , 
∫= rdqV 04
1
πε , A
LR ρ= , , P IV= EJ σ= , 
0q
W
VVV ifif −=−=∆ , s
VEs ∂
∂−= , 
EpU .−= , ( ) aJ ne v=
JG JJG
, ρσ
1= . 
 
Provas Antigas - Física 3/P1-2009.1.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA III (FIM230) - 2009/1
PRIMEIRA PROVA UNIFICADA
DATA: 08/04/2009
• Na˜o e´ permitido o uso de calculadoras, telefones celulares, “iPods” ou similares.
• No cabec¸alho do caderno de resoluc¸a˜o, devera˜o constar, legivelmente, nome do aluno, seu
nu´mero de DRE, sua turma, seu hora´rio de aulas e o nome de seu professor.
• Nenhum esclarecimento individual ser prestado no perodo de realizao da prova; caso persista
alguma dvida de enunciado, o aluno deve discorrer sobre a mesma no seu prprio caderno de
resoluo.
• Seja claro, preciso e asseado.
PROBLEMA 1 (Anel semicircular) [ 2,5 ponto(s)]
Um anel semicircular, de raio a, encontra-se situado no
plano XY , com suas extremidades nos aˆngulos polares
θ = 0 e θ = π, conforme mostra a figura ao lado. O tre-
cho do anel contido no primeiro quadrante (π/2 > θ > 0)
possui carga total +q e o contido no segundo quadrante
(π > θ > π/2) carga total −q, onde q > 0. As cargas em
cada trecho esta˜o distribu´ıdas de modo uniforme.
(a) Determine as densidades lineares de carga, respecti-
vamente λ+ e λ−, em cada trecho. [0,4 ponto]
Fazendo uso dos vetores unita´rios indicados na fi-
gura:
(b) Obtenha uma expressa˜o para o vetor campo ele´trico
~E+ produzido na origem (ponto P), pela carga existente
no primeiro quadrante. [0,8 ponto]
(c) Obtenha uma expressa˜o para o vetor campo ele´trico ~E− produzido na origem (ponto P), pela carga existente
no segundo quadrante. [0,8 ponto]
(d) Determine enta˜o a expressa˜o para o vetor forc¸a ele´trica resultante exercida sobre uma part´ıcula de prova com
carga q0 colocada na origem (ponto P). [0,5 ponto]
Resoluc¸a˜o
(a)
λ+ = q/(
πa
2
) =
2q
πa
λ− = −
2q
πa
(1)
1
Figura 1:
Na figura 1:
−→
dE = −
1
4πǫ0
λds
a2
cos θ iˆ−
1
4πǫ0
λds
a2
sin θ jˆ
=
λ
4πǫ0a
(− cos θdθ iˆ− sin θdθ jˆ)
(2)
Essa expressa˜o vale para qualquer θ e na˜o apenas para o primeiro quadrante.
2
Figura 2:
(b)
−→
dE+ =
q
2π2ǫ0a2
(− cos θdθ iˆ− sin θdθ jˆ) (3)
−→
E+ =
q
2π2ǫ0a2
(−iˆ
∫ pi/2
0
cos θdθ − jˆ
∫ pi/2
0
sin θdθ )
=
q
2π2ǫ0a2
(−iˆ− jˆ)
(4)
(c)
−→
dE− =
−q
2π2ǫ0a2
(− cos θdθ iˆ− sin θdθ jˆ) (5)
−→
E− =
q
2π2ǫ0a2
(ˆi
∫ pi
pi/2
cos θdθ + jˆ
∫ pi
pi/2
sin θdθ )
=
q
2π2ǫ0a2
(−iˆ+ jˆ)
(6)
(d)
−→
E =
−→
E+ +
−→
E− = −
q
π2ǫ0a2
iˆ (7)
−→
F = q0
−→
E = −
qq0
π2ǫ0a2
iˆ (8)
PROBLEMA 2 (Casca e bola esfe´ricas) [ 2,5 ponto(s)]
Uma casca esfe´rica condutora neutra de raio interno b
e raio externo c tem em seu interior, conceˆntrica a ela,
uma bola esfe´rica isolante de raio a e constante diele´trica
igual a 1, conforme mostra a figura ao lado. Essa bola
esta´ carregada com uma densidade volumar dada pela
func¸a˜o ρ(r) = αr (onde α e´ uma constante positiva e r
e´ a distaˆncia do ponto ao centro da esfera). O sistema
esta´ em equil´ıbrio eletrosta´tico.
3
(a) Determine a carga ele´trica total contida na esfera isolante. [0,5 pontos]
(b) A partir da simetria do sistema, esboce as linhas de campo ele´trico e uma superf´ıcie gaussiana gene´rica que
sera´ usada para a determinac¸a˜o do vetor campo ele´trico. [0,4 pontos]
(c) Determine o vetor campo ele´trico ~E nas quatro regio˜es definidas pelo sistema (r < a, a < r < b, b < r < c e
c < r). [1,6 pontos]
Resoluc¸a˜o
(a) A carga ele´trica total Q contida na esfera sera´ dada por
Q =
∫
ρdV =
∫ a
0
αr4πr2dr = 4πα
∫ a
0
r3dr ;
logo:
Q = παa4 .
(b) Devido a` simetria esfe´rica do problema, o campo ele´trico so´ podera´ ter componente na direc¸a˜o radial e so´
podera´ depender de r, isto e´, o campo ele´trico sera´ tal que ~E = E(r)rˆ. As superf´ıcies gaussianas sera˜o esfe´ricas e
conceˆntricas a`s superf´ıcies do problema de maneira que o mo´dulo do campo ele´trico sera´ constante em cada uma
delas.
(c) No caso da regia˜o b ≤ r < c, como a casca esfe´rica e´ condutora e estamos em equil´ıbrio eletrosta´tico, o campo
ele´trico ~E sera´ nulo.
Para as outras regio˜es usaremos a Lei de Gauss
Φ =
∮
S
~E · d~S = q/ε0 .
Neste caso ~E = Er(r)rˆ e d~S = dSrˆ, de modo que ~E · d~S = Er(r)dS. Como Er(r) e´ constante na superf´ıcie
gaussiana, teremos ∮
S
~E · d~S = Er(r)
∮
S
dS = 4πr2Er(r) .
Precisamos, agora, determinar a carga ele´trica interna a cada superf´ıcie gaussiana que descreve a regia˜o de
interesse.
Para r < a:
q =
∫
ρdV =
∫ r
0
αr′4πr′2dr′ = παr4 ,
logo
~E(r) =
αr2
4ε0
rˆ =
Qr2
4πε0a4
rˆ .
4
Para a ≤ r < b e r ≥ c:
q = Q ,
logo
~E(r) =
Q
4πε0r2
rˆ .
PROBLEMA 3 (Quadrupolo ele´trico) [ 2,5 ponto(s)]
A figura ao lado mostra duas part´ıculas de cargas
ele´tricas individuais +q separadas entre si por uma
distaˆncia de 2a. No ponto me´dio entre essas duas
part´ıculas e´ colocada uma terceira cuja carga ele´trica e´
−2q.
(a) Obtenha a expressa˜o exata do potencial ele´trico V (x)
no ponto P do eixo X , para x > a. Qual e´ a expressa˜o
aproximada para V (x) quando tivermos x ≫ a? [1,0
ponto]
(b) A partir da expressa˜o exata para o potencial ele´trico, obtenha a expressa˜o do vetor campo ele´trico ~E no
ponto P . Qual e´ a expressa˜o aproximada para ~E(x) quando tivermos x≫ a? [1,0 ponto]
(c) Qual e´ a energia potencial eletrosta´tica acumulada em tal sistema? [0,5 ponto]
Resoluc¸a˜o
(a) Lembrando que o potencial ele´trico de uma part´ıcula de carga q e´ dado por V (r) = q/(4πǫor), sendo r a
distaˆncia em relac¸a˜o a` part´ıcula, enta˜o no caso de uma distribuic¸a˜o discreta de treˆs cargas puntiformes em que
as cargas ele´tricas e as posic¸o˜es das part´ıculas em relac¸a˜o ao ponto P sa˜o (+q, x+a) , (−2q, x) , e (+q, x−a) ,
o potencial ele´trico devido a elas neste ponto sera´ fornecido por
V (x) =
1
4πǫo
3∑
n=1
qn
xn
=
q
4πǫo
(
1
x+ a
−
2
x
+
1
x− a
)
=
1
4πǫo
[
2a2q
x(x2 − a2)
]
.
No caso em que o ponto P se encontre muito afastado das cargas devemos considerar que x ≫ a e assim
podemos aproximar x(x2 − a2) ≈ x3 na expressa˜o obtida acima para V (x) e com isso teremos que
V (x) ≈
Q
4πǫox3
sendo Q ≡ 2a2q o momento de quadrupolo ele´trico da distribuic¸a˜o de cargas.
(b) O vetor campo ele´trico ~E pode ser obtido a partir do potencial ele´trico atrave´s de ~E(r) = −~∇V (r) o que,
no caso do ponto P , se reduzira´ a
~E(x) = −
[
dV (x)
dx
]
xˆ =
q
4πǫo
(
1
(x + a)2
−
2
x2
+
1
(x− a)2
)
xˆ =
Q
4πǫo
[
3x2 − a2
x2(x2 − a2)2
]
xˆ .
No caso em que x≫ a podemos aproximar (3x2 − a2)/[x2(x2 − a2)2] ≈ 3x2/x6 = 3/x4 e assim mostrar que
~E(x) ≈
(
3Q
4πǫox4
)
xˆ .
(c) Temos um sistema de treˆs part´ıculas; para constru´ı-lo (a partir de uma separac¸a˜o infinita entre as part´ıculas),
devemos realizar um trabalho total dado por
U =
3∑
i=1
3∑
j>i
qiqj
4πǫorij
=
q2
4πǫo
(
1
2a
−
2
a
−
2
a
)
= −
7
2
(
q2
4πǫoa
)
.
5
PROBLEMA 4 (Capacitores) [ 2,5 ponto(s)]
Na figura ao lado, temos um arranjo cons-
titu´ıdo por uma bateria de forc¸a eletromotriz
V0, uma chave S e treˆs capacitores, 1, 2 e 3, de
mesma capacitaˆncia C, inicialmente descar-
regados. A chave S e´, primeiramente, girada
para a posic¸a˜o a e permite-se que o capacitor
1 seja completamente carregado. A seguir, a
chave e´ girada para a posic¸a˜o b.
(a) Quais sa˜o as cargas finais q1, q2 e q3
nos capacitores correspondentes, expressas
em func¸a˜o de V0 e C? [1,5 ponto]
(b) Determine a energia total acumulada nos
capacitores com a chave na posic¸a˜o a e aquela
acumulada nos capacitores com a chave na
posic¸a˜o b, expressas em func¸a˜o de V0 e C.
[1,0 ponto]
V0
S
a b
c
d
1 3
2
Resoluc¸a˜o
(a) A carga final adquirida pelo capacitor 1, depois da chave ser girada para a posic¸a˜o a, e´ dada por:
Q1 = C1V0 = CV0.
Na segunda etapa, apo´s a chave S ser girada para a posic¸a˜o b, observamos, primeiro que, por simetria, a carga
(em mo´dulo) em cada uma das placas dos capacitores 2 e 3 e´ a mesma; logo:
q2 = q3 .
Ale´m disso, por conservac¸a˜o da carga,
q1 + q2 = Q1 = CV0 . (9)
Uma outra equac¸a˜o provira´ do ca´lculo da ddp entre os pontos a e d de duas maneiras: via o ramo que inclui
so´ o capacitor 1, fornecendo:
Vad =
q1
C
ou via o ramo que inclui os capacitores 2 e 3, fornecendo:
Vbcd = V2 + V3 = 2V2 = 2V3 = 2
q2
C
.
Obviamente, tais expresso˜es tem de dar o mesmo valor; logo:
q1 = 2q2 . (10)
Resolvendo o sistema de equac¸o˜es (9) e (10) para q1 e q2, obtemos, finalmente:
q1 =
2
3
CV0
e
q2 = q3 =
1
3
CV0 .
(b) Usaremos que a energia armazenada num capacitor com carga q, ddp V e capacitaˆncia C pode ser expressa
em qualquer uma das treˆs formas equivalentes
U =
1
2
qV =
1
2
q2
C
=
1
2
CV 2 .
6
Logo, para a chave na posic¸a˜o a, temos simplesmente:
Ua =
1
2
CV 20 .
Ja´ para a chave na posic¸a˜o b, temos:
Ub = U1 + 2U2 (11)
=
1
2
q21
C
+
q22
C
, (12)
ou seja,
Ub =
1
3
CV 20 .
7
Provas Antigas - Física 3/P1-2009.2.pdf
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2009/2
Primeira Prova (P1) – 14/10/2009
Versa˜o: A
Aluno:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Nota de revisa˜o Rubrica
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, DRE, Professor e Turma) do cabec¸alho
acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de dez (10) questo˜es objetivas, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, parte essa dividida,
por sua vez, em duas sec¸o˜es:
– uma sec¸a˜o de sete (7) questo˜es de mu´ltipla escolha (sem nenhum tipo de penalizac¸a˜o),
– uma sec¸a˜o de treˆs (3) questo˜es de falso ou verdadeiro (com duas questo˜es incorretamente respon-
didas anulando uma correta);
• uma parte discursiva, constitu´ıda por duas questo˜es discursivas (ou argumentativas ou dissertativas),
cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
E =
1
4πǫ0
q
r2
rˆ ,
∮
S
E · nˆ dA = Qint/ǫ0 , E = −∇V , uE =
1
2
ǫ0E
2 .
∫
sen2 u du =
u
2
−
sen (2u)
4
,
∫
cos2 u du =
u
2
+
sen (2u)
4
,
∫
senu cosu du =
sen2 u
2
.
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)
1. Em uma regia˜o do espac¸o, o potencial ele-
trosta´tico e´ dado por
V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const ,
onde x, y, z sa˜o as tradicionais coordenadas carte-
sianas. O vetor campo ele´trico no ponto (2b, b, 2b)
e´ dado por
(a) −ab(8xˆ+ yˆ + 2zˆ) .
(b) −ab(8xˆ+ 2yˆ + zˆ) .
(c) ab(8xˆ+ 2yˆ + zˆ) .
(d) ab(8xˆ+ yˆ + 2zˆ) .
(e) 0, pois temos simetria plana.
2. Seja a associac¸a˜o de capacitores da figura abaixo:
a
b
C C C C
A capacitaˆncia equivalente entre os pontos a e b
vale:
(a) C/4 .
(b) 3C/4 .
(c) C/3 .
(d) 4C/3 .
3. Uma superf´ıcie imagina´ria fechada envolve com-
pletamente um dipolo ele´trico e nenhuma outra
part´ıcula carregada. Podemos afirmar que:
(a) o campo ele´trico e´ zero em todos os pon-
tos da superf´ıcie.
(b) o campo ele´trico e´ normal a` superf´ıcie em
todos os pontos da mesma.
(c) o fluxo do campo ele´trico atrave´s da su-
perf´ıcie na˜o pode ser igual a zero, pois ha´
cargas envolvidas pela mesma.
(d) o fluxo do campo ele´trico atrave´s de uma
parte da superf´ıcie pode na˜o ser igual a
zero.
4. Para uma casca esfe´rica condutora, de raio interno
a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere-
se uma cargaQ. Em seguida, uma part´ıcula (pon-
tual) de carga −10q e´ colocada no seu centro.
Qual e´ a expressa˜o correta para a densidade de
carga sobre a superf´ıcie externa da casca condu-
tora?
(a) σ = −10q/(4πb2) .
(b) σ = −Q/(4πb2) .
(c) σ = (Q− 10q)/(4πb2) .
(d) σ = (Q+ 10q)/(4πb2) .
(e) σ = (10q −Q)/(4πb2) .
5. Considere as configurac¸o˜es A e B de part´ıculas
(pontuais) carregadas representadas na figura
abaixo. Efetue a ordenac¸a˜o da energia potencial
eletrosta´tica armazenada em cada caso, levando
em conta que, nos dois casos, a separac¸a˜o entre a
part´ıcula central e as demais tem sempre o mesmo
valor.
q q −q
A :
q −q q
B :
(a) UA < UB.
(b) UA = UB.
(c) UA > UB.
(d) Os dados sa˜o insuficientes.
6. Sabe-se que o mo´dulo do campo ele´trico na regia˜o
entre duas placas planas muito grandes, separa-
das por uma pequena distaˆncia, e com densida-
des superficiais de mesmo mo´dulo, σ, e´ dado por
E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que:
(a) as duas placas sa˜o condutoras.
(b) as duas placas sa˜o isolantes.
(c) uma das placas e´ condutora e a outra
placa e´ isolante.
(d) as densidades superficiais de cargas nas
placas teˆm o mesmo sinal.
(e) as densidades superficiais de cargas nas
placas teˆm sinais opostos.
2
7. Um diele´trico e´ inserido entre as placas de um ca-
pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo
completamente a regia˜o entre elas. Inicialmente,
o espac¸o entre elas estava preenchido com ar e o
capacitor estava carregado com uma carga Q e
desconectado de qualquer bateria. Depois da in-
serc¸a˜o do diele´trico, podemos afirmar que
(a) a carga nas placas do capacitor aumenta.
(b) a diferenc¸a de potencial entre as placas
do capacitor aumenta.
(c) o campo ele´trico no interior do capacitor
diminui.
(d) a energia ele´trica armazenada permanece
a mesma.
Sec¸a˜o 2. Verdadeiro (V) ou falso (F)
Considere uma superf´ıcie cu´bica, de aresta com comprimento R, e uma superf´ıcie esfe´rica, de raio com
comprimento tambe´m R. Dentro de cada uma dessas superf´ıcies temos uma part´ıcula de carga q. Podemos
concluir que o fluxo do campo ele´trico atrave´s da superf´ıcie cu´bica e´ maior que aquele atrave´s da superf´ıcie
esfe´rica.
O potencial eletrosta´tico e´ o mesmo em todos os pontos na superf´ıcie de um condutor em equil´ıbrio
eletrosta´tico, logo a densidade superficial de carga sera´ a mesma em todos os pontos dessa superf´ıcie.
Uma part´ıcula (pontual) de carga Q e´ mantida fixa enquanto outra part´ıcula (pontual), de carga q, e´
trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela forc¸a
eletrosta´tica atuante sobre a part´ıcula de carga q e´ positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo sinal.
3
Sec¸a˜o 3. Questo˜es discursivas
1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do
sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuic¸a˜o estaciona´ria de carga, cuja densidade
linear e´ dada por
λ(θ) =
{
λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ;
0 , se π < θ < 2π .
Aqui λ0 e´ uma constante e θ e´ o usual aˆngulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonome´trico.
(a) Determine a carga total de tal distribuic¸a˜o. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico no centro do anel. [1,5 ponto]
(c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto]
4
5
2. Considere uma bola esfe´rica isolante (com constante diele´trica igual a 1), de raio R, com uma distribuic¸a˜o
estaciona´ria de carga esfericamente sime´trica, cuja densidade volumar e´ dada por
ρ(r) =
{
Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ;
0 , se R < r <∞ .
Aqui A e´ uma constante e r e´ a usual distaˆncia radial, desde o centro da bola.
(a) Determine a carga total de tal distribuic¸a˜o. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial eletrosta´tico fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no
infinito. [1,0 ponto]
6
7
8
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)
1. Em uma regia˜o do espac¸o, o potencial ele-
trosta´tico e´ dado por
V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const ,
onde x, y, z sa˜o as tradicionais coordenadas carte-
sianas. O vetor campo ele´trico no ponto (2b, b, 2b)
e´ dado por
(a) −ab(8xˆ+ yˆ + 2zˆ) .
(b) −ab(8xˆ+ 2yˆ + zˆ) .
(c) ab(8xˆ+ 2yˆ + zˆ) .
(d) ab(8xˆ+ yˆ + 2zˆ) .
(e) 0, pois temos simetria plana.
2. Seja a associac¸a˜o de capacitores da figura abaixo:
a
b
C C C C
A capacitaˆncia equivalente entre os pontos a e b
vale:
(a) C/4 .
(b) 3C/4 .
(c) C/3 .
(d) 4C/3 .
3. Uma superf´ıcie imagina´ria fechada envolve com-
pletamente um dipolo ele´trico e nenhuma outra
part´ıcula carregada. Podemos afirmar que:
(a) o campo ele´trico e´ zero em todos os pon-
tos da superf´ıcie.
(b) o campo ele´trico e´ normal a` superf´ıcie em
todos os pontos da mesma.
(c) o fluxo do campo ele´trico atrave´s da su-
perf´ıcie na˜o pode ser igual a zero, pois ha´
cargas envolvidas pela mesma.
(d) o fluxo do campo ele´trico atrave´s de uma
parte da superf´ıcie pode na˜o ser igual a
zero.
4. Para uma casca esfe´rica condutora, de raio interno
a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere-
se uma
cargaQ. Em seguida, uma part´ıcula (pon-
tual) de carga −10q e´ colocada no seu centro.
Qual e´ a expressa˜o correta para a densidade de
carga sobre a superf´ıcie externa da casca condu-
tora?
(a) σ = −10q/(4πb2) .
(b) σ = −Q/(4πb2) .
(c) σ = (Q− 10q)/(4πb2) .
(d) σ = (Q+ 10q)/(4πb2) .
(e) σ = (10q −Q)/(4πb2) .
5. Considere as configurac¸o˜es A e B de part´ıculas
(pontuais) carregadas representadas na figura
abaixo. Efetue a ordenac¸a˜o da energia potencial
eletrosta´tica armazenada em cada caso, levando
em conta que, nos dois casos, a separac¸a˜o entre a
part´ıcula central e as demais tem sempre o mesmo
valor.
q q −q
A :
q −q q
B :
(a) UA < UB.
(b) UA = UB.
(c) UA > UB.
(d) Os dados sa˜o insuficientes.
1
6. Sabe-se que o mo´dulo do campo ele´trico na regia˜o
entre duas placas planas muito grandes, separa-
das por uma pequena distaˆncia, e com densida-
des superficiais de mesmo mo´dulo, σ, e´ dado por
E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que:
(a) as duas placas sa˜o condutoras.
(b) as duas placas sa˜o isolantes.
(c) uma das placas e´ condutora e a outra
placa e´ isolante.
(d) as densidades superficiais de cargas nas
placas teˆm o mesmo sinal.
(e) as densidades superficiais de cargas nas
placas teˆm sinais opostos.
7. Um diele´trico e´ inserido entre as placas de um ca-
pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo
completamente a regia˜o entre elas. Inicialmente,
o espac¸o entre elas estava preenchido com ar e o
capacitor estava carregado com uma carga Q e
desconectado de qualquer bateria. Depois da in-
serc¸a˜o do diele´trico, podemos afirmar que
(a) a carga nas placas do capacitor aumenta.
(b) a diferenc¸a de potencial entre as placas
do capacitor aumenta.
(c) o campo ele´trico no interior do capacitor
diminui.
(d) a energia ele´trica armazenada permanece
a mesma.
Sec¸a˜o 2. Verdadeiro (V) ou falso (F)
F Considere uma superf´ıcie cu´bica, de aresta com comprimento R, e uma superf´ıcie esfe´rica, de raio
com comprimento tambe´m R. Dentro de cada uma dessas superf´ıcies temos uma part´ıcula de carga q.
Podemos concluir que o fluxo do campo ele´trico atrave´s da superf´ıcie cu´bica e´ maior que aquele atrave´s
da superf´ıcie esfe´rica.
F O potencial eletrosta´tico e´ o mesmo em todos os pontos na superf´ıcie de um condutor em equil´ıbrio
eletrosta´tico, logo a densidade superficial de carga sera´ a mesma em todos os pontos dessa superf´ıcie.
F Uma part´ıcula (pontual) de carga Q e´ mantida fixa enquanto outra part´ıcula (pontual), de carga q, e´
trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela
forc¸a eletrosta´tica atuante sobre a part´ıcula de carga q e´ positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo
sinal.
2
Sec¸a˜o 3. Questo˜es discursivas
1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do
sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuic¸a˜o estaciona´ria de carga, cuja densidade
linear e´ dada por
λ(θ) =
{
λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ;
0 , se π < θ < 2π .
Aqui λ0 e´ uma constante e θ e´ o usual aˆngulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonome´trico.
(a) Determine a carga total de tal distribuic¸a˜o. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico no centro do anel. [1,5 ponto]
(c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) A carga total em qualquer curva C e´ sempre dada por
Q[C] =
∫
C
λ(r)dℓ .
No caso,
Q =
∫ pi
θ=0
λ0 cos θRdθ
ou
Q = 0 .
Este resultado era de se esperar visto que a distribuic¸a˜o e´ sime´trica em torno de θ = π/2: o mesmo tanto
de carga positiva existe no primeiro quadrante que de carga negativa no segundo quadrante e distribu´ıda
“igualmente”.
(b) Por simetria, o campo ele´trico resultante no centro do anel so´ tera´ componente x. A contribuic¸a˜o para
tal de um elemento de carga infinitesimal, a um aˆngulo polar θ, e´ dada por
dEx = k0
dq
R2
(−rˆ) · xˆ
= −k0
λ(θ)dℓ
R2
cos θ
= −
k0λ0
R
cos2 θdθ .
Logo
E(0) = −
k0λ0
R
∫ pi
θ=0
cos2 θdθ xˆ
Ora, do formula´rio, tiramos que ∫ pi
θ=0
cos2 θdθ = π/2 .
Portanto, finalmente,
E(0) = −
πk0λ0
2R
xˆ = −
λ0
8ǫ0R
xˆ .
(c) O potencial e´ dado por
V (0) =
∫
C
k0dq
R
;
Logo, trivialmente,
V (0) = 0 .
�
3
2. Considere uma bola esfe´rica isolante (com constante diele´trica igual a 1), de raio R, com uma distribuic¸a˜o
estaciona´ria de carga esfericamente sime´trica, cuja densidade volumar e´ dada por
ρ(r) =
{
Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ;
0 , se R < r <∞ .
Aqui A e´ uma constante e r e´ a usual distaˆncia radial, desde o centro da bola.
(a) Determine a carga total de tal distribuic¸a˜o. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial eletrosta´tico fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no
infinito. [1,0 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) A carga total em qualquer regia˜o R e´ sempre dada por
Q[R] =
∫
R
ρ(r)dV .
Enta˜o, no caso da bola, temos que sua carga total Q sera´ simplesmente
Q =
∫ R
r=0
ρ(r)4πr2dr
= 4πA
∫ R
r=0
r4dr ,
ou
Q =
4
5
πAR5 .
(b) Devido a` simetria esfe´rica, o vetor campo ele´trico criado pela bola so´ tera´ componente radial, componente
esta dependente somente da distaˆncia r. Logo, conve´m calcularmos o campo pela lei de Gauss; como
gaussiana, adotamos uma superf´ıcie esfe´rica conceˆntrica com a bola carregada e de raio gene´rico r. O fluxo
atrave´s dela sera´
ΦE[S] :=
∮
S
E · nˆdA
=
∮
S
Er(r)rˆ · rˆdA
= Er(r)
∮
S
dA
= 4πr2Er(r) .
Para aplicarmos, de fato, a lei de Gauss, precisamos, agora, calcular a carga no interior da gaussiana; para
tanto, temos duas possibilidades:
• R ≤ r <∞:
Nesse caso,
Qint = Q .
Portanto, pela pro´pria lei de Gauss, vem
E = Er(r)rˆ =
1
4πǫ0
Q
r2
rˆ =
AR5
5ǫ0r2
rˆ .
4
• 0 ≤ r ≤ R:
Nesse caso,
Qint =
∫ r
r′=0
Ar′24πr′2dr′
=
4
5
πAr5 .
Portanto, pela pro´pria lei de Gauss, novamente, vem
E =
Ar3
5ǫ0
rˆ =
Q
4πǫ0
r3
R5
rˆ .
(c) Calcularemos o potencial V (r), num dado ponto de coordenada radial r, por integrac¸a˜o, a partir do
infinito, do campo ele´trico deduzido no item anterior. Teremos, pois, duas possibilidades:
• R ≤ r <∞:
Nesse caso,
V (r) − V (∞) = −
∫ r
r=∞
Er(r)dr .
Como V (∞) = 0, isso implica
V (r) =
1
4πǫ0
Q
r
=
AR5
5ǫ0r
.
• 0 ≤ r ≤ R:
Nesse caso,
V (r)− V (R) = −
∫ r
r=R
Er(r)dr .
Como, da u´ltima equac¸a˜o, V (R) = Q/(4πǫ0R) = AR
4/(5ǫ0), isso implica
V (r) −
AR4
5ǫ0
=
A
20ǫ0
(R4 − r4) ,
ou seja,
V (r) = −
A
20ǫ0
(r4 − 5R4) = −
Q
16πǫ0R5
(r4 − 5R4) .
�
5
6
Provas Antigas - Física 3/P1-2010.1.pdf
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2010/1
Primeira Prova (P1) – 13/05/2010
Versa˜o: A
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
Total
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2.
A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de doze (12) questo˜es objetivas, perfazendo um total de 5,0 pontos, sendo sete (7) questo˜es
de mu´ltipla escolha, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, e cinco (5) questo˜es de verdadeiro ou falso,
cada uma das quais valendo 0,3 ponto, essas u´ltimas com penalizac¸a˜o tal que uma resposta
errada cancela uma correta.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
F
e
= qE , E =
1
4πǫ0
q
r2
rˆ ,
∮
S
E ·nˆ dA = Qint
ǫ0
,
∮
C
E ·dℓ = 0 , E = −∇V , U = 1
4πǫ0
qq′
r
C = Q/V
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos)
1. Considere um triaˆngulo equila´tero, com aresta de
comprimento a. Suponha que, em seus ve´rtices,
ha´ part´ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q,
conforme mostra a figura abaixo. Qual das opc¸o˜es
a seguir fornece corretamente o valor da carga Q,
em func¸a˜o de q, para que a energia eletrosta´tica
armazenada em tal sistema seja nula?
q −2q
Q
(a) q .
(b) −q .
(c) −2q.
(d) 2q .
(e) Isso e´ imposs´ıvel, porque sempre se dis-
pende alguma energia para aproximar
corpos carregados.
2. Dois capacitores, de capacitaˆncias C1 e C2 = 2C1,
sa˜o ligados em se´rie a uma bateria que fornece
uma voltagem V0 ao sistema. A raza˜o, Q1/Q2,
entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e
2, e a raza˜o, V1/V2, entre as diferenc¸as de po-
tencial entre as placas dos dois capacitores sa˜o,
respectivamente:
(a) 1/2 e 1/2
(b) 1/2 e 2
(c) 1/2 e 1
(d) 1 e 2
(e) 1 e 1/2
3. Na figura a seguir, temos duas part´ıculas (pontu-
ais), com carga q e −q. Aquela de carga q esta´
envolvida por uma superf´ıcie (gaussiana) cu´bica,
com aresta de comprimento a, situando-se no cen-
tro do cubo. Um segmento de reta, tambe´m de
comprimento a, perpendicular a uma das faces do
cubo, une as duas part´ıculas. Para esse arranjo
obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo ele´trico so-
bre toda a superf´ıcie gaussiana; (II) o fluxo do
vetor campo ele´trico sobre a face do cubo situada
entre as cargas; (III) o potencial ele´trico num dos
ve´rtices (ponto P) nessa mesma face. Os valores
para essas grandezas sa˜o, na mesma ordem:
(a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0
(b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0
(c) q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0)
(e) 2q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0)
A figura a seguir refere-se a`s questo˜es 4 e 5. Ela mos-
tra, esquematicamente, uma sec¸a˜o transversal (plana)
de um objeto condutor macic¸o (de carga ele´trica
total nula), colocado em um campo eletrosta´tico
externo, apo´s atingido o equil´ıbrio eletrosta´tico.
2
4. Algumas das linhas de campo ele´trico, parcial-
mente desenhadas na figura, esta˜o erradas e na˜o
podem corresponder a uma situac¸a˜o f´ısica real.
Assinale a seguir cada linha imposs´ıvel [Atenc¸a˜o:
nesta questa˜o, pode haver mais de um item correto
e cada marcac¸a˜o errada anula uma certa! ]
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
(f) 6
(g) 7
5. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C
e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque
a opc¸a˜o que relaciona corretamente os potenciais
eletrosta´ticos nos referidos pontos:
(a) VA = VB = VC e VC = VD
(b) VA > VB > VC e VC = VD
(c) VA < VB < VC e VC = VD
(d) VA > VB > VC e VC > VD
(e) VA > VB > VC e VC < VD
(f) VA < VB < VC e VC < VD
(g) VA = VB = VC e VC < VD
6. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si-
tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0,
com densidades superficiais de carga iguais a −σ
e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale
a opc¸a˜o que indica as expresso˜es corretas para o
vetor campo ele´trico nas regio˜es (i) z < 0, (ii)
0 < z < L, e (iii) z > L, nessa ordem:
(a) 0, (σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(b) 0, −(σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(c) [σ/(2ǫ0)]zˆ, [3σ/(2ǫ0)]zˆ, −[σ/(2ǫ0)]zˆ .
(d) −(σ/ǫ0)zˆ, −(3σ/ǫ0)zˆ, (σ/ǫ0)zˆ .
(e) −[σ/(2ǫ0)]zˆ, [−3σ/(2ǫ0)]zˆ, [σ/(2ǫ0)]zˆ .
7. Para uma casca esfe´rica condutora, de raio
interno a e raio externo b, com centro no ponto P
e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q.
Em seguida, uma part´ıcula (pontual) de carga 9q
e´ colocada no ponto P . Quais sa˜o as expresso˜es
corretas para as densidades superficiais de carga
sobre as superf´ıcies interna e externa da casca
condutora, nessa ordem?
(a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(b) σint = 9q/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(e) σint = (Q + 9q)/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(f) σint = (9q − Q)/(4πa2) e σext =
−9q/(4πb2).
(g) σint = −9q/(4πa2) e σext = Q/(4πb2).
Sec¸a˜o 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) (5×0,3=1,5 ponto; uma questa˜o errada anula uma correta!)
Uma esfera na˜o condutora de raio a tem uma distribuic¸a˜o de cargas uniforme no seu volume. Podemos
afirmar que o valor do potencial eletrosta´tico em um ponto na sua superf´ıcie depende da escolha da origem
do potencial.
Se o campo eletrosta´tico e´ zero em toda uma regia˜o, enta˜o o potencial eletrosta´tico e´ constante em toda
essa regia˜o.
Se o mo´dulo do vetor campo ele´trico tiver o mesmo valor em todos os pontos da superf´ıcie de um
condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, enta˜o as cargas esta˜o uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
Dado que a superf´ıcie de um condutor, em equil´ıbrio eletrosta´tico, e´ equipotencial, enta˜o as cargas esta˜o
uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
3
Se, num dado ponto, o campo eletrosta´tico e´ zero, enta˜o o potencial eletrosta´tico tambe´m vale zero
nesse ponto.
Sec¸a˜o 3. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma “casca” cil´ındrica circular muito longa (infinita), de raio interno a e raio externo b, esta´ uniformemente
carregada, com uma densidade volumar ρ (= const).
(a) Determine a sua carga por unidade de comprimento (axial). [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r > b. [0,7 ponto]
(c) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o a < r < b. [0,9 ponto]
(d) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r < a. [0,4 ponto]
4
5
2. Um fio retil´ıneo fino, de comprimento 2L, esta´ postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na
origem desse. A densidade linear de carga de tal fio e´ dada por
λ(x) = λ0|x|/L ,
onde λ0 = const.
(a) Calcule o potencial eletrosta´tico, V (x = 0, y, z = 0), para um ponto arbitra´rio do eixo cartesiano Y ,
com ordenada y > 0; fac¸a, como usual, o potencial igual a zero no infinito. [Sugesta˜o: lembre-se que, para
x > 0, temos, simplesmente, |x| = x, ao passo que, para x < 0, voceˆ deve usar que |x| = −x]. [1,2 ponto]
(b) Calcule, agora, a componente y do vetor campo ele´trico, Ey(x = 0, y, z = 0), em tal ponto. [0,8 ponto]
(c) Determine, por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto]
6
7
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos)
1. Considere um triaˆngulo equila´tero, com aresta de
comprimento a. Suponha que, em seus ve´rtices,
ha´ part´ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q,
conforme mostra a figura abaixo. Qual das opc¸o˜es
a seguir fornece corretamente o valor da carga Q,
em func¸a˜o de q, para que a energia eletrosta´tica
armazenada em tal sistema seja nula?
q −2q
Q
(a) q .
(b) −q .
(c) −2q.
(d) 2q
.
(e) Isso e´ imposs´ıvel, porque sempre se dis-
pende alguma energia para aproximar
corpos carregados.
2. Dois capacitores, de capacitaˆncias C1 e C2 = 2C1,
sa˜o ligados em se´rie a uma bateria que fornece
uma voltagem V0 ao sistema. A raza˜o, Q1/Q2,
entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e
2, e a raza˜o, V1/V2, entre as diferenc¸as de po-
tencial entre as placas dos dois capacitores sa˜o,
respectivamente:
(a) 1/2 e 1/2
(b) 1/2 e 2
(c) 1/2 e 1
(d) 1 e 2
(e) 1 e 1/2
3. Na figura a seguir, temos duas part´ıculas (pontu-
ais), com carga q e −q. Aquela de carga q esta´
envolvida por uma superf´ıcie (gaussiana) cu´bica,
com aresta de comprimento a, situando-se no cen-
tro do cubo. Um segmento de reta, tambe´m de
comprimento a, perpendicular a uma das faces do
cubo, une as duas part´ıculas. Para esse arranjo
obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo ele´trico so-
bre toda a superf´ıcie gaussiana; (II) o fluxo do
vetor campo ele´trico sobre a face do cubo situada
entre as cargas; (III) o potencial ele´trico num dos
ve´rtices (ponto P) nessa mesma face. Os valores
para essas grandezas sa˜o, na mesma ordem:
(a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0
(b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0
(c) q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0)
(e) 2q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0)
A figura a seguir refere-se a`s questo˜es 4 e 5. Ela mos-
tra, esquematicamente, uma sec¸a˜o transversal (plana)
de um objeto condutor macic¸o (de carga ele´trica
total nula), colocado em um campo eletrosta´tico
externo, apo´s atingido o equil´ıbrio eletrosta´tico.
1
4. Algumas das linhas de campo ele´trico, parcial-
mente desenhadas na figura, esta˜o erradas e na˜o
podem corresponder a uma situac¸a˜o f´ısica real.
Assinale a seguir cada linha imposs´ıvel [Atenc¸a˜o:
nesta questa˜o, pode haver mais de um item correto
e cada marcac¸a˜o errada anula uma certa! ]
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
(f) 6
(g) 7
5. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C
e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque
a opc¸a˜o que relaciona corretamente os potenciais
eletrosta´ticos nos referidos pontos:
(a) VA = VB = VC e VC = VD
(b) VA > VB > VC e VC = VD
(c) VA < VB < VC e VC = VD
(d) VA > VB > VC e VC > VD
(e) VA > VB > VC e VC < VD
(f) VA < VB < VC e VC < VD
(g) VA = VB = VC e VC < VD
6. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si-
tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0,
com densidades superficiais de carga iguais a −σ
e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale
a opc¸a˜o que indica as expresso˜es corretas para o
vetor campo ele´trico nas regio˜es (i) z < 0, (ii)
0 < z < L, e (iii) z > L, nessa ordem:
(a) 0, (σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(b) 0, −(σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(c) [σ/(2ǫ0)]zˆ, [3σ/(2ǫ0)]zˆ, −[σ/(2ǫ0)]zˆ .
(d) −(σ/ǫ0)zˆ, −(3σ/ǫ0)zˆ, (σ/ǫ0)zˆ .
(e) −[σ/(2ǫ0)]zˆ, [−3σ/(2ǫ0)]zˆ, [σ/(2ǫ0)]zˆ .
7. Para uma casca esfe´rica condutora, de raio
interno a e raio externo b, com centro no ponto P
e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q.
Em seguida, uma part´ıcula (pontual) de carga 9q
e´ colocada no ponto P . Quais sa˜o as expresso˜es
corretas para as densidades superficiais de carga
sobre as superf´ıcies interna e externa da casca
condutora, nessa ordem?
(a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(b) σint = 9q/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(e) σint = (Q + 9q)/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(f) σint = (9q − Q)/(4πa2) e σext =
−9q/(4πb2).
(g) σint = −9q/(4πa2) e σext = Q/(4πb2).
Sec¸a˜o 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) (5×0,3=1,5 ponto; uma questa˜o errada anula uma correta!)
V Uma esfera na˜o condutora de raio a tem uma distribuic¸a˜o de cargas uniforme no seu volume. Podemos
afirmar que o valor do potencial eletrosta´tico em um ponto na sua superf´ıcie depende da escolha da
origem do potencial.
V Se o campo eletrosta´tico e´ zero em toda uma regia˜o, enta˜o o potencial eletrosta´tico e´ constante em
toda essa regia˜o.
V Se o mo´dulo do vetor campo ele´trico tiver o mesmo valor em todos os pontos da superf´ıcie de um
condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, enta˜o as cargas esta˜o uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
F Dado que a superf´ıcie de um condutor, em equil´ıbrio eletrosta´tico, e´ equipotencial, enta˜o as cargas
esta˜o uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
2
F Se, num dado ponto, o campo eletrosta´tico e´ zero, enta˜o o potencial eletrosta´tico tambe´m vale zero
nesse ponto.
Sec¸a˜o 3. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma “casca” cil´ındrica circular muito longa (infinita), de raio interno a e raio externo b, esta´ uniformemente
carregada, com uma densidade volumar ρ (= const).
(a) Determine a sua carga por unidade de comprimento (axial). [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r > b. [0,7 ponto]
(c) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o a < r < b. [0,9 ponto]
(d) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r < a. [0,4 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) Como a densidade volumar de carga na casca e´ uniforme, temos que a sua carga total, no trecho
de comprimento (ou altura) h mostrado no painel (a) da figura acima, sera´ proporcional ao seu volume:
πb2h − πa2h. Mais especificamente, a carga ali contida sera´ dada por q = ρπh(b2 − a2), ou seja, a carga
por unidade de comprimento (axial ou longitudinal) e´
q
h
= πρ(b2 − a2) .
3
�
(b) Pela simetria cil´ındrica do objeto, o campo ele´trico em qualquer ponto (externo ou interno) sera´ or-
togonal ao eixo de simetria e seu mo´dulo so´ podera´ depender da distaˆncia (radial) r ate´ ele. Gaussianas
adequadas ao problema sera˜o, pois, superf´ıcies cil´ındricas circulares retas fechadas (incluindo as bases),
coaxiais com o objeto carregado. No painel (b) da figura, onde r > b, o campo sera´ ortogonal a` superf´ıcie
lateral da gaussiana, em qualquer posic¸a˜o, e paralelo a suas duas bases, em qualquer ponto delas. Destarte,∫
S
E ·nˆ dA =
∫
Slat
Er(r)dA
= Er(r)Alat
= Er(r)2πrh .
Por outro lado, a carga no interior de tal gaussiana e´, obviamente, a pro´pria carga calculada no item (a);
ou seja,
Qint = πρ(b
2 − a2)h .
Portanto, pela lei de Gauss,
Er(r)2πrh = πρ(b
2 − a2)h/ǫ0 ,
e, finalmente,
E(r) =
ρ(b2 − a2)
2ǫ0r
rˆ (r > b) .
�
(c) Na gaussiana cil´ındrica do painel (c) da figura acima, com 0 ≤ r < a, a expressa˜o para o fluxo continua
sendo Er(r)2πrh. Ja´ a carga no interior dessa nova gaussiana e´, por racioc´ınio ana´logo ao do item (a),
igual a:
Qint = ρπ(r
2 − a2)h .
Portanto, pela lei de Gauss,
E(r) =
ρ(r2 − a2)
2ǫ0r
rˆ (a ≤ r ≤ b) .
�
(d) Finalmente, na u´ltima regia˜o, representada no painel (d) da figura acima, a expressa˜o para o fluxo
mante´m-se, ainda, a mesma, mas, como a carga no interior da nova gaussiana e´ nitidamente zero, temos,
uma vez mais pela lei de Gauss,
E(r) = 0 (0 ≤ r ≤ a) .
�
2. Um fio retil´ıneo fino, de comprimento 2L, esta´ postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na
origem desse. A densidade linear de carga de tal fio e´ dada por
λ(x) = λ0|x|/L ,
onde λ0 = const.
(a) Calcule o potencial eletrosta´tico, V (x = 0, y, z = 0), para um ponto arbitra´rio do eixo cartesiano Y ,
com ordenada y > 0; fac¸a, como usual, o potencial igual a zero no infinito. [Sugesta˜o: lembre-se que, para
x > 0, temos, simplesmente, |x| = x, ao passo que, para x < 0, voceˆ deve usar que |x| = −x]. [1,2 ponto]
(b) Calcule, agora, a componente y do vetor campo ele´trico, Ey(x = 0, y, z = 0), em tal ponto. [0,8 ponto]
(c) Determine,
por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto]
Resoluc¸a˜o:
4
(a) Usamos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para o potencial. Um elemento de carga infinitesimal gene´rico do fio,
de abscissa x e comprimento dx, gera um potencial (infinitesimal), no ponto de interesse (x = 0, y, z = 0),
dado por
dV =
1
4πǫ0
dq
r
,
=
1
4πǫ0
λdℓ
r
,
=
λ0
4πǫ0L
|x|dx√
x2 + y2
.
Logo,
V =
λ0
4πǫ0L
∫ L
x=−L
|x|dx√
x2 + y2
,
=
2λ0
4πǫ0L
∫ L
x=0
xdx√
x2 + y2
,
=
λ0
4πǫ0L
∣∣∣2√x2 + y2∣∣∣L
x=0
,
ou seja,
V (x = 0, y, z = 0) =
λ0
2πǫ0L
[√
L2 + y2 − |y|
]
.
�
(b) Como, no item (a), foi calculado o potencial para um ponto gene´rico do eixo Y , temos a possibilidade
de calcular, agora, a componente y, e somente esta, via a derivada parcial, obtendo
Ey(x = 0, y, z = 0) = −∂V (x = 0, y, z = 0)
∂y
,
ou seja,
Ey(x = 0, y, z = 0) =
λ0
2πǫ0L
[
sgn(y)− y√
L2 + y2
]
,
onde
sgn(y) :=
{
1, se y > 0;
−1, se y < 0.
�
(c) Por ser uma distribuic¸a˜o linear, temos
dq = λdℓ,
= λ0
|x|
L
dx .
Logo, a carga total Q, sera´ dada por
Q =
∫ L
x=−L
λ0
|x|
L
dx ,
=
∫ 0
x=−L
λ0
−x
L
dx+
∫ L
x=0
λ0
x
L
dx ,
= 2
∫ L
x=0
λ0
x
L
dx ,
5
ou seja
Q = λ0L .
�
6
7
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2010/1
Primeira Prova (P1) – 13/05/2010
Versa˜o: B
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
Total
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de doze (12) questo˜es objetivas, perfazendo um total de 5,0 pontos, sendo sete (7) questo˜es
de mu´ltipla escolha, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, e cinco (5) questo˜es de verdadeiro ou falso,
cada uma das quais valendo 0,3 ponto, essas u´ltimas com penalizac¸a˜o tal que uma resposta
errada cancela uma correta.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
F
e
= qE , E =
1
4πǫ0
q
r2
rˆ ,
∮
S
E ·nˆ dA = Qint
ǫ0
,
∮
C
E ·dℓ = 0 , E = −∇V , U = 1
4πǫ0
qq′
r
C = Q/V
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos)
1. Considere um triaˆngulo equila´tero, com aresta de
comprimento a. Suponha que, em seus ve´rtices,
ha´ part´ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q,
conforme mostra a figura abaixo. Qual das opc¸o˜es
a seguir fornece corretamente o valor da carga Q,
em func¸a˜o de q, para que a energia eletrosta´tica
armazenada em tal sistema seja nula?
q −2q
Q
(a) q .
(b) −q .
(c) −2q.
(d) 2q .
(e) Isso e´ imposs´ıvel, porque sempre se dis-
pende alguma energia para aproximar
corpos carregados.
A figura a seguir refere-se a`s questo˜es 2 e 3. Ela mos-
tra, esquematicamente, uma sec¸a˜o transversal (plana)
de um objeto condutor macic¸o (de carga ele´trica
total nula), colocado em um campo eletrosta´tico
externo, apo´s atingido o equil´ıbrio eletrosta´tico.
2. Algumas das linhas de campo ele´trico, parcial-
mente desenhadas na figura, esta˜o erradas e na˜o
podem corresponder a uma situac¸a˜o f´ısica real.
Assinale a seguir cada linha imposs´ıvel [Atenc¸a˜o:
nesta questa˜o, pode haver mais de um item correto
e cada marcac¸a˜o errada anula uma certa! ]
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
(f) 6
(g) 7
3. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C
e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque
a opc¸a˜o que relaciona corretamente os potenciais
eletrosta´ticos nos referidos pontos:
(a) VA = VB = VC e VC = VD
(b) VA > VB > VC e VC = VD
(c) VA < VB < VC e VC = VD
(d) VA > VB > VC e VC > VD
(e) VA > VB > VC e VC < VD
(f) VA < VB < VC e VC < VD
(g) VA = VB = VC e VC < VD
4. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si-
tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0,
com densidades superficiais de carga iguais a −σ
e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale
a opc¸a˜o que indica as expresso˜es corretas para o
vetor campo ele´trico nas regio˜es (i) z < 0, (ii)
0 < z < L, e (iii) z > L, nessa ordem:
(a) 0, (σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(b) 0, −(σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(c) [σ/(2ǫ0)]zˆ, [3σ/(2ǫ0)]zˆ, −[σ/(2ǫ0)]zˆ .
(d) −(σ/ǫ0)zˆ, −(3σ/ǫ0)zˆ, (σ/ǫ0)zˆ .
(e) −[σ/(2ǫ0)]zˆ, [−3σ/(2ǫ0)]zˆ, [σ/(2ǫ0)]zˆ .
2
5. Dois capacitores, de capacitaˆncias C1 e C2 = 2C1,
sa˜o ligados em se´rie a uma bateria que fornece
uma voltagem V0 ao sistema. A raza˜o, Q1/Q2,
entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e
2, e a raza˜o, V1/V2, entre as diferenc¸as de po-
tencial entre as placas dos dois capacitores sa˜o,
respectivamente:
(a) 1/2 e 1/2
(b) 1/2 e 2
(c) 1/2 e 1
(d) 1 e 2
(e) 1 e 1/2
6. Na figura a seguir, temos duas part´ıculas (pontu-
ais), com carga q e −q. Aquela de carga q esta´
envolvida por uma superf´ıcie (gaussiana) cu´bica,
com aresta de comprimento a, situando-se no cen-
tro do cubo. Um segmento de reta, tambe´m de
comprimento a, perpendicular a uma das faces do
cubo, une as duas part´ıculas. Para esse arranjo
obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo ele´trico so-
bre toda a superf´ıcie gaussiana; (II) o fluxo do
vetor campo ele´trico sobre a face do cubo situada
entre as cargas; (III) o potencial ele´trico num dos
ve´rtices (ponto P) nessa mesma face. Os valores
para essas grandezas sa˜o, na mesma ordem:
(a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0
(b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0
(c) q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0)
(e) 2q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0)
7. Para uma casca esfe´rica condutora, de raio
interno a e raio externo b, com centro no ponto P
e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q.
Em seguida, uma part´ıcula (pontual) de carga 9q
e´ colocada no ponto P . Quais sa˜o as expresso˜es
corretas para as densidades superficiais de carga
sobre as superf´ıcies interna e externa da casca
condutora, nessa ordem?
(a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(b) σint = 9q/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(e) σint = (Q + 9q)/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(f) σint = (9q − Q)/(4πa2) e σext =
−9q/(4πb2).
(g) σint = −9q/(4πa2) e σext = Q/(4πb2).
Sec¸a˜o 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) (5×0,3=1,5 ponto; uma questa˜o errada anula uma correta!)
Se o mo´dulo do vetor campo ele´trico tiver o mesmo valor em todos os pontos da superf´ıcie de um
condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, enta˜o as cargas esta˜o uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
Dado que a superf´ıcie de um condutor, em equil´ıbrio eletrosta´tico, e´ equipotencial, enta˜o as cargas esta˜o
uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
3
Se o campo eletrosta´tico e´ zero em toda uma regia˜o, enta˜o o potencial eletrosta´tico e´ constante em toda
essa regia˜o.
Se, num dado ponto, o campo eletrosta´tico e´ zero,
enta˜o o potencial eletrosta´tico tambe´m vale zero
nesse ponto.
Uma esfera na˜o condutora de raio a tem uma distribuic¸a˜o de cargas uniforme no seu volume. Podemos
afirmar que o valor do potencial eletrosta´tico em um ponto na sua superf´ıcie depende da escolha da origem
do potencial.
Sec¸a˜o 3. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma “casca” cil´ındrica circular muito longa (infinita), de raio interno a e raio externo b, esta´ uniformemente
carregada, com uma densidade volumar ρ (= const).
(a) Determine a sua carga por unidade de comprimento (axial). [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r > b. [0,7 ponto]
(c) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o a < r < b. [0,9 ponto]
(d) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r < a. [0,4 ponto]
4
5
2. Um fio retil´ıneo fino, de comprimento 2L, esta´ postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na
origem desse. A densidade linear de carga de tal fio e´ dada por
λ(x) = λ0|x|/L ,
onde λ0 = const.
(a) Calcule o potencial eletrosta´tico, V (x = 0, y, z = 0), para um ponto arbitra´rio do eixo cartesiano Y ,
com ordenada y > 0; fac¸a, como usual, o potencial igual a zero no infinito. [Sugesta˜o: lembre-se que, para
x > 0, temos, simplesmente, |x| = x, ao passo que, para x < 0, voceˆ deve usar que |x| = −x]. [1,2 ponto]
(b) Calcule, agora, a componente y do vetor campo ele´trico, Ey(x = 0, y, z = 0), em tal ponto. [0,8 ponto]
(c) Determine, por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto]
6
7
Gabarito para Versa˜o B
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos)
1. Considere um triaˆngulo equila´tero, com aresta de
comprimento a. Suponha que, em seus ve´rtices,
ha´ part´ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q,
conforme mostra a figura abaixo. Qual das opc¸o˜es
a seguir fornece corretamente o valor da carga Q,
em func¸a˜o de q, para que a energia eletrosta´tica
armazenada em tal sistema seja nula?
q −2q
Q
(a) q .
(b) −q .
(c) −2q.
(d) 2q .
(e) Isso e´ imposs´ıvel, porque sempre se dis-
pende alguma energia para aproximar
corpos carregados.
A figura a seguir refere-se a`s questo˜es 2 e 3. Ela mos-
tra, esquematicamente, uma sec¸a˜o transversal (plana)
de um objeto condutor macic¸o (de carga ele´trica
total nula), colocado em um campo eletrosta´tico
externo, apo´s atingido o equil´ıbrio eletrosta´tico.
2. Algumas das linhas de campo ele´trico, parcial-
mente desenhadas na figura, esta˜o erradas e na˜o
podem corresponder a uma situac¸a˜o f´ısica real.
Assinale a seguir cada linha imposs´ıvel [Atenc¸a˜o:
nesta questa˜o, pode haver mais de um item correto
e cada marcac¸a˜o errada anula uma certa! ]
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
(f) 6
(g) 7
3. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C
e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque
a opc¸a˜o que relaciona corretamente os potenciais
eletrosta´ticos nos referidos pontos:
(a) VA = VB = VC e VC = VD
(b) VA > VB > VC e VC = VD
(c) VA < VB < VC e VC = VD
(d) VA > VB > VC e VC > VD
(e) VA > VB > VC e VC < VD
(f) VA < VB < VC e VC < VD
(g) VA = VB = VC e VC < VD
4. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si-
tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0,
com densidades superficiais de carga iguais a −σ
e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale
a opc¸a˜o que indica as expresso˜es corretas para o
vetor campo ele´trico nas regio˜es (i) z < 0, (ii)
0 < z < L, e (iii) z > L, nessa ordem:
(a) 0, (σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(b) 0, −(σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(c) [σ/(2ǫ0)]zˆ, [3σ/(2ǫ0)]zˆ, −[σ/(2ǫ0)]zˆ .
(d) −(σ/ǫ0)zˆ, −(3σ/ǫ0)zˆ, (σ/ǫ0)zˆ .
(e) −[σ/(2ǫ0)]zˆ, [−3σ/(2ǫ0)]zˆ, [σ/(2ǫ0)]zˆ .
1
5. Dois capacitores, de capacitaˆncias C1 e C2 = 2C1,
sa˜o ligados em se´rie a uma bateria que fornece
uma voltagem V0 ao sistema. A raza˜o, Q1/Q2,
entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e
2, e a raza˜o, V1/V2, entre as diferenc¸as de po-
tencial entre as placas dos dois capacitores sa˜o,
respectivamente:
(a) 1/2 e 1/2
(b) 1/2 e 2
(c) 1/2 e 1
(d) 1 e 2
(e) 1 e 1/2
6. Na figura a seguir, temos duas part´ıculas (pontu-
ais), com carga q e −q. Aquela de carga q esta´
envolvida por uma superf´ıcie (gaussiana) cu´bica,
com aresta de comprimento a, situando-se no cen-
tro do cubo. Um segmento de reta, tambe´m de
comprimento a, perpendicular a uma das faces do
cubo, une as duas part´ıculas. Para esse arranjo
obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo ele´trico so-
bre toda a superf´ıcie gaussiana; (II) o fluxo do
vetor campo ele´trico sobre a face do cubo situada
entre as cargas; (III) o potencial ele´trico num dos
ve´rtices (ponto P) nessa mesma face. Os valores
para essas grandezas sa˜o, na mesma ordem:
(a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0
(b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0
(c) q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0)
(e) 2q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0)
7. Para uma casca esfe´rica condutora, de raio
interno a e raio externo b, com centro no ponto P
e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q.
Em seguida, uma part´ıcula (pontual) de carga 9q
e´ colocada no ponto P . Quais sa˜o as expresso˜es
corretas para as densidades superficiais de carga
sobre as superf´ıcies interna e externa da casca
condutora, nessa ordem?
(a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(b) σint = 9q/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(e) σint = (Q + 9q)/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(f) σint = (9q − Q)/(4πa2) e σext =
−9q/(4πb2).
(g) σint = −9q/(4πa2) e σext = Q/(4πb2).
Sec¸a˜o 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) (5×0,3=1,5 ponto; uma questa˜o errada anula uma correta!)
V Se o mo´dulo do vetor campo ele´trico tiver o mesmo valor em todos os pontos da superf´ıcie de um
condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, enta˜o as cargas esta˜o uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
F Dado que a superf´ıcie de um condutor, em equil´ıbrio eletrosta´tico, e´ equipotencial, enta˜o as cargas
esta˜o uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
2
V Se o campo eletrosta´tico e´ zero em toda uma regia˜o, enta˜o o potencial eletrosta´tico e´ constante em
toda essa regia˜o.
F Se, num dado ponto, o campo eletrosta´tico e´ zero, enta˜o o potencial eletrosta´tico tambe´m vale zero
nesse ponto.
V Uma esfera na˜o condutora de raio a tem uma distribuic¸a˜o de cargas uniforme no seu volume. Podemos
afirmar que o valor do potencial eletrosta´tico em um ponto na sua superf´ıcie depende da escolha da
origem do potencial.
Sec¸a˜o 3. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma “casca” cil´ındrica circular muito longa (infinita), de raio interno a e raio externo b, esta´ uniformemente
carregada, com uma densidade volumar ρ (= const).
(a) Determine a sua carga por unidade de comprimento (axial). [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r > b. [0,7 ponto]
(c) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o a < r < b. [0,9 ponto]
(d) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r < a. [0,4 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) Como a densidade volumar de carga na casca e´ uniforme, temos que a sua carga total, no trecho
de comprimento (ou altura) h mostrado no painel (a) da figura acima, sera´ proporcional ao seu volume:
3
πb2h − πa2h. Mais especificamente, a carga ali contida sera´ dada por q = ρπh(b2 − a2), ou seja, a carga
por unidade de comprimento (axial ou longitudinal) e´
q
h
= πρ(b2 − a2) .
�
(b) Pela simetria cil´ındrica do objeto, o campo ele´trico
em qualquer ponto (externo ou interno) sera´ or-
togonal ao eixo de simetria e seu mo´dulo so´ podera´ depender da distaˆncia (radial) r ate´ ele. Gaussianas
adequadas ao problema sera˜o, pois, superf´ıcies cil´ındricas circulares retas fechadas (incluindo as bases),
coaxiais com o objeto carregado. No painel (b) da figura, onde r > b, o campo sera´ ortogonal a` superf´ıcie
lateral da gaussiana, em qualquer posic¸a˜o, e paralelo a suas duas bases, em qualquer ponto delas. Destarte,∫
S
E ·nˆ dA =
∫
Slat
Er(r)dA
= Er(r)Alat
= Er(r)2πrh .
Por outro lado, a carga no interior de tal gaussiana e´, obviamente, a pro´pria carga calculada no item (a);
ou seja,
Qint = πρ(b
2 − a2)h .
Portanto, pela lei de Gauss,
Er(r)2πrh = πρ(b
2 − a2)h/ǫ0 ,
e, finalmente,
E(r) =
ρ(b2 − a2)
2ǫ0r
rˆ (r > b) .
�
(c) Na gaussiana cil´ındrica do painel (c) da figura acima, com 0 ≤ r < a, a expressa˜o para o fluxo continua
sendo Er(r)2πrh. Ja´ a carga no interior dessa nova gaussiana e´, por racioc´ınio ana´logo ao do item (a),
igual a:
Qint = ρπ(r
2 − a2)h .
Portanto, pela lei de Gauss,
E(r) =
ρ(r2 − a2)
2ǫ0r
rˆ (a ≤ r ≤ b) .
�
(d) Finalmente, na u´ltima regia˜o, representada no painel (d) da figura acima, a expressa˜o para o fluxo
mante´m-se, ainda, a mesma, mas, como a carga no interior da nova gaussiana e´ nitidamente zero, temos,
uma vez mais pela lei de Gauss,
E(r) = 0 (0 ≤ r ≤ a) .
�
2. Um fio retil´ıneo fino, de comprimento 2L, esta´ postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na
origem desse. A densidade linear de carga de tal fio e´ dada por
λ(x) = λ0|x|/L ,
onde λ0 = const.
(a) Calcule o potencial eletrosta´tico, V (x = 0, y, z = 0), para um ponto arbitra´rio do eixo cartesiano Y ,
com ordenada y > 0; fac¸a, como usual, o potencial igual a zero no infinito. [Sugesta˜o: lembre-se que, para
x > 0, temos, simplesmente, |x| = x, ao passo que, para x < 0, voceˆ deve usar que |x| = −x]. [1,2 ponto]
4
(b) Calcule, agora, a componente y do vetor campo ele´trico, Ey(x = 0, y, z = 0), em tal ponto. [0,8 ponto]
(c) Determine, por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) Usamos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para o potencial. Um elemento de carga infinitesimal gene´rico do fio,
de abscissa x e comprimento dx, gera um potencial (infinitesimal), no ponto de interesse (x = 0, y, z = 0),
dado por
dV =
1
4πǫ0
dq
r
,
=
1
4πǫ0
λdℓ
r
,
=
λ0
4πǫ0L
|x|dx√
x2 + y2
.
Logo,
V =
λ0
4πǫ0L
∫ L
x=−L
|x|dx√
x2 + y2
,
=
2λ0
4πǫ0L
∫ L
x=0
xdx√
x2 + y2
,
=
λ0
4πǫ0L
∣∣∣2√x2 + y2∣∣∣L
x=0
,
ou seja,
V (x = 0, y, z = 0) =
λ0
2πǫ0L
[√
L2 + y2 − |y|
]
.
�
(b) Como, no item (a), foi calculado o potencial para um ponto gene´rico do eixo Y , temos a possibilidade
de calcular, agora, a componente y, e somente esta, via a derivada parcial, obtendo
Ey(x = 0, y, z = 0) = −∂V (x = 0, y, z = 0)
∂y
,
ou seja,
Ey(x = 0, y, z = 0) =
λ0
2πǫ0L
[
sgn(y)− y√
L2 + y2
]
,
onde
sgn(y) :=
{
1, se y > 0;
−1, se y < 0.
�
(c) Por ser uma distribuic¸a˜o linear, temos
dq = λdℓ,
= λ0
|x|
L
dx .
5
Logo, a carga total Q, sera´ dada por
Q =
∫ L
x=−L
λ0
|x|
L
dx ,
=
∫ 0
x=−L
λ0
−x
L
dx+
∫ L
x=0
λ0
x
L
dx ,
= 2
∫ L
x=0
λ0
x
L
dx ,
ou seja
Q = λ0L .
�
6
7
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2010/1
Primeira Prova (P1) – 13/05/2010
Versa˜o: C
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
Total
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de doze (12) questo˜es objetivas, perfazendo um total de 5,0 pontos, sendo sete (7) questo˜es
de mu´ltipla escolha, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, e cinco (5) questo˜es de verdadeiro ou falso,
cada uma das quais valendo 0,3 ponto, essas u´ltimas com penalizac¸a˜o tal que uma resposta
errada cancela uma correta.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
F
e
= qE , E =
1
4πǫ0
q
r2
rˆ ,
∮
S
E ·nˆ dA = Qint
ǫ0
,
∮
C
E ·dℓ = 0 , E = −∇V , U = 1
4πǫ0
qq′
r
C = Q/V
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos)
1. Dois capacitores, de capacitaˆncias C1 e C2 = 2C1,
sa˜o ligados em se´rie a uma bateria que fornece
uma voltagem V0 ao sistema. A raza˜o, Q1/Q2,
entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e
2, e a raza˜o, V1/V2, entre as diferenc¸as de po-
tencial entre as placas dos dois capacitores sa˜o,
respectivamente:
(a) 1/2 e 1/2
(b) 1/2 e 2
(c) 1/2 e 1
(d) 1 e 2
(e) 1 e 1/2
2. Considere um triaˆngulo equila´tero, com aresta de
comprimento a. Suponha que, em seus ve´rtices,
ha´ part´ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q,
conforme mostra a figura abaixo. Qual das opc¸o˜es
a seguir fornece corretamente o valor da carga Q,
em func¸a˜o de q, para que a energia eletrosta´tica
armazenada em tal sistema seja nula?
q −2q
Q
(a) q .
(b) −q .
(c) −2q.
(d) 2q .
(e) Isso e´ imposs´ıvel, porque sempre se dis-
pende alguma energia para aproximar
corpos carregados.
3. Na figura a seguir, temos duas part´ıculas (pontu-
ais), com carga q e −q. Aquela de carga q esta´
envolvida por uma superf´ıcie (gaussiana) cu´bica,
com aresta de comprimento a, situando-se no cen-
tro do cubo. Um segmento de reta, tambe´m de
comprimento a, perpendicular a uma das faces do
cubo, une as duas part´ıculas. Para esse arranjo
obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo ele´trico so-
bre toda a superf´ıcie gaussiana; (II) o fluxo do
vetor campo ele´trico sobre a face do cubo situada
entre as cargas; (III) o potencial ele´trico num dos
ve´rtices (ponto P) nessa mesma face. Os valores
para essas grandezas sa˜o, na mesma ordem:
(a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0
(b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0
(c) q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0)
(e) 2q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0)
4. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si-
tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0,
com densidades superficiais de carga iguais a −σ
e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale
a opc¸a˜o que indica as expresso˜es corretas para o
vetor campo ele´trico nas regio˜es (i) z < 0, (ii)
0 < z < L, e (iii) z > L, nessa ordem:
(a) 0, (σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(b) 0, −(σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(c) [σ/(2ǫ0)]zˆ, [3σ/(2ǫ0)]zˆ, −[σ/(2ǫ0)]zˆ .
(d) −(σ/ǫ0)zˆ, −(3σ/ǫ0)zˆ, (σ/ǫ0)zˆ .
(e) −[σ/(2ǫ0)]zˆ, [−3σ/(2ǫ0)]zˆ, [σ/(2ǫ0)]zˆ .
2
5. Para uma casca esfe´rica condutora, de raio
interno a e raio externo b, com centro no ponto P
e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q.
Em seguida, uma part´ıcula (pontual) de carga 9q
e´ colocada no ponto P . Quais sa˜o as expresso˜es
corretas para as densidades superficiais de carga
sobre as superf´ıcies interna e externa da casca
condutora, nessa ordem?
(a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(b) σint = 9q/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(e) σint = (Q + 9q)/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(f) σint = (9q − Q)/(4πa2) e σext =
−9q/(4πb2).
(g) σint = −9q/(4πa2) e σext = Q/(4πb2).
A figura a seguir refere-se a`s questo˜es 6 e 7. Ela mos-
tra, esquematicamente, uma sec¸a˜o transversal (plana)
de um objeto condutor macic¸o (de carga ele´trica
total nula), colocado em um campo eletrosta´tico
externo, apo´s atingido o equil´ıbrio eletrosta´tico.
6. Algumas das linhas de campo ele´trico, parcial-
mente desenhadas na figura, esta˜o erradas e na˜o
podem corresponder a uma situac¸a˜o f´ısica real.
Assinale a seguir cada linha imposs´ıvel [Atenc¸a˜o:
nesta questa˜o, pode haver mais de um item correto
e cada marcac¸a˜o errada anula uma certa! ]
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
(f) 6
(g) 7
7. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C
e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque
a opc¸a˜o que relaciona corretamente os potenciais
eletrosta´ticos nos referidos pontos:
(a) VA = VB = VC e VC = VD
(b) VA > VB > VC e VC = VD
(c) VA < VB < VC e VC = VD
(d) VA > VB > VC e VC > VD
(e) VA > VB > VC e VC < VD
(f) VA < VB < VC e VC < VD
(g) VA = VB = VC e VC < VD
Sec¸a˜o 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) (5×0,3=1,5 ponto; uma questa˜o errada anula uma correta!)
Se, num dado ponto, o campo eletrosta´tico e´ zero, enta˜o o potencial eletrosta´tico tambe´m vale zero
nesse ponto.
Dado que a superf´ıcie de um condutor, em equil´ıbrio eletrosta´tico, e´ equipotencial, enta˜o as cargas esta˜o
uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
Se o mo´dulo do vetor campo ele´trico tiver o mesmo valor em todos os pontos da superf´ıcie de um
condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, enta˜o as cargas esta˜o uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
3
Uma esfera na˜o condutora de raio a tem uma distribuic¸a˜o de cargas uniforme no seu volume. Podemos
afirmar que o valor do potencial eletrosta´tico em um ponto na sua superf´ıcie depende da escolha da origem
do potencial.
Se o campo eletrosta´tico e´ zero em toda uma regia˜o, enta˜o o potencial eletrosta´tico e´ constante em toda
essa regia˜o.
Sec¸a˜o 3. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma “casca” cil´ındrica circular muito longa (infinita), de raio interno a e raio externo b, esta´ uniformemente
carregada, com uma densidade volumar ρ (= const).
(a) Determine a sua carga por unidade de comprimento (axial). [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r > b. [0,7 ponto]
(c) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o a < r < b. [0,9 ponto]
(d) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r < a. [0,4 ponto]
4
5
2. Um fio retil´ıneo fino, de comprimento 2L, esta´ postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na
origem desse. A densidade linear de carga de tal fio e´ dada por
λ(x) = λ0|x|/L ,
onde λ0 = const.
(a) Calcule o potencial eletrosta´tico, V (x = 0, y, z = 0), para um ponto arbitra´rio do eixo cartesiano Y ,
com ordenada y > 0; fac¸a, como usual, o potencial igual a zero no infinito. [Sugesta˜o: lembre-se que, para
x > 0, temos, simplesmente, |x| = x, ao passo que, para x < 0, voceˆ deve usar que |x| = −x]. [1,2 ponto]
(b) Calcule, agora, a componente y do vetor campo ele´trico, Ey(x = 0, y, z = 0), em tal ponto. [0,8 ponto]
(c) Determine, por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto]
6
7
Gabarito para Versa˜o C
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos)
1. Dois capacitores, de capacitaˆncias C1 e C2 = 2C1,
sa˜o ligados em se´rie a uma bateria que fornece
uma voltagem V0 ao sistema. A raza˜o, Q1/Q2,
entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e
2, e a raza˜o, V1/V2, entre as diferenc¸as de po-
tencial entre as placas dos dois capacitores sa˜o,
respectivamente:
(a) 1/2 e 1/2
(b) 1/2 e 2
(c) 1/2 e 1
(d) 1 e 2
(e) 1 e 1/2
2. Considere um triaˆngulo equila´tero, com aresta de
comprimento a. Suponha que, em seus ve´rtices,
ha´ part´ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q,
conforme mostra a figura abaixo. Qual das opc¸o˜es
a seguir fornece corretamente o valor da carga Q,
em func¸a˜o de q, para que a energia eletrosta´tica
armazenada em tal sistema seja nula?
q −2q
Q
(a) q .
(b) −q .
(c) −2q.
(d) 2q .
(e) Isso e´ imposs´ıvel, porque sempre se dis-
pende alguma energia para aproximar
corpos carregados.
3. Na figura a seguir, temos duas part´ıculas (pontu-
ais), com carga q e −q. Aquela de carga q esta´
envolvida por uma superf´ıcie (gaussiana) cu´bica,
com aresta de comprimento a, situando-se no cen-
tro do cubo. Um segmento de reta, tambe´m de
comprimento a, perpendicular a uma das faces do
cubo, une as duas part´ıculas. Para esse arranjo
obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo ele´trico so-
bre toda a superf´ıcie gaussiana; (II) o fluxo do
vetor campo ele´trico sobre a face do cubo situada
entre as cargas; (III) o potencial ele´trico num dos
ve´rtices (ponto P) nessa mesma face. Os valores
para essas grandezas sa˜o, na mesma ordem:
(a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0
(b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0
(c) q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0)
(e) 2q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0)
4. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si-
tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0,
com densidades superficiais de carga iguais a −σ
e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale
a opc¸a˜o que indica as expresso˜es corretas para o
vetor campo ele´trico nas regio˜es (i) z < 0, (ii)
0 < z < L, e (iii) z > L, nessa ordem:
(a) 0, (σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(b) 0, −(σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(c) [σ/(2ǫ0)]zˆ, [3σ/(2ǫ0)]zˆ, −[σ/(2ǫ0)]zˆ .
(d) −(σ/ǫ0)zˆ, −(3σ/ǫ0)zˆ, (σ/ǫ0)zˆ .
(e) −[σ/(2ǫ0)]zˆ, [−3σ/(2ǫ0)]zˆ, [σ/(2ǫ0)]zˆ .
1
5. Para uma casca esfe´rica condutora, de raio
interno a e raio externo b, com centro no ponto P
e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q.
Em seguida, uma part´ıcula (pontual) de carga 9q
e´ colocada no ponto P . Quais sa˜o as expresso˜es
corretas para as densidades superficiais de carga
sobre as superf´ıcies interna e externa da casca
condutora, nessa ordem?
(a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(b) σint = 9q/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(e) σint = (Q + 9q)/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(f) σint = (9q − Q)/(4πa2) e σext =
−9q/(4πb2).
(g) σint = −9q/(4πa2) e σext = Q/(4πb2).
A figura a seguir refere-se a`s questo˜es 6 e 7. Ela mos-
tra, esquematicamente, uma sec¸a˜o transversal (plana)
de um objeto condutor macic¸o (de carga ele´trica
total nula), colocado em um campo eletrosta´tico
externo, apo´s atingido o equil´ıbrio eletrosta´tico.
6. Algumas das linhas de campo ele´trico, parcial-
mente desenhadas na figura, esta˜o erradas e na˜o
podem corresponder a uma situac¸a˜o f´ısica real.
Assinale a seguir cada linha imposs´ıvel [Atenc¸a˜o:
nesta questa˜o, pode haver mais de um item correto
e cada marcac¸a˜o errada anula uma certa! ]
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
(f) 6
(g) 7
7. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C
e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque
a opc¸a˜o que relaciona corretamente os potenciais
eletrosta´ticos nos referidos pontos:
(a) VA = VB = VC e VC = VD
(b) VA > VB > VC e VC = VD
(c) VA < VB < VC e VC = VD
(d) VA > VB > VC e VC > VD
(e) VA > VB > VC e VC < VD
(f) VA < VB < VC e VC < VD
(g) VA = VB = VC e VC < VD
Sec¸a˜o 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) (5×0,3=1,5 ponto; uma questa˜o errada anula uma correta!)
F Se, num dado ponto, o campo eletrosta´tico e´ zero, enta˜o o potencial eletrosta´tico tambe´m vale zero
nesse ponto.
F Dado que a superf´ıcie de um condutor, em equil´ıbrio eletrosta´tico, e´ equipotencial, enta˜o as cargas
esta˜o uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
V Se o mo´dulo do vetor campo ele´trico tiver o mesmo valor em todos os pontos da superf´ıcie de um
condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, enta˜o as cargas esta˜o uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
2
V Uma esfera na˜o condutora de raio a tem uma distribuic¸a˜o de cargas uniforme no seu volume. Podemos
afirmar que o valor do potencial eletrosta´tico em um ponto na sua superf´ıcie depende da escolha da
origem do potencial.
V Se o campo eletrosta´tico e´ zero em toda uma regia˜o, enta˜o o potencial eletrosta´tico e´ constante em
toda essa regia˜o.
Sec¸a˜o 3. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma “casca” cil´ındrica circular muito longa (infinita), de raio interno a e raio externo b, esta´ uniformemente
carregada, com uma densidade volumar ρ (= const).
(a) Determine a sua carga por unidade de comprimento (axial). [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r > b. [0,7 ponto]
(c) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o a < r < b. [0,9 ponto]
(d) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r < a. [0,4 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) Como a densidade volumar de carga na casca e´ uniforme, temos que a sua carga total, no trecho
de comprimento (ou altura) h mostrado no painel (a) da figura acima, sera´ proporcional ao seu volume:
3
πb2h − πa2h. Mais especificamente, a carga ali contida sera´ dada por q = ρπh(b2 − a2), ou seja, a carga
por unidade de comprimento (axial ou longitudinal) e´
q
h
= πρ(b2 − a2) .
�
(b) Pela simetria cil´ındrica do objeto, o campo ele´trico em qualquer ponto (externo ou interno) sera´ or-
togonal ao eixo de simetria e seu mo´dulo so´ podera´ depender da distaˆncia (radial) r ate´ ele. Gaussianas
adequadas ao problema sera˜o, pois, superf´ıcies cil´ındricas circulares retas fechadas (incluindo as bases),
coaxiais com o objeto carregado. No painel (b) da figura, onde r > b, o campo sera´ ortogonal a` superf´ıcie
lateral da gaussiana, em qualquer posic¸a˜o, e paralelo a suas duas bases, em qualquer ponto delas. Destarte,∫
S
E ·nˆ dA =
∫
Slat
Er(r)dA
= Er(r)Alat
= Er(r)2πrh .
Por outro lado, a carga no interior de tal gaussiana e´, obviamente, a pro´pria carga calculada no item (a);
ou seja,
Qint = πρ(b
2 − a2)h .
Portanto, pela lei de Gauss,
Er(r)2πrh = πρ(b
2 − a2)h/ǫ0 ,
e, finalmente,
E(r) =
ρ(b2 − a2)
2ǫ0r
rˆ (r > b) .
�
(c) Na gaussiana cil´ındrica do painel (c) da figura acima, com 0 ≤ r < a, a expressa˜o para o fluxo continua
sendo Er(r)2πrh. Ja´ a carga no interior dessa nova gaussiana e´, por racioc´ınio ana´logo ao do item (a),
igual a:
Qint = ρπ(r
2 − a2)h .
Portanto, pela lei de Gauss,
E(r) =
ρ(r2 − a2)
2ǫ0r
rˆ (a ≤ r ≤ b) .
�
(d) Finalmente, na u´ltima regia˜o, representada no painel (d) da figura acima, a expressa˜o para o fluxo
mante´m-se, ainda, a mesma, mas, como a carga no interior da nova gaussiana e´ nitidamente zero, temos,
uma vez mais pela lei de Gauss,
E(r) = 0 (0 ≤ r ≤ a) .
�
2. Um fio retil´ıneo fino, de comprimento 2L, esta´ postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na
origem desse. A densidade linear de carga de tal fio e´ dada por
λ(x) = λ0|x|/L ,
onde λ0 = const.
(a) Calcule o potencial eletrosta´tico, V (x = 0, y, z = 0), para um ponto arbitra´rio do eixo cartesiano Y ,
com ordenada y > 0; fac¸a, como usual, o potencial igual a zero no infinito. [Sugesta˜o: lembre-se que, para
x > 0, temos, simplesmente, |x| = x, ao passo que, para x < 0, voceˆ deve usar que |x| = −x]. [1,2 ponto]
4
(b) Calcule, agora, a componente y do vetor campo ele´trico, Ey(x = 0, y, z = 0), em tal ponto. [0,8 ponto]
(c) Determine, por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) Usamos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para o potencial. Um elemento de carga infinitesimal gene´rico do fio,
de abscissa x e comprimento dx, gera um potencial (infinitesimal), no ponto de interesse (x = 0, y, z = 0),
dado por
dV =
1
4πǫ0
dq
r
,
=
1
4πǫ0
λdℓ
r
,
=
λ0
4πǫ0L
|x|dx√
x2 + y2
.
Logo,
V =
λ0
4πǫ0L
∫ L
x=−L
|x|dx√
x2 + y2
,
=
2λ0
4πǫ0L
∫ L
x=0
xdx√
x2 + y2
,
=
λ0
4πǫ0L
∣∣∣2√x2 + y2∣∣∣L
x=0
,
ou seja,
V (x = 0, y, z = 0) =
λ0
2πǫ0L
[√
L2 + y2 − |y|
]
.
�
(b) Como, no item (a), foi calculado o potencial para um ponto gene´rico do eixo Y , temos a possibilidade
de calcular, agora, a componente y, e somente esta, via a derivada parcial, obtendo
Ey(x = 0, y, z = 0) = −∂V (x = 0, y, z = 0)
∂y
,
ou seja,
Ey(x = 0, y, z = 0) =
λ0
2πǫ0L
[
sgn(y)− y√
L2 + y2
]
,
onde
sgn(y) :=
{
1, se y > 0;
−1, se y < 0.
�
(c) Por ser uma distribuic¸a˜o linear, temos
dq = λdℓ,
= λ0
|x|
L
dx .
5
Logo, a carga total Q, sera´ dada por
Q =
∫ L
x=−L
λ0
|x|
L
dx ,
=
∫ 0
x=−L
λ0
−x
L
dx+
∫ L
x=0
λ0
x
L
dx ,
= 2
∫ L
x=0
λ0
x
L
dx ,
ou seja
Q = λ0L .
�
6
7
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2010/1
Primeira Prova (P1) – 13/05/2010
Versa˜o: D
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
Total
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de doze (12) questo˜es objetivas, perfazendo um total de 5,0 pontos, sendo sete (7) questo˜es
de mu´ltipla escolha, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, e cinco (5) questo˜es de verdadeiro ou falso,
cada uma das quais valendo 0,3 ponto, essas u´ltimas com penalizac¸a˜o tal que uma resposta
errada cancela uma correta.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
F
e
= qE , E =
1
4πǫ0
q
r2
rˆ ,
∮
S
E ·nˆ dA = Qint
ǫ0
,
∮
C
E ·dℓ = 0 , E = −∇V , U = 1
4πǫ0
qq′
r
C = Q/V
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos)
1. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si-
tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0,
com densidades superficiais de carga iguais a −σ
e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale
a opc¸a˜o que indica as expresso˜es corretas para o
vetor campo ele´trico nas regio˜es (i) z < 0, (ii)
0 < z < L, e (iii) z > L, nessa ordem:
(a) 0, (σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(b) 0, −(σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(c) [σ/(2ǫ0)]zˆ, [3σ/(2ǫ0)]zˆ, −[σ/(2ǫ0)]zˆ .
(d) −(σ/ǫ0)zˆ, −(3σ/ǫ0)zˆ, (σ/ǫ0)zˆ .
(e) −[σ/(2ǫ0)]zˆ,
[−3σ/(2ǫ0)]zˆ, [σ/(2ǫ0)]zˆ .
2. Para uma casca esfe´rica condutora, de raio
interno a e raio externo b, com centro no ponto P
e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q.
Em seguida, uma part´ıcula (pontual) de carga 9q
e´ colocada no ponto P . Quais sa˜o as expresso˜es
corretas para as densidades superficiais de carga
sobre as superf´ıcies interna e externa da casca
condutora, nessa ordem?
(a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(b) σint = 9q/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(e) σint = (Q + 9q)/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(f) σint = (9q − Q)/(4πa2) e σext =
−9q/(4πb2).
(g) σint = −9q/(4πa2) e σext = Q/(4πb2).
A figura a seguir refere-se a`s questo˜es 3 e 4. Ela mos-
tra, esquematicamente, uma sec¸a˜o transversal (plana)
de um objeto condutor macic¸o (de carga ele´trica
total nula), colocado em um campo eletrosta´tico
externo, apo´s atingido o equil´ıbrio eletrosta´tico.
3. Algumas das linhas de campo ele´trico, parcial-
mente desenhadas na figura, esta˜o erradas e na˜o
podem corresponder a uma situac¸a˜o f´ısica real.
Assinale a seguir cada linha imposs´ıvel [Atenc¸a˜o:
nesta questa˜o, pode haver mais de um item correto
e cada marcac¸a˜o errada anula uma certa! ]
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
(f) 6
(g) 7
4. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C
e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque
a opc¸a˜o que relaciona corretamente os potenciais
eletrosta´ticos nos referidos pontos:
(a) VA = VB = VC e VC = VD
(b) VA > VB > VC e VC = VD
(c) VA < VB < VC e VC = VD
(d) VA > VB > VC e VC > VD
(e) VA > VB > VC e VC < VD
(f) VA < VB < VC e VC < VD
(g) VA = VB = VC e VC < VD
2
5. Considere um triaˆngulo equila´tero, com aresta de
comprimento a. Suponha que, em seus ve´rtices,
ha´ part´ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q,
conforme mostra a figura abaixo. Qual das opc¸o˜es
a seguir fornece corretamente o valor da carga Q,
em func¸a˜o de q, para que a energia eletrosta´tica
armazenada em tal sistema seja nula?
q −2q
Q
(a) q .
(b) −q .
(c) −2q.
(d) 2q .
(e) Isso e´ imposs´ıvel, porque sempre se dis-
pende alguma energia para aproximar
corpos carregados.
6. Dois capacitores, de capacitaˆncias C1 e C2 = 2C1,
sa˜o ligados em se´rie a uma bateria que fornece
uma voltagem V0 ao sistema. A raza˜o, Q1/Q2,
entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e
2, e a raza˜o, V1/V2, entre as diferenc¸as de po-
tencial entre as placas dos dois capacitores sa˜o,
respectivamente:
(a) 1/2 e 1/2
(b) 1/2 e 2
(c) 1/2 e 1
(d) 1 e 2
(e) 1 e 1/2
7. Na figura a seguir, temos duas part´ıculas (pontu-
ais), com carga q e −q. Aquela de carga q esta´
envolvida por uma superf´ıcie (gaussiana) cu´bica,
com aresta de comprimento a, situando-se no cen-
tro do cubo. Um segmento de reta, tambe´m de
comprimento a, perpendicular a uma das faces do
cubo, une as duas part´ıculas. Para esse arranjo
obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo ele´trico so-
bre toda a superf´ıcie gaussiana; (II) o fluxo do
vetor campo ele´trico sobre a face do cubo situada
entre as cargas; (III) o potencial ele´trico num dos
ve´rtices (ponto P) nessa mesma face. Os valores
para essas grandezas sa˜o, na mesma ordem:
(a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0
(b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0
(c) q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0)
(e) 2q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0)
Sec¸a˜o 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) (5×0,3=1,5 ponto; uma questa˜o errada anula uma correta!)
Uma esfera na˜o condutora de raio a tem uma distribuic¸a˜o de cargas uniforme no seu volume. Podemos
afirmar que o valor do potencial eletrosta´tico em um ponto na sua superf´ıcie depende da escolha da origem
do potencial.
Se o campo eletrosta´tico e´ zero em toda uma regia˜o, enta˜o o potencial eletrosta´tico e´ constante em toda
essa regia˜o.
Dado que a superf´ıcie de um condutor, em equil´ıbrio eletrosta´tico, e´ equipotencial, enta˜o as cargas esta˜o
uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
Se, num dado ponto, o campo eletrosta´tico e´ zero, enta˜o o potencial eletrosta´tico tambe´m vale zero
nesse ponto.
Se o mo´dulo do vetor campo ele´trico tiver o mesmo valor em todos os pontos da superf´ıcie de um
condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, enta˜o as cargas esta˜o uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
3
Sec¸a˜o 3. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma “casca” cil´ındrica circular muito longa (infinita), de raio interno a e raio externo b, esta´ uniformemente
carregada, com uma densidade volumar ρ (= const).
(a) Determine a sua carga por unidade de comprimento (axial). [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r > b. [0,7 ponto]
(c) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o a < r < b. [0,9 ponto]
(d) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r < a. [0,4 ponto]
4
5
2. Um fio retil´ıneo fino, de comprimento 2L, esta´ postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na
origem desse. A densidade linear de carga de tal fio e´ dada por
λ(x) = λ0|x|/L ,
onde λ0 = const.
(a) Calcule o potencial eletrosta´tico, V (x = 0, y, z = 0), para um ponto arbitra´rio do eixo cartesiano Y ,
com ordenada y > 0; fac¸a, como usual, o potencial igual a zero no infinito. [Sugesta˜o: lembre-se que, para
x > 0, temos, simplesmente, |x| = x, ao passo que, para x < 0, voceˆ deve usar que |x| = −x]. [1,2 ponto]
(b) Calcule, agora, a componente y do vetor campo ele´trico, Ey(x = 0, y, z = 0), em tal ponto. [0,8 ponto]
(c) Determine, por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto]
6
7
Gabarito para Versa˜o D
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos)
1. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si-
tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0,
com densidades superficiais de carga iguais a −σ
e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale
a opc¸a˜o que indica as expresso˜es corretas para o
vetor campo ele´trico nas regio˜es (i) z < 0, (ii)
0 < z < L, e (iii) z > L, nessa ordem:
(a) 0, (σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(b) 0, −(σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(c) [σ/(2ǫ0)]zˆ, [3σ/(2ǫ0)]zˆ, −[σ/(2ǫ0)]zˆ .
(d) −(σ/ǫ0)zˆ, −(3σ/ǫ0)zˆ, (σ/ǫ0)zˆ .
(e) −[σ/(2ǫ0)]zˆ, [−3σ/(2ǫ0)]zˆ, [σ/(2ǫ0)]zˆ .
2. Para uma casca esfe´rica condutora, de raio
interno a e raio externo b, com centro no ponto P
e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q.
Em seguida, uma part´ıcula (pontual) de carga 9q
e´ colocada no ponto P . Quais sa˜o as expresso˜es
corretas para as densidades superficiais de carga
sobre as superf´ıcies interna e externa da casca
condutora, nessa ordem?
(a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(b) σint = 9q/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q +
9q)/(4πb2).
(e) σint = (Q + 9q)/(4πa
2) e σext = (Q −
9q)/(4πb2).
(f) σint = (9q − Q)/(4πa2) e σext =
−9q/(4πb2).
(g) σint = −9q/(4πa2) e σext = Q/(4πb2).
A figura a seguir refere-se a`s questo˜es 3 e 4. Ela mos-
tra, esquematicamente, uma sec¸a˜o transversal (plana)
de um objeto condutor macic¸o (de carga ele´trica
total nula), colocado em um campo eletrosta´tico
externo, apo´s atingido o equil´ıbrio eletrosta´tico.
3. Algumas das linhas de campo ele´trico, parcial-
mente desenhadas na figura, esta˜o erradas e na˜o
podem corresponder a uma situac¸a˜o f´ısica real.
Assinale a seguir cada linha imposs´ıvel [Atenc¸a˜o:
nesta questa˜o, pode haver mais de um item correto
e cada marcac¸a˜o errada anula uma certa! ]
(a)
1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
(f) 6
(g) 7
4. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C
e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque
a opc¸a˜o que relaciona corretamente os potenciais
eletrosta´ticos nos referidos pontos:
(a) VA = VB = VC e VC = VD
(b) VA > VB > VC e VC = VD
(c) VA < VB < VC e VC = VD
(d) VA > VB > VC e VC > VD
(e) VA > VB > VC e VC < VD
(f) VA < VB < VC e VC < VD
(g) VA = VB = VC e VC < VD
1
5. Considere um triaˆngulo equila´tero, com aresta de
comprimento a. Suponha que, em seus ve´rtices,
ha´ part´ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q,
conforme mostra a figura abaixo. Qual das opc¸o˜es
a seguir fornece corretamente o valor da carga Q,
em func¸a˜o de q, para que a energia eletrosta´tica
armazenada em tal sistema seja nula?
q −2q
Q
(a) q .
(b) −q .
(c) −2q.
(d) 2q .
(e) Isso e´ imposs´ıvel, porque sempre se dis-
pende alguma energia para aproximar
corpos carregados.
6. Dois capacitores, de capacitaˆncias C1 e C2 = 2C1,
sa˜o ligados em se´rie a uma bateria que fornece
uma voltagem V0 ao sistema. A raza˜o, Q1/Q2,
entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e
2, e a raza˜o, V1/V2, entre as diferenc¸as de po-
tencial entre as placas dos dois capacitores sa˜o,
respectivamente:
(a) 1/2 e 1/2
(b) 1/2 e 2
(c) 1/2 e 1
(d) 1 e 2
(e) 1 e 1/2
7. Na figura a seguir, temos duas part´ıculas (pontu-
ais), com carga q e −q. Aquela de carga q esta´
envolvida por uma superf´ıcie (gaussiana) cu´bica,
com aresta de comprimento a, situando-se no cen-
tro do cubo. Um segmento de reta, tambe´m de
comprimento a, perpendicular a uma das faces do
cubo, une as duas part´ıculas. Para esse arranjo
obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo ele´trico so-
bre toda a superf´ıcie gaussiana; (II) o fluxo do
vetor campo ele´trico sobre a face do cubo situada
entre as cargas; (III) o potencial ele´trico num dos
ve´rtices (ponto P) nessa mesma face. Os valores
para essas grandezas sa˜o, na mesma ordem:
(a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0
(b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0
(c) q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0)
(e) 2q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)
(f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0)
Sec¸a˜o 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) (5×0,3=1,5 ponto; uma questa˜o errada anula uma correta!)
V Uma esfera na˜o condutora de raio a tem uma distribuic¸a˜o de cargas uniforme no seu volume. Podemos
afirmar que o valor do potencial eletrosta´tico em um ponto na sua superf´ıcie depende da escolha da
origem do potencial.
V Se o campo eletrosta´tico e´ zero em toda uma regia˜o, enta˜o o potencial eletrosta´tico e´ constante em
toda essa regia˜o.
F Dado que a superf´ıcie de um condutor, em equil´ıbrio eletrosta´tico, e´ equipotencial, enta˜o as cargas
esta˜o uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
F Se, num dado ponto, o campo eletrosta´tico e´ zero, enta˜o o potencial eletrosta´tico tambe´m vale zero
nesse ponto.
V Se o mo´dulo do vetor campo ele´trico tiver o mesmo valor em todos os pontos da superf´ıcie de um
condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, enta˜o as cargas esta˜o uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.
2
Sec¸a˜o 3. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma “casca” cil´ındrica circular muito longa (infinita), de raio interno a e raio externo b, esta´ uniformemente
carregada, com uma densidade volumar ρ (= const).
(a) Determine a sua carga por unidade de comprimento (axial). [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r > b. [0,7 ponto]
(c) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o a < r < b. [0,9 ponto]
(d) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r < a. [0,4 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) Como a densidade volumar de carga na casca e´ uniforme, temos que a sua carga total, no trecho
de comprimento (ou altura) h mostrado no painel (a) da figura acima, sera´ proporcional ao seu volume:
πb2h − πa2h. Mais especificamente, a carga ali contida sera´ dada por q = ρπh(b2 − a2), ou seja, a carga
por unidade de comprimento (axial ou longitudinal) e´
q
h
= πρ(b2 − a2) .
�
(b) Pela simetria cil´ındrica do objeto, o campo ele´trico em qualquer ponto (externo ou interno) sera´ or-
togonal ao eixo de simetria e seu mo´dulo so´ podera´ depender da distaˆncia (radial) r ate´ ele. Gaussianas
3
adequadas ao problema sera˜o, pois, superf´ıcies cil´ındricas circulares retas fechadas (incluindo as bases),
coaxiais com o objeto carregado. No painel (b) da figura, onde r > b, o campo sera´ ortogonal a` superf´ıcie
lateral da gaussiana, em qualquer posic¸a˜o, e paralelo a suas duas bases, em qualquer ponto delas. Destarte,∫
S
E ·nˆ dA =
∫
Slat
Er(r)dA
= Er(r)Alat
= Er(r)2πrh .
Por outro lado, a carga no interior de tal gaussiana e´, obviamente, a pro´pria carga calculada no item (a);
ou seja,
Qint = πρ(b
2 − a2)h .
Portanto, pela lei de Gauss,
Er(r)2πrh = πρ(b
2 − a2)h/ǫ0 ,
e, finalmente,
E(r) =
ρ(b2 − a2)
2ǫ0r
rˆ (r > b) .
�
(c) Na gaussiana cil´ındrica do painel (c) da figura acima, com 0 ≤ r < a, a expressa˜o para o fluxo continua
sendo Er(r)2πrh. Ja´ a carga no interior dessa nova gaussiana e´, por racioc´ınio ana´logo ao do item (a),
igual a:
Qint = ρπ(r
2 − a2)h .
Portanto, pela lei de Gauss,
E(r) =
ρ(r2 − a2)
2ǫ0r
rˆ (a ≤ r ≤ b) .
�
(d) Finalmente, na u´ltima regia˜o, representada no painel (d) da figura acima, a expressa˜o para o fluxo
mante´m-se, ainda, a mesma, mas, como a carga no interior da nova gaussiana e´ nitidamente zero, temos,
uma vez mais pela lei de Gauss,
E(r) = 0 (0 ≤ r ≤ a) .
�
2. Um fio retil´ıneo fino, de comprimento 2L, esta´ postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na
origem desse. A densidade linear de carga de tal fio e´ dada por
λ(x) = λ0|x|/L ,
onde λ0 = const.
(a) Calcule o potencial eletrosta´tico, V (x = 0, y, z = 0), para um ponto arbitra´rio do eixo cartesiano Y ,
com ordenada y > 0; fac¸a, como usual, o potencial igual a zero no infinito. [Sugesta˜o: lembre-se que, para
x > 0, temos, simplesmente, |x| = x, ao passo que, para x < 0, voceˆ deve usar que |x| = −x]. [1,2 ponto]
(b) Calcule, agora, a componente y do vetor campo ele´trico, Ey(x = 0, y, z = 0), em tal ponto. [0,8 ponto]
(c) Determine, por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) Usamos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para o potencial. Um elemento de carga infinitesimal gene´rico do fio,
de abscissa x e comprimento dx, gera um potencial (infinitesimal), no ponto de interesse (x = 0, y, z = 0),
4
dado por
dV =
1
4πǫ0
dq
r
,
=
1
4πǫ0
λdℓ
r
,
=
λ0
4πǫ0L
|x|dx√
x2 + y2
.
Logo,
V =
λ0
4πǫ0L
∫ L
x=−L
|x|dx√
x2 + y2
,
=
2λ0
4πǫ0L
∫ L
x=0
xdx√
x2 + y2
,
=
λ0
4πǫ0L
∣∣∣2√x2 + y2∣∣∣L
x=0
,
ou seja,
V (x = 0, y, z = 0) =
λ0
2πǫ0L
[√
L2 + y2 − |y|
]
.
�
(b) Como, no item (a), foi calculado o potencial para um ponto gene´rico do eixo Y , temos a possibilidade
de calcular, agora, a componente y, e somente esta, via a derivada parcial, obtendo
Ey(x = 0, y, z = 0) = −∂V (x = 0, y, z = 0)
∂y
,
ou seja,
Ey(x = 0, y, z = 0) =
λ0
2πǫ0L
[
sgn(y)− y√
L2 + y2
]
,
onde
sgn(y) :=
{
1, se y > 0;
−1, se y < 0.
�
(c) Por ser uma distribuic¸a˜o linear, temos
dq = λdℓ,
= λ0
|x|
L
dx .
Logo, a carga total Q, sera´ dada por
Q =
∫ L
x=−L
λ0
|x|
L
dx ,
=
∫ 0
x=−L
λ0
−x
L
dx+
∫ L
x=0
λ0
x
L
dx ,
= 2
∫ L
x=0
λ0
x
L
dx ,
5
ou seja
Q = λ0L .
�
6
7
Provas Antigas - Física 3/P1-2010.2.pdf
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2010/2
Primeira Prova (P1) – 21/10/2010
Versa˜o: A
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
Total
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, consitut´ıda por dez (10) questo˜es objetivas
(de mu´ltipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizac¸a˜o por questa˜o errada.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
F
e
= qE , E =
1
4pi�0
q
r2
rˆ ,
∮
S
E ·dA = Qint
�0
,
∮
C
E ·d` = 0 , E = −∇V , U = 1
4pi�0
qq′
r
C = Q/V , E =
E0
K
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5=5,0 pontos)
1. Considere o seguinte corte perpendicular a uma
famı´lia de quatro superf´ıcies equipotenciais, asso-
ciadas a um campo eletrosta´tico. Assinale a opc¸a˜o
que melhor indica o vetor campo ele´trico em cada
um dos pontos A e B, respectivamente.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
2. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) em um
ponto qualquer do interior de um condutor em
equil´ıbrio eletrosta´tico, o campo ele´trico e´ sem-
pre nulo; (II) em um ponto qualquer do inte-
rior de um isolante, o campo ele´trico e´ sempre
nulo; (III) se o fluxo do campo ele´trico resul-
tante atrave´s de uma superf´ıcie fechada (gaussi-
ana) for zero, enta˜o na˜o existem part´ıculas carre-
gadas no interior dessa superf´ıcie; (IV) para to-
dos os pontos (internos e na superf´ıcie) de um
condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico o potencial e´
o mesmo. Dessas afirmac¸o˜es, quais sa˜o todas as
corretas?
(a) I, IV .
(b) I .
(c) III .
(d) IV .
(e) I, III, IV .
3. Um fio retil´ıneo, fino, muito longo, possui densi-
dade linear de carga constante λ. Ao deslocarmos
uma part´ıcula de carga q0, desde um ponto a uma
distaˆncia a ate´ um outro ponto a uma distaˆncia
b de tal fio, qual e´ o trabalho realizado pela forc¸a
ele´trica do fio sobre a part´ıcula?
(a)
q0λ
2pi�0
ln(a/b) .
(b)
q0λ
2pi�0
ln(b/a) .
(c)
q0λ
4pi�0
a
b
.
(d)
q0λ
4pi�0
b
a
.
(e)
q0λ
2pi�0
b− a
ab
.
4. Em um hepta´gono regular, cuja distaˆncia do cen-
tro a um dos ve´rtices e´ L, seis de seus ve´rtices
esta˜o ocupados por part´ıculas (imo´veis) com a
mesma carga q. Qual e´ a forc¸a eletrosta´tica sobre
uma part´ıcula (imo´vel) de carga −q colocada em
seu centro?
(a)
1
4pi�0
q2
L2
xˆ .
(b) − 1
4pi�0
q2
L2
xˆ .
(c) − 1
4pi�0
√
2q2
L2
xˆ .
(d) − 1
4pi�0
√
3q2
L2
xˆ .
(e) − 1
4pi�0
√
8q2
L2
xˆ .
2
5. Deseja-se conectar um capacitor de 4 µF a outro
de 8 µF. Com qual tipo de ligac¸a˜o o capacitor de 4
µF tera´ uma diferenc¸a de potencial maior atrave´s
dele do que o capacitor de 8 µF? Com qual tipo
de ligac¸a˜o o capacitor de 4 µF tera´ um mo´dulo de
carga maior em cada placa do que o capacitor de
8 µF?
(a) Em se´rie. Em se´rie.
(b) Em paralelo. Em paralelo.
(c) Em se´rie. Em paralelo.
(d) Em paralelo. Em se´rie.
(e) Em se´rie. Nem em se´rie nem em paralelo.
6. Um anel circular, fino, de raio R, esta´ disposto no
plano XY , com centro na origem. Nele, ha´ uma
densidade linear de carga λ(θ) = λ0|sen θ| , onde θ
e´ o tradicional aˆngulo polar e λ0 e´ uma constante.
Qual e´ a carga total de tal anel?
(a) 0 .
(b) λ0R .
(c) piλ0R
2 .
(d) 2piλ0R .
(e) 4λ0R .
7. Num acelerador de part´ıculas, temos dois feixes
parelelos, um de pro´tons e outro de ele´trons,
com a mesma densidade nume´rica de part´ıculas
[(nu´mero de part´ıculas)/volume], n. Os pro´tons
movem-se no sentido xˆ e os ele´trons no sen-
tido oposto, ambos com velocidade de mo´dulo
v. Qual e´ o vetor densidade de corrente nessa
situac¸a˜o?
(a) −2envxˆ .
(b) −envxˆ .
(c) 0 .
(d) 2envxˆ .
(e) envxˆ .
8. Um sistema de quatro part´ıculas carregadas,
imo´veis, esta´ representado na figura abaixo,
sendo duas delas sabidamente negativas (q < 0).
Treˆs dessas part´ıculas constituem um triaˆngulo
iso´sceles, conforme marcado na figura. Levando
em conta que a forc¸a ele´trica resultante sobre
a part´ıcula de carga q de tal triaˆngulo e´ zero,
assinale a opc¸a˜o na qual consta uma afirmac¸a˜o
correta sobre o fluxo do campo ele´trico resultante
atrave´s da superf´ıcie S, ΦE [S].
(a) ΦE [S] > 0 .
(b) ΦE [S] = 0 .
(c) ΦE [S] < 0 .
(d) Nada se pode afirmar sobre ΦE [S] .
9. Duas cascas esfe´ricas, finas, conceˆntricas pos-
suem, inicialmente, carga −20 C na casca externa
e 10 C na interna. Num certo instante, a casca
externa e´ aterrada. Assinale o que ocorre com o
sistema.
(a) Pro´tons sa˜o deslocados da Terra para a
casca externa, ate´ neutralizar a casca ex-
terna.
(b) Ele´trons sa˜o deslocados da Terra para a
casca externa.
(c) Ele´trons sa˜o deslocados da casca externa
para a Terra, ate´ neutralizar a casca ex-
terna.
(d) Pro´tons sa˜o deslocados da casca externa
para a Terra.
(e) Ele´trons sa˜o deslocados da casca externa
para a Terra, ate´ que a casca externa te-
nha carga −10 C.
3
10. Considere os seguintes sistemas carregados: (I) fio
retil´ıneo, fino, finito, uniforme; (II) fio retil´ıneo,
fino, finito, na˜o uniforme; (III) fio retil´ıneo, fino,
infinito, na˜o uniforme; (IV) anel circular, fino,
uniforme; (V) bola (esfe´rica), so´lida, com densi-
dade de carga variando so´ com a distaˆncia ate´ o
centro. Qual a opc¸a˜o que indica, desses sistemas,
aquele(s) para o(s) qual(is) pode-se aplicar a lei
de Gauss a fim de deduzir uma expressa˜o anal´ıtica
expl´ıcita para o campo ele´trico resultante?
(a) IV.
(b) V.
(c) I, IV.
(d) I, V.
(e) IV, V.
(f) I, IV, V.
4
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Um anel circular, muito fino, de raio R, encontra-
se em repouso no plano XY , com seu centro na ori-
gem. Tal anel possui carga total Q, uniformemente
distribu´ıda.
(a) Calcule o vetor campo ele´trico (mo´dulo, direc¸a˜o e
sentido) devido a tal anel num ponto do eixo Z, com
cota arbitra´ria z. [1,5 ponto]
(b) Considere agora um basta˜o retil´ıneo, muito fino,
em repouso, situado no eixo Z, entre z = a > 0 e
z = b > a. Tal basta˜o tambe´m possui carga total Q,
uniformemente distribu´ıda. Calcule o vetor forc¸a ele-
trosta´tica sobre tal basta˜o devido ao anel (Sugesta˜o:
a forc¸a sobre o basta˜o constitui-se da soma vetorial
das forc¸as sobre cada elemento infinitesimal do basta˜o
carregado). [1,0 ponto]
5
6
2. Uma bola esfe´rica, condutora, so´lida, em equil´ıbrio
eletrosta´tico, de raio a, possui carga total Q. Tal bola
e´ circundada por uma coroa esfe´rica, isolante (de cons-
tante diele´trica K), de raios interno a e externo b > a,
com uma carga total −Q, uniformemente distribu´ıda
(pelo interior da coroa).
(a) Calcule o vetor campo ele´trico resultante
(mo´dulo,
direc¸a˜o e sentido) nas treˆs regio˜es: (I) 0 < r < a; (II)
a < r < b; (III) b < r <∞. [1,0 ponto]
(b) Calcule o potencial ele´trico resultante nas treˆs
regio˜es acima mencionadas, fazendo-o zero no infinito.
[1,5 ponto]
7
8
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5=5,0 pontos)
1. Considere o seguinte corte perpendicular a uma
famı´lia de quatro superf´ıcies equipotenciais, asso-
ciadas a um campo eletrosta´tico. Assinale a opc¸a˜o
que melhor indica o vetor campo ele´trico em cada
um dos pontos A e B, respectivamente.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
2. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) em um
ponto qualquer do interior de um condutor em
equil´ıbrio eletrosta´tico, o campo ele´trico e´ sem-
pre nulo; (II) em um ponto qualquer do inte-
rior de um isolante, o campo ele´trico e´ sempre
nulo; (III) se o fluxo do campo ele´trico resul-
tante atrave´s de uma superf´ıcie fechada (gaussi-
ana) for zero, enta˜o na˜o existem part´ıculas carre-
gadas no interior dessa superf´ıcie; (IV) para to-
dos os pontos (internos e na superf´ıcie) de um
condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico o potencial e´
o mesmo. Dessas afirmac¸o˜es, quais sa˜o todas as
corretas?
(a) I, IV .
(b) I .
(c) III .
(d) IV .
(e) I, III, IV .
3. Um fio retil´ıneo, fino, muito longo, possui densi-
dade linear de carga constante λ. Ao deslocarmos
uma part´ıcula de carga q0, desde um ponto a uma
distaˆncia a ate´ um outro ponto a uma distaˆncia
b de tal fio, qual e´ o trabalho realizado pela forc¸a
ele´trica do fio sobre a part´ıcula?
(a)
q0λ
2pi�0
ln(a/b) .
(b)
q0λ
2pi�0
ln(b/a) .
(c)
q0λ
4pi�0
a
b
.
(d)
q0λ
4pi�0
b
a
.
(e)
q0λ
2pi�0
b− a
ab
.
1
4. Em um hepta´gono regular, cuja distaˆncia do cen-
tro a um dos ve´rtices e´ L, seis de seus ve´rtices
esta˜o ocupados por part´ıculas (imo´veis) com a
mesma carga q. Qual e´ a forc¸a eletrosta´tica sobre
uma part´ıcula (imo´vel) de carga −q colocada em
seu centro?
(a)
1
4pi�0
q2
L2
xˆ .
(b) − 1
4pi�0
q2
L2
xˆ .
(c) − 1
4pi�0
√
2q2
L2
xˆ .
(d) − 1
4pi�0
√
3q2
L2
xˆ .
(e) − 1
4pi�0
√
8q2
L2
xˆ .
5. Deseja-se conectar um capacitor de 4 µF a outro
de 8 µF. Com qual tipo de ligac¸a˜o o capacitor de 4
µF tera´ uma diferenc¸a de potencial maior atrave´s
dele do que o capacitor de 8 µF? Com qual tipo
de ligac¸a˜o o capacitor de 4 µF tera´ um mo´dulo de
carga maior em cada placa do que o capacitor de
8 µF?
(a) Em se´rie. Em se´rie.
(b) Em paralelo. Em paralelo.
(c) Em se´rie. Em paralelo.
(d) Em paralelo. Em se´rie.
(e) Em se´rie. Nem em se´rie nem em paralelo.
6. Um anel circular, fino, de raio R, esta´ disposto no
plano XY , com centro na origem. Nele, ha´ uma
densidade linear de carga λ(θ) = λ0|sen θ| , onde θ
e´ o tradicional aˆngulo polar e λ0 e´ uma constante.
Qual e´ a carga total de tal anel?
(a) 0 .
(b) λ0R .
(c) piλ0R
2 .
(d) 2piλ0R .
(e) 4λ0R .
7. Num acelerador de part´ıculas, temos dois feixes
parelelos, um de pro´tons e outro de ele´trons,
com a mesma densidade nume´rica de part´ıculas
[(nu´mero de part´ıculas)/volume], n. Os pro´tons
movem-se no sentido xˆ e os ele´trons no sen-
tido oposto, ambos com velocidade de mo´dulo
v. Qual e´ o vetor densidade de corrente nessa
situac¸a˜o?
(a) −2envxˆ .
(b) −envxˆ .
(c) 0 .
(d) 2envxˆ .
(e) envxˆ .
2
8. Um sistema de quatro part´ıculas carregadas,
imo´veis, esta´ representado na figura abaixo,
sendo duas delas sabidamente negativas (q < 0).
Treˆs dessas part´ıculas constituem um triaˆngulo
iso´sceles, conforme marcado na figura. Levando
em conta que a forc¸a ele´trica resultante sobre
a part´ıcula de carga q de tal triaˆngulo e´ zero,
assinale a opc¸a˜o na qual consta uma afirmac¸a˜o
correta sobre o fluxo do campo ele´trico resultante
atrave´s da superf´ıcie S, ΦE [S].
(a) ΦE [S] > 0 .
(b) ΦE [S] = 0 .
(c) ΦE [S] < 0 .
(d) Nada se pode afirmar sobre ΦE [S] .
9. Duas cascas esfe´ricas, finas, conceˆntricas pos-
suem, inicialmente, carga −20 C na casca externa
e 10 C na interna. Num certo instante, a casca
externa e´ aterrada. Assinale o que ocorre com o
sistema.
(a) Pro´tons sa˜o deslocados da Terra para a
casca externa, ate´ neutralizar a casca ex-
terna.
(b) Ele´trons sa˜o deslocados da Terra para a
casca externa.
(c) Ele´trons sa˜o deslocados da casca externa
para a Terra, ate´ neutralizar a casca ex-
terna.
(d) Pro´tons sa˜o deslocados da casca externa
para a Terra.
(e) Ele´trons sa˜o deslocados da casca externa
para a Terra, ate´ que a casca externa te-
nha carga −10 C.
10. Considere os seguintes sistemas carregados: (I) fio
retil´ıneo, fino, finito, uniforme; (II) fio retil´ıneo,
fino, finito, na˜o uniforme; (III) fio retil´ıneo, fino,
infinito, na˜o uniforme; (IV) anel circular, fino,
uniforme; (V) bola (esfe´rica), so´lida, com densi-
dade de carga variando so´ com a distaˆncia ate´ o
centro. Qual a opc¸a˜o que indica, desses sistemas,
aquele(s) para o(s) qual(is) pode-se aplicar a lei
de Gauss a fim de deduzir uma expressa˜o anal´ıtica
expl´ıcita para o campo ele´trico resultante?
(a) IV.
(b) V.
(c) I, IV.
(d) I, V.
(e) IV, V.
(f) I, IV, V.
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Um anel circular, muito fino, de raio R, encontra-
se em repouso no plano XY , com seu centro na ori-
gem. Tal anel possui carga total Q, uniformemente
distribu´ıda.
(a) Calcule o vetor campo ele´trico (mo´dulo, direc¸a˜o e
sentido) devido a tal anel num ponto do eixo Z, com
cota arbitra´ria z. [1,5 ponto]
(b) Considere agora um basta˜o retil´ıneo, muito fino,
em repouso, situado no eixo Z, entre z = a > 0 e
z = b > a. Tal basta˜o tambe´m possui carga total Q,
uniformemente distribu´ıda. Calcule o vetor forc¸a ele-
trosta´tica sobre tal basta˜o devido ao anel (Sugesta˜o:
a forc¸a sobre o basta˜o constitui-se da soma vetorial
das forc¸as sobre cada elemento infinitesimal do basta˜o
carregado). [1,0 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) Um elemento infinitesimal do anel criara´, no ponto de cota z, um campo ele´trico dado por
dE =
1
4pi�0
dq
s2
sˆ ,
onde dq e´ a carga de tal elemento infinitesimal e s e´ o raio vetor do elemento infinitesimal para o ponto no
eixo Z, cujo mo´dulo vale
√
z2 +R2.
Como, por simetria, o campo resultante devido ao anel so´ tera´ componente z, projetamos a expressa˜o acima
ao longo de zˆ, obtendo
dEz =
1
4pi�0
dq
s2
z
s
.
Logo, ja´ que, na integrac¸a˜o, z e R sa˜o constantes,
E(zzˆ) =
1
4pi�0
Qz
(z2 +R2)3/2
zˆ .
�
(b) Sobre cada elemento infinitesimal do basta˜o retil´ıneo, age uma forc¸a eletrosta´tica, devida ao anel, dada
por
dF = dqE ,
onde dq e´ a carga do elemento e E e´ o campo acima calculado. Temos, pois,
dF = λdz
1
4pi�0
Qz
(z2 +R2)3/2
zˆ
=
Q
b− a
1
4pi�0
Qz
(z2 +R2)3/2
dz zˆ
=
Q2
4pi�0(b − a)
z dz
(z2 +R2)3/2
zˆ .
Enta˜o, ja´ que, nesta nova integrac¸a˜o, R e´ constante, mas z na˜o, temos
F =
Q2
4pi�0(b− a)
∫ b
z=a
z dz
(z2 +R2)3/2
zˆ
=
Q2
8pi�0(b− a)
∫ b
z=a
d
(
z2 + R2
)
(z2 +R2)3/2
zˆ ,
4
ou seja,
F =
Q2
4pi�0(b− a)
(
1√
a2 +R2
− 1√
b2 +R2
)
zˆ .
�
2. Uma bola esfe´rica, condutora, so´lida, em equil´ıbrio
eletrosta´tico, de raio a, possui carga total Q. Tal bola
e´ circundada por uma coroa esfe´rica, isolante (de cons-
tante diele´trica K), de raios interno a e externo b > a,
com uma carga
total −Q, uniformemente distribu´ıda
(pelo interior da coroa).
(a) Calcule o vetor campo ele´trico resultante (mo´dulo,
direc¸a˜o e sentido) nas treˆs regio˜es: (I) 0 < r < a; (II)
a < r < b; (III) b < r <∞. [1,0 ponto]
(b) Calcule o potencial ele´trico resultante nas treˆs
regio˜es acima mencionadas, fazendo-o zero no infinito.
[1,5 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a)
• 0 < r < a:
Por ser uma regia˜o no interior de um condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, temos, imediatamente, pelas
pro´prias definic¸o˜es de condutor e de equil´ıbrio eletrosta´tico (independentemente da lei de Gauss!), que
E(r) = 0 .
• b < r <∞:
Por simetria esfe´rica e pela lei de Gauss, o campo na regia˜o externa e´ igual ao produzido por uma
part´ıcula de carga total Q+ (−Q) = 0, no centro de simetria; ou seja:
E(r) = 0 .
• a < r < b:
Por simetria esfe´rica e pela lei de Gauss, levando em conta o isolante, temos que o campo so´ tem
componente radial Er(r), tal que:
KEr(r)4pir
2 = Qint(r)/�0 ,
onde Qint e´ a carga no interior de uma gaussiana esfe´rica, de raio r entre a e b, conceˆntrica ao centro
de simetria. Logo, devido a` homogeneidade da carga distribu´ıda na coroa,
Qint(r) = Q−Qr
3 − a3
b3 − a3 .
5
Substituindo isso na equac¸a˜o precedente, obtemos, finalmente,
E(r) =
Q
4pi�0Kr2
[
1− r
3 − a3
b3 − a3
]
rˆ . (1)
�
(b)
• b < r <∞:
O campo ele´trico nessa regia˜o e´ zero e o potencial no infinito tambe´m; logo:
V (r) = 0 .
• a < r < b:
A integral indefinida da expressa˜o (1), com o sinal trocado, e´:
V (r) =
Q
4pi�0K(b3 − a3)
[
b3
r
+
r2
2
]
+ const .
Para determinarmos a constante, impomos a continuidade dessa func¸a˜o em r = b; ou seja, devemos
ter que, quando r = b na expressa˜o acima, o potencial deve ser zero. Logo,
V (r) =
Q
4pi�0K(b3 − a3)
[
b3
r
+
r2
2
− 3b
2
2
]
.
• 0 < r < a:
Nessa regia˜o o potencial deve ser constante e, por continuidade, temos:
V (r) =
Q
4pi�0K(b3 − a3)
[
b3
a
+
a2
2
− 3b
2
2
]
.
�
6
7
Provas Antigas - Física 3/P1-2011.1.pdf
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2011/1
Primeira Prova (P1) – 04/05/2011
Versa˜o: A
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
Total
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, consitut´ıda por dez (10) questo˜es objetivas
(de mu´ltipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizac¸a˜o por questa˜o errada.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), a primeira valendo 3,0 pontos e a segunda, 2,0 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
F
e
= qE , E =
1
4pi�0
q
r2
rˆ ,
∮
S
E ·dA =
Qint
�0
,
∮
C
E ·d` = 0 , E = −∇V , U =
1
4pi�0
qq′
r
C = Q/V , E =
E0
K
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Numa regia˜o do espac¸o de interesse, existe
um campo ele´trico constante (uniforme e esta-
ciona´rio), na direc¸a˜o e sentido de xˆ. Nessa mesma
regia˜o, temos uma superf´ıcie cu´bica abstrata, que
encerra uma part´ıcula (pontual) de carga Q > 0
localizada no seu centro. Treˆs das faces do cubo
esta˜o assinaladas na figura: as faces 1 e 3 sa˜o para-
lelas ao plano Y Z, ao passo que a face 2 e´ paralela
ao plano XZ. Em relac¸a˜o ao fluxo Φi (i = 1, 2, 3)
do campo ele´trico atrave´s de cada uma dessas fa-
ces (com orientac¸a˜o do vetor normal para fora,
como usual), qual das alternativas abaixo e´ a cor-
reta?
(a) Φ1 > Φ2 > Φ3.
(b) Φ1 > Φ2 = Φ3.
(c) Φ1 = Φ2 > Φ3.
(d) Φ1 = Φ2 = Φ3.
(e) Φ1 < Φ2 < Φ3.
2. Qual dos gra´ficos abaixo melhor representa o po-
tencial eletrosta´tico de uma esfera de raio R e
carga Q > 0 uniformemente distribu´ıda em todo
o seu interior, supondo o potencial zero no infi-
nito?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
2
3. Um capacitor de placas planas e paralelas, de a´rea
A, a distaˆncia D, e´ “recheado” por uma chapa
condutora, tambe´m de a´rea A, e espessura d < D.
A capacitaˆncia de tal capacitor e´:
(a) 2�0
A
a
.
(b) �0
A
d
.
(c) �0
A
2a
.
(d) �0
A
D
.
(e) 2�0
A
d
.
4. Treˆs ane´is circulares, de mesmo raio, cujos
quadrantes foram carregados uniformemente com
cargas positivas e negativas, de mesmo mo´dulo,
esta˜o representados na figura abaixo. Considere
as seguintes afirmac¸o˜es: (A) o campo ele´trico no
centro do anel I e´ nulo; (B) o campo ele´trico no
centro do anel II tem direc¸a˜o e sentido de −yˆ ;
(C) o campo ele´trico no centro do anel III tem
direc¸a˜o e sentido de −xˆ− yˆ .
(a) Somente a afirmac¸a˜o A esta´ correta.
(b) Somente a afirmac¸a˜o B esta´ correta.
(c) Somente a afirmac¸a˜o C esta´ correta.
(d) Somente as afirmac¸o˜es A e B esta˜o corre-
tas.
(e) Somente as afirmac¸o˜es A e C esta˜o corre-
tas.
(f) Somente as afirmac¸o˜es B e C esta˜o corre-
tas.
(g) Todas as treˆs afirmac¸o˜es (A, B e C) esta˜o
corretas.
5. Duas esferas condutoras, carregadas, de raiosR1 e
R2 esta˜o afastadas a uma distaˆncia muito grande,
de modo que o campo ele´trico na vizinhanc¸a de
cada esfera pode ser considerado como somente
devido a` distribuic¸a˜o de carga uniforme da pro´pria
esfera. As esferas esta˜o ligadas por um fio con-
dutor fino que simplesmente promove o contato
ele´trico entre elas. Se R2 = 3R1, qual e´ a
afirmac¸a˜o verdadeira?
(a) E2 = 3E1.
(b) E1 = 9E2.
(c) E2 = E1.
(d) E1 = 3E2.
(e) E2 = 9E1.
6. Uma esfera so´lida meta´lica de raio a e uma
casca esfe´rica bidimensional, de raio b > a sa˜o
conceˆntricas e esta˜o, cada uma, em equil´ıbrio ele-
trosta´tico (sem contato). Na esfera interna, existe
uma carga q, ao passo que, na casca externa,
existe uma carga −q. Qual das afirmativas abaixo
corresponde ao potencial eletrosta´tico desse sis-
tema nas regio˜es: (i) 0 ≤ r ≤ a; (ii) a ≤ r ≤ b;
(iii) b ≤ r <∞? Considere o potencial como zero
no infinito.
(a) Vi =
q
4pi�0
(
1
a
−
1
b
)
;
Vii =
q
4pi�0
(
1
r
−
1
b
)
;
Viii =
q
4pi�0
(
1
b
−
1
a
)
.
(b) Vi =
q
4pi�0
(
1
a
−
1
b
)
;
Vii =
q
4pi�0
(
1
r
−
1
b
)
; Viii = 0.
(c) Vi =
q
4pi�0
(
1
a
−
1
b
)
; Vii = 0;
Viii =
q
4pi�0
(
1
b
−
1
a
)
.
(d) Vi = 0; Vii =
q
4pi�0
(
1
r
−
1
b
)
;
Viii =
q
4pi�0
(
1
b
−
1
a
)
.
(e) Vi = 0; Vii =
q
4pi�0
(
1
r
−
1
b
)
; Viii = 0.
(f) Vi = 0; Vii = 0; Viii = 0.
3
7. A figura representa o perfil de uma placa con-
dutora de espessura d finita e demais dimenso˜es
muito maiores que d. A densidade superfi-
cial de carga σ em ambas as faces da placa e´
constante (uniforme e estaciona´ria). Conside-
rando as treˆs superf´ıcies
cil´ındricas indicadas na
figura, qual das afirmativas abaixo e´ correta?
(a) E1 > E2 > E3.
(b) E1 > E2 = E3.
(c) E1 = E2 > E3.
(d) E1 < E2 < E3.
(e) E1 = E2 = E3.
8. Duas part´ıculas (pontuais), separadas por uma
distaˆncia d, com cargas ele´tricas q1 e q2 dife-
rentes (q1 6= q2), produzem um potencial nulo
num ponto P do espac¸o. Tomando o potencial
como zero no infinito, isso significa necessaria-
mente que
(a) na˜o ha´ forc¸a ele´trica atuando sobre uma
outra part´ıcula de teste colocada no
ponto P .
(b) as cargas q1 e q2 devem ter o mesmo sinal.
(c) o trabalho para colocar a part´ıcula de
carga q1 a uma distaˆncia d da part´ıcula
de carga q2 e´ zero.
(d) o trabalho para trazer uma part´ıcula de
teste carregada, desde o infinito ate´ o
ponto P , e´ zero.
9. Temos treˆs distribuic¸o˜es na˜o homogeˆneas de
carga: (1) uma distribuic¸a˜o linear num fio de
comprimento R, cuja densidade linear de carga e´:
λ(x) = α1x (0 ≤ x ≤ R); (2) uma distribuic¸a˜o su-
perficial sobre um disco de raio R, cuja densidade
superficial e´: σ(r) = α2r (0 ≤ r ≤ R); (3) uma
distribuic¸a˜o volumar numa esfera de raio R, cuja
densidade volumar e´: ρ(r) = α3r (0 ≤ r ≤ R).
Aqui, αi (i = 1, 2, 3) sa˜o constantes. A carga total
de cada uma dessas treˆs distribuic¸o˜es e´ a mesma,
Q. Qual das afirmativas abaixo e´ a correta?
(a) α1 =
2Q
R2
; α2 =
3Q
2piR3
; α3 =
Q
piR4
.
(b) α1 =
Q
2R2
; α2 =
Q
6piR3
; α3 =
Q
16piR4
.
(c) α1 =
2Q
R2
; α2 =
Q
6piR3
; α3 =
Q
16piR4
.
(d) α1 =
2Q
R2
; α2 =
3Q2
2piR3
; α3 =
Q3
piR4
.
(e) α1 =
Q
2R2
; α2 =
Q2
6piR3
; α3 =
Q3
16piR4
.
(f) α1 = QR; α2 = QpiR
2; α3 =
Q4piR3
3
.
10. Qual das seguintes afirmativas e´ falsa?
(a) No processo de carregamento de um ca-
pacitor, cria-se um campo ele´trico entre
suas placas.
(b) O trabalho necessa´rio para se carregar
um capacitor pode ser pensado como
o trabalho necessa´rio para se criar um
campo ele´trico entre suas placas.
(c) A densidade de energia na regia˜o entre
as placas de um capacitor depende line-
armente do mo´dulo do campo ele´trico.
(d) A diferenc¸a de potencial entre as placas
de um capacitor plano-paralelo depende
linearmente do mo´dulo do campo ele´trico.
(e) Ao dobrarmos a carga em cada uma das
placas de um capacitor dado, dobramos a
diferenc¸a de potencial entre suas placas.
4
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (3,0+2,0 = 5,0 pontos)
1. [3,0 pontos] Uma esfera, de raio a e carga total Q,
possui uma densidade volumar (resultante) de carga
estaciona´ria, mas na˜o uniforme, dada por
ρ = Ar (r < a) ,
onde A e´ uma constante e r e´ a distaˆncia ate´ o
seu centro. Essa esfera esta´ envolta por uma casca
esfe´rica condutora, conceˆntrica, de raio interno b e
raio externo c, com carga total −2Q, em equil´ırio ele-
trosta´tico (cf. figura ao lado).
(a) Expresse a constante A como func¸a˜o de a e Q. [0,3
ponto]
(b) Quais sa˜o as densidades superficiais de carga na
casca esfe´rica condutora? [0,3 ponto]
(c) Determine o campo ele´trico nas quatro regio˜es:
(I) 0 ≤ r ≤ a, (II) a ≤ r < b, (III) b < r < c, e (IV)
c < r <∞. [1,2 ponto]
(d) Determine o potencial eletrosta´tico nas quatro
regio˜es supracitadas, tomando-o como zero no infi-
nito. [1,2 ponto]
5
6
2. [2,0 pontos] Um capacitor plano-paralelo tem placas
ideˆnticas de a´rea A, cada uma, com separac¸a˜o L en-
tre elas (cf. parte superior da figura ao lado). Numa
primeira etapa, tal capacitor e´ ligado a uma bateria
ate´ atingir um mo´dulo de diferenc¸a de potencial V0
entre suas placas e, imediatamente, desconectado da
bateria.
(a) Determine o mo´dulo E0 do campo ele´trico e a
energia eletrosta´tica armazenada U0. [0,5 ponto]
Numa segunda etapa, um isolante de constante
diele´trica K e´ inserido no capacitor, preenchendo pela
metade a regia˜o entre suas placas, conforme mostrado
na parte inferior da figura ao lado.
(b) Determine o mo´dulo V da nova diferenc¸a de po-
tencial entre as placas. [0,5 ponto]
(c) Determine o mo´dulo Ei (i = 1, 2) do novo campo
ele´trico em cada uma das duas “metades” (1 e 2) en-
tre as placas. [0,5 ponto]
(d) Determine a nova energia eletrosta´tica armaze-
nada U . [0,5 ponto]
7
8
9
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. (e)
2. (a)
3. (c)
4. (g)
5. (d)
6. (b)
7. (e)
8. (d)
9. (a)
10. (c)
1
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (3,0+2,0 = 5,0 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Por simetria esfe´rica, temos que a carga total, informada como sendo Q, para a esfera interna, de raio
a, deve ser dada por
Q =
∫ a
r=0
ρ(r)4pir2dr
= 4piA
∫ a
r=0
r3dr
= piAa4 .
Logo,
A =
Q
pia4
. (1)
�
(b) Como a casca esfe´rica encontra-se em equil´ıbrio eletrosta´tico, so´ pode haver densidades superficiais de
carga (se for o caso), em suas superf´ıcies interna e externa. Concretamente, como consequ¨eˆncia imediata
da lei de Gauss aplicada para uma gaussiana ligeiramente maior que a superf´ıcie interna da casca, de raio
b, necessariamente a´ı deve surgir uma densidade superficial igual a
σb = −
Q
4pib2
.
Portanto, devido a` informac¸a˜o de que ha´ uma carga total −2Q na casca (que se conserva no processo de
redistribuic¸a˜o das cargas na casca ate´ o alcance do equil´ıbrio), surgira´ uma densidade superficial na sua
superf´ıcie externa, de raio c, igual a
σc = −
Q
4pic2
.
�
(c)
• 0 ≤ r ≤ a:
Devido a` simetria esfe´rica, sabemos que o campo ele´trico dentro da esfera (e, na verdade, em qualquer
ponto do espac¸o, mesmo nas outras treˆs regio˜es), so´ pode ter componente radial, sendo essa dependente
somente da distaˆncia r, ou seja:
E(r) = Er(r) rˆ ,
onde, e´ claro, r = rrˆ. Destarte, somos levados a usar a lei de Gauss para calcular tal campo,
escolhendo como gaussiana uma superf´ıcie esfe´rica, conceˆntrica com a esfera interna, de raio a, e tendo
(a gaussiana) raio gene´rico r, tal que, obviamente, 0 ≤ r ≤ a. Com isso, o fluxo do campo ele´trico
2
pode-se expressar como
ΦE [S] :=
∫
S
E · nˆdA
=
∫
S
Er(r)rˆ · nˆdA
=
∫
S
Er(r)rˆ · rˆdA
=
∫
S
Er(r)dA
= Er(r)
∫
S
dA
= 4pir2Er(r) . (2)
Para aplicarmos, de fato, a lei de Gauss, precisamos agora calcular o quanto de carga existe dentro da
gaussiana escolhida. Isso e´ ana´logo a`s passagens do item (a). De fato, agora,
Qint[S] =
∫ r
r′=0
ρ(r′)4pir′2dr′
= piAr4 = Q
( r
a
)4
. (3)
Usando, enta˜o, (2) e (3), obtemos, finalmente,
E(r) =
Ar2
4�0
rˆ =
Qr2
4pi�0a4
rˆ . (4)
• a ≤ r < b:
Nesta regia˜o, vazia, e´ como se o campo fosse devido a uma part´ıcula (pontual) no centro de simetria
(a origem) de carga Q (a carga encerrada por uma correspondente gaussiana). Logo,
E(r) =
1
4pi�0
Q
r2
rˆ . (5)
• b < r < c:
Nesta regia˜o, por ser condutora e estar em equil´ıbrio eletrosta´tico, devemos ter campo nulo:
E(r) = 0 . (6)
• c < r <∞:
Nesta regia˜o, por analogia com a segunda, com r entre a e b, temos um campo como que devido a
uma part´ıcula (pontual) no centro de simetria (a origem) de carga, agora, Q+ (−2Q) = −Q; ou seja:
E(r) = −
1
4pi�0
Q
r2
rˆ . (7)
�
(d) Neste tipo de problema, em que o zero do potencial e´ tomado no infinito, conve´m ir determinando ou
“encaixando” o potencial de fora para dentro. Destarte, seguiremos a ordem inversa do item precedente.
Ale´m disso, outro ponto-chave e´ a exigeˆncia de continuidade
do potencial.
3
• c < r <∞:
Nesta regia˜o, o campo ele´trico cai com 1/r2, mais exatamente conforme (7); logo o potencial sera´:
V (r) = −
1
4pi�0
Q
r
,
onde ja´ impusemos a condic¸a˜o de potencial zero no infinito.
• b < r < c:
Nesta regia˜o, temos um condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico; logo, o potencial deve ser constante e,
por continuidade no ponto r = c, igual a:
V (r) = −
1
4pi�0
Q
c
.
• a ≤ r < b:
Nesta regia˜o, o campo cai, de novo, com 1/r2, mais exatamente conforme (5); logo, o potencial sera´:
V (r) =
1
4pi�0
Q
r
+ k1 .
onde k1 e´ uma constante de integrac¸a˜o. O valor da constante e´ determinado, de novo, pela exigeˆncia
de continuidade, desta feita, no ponto r = b; obtemos, pois:
V (r) =
Q
4pi�0
(
1
r
−
1
b
−
1
c
)
. (8)
• 0 ≤ r ≤ a:
Nesta regia˜o o campo cresce com r2, mais exatamente conforme (4); logo, o potencial sera´:
V (r) = −
Q
12pi�0
r3
a4
+ k2 . (9)
A exigeˆncia de continuidade em r = a determina o valor da constante de integrac¸a˜o. De fato, fazendo
r = a em (8), depois em (9) e igualando as correspondentes expresso˜es, temos
−
Q
12pi�0a
+ k2 =
Q
4pi�0
(
1
a
−
1
b
−
1
c
)
.
Resolvendo para k2 e substituindo de volta em (9), obtemos, finalmente,
V (r) =
Q
4pi�0
(
−
r3
3a4
+
4
3a
−
1
b
−
1
c
)
.
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Faremos a hipo´tese usual de que efeitos de borda podem ser desprezados. Com isso, o campo ele´trico
de cada placa podera´ ser bem aproximado como o campo devido a um plano muito extenso com carga
uniformemente distribu´ıda sobre ele. Cada placa criara´, pois, um campo constante, de mo´dulo igual a
σ0/�0, onde σ(> 0) e´ a densidade superficial de carga em cada uma das placas do capacitor. Isso decorre
4
imediatamente da simetria plana e da lei de Gauss.1 Ora, conforme o enunciado, a diferenc¸a de potencial
correspondente entre as placas e´ V0, logo o campo constante e´ tal que
V0 = E0L ,
ou seja,
E0 =
V0
L
.
Ja´ para determinar a energia armazenada, podemos usar uma qualquer das treˆs expresso˜es para tal grandeza:
U0 =
1
2
Q0V0 =
1
2
C0V
2
0 =
1
2
Q20
C0
.
onde
C0 =
�0A
L
; (10)
Q0 = C0V0 =
�0V0A
L
. (11)
(12)
O resultado final e´, de qualquer forma, dado por
U0 =
1
2
�0A
L
V 20 .
�
(b)
• Maneira 1:
No novo capacitor (semi-recheado de isolante), o mo´dulo da diferenc¸a de potencial entre as placas
sera´, obviamente, a soma dos mo´dulos das diferenc¸as de potencial entre as interfaces da regia˜o 1 e das
interfaces da regia˜o 2, ou seja,
V = V1 + V2 .
Naturalmente,
V1 = V0/2
e
V2 = V0/(2K) .
Logo,
V =
V0
2
(
1 +
1
K
)
=
1 +K
2K
V0 .
• Maneira 2:
O novo capacitor pode ser pensado como uma associac¸a˜o em se´rie de dois capacitores: um totalmente
vazio, com distaˆncia L/2 entre as placas, e outro totalmente preenchido com o isolante de constante
diele´trica K, tendo distaˆncia tambe´m L/2 entre as placas. Assim:
C1 =
�0A
L/2
,
1A rigor, devemos impor tambe´m a simetria especular com respeito ao plano.
5
e
C2 =
K�0A
L/2
,
de modo que a nova capacitaˆncia e´ dada por
C =
2K
1 +K
C0 =
2K
1 +K
�0A
L
.
Como a carga nas placas permanece a mesma, igual a
Q = Q0
= C0V0
=
�0AV0
L
,
o novo mo´dulo da diferenc¸a de potencial resulta ser
V =
1 +K
2K
V0 .
�
(c) Os mo´dulos dos campos nas novas regio˜es 1 e 2 sa˜o dados por
E1 = E0 =
V0
L
.
e
E2 =
E0
K
=
V0
KL
.
�
(d) A nova energia armazenada pode, mais uma vez, ser calculada por qualquer uma das seguintes treˆs
expresso˜es:
U =
1
2
QV =
1
2
CV 2 =
1
2
Q2
C
.
O “novo” mo´dulo Q de carga nas placas, de fato, e´ igual ao mo´dulo antigo Q0, dado no item (a), visto
que, apo´s o processo de carga, a bateria foi desconectada do capacitor. O novo mo´dulo V da diferenc¸a de
potencial foi calculado no item (b). Finalmente, a nova capacitaˆncia C, como ja vimos no item (b) e vemos
de novo agora, pode ser obtida pensando-se o capacitor semi-recheado como uma associac¸a˜o em se´rie de
dois capacitores, nas regio˜es 1 e 2 da parte inferior da figura do enunciado. Conclu´ımos, enta˜o,
C1 =
�0A
L/2
;
C2 = K
�0A
L/2
.
Logo, a capacitaˆncia nova e´, de qualquer maneira,
C =
2K
1 +K
C0 =
2K
1 +K
�0A
L
.
Substituindo tais informac¸o˜es em (2), deduzimos que
U =
1 +K
2K
U0 =
(1 +K)�0A
4KL
V 20 .
�
6
7
Provas Antigas - Física 3/P1-2011.2.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA III – 2011/2
PRIMEIRA PROVA (P1) – 26/09/2011
VERSA˜O: A
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor, Turma e
Versa˜o de Prova) do cabec¸alho do caderno de resoluc¸a˜o, fornecido em separado. Sem isso, a correc¸a˜o de
sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por dez (10) questo˜es objetivas
(de mu´ltipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizac¸a˜o por questa˜o errada.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. O item considerado correto, em cada uma das questo˜es objetivas, deve ser assinalado, a caneta, na tabela
de respostas correspondente do caderno de resoluc¸a˜o.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
F
e
= qE , E =
1
4πǫ0
q
r2
rˆ ,
∮
S
E ·dA = Qint
ǫ0
,
∮
C
E ·dℓ = 0 , E = −∇V , U = 1
4πǫ0
qq′
r
C = Q/V , E =
E0
K
(1 + x)α ≃ 1 + αx+ 1
2
α(α− 1)x2 + . . . , (x, α ∈ R, |x| ≪ 1)
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Uma casca esfe´rica espessa, condutora, descar-
regada, tem raios interno a e externo b, estando
situada no va´cuo. No centro de tal casca, e´ colo-
cada uma part´ıcula de carga q > 0. Considerando
que o potencial eletrosta´tico V e´ zero no infinito,
qual dos diagramas abaixo melhor representa o
gra´fico de V contra r?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
2. Considere duas distribuic¸o˜es lineares, con-
forme mostra a figura, com a mesma carga
total Q: (I) um anel circular uniformemente
carregado, de raio R, e (II) um anel semi-
circular uniformemente carregado, de raio
tambe´m R. Assinale a opc¸a˜o que indica cor-
retamente o campo ele´trico e o potencial, de
cada distribuic¸a˜o, no centro P . Suponha que
o potencial e´ tomado como zero no infinito.
(a) EI = 0, VI =
Q
4πǫ0R
;
EII =
Q
4π2ǫ0R2
xˆ, VII =
Q
4πǫ0R
.
(b) EI =
Q
4πǫ0R2
xˆ, VI = 0;
EII = − Q
2π2ǫ0R2
xˆ, VII =
Q
8πǫ0R
.
(c) EI = 0, VI = 0;
EII =
Q
4πǫ0R2
xˆ, VII =
Q
4πǫ0R
.
(d) EI = 0, VI =
Q
4πǫ0R
;
EII =
Q
8πǫ0R2
xˆ, VII =
Q
8πǫ0R
.
(e) EI = 0, VI =
Q
4πǫ0R
;
EII =
Q
2π2ǫ0R2
xˆ, VII =
Q
4πǫ0R
.
2
3. O mostrador de um relo´gio (analo´gico), circular
tem part´ıculas com cargas negativas 3q,
6q, 9q e
12q nas posic¸o˜es da periferia correspondentes a 3,
6, 9 e 12 horas, respectivamente. Os ponteiros do
relo´gio na˜o perturbam o campo eletrosta´tico cri-
ado por tais part´ıculas. A que horas o ponteiro
das horas aponta na mesma direc¸a˜o e sentido do
campo ele´trico no centro do mostrador?
(a) 3 horas e 30 minutos.
(b) 4 horas e 30 minutos.
(c) 8 horas e 30 minutos.
(d) 10 horas e 30 minutos.
(e) 1 hora e 30 minutos.
4. Temos um condutor oco, com carga Q, em
equil´ıbrio eletrosta´tico, conforme mostra a figura.
Com uma pequena esfera condutora, tambe´m de
carga Q, considere as quatro seguintes situac¸o˜es:
(I) a esfera e´ colocada dentro da cavidade oca,
sem tocar a superf´ıcie interna Si.
(II) a esfera e´ colocada dentro da cavidade, em
contato com a superf´ıcie interna Si.
(III) a esfera e´ colocada em contato com a
superf´ıcie externa Se do condutor oco.
(IV) a esfera e´ colocada na vizinhanc¸a (externa)
do condutor oco, sem tocar nele.
Apo´s atingido o equil´ıbrio eletrosta´tico e
referindo-se a`s cargas nas superf´ıcie interna e
externa do condutor oco como Qi e Qe, res-
pectivamente, qual das alternativas corresponde
a`s quatro situac¸o˜es descritas anteriormente?
(a) I: Qi = −Q, Qe = 2Q;
II: Qi = 2Q, Qe = 0;
III: Qi = 0, Qe = 2Q;
IV: Qi = 2Q, Qe = −Q.
(b) I: Qi = 0, Qe = Q;
II: Qi = Q, Qe = Q;
III: Qi = Q, Qe = Q;
IV: Qi = 0, Qe = Q.
(c) I: Qi = −Q, Qe = 2Q;
II: Qi = 0, Qe = 2Q;
III: Qi = 0, Qe = 2Q;
IV: Qi = 0, Qe = Q.
(d) I: Qi = Q, Qe = 0;
II: Qi = 0, Qe = 2Q;
III: Qi = 0, Qe = 2Q;
IV: Qi = Q, Qe = 0.
(e) I: Qi = −Q, Qe = 2Q;
II: Qi = Q, Qe = Q;
III: Qi = 0, Qe = 2Q;
IV: Qi = 0, Qe = Q.
3
5. Se o mo´dulo da diferenc¸a de potencial num capa-
citor dobra de valor, por quais fatores mudam o
mo´dulo do campo ele´trico e a energia armazenada,
respectivamente?
(a) 4 e 2.
(b) 2 e 4.
(c) 2 e 2.
(d) 1/2 e 1/4.
(e) 1/4 e 1/2.
6. Duas part´ıculas com cargas Q > 0 e −Q e massa
m sa˜o colocadas nas pontas de uma vareta de
massa desprez´ıvel, presa ao tampo de uma mesa
por um pino que passa no seu centro. O vetor
posic¸a˜o relativa da part´ıcula positiva com respeito
a` negativa e´ dado por Lyˆ. Se o aparato e´ subme-
tido a um campo ele´trico Exxˆ paralelo ao tampo
da mesa e perpendicular a` vareta, encontre o tor-
que τ no sistema vareta+cargas.
(a) τ = QExLzˆ.
(b) τ = QExLxˆ.
(c) τ = −QExLzˆ.
(d) τ = QExLyˆ.
(e) τ = −QExLyˆ.
7. Uma bola esfe´rica, condutora, de cargaQ e raioR,
em equil´ıbrio eletrosta´tico esta´ envolta por uma
casca esfe´rica, espessa, isolante, conceˆntrica, de
raios interno R e externo a (a > R) e constante
diele´trica K1. Imediatamente depois, ha´ uma ou-
tra casca esfe´rica, espessa, isolante, conceˆntrica,
de raios interno a e externo b (b > a) e cons-
tante diele´trica K2. Ambas as cascas sa˜o neutras.
Assinale a opc¸a˜o que indica corretamente os va-
lores do campo ele´trico nas quatro regio˜es: (I)
0 ≤ r < R, (II) R < r ≤ a , (III) a ≤ r ≤ b e (IV)
b ≤ r <∞.
(a) EI = 0, EII =
Q
4πǫ0r2
rˆ,
EIII =
Q
4πǫ0r2
rˆ, EIV =
Q
4πǫ0r2
rˆ.
(b) EI =
Q
4πǫ0r2
rˆ, EII =
Q
4πǫ0r2
rˆ,
EIII =
Q
4πǫ0r2
rˆ, EIV =
Q
4πǫ0r2
rˆ.
(c) EI =
Q
4πǫ0r2
rˆ, EII =
Q
4πǫ0K1r2
rˆ,
EIII =
Q
4πǫ0K2r2
rˆ, EIV =
Q
4πǫ0r2
rˆ.
(d) EI = 0, EII =
Q
4πǫ0K1r2
rˆ,
EIII =
Q
4πǫ0K2r2
rˆ, EIV =
Q
4πǫ0r2
rˆ.
(e) EI = 0, EII = 0,
EIII = 0, EIV =
Q
4πǫ0r2
rˆ.
4
8. Na figura a seguir, mostramos um capaci-
tor de placas planas e paralelas que tem a
regia˜o entre as suas placas completamente
preenchida com meios isolantes diferentes.
Qual dos diagramas corresponde ao capacitor da
figura?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
9. Considere um quadrado, de aresta L, tal que, em
dois ve´rtices cont´ıguos encontram-se part´ıculas
de mesma carga q. Qual e´ o trabalho realizado
pela forc¸a ele´trica quando duas novas part´ıculas,
ideˆnticas a`s primeiras, sa˜o colocadas nos ve´rtices
vazios, “completando” assim o quadrado?
(a)
(3 +
√
2)q2
4πǫ0L
.
(b)
q2
2πǫ0L
.
(c) − q
2
2πǫ0L
.
(d)
(2 +
√
2)q2
4πǫ0L
.
(e) − (3 +
√
2)q2
4πǫ0L
.
10. Considere as treˆs seguintes afirmativas:
(I) Se o fluxo do campo ele´trico atrave´s de uma su-
perf´ıcie for zero, enta˜o o campo ele´trico em qual-
quer ponto da superf´ıcie tambe´m sera´ zero.
(II) Se o campo ele´trico em todo ponto de uma su-
perf´ıcie for zero, enta˜o o fluxo do campo atrave´s
de tal superf´ıcie tambe´m sera´ zero.
(III) Numa certa regia˜o, temos duas part´ıculas
carregadas, sendo uma delas circundada (encer-
rada) por uma superf´ıcie fechada. Enta˜o, para a
determinac¸a˜o do campo ele´trico num ponto de tal
superf´ıcie, so´ contribui a part´ıcula encerrada pela
dita superf´ıcie.
Assinale a opc¸a˜o que indica qual(is) dessas afir-
mativas esta´(a˜o) correta(s).
(a) Somente a II.
(b) Nenhuma delas.
(c) Somente a I.
(d) Somente a III.
(e) Somente a I e a II.
(f) Somente a I e a III.
(g) Somente a II e a III.
(h) Todas elas.
5
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Um segmento retil´ıneo, de
comprimento 2a, situado ao longo do
eixo Z, e´ composto por duas metades,
uniformemente carregadas, com cargas Q
e −Q, conforme mostra a figura ao lado.
O centro do sistema coincide com a origem
do eixo Z.
(a) Determine o campo ele´trico em um
ponto P , do plano z = 0, a uma distaˆncia
r do segmento. [1,5 ponto]
(b) Deduza uma expressa˜o limite para
tal campo, como func¸a˜o de r, quando o
ponto P esta´ muito afastado do segmento.
Interprete o resultado obtido. [1,0 ponto]
2. [2,5 pontos] Um cilindro circular reto, so´lido, de com-
primento L muito grande e de raio a, e´ constitu´ıdo
de material isolante (com constante diele´trica igual a
1) e esta´ envolto por uma casca cil´ındrica, espessa,
tambe´m de comprimento L muito grande e de raios b
e c (b < c), coaxial com o cilindro isolante interno, de
eixo Z. Tal casca e´ constitu´ıda de material condutor.
No cilindro interno, temos uma carga total Q, uni-
formemente distribu´ıda em volume, ao passo que, na
casca externa, temos uma carga total −Q. Considere
que o sistema todo esta´ em equil´ıbrio eletrosta´tico.
Determine, enta˜o,
(a) as densidades superficiais de carga σb e σc, nas
superf´ıcies correspondentes da casca condutora. [0,5
ponto]
(b) o campo ele´trico nas quatro regio˜es do espac¸o:
0 ≤ r ≤ a, a ≤ r < b, b < r < c, e c < r < ∞. [1,0
ponto]
(c) o potencial eletrosta´tico nas quatro regio˜es supra-
citadas, tomando-o como zero no infinito. [1,0 ponto]
6
7
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. (a)
2. (e)
3. (d)
4. (c)
5. (b)
6. (c)
7. (d)
8.
(b)
9. (e)
10. (a)
1
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Devido a` simetria do problema, podemos escrever o campo no ponto P como:
~EP = −Eyˆ,
onde:
E = 2
∫ a
0
dq
4πǫ0
y
(x2 + y2)3/2
,
com dq = λdy = Qa dy. Assim, temos:
E =
Q
2πǫ0a
∫ a
0
y
(x2 + y2)3/2
dy.
Para resolvermos a integral fazemos substituic¸a˜o simples u = x2 + y2, de modo que:∫
y
(x2 + y2)3/2
dy = − 1√
x2 + y2
.
Substituindo agora os limites de integrac¸a˜o encontramos:
E =
Q
2πǫ0a
[
1
x
− 1√
x2 + a2
]
,
e finalmente:
~EP =
Q
2πǫ0a
yˆ
[
1√
x2 + a2
− 1
x
]
.
�
(b) Para valores de x tais que x >> a podemos expandir a expressa˜o
para ~EP em se´rie de Taylor. Temos
que:
(1 + w)p ≈ 1 + pw + p(p− 1)
2
w2 + ...
Vamos preparar a expressa˜o do campo para fazer a expansa˜o. Observe que:
~EP =
Qyˆ
2πǫ0a
1
x
{[
1 +
(a
x
)2]− 12
− 1
}
.
Devemos tomar ate´ o segundo termo da expansa˜o, assim:
~EP ≈ Qyˆ
2πǫ0a
1
x
{
1 +
(
−1
2
)(a
x
)2
− 1
}
,
~EP ≈ − Qa
4πǫ0x3
yˆ.
No limite x >> a o campo da barra corresponde ao campo de um dipolo ele´trico na origem.
�
2. Resoluc¸a˜o:
2
(a) A carga Q do cilindro isolante vai atrair a carga −Q da casca condutora que, no equil´ıbrio eletrosta´tico,
ficara´ distribu´ıda na superf´ıcie interna da mesma. Portanto, a densidade superficial de carga na superf´ıcie
externa da casca e´
σc = 0, (1)
enquanto que na superf´ıcie interna e´
σb = − Q
2πbL
(2)
�
(b) Vamos considerar, para aplicar a lei de Gauss, superf´ıcies Gaussianas que sa˜o cilindros coaxiais ao
isolante, com raio r e comprimento l. Por simetria, temos que o campo ele´trico, desprezando efeitos de
borda, e´ da forma
~E = E(r)rˆ, (3)
Portanto, na˜o ha´ fluxo ele´trico atrave´s das bases dos cilindros,∮
~E · nˆdA = E(r)2πrl. (4)
Para aplicar a lei de Gauss, precisamos calcular a carga total Qint no interior das superf´ıcies Gaussianas
de interesse. A densidade volumar de carga no isolante e´
ρ =
Q
V
=
Q
πa2L
(5)
• Para 0 ≤ r ≤ a:
Qint = ρVG = ρπr
2l = Q
r2l
a2L
(6)
• Para a ≤ r ≤ b:
Qint = ρVG = ρπa
2l = Q
l
L
(7)
• Para b ≤ r ≤ c, temos que somar a carga no isolante com a carga na superf´ıcie interna da casca
condutora:
Qint = ρVG + σb2πbl = 0 (8)
• Para r ≥ c, temos que somar a carga no isolante com a carga nas superf´ıcies interna e externa da casca
condutora:
Qint = ρVG + σb2πbl+ σc2πcl = 0 (9)
Com isso, a lei de Gauss se resume a:
• Para 0 ≤ r ≤ a:
E(r)2πrl =
Qr2l
ǫ0a2L
, (10)
que leva a
E(r) =
Qr
2πǫ0a2L
(11)
• Para a ≤ r ≤ b:
E(r)2πrl =
Ql
ǫ0L
, (12)
que leva a
E(r) =
Q
2πǫ0rL
(13)
• Para b ≤ r ≤ c:
E(r)2πrl = 0⇒ E(r) = 0, (14)
como esperado, uma vez que estamos no interior de um condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico.
3
• Para r ≥ c:
E(r)2πrl = 0⇒ E(r) = 0. (15)
�
(c) Podemos calcular o potencial ele´trico a partir do campo ele´trico usando:
V1 − V2 =
∫ 2
1
~E · ~dl (16)
• Para r ≥ c:
V (r)− V (r →∞) =
∫ ∞
r
~E · ~dl = 0. (17)
Escolhendo V (r →∞) = 0, temos que
V (r) = 0. (18)
• Para b ≤ r ≤ c, temos novamente:
V (r) − V (r = c) =
∫ c
r
~E · ~dl = 0. (19)
Pelo resultado anterior, V (r = c) = 0, temos que
V (r) = 0. (20)
• Para a ≤ r ≤ b:
V (r) − V (r = b) =
∫ b
r
~E · ~dl = Q
2πǫ0L
∫ b
r
dr
r
. (21)
Pelo resultado anterior, V (r = b) = 0, temos que
V (r) =
Q
2πǫ0L
ln
(
b
r
)
. (22)
• Para 0 ≤ r ≤ a:
V (r)− V (r = a) =
∫ a
r
~E · ~dl = Q
2πǫ0a2L
∫ a
r
rdr. (23)
Pelo resultado anterior, V (r = a) = Q
2πǫ0L
ln
(
b
a
)
, temos que
V (r) =
Q
2πǫ0L
[
a2 − r2
2a2
+ ln
(
b
a
)]
. (24)
�
4
5
Provas Antigas - Física 3/P1-2012.1.pdf
1
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA III – 2012/1
PRIMEIRA PROVA (P1) – 02/05/2012
VERSA˜O: A
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha CORRETA, LEGI´VEL E TOTALMENTE os campos em branco do cabec¸alho do caderno
de resoluc¸a˜o, fornecido em separado.
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por dez (10) questo˜es objetivas
(de mu´ltipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizac¸a˜o por questa˜o errada.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. Acima da tabela de respostas das questo˜es objetivas, na primeira pa´gina do caderno de resoluc¸a˜o, INDI-
QUE CLARAMENTE A VERSA˜O DA PROVA (A, B,. . . ).
4. O item considerado correto, em cada uma das questo˜es objetivas, deve ser assinalado, A CANETA (de
tinta azul ou preta), na tabela de respostas correspondente do caderno de resoluc¸a˜o
5. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
6. Seja organizado e claro.
Formula´rio
F
e
= qE , E = k0
q
r2
rˆ
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
E ·dA = Qint
ǫ0
,
E = −∇V , V = k0 q
r
, U = k0
qq′
r
,
E =
E0
K
, C = Q/V , U =
1
2
QV ,
I =
∫
S
J · nˆ dA , J = nqv , V = RI .
(1 + x)α ≃ 1 + αx+ 1
2
α(α− 1)x2 + . . . (x, α ∈ R, |x| ≪ 1)
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. Uma part´ıcula α e um nu´cleo de l´ıtio esta˜o em
repouso. O nu´cleo de l´ıtio tem carga 3e > 0
e massa 7 u (unidades de massa atoˆmica), ao
passo que a part´ıcula α tem carga 2e e massa 4
u. Qual dos me´todos propostos a seguir acelera as
duas part´ıculas ate´ o mesmo valor final de energia
cine´tica?
(a) Sujeitar ambos a uma mesma diferenc¸a
de potencial (ddp).
(b) Sujeitar a part´ıcula α a uma ddp V e o
nu´cleo de l´ıtio a uma ddp 3V .
(c) Sujeitar a part´ıcula α a uma ddp V e o
nu´cleo de l´ıtio a uma ddp 7V/4.
(d) Sujeitar a part´ıcula α a uma ddp V e o
nu´cleo de l´ıtio a uma ddp 2V/3.
(e) Nenhum dos me´todos anteriores.
2. Uma part´ıcula (pontual) de carga −Q esta´ rode-
ada por part´ıculas (pontuais) carregadas, situa-
das em dois ane´is conceˆntricos com a part´ıcula de
carga −Q, conforme indicado na figura. Os raios
dos ane´is sa˜o r e R = 2r. Indique a alternativa
que apresenta corretamente: o campo ele´trico E
no centro da figura (excetuando, naturalmente, o
da pro´pria part´ıcula de carga−Q), a forc¸a ele´trica
resultante F sobre a part´ıcula de carga−Q e o po-
tencial ele´trico V no centro da figura (excetuando,
novamente, o da pro´pria part´ıcula de carga −Q).
Aproveite-se de simetrias do problema.
(a) E = k0
10q
r2
yˆ, F = k0
10qQ
r2
yˆ, V =
k0
10q
r
.
(b) E = −k0 2q
r2
yˆ, F = −k0 2qQ
r2
yˆ, V =
k0
4q
R+ r
.
(c) E = −k0 2q
r2
yˆ, F = k0
2qQ
r2
yˆ, V =
−k0 10q
r
.
(d) E = k0
3q
R2
yˆ, F = −k0 3qQ
R2
yˆ, V =
k0
3q
R
.
2
3. Um dipolo r´ıgido e´ colocado na proximidade de
uma part´ıcula (pontual) de carga Q < 0, fixa
no plano me´dio, perpendicular ao eixo do dipolo,
conforme mostra a figura. Podemos afirmar que o
movimento inicial do dipolo, imediatamente apo´s
ser liberado do repouso, consiste em
(a) uma translac¸a˜o para a direita e uma
rotac¸a˜o, em torno do seu centro, no sen-
tido anti-hora´rio.
(b) uma translac¸a˜o para a direita e uma
rotac¸a˜o, em torno do seu centro, no sen-
tido hora´rio.
(c) uma translac¸a˜o para cima e uma rotac¸a˜o,
em torno do seu centro, no sentido
hora´rio.
(d) uma translac¸a˜o para baixo e uma rotac¸a˜o,
em torno do seu centro, no sentido
hora´rio.
(e) uma translac¸a˜o para a esquerda e uma
rotac¸a˜o, em torno do seu centro, no sen-
tido hora´rio.
4. Na figura, temos sec¸o˜es transversais de superf´ıcies
esfe´ricas e cu´bicas, dentro de cada uma das quais
existe uma part´ıcula carregada. Ordene, em
sequ¨eˆncia decrescente, os fluxos de campo ele´trico
Φi(i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) atrave´s de cada superf´ıcie.
(a) Φ3 > Φ6 = Φ5 > Φ4 > Φ2 = Φ1.
(b) Φ3 > Φ5 > Φ4 > Φ1 > Φ6 >
Φ2.
(c) Φ6 = Φ5 > Φ3 > Φ2 = Φ1 > Φ4.
(d) Φ3 > Φ6 > Φ5 > Φ4 > Φ2 > Φ1.
(e) Φ6 = Φ5 > Φ3 = Φ2 = Φ1 > Φ4.
3
5. Considere o gra´fico que mostra como o potencial
eletrosta´tico varia, em func¸a˜o da distaˆncia radial
a partir de um determinado ponto central, em
cada uma de 4 regio˜es (disjuntas) do espac¸o. Nas
regio˜es I e III, o potencial e´ constante, ao passo
que, nas regio˜es II e IV, ele decresce monotona-
mente. Podemos afirmar que:
(a) A componente radial do campo ele´trico e´
negativa nas regio˜es I e II.
(b) A componente radial do campo ele´trico e´
nula nas regio˜es I e III.
(c) A componente radial do campo ele´trico e´
negativa nas regio˜es II e IV.
(d) A componente radial do campo ele´trico e´
nula nas regio˜es II e IV.
(e) A componente radial do campo ele´trico e´
positiva em todas as quatro regio˜es.
6. Na figura, ilustramos duas esferas carregadas, de
mesmo raio R. Elas esta˜o isoladas uma da outra
e se encontram em equil´ıbrio eletrosta´tico. A es-
fera da direita e´ condutora e a esfera da esquerda
tem densidade volumar de carga ρ = const. Seja
Wi (i = 1, 2, 3, 4) o trabalho realizado pela forc¸a
ele´trica ao transportar uma part´ıcula de teste com
carga positiva, saindo do ponto A e retornando
ao mesmo, ao longo dos caminhos (orientados)
Ci (i = 1, 2, 3, 4). Qual das alternativas abaixo
e´ a correta?
(a) W1 = W2 = W3 =W4.
(b) W1 > W3 < W2 < W4.
(c) W1 = W3 < W2 =W4.
(d) W1 > W3 > W2 < W4.
(e) W1 = W3 > W2 =W4.
7. Uma “pastilha” de metal em forma de parale-
lep´ıpedo sera´ utilizada como um resistor. Tal pas-
tilha tem arestas de 2 cm, 4 cm e 10 cm. Para
obter a resisteˆncia mı´nima poss´ıvel, temos de co-
locar os contatos nos centros das faces paralelas
do resistor, faces essas de largura e comprimento
iguais a:
(a) 2 cm e 4 cm.
(b) 2 cm e 10 cm.
(c) 4 cm e 10 cm.
(d) Qualquer par de faces paralelas dara´ a
mesma resisteˆncia.
(e) Nenhuma das respostas acima e´ correta.
4
8. Um capacitor de capacitaˆncia C0 e´ carregado por
uma bateria de fem V0, recebendo, nesse processo,
uma carga final de mo´dulo Q0 em cada placa. A
seguir, o capacitor e´ desligado da bateria e co-
nectado em paralelo com um capacitor de capa-
citaˆncia C0/2, que esta´ descarregado. Apo´s atin-
gido o equil´ıbrio eletrosta´tico, podemos afirmar
que as grandezas mo´dulo da diferenc¸a de poten-
cial V , mo´dulo da cargaQ em cada placa e energia
armazenada U , no capacitor de capacitaˆncia C0,
apresentam o seguinte comportamento:
(a) V permanece constante, Q permanece
constante, U diminui.
(b) V permanece constante, Q diminui, U
permanece constante.
(c) V diminui, Q permanece constante, U di-
minui.
(d) V diminui, Q diminui, U permanece cons-
tante.
(e) V diminui, Q diminui, U diminui.
9. Na figura, temos uma sec¸a˜o tranversal de um
corpo condutor, isolado (muito afastado de quais-
quer outros corpos), em equil´ıbrio eletrosta´tico,
carregado positivamente, ale´m de algumas curvas
orientadas. Qual(is) de tais curvas, nitidamente,
na˜o pode(m) representar linhas de campo do cor-
respondente campo eletrosta´tico?
(a) 1 e 4.
(b) 1, 4 e 8.
(c) 2, 6 e 7.
(d) 1, 3, 4, 5, 7 e 8.
(e) 1, 3, 4, 5 e 8.
10. Considere um capacitor de placas quadradas, pa-
ralelas, de a´rea A e separadas por uma distaˆncia
L. Das operac¸o˜es listadas a seguir, qual na˜o altera
a capacitaˆncia?
(a) Inclinar uma das placas com respeito a`
outra.
(b) Reduzir a separac¸a˜o L.
(c) Introduzir uma chapa de cobre entre as
placas do capacitor.
(d) Introduzir uma chapa isolante entre as
placas do capacitor.
(e) Duplicar a a´rea de ambas as placas.
(f) Duplicar a diferenc¸a de potencial entre as
placas.
5
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Na figura ao lado, temos dois objetos ex-
tensos, muito finos, uniformemente carregados, em re-
pouso. O anel tem raio r e carga q, e a barra tem
comprimento L e carga Q. Como mostrado na fi-
gura, a barra esta´ sobre o eixo Z, que e´ perpendicular
ao plano do anel e passa pelo centro desse, tomado
como origem. A extremidade mais pro´xima da barra
encontra-se na cota z = a.
(a) Determine o vetor campo ele´trico produzido pelo
anel em um ponto arbitra´rio do eixo Z, com cota z.
[1,0 ponto]
(b) Determine o vetor forc¸a ele´trica que o anel exerce
sobre a barra. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor forc¸a ele´trica do anel sobre a
barra, no limite em que a≫ L, r. [0,5 ponto]
2. [2,5 pontos] Um cilindro circular, so´lido, con-
dutor, muito longo, com base de raio R, pos-
sui, em sua superf´ıcie lateral, uma densidade
superficial de carga constante igual a σR. Co-
axial com esse cilindro, ha´ uma casca espessa,
neutra, tambe´m cil´ındrica, condutora e igual-
mente longa, de raios interno a e externo b,
conforme mostra a figura ao lado. Suponha
que o sistema todo esteja em equil´ıbrio ele-
trosta´tico.
(a) Determine as densidades superficiais de
carga σa e σb, supostas constantes, nas su-
perf´ıcies interna e externa da casca, respecti-
vamente. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico nas
quatro regio˜es: (I) 0 ≤ r < R, (II) R < r < a,
(III) a < r < b, e (IV) b < r <∞. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial eletrosta´tico nas
quatro regio˜es acima, tomando-o como zero
na superf´ıcie do cilindro so´lido de raio R. [1,0
ponto]
Justifique toda sua argumentac¸a˜o.
6
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. (d)
2. (c)
3. (a)
4. (e)
5. (b)
6. (a)
7. (c)
8. (e)
9. (d)
10. (f)
1
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Considere o elemento de carga dq ilustrado na figura. Este elemento de carga dista s do ponto de cota
z no eixo Z tal que:
s2 = r2 + z2 .
O vetor campo ele´trico ~dE devido ao elemento de carga dq no ponto de cota z tem mo´dulo
dE =
1
4πǫ0
dq
s2
e faz um aˆngulo θ com o eixo Z, de modo que:
cos θ =
z
s
=
z
(r2 + z2)1/2
e
sen θ =
r
s
=
r
(r2 + z2)1/2
.
Enta˜o
dE = dE cos θzˆ + dE sen θ xˆ .
ARGUMENTAC¸A˜O EXTENSA: Por sua vez, ainda em relac¸a˜o ao ponto de cota z, o campo ele´trico ~dE
associado ao elemento de carga diametralmente oposto ao dq citado acima tambe´m faz o mesmo aˆngulo θ
com o eixo Z, tem o mesmo mo´dulo dE determinado antes, mas tem a sua projec¸a˜o perpendicular ao eixo
Z em sentido oposto a` projec¸a˜o correspondente relacionada ao elemento de carga dq. Este cancelamento
vai acontecer para cada par de elementos de carga diametralmente opostos no anel uniformente carregado.
Ou seja, o vetor campo ele´trico do anel de cargas no ponto de cota z tem a direc¸a˜o do eixo Z e o sentido e´
o do unita´rio zˆ.
ARGUMENTAC¸A˜O COMPACTA: De acordo com a simetria da distribuic¸a˜o de cargas, o campo ele´trico
resultante na˜o tem componente componente perpendicular ao eixo Z: os componentes perpendiculares
relativos a dois elementos de carga diametralmente opostos se cancelam.
Logo,
E =
∫
dE cos θzˆ ,
E =
1
4πǫ0
∫
dq
(r2 + z2)
z
(r2 + z2)1/2
zˆ .
Como r e z sa˜o constantes e
∫
dq = q, temos
E =
1
4πǫ0
zq
(r2 + z2)3/2
zˆ .
2
�
(b) Seja dQ um elemento de carga da barra. O vetor forc¸a ele´trica que o anel exerce sobre esse elemento e´
dado por
dF = dQE ,
onde o campo ele´trico e´ dado pelo resultado do item (a).
Como a barra esta´ uniformemente carregada, a sua densidade linear de carga e´ dada por
λ =
Q
L
.
Com isso, podemos expressar o elemento de carga dQ em termos de um elemento de linha ao longo da barra
dQ = λdz
=
Q
L
dz .
Logo, a forc¸a resultante sobre a barra sera´ dada por
F =
∫
dF =
∫
Q
L
dzE =
1
4πǫ0
qQ
L
∫ a+L
a
zdz
(r2 + z2)3/2
zˆ.
Definindo uma nova varia´vel u := r2 + z2, temos que du = 2zdz. Com isso, a expressa˜o pode ser reescrita
como
F =
1
4πǫ0
qQ
2L
∫ r2+(a+L)2
r2+a2
du
u3/2
zˆ =
1
4πǫ0
qQ
2L
(
− 2
u1/2
) ∣∣∣r2+(a+L)2r2+a2 zˆ.
Portanto
F =
1
4πǫ0
qQ
L
(
1√
r2 + a2
− 1√
r2 + (a+ L)2
)
zˆ .
�
(c) Podemos reescrever a expressa˜o para a forc¸a como
F =
1
4πǫ0
qQ
L
(
1√
r2 + a2
− 1√
r2 + a2 + L2 + 2aL
)
zˆ ,
e ainda como
F =
1
4πǫ0
qQ
L
1
a

 1√
1 + r
2
a2
− 1√
1 + r
2
a2 +
L2
a2 +
2L
a

 zˆ .
Considerando que, conforme o Formula´rio, (1 + x)α = 1 + αx + α(α − 1)x22! + . . ., para x ≪ 1 e que, no
limite a≫ L, La ≪ 1 e ra ≪ 1, temos
1√
1 + r
2
a2
≈ 1− r
2
2a2
e
1√
1 + r
2
a2 +
L2
a2 +
2L
a
≈ 1− 1
2
(
r2
a2
+
L2
a2
+
2L
a
)
.
Logo,
F ≈ 1
4πǫ0
qQ
L
1
a
(
1− r
2
2a2
− 1 + r
2
2a2
+
L2
2a2
+
L
a
)
zˆ =
1
4πǫ0
qQ
a2
(
1 +
L
2a
)
zˆ .
Considerando-se, de novo, que 1≫ L2a , pois a≫ L, tem-se, finalmente,
F ≈ 1
4πǫ0
qQ
a2
zˆ ,
3
que e´ a forc¸a de interac¸a˜o eletrosta´tica entre duas part´ıculas pontuais carregadas separadas por uma
distaˆncia a.
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Em pontos do interior de um condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, o campo ele´trico (macrosco´pico) e´
zero. Logo, pela lei de Gauss, qualquer superf´ıcie fechada constitu´ıda totalmente por pontos do interior
do condutor deve encerrar uma carga total igual a zero. Apliquemos isso para uma gaussiana cil´ındrica
circular, coaxial com o eixo de simetria da distribuic¸a˜o em questa˜o, de raio r, tal que a < r < b. Devemos
ter, enta˜o:
Qint = σR2πRh+ σa2πah = 0 .
Logo,
σa = −R
a
σR . (1)
Como a casca e´ condutora, no equil´ıbrio eletrosta´tico, toda a carga em excesso so´ pode depositar-se em
suas superf´ıcies (interna e/ou externa). Enta˜o, e´ claro, registra-se uma distribuic¸a˜o de carga com densidade
na˜o nula, dada por (1), na sua superf´ıcie interna (de raio a). Como a casca e´ neutra, isso implica que, na
sua superf´ıcie externa (de raio b) deve haver uma correspondente distribuic¸a˜o de carga com densidade σb
tal que
σb2πbh+ σa2πah = 0 .
Logo,
σb = −a
b
σa =
R
b
σR . (2)
�
(b) Nas regio˜es I e III, por tratarem-se de regio˜es no interior de condutores em equil´ıbrio eletrosta´tico,
os campos ele´tricos (macrosco´picos) sa˜o zero, como simples consequ¨eˆncia das definic¸o˜es de condutor e de
equil´ıbrio eletrosta´tico. Concretamente,
• Regia˜o I: 0 ≤ r < R:
E = 0 . (3)
• Regia˜o III: a < r < b:
E = 0 . (4)
• Regia˜o II: R < r < a:
Devido a` simetria cil´ındrica da situac¸a˜o, o campo ele´trico resultante deve ter somente componente
radial:
E = Errˆ .
Ale´m disso, de novo por simetria cil´ındrica, sua u´nica componente so´ pode depender da distaˆncia ate´
o eixo de simetria, ou seja,
Er = Er(r) .
Por isso tudo, conve´m escolher como superf´ıcie gaussiana, a partir da qual determinaremos o campo
ele´trico, uma superf´ıcie cil´ındrica circular S, de raio gene´rico r e altura (comprimento) h; tal superf´ıcie
inclui, e´ claro, ale´m da superf´ıcie lateral Slat, suas bases superior Bsup e inferior Binf , para que, como
qualquer gaussiana, seja uma superf´ıcie fechada. A integral que define o fluxo do campo ele´trico
atrave´s de tal gaussiana divide-se em treˆs contribuic¸o˜es:∮
S
E ·n dA =
∫
Slat
E ·n dA+
∫
Bsup
E ·n dA+
∫
Binf
E ·n dA .
4
E´ claro que, devido a` perpendicularidade, nas bases, entre E e nˆ, as duas u´ltimas integrais sa˜o nulas,
sobrando somente aquela na superf´ıcie lateral. Essa pode, nitidamente, levando em conta que, nesse
caso, nˆ = rˆ, ser escrita como ∫
Slat
E ·n dA = Er(r)2πrh . (5)
Por outro lado, a carga total encerrada nessa gaussiana e´ somente aquela presente no cilindro so´lido,
de raio R, ou seja:
Qint = σR2πRh . (6)
A lei de Gauss exige que igualemos a expressao do fluxo total (5) e a expressa˜o dessa carga total
encerrada (6), dividida por ǫ0. Isso nos leva a
Er(r)2πrh =
σR2πRh
ǫ0
,
ou seja,
E =
σRR
ǫ0
1
r
rˆ . (7)
• Regia˜o IV: b < r <∞:
Por uma argumentac¸a˜o ana´loga a`quela apresentada para a regia˜o II, teremos, como expressa˜o para
a integral do fluxo, atrave´s de uma nova gaussiana de raio r tal que b < r < ∞ agora, a mesma
expressa˜o: ∮
S
E ·nˆ dA = Er(r)2πrh .
Tambe´m, pelo fato da casca espessa ser neutra, a carga encerrada nessa nova gaussiana resulta ser a
mesma que a correspondente na regia˜o II, ou seja,
Qint = σR2πRh .
Logo, pela lei de Gauss, continuamos a ter a mesma expressa˜o para o campo ele´trico:
E =
σRR
ǫ0
1
r
rˆ . (8)
�
(c) Como, no item (b), foram encontradas as expresso˜es (3), (7), (4), (8), para o campo ele´trico em todas
as 4 regio˜es t´ıpicas, vamos determinar o potencial eletrosta´tico, via integrac¸a˜o de
dV = −E ·dℓ .
Para tanto, precisaremos, e´ claro, fazer uma escolha do “zero” do potencial, que ja´ foi indicada no enunciado:
V (r = R) = 0. Como isso situa-se na fronteira entre as regio˜es I e II, comec¸aremos por determinar o
potencial justamente na regia˜o I e prosseguiremos “para fora”.
• Regia˜o I: 0 ≤ r < R:
Obviamente, como o campo e´ zero [cf. (3)], temos
V = VR ≡ const .
O valor expl´ıcito de tal constante vem da imposic¸a˜o, conforme o enunciado, de que V (r = R) = 0.
Logo
V = 0 .
5
• Regia˜o II: R < r < a:
Da expressa˜o para o campo (7), vem
V = −σRR
ǫ0
ln
(
r
r1
)
,
com r1 uma constante de integrac¸a˜o. Novamente, como o potencial deve ser cont´ınuo e igual a zero
em r = R, deduzimos que r1 = R e, portanto,
V = −σRR
ǫ0
ln
( r
R
)
. (9)
• Regia˜o III: a < r < b:
Da expressa˜o para o campo (4), vem
V = V1 ≡ const .
Como o potencial deve ser cont´ınuo em r = a, podemos usar a expressa˜o (9), para determinar o valor
de V1, obtendo, enta˜o,
V = −σRR
ǫ0
ln
( a
R
)
. (10)
• Regia˜o IV: b < r <∞:
Da expressa˜o para o campo (8), vem
V = −σRR
ǫ0
ln
(
r
r2
)
, (11)
com r2 uma constante de integrac¸a˜o. Novamente, por continuidade em r = b, deduzimos, usando essa
u´ltima expressa˜o e (10), que
−σRR
ǫ0
ln
( a
R
)
= −σRR
ǫ0
ln
(
b
r2
)
,
ou seja,
r2 =
b
a
R .
Substituindo isso de volta em (11), temos, pois,
V = −σRR
ǫ0
ln
( a
bR
r
)
.
�
6
Provas Antigas - Física 3/P1-2012.2.pdf
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica – F´ısica III
– 2012/2
Primeira Prova: 10/12/2012
Versa˜o: A
Formula´rio
~F
e
= q ~E , ~E = k0
q
r2
rˆ
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d~A = Qint
ǫ0
~E = − ~∇V , V = k0 q
r
, U = k0
qq′
r
, ~E =
~E0
K
, C = Q/V
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. A figura mostra um dipolo ele´trico, imerso em um campo
ele´trico constante (estaciona´rio e uniforme) ~E = Exˆ
(E > 0), em treˆs configurac¸o˜es diferentes. O comprimento
do dipolo e´ L. Qual dessas configurac¸o˜es e´ a de equil´ıbrio
esta´vel e quais
sa˜o, para essa configurac¸a˜o esta´vel, o vetor
momento de dipolo ele´trico ~p e a energia potencial ele´trica
U?
(a) Configurac¸a˜o 3. ~p = −qLxˆ e U = 0.
(b) Configurac¸a˜o 1. ~p = qLxˆ e U = −qLE.
(c) Configurac¸a˜o 2. ~p = qLyˆ e U = −qLE.
(d) Configurac¸a˜o 1. ~p = −qLxˆ e U = 0.
(e) Configurac¸a˜o 3. ~p = qLxˆ e U = −qLE.
(f) Configurac¸a˜o 2. ~p = −qLyˆ e U = 0.
(g) Configurac¸a˜o 3. ~p = qLxˆ e U = qLE.
(h) Configurac¸a˜o 1. ~p = qLx e U = qLE.
2. Considere uma esfera macic¸a com densidade volumar de
carga constante (estaciona´ria e uniforme), raio R e carga
total Q > 0. Qual das alternativas abaixo melhor repre-
senta os gra´ficos do mo´dulo do campo ele´trico e do poten-
cial ele´trico devidos a essa esfera em func¸a˜o da distaˆncia
r ao centro?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1
3. A figura mostra um sistema formado por quatro fios re-
til´ıneos de mesmo comprimento L e um anel de raio r. As
projec¸o˜es dos fios retil´ıneos se encontram no ponto P que
fica no centro do anel. As linhas cont´ınuas representam
distribuic¸o˜es uniformes com densidade linear λ+ de carga
positiva e as linhas tracejadas representam distribuic¸o˜es
tambe´m uniformes com densidade linear λ− = −λ+ de
carga negativa. Sendo E o mo´dulo do campo ele´trico re-
sultante, ~E, no ponto P e V o potencial ele´trico no mesmo
ponto, qual das alternativas abaixo e´ a correta? Considere
o potencial ele´trico nulo no infinito.
(a) ~E = Exˆ e V = 0.
(b) ~E = −Exˆ e V = 0.
(c) ~E = Eyˆ e V = 0.
(d) ~E = −Eyˆ e V = 0.
(e) ~E = Exˆ e V =
λ+
2πǫ0
.
(f) ~E = −Exˆ e V = λ+
2πǫ0
.
4. A figura mostra treˆs sistemas com distribuic¸o˜es uniformes
de carga interagindo eletrostaticamente. Em todos, temos
um plano infinito com densidade superficial de carga σ in-
teragindo com: um anel (1), um disco (2) e uma esfera
(3). O anel, o disco e a esfera teˆm a mesma carga to-
tal Q. Qual das alternativas abaixo melhor representa a
comparac¸a˜o entre os mo´dulos das forc¸as ele´tricas exerci-
das pelo plano sobre: o anel (F1), o disco (F2) e a esfera
(F3)?
(a) F1 > F2 > F3.
(b) F1 = F2 = F3.
(c) F1 > F2 = F3.
(d) F1 = F2 > F3.
(e) F1 = F2 < F3.
(f) F3 > F1 > F2.
(g) F1 < F2 < F3.
5. Considere as seguintes treˆs afirmaco˜es relativas a um con-
dutor em equil´ıbrio eletrosta´tico: (I) podemos ter uma
linha de campo ele´trico que une dois pontos do condu-
tor, (II) em um ponto imediatamente fora da superf´ıcie do
condutor, no qual a densidade superficial de carga e´ σ, o
campo ele´trico tem mo´dulo |σ|/(2ǫ0), e (III) em uma cavi-
dade vazia, cercada pelo condutor, o campo ele´trico e´ zero.
Qual das alternativas abaixo indica a(s) afirmac¸a˜o(oes)
correta(s)?
(a) Somente a I e a II.
(b) Somente a I e a III.
(c) Somente a II e a III.
(d) Somente a I.
(e) Somente a II.
(f) Somente a III.
(g) Todas sa˜o corretas.
(h) Nenhuma e´ correta.
6. A figura mostra um corte transversal de um capacitor de
placas planas e paralelas. O espac¸o entre as placas esta´
preenchido por dois meios isolantes (1 e 2) de constan-
tes diele´tricas K1 e K2, de modo que uma metade de tal
espac¸o e´ preenchida pelo isolante 1, e a outra metade,
pelo isolante 2. Qual das alternativas indica o valor cor-
reto da capacitaˆncia desse capacitor, em termos da sua
capacitaˆncia no va´cuo C0?
(a) 2 (K1 +K2) C0.
(b)
K1K2
K1 +K2
C0.
(c)
2K1K2
K1 +K2
C0.
(d) (K1 +K2) C0/2.
(e)
K1K2
2 (K1 +K2)
C0.
(f) (K1 +K2) C0.
2
7. Seja dado um capacitor, com certa geometria e meio
diele´trico de “recheio”. Das treˆs afirmac¸o˜es a seguir,
qual(is) e´(sa˜o) a(s) verdadeira(s)? (I) ao dobrarmos a
carga em cada uma de suas placas, a sua capacitaˆncia
tambe´m dobra; (II) ao aproximarmos uma placa da ou-
tra, a sua capacitaˆncia cresce, e (III) ao retirarmos o meio
diele´trico, a sua capacitaˆncia diminui.
(a) Todas sa˜o verdadeiras.
(b) Somente a I e a II.
(c) Somente a I e a III.
(d) Somente a II e a III.
(e) Somente a I.
(f) Somente a II.
(g) Somente a III.
(h) Nenhuma e´ verdadeira.
8. Considere treˆs objetos carregados: (I) um fio retil´ıneo,
posicionado entre os pontos x = 0 e x = L > 0, com
densidade linear de carga λ = ax (a = const); (II) uma
chapa plana, ocupando o quadrado {(x, y)|0 ≤ x, y ≤ L},
com densidade superficial σ = by (b = const), e (III) um
so´lido, ocupando o cubo {(x, y, z) | 0 ≤ x, y, z ≤ L}, com
densidade volumar ρ = cz (c = const). Todos esses obje-
tos encontram-se no interior de uma superf´ıcie fechada S.
Qual das alternativas abaixo corresponde ao fluxo ele´trico
atrave´s da superf´ıcie S?
(a) Φ =
1
ε0
(
aL2
2
+
bL3
2
+
cL4
2
)
.
(b) Φ =
1
ε0
(
aL2 + bL3 + cL4
)
.
(c) Φ =
1
ε0
(
aL+ bL2 + cL3
)
.
(d) Φ =
1
ε0
(
aL2 + 2bL3 + 3cL4
)
.
(e) Φ =
1
ε
(
abcL9
)1/3
9
.
9. Na figura, representamos um gra´fico do potencial ele´trico
entre duas placas planas, paralelas e extensas, uniforme-
mente carregadas com cargas de sinais opostos, conforme
medido ao longo da direc¸a˜o ortogonal a`s placas, sendo uma
das placas escolhida como tendo potencial e posic¸a˜o nu-
los. Qual e´ o campo ele´trico ~E em qualquer ponto entre
as placas?
(a) −(10000 V/m) xˆ.
(b) −(1000 V/m) xˆ.
(c) (1 V/m) xˆ.
(d) −(1 V/m) xˆ.
(e) (100 V/m) xˆ.
(f) −(100 V/m) xˆ.
10. Considere as seguintes distribuic¸o˜es de carga:
i esfera com densidade volumar de carga ρ = ρ(r, θ, φ),
em coordenadas esfe´ricas;
ii fio retil´ıneo muito longo (suposto infinito) com den-
sidade linear de carga na˜o uniforme;
iii anel circular com densidade linear de carga constante
(estaciona´ria e uniforme);
iv cilindro muito longo (suposto infinito) com densi-
dade volumar de carga ρ = ρ(r), em coordenadas
cil´ındricas;
v disco circular com densidade superficial de carga
constante (estaciona´ria e uniforme).
Em qual(is) delas pode-se aplicar a lei de Gauss, suple-
mentada por argumentos de simetria, para determinar o
campo ele´trico em um ponto gene´rico do espac¸o?
(a) Em todos os casos.
(b) Nos casos (i), (ii) e (iv).
(c) Somente no caso (iv).
(d) Nos casos (ii), (iv) e (v).
(e) Somente no caso (i).
(f) Em todos casos exceto o (ii).
(g) Somente no caso (iii).
(h) Somente nos casos (i) e (iv).
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Uma part´ıcula de carga q > 0 e massa m
encontra-se, inicialmente, em um ponto P , de cota z > 0,
no eixo perpendicular de simetria Z de um anel circular.
Em um determinado instante, essa part´ıcula e´ lanc¸ada (ou
impulsionada), com velocidade ~v = −vzˆ, no sentido do anel.
Sabe-se que tal anel tem raio R e densidade linear de carga
constante (estaciona´ria e uniforme) λ0 > 0.
(a) Determine o potencial ele´trico devido ao anel na posic¸a˜o
inicial da part´ıcula. [0,6 ponto]
(b) Deduza, a partir do item anterior, o campo ele´trico devido
ao anel na posic¸a˜o inicial da part´ıcula. [0,6 ponto]
(c) Determine a energia mecaˆnica total da part´ıcula imedia-
tamente apo´s o lanc¸amento. [0,6 ponto]
(d) Deduza o mo´dulo da velocidade cr´ıtica vc, acima do qual
a part´ıcula cruza o centro do anel. [0,7 ponto]
2. [2,5 pontos] Um cilindro circular de raio a e comprimento in-
finito possui uma densidade volumar de carga ρ(r) = k/r,
onde k e´ uma constante e r e´ a distaˆncia ao eixo do cilindro.
Esse cilindro e´ coaxial a um outro cilindro vazado, neutro,
tambe´m de comprimento infinito e feito de material condutor,
em equil´ıbrio eletrosta´tico, com raio interno b
e raio externo
c, de modo que 0 < a < b < c, conforme ilustrado na figura.
(a) Determine a densidade linear de carga ao longo do eixo do
cilindro interno. [0,5 ponto]
(b) Calcule o campo ele´trico em cada uma das quatro regio˜es:
0 ≤ r ≤ a, a ≤ r < b, b < r < c e c < r <∞. [2,0 pontos]
4
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. A figura mostra um dipolo ele´trico, imerso em um campo
ele´trico constante (estaciona´rio e uniforme) ~E = Exˆ
(E > 0), em treˆs configurac¸o˜es diferentes. O comprimento
do dipolo e´ L. Qual dessas configurac¸o˜es e´ a de equil´ıbrio
esta´vel e quais sa˜o, para essa configurac¸a˜o esta´vel, o vetor
momento de dipolo ele´trico ~p e a energia potencial ele´trica
U?
(a) Configurac¸a˜o 3. ~p = −qLxˆ e U = 0.
(b) Configurac¸a˜o 1. ~p = qLxˆ e U = −qLE.
(c) Configurac¸a˜o 2. ~p = qLyˆ e U = −qLE.
(d) Configurac¸a˜o 1. ~p = −qLxˆ e U = 0.
(e) Configurac¸a˜o 3. ~p = qLxˆ e U = −qLE.
(f) Configurac¸a˜o 2. ~p = −qLyˆ e U = 0.
(g) Configurac¸a˜o 3. ~p = qLxˆ e U = qLE.
(h) Configurac¸a˜o 1. ~p = qLx e U = qLE.
2. Considere uma esfera macic¸a com densidade volumar de
carga constante (estaciona´ria e uniforme), raio R e carga
total Q > 0. Qual das alternativas abaixo melhor repre-
senta os gra´ficos do mo´dulo do campo ele´trico e do poten-
cial ele´trico devidos a essa esfera em func¸a˜o da distaˆncia
r ao centro?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1
3. A figura mostra um sistema formado por quatro fios re-
til´ıneos de mesmo comprimento L e um anel de raio r. As
projec¸o˜es dos fios retil´ıneos se encontram no ponto P que
fica no centro do anel. As linhas cont´ınuas representam
distribuic¸o˜es uniformes com densidade linear λ+ de carga
positiva e as linhas tracejadas representam distribuic¸o˜es
tambe´m uniformes com densidade linear λ− = −λ+ de
carga negativa. Sendo E o mo´dulo do campo ele´trico re-
sultante, ~E, no ponto P e V o potencial ele´trico no mesmo
ponto, qual das alternativas abaixo e´ a correta? Considere
o potencial ele´trico nulo no infinito.
(a) ~E = Exˆ e V = 0.
(b) ~E = −Exˆ e V = 0.
(c) ~E = Eyˆ e V = 0.
(d) ~E = −Eyˆ e V = 0.
(e) ~E = Exˆ e V =
λ+
2πǫ0
.
(f) ~E = −Exˆ e V = λ+
2πǫ0
.
4. A figura mostra treˆs sistemas com distribuic¸o˜es uniformes
de carga interagindo eletrostaticamente. Em todos, temos
um plano infinito com densidade superficial de carga σ in-
teragindo com: um anel (1), um disco (2) e uma esfera
(3). O anel, o disco e a esfera teˆm a mesma carga to-
tal Q. Qual das alternativas abaixo melhor representa a
comparac¸a˜o entre os mo´dulos das forc¸as ele´tricas exerci-
das pelo plano sobre: o anel (F1), o disco (F2) e a esfera
(F3)?
(a) F1 > F2 > F3.
(b) F1 = F2 = F3.
(c) F1 > F2 = F3.
(d) F1 = F2 > F3.
(e) F1 = F2 < F3.
(f) F3 > F1 > F2.
(g) F1 < F2 < F3.
5. Considere as seguintes treˆs afirmaco˜es relativas a um con-
dutor em equil´ıbrio eletrosta´tico: (I) podemos ter uma
linha de campo ele´trico que une dois pontos do condu-
tor, (II) em um ponto imediatamente fora da superf´ıcie do
condutor, no qual a densidade superficial de carga e´ σ, o
campo ele´trico tem mo´dulo |σ|/(2ǫ0), e (III) em uma cavi-
dade vazia, cercada pelo condutor, o campo ele´trico e´ zero.
Qual das alternativas abaixo indica a(s) afirmac¸a˜o(oes)
correta(s)?
(a) Somente a I e a II.
(b) Somente a I e a III.
(c) Somente a II e a III.
(d) Somente a I.
(e) Somente a II.
(f) Somente a III.
(g) Todas sa˜o corretas.
(h) Nenhuma e´ correta.
6. A figura mostra um corte transversal de um capacitor de
placas planas e paralelas. O espac¸o entre as placas esta´
preenchido por dois meios isolantes (1 e 2) de constan-
tes diele´tricas K1 e K2, de modo que uma metade de tal
espac¸o e´ preenchida pelo isolante 1, e a outra metade,
pelo isolante 2. Qual das alternativas indica o valor cor-
reto da capacitaˆncia desse capacitor, em termos da sua
capacitaˆncia no va´cuo C0?
(a) 2 (K1 +K2) C0.
(b)
K1K2
K1 +K2
C0.
(c)
2K1K2
K1 +K2
C0.
(d) (K1 +K2) C0/2.
(e)
K1K2
2 (K1 +K2)
C0.
(f) (K1 +K2) C0.
2
7. Seja dado um capacitor, com certa geometria e meio
diele´trico de “recheio”. Das treˆs afirmac¸o˜es a seguir,
qual(is) e´(sa˜o) a(s) verdadeira(s)? (I) ao dobrarmos a
carga em cada uma de suas placas, a sua capacitaˆncia
tambe´m dobra; (II) ao aproximarmos uma placa da ou-
tra, a sua capacitaˆncia cresce, e (III) ao retirarmos o meio
diele´trico, a sua capacitaˆncia diminui.
(a) Todas sa˜o verdadeiras.
(b) Somente a I e a II.
(c) Somente a I e a III.
(d) Somente a II e a III.
(e) Somente a I.
(f) Somente a II.
(g) Somente a III.
(h) Nenhuma e´ verdadeira.
8. Considere treˆs objetos carregados: (I) um fio retil´ıneo,
posicionado entre os pontos x = 0 e x = L > 0, com
densidade linear de carga λ = ax (a = const); (II) uma
chapa plana, ocupando o quadrado {(x, y)|0 ≤ x, y ≤ L},
com densidade superficial σ = by (b = const), e (III) um
so´lido, ocupando o cubo {(x, y, z) | 0 ≤ x, y, z ≤ L}, com
densidade volumar ρ = cz (c = const). Todos esses obje-
tos encontram-se no interior de uma superf´ıcie fechada S.
Qual das alternativas abaixo corresponde ao fluxo ele´trico
atrave´s da superf´ıcie S?
(a) Φ =
1
ε0
(
aL2
2
+
bL3
2
+
cL4
2
)
.
(b) Φ =
1
ε0
(
aL2 + bL3 + cL4
)
.
(c) Φ =
1
ε0
(
aL+ bL2 + cL3
)
.
(d) Φ =
1
ε0
(
aL2 + 2bL3 + 3cL4
)
.
(e) Φ =
1
ε
(
abcL9
)1/3
9
.
9. Na figura, representamos um gra´fico do potencial ele´trico
entre duas placas planas, paralelas e extensas, uniforme-
mente carregadas com cargas de sinais opostos, conforme
medido ao longo da direc¸a˜o ortogonal a`s placas, sendo uma
das placas escolhida como tendo potencial e posic¸a˜o nu-
los. Qual e´ o campo ele´trico ~E em qualquer ponto entre
as placas?
(a) −(10000 V/m) xˆ.
(b) −(1000 V/m) xˆ.
(c) (1 V/m) xˆ.
(d) −(1 V/m) xˆ.
(e) (100 V/m) xˆ.
(f) −(100 V/m) xˆ.
10. Considere as seguintes distribuic¸o˜es de carga:
i esfera com densidade volumar de carga ρ = ρ(r, θ, φ),
em coordenadas esfe´ricas;
ii fio retil´ıneo muito longo (suposto infinito) com den-
sidade linear de carga na˜o uniforme;
iii anel circular com densidade linear de carga constante
(estaciona´ria e uniforme);
iv cilindro muito longo (suposto infinito) com densi-
dade volumar de carga ρ = ρ(r), em coordenadas
cil´ındricas;
v disco circular com densidade superficial de carga
constante (estaciona´ria e uniforme).
Em qual(is) delas pode-se aplicar a lei de Gauss, suple-
mentada por argumentos de simetria, para determinar o
campo ele´trico em um ponto gene´rico do espac¸o?
(a) Em todos os casos.
(b) Nos casos (i), (ii) e (iv).
(c) Somente no caso (iv).
(d) Nos casos (ii), (iv) e (v).
(e) Somente no caso (i).
(f) Em todos casos exceto o (ii).
(g) Somente no caso (iii).
(h) Somente nos casos (i) e (iv).
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Uma part´ıcula de carga q > 0 e massa m
encontra-se, inicialmente, em um ponto P , de cota z > 0,
no eixo perpendicular de simetria Z de um anel circular.
Em um determinado instante, essa part´ıcula e´ lanc¸ada (ou
impulsionada), com velocidade ~v = −vzˆ, no sentido do anel.
Sabe-se que tal anel tem raio R e densidade linear de carga
constante (estaciona´ria e uniforme) λ0 > 0.
(a) Determine o potencial ele´trico devido ao anel na posic¸a˜o
inicial da part´ıcula. [0,6 ponto]
(b) Deduza, a partir do item anterior, o campo ele´trico
devido
ao anel na posic¸a˜o inicial da part´ıcula. [0,6 ponto]
(c) Determine a energia mecaˆnica total da part´ıcula imedia-
tamente apo´s o lanc¸amento. [0,6 ponto]
(d) Deduza o mo´dulo da velocidade cr´ıtica vc, acima do qual
a part´ıcula cruza o centro do anel. [0,7 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) Ja´ supondo que o zero do potencial esta´ no infinito, podemos dizer que uma contribuic¸a˜o infinitesimal dV para o
potencial eletrosta´tico em um ponto (de observac¸a˜o) a uma distaˆncia r de um elemento infinitesimal da distribuic¸a˜o com
carga infinitesimal dq, e´
dV =
1
4πǫ0
dq
r
. [0,2 ponto]
Logo, para a distribuic¸a˜o completa de carga, no domı´nio curvil´ıneo C, por superposic¸a˜o, temos
V =
1
4πǫ0
∫
C
dq
r
.
No caso concreto, de um ponto sobre o eixo perpendicular de simetria (x = y = 0, z) do anel, e´ o´bvio que todos os pontos
do anel carregado esta˜o a` mesma distaˆncia do ponto P . Logo,
V =
1
4πǫ0r
∫
C
dq
=
1
4πǫ0
Q
r
, [0,2 ponto]
onde, claro, Q e´ a carga total do anel, ou seja,
Q = λ02πR ,
e
r =
√
R2 + z2 .
Finalmente, enta˜o,
V (x = y = 0, z) =
λ0R
2ǫ0
√
R2 + z2
. [0,2 ponto]
�
(b) Genericamente, o campo eletrosta´tico se relaciona com o potencial eletrosta´tico por
~E = − ~∇V.
4
Por simetria, no eixo Z, sabemos que na˜o existem componentes do campo nas direc¸o˜es x e y. Portanto,
~E(x = y = 0, z) = −∂V (x = y = 0, z)
∂z
[0,3 ponto]
= −λ0R
2ǫ0
∂
∂z
[(
R2 + z2
)−1/2]
.
Logo,
~E(x = y = 0, z) =
λ0
2ǫ0
Rz
(R2 + z2)3/2
zˆ . [0,3 ponto]
�
(c) A energia mecaˆnica Em da part´ıcula e´ igual a sua energia cine´tica Ec mais a sua energia potencial Ep. Logo apo´s o
lanc¸amento, a part´ıcula possui velocidade −vzˆ, donde conclu´ımos que sua energia cine´tica se escreve
Ec =
1
2
mv2 . [0,2 ponto]
Ja´ a energia potencial, logo apo´s o lanc¸amento, e´ U = qV , ou seja,
U =
qλ0R
2ǫ0
√
R2 + z2
. [0,2 ponto]
Temos enta˜o,
Em = Ec + U =
1
2
[
mv2 +
qλ0R
ǫ0
√
R2 + z2
]
. [0,2 ponto]
�
(d) A forc¸a eletrosta´tica entre o anel e a part´ıcula (sempre repulsiva), na parte da trajeto´ria dessa u´ltima com z > 0, freara´
o movimento. Destarte, a situac¸a˜o limite em que a part´ıcula podera´ atingir o centro do anel corresponde a ela ter ali uma
energia cine´tica nula. Logo, por conservac¸a˜o da energia mecaˆnica, devemos ter
Em(z = 0) = Em(z)
0 +
qλ0R
2ǫ0R
=
1
2
mv2c +
qΛ0R
2ǫ0
√
R2 + z2
. [0,4 ponto]
Resolvendo para vc, obtemos
vc =
√
qλ0
ǫ0m
[
1− R√
R2 + z2
]1/2
. [0,3 ponto]
�
2. [2,5 pontos] Um cilindro circular de raio a e comprimento in-
finito possui uma densidade volumar de carga ρ(r) = k/r,
onde k e´ uma constante e r e´ a distaˆncia ao eixo do cilindro.
Esse cilindro e´ coaxial a um outro cilindro vazado, neutro,
tambe´m de comprimento infinito e feito de material condutor,
em equil´ıbrio eletrosta´tico, com raio interno b e raio externo
c, de modo que 0 < a < b < c, conforme ilustrado na figura.
(a) Determine a densidade linear de carga ao longo do eixo do
cilindro interno. [0,5 ponto]
(b) Calcule o campo ele´trico em cada uma das quatro regio˜es:
0 ≤ r ≤ a, a ≤ r < b, b < r < c e c < r <∞. [2,0 pontos]
5
Resoluc¸a˜o:
(a) Em uma casca cil´ındrica circular, coaxial com o cilindro interno, de raio r, espessura infinitesimal dr e altura, digamos,
h, ao longo do eixo, a quantidade de carga infinitesimal a´ı existente e´
dq = ρ(r)dV
=
k
r
2πrhdr . [0,2 ponto]
Logo, por integrac¸a˜o de r = 0 ate´ r = a, a carga total no cilindro interno, delimitada por uma altura h ao longo do eixo, e´
Q(h) = 2πkah , [0,2 ponto]
ou seja, a densidade linear de carga ao longo do eixo do cilindro interno e´
λ =
Q(h)
h
= 2πka . [0,1 ponto]
�
(b) Devido a` simetria cil´ındrica da distribuic¸a˜o de carga, sabemos que o campo ele´trico, em coordenadas cil´ındricas (r, ϕ, z),
com eixo Z coincidente com o eixo de simetria da distribuic¸a˜o, so´ tera´ componente r, e essa so´ dependente da coordenada
radial r:
~E(r, ϕ, z) = Er(r) rˆ(ϕ) .
Destarte, em qualquer uma das quatro regio˜es distintas para determinar o campo ele´trico, e´ conveniente utilizar a lei de
Gauss, com uma superf´ıcie gaussiana sendo sempre uma superf´ıcie cil´ındrica coaxial com o eixo da distribuic¸a˜o, de raio r e
altura, digamos, h, de modo que o fluxo sempre tera´, genericamente, a expressa˜o
Φ~E =
∮
S
~E ·nˆ dA
=
∫
Slat
~E ·nˆ dA
= Er(r)2πrh . [0,6 ponto]
O que diferira´, nas quatro regio˜es sera´ a expressa˜o para a carga encerrada pela superf´ıcie gaussiana. Assim,
• 0 ≤ r ≤ a:
A carga encerrada e´, neste caso,
Qint =
∫
ρ(r′)dV ′
=
∫ r
r′=0
k
r′
2πr′hdr′
= 2πkrh .
Substituindo na lei de Gauss e resolvendo para Er(r), temos
~E =
k
ǫ0
rˆ . [0,3 ponto]
• a ≤ r < b:
A carga encerrada agora e´
Qint =
∫
ρ(r′)dV ′
=
∫ a
r′=0
k
r′
2πr′hdr′
= 2πkah .
Substituindo na lei de Gauss e resolvendo para Er(r), temos
~E =
ka
ǫ0r
rˆ . [0,3 ponto]
6
• b < r < c:
Nesta regia˜o, por ser constitu´ıda de um condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, o campo ele´trico e´ obviamente nulo:
~E = ~0 . [0,5 ponto]
• c < r <∞:
A carga encerrada e´ a mesma que a existente no cilindro interno, pois o cilidnro vazado e´ neutro, ou seja,
Qint = 2πkah .
Substituindo na lei de Gauss e resolvendo para Er(r), temos
~E =
ka
ǫ0r
rˆ . [0,3 ponto]
�
7
Provas Antigas - Física 3/P1-2013.1.pdf
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2013/1 – Primeira Prova: 27/05/2013
Versa˜o: C
Formula´rio
~F
e
= q ~E , ~E = k0
q
r2
rˆ
(
onde k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d~A = Qint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = k0 q
r
U = k0
qq′
r
, ~E =
~E0
K
, C = Q/V , I =
∫
S
~J ·d~A , ~J = nq~v , ~J = σ~E , V = RI ,
∫
du
(u2 + 1)1/2
= ln
(
u+
√
u2 + 1
)
,
∫
du
u2 + 1
= arctanu ,
∫
du
(u2 + 1)3/2
=
u√
u2 + 1∫
udu
(u2 + 1)1/2
=
√
u2 + 1 ,
∫
udu
u2 + 1
=
1
2
ln(u2 + 1) ,
∫
udu
(u2 + 1)3/2
=
−1√
u2 + 1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. Um condutor com uma cavidade encontra-se em equil´ıbrio
eletrosta´tico e possui uma carga total q = −20 mC. No
interior da cavidade, existe uma part´ıcula em repouso, de
carga tambe´m q = −20 mC. Quais sa˜o as cargas nas su-
perf´ıcies interna e externa do condutor, respectivamente?
(a) 20 mC e −40 mC.
(b) −20 mC e 0 mC.
(c) −10 mC e −10 mC.
(d) 0 mC e −20 mC.
(e) −40 mC e 20 mC.
2. Dois fios (1 e 2) condutores, cil´ındricos circulares, ho-
mogeˆneos, de mesmos comprimento e a´rea de sec¸a˜o reta,
sa˜o unidos em se´rie. A resistividade ele´trica do fio 1 e´ o
dobro da do fio 2. Existe uma diferenc¸a de potencial entre
as extremidades do fio combinado. Quais sa˜o as razo˜es
J1/J2 e E1/E2 entre os mo´dulos das densidades de cor-
rente (estaciona´rias) e dos campos ele´tricos nos fios 1 e 2,
respectivamente?
(a) 2 e 1.
(b) 1 e 2.
(c) 2 e 2
(d) 1 e 1.
(e) 1/2 e 1.
(f) 1 e 1/2.
(g) 1/2 e 1/2.
1
3. Uma casca condutora esfe´rica, espessa, de raios interno
e externo iguais a a e b, respectivamente, encontra-se em
equil´ıbrio eletrosta´tico e possui carga q. Uma part´ıcula, de
carga q/2 esta´ situada, em repouso, no centro de tal casca.
Que relac¸a˜o
e´ va´lida entre os potenciais Va := V (r = a) e
Vb := V (r = b)?
(a) Vb = 2Va.
(b) Va = 2Vb.
(c) Vb = Va.
(d) Vb = −2Va.
(e) Va = −2Vb.
4. Uma chapa paralelepipedal de cobre, de espessura b e´ in-
troduzida em um capacitor ideal de placas retangulares,
paralelas, separadas por uma distaˆncia L e possuindo am-
bas a´rea A. Mantendo a carga em cada placa constante,
qual e´ a capacitaˆncia apo´s a introduc¸a˜o da chapa e qual
e´ a raza˜o entre as energias armazenadas antes e depois da
introduc¸a˜o da placa?
(a) ε0A/(L− b) e L2/(L− b)2.
(b) ε0(L− b)/A e L2/(L− b)2.
(c) ε0(L− b)/A e L/(L− b).
(d) ε0A/(L− b) e (L− b)/L.
(e) ε0A/(L− b) e L/(L− b).
5. Considere as seguintes treˆs afirmac¸o˜es: (I) a lei de Gauss
so´ vale para distribuic¸o˜es estaciona´rias de carga; (II) todo
campo eletrosta´tico pode ser escrito como o gradiente de
uma func¸a˜o escalar, e (III) ao dobrarmos o mo´dulo da
carga de um dado capacitor vazio, preservando sua geo-
metria e mantendo-o vazio, dobramos sua capacitaˆncia.
Qual(is) dessas afirmac¸o˜es e´(sa˜o) correta(s)?
(a) Nenhuma.
(b) Todas.
(c) I e II.
(d) I e III.
(e) II e III.
(f) Somente I.
(g) Somente II.
(h) Somente III.
6. Duas part´ıculas, de carga q, encontram-se, em repouso, em
ve´rtices opostos de um quadrado com aresta de compri-
mento L. Uma terceira part´ıcula, de carga q0, e´ colocada,
tambe´m em repouso, em um dos ve´rtices originalmente
vazios. Qual e´ a energia potencial ele´trica desse sistema
completo de treˆs part´ıculas e qual e´ o trabalho realizado
pela forc¸a ele´trica, devida a`s duas primeiras part´ıculas,
quando a terceira e´ deslocada de um dos ve´rtices original-
mente vazios para o outro, respectivamente?
(a) 2k0q0q/L e 0.
(b) k0q
2/(
√
2L) + 2k0q0q/L e 0.
(c) 2k0q0q/L+ 2k0q
2/(
√
2L) e 4k0q0q/L.
(d) 2k0q0q/(
√
2L) e −4k0q0q/L.
(e) −2k0q0q/L e 0.
7. Considere os seguintes dois sistemas: (a) circunfereˆncia
de c´ırculo com uma metade uniformemente carregada com
densidade linear λ > 0 e a outra metade com densidade
−λ < 0; (b) circunfereˆncia de c´ırculo com um quarto
uniformemente carregado com densidade linear 2λ > 0
e o outro quarto, diametralmente oposto, com densidade
−2λ < 0. Quais sa˜o os campos ele´tricos no centro O
dos sistemas (a) e (b), respectivamente? (Sugesta˜o: use o
princ´ıpio de superposic¸a˜o.)
(a) − λ
πε0R
yˆ e
λ
πε0R
(xˆ− yˆ).
(b) − λ
2πε0R
yˆ e
λ
2πε0R
(xˆ− yˆ).
(c) − λ
πε0R
yˆ e
2λ
πε0R
(xˆ− yˆ).
(d) − 2λ
πε0R
yˆ e
2λ
πε0R
(xˆ− yˆ).
(e) − λ
4πε0R
yˆ e
λ
4πε0R
(xˆ− yˆ).
2
8. Considere uma casca cil´ındrica, muito longa, uniforme-
mente carregada, cujo raio cresce, desde um valor Rini ate´
um valor Rfin. Neste processo (“de crescimento”), em que
a carga permanece constante, o que ocorre com o mo´dulo
do campo ele´trico em cada um dos treˆs pontos fixos, 1, 2
e 3, respectivamente: aumenta, diminui ou permanece o
mesmo?
(a) 1: permanece o mesmo; 2: permanece o mesmo, e
3: aumenta.
(b) 1: permanece o mesmo; 2: aumenta, e 3: au-
menta.
(c) 1: diminui; 2: diminui, e 3: aumenta.
(d) 1: permanece o mesmo; 2: diminui, e 3: perma-
nece o mesmo.
(e) 1: diminui; 2: diminui, e 3: permanece o mesmo.
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. [2,6 pontos] Considere um basta˜o retil´ıneo, fino, de compri-
mento 2L, com densidade linear de carga constante λ0, situ-
ado no intervalo (−L,L) do eixo Z, conforme mostra a figura.
(a) Determine o campo ele´trico ~E(s) devido a tal basta˜o, em
um ponto gene´rico, a uma distaˆncia s do basta˜o, de seu plano
me´dio perpendicular de simetria (z = 0). [1,0 ponto]
Considere, agora, um segundo basta˜o retil´ıneo, fino, de
comprimento L, situado no referido plano me´dio perpendicular
de simetria do primeiro basta˜o. Na verdade, o eixo desse novo
basta˜o e´ perpendicular ao eixo do primeiro, conforme mostra
a figura. Finalmente, esse novo basta˜o possui densidade linear
de carga estaciona´ria, mas na˜o uniforme, dada por
λ(s) = Cs2 ,
onde C e´ uma constante e s continua sendo a distaˆncia ate´ o
eixo do primeiro basta˜o.
(b) Determine a carga total desse segundo basta˜o. [0,6 ponto]
(c) Determine a forc¸a eletrosta´tica do primeiro basta˜o sobre o
segundo. [1,0 ponto]
2. [2,6 pontos] Um bala˜o esfe´rico, feito de um material ela´stico na˜o-condutor, sofre uma expansa˜o que dobra o seu raio inicial
R0. A distribuic¸a˜o superficial de carga no bala˜o e´ sempre uniforme e, inicialmente, sua densidade (superficial) e´ igual a σ0.
(a) Determine o campo ele´trico em um ponto arbitra´rio da regia˜o externa do bala˜o, antes da expansa˜o. [1,2 ponto]
(b) Determine a densidade superficial de carga no bala˜o, apo´s a expansa˜o. [0,2 ponto]
3
(c) Determine o potencial ele´trico na superf´ıcie do bala˜o apo´s a expansa˜o, supondo que o potencial se anula no infinito. [0,6
ponto]
(d) Determine a variac¸a˜o da energia potencial ele´trica causada pela expansa˜o, ou seja, a diferenc¸a entre os seus valores final
e inicial. [0,6 ponto]
4
Gabarito para Versa˜o C
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (8×0,6 = 4,8 pontos)
1. (a)
2. (b)
3. (c)
4. (e)
5. (g)
6. (b)
7. (a)
8. (d)
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,6 = 5,2 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Usaremos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para campos ele´tricos.
Um determinado elemento infinitesimal do basta˜o, com carga dq, contribui com o seguinte campo ele´trico no ponto de
observac¸a˜o:
d~E(s) =
k0dq
r2
r ,
onde
r
2 = s2 sec2 α .
Ora, por simetria, o campo resultante so´ tera´ componente s, que sera´ a integral de
.dEs(s) =
k0λ0sdz
r3
=
k0λ0sdz
(s2 + z2)3/2
(1)
ou de
dEs(s) =
k0λ0dz
r2
cosα .
Como
z = s tanα⇒ dz = s sec2 αdα ,
temos ainda
dEs(s) =
k0λ0s sec
2 αdα
s2 sec2 α
cosα.
Logo, seja integrando direto (1) pelo formula´rio, seja integrando essa expressa˜o acima, encontramos
~E(s) =
2k0λ0
s
senα0 sˆ ,
onde
senα0 = L/
√
L2 + s2 .
�
(b) Para tal basta˜o, por ser na˜o uniformemente carregado, devemos, necessariamente, integrar λ para obter a carga total.
Logo,
Qtot =
∫ a+L
s=a
Cs2 ds
=
1
3
C
[
(a+ L)3 − a3] ,
1
e, portanto,
Qtot =
1
3
C
[
3a2L+ 3aL2 + L3
]
.
�
(c) Sobre um elemento infinitesimal do segundo basta˜o, situado a uma distaˆncia s do primeiro basta˜o e com carga dq, atuara´
uma forc¸a
d~F = dq ~E(s)
= Cs2 ds
2k0λ0L
s
√
s2 + L2
sˆ
=
2k0λ0CLs ds√
s2 + L2
sˆ .
Logo, a forc¸a resultante e´
~F = 2k0λ0CL
(√
(a+ L)2 + L2 −
√
a2 + L2
)
sˆ .
�
2. Resoluc¸a˜o:
(a) Devido a` simetria esfe´rica do problema, e´ mais conveniente encontrarmos o campo ele´trico usando a lei de Gauss. Esta
u´ltima diz que ∮
S
~E · d~A = Qenc
ε0
,
onde S e´ a superf´ıcie gaussiana escolhida e Qenc e´ a carga total no interior de S. Grac¸as a` simetria esfe´rica, sabemos que o
campo so´ depende da coordenada radial r e so´ tem componente na direc¸a˜o radial rˆ, de modo que
~E(r, θ, φ) = Er(r)rˆ.
Escolhendo-se enta˜o uma superf´ıcie gaussiana esfe´rica conceˆntrica ao bala˜o e maior do que ele, temos d~A = dA rˆ =
r2senθdθdφ rˆ, e enta˜o ∮
S
~E · d~A =
∫ π
θ=0
∫
2π
φ=0
Er(r) r
2senθdθdφ = 4πr2Er(r) =
Qenc
ε0
.
Como a densidade σ0 e´ constante, temos
Qenc =
∫ π
θ=0
∫ 2π
φ=0
σ0R
2
0senθdθdφ = 4πR
2
0 σ0
e enta˜o
4πr2Er(r) =
4πR20 σ0
ε0
⇒ Er(r) = σ0R
2
0
ǫ0r2
,
ou seja,
~E =
σ0R
2
0
ε0r2
rˆ.
�
(b) Como o bala˜o apenas se expandiu, sua carga Q0 continua a mesma. Como a densidade superficial se mante´m uniforme,
temos, para um bala˜o de raio 2R0 (e portanto a´rea 16πR
2
0)
σ1 =
Q0
16πR20
=
1
4
Q0
4πR20
=
σ0
4
,
onde σ1 e´ a densidade superficial apo´s a expansa˜o.
�
2
(c) Sabendo-se que, na regia˜o externa ao bala˜o, o campo ele´trico apo´s a expansa˜o e´ ideˆntico ao campo ele´trico anterior a`
expansa˜o, podemos utilizar o resultado do item (a) aqui. O potencial em um ponto de posic¸a˜o ~r e´ dado por
V (~r)− V (∞) = V (~r) =
∫
C
~E · d~ℓ,
onde C e´ uma linha qualquer que leve de ~r ao infinito, e ja´ usamos o fato de que V (∞) = 0. Como o campo e´ radial, e´ mais
conveniente integra´-lo ao longo de uma reta radial, logo,
V (~r) =
∫
C
~E · d~ℓ =
∫
∞
~r
Er dr =
σ0R
2
0
ε0
∫
∞
~r
dr
r2
=
σ0R
2
0
ε0r
,
onde r = |~r|. Escolhendo um ponto de posic¸a˜o ~r1 na superf´ıcie do bala˜o expandido, temos |~r1| = 2R0 e, portanto,
V (~r1) =
σ0R
2
0
2ε0R0
=
σ0R0
2ε0
.
�
(d) A variac¸a˜o da energia potencial e´ dada por ∆U = U1 − U0, onde U1 (U0) e´ a energia potencial eletrosta´tica depois
(antes) da expansa˜o. Temos, pelo menos, 3 diferentes maneiras de resolver tal item.
• trabalho atrave´s de uma ddp:
Para calcularmos o trabalho para carregarmos o bala˜o (com raio fixo R, por exemplo), desde uma carga inicial q = 0
ate´ uma carga final q = Q, imaginamos um instante t´ıpico intermedia´rio em que o bala˜o tem carga q entre 0 e Q e
potencial v = k0q/R entre 0 e V = k0Q/R. Nesse instante, trazemos uma carga infinitesimal adicional dq, desde o
infinito ate´ a superf´ıcie do bala˜o e o correspondente trabalho infinitesimal para tanto, visto que o potencial foi feito
zero no infinito, e´
dU = dqv = dqk0q/R .
Logo, o trabalho total para carregar o baa˜o e´:
U =
1
2
k0Q
2
R
.
Agora, temos somente que subtrair o valor de tal expressa˜o quando R = R0 do seu valor quando R = 2R0, para obter:
∆U = −1
4
k0Q
2
R0
= −πσ
2
0R
3
0
ε0
.
• OU energia de uma distribuic¸a˜o superficial gene´rica:
A energia potencial associada a uma distribuic¸a˜o superficial de carga e´ dada por
U =
1
2
∫
S
σ(~r)V (~r) dA,
onde S e´ uma superf´ıcie dada. No nosso caso, enta˜o, temos
Ui =
1
2
∫
Si
σiV (~ri)dA =
V (~ri)
2
∫
Si
σi dA =
Q0V (~ri)
2
onde i = 0, 1 e S0 (S1) e´ a superf´ıcie do bala˜o antes (depois) da expansa˜o. Usamos ainda o fato de que superf´ıcies
esfe´ricas sa˜o equipotenciais de V (~r). Sabendo-se enta˜o que
V (~r0) =
σ0R0
ǫ0
e usando o resultado do item (c), temos finalmente
∆U =
Q0
2
(V (~r1)− V (~r0)) = −πσ
2
0R
3
0
ε0
.
3
• OU energia armazenada em um campo ele´trico:
Uma superf´ıcie esfe´rica, de raio R e carga total Q uniformemente distribu´ıda gera, no seu exterior e somente no seu
exterior, um campo ele´trico de mo´dulo igual a
E(r) = k0
|Q|
r2
(r > R) .
Logo, a energia total armazenada no correspondente campo ele´trico e´
U =
∫
∞
r=R
1
2
ε0E
2(r)4πr2dr
= 2πε0
∫
∞
r=R
k20Q
2
r4
r2dr
=
1
2
k0Q
2
∫
∞
r=R
1
r2
dr
=
1
2
k0Q
2
R
.
Portanto, assim como na primeira maneira de resoluc¸a˜o acima,
∆U = −1
4
k0Q
2
R0
= −πσ
2
0R
3
0
ε0
.
�
4
Provas Antigas - Física 3/P2-2009.1.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA III (FIM230) - 2009/1
SEGUNDA PROVA UNIFICADA
DATA: 26/06/2009
• Na˜o e´ permitido o uso de calculadoras, telefones celulares, “iPods” ou similares.
• No cabec¸alho do caderno de resoluc¸a˜o, devera˜o constar, legivelmente, nome do aluno, seu
nu´mero de DRE, sua turma, seu hora´rio de aulas e o nome de seu professor.
• Nenhum esclarecimento individual sera´ prestado no per´ıodo de realizac¸a˜o da prova; caso
persista alguma du´vida de enunciado, o aluno deve discorrer sobre a mesma no seu pro´prio
caderno de resoluc¸a˜o.
• Seja claro, preciso e asseado.
PROBLEMA 1 (Movimento em um campo magne´tico) [ 2,0 ponto(s)]
A curva da figura ao lado representa a trajeto´ria semi-
circular, de centro C e diaˆmetro D, de um feixe de
ele´trons (carga −e e massam) na presenc¸a de um campo
magne´tico constante (estaciona´rio e uniforme). O feixe
parte da origem do sistema de coordenadas da figura.
(a) Reproduza a figura em seu caderno de resoluc¸a˜o e
trace, com cuidado, o vetor forc¸a magne´tica ~Fm sobre
um ele´tron no ponto P indicado. Determine a direc¸a˜o e o
sentido do campo magne´tico ~B que atua sobre o ele´tron.
[1,0 ponto]
(b) Encontre a raza˜o e/m entre o mo´dulo da carga e a
massa do ele´tron em func¸a˜o do mo´dulo v da velocidade
do ele´tron, do mo´dulo B do campo magne´tico aplicado
e do diaˆmetro D da semi-circunfereˆncia. [1,0 ponto]
X
Y
O
P
xˆ
yˆ
zˆ
C
D
Resoluc¸a˜o
(a) Sabemos que ~Fm = q~v × ~B onde q = −e, ~Fm e´ centr´ıpeta e portanto esta´ sempre no plano xy, apontando
para o centro C da trajeto´ria e ~v e´ tangencial a trajeto´ria, e, da mesma forma, tambe´m esta´ sempre no plano
XY e perpendicular a ~Fm. Para que ~v × ~B seja perpendicular a ~Fm temos que ~B deve estar ao longo do eixo
Z, pela regra da ma˜o direita temos que deve apontar na direc¸a˜o −zˆ.
Na Figura 1, trac¸amos o vetor forc¸a magne´tica ~Fm e o vetor campo magne´tico ~B.
X
Y
O
P
~Fm
xˆ
yˆ
zˆ
C
D
⊗
~B
Figura 1: Movimento de um feixe de ele´trons.
1
(b) A forc¸a magne´tica exerce o papel de forc¸a centr´ıpeta:
~Fm = q~v × ~B = −m
v2
r
rˆ ;
logo
evB = m
v2
r
e finalmente
e
m
=
v
rB
=
2v
DB
PROBLEMA 2 (Cabo coaxial) [ 3,0 ponto(s)]
Um cabo coaxial e´ constitu´ıdo por um cilindro circular
so´lido, condutor, de raio a, e por uma casca (superf´ıcie)
cil´ındrica condutora, coaxial, de raio b (b > a), conforme
mostra a figura ao lado. O cabo e´ muito longo (compri-
mento L ≫ b) . O cilindro so´lido interno e´ percorrido
por uma corrente total estaciona´ria ia, uniformemente
distribu´ıda em toda a sua sec¸a˜o transversal. Na casca
temos uma corrente total, ib, tambe´m estaciona´ria e uni-
formemente distribu´ıda, pore´m de sentido contra´rio a ia
(admita que ia > ib > 0).
(a) Encontre o vetor campo magne´tico na regia˜o I, den-
tro do cilindro so´lido (r < a). [1,5 ponto]
(b) Encontre o vetor campo magne´tico na regia˜o II, en-
tre o cilindro so´lido e a casca cil´ındrica (a < r < b). [0,5
ponto]
(c) Encontre o vetor campo magne´tico na regia˜o III, fora
da casca cil´ındrica (r > b). [1,0 ponto]
zˆ
rˆ
⊗ φˆ
ia
ib
a
b I
II
III
L
Resoluc¸a˜o
(a) Por simetria cil´ındrica, escolhemos uma curva ampe`riana circular, conceˆntrica com o eixo do sistema; nela a
circulac¸a˜o de ~B sera´ ∮
C
~B · dℓ = 2πrB(r) .
Por sua vez, como a corrente ia esta´ uniformemente distribu´ıda na sec¸a˜o reta do cilindro so´lido interno, dentro
da ampe`riana teremos uma corrente encerrada menor dada por
ienc = ia
r2
a2
.
Finalmente, pela lei de Ampe`re, obtemos o campo na regia˜o I:
~B(r) =
µ0iar
2πa2
φˆ .
(b) Na regia˜o II, aproveitamo-nos novamente da simetria cil´ındrica e, agora, a corrente total encerrada e´ a pro´pria
corrente ia. Destarte,
~B(r) =
µ0ia
2πr
φˆ .
(c) Finalmente, na regia˜o III, pelo mesmo tipo
de argumento, temos:∮
C
~B · dℓ = 2πrB(r) .
2
Agora, contudo, a corrente total encerrada e´ ia − ib; logo,
~B(r) =
µ0(ia − ib)
2πr
φˆ .
PROBLEMA 3 (Espira retangular em um campo magne´tico na˜o constante) [ 2,5 ponto(s)]
Na figura ao lado, temos uma espira retan-
gular condutora, de comprimento h, largura
a e resisteˆncia R, situada a uma distaˆncia r0
do eixo Z coplanar. Na regia˜o ocupada por
tal espira, existe um campo magne´tico na˜o
estaciona´rio e na˜o uniforme dado por
~B(t, r) =
Kt
r
φˆ ,
onde K e´ uma constante positiva e r e´ a
distaˆncia ate´ o eixo Z.
(a) Calcule o fluxo do campo magne´tico
atrave´s da espira, tomando como vetor nor-
mal unita´rio o pro´prio vetor φˆ. [1,0 ponto]
(b) Deduza a expressa˜o para a intensidade
da corrente induzida na espira, desprezando
a sua auto-indutaˆncia, e indique, numa figura
conveniente, o sentido de tal corrente. [1,5
ponto]
Z
r0
a
h
⊗
zˆ
rˆφˆ
Resoluc¸a˜o
(a) Por definic¸a˜o de fluxo,
ΦB :=
∫
S
~B · nˆdA
=
∫ r0+a
r=r0
Kt
r
hdr
= Kth ln
(
r0 + a
r0
)
.
(b) Pela lei de Faraday,
Eind = −
dΦB
dt
= −Kh ln
(
r0 + a
r0
)
.
Logo, a corrente induzida vale
Iind = −
Kh
R
ln
(
r0 + a
r0
)
,
e o seu sentido e´ o anti-hora´rio (trigonome´trico), conforme mostra a figura abaixo:
3
Iind
PROBLEMA 4 (Circuito RL) [ 2,5 pontos ponto(s)]
No circuito da figura ao lado, um resistor de resisteˆncia
R e um indutor de indutaˆncia L sa˜o conectados em se´rie
com uma bateria de fem E no instante, t = 0, em que a
chave S e´ fechada.
(a) Determine a equac¸a˜o diferencial para a corrente i(t)
que se estabelece no circuito. [0,5 ponto]
(b) Resolva a equac¸a˜o diferencial do item anterior para
i(t). [1,0 ponto]
(c) Encontre a fem auto-induzida no indutor EL(t). [0,5
ponto]
(d) Determine a corrente final no circuito, depois de
transcorrido um tempo muito longo. [0,5 ponto]
b b
b
b
E
R
L
S
Resoluc¸a˜o
(a)
di
dt
+ i
R
L
−
E
L
= 0.
(b)
i(t) =
E
R
(
1− e−(R/L)t
)
.
(c)
EL(t) = −L
di
dt
= iR− E = E
(
1− e−(R/L)t
)
− E = −Ee−(R/L)t.
(d)
iF =
E
R
.
4
Provas Antigas - Física 3/P2-2009.2.pdf
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2009/2
Segunda Prova (P2) – 07/12/2009
Versa˜o: A
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
Total
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de dez (10) questo˜es objetivas, de mu´ltipla escolha (sem nenhum tipo de penalizac¸a˜o), cada
uma das quais valendo 0,5 ponto
• uma parte discursiva, constitu´ıda por duas questo˜es discursivas (ou argumentativas ou dissertativas),
cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
I =
∫
S
J ·nˆdA , J = nqv , V = RI , Fm = qv×B , Fm =
∫
C
Idℓ×B ,
∮
S
B · nˆ dA = 0 , B = µ0
4π
qv × rˆ
r2
, B =
∫
C
µ0
4π
Idℓ× rˆ
r2
,
∮
C
B ·dℓ = µ0I + µoǫ0 dΦE
dt
,
E = −dΦB
dt
, uB =
1
2
B2
µ0
.
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)
1. Numa experieˆncia de efeito Hall, uma tira con-
dutora em forma de paralelep´ıpedo esta´ disposta
conforme indica a figura abaixo, sendo percorrida
por uma corrente cujo sentido convencional esta´
a´ı assinalado. Sabendo que o sinal das cargas dos
portadores livres e´ negativo e que o potencial Vsup
na parte superior da tira, apo´s atingido o regime
estaciona´rio, e´ maior que o potencial Vinf na parte
inferior da tira, indique a opc¸a˜o correta para uma
poss´ıvel direc¸a˜o e sentido do campo magne´tico ex-
terno que provoca o efeito Hall.
b
xˆ
yˆ
zˆ
(a) xˆ .
(b) −xˆ .
(c) yˆ .
(d) −yˆ .
(e) zˆ .
(f) −zˆ .
2. Uma corrente ele´trica estaciona´ria I passa por
um condutor formado por um quarto de c´ırculo
de raio a e por dois fios retil´ıneos semi-infinitos
que fazem um aˆngulo de π/2 entre si, conforme
mostra a figura abaixo. A intensidade do campo
magne´tico no ponto P, que coincide com o centro
do c´ırculo, e´ dada por:
a
P
I
(a) µ0I
2pia
.
(b) µ0I
4pia
.
(c) µ0I
4a
.
(d) µ0I
8a
.
(e) µ0I
2a
(
1
pi
+ 1
2
)
.
3. I´ons dos a´tomos de C12 e C13, de mesma carga
+e e mesma energia cine´tica K, entram em um
espectroˆmetro de massa, onde ha´ um campo
magne´tico B perpendicular aos vetores velocida-
des de ambos os ı´ons. Considerando as massas
dos ı´ons de C12 e C13 iguais a 12u e 13u, respec-
tivamente, onde u e´ a unidade de massa atoˆmica,
a raza˜o entre os raios das trajeto´rias percorridas
pelos dois ı´ons RC12/RC13 e´:
(a) 12/13 .
(b) 13/12 .
(c)
√
12/13 .
(d)
√
13/12 .
(e) 1 .
4. Uma barra de cobre cil´ındrica, de resisteˆncia
ele´trica R, comprimento L e a´rea da sec¸a˜o reta
transversalA, e´ esticada para o dobro do seu com-
primento original, sem que seu volume se altere.
Pode-se afirmar que o novo valor de sua resisteˆncia
ele´trica e´:
(a) 4R .
(b)
√
2R .
(c) R/2 .
(d) R/4 .
(e) o mesmo .
2
5. Uma fonte de voltagem varia´vel e´ conectada em
se´rie a uma bobina e um amper´ımetro, como
mostrado no diagrama abaixo. Outra bobina
pro´xima, tambe´m mostrada, esta´ conectada a um
volt´ımetro.
Sabe-se que a corrente na primeira bobina, em
func¸a˜o do tempo, tem o comportamento mostrado
no gra´fico abaixo.
Qual dos gra´ficos a seguir indica corretamente o
comportamento, em func¸a˜o do tempo, da volta-
gem lida no volt´ımetro?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
6. Dois fios retil´ıneos, paralelos, muito longos, no
plano XY , portam correntes estaciona´rias de in-
tensidade I e 3I, no mesmo sentido, conforme
mostra a figura abaixo. Em que abscissa o campo
magne´tico se anula?
0 1 2 3 4 5 6
I 3I
X
(a) 1 .
(b) 11/4 .
(c) 3 .
(d) 7/2 .
(e) 4 .
(f) 17/4 .
(g) 6 .
7. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) A lei de Biot-Savart so´ pode ser apli-
cada para distribuic¸o˜es estaciona´rias de corrente
que gerem campos magne´ticos sime´tricos. (II)
A lei de Ampe`re so´ vale para distribuic¸o˜es
estaciona´rias de corrente que gerem campos
magne´ticos sime´tricos. (III) Na lei de Ampe`re, a
curva ampe`riana tanto pode ser uma curva aberta
como fechada.
Assinale a opc¸a˜o a seguir que indica, na ordem,
quais das afirmac¸o˜es acima sa˜o falsas e quais sa˜o
verdadeiras.
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
3
8. Considere um arranjo de treˆs (i = 1, 2, 3) fios con-
dutores, retil´ıneos, longos e paralelos, situados em
(x1 = 0, y1 = a), (x2 = y2 = 0) e (x3 = a, y3 = 0),
respectivamente; dessa forma, no plano XY , tais
fios interceptam treˆs dos ve´rtices de um quadrado
de lado com comprimento a, estando o quarto
ve´rtice, P , localizado em (x4 = a, y4 = a, z = 0)
“desocupado”. O fio 1 porta uma corrente de
mo´dulo I1
= I, com sentido do eixo Z positivo,
ao passo que o fio 2 porta corrente de mo´dulo
I2 = 2I, com sentido do eixo Z negativo e, por
fim, o fio 3 porta corrente de mo´dulo I3 = I,
com sentido do eixo Z tambe´m negativo, conforme
mostra a figura abaixo. Qual das opc¸o˜es a se-
guir da´ o valor do campo magne´tico resultante no
ve´rtice “desocupado” P?
bI
⊗ ⊗
b
P
2I I
a
a
b
xˆ
yˆ
zˆ
(a) µ0I
pia
xˆ .
(b) −µ0I
pia
xˆ .
(c)
√
2µ0I
pia
xˆ .
(d) −
√
2µ0I
pia
(xˆ+ yˆ) .
(e) µ0I
pia
yˆ .
(f) −µ0I
pia
yˆ .
(g) 0 .
9. O fluxo magne´tico atrave´s de uma u´nica espira
de uma bobina circular muito fina tem a seguinte
dependeˆncia temporal: ΦB(t) = (6 Wb·s−2) t2 +
(7 Wb·s−1) t+ 1 Wb. A bobina tem, no total, 10
espiras. O mo´dulo da fem induzida na bobina, em
t = 2 s, e´:
(a) 380 V .
(b) 310 V .
(c) 400 V .
(d) 190 V .
(e) 390 V .
10. Uma espira circular condutora, de raio R, con-
tida no plano XY , transporta uma corrente I no
sentido anti-hora´rio. Tal espira esta´ sujeita a um
campo magne´tico B = 1
2
B0(
√
3yˆ + zˆ) , onde B0
e´ uma constante. Podemos afirmar que o mo´dulo
do fluxo magne´tico atrave´s da espira, |ΦB|, o tor-
que sobre a espira, τ , e a energia potencial da
espira no campo, U , sa˜o dados por:
(a) πR2|B0|,
√
3
2
πR2B0I yˆ, πR
2B0I .
(b) 0, πR2B0I zˆ, −πR2B0I .
(c) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I xˆ, − 12πR2B0I .
(d) 1
2
πR2|B0|, 0, πR2B0I .
(e) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I(xˆ+ yˆ), 0 .
4
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas
1. Um cilindro circular reto, so´lido, condutor, muito longo, de raio R, e´ percorrido por uma corrente ele´trica
cuja densidade de corrente e´ dada por J = J0 (r/R)
2 zˆ, sendo r a distaˆncia ao eixo do cilindro, eixo esse
que coincide com o eixo Z.
(a) Obtenha o mo´dulo da corrente ele´trica I que flui atrave´s de uma sec¸a˜o reta do cilindro. [1,0 ponto]
(b) Determine o vetor campo magne´tico B para r ≤ R. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor campo magne´tico B para r ≥ R. [0,5 ponto]
5
6
2. A figura abaixo mostra dois arames condutores r´ıgidos, muito longos, abc e a′b′c′, dobrados em aˆngulo reto,
pertencentes ao plano XY . O arame abc esta´ fixo, com seu ve´rtice b coincidindo com a origem do sistema
de coordenadas. O arame a′b′c′, por sua vez, translada-se com uma velocidade v constante, dirigida ao
longo da bissetriz do primeiro quadrante do plano XY ; suponha que, no instante t = 0, seu ve´rtice b′ coin-
cide com o ve´rtice b do outro arame. Esse aparato encontra-se imerso em um campo magne´tico constante
(estaciona´rio e uniforme), B, que faz um aˆngulo θ, menor que 90◦, com o eixo Z.
(a) Determine o fluxo do campo magne´tico Φ
B
atrave´s do circuito definido pelos arames, em func¸a˜o de B,
v, θ e t. [1,0 ponto]
(b) Determine a forc¸a eletromotriz induzida Eind ao longo do circuito, tambe´m em func¸a˜o de B, v, θ e t.
[0,8 ponto]
(c) Informe claramente qual o sentido da corrente induzida, justificando. [0,7 ponto]
7
8
9
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)
1. Numa experieˆncia de efeito Hall, uma tira con-
dutora em forma de paralelep´ıpedo esta´ disposta
conforme indica a figura abaixo, sendo percorrida
por uma corrente cujo sentido convencional esta´
a´ı assinalado. Sabendo que o sinal das cargas dos
portadores livres e´ negativo e que o potencial Vsup
na parte superior da tira, apo´s atingido o regime
estaciona´rio, e´ maior que o potencial Vinf na parte
inferior da tira, indique a opc¸a˜o correta para uma
poss´ıvel direc¸a˜o e sentido do campo magne´tico ex-
terno que provoca o efeito Hall.
b
xˆ
yˆ
zˆ
(a) xˆ .
(b) −xˆ .
(c) yˆ .
(d) −yˆ .
(e) zˆ .
(f) −zˆ .
2. Uma corrente ele´trica estaciona´ria I passa por
um condutor formado por um quarto de c´ırculo
de raio a e por dois fios retil´ıneos semi-infinitos
que fazem um aˆngulo de π/2 entre si, conforme
mostra a figura abaixo. A intensidade do campo
magne´tico no ponto P, que coincide com o centro
do c´ırculo, e´ dada por:
a
P
I
(a) µ0I
2pia
.
(b) µ0I
4pia
.
(c) µ0I
4a
.
(d) µ0I
8a
.
(e) µ0I
2a
(
1
pi
+ 1
2
)
.
3. I´ons dos a´tomos de C12 e C13, de mesma carga
+e e mesma energia cine´tica K, entram em um
espectroˆmetro de massa, onde ha´ um campo
magne´tico B perpendicular aos vetores velocida-
des de ambos os ı´ons. Considerando as massas
dos ı´ons de C12 e C13 iguais a 12u e 13u, respec-
tivamente, onde u e´ a unidade de massa atoˆmica,
a raza˜o entre os raios das trajeto´rias percorridas
pelos dois ı´ons RC12/RC13 e´:
(a) 12/13 .
(b) 13/12 .
(c)
√
12/13 .
(d)
√
13/12 .
(e) 1 .
4. Uma barra de cobre cil´ındrica, de resisteˆncia
ele´trica R, comprimento L e a´rea da sec¸a˜o reta
transversalA, e´ esticada para o dobro do seu com-
primento original, sem que seu volume se altere.
Pode-se afirmar que o novo valor de sua resisteˆncia
ele´trica e´:
(a) 4R .
(b)
√
2R .
(c) R/2 .
(d) R/4 .
(e) o mesmo .
1
5. Uma fonte de voltagem varia´vel e´ conectada em
se´rie a uma bobina e um amper´ımetro, como
mostrado no diagrama abaixo. Outra bobina
pro´xima, tambe´m mostrada, esta´ conectada a um
volt´ımetro.
Sabe-se que a corrente na primeira bobina, em
func¸a˜o do tempo, tem o comportamento mostrado
no gra´fico abaixo.
Qual dos gra´ficos a seguir indica corretamente o
comportamento, em func¸a˜o do tempo, da volta-
gem lida no volt´ımetro?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
6. Dois fios retil´ıneos, paralelos, muito longos, no
plano XY , portam correntes estaciona´rias de in-
tensidade I e 3I, no mesmo sentido, conforme
mostra a figura abaixo. Em que abscissa o campo
magne´tico se anula?
0 1 2 3 4 5 6
I 3I
X
(a) 1 .
(b) 11/4 .
(c) 3 .
(d) 7/2 .
(e) 4 .
(f) 17/4 .
(g) 6 .
7. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) A lei de Biot-Savart so´ pode ser apli-
cada para distribuic¸o˜es estaciona´rias de corrente
que gerem campos magne´ticos sime´tricos. (II)
A lei de Ampe`re so´ vale para distribuic¸o˜es
estaciona´rias de corrente que gerem campos
magne´ticos sime´tricos. (III) Na lei de Ampe`re, a
curva ampe`riana tanto pode ser uma curva aberta
como fechada.
Assinale a opc¸a˜o a seguir que indica, na ordem,
quais das afirmac¸o˜es acima sa˜o falsas e quais sa˜o
verdadeiras.
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
2
8. Considere um arranjo de treˆs (i = 1, 2, 3) fios con-
dutores, retil´ıneos, longos e paralelos, situados em
(x1 = 0, y1 = a), (x2 = y2 = 0) e (x3 = a, y3 = 0),
respectivamente; dessa forma, no plano XY , tais
fios interceptam treˆs dos ve´rtices de um quadrado
de lado com comprimento a, estando o quarto
ve´rtice, P , localizado em (x4 = a, y4 = a, z = 0)
“desocupado”. O fio 1 porta uma corrente de
mo´dulo I1 = I, com sentido do eixo Z positivo,
ao passo que o fio 2 porta corrente de mo´dulo
I2 = 2I, com sentido do eixo Z negativo e, por
fim, o fio 3 porta corrente de mo´dulo I3 = I,
com sentido do eixo Z tambe´m negativo, conforme
mostra a figura abaixo. Qual das opc¸o˜es a se-
guir da´ o valor do campo magne´tico resultante no
ve´rtice “desocupado” P?
bI
⊗ ⊗
b
P
2I I
a
a
b
xˆ
yˆ
zˆ
(a) µ0I
pia
xˆ .
(b) −µ0I
pia
xˆ .
(c)
√
2µ0I
pia
xˆ .
(d) −
√
2µ0I
pia
(xˆ+ yˆ) .
(e) µ0I
pia
yˆ .
(f) −µ0I
pia
yˆ .
(g) 0 .
9. O fluxo magne´tico atrave´s de uma u´nica espira
de uma bobina circular muito fina tem a seguinte
dependeˆncia temporal: ΦB(t) = (6 Wb·s−2) t2 +
(7 Wb·s−1) t+ 1 Wb. A bobina tem, no total, 10
espiras. O mo´dulo da fem induzida na bobina, em
t = 2 s, e´:
(a) 380 V .
(b) 310 V .
(c) 400 V .
(d) 190 V .
(e) 390 V .
10. Uma espira circular condutora, de raio R, con-
tida no plano XY , transporta uma corrente I no
sentido anti-hora´rio. Tal espira esta´ sujeita a um
campo magne´tico B = 1
2
B0(
√
3yˆ + zˆ) , onde B0
e´ uma constante. Podemos afirmar que o mo´dulo
do fluxo magne´tico atrave´s da espira, |ΦB|, o tor-
que sobre a espira, τ , e a energia potencial da
espira no campo, U , sa˜o dados por:
(a) πR2|B0|,
√
3
2
πR2B0I yˆ, πR
2B0I .
(b) 0, πR2B0I zˆ, −πR2B0I .
(c) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I xˆ, − 12πR2B0I .
(d) 1
2
πR2|B0|, 0, πR2B0I .
(e) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I(xˆ+ yˆ), 0 .
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas
1. Um cilindro circular reto, so´lido, condutor, muito longo, de raio R, e´ percorrido por uma corrente ele´trica
cuja densidade de corrente e´ dada por J = J0 (r/R)
2 zˆ, sendo r a distaˆncia ao eixo do cilindro, eixo esse
que coincide com o eixo Z.
(a) Obtenha o mo´dulo da corrente ele´trica I que flui atrave´s de uma sec¸a˜o reta do cilindro. [1,0 ponto]
(b) Determine o vetor campo magne´tico B para r ≤ R. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor campo magne´tico B para r ≥ R. [0,5 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) Sabendo que
I =
∫
S
J · nˆ dA ,
e considerando que
J(r) = J0
(
r2/R2
)
zˆ e nˆ dA = 2πr dr zˆ ,
encontraremos
I =
∫ R
0
J0
(
r2/R2
)
2πr dr (zˆ · zˆ)
=
2πJ0
R2
∫ R
0
r3 dr
=
2πJ0
R2
r4
4
∣∣∣∣
R
0
=
1
2
πR2J0 .
(b) Segundo a lei de Ampe`re temos que
∮
B · dℓ = µ0Ienc .
Levando em conta a simetria axial apresentada pelo condutor enta˜o podemos usar a lei de Ampe`re assu-
mindo para os circuitos fechados c´ırculos conceˆntricos ao eixo do cilindro condutor e contidos em um plano
ortogonal a este eixo. Neste caso, teremos que dℓ = r dφ φˆ e, pela simetria do sistema, devemos ter
B = B(r) φˆ . Com isso podemos usar a lei de Ampe`re de uma maneira geral considerando Ienc = I(r) .
Portanto, como ao longo do circuito a distaˆncia radial r e´ mantida constante, encontraremos que
∮
B · dℓ =
∫ 2pi
0
B(r) φˆ · r dφ φˆ = B(r) r
∫ 2pi
0
dφ = 2πrB(r) = µ0 I(r)
e assim
B(r) =
µ0 I(r)
2πr
φˆ .
Podemos, agora, particularizar este resultado geral para as duas regio˜es definidas pelo condutor. Para a
regia˜o interna ao cilindro, onde r < R, teremos que
I(r) =
∫
S
J · dnˆdA
=
∫ r
0
J0
(
r2/R2
)
2πr dr (zˆ.zˆ)
=
2πJ0
R2
∫ R
0
r3 dr
4
=
2πJ0
R2
r4
4
∣∣∣∣
r
0
=
1
2
πJ0r
4
R2
de modo que, ao levarmos este resultado na expressa˜o para o vetor induc¸a˜o magne´tica, encontraremos que
B(r) =
[
µ0J0r
3
4R2
]
φˆ, .
(c) No caso da regia˜o externa ao cilindro teremos que a corrente ele´trica I(r) a ser usada e´ aquela cuja
expressa˜o foi obtida no primeiro item, cuja substituic¸a˜o na expressa˜o para o vetor induc¸a˜o magne´tica
resultara´ em
B(r) =
[
µ0J0R
2
4r
]
φˆ, .
�
2. A figura abaixo mostra dois arames condutores r´ıgidos, muito longos, abc e a′b′c′, dobrados em aˆngulo reto,
pertencentes ao plano XY . O arame abc esta´ fixo, com seu ve´rtice b coincidindo com a origem do sistema
de coordenadas. O arame a′b′c′, por sua vez, translada-se com uma velocidade v constante, dirigida ao
longo da bissetriz do primeiro quadrante do plano XY ; suponha que, no instante t = 0, seu ve´rtice b′ coin-
cide com o ve´rtice b do outro arame. Esse aparato encontra-se imerso em um campo magne´tico constante
(estaciona´rio e uniforme), B, que faz um aˆngulo θ, menor que 90◦, com o eixo Z.
(a) Determine o fluxo do campo magne´tico Φ
B
atrave´s do circuito definido pelos arames, em func¸a˜o de B,
v, θ e t. [1,0 ponto]
(b) Determine a forc¸a eletromotriz induzida Eind ao longo do circuito, tambe´m em func¸a˜o de B, v, θ e t.
[0,8 ponto]
(c) Informe claramente qual o sentido da corrente induzida, justificando. [0,7 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) O fluxo do campo magne´tico atrave´s do circuito quadrado de lado a sera´ fornecido por
Φ
B
=
∫
S
B · nˆ dA =
∫
S
B dA cos θ = B cos θ
∫
S
dA = B cos θ S =⇒ Φ
B
= B cos θ a2 .
5
Desde que a diagonal do quadrado definido pelo circuito cresce como d(t) = vt e, pelo teorema de Pita´goras,
d =
√
2 a, enta˜o conclu´ımos que a(t) = vt/
√
2. Portanto, usando este resultado na expressa˜o obtida para
Φ
B
, encontraremos que
Φ
B
(t) =
1
2
(
Bv2 cos θ
)
t2 .
(b) Usando a lei da induc¸a˜o de Faraday, encontraremos que a forc¸a eletromotriz induzida no circuito sera´
fornecida por
Eind = − dΦB
dt
= − d
dt
{
1
2
(
Bv2 cos θ
)
t2
}
=⇒ Eind(t) = −
(
Bv2 cos θ
)
t .
(c) Como a a´rea definida pelo circuito esta´ crescendo com o tempo, o mesmo acontecera´ com Φ
B
(t). Pela
lei de Lenz a forc¸a eletromotriz induzida devera´ se opor a este crescimento. Para tanto, ela devera´ produzir
uma corrente ele´trica induzida cujo campo magne´tico associado apresente um fluxo que se oponha ao fluxo
do campo magne´tico externo B no qual o circuito se encontra imerso. Nestas condic¸o˜es conclu´ımos que a
corrente ele´trica induzida devera´ percorrer o circuito no sentido hora´rio.
�
6
7
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2009/2
Segunda Prova (P2) – 07/12/2009
Versa˜o: B
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
Total
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de dez (10) questo˜es objetivas, de mu´ltipla escolha (sem nenhum tipo de penalizac¸a˜o), cada
uma das quais valendo 0,5 ponto
• uma parte discursiva, constitu´ıda por duas questo˜es discursivas (ou argumentativas ou dissertativas),
cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
I =
∫
S
J ·nˆdA , J = nqv , V = RI , Fm = qv×B , Fm =
∫
C
Idℓ×B ,
∮
S
B · nˆ dA = 0 , B = µ0
4π
qv × rˆ
r2
, B =
∫
C
µ0
4π
Idℓ× rˆ
r2
,
∮
C
B ·dℓ = µ0I + µoǫ0 dΦE
dt
,
E = −dΦB
dt
, uB =
1
2
B2
µ0
.
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)
1. Numa experieˆncia de efeito Hall, uma tira con-
dutora em forma de paralelep´ıpedo esta´ disposta
conforme indica a figura abaixo, sendo percorrida
por uma corrente cujo sentido convencional esta´
a´ı assinalado. Sabendo que o sinal das cargas dos
portadores livres e´ negativo e que o potencial Vsup
na parte superior da tira, apo´s atingido o regime
estaciona´rio, e´ maior que o potencial Vinf na parte
inferior da tira, indique a opc¸a˜o correta para uma
poss´ıvel direc¸a˜o e sentido do campo magne´tico ex-
terno que provoca
o efeito Hall.
b
xˆ
yˆ
zˆ
(a) xˆ .
(b) −xˆ .
(c) yˆ .
(d) −yˆ .
(e) zˆ .
(f) −zˆ .
2. Uma corrente ele´trica estaciona´ria I passa por
um condutor formado por um quarto de c´ırculo
de raio a e por dois fios retil´ıneos semi-infinitos
que fazem um aˆngulo de π/2 entre si, conforme
mostra a figura abaixo. A intensidade do campo
magne´tico no ponto P, que coincide com o centro
do c´ırculo, e´ dada por:
a
P
I
(a) µ0I
2pia
.
(b) µ0I
4pia
.
(c) µ0I
4a
.
(d) µ0I
8a
.
(e) µ0I
2a
(
1
pi
+ 1
2
)
.
3. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) A lei de Biot-Savart so´ pode ser apli-
cada para distribuic¸o˜es estaciona´rias de corrente
que gerem campos magne´ticos sime´tricos. (II)
A lei de Ampe`re so´ vale para distribuic¸o˜es
estaciona´rias de corrente que gerem campos
magne´ticos sime´tricos. (III) Na lei de Ampe`re, a
curva ampe`riana tanto pode ser uma curva aberta
como fechada.
Assinale a opc¸a˜o a seguir que indica, na ordem,
quais das afirmac¸o˜es acima sa˜o falsas e quais sa˜o
verdadeiras.
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
2
4. Considere um arranjo de treˆs (i = 1, 2, 3) fios con-
dutores, retil´ıneos, longos e paralelos, situados em
(x1 = 0, y1 = a), (x2 = y2 = 0) e (x3 = a, y3 = 0),
respectivamente; dessa forma, no plano XY , tais
fios interceptam treˆs dos ve´rtices de um quadrado
de lado com comprimento a, estando o quarto
ve´rtice, P , localizado em (x4 = a, y4 = a, z = 0)
“desocupado”. O fio 1 porta uma corrente de
mo´dulo I1 = I, com sentido do eixo Z positivo,
ao passo que o fio 2 porta corrente de mo´dulo
I2 = 2I, com sentido do eixo Z negativo e, por
fim, o fio 3 porta corrente de mo´dulo I3 = I,
com sentido do eixo Z tambe´m negativo, conforme
mostra a figura abaixo. Qual das opc¸o˜es a se-
guir da´ o valor do campo magne´tico resultante no
ve´rtice “desocupado” P?
bI
⊗ ⊗
b
P
2I I
a
a
b
xˆ
yˆ
zˆ
(a) µ0I
pia
xˆ .
(b) −µ0I
pia
xˆ .
(c)
√
2µ0I
pia
xˆ .
(d) −
√
2µ0I
pia
(xˆ+ yˆ) .
(e) µ0I
pia
yˆ .
(f) −µ0I
pia
yˆ .
(g) 0 .
5. I´ons dos a´tomos de C12 e C13, de mesma carga
+e e mesma energia cine´tica K, entram em um
espectroˆmetro de massa, onde ha´ um campo
magne´tico B perpendicular aos vetores velocida-
des de ambos os ı´ons. Considerando as massas
dos ı´ons de C12 e C13 iguais a 12u e 13u, respec-
tivamente, onde u e´ a unidade de massa atoˆmica,
a raza˜o entre os raios das trajeto´rias percorridas
pelos dois ı´ons RC12/RC13 e´:
(a) 12/13 .
(b) 13/12 .
(c)
√
12/13 .
(d)
√
13/12 .
(e) 1 .
6. Uma fonte de voltagem varia´vel e´ conectada em
se´rie a uma bobina e um amper´ımetro, como
mostrado no diagrama abaixo. Outra bobina
pro´xima, tambe´m mostrada, esta´ conectada a um
volt´ımetro.
Sabe-se que a corrente na primeira bobina, em
func¸a˜o do tempo, tem o comportamento mostrado
no gra´fico abaixo.
Qual dos gra´ficos a seguir indica corretamente o
comportamento, em func¸a˜o do tempo, da volta-
gem lida no volt´ımetro?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
3
7. Uma barra de cobre cil´ındrica, de resisteˆncia
ele´trica R, comprimento L e a´rea da sec¸a˜o reta
transversalA, e´ esticada para o dobro do seu com-
primento original, sem que seu volume se altere.
Pode-se afirmar que o novo valor de sua resisteˆncia
ele´trica e´:
(a) 4R .
(b)
√
2R .
(c) R/2 .
(d) R/4 .
(e) o mesmo .
8. O fluxo magne´tico atrave´s de uma u´nica espira
de uma bobina circular muito fina tem a seguinte
dependeˆncia temporal: ΦB(t) = (6 Wb·s−2) t2 +
(7 Wb·s−1) t+ 1 Wb. A bobina tem, no total, 10
espiras. O mo´dulo da fem induzida na bobina, em
t = 2 s, e´:
(a) 380 V .
(b) 310 V .
(c) 400 V .
(d) 190 V .
(e) 390 V .
9. Uma espira circular condutora, de raio R, con-
tida no plano XY , transporta uma corrente I no
sentido anti-hora´rio. Tal espira esta´ sujeita a um
campo magne´tico B = 1
2
B0(
√
3yˆ + zˆ) , onde B0
e´ uma constante. Podemos afirmar que o mo´dulo
do fluxo magne´tico atrave´s da espira, |ΦB|, o tor-
que sobre a espira, τ , e a energia potencial da
espira no campo, U , sa˜o dados por:
(a) πR2|B0|,
√
3
2
πR2B0I yˆ, πR
2B0I .
(b) 0, πR2B0I zˆ, −πR2B0I .
(c) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I xˆ, − 12πR2B0I .
(d) 1
2
πR2|B0|, 0, πR2B0I .
(e) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I(xˆ+ yˆ), 0 .
10. Dois fios retil´ıneos, paralelos, muito longos, no
plano XY , portam correntes estaciona´rias de in-
tensidade I e 3I, no mesmo sentido, conforme
mostra a figura abaixo. Em que abscissa o campo
magne´tico se anula?
0 1 2 3 4 5 6
I 3I
X
(a) 1 .
(b) 11/4 .
(c) 3 .
(d) 7/2 .
(e) 4 .
(f) 17/4 .
(g) 6 .
4
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas
1. Um cilindro circular reto, so´lido, condutor, muito longo, de raio R, e´ percorrido por uma corrente ele´trica
cuja densidade de corrente e´ dada por J = J0 (r/R)
2 zˆ, sendo r a distaˆncia ao eixo do cilindro, eixo esse
que coincide com o eixo Z.
(a) Obtenha o mo´dulo da corrente ele´trica I que flui atrave´s de uma sec¸a˜o reta do cilindro. [1,0 ponto]
(b) Determine o vetor campo magne´tico B para r ≤ R. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor campo magne´tico B para r ≥ R. [0,5 ponto]
5
6
2. A figura abaixo mostra dois arames condutores r´ıgidos, muito longos, abc e a′b′c′, dobrados em aˆngulo reto,
pertencentes ao plano XY . O arame abc esta´ fixo, com seu ve´rtice b coincidindo com a origem do sistema
de coordenadas. O arame a′b′c′, por sua vez, translada-se com uma velocidade v constante, dirigida ao
longo da bissetriz do primeiro quadrante do plano XY ; suponha que, no instante t = 0, seu ve´rtice b′ coin-
cide com o ve´rtice b do outro arame. Esse aparato encontra-se imerso em um campo magne´tico constante
(estaciona´rio e uniforme), B, que faz um aˆngulo θ, menor que 90◦, com o eixo Z.
(a) Determine o fluxo do campo magne´tico Φ
B
atrave´s do circuito definido pelos arames, em func¸a˜o de B,
v, θ e t. [1,0 ponto]
(b) Determine a forc¸a eletromotriz induzida Eind ao longo do circuito, tambe´m em func¸a˜o de B, v, θ e t.
[0,8 ponto]
(c) Informe claramente qual o sentido da corrente induzida, justificando. [0,7 ponto]
7
8
9
Gabarito para Versa˜o B
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)
1. Numa experieˆncia de efeito Hall, uma tira con-
dutora em forma de paralelep´ıpedo esta´ disposta
conforme indica a figura abaixo, sendo percorrida
por uma corrente cujo sentido convencional esta´
a´ı assinalado. Sabendo que o sinal das cargas dos
portadores livres e´ negativo e que o potencial Vsup
na parte superior da tira, apo´s atingido o regime
estaciona´rio, e´ maior que o potencial Vinf na parte
inferior da tira, indique a opc¸a˜o correta para uma
poss´ıvel direc¸a˜o e sentido do campo magne´tico ex-
terno que provoca o efeito Hall.
b
xˆ
yˆ
zˆ
(a) xˆ .
(b) −xˆ .
(c) yˆ .
(d) −yˆ .
(e) zˆ .
(f) −zˆ .
2. Uma corrente ele´trica estaciona´ria I passa por
um condutor formado por um quarto de c´ırculo
de raio a e por dois fios retil´ıneos semi-infinitos
que fazem um aˆngulo de π/2 entre si, conforme
mostra a figura abaixo. A intensidade do campo
magne´tico no ponto P, que coincide com o centro
do c´ırculo, e´ dada por:
a
P
I
(a) µ0I
2pia
.
(b) µ0I
4pia
.
(c) µ0I
4a
.
(d) µ0I
8a
.
(e) µ0I
2a
(
1
pi
+ 1
2
)
.
3. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) A lei de Biot-Savart so´ pode ser apli-
cada para distribuic¸o˜es estaciona´rias de corrente
que gerem campos magne´ticos sime´tricos. (II)
A lei de Ampe`re so´ vale para distribuic¸o˜es
estaciona´rias de corrente que gerem campos
magne´ticos sime´tricos. (III) Na lei de Ampe`re, a
curva ampe`riana tanto pode ser uma curva aberta
como fechada.
Assinale a opc¸a˜o a seguir que indica, na ordem,
quais das afirmac¸o˜es acima sa˜o falsas e quais sa˜o
verdadeiras.
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
1
4. Considere um arranjo de treˆs (i = 1, 2, 3) fios con-
dutores, retil´ıneos, longos e paralelos, situados em
(x1 = 0, y1 = a), (x2 = y2 = 0) e (x3 = a, y3 = 0),
respectivamente; dessa forma, no plano XY , tais
fios interceptam treˆs dos ve´rtices de um quadrado
de lado com comprimento a, estando o quarto
ve´rtice, P , localizado em (x4 = a, y4 = a, z = 0)
“desocupado”. O fio 1 porta uma corrente de
mo´dulo I1 = I, com sentido do eixo Z positivo,
ao passo que o fio 2 porta corrente de mo´dulo
I2 = 2I, com sentido do eixo Z negativo e, por
fim, o fio 3 porta corrente de mo´dulo I3 = I,
com sentido do eixo Z tambe´m negativo, conforme
mostra a figura abaixo. Qual das opc¸o˜es a se-
guir da´ o valor do campo magne´tico resultante no
ve´rtice “desocupado” P?
bI
⊗ ⊗
b
P
2I I
a
a
b
xˆ
yˆ
zˆ
(a) µ0I
pia
xˆ .
(b) −µ0I
pia
xˆ .
(c)
√
2µ0I
pia
xˆ .
(d) −
√
2µ0I
pia
(xˆ+ yˆ) .
(e) µ0I
pia
yˆ .
(f) −µ0I
pia
yˆ .
(g) 0 .
5. I´ons dos a´tomos de C12 e C13, de mesma carga
+e e mesma energia cine´tica K, entram em um
espectroˆmetro de massa, onde ha´ um campo
magne´tico B perpendicular aos vetores velocida-
des de ambos os ı´ons. Considerando as massas
dos ı´ons de C12 e C13 iguais a 12u e 13u, respec-
tivamente, onde u e´ a unidade de massa atoˆmica,
a raza˜o entre os raios das trajeto´rias percorridas
pelos dois ı´ons RC12/RC13 e´:
(a) 12/13 .
(b) 13/12 .
(c)
√
12/13 .
(d)
√
13/12 .
(e) 1 .
6. Uma fonte de voltagem varia´vel e´ conectada em
se´rie a uma bobina e um amper´ımetro, como
mostrado no diagrama abaixo. Outra bobina
pro´xima, tambe´m mostrada, esta´ conectada a um
volt´ımetro.
Sabe-se que a corrente na primeira bobina, em
func¸a˜o do tempo, tem o comportamento mostrado
no gra´fico abaixo.
Qual dos gra´ficos a seguir indica corretamente o
comportamento, em func¸a˜o do tempo, da volta-
gem lida no volt´ımetro?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
2
7. Uma barra de cobre cil´ındrica, de resisteˆncia
ele´trica R, comprimento L e a´rea da sec¸a˜o reta
transversalA, e´ esticada para o dobro do seu com-
primento original, sem que seu volume se altere.
Pode-se afirmar que o novo valor de sua resisteˆncia
ele´trica e´:
(a) 4R .
(b)
√
2R .
(c) R/2 .
(d) R/4 .
(e) o mesmo .
8. O fluxo magne´tico atrave´s de uma u´nica espira
de uma bobina circular muito fina tem a seguinte
dependeˆncia temporal: ΦB(t) = (6 Wb·s−2) t2 +
(7 Wb·s−1) t+ 1 Wb. A bobina tem, no total, 10
espiras. O mo´dulo da fem induzida na bobina, em
t = 2 s, e´:
(a) 380 V .
(b) 310 V .
(c) 400 V .
(d) 190 V .
(e) 390 V .
9. Uma espira circular condutora, de raio R, con-
tida no plano XY , transporta uma corrente I no
sentido anti-hora´rio. Tal espira esta´ sujeita a um
campo magne´tico B = 1
2
B0(
√
3yˆ + zˆ) , onde B0
e´ uma constante. Podemos afirmar que o mo´dulo
do fluxo magne´tico atrave´s da espira, |ΦB|, o tor-
que sobre a espira, τ , e a energia potencial da
espira no campo, U , sa˜o dados por:
(a) πR2|B0|,
√
3
2
πR2B0I yˆ, πR
2B0I .
(b) 0, πR2B0I zˆ, −πR2B0I .
(c) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I xˆ, − 12πR2B0I .
(d) 1
2
πR2|B0|, 0, πR2B0I .
(e) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I(xˆ+ yˆ), 0 .
10. Dois fios retil´ıneos, paralelos, muito longos, no
plano XY , portam correntes estaciona´rias de in-
tensidade I e 3I, no mesmo sentido, conforme
mostra a figura abaixo. Em que abscissa o campo
magne´tico se anula?
0 1 2 3 4 5 6
I 3I
X
(a) 1 .
(b) 11/4 .
(c) 3 .
(d) 7/2 .
(e) 4 .
(f) 17/4 .
(g) 6 .
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas
1. Um cilindro circular reto, so´lido, condutor, muito longo, de raio R, e´ percorrido por uma corrente ele´trica
cuja densidade de corrente e´ dada por J = J0 (r/R)
2 zˆ, sendo r a distaˆncia ao eixo do cilindro, eixo esse
que coincide com o eixo Z.
(a) Obtenha o mo´dulo da corrente ele´trica I que flui atrave´s de uma sec¸a˜o reta do cilindro. [1,0 ponto]
(b) Determine o vetor campo magne´tico B para r ≤ R. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor campo magne´tico B para r ≥ R. [0,5 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) Sabendo que
I =
∫
S
J · nˆ dA ,
e considerando que
J(r) = J0
(
r2/R2
)
zˆ e nˆ dA = 2πr dr zˆ ,
encontraremos
I =
∫ R
0
J0
(
r2/R2
)
2πr dr (zˆ · zˆ)
=
2πJ0
R2
∫ R
0
r3 dr
=
2πJ0
R2
r4
4
∣∣∣∣
R
0
=
1
2
πR2J0 .
(b) Segundo a lei de Ampe`re temos que
∮
B · dℓ = µ0Ienc .
Levando em conta a simetria axial apresentada pelo condutor enta˜o podemos usar a lei de Ampe`re assu-
mindo para os circuitos fechados c´ırculos conceˆntricos ao eixo do cilindro condutor e contidos em um plano
ortogonal a este eixo. Neste caso, teremos que dℓ = r dφ φˆ e, pela simetria do sistema, devemos ter
B = B(r) φˆ . Com isso podemos usar a lei de Ampe`re de uma maneira geral considerando Ienc = I(r) .
Portanto, como ao longo do circuito a distaˆncia radial r e´ mantida constante, encontraremos que
∮
B · dℓ =
∫ 2pi
0
B(r) φˆ · r dφ φˆ = B(r) r
∫ 2pi
0
dφ = 2πrB(r) = µ0 I(r)
e assim
B(r) =
µ0 I(r)
2πr
φˆ .
Podemos, agora, particularizar este resultado geral para as duas regio˜es definidas pelo condutor. Para a
regia˜o interna ao cilindro, onde r < R, teremos que
I(r) =
∫
S
J · dnˆdA
=
∫ r
0
J0
(
r2/R2
)
2πr dr (zˆ.zˆ)
=
2πJ0
R2
∫ R
0
r3 dr
4
=
2πJ0
R2
r4
4
∣∣∣∣
r
0
=
1
2
πJ0r
4
R2
de modo que, ao levarmos este resultado na expressa˜o para o vetor induc¸a˜o magne´tica, encontraremos que
B(r) =
[
µ0J0r
3
4R2
]
φˆ, .
(c) No caso da regia˜o externa ao cilindro teremos que a corrente ele´trica I(r) a ser usada e´ aquela cuja
expressa˜o foi obtida no primeiro item, cuja substituic¸a˜o na expressa˜o para o vetor induc¸a˜o magne´tica
resultara´ em
B(r) =
[
µ0J0R
2
4r
]
φˆ, .
�
2. A figura abaixo mostra dois arames condutores r´ıgidos, muito longos, abc e a′b′c′, dobrados em aˆngulo reto,
pertencentes ao plano XY . O arame abc esta´ fixo, com seu ve´rtice b coincidindo com a origem do sistema
de coordenadas. O arame a′b′c′, por sua vez, translada-se com uma velocidade v constante, dirigida ao
longo da bissetriz do primeiro quadrante do plano XY ; suponha que, no instante t = 0, seu ve´rtice b′ coin-
cide com o ve´rtice b do outro arame. Esse aparato encontra-se imerso em um campo magne´tico constante
(estaciona´rio e uniforme), B, que faz um aˆngulo θ, menor que 90◦, com o eixo Z.
(a) Determine o fluxo do campo magne´tico Φ
B
atrave´s do circuito definido pelos arames, em func¸a˜o de B,
v, θ e t. [1,0 ponto]
(b) Determine a forc¸a eletromotriz induzida Eind ao longo do circuito, tambe´m em func¸a˜o de B, v, θ e t.
[0,8 ponto]
(c) Informe claramente qual o sentido
da corrente induzida, justificando. [0,7 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) O fluxo do campo magne´tico atrave´s do circuito quadrado de lado a sera´ fornecido por
Φ
B
=
∫
S
B · nˆ dA =
∫
S
B dA cos θ = B cos θ
∫
S
dA = B cos θ S =⇒ Φ
B
= B cos θ a2 .
5
Desde que a diagonal do quadrado definido pelo circuito cresce como d(t) = vt e, pelo teorema de Pita´goras,
d =
√
2 a, enta˜o conclu´ımos que a(t) = vt/
√
2. Portanto, usando este resultado na expressa˜o obtida para
Φ
B
, encontraremos que
Φ
B
(t) =
1
2
(
Bv2 cos θ
)
t2 .
(b) Usando a lei da induc¸a˜o de Faraday, encontraremos que a forc¸a eletromotriz induzida no circuito sera´
fornecida por
Eind = − dΦB
dt
= − d
dt
{
1
2
(
Bv2 cos θ
)
t2
}
=⇒ Eind(t) = −
(
Bv2 cos θ
)
t .
(c) Como a a´rea definida pelo circuito esta´ crescendo com o tempo, o mesmo acontecera´ com Φ
B
(t). Pela
lei de Lenz a forc¸a eletromotriz induzida devera´ se opor a este crescimento. Para tanto, ela devera´ produzir
uma corrente ele´trica induzida cujo campo magne´tico associado apresente um fluxo que se oponha ao fluxo
do campo magne´tico externo B no qual o circuito se encontra imerso. Nestas condic¸o˜es conclu´ımos que a
corrente ele´trica induzida devera´ percorrer o circuito no sentido hora´rio.
�
6
7
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2009/2
Segunda Prova (P2) – 07/12/2009
Versa˜o: C
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
Total
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de dez (10) questo˜es objetivas, de mu´ltipla escolha (sem nenhum tipo de penalizac¸a˜o), cada
uma das quais valendo 0,5 ponto
• uma parte discursiva, constitu´ıda por duas questo˜es discursivas (ou argumentativas ou dissertativas),
cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
I =
∫
S
J ·nˆdA , J = nqv , V = RI , Fm = qv×B , Fm =
∫
C
Idℓ×B ,
∮
S
B · nˆ dA = 0 , B = µ0
4π
qv × rˆ
r2
, B =
∫
C
µ0
4π
Idℓ× rˆ
r2
,
∮
C
B ·dℓ = µ0I + µoǫ0 dΦE
dt
,
E = −dΦB
dt
, uB =
1
2
B2
µ0
.
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)
1. Dois fios retil´ıneos, paralelos, muito longos, no
plano XY , portam correntes estaciona´rias de in-
tensidade I e 3I, no mesmo sentido, conforme
mostra a figura abaixo. Em que abscissa o campo
magne´tico se anula?
0 1 2 3 4 5 6
I 3I
X
(a) 1 .
(b) 11/4 .
(c) 3 .
(d) 7/2 .
(e) 4 .
(f) 17/4 .
(g) 6 .
2. O fluxo magne´tico atrave´s de uma u´nica espira
de uma bobina circular muito fina tem a seguinte
dependeˆncia temporal: ΦB(t) = (6 Wb·s−2) t2 +
(7 Wb·s−1) t+ 1 Wb. A bobina tem, no total, 10
espiras. O mo´dulo da fem induzida na bobina, em
t = 2 s, e´:
(a) 380 V .
(b) 310 V .
(c) 400 V .
(d) 190 V .
(e) 390 V .
3. I´ons dos a´tomos de C12 e C13, de mesma carga
+e e mesma energia cine´tica K, entram em um
espectroˆmetro de massa, onde ha´ um campo
magne´tico B perpendicular aos vetores velocida-
des de ambos os ı´ons. Considerando as massas
dos ı´ons de C12 e C13 iguais a 12u e 13u, respec-
tivamente, onde u e´ a unidade de massa atoˆmica,
a raza˜o entre os raios das trajeto´rias percorridas
pelos dois ı´ons RC12/RC13 e´:
(a) 12/13 .
(b) 13/12 .
(c)
√
12/13 .
(d)
√
13/12 .
(e) 1 .
4. Numa experieˆncia de efeito Hall, uma tira con-
dutora em forma de paralelep´ıpedo esta´ disposta
conforme indica a figura abaixo, sendo percorrida
por uma corrente cujo sentido convencional esta´
a´ı assinalado. Sabendo que o sinal das cargas dos
portadores livres e´ negativo e que o potencial Vsup
na parte superior da tira, apo´s atingido o regime
estaciona´rio, e´ maior que o potencial Vinf na parte
inferior da tira, indique a opc¸a˜o correta para uma
poss´ıvel direc¸a˜o e sentido do campo magne´tico ex-
terno que provoca o efeito Hall.
b
xˆ
yˆ
zˆ
(a) xˆ .
(b) −xˆ .
(c) yˆ .
(d) −yˆ .
(e) zˆ .
(f) −zˆ .
2
5. Uma fonte de voltagem varia´vel e´ conectada em
se´rie a uma bobina e um amper´ımetro, como
mostrado no diagrama abaixo. Outra bobina
pro´xima, tambe´m mostrada, esta´ conectada a um
volt´ımetro.
Sabe-se que a corrente na primeira bobina, em
func¸a˜o do tempo, tem o comportamento mostrado
no gra´fico abaixo.
Qual dos gra´ficos a seguir indica corretamente o
comportamento, em func¸a˜o do tempo, da volta-
gem lida no volt´ımetro?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
6. Considere um arranjo de treˆs (i = 1, 2, 3) fios con-
dutores, retil´ıneos, longos e paralelos, situados em
(x1 = 0, y1 = a), (x2 = y2 = 0) e (x3 = a, y3 = 0),
respectivamente; dessa forma, no plano XY , tais
fios interceptam treˆs dos ve´rtices de um quadrado
de lado com comprimento a, estando o quarto
ve´rtice, P , localizado em (x4 = a, y4 = a, z = 0)
“desocupado”. O fio 1 porta uma corrente de
mo´dulo I1 = I, com sentido do eixo Z positivo,
ao passo que o fio 2 porta corrente de mo´dulo
I2 = 2I, com sentido do eixo Z negativo e, por
fim, o fio 3 porta corrente de mo´dulo I3 = I,
com sentido do eixo Z tambe´m negativo, conforme
mostra a figura abaixo. Qual das opc¸o˜es a se-
guir da´ o valor do campo magne´tico resultante no
ve´rtice “desocupado” P?
bI
⊗ ⊗
b
P
2I I
a
a
b
xˆ
yˆ
zˆ
(a) µ0I
pia
xˆ .
(b) −µ0I
pia
xˆ .
(c)
√
2µ0I
pia
xˆ .
(d) −
√
2µ0I
pia
(xˆ+ yˆ) .
(e) µ0I
pia
yˆ .
(f) −µ0I
pia
yˆ .
(g) 0 .
7. Uma barra de cobre cil´ındrica, de resisteˆncia
ele´trica R, comprimento L e a´rea da sec¸a˜o reta
transversalA, e´ esticada para o dobro do seu com-
primento original, sem que seu volume se altere.
Pode-se afirmar que o novo valor de sua resisteˆncia
ele´trica e´:
(a) 4R .
(b)
√
2R .
(c) R/2 .
(d) R/4 .
(e) o mesmo .
3
8. Uma espira circular condutora, de raio R, con-
tida no plano XY , transporta uma corrente I no
sentido anti-hora´rio. Tal espira esta´ sujeita a um
campo magne´tico B = 1
2
B0(
√
3yˆ + zˆ) , onde B0
e´ uma constante. Podemos afirmar que o mo´dulo
do fluxo magne´tico atrave´s da espira, |ΦB|, o tor-
que sobre a espira, τ , e a energia potencial da
espira no campo, U , sa˜o dados por:
(a) πR2|B0|,
√
3
2
πR2B0I yˆ, πR
2B0I .
(b) 0, πR2B0I zˆ, −πR2B0I .
(c) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I xˆ, − 12πR2B0I .
(d) 1
2
πR2|B0|, 0, πR2B0I .
(e) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I(xˆ+ yˆ), 0 .
9. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) A lei de Biot-Savart so´ pode ser apli-
cada para distribuic¸o˜es estaciona´rias de corrente
que gerem campos magne´ticos sime´tricos. (II)
A lei de Ampe`re so´ vale para distribuic¸o˜es
estaciona´rias de corrente que gerem campos
magne´ticos sime´tricos. (III) Na lei de Ampe`re, a
curva ampe`riana tanto pode ser uma curva aberta
como fechada.
Assinale a opc¸a˜o a seguir que indica, na ordem,
quais das afirmac¸o˜es acima sa˜o falsas e quais sa˜o
verdadeiras.
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
10. Uma corrente ele´trica estaciona´ria I passa por
um condutor formado por um quarto de c´ırculo
de raio a e por dois fios retil´ıneos semi-infinitos
que fazem um aˆngulo de π/2 entre si, conforme
mostra a figura abaixo. A intensidade do campo
magne´tico no ponto P, que coincide com o centro
do c´ırculo, e´ dada por:
a
P
I
(a) µ0I
2pia
.
(b) µ0I
4pia
.
(c) µ0I
4a
.
(d) µ0I
8a
.
(e) µ0I
2a
(
1
pi
+ 1
2
)
.
4
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas
1. Um cilindro circular reto, so´lido, condutor, muito longo, de raio R, e´ percorrido por uma corrente ele´trica
cuja densidade de corrente e´ dada por J = J0 (r/R)
2 zˆ, sendo r a distaˆncia ao eixo do cilindro, eixo esse
que coincide com o eixo Z.
(a) Obtenha o mo´dulo da corrente ele´trica I que flui atrave´s de uma sec¸a˜o reta do cilindro. [1,0 ponto]
(b) Determine o vetor campo magne´tico B para r ≤ R. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor campo magne´tico B para r ≥ R. [0,5 ponto]
5
6
2. A figura abaixo mostra dois arames condutores r´ıgidos, muito longos, abc e a′b′c′, dobrados em aˆngulo reto,
pertencentes ao plano XY . O arame abc esta´ fixo, com seu ve´rtice b coincidindo com a origem do sistema
de coordenadas. O arame a′b′c′, por sua vez, translada-se com uma velocidade v constante, dirigida ao
longo da bissetriz do primeiro quadrante do plano XY ; suponha que, no instante t = 0, seu ve´rtice b′ coin-
cide com o ve´rtice b do outro arame. Esse aparato encontra-se imerso em um campo magne´tico constante
(estaciona´rio e uniforme), B, que faz um aˆngulo θ, menor que 90◦, com o eixo Z.
(a) Determine o fluxo do campo magne´tico Φ
B
atrave´s do circuito definido pelos arames, em func¸a˜o de B,
v, θ e t. [1,0 ponto]
(b) Determine a forc¸a eletromotriz induzida Eind ao longo do circuito, tambe´m em func¸a˜o de B, v, θ e t.
[0,8 ponto]
(c) Informe claramente qual o sentido da corrente induzida, justificando. [0,7 ponto]
7
8
9
Gabarito para Versa˜o C
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)
1. Dois fios retil´ıneos, paralelos, muito longos, no
plano XY , portam correntes estaciona´rias de in-
tensidade I e 3I, no mesmo sentido, conforme
mostra a figura abaixo. Em que abscissa o campo
magne´tico se anula?
0 1 2 3 4 5 6
I 3I
X
(a) 1 .
(b) 11/4 .
(c) 3 .
(d) 7/2 .
(e) 4 .
(f) 17/4 .
(g) 6 .
2. O fluxo magne´tico atrave´s de uma u´nica espira
de uma bobina circular muito fina tem a seguinte
dependeˆncia temporal: ΦB(t) = (6 Wb·s−2) t2 +
(7 Wb·s−1) t+ 1 Wb. A bobina tem, no total, 10
espiras. O mo´dulo da fem induzida na bobina, em
t = 2 s, e´:
(a) 380 V .
(b) 310 V .
(c) 400 V .
(d) 190 V .
(e) 390 V .
3. I´ons dos a´tomos de C12 e C13, de mesma carga
+e e mesma energia cine´tica K, entram em um
espectroˆmetro de massa, onde ha´ um campo
magne´tico B perpendicular aos vetores velocida-
des de ambos os ı´ons. Considerando as massas
dos ı´ons de C12 e C13 iguais a 12u e 13u, respec-
tivamente, onde u e´ a unidade de massa atoˆmica,
a raza˜o entre os raios das trajeto´rias percorridas
pelos dois ı´ons RC12/RC13 e´:
(a) 12/13 .
(b) 13/12 .
(c)
√
12/13 .
(d)
√
13/12 .
(e) 1 .
4. Numa experieˆncia de efeito Hall, uma tira con-
dutora em forma de paralelep´ıpedo esta´ disposta
conforme indica a figura abaixo, sendo percorrida
por uma corrente cujo sentido convencional esta´
a´ı assinalado. Sabendo que o sinal das cargas dos
portadores livres e´ negativo e que o potencial Vsup
na parte superior da tira, apo´s atingido o regime
estaciona´rio, e´ maior que o potencial Vinf na parte
inferior da tira, indique a opc¸a˜o correta para uma
poss´ıvel direc¸a˜o e sentido do campo magne´tico ex-
terno que provoca o efeito Hall.
b
xˆ
yˆ
zˆ
(a) xˆ .
(b) −xˆ .
(c) yˆ .
(d) −yˆ .
(e) zˆ .
(f) −zˆ .
1
5. Uma fonte de voltagem varia´vel e´ conectada em
se´rie a uma bobina e um amper´ımetro, como
mostrado no diagrama abaixo. Outra bobina
pro´xima, tambe´m mostrada, esta´ conectada a um
volt´ımetro.
Sabe-se que a corrente na primeira bobina, em
func¸a˜o do tempo, tem o comportamento mostrado
no gra´fico abaixo.
Qual dos gra´ficos a seguir indica corretamente o
comportamento, em func¸a˜o do tempo, da volta-
gem lida no volt´ımetro?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
6. Considere um arranjo de treˆs (i = 1, 2, 3) fios con-
dutores, retil´ıneos, longos e paralelos, situados em
(x1 = 0, y1 = a), (x2 = y2 = 0) e (x3 = a, y3 = 0),
respectivamente; dessa forma, no plano XY , tais
fios interceptam treˆs dos ve´rtices de um quadrado
de lado com comprimento a, estando o quarto
ve´rtice, P , localizado em (x4 = a, y4 = a, z = 0)
“desocupado”. O fio 1 porta uma corrente de
mo´dulo I1 = I, com sentido do eixo Z positivo,
ao passo que o fio 2 porta corrente de mo´dulo
I2 = 2I, com sentido do eixo Z negativo e, por
fim, o fio 3 porta corrente de mo´dulo I3 = I,
com sentido do eixo Z tambe´m negativo, conforme
mostra a figura abaixo. Qual das opc¸o˜es a se-
guir da´ o valor do campo magne´tico resultante no
ve´rtice “desocupado” P?
bI
⊗ ⊗
b
P
2I I
a
a
b
xˆ
yˆ
zˆ
(a) µ0I
pia
xˆ .
(b) −µ0I
pia
xˆ .
(c)
√
2µ0I
pia
xˆ .
(d) −
√
2µ0I
pia
(xˆ+ yˆ) .
(e) µ0I
pia
yˆ .
(f) −µ0I
pia
yˆ .
(g) 0 .
7. Uma barra de cobre cil´ındrica, de resisteˆncia
ele´trica R, comprimento L e a´rea da sec¸a˜o reta
transversalA, e´ esticada para o dobro do seu com-
primento original, sem que seu volume se altere.
Pode-se afirmar que o novo valor de sua resisteˆncia
ele´trica e´:
(a) 4R .
(b)
√
2R .
(c) R/2 .
(d) R/4 .
(e) o mesmo .
2
8. Uma espira circular condutora, de raio R, con-
tida no plano XY , transporta uma corrente I no
sentido anti-hora´rio. Tal espira esta´ sujeita a um
campo magne´tico B = 1
2
B0(
√
3yˆ + zˆ) , onde B0
e´ uma constante. Podemos afirmar que o mo´dulo
do fluxo magne´tico atrave´s da espira, |ΦB|, o tor-
que sobre a espira, τ , e a energia potencial da
espira no campo, U , sa˜o dados por:
(a) πR2|B0|,
√
3
2
πR2B0I yˆ, πR
2B0I .
(b) 0, πR2B0I zˆ, −πR2B0I .
(c) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I xˆ, − 12πR2B0I .
(d) 1
2
πR2|B0|, 0, πR2B0I .
(e) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I(xˆ+ yˆ), 0 .
9. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) A lei de Biot-Savart so´ pode ser apli-
cada para distribuic¸o˜es estaciona´rias de corrente
que gerem campos magne´ticos sime´tricos. (II)
A lei de Ampe`re so´ vale para distribuic¸o˜es
estaciona´rias de corrente que gerem campos
magne´ticos sime´tricos. (III) Na lei de Ampe`re, a
curva ampe`riana tanto pode ser uma curva aberta
como fechada.
Assinale a opc¸a˜o a seguir que indica, na ordem,
quais das afirmac¸o˜es acima sa˜o falsas e quais sa˜o
verdadeiras.
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
10. Uma corrente ele´trica estaciona´ria I passa por
um condutor formado por um quarto de c´ırculo
de raio a e por dois fios retil´ıneos semi-infinitos
que fazem um aˆngulo de π/2 entre si, conforme
mostra a figura abaixo. A intensidade do campo
magne´tico no ponto P, que coincide com o centro
do c´ırculo, e´ dada por:
a
P
I
(a) µ0I
2pia
.
(b) µ0I
4pia
.
(c) µ0I
4a
.
(d) µ0I
8a
.
(e)
µ0I
2a
(
1
pi
+ 1
2
)
.
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas
1. Um cilindro circular reto, so´lido, condutor, muito longo, de raio R, e´ percorrido por uma corrente ele´trica
cuja densidade de corrente e´ dada por J = J0 (r/R)
2 zˆ, sendo r a distaˆncia ao eixo do cilindro, eixo esse
que coincide com o eixo Z.
(a) Obtenha o mo´dulo da corrente ele´trica I que flui atrave´s de uma sec¸a˜o reta do cilindro. [1,0 ponto]
(b) Determine o vetor campo magne´tico B para r ≤ R. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor campo magne´tico B para r ≥ R. [0,5 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) Sabendo que
I =
∫
S
J · nˆ dA ,
e considerando que
J(r) = J0
(
r2/R2
)
zˆ e nˆ dA = 2πr dr zˆ ,
encontraremos
I =
∫ R
0
J0
(
r2/R2
)
2πr dr (zˆ · zˆ)
=
2πJ0
R2
∫ R
0
r3 dr
=
2πJ0
R2
r4
4
∣∣∣∣
R
0
=
1
2
πR2J0 .
(b) Segundo a lei de Ampe`re temos que
∮
B · dℓ = µ0Ienc .
Levando em conta a simetria axial apresentada pelo condutor enta˜o podemos usar a lei de Ampe`re assu-
mindo para os circuitos fechados c´ırculos conceˆntricos ao eixo do cilindro condutor e contidos em um plano
ortogonal a este eixo. Neste caso, teremos que dℓ = r dφ φˆ e, pela simetria do sistema, devemos ter
B = B(r) φˆ . Com isso podemos usar a lei de Ampe`re de uma maneira geral considerando Ienc = I(r) .
Portanto, como ao longo do circuito a distaˆncia radial r e´ mantida constante, encontraremos que
∮
B · dℓ =
∫ 2pi
0
B(r) φˆ · r dφ φˆ = B(r) r
∫ 2pi
0
dφ = 2πrB(r) = µ0 I(r)
e assim
B(r) =
µ0 I(r)
2πr
φˆ .
Podemos, agora, particularizar este resultado geral para as duas regio˜es definidas pelo condutor. Para a
regia˜o interna ao cilindro, onde r < R, teremos que
I(r) =
∫
S
J · dnˆdA
=
∫ r
0
J0
(
r2/R2
)
2πr dr (zˆ.zˆ)
=
2πJ0
R2
∫ R
0
r3 dr
4
=
2πJ0
R2
r4
4
∣∣∣∣
r
0
=
1
2
πJ0r
4
R2
de modo que, ao levarmos este resultado na expressa˜o para o vetor induc¸a˜o magne´tica, encontraremos que
B(r) =
[
µ0J0r
3
4R2
]
φˆ, .
(c) No caso da regia˜o externa ao cilindro teremos que a corrente ele´trica I(r) a ser usada e´ aquela cuja
expressa˜o foi obtida no primeiro item, cuja substituic¸a˜o na expressa˜o para o vetor induc¸a˜o magne´tica
resultara´ em
B(r) =
[
µ0J0R
2
4r
]
φˆ, .
�
2. A figura abaixo mostra dois arames condutores r´ıgidos, muito longos, abc e a′b′c′, dobrados em aˆngulo reto,
pertencentes ao plano XY . O arame abc esta´ fixo, com seu ve´rtice b coincidindo com a origem do sistema
de coordenadas. O arame a′b′c′, por sua vez, translada-se com uma velocidade v constante, dirigida ao
longo da bissetriz do primeiro quadrante do plano XY ; suponha que, no instante t = 0, seu ve´rtice b′ coin-
cide com o ve´rtice b do outro arame. Esse aparato encontra-se imerso em um campo magne´tico constante
(estaciona´rio e uniforme), B, que faz um aˆngulo θ, menor que 90◦, com o eixo Z.
(a) Determine o fluxo do campo magne´tico Φ
B
atrave´s do circuito definido pelos arames, em func¸a˜o de B,
v, θ e t. [1,0 ponto]
(b) Determine a forc¸a eletromotriz induzida Eind ao longo do circuito, tambe´m em func¸a˜o de B, v, θ e t.
[0,8 ponto]
(c) Informe claramente qual o sentido da corrente induzida, justificando. [0,7 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) O fluxo do campo magne´tico atrave´s do circuito quadrado de lado a sera´ fornecido por
Φ
B
=
∫
S
B · nˆ dA =
∫
S
B dA cos θ = B cos θ
∫
S
dA = B cos θ S =⇒ Φ
B
= B cos θ a2 .
5
Desde que a diagonal do quadrado definido pelo circuito cresce como d(t) = vt e, pelo teorema de Pita´goras,
d =
√
2 a, enta˜o conclu´ımos que a(t) = vt/
√
2. Portanto, usando este resultado na expressa˜o obtida para
Φ
B
, encontraremos que
Φ
B
(t) =
1
2
(
Bv2 cos θ
)
t2 .
(b) Usando a lei da induc¸a˜o de Faraday, encontraremos que a forc¸a eletromotriz induzida no circuito sera´
fornecida por
Eind = − dΦB
dt
= − d
dt
{
1
2
(
Bv2 cos θ
)
t2
}
=⇒ Eind(t) = −
(
Bv2 cos θ
)
t .
(c) Como a a´rea definida pelo circuito esta´ crescendo com o tempo, o mesmo acontecera´ com Φ
B
(t). Pela
lei de Lenz a forc¸a eletromotriz induzida devera´ se opor a este crescimento. Para tanto, ela devera´ produzir
uma corrente ele´trica induzida cujo campo magne´tico associado apresente um fluxo que se oponha ao fluxo
do campo magne´tico externo B no qual o circuito se encontra imerso. Nestas condic¸o˜es conclu´ımos que a
corrente ele´trica induzida devera´ percorrer o circuito no sentido hora´rio.
�
6
7
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2009/2
Segunda Prova (P2) – 07/12/2009
Versa˜o: D
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
Total
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte de dez (10) questo˜es objetivas, de mu´ltipla escolha (sem nenhum tipo de penalizac¸a˜o), cada
uma das quais valendo 0,5 ponto
• uma parte discursiva, constitu´ıda por duas questo˜es discursivas (ou argumentativas ou dissertativas),
cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
I =
∫
S
J ·nˆdA , J = nqv , V = RI , Fm = qv×B , Fm =
∫
C
Idℓ×B ,
∮
S
B · nˆ dA = 0 , B = µ0
4π
qv × rˆ
r2
, B =
∫
C
µ0
4π
Idℓ× rˆ
r2
,
∮
C
B ·dℓ = µ0I + µoǫ0 dΦE
dt
,
E = −dΦB
dt
, uB =
1
2
B2
µ0
.
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)
1. Dois fios retil´ıneos, paralelos, muito longos, no
plano XY , portam correntes estaciona´rias de in-
tensidade I e 3I, no mesmo sentido, conforme
mostra a figura abaixo. Em que abscissa o campo
magne´tico se anula?
0 1 2 3 4 5 6
I 3I
X
(a) 1 .
(b) 11/4 .
(c) 3 .
(d) 7/2 .
(e) 4 .
(f) 17/4 .
(g) 6 .
2. Uma espira circular condutora, de raio R, con-
tida no plano XY , transporta uma corrente I no
sentido anti-hora´rio. Tal espira esta´ sujeita a um
campo magne´tico B = 1
2
B0(
√
3yˆ + zˆ) , onde B0
e´ uma constante. Podemos afirmar que o mo´dulo
do fluxo magne´tico atrave´s da espira, |ΦB|, o tor-
que sobre a espira, τ , e a energia potencial da
espira no campo, U , sa˜o dados por:
(a) πR2|B0|,
√
3
2
πR2B0I yˆ, πR
2B0I .
(b) 0, πR2B0I zˆ, −πR2B0I .
(c) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I xˆ, − 12πR2B0I .
(d) 1
2
πR2|B0|, 0, πR2B0I .
(e) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I(xˆ+ yˆ), 0 .
3. Numa experieˆncia de efeito Hall, uma tira con-
dutora em forma de paralelep´ıpedo esta´ disposta
conforme indica a figura abaixo, sendo percorrida
por uma corrente cujo sentido convencional esta´
a´ı assinalado. Sabendo que o sinal das cargas dos
portadores livres e´ negativo e que o potencial Vsup
na parte superior da tira, apo´s atingido o regime
estaciona´rio, e´ maior que o potencial Vinf na parte
inferior da tira, indique a opc¸a˜o correta para uma
poss´ıvel direc¸a˜o e sentido do campo magne´tico ex-
terno
que provoca o efeito Hall.
b
xˆ
yˆ
zˆ
(a) xˆ .
(b) −xˆ .
(c) yˆ .
(d) −yˆ .
(e) zˆ .
(f) −zˆ .
4. Uma barra de cobre cil´ındrica, de resisteˆncia
ele´trica R, comprimento L e a´rea da sec¸a˜o reta
transversalA, e´ esticada para o dobro do seu com-
primento original, sem que seu volume se altere.
Pode-se afirmar que o novo valor de sua resisteˆncia
ele´trica e´:
(a) 4R .
(b)
√
2R .
(c) R/2 .
(d) R/4 .
(e) o mesmo .
2
5. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) A lei de Biot-Savart so´ pode ser apli-
cada para distribuic¸o˜es estaciona´rias de corrente
que gerem campos magne´ticos sime´tricos. (II)
A lei de Ampe`re so´ vale para distribuic¸o˜es
estaciona´rias de corrente que gerem campos
magne´ticos sime´tricos. (III) Na lei de Ampe`re, a
curva ampe`riana tanto pode ser uma curva aberta
como fechada.
Assinale a opc¸a˜o a seguir que indica, na ordem,
quais das afirmac¸o˜es acima sa˜o falsas e quais sa˜o
verdadeiras.
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
6. Uma corrente ele´trica estaciona´ria I passa por
um condutor formado por um quarto de c´ırculo
de raio a e por dois fios retil´ıneos semi-infinitos
que fazem um aˆngulo de π/2 entre si, conforme
mostra a figura abaixo. A intensidade do campo
magne´tico no ponto P, que coincide com o centro
do c´ırculo, e´ dada por:
a
P
I
(a) µ0I
2pia
.
(b) µ0I
4pia
.
(c) µ0I
4a
.
(d) µ0I
8a
.
(e) µ0I
2a
(
1
pi
+ 1
2
)
.
7. I´ons dos a´tomos de C12 e C13, de mesma carga
+e e mesma energia cine´tica K, entram em um
espectroˆmetro de massa, onde ha´ um campo
magne´tico B perpendicular aos vetores velocida-
des de ambos os ı´ons. Considerando as massas
dos ı´ons de C12 e C13 iguais a 12u e 13u, respec-
tivamente, onde u e´ a unidade de massa atoˆmica,
a raza˜o entre os raios das trajeto´rias percorridas
pelos dois ı´ons RC12/RC13 e´:
(a) 12/13 .
(b) 13/12 .
(c)
√
12/13 .
(d)
√
13/12 .
(e) 1 .
8. O fluxo magne´tico atrave´s de uma u´nica espira
de uma bobina circular muito fina tem a seguinte
dependeˆncia temporal: ΦB(t) = (6 Wb·s−2) t2 +
(7 Wb·s−1) t+ 1 Wb. A bobina tem, no total, 10
espiras. O mo´dulo da fem induzida na bobina, em
t = 2 s, e´:
(a) 380 V .
(b) 310 V .
(c) 400 V .
(d) 190 V .
(e) 390 V .
3
9. Considere um arranjo de treˆs (i = 1, 2, 3) fios con-
dutores, retil´ıneos, longos e paralelos, situados em
(x1 = 0, y1 = a), (x2 = y2 = 0) e (x3 = a, y3 = 0),
respectivamente; dessa forma, no plano XY , tais
fios interceptam treˆs dos ve´rtices de um quadrado
de lado com comprimento a, estando o quarto
ve´rtice, P , localizado em (x4 = a, y4 = a, z = 0)
“desocupado”. O fio 1 porta uma corrente de
mo´dulo I1 = I, com sentido do eixo Z positivo,
ao passo que o fio 2 porta corrente de mo´dulo
I2 = 2I, com sentido do eixo Z negativo e, por
fim, o fio 3 porta corrente de mo´dulo I3 = I,
com sentido do eixo Z tambe´m negativo, conforme
mostra a figura abaixo. Qual das opc¸o˜es a se-
guir da´ o valor do campo magne´tico resultante no
ve´rtice “desocupado” P?
bI
⊗ ⊗
b
P
2I I
a
a
b
xˆ
yˆ
zˆ
(a) µ0I
pia
xˆ .
(b) −µ0I
pia
xˆ .
(c)
√
2µ0I
pia
xˆ .
(d) −
√
2µ0I
pia
(xˆ+ yˆ) .
(e) µ0I
pia
yˆ .
(f) −µ0I
pia
yˆ .
(g) 0 .
10. Uma fonte de voltagem varia´vel e´ conectada em
se´rie a uma bobina e um amper´ımetro, como
mostrado no diagrama abaixo. Outra bobina
pro´xima, tambe´m mostrada, esta´ conectada a um
volt´ımetro.
Sabe-se que a corrente na primeira bobina, em
func¸a˜o do tempo, tem o comportamento mostrado
no gra´fico abaixo.
Qual dos gra´ficos a seguir indica corretamente o
comportamento, em func¸a˜o do tempo, da volta-
gem lida no volt´ımetro?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
4
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas
1. Um cilindro circular reto, so´lido, condutor, muito longo, de raio R, e´ percorrido por uma corrente ele´trica
cuja densidade de corrente e´ dada por J = J0 (r/R)
2 zˆ, sendo r a distaˆncia ao eixo do cilindro, eixo esse
que coincide com o eixo Z.
(a) Obtenha o mo´dulo da corrente ele´trica I que flui atrave´s de uma sec¸a˜o reta do cilindro. [1,0 ponto]
(b) Determine o vetor campo magne´tico B para r ≤ R. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor campo magne´tico B para r ≥ R. [0,5 ponto]
5
6
2. A figura abaixo mostra dois arames condutores r´ıgidos, muito longos, abc e a′b′c′, dobrados em aˆngulo reto,
pertencentes ao plano XY . O arame abc esta´ fixo, com seu ve´rtice b coincidindo com a origem do sistema
de coordenadas. O arame a′b′c′, por sua vez, translada-se com uma velocidade v constante, dirigida ao
longo da bissetriz do primeiro quadrante do plano XY ; suponha que, no instante t = 0, seu ve´rtice b′ coin-
cide com o ve´rtice b do outro arame. Esse aparato encontra-se imerso em um campo magne´tico constante
(estaciona´rio e uniforme), B, que faz um aˆngulo θ, menor que 90◦, com o eixo Z.
(a) Determine o fluxo do campo magne´tico Φ
B
atrave´s do circuito definido pelos arames, em func¸a˜o de B,
v, θ e t. [1,0 ponto]
(b) Determine a forc¸a eletromotriz induzida Eind ao longo do circuito, tambe´m em func¸a˜o de B, v, θ e t.
[0,8 ponto]
(c) Informe claramente qual o sentido da corrente induzida, justificando. [0,7 ponto]
7
8
9
Gabarito para Versa˜o D
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)
1. Dois fios retil´ıneos, paralelos, muito longos, no
plano XY , portam correntes estaciona´rias de in-
tensidade I e 3I, no mesmo sentido, conforme
mostra a figura abaixo. Em que abscissa o campo
magne´tico se anula?
0 1 2 3 4 5 6
I 3I
X
(a) 1 .
(b) 11/4 .
(c) 3 .
(d) 7/2 .
(e) 4 .
(f) 17/4 .
(g) 6 .
2. Uma espira circular condutora, de raio R, con-
tida no plano XY , transporta uma corrente I no
sentido anti-hora´rio. Tal espira esta´ sujeita a um
campo magne´tico B = 1
2
B0(
√
3yˆ + zˆ) , onde B0
e´ uma constante. Podemos afirmar que o mo´dulo
do fluxo magne´tico atrave´s da espira, |ΦB|, o tor-
que sobre a espira, τ , e a energia potencial da
espira no campo, U , sa˜o dados por:
(a) πR2|B0|,
√
3
2
πR2B0I yˆ, πR
2B0I .
(b) 0, πR2B0I zˆ, −πR2B0I .
(c) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I xˆ, − 12πR2B0I .
(d) 1
2
πR2|B0|, 0, πR2B0I .
(e) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I(xˆ+ yˆ), 0 .
3. Numa experieˆncia de efeito Hall, uma tira con-
dutora em forma de paralelep´ıpedo esta´ disposta
conforme indica a figura abaixo, sendo percorrida
por uma corrente cujo sentido convencional esta´
a´ı assinalado. Sabendo que o sinal das cargas dos
portadores livres e´ negativo e que o potencial Vsup
na parte superior da tira, apo´s atingido o regime
estaciona´rio, e´ maior que o potencial Vinf na parte
inferior da tira, indique a opc¸a˜o correta para uma
poss´ıvel direc¸a˜o e sentido do campo magne´tico ex-
terno que provoca o efeito Hall.
b
xˆ
yˆ
zˆ
(a) xˆ .
(b) −xˆ .
(c) yˆ .
(d) −yˆ .
(e) zˆ .
(f) −zˆ .
4. Uma barra de cobre cil´ındrica, de resisteˆncia
ele´trica R, comprimento L e a´rea da sec¸a˜o reta
transversalA, e´ esticada para o dobro do seu com-
primento original, sem que seu volume se altere.
Pode-se afirmar que o novo valor de sua resisteˆncia
ele´trica e´:
(a) 4R .
(b)
√
2R .
(c) R/2 .
(d) R/4 .
(e) o mesmo .
1
5. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) A lei de Biot-Savart so´ pode ser apli-
cada para distribuic¸o˜es estaciona´rias de corrente
que gerem campos magne´ticos sime´tricos. (II)
A lei de Ampe`re so´ vale para distribuic¸o˜es
estaciona´rias de corrente que gerem campos
magne´ticos sime´tricos. (III) Na lei de Ampe`re, a
curva ampe`riana tanto pode ser uma curva aberta
como fechada.
Assinale a opc¸a˜o a seguir que indica, na ordem,
quais das afirmac¸o˜es acima sa˜o falsas e quais sa˜o
verdadeiras.
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
6. Uma corrente ele´trica estaciona´ria I passa por
um condutor formado por um quarto de c´ırculo
de raio a e por dois fios retil´ıneos semi-infinitos
que fazem um aˆngulo de π/2 entre si, conforme
mostra a figura abaixo. A intensidade do campo
magne´tico no ponto P, que coincide com o centro
do c´ırculo, e´ dada por:
a
P
I
(a) µ0I
2pia
.
(b) µ0I
4pia
.
(c) µ0I
4a
.
(d) µ0I
8a
.
(e) µ0I
2a
(
1
pi
+ 1
2
)
.
7. I´ons dos a´tomos de C12 e C13, de mesma carga
+e e mesma energia cine´tica K, entram em um
espectroˆmetro de massa, onde ha´ um campo
magne´tico B perpendicular aos vetores velocida-
des de ambos os ı´ons. Considerando as massas
dos ı´ons de C12 e C13 iguais a 12u e 13u, respec-
tivamente, onde u e´ a unidade de massa atoˆmica,
a raza˜o entre os raios das trajeto´rias percorridas
pelos dois ı´ons RC12/RC13 e´:
(a) 12/13 .
(b) 13/12 .
(c)
√
12/13 .
(d)
√
13/12 .
(e) 1 .
8. O fluxo magne´tico atrave´s de uma u´nica espira
de uma bobina circular muito fina tem a seguinte
dependeˆncia temporal: ΦB(t) = (6 Wb·s−2) t2 +
(7 Wb·s−1) t+ 1 Wb. A bobina tem, no total, 10
espiras. O mo´dulo da fem induzida na bobina, em
t = 2 s, e´:
(a) 380 V .
(b) 310 V .
(c) 400 V .
(d) 190 V .
(e) 390 V .
2
9. Considere um arranjo de treˆs (i = 1, 2, 3) fios con-
dutores, retil´ıneos, longos e paralelos, situados em
(x1 = 0, y1 = a), (x2 = y2 = 0) e (x3 = a, y3 = 0),
respectivamente; dessa forma, no plano XY , tais
fios interceptam treˆs dos ve´rtices de um quadrado
de lado com comprimento a, estando o quarto
ve´rtice, P , localizado em (x4 = a, y4 = a, z = 0)
“desocupado”. O fio 1 porta uma corrente de
mo´dulo I1 = I, com sentido do eixo Z positivo,
ao passo que o fio 2 porta corrente de mo´dulo
I2 = 2I, com sentido do eixo Z negativo e, por
fim, o fio 3 porta corrente de mo´dulo I3 = I,
com sentido do eixo Z tambe´m negativo, conforme
mostra a figura abaixo. Qual das opc¸o˜es a se-
guir da´ o valor do campo magne´tico resultante no
ve´rtice “desocupado” P?
bI
⊗ ⊗
b
P
2I I
a
a
b
xˆ
yˆ
zˆ
(a) µ0I
pia
xˆ .
(b) −µ0I
pia
xˆ .
(c)
√
2µ0I
pia
xˆ .
(d) −
√
2µ0I
pia
(xˆ+ yˆ) .
(e) µ0I
pia
yˆ .
(f) −µ0I
pia
yˆ .
(g) 0 .
10. Uma fonte de voltagem varia´vel e´ conectada em
se´rie a uma bobina e um amper´ımetro, como
mostrado no diagrama abaixo. Outra bobina
pro´xima, tambe´m mostrada, esta´ conectada a um
volt´ımetro.
Sabe-se que a corrente na primeira bobina, em
func¸a˜o do tempo, tem o comportamento mostrado
no gra´fico abaixo.
Qual dos gra´ficos a seguir indica corretamente o
comportamento, em func¸a˜o do tempo, da volta-
gem lida no volt´ımetro?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas
1. Um cilindro circular reto, so´lido, condutor, muito longo, de raio R, e´ percorrido por uma corrente ele´trica
cuja densidade de corrente e´ dada por J = J0 (r/R)
2 zˆ, sendo r a distaˆncia ao eixo do cilindro, eixo esse
que coincide com o eixo Z.
(a) Obtenha o mo´dulo da corrente ele´trica I que flui atrave´s de uma sec¸a˜o reta do cilindro. [1,0 ponto]
(b) Determine o vetor campo magne´tico B para r ≤ R. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor campo magne´tico B para r ≥ R. [0,5 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) Sabendo que
I =
∫
S
J · nˆ dA ,
e considerando que
J(r) = J0
(
r2/R2
)
zˆ e nˆ dA = 2πr dr zˆ ,
encontraremos
I =
∫ R
0
J0
(
r2/R2
)
2πr dr (zˆ · zˆ)
=
2πJ0
R2
∫ R
0
r3 dr
=
2πJ0
R2
r4
4
∣∣∣∣
R
0
=
1
2
πR2J0 .
(b) Segundo a lei de Ampe`re temos que
∮
B · dℓ = µ0Ienc .
Levando em conta a simetria axial apresentada pelo condutor enta˜o podemos usar a lei de Ampe`re assu-
mindo para os circuitos fechados c´ırculos conceˆntricos ao eixo do cilindro condutor e contidos em um plano
ortogonal a este eixo. Neste caso, teremos que dℓ = r dφ φˆ e, pela simetria do sistema, devemos ter
B = B(r) φˆ . Com isso podemos usar a lei de Ampe`re de uma maneira geral considerando Ienc = I(r) .
Portanto, como ao longo do circuito a distaˆncia radial r e´ mantida constante, encontraremos que
∮
B · dℓ =
∫ 2pi
0
B(r) φˆ · r dφ φˆ = B(r) r
∫ 2pi
0
dφ = 2πrB(r) = µ0 I(r)
e assim
B(r) =
µ0 I(r)
2πr
φˆ .
Podemos, agora, particularizar este resultado geral para as duas regio˜es definidas pelo condutor. Para a
regia˜o interna ao cilindro, onde r < R, teremos que
I(r) =
∫
S
J · dnˆdA
=
∫ r
0
J0
(
r2/R2
)
2πr dr (zˆ.zˆ)
=
2πJ0
R2
∫ R
0
r3 dr
4
=
2πJ0
R2
r4
4
∣∣∣∣
r
0
=
1
2
πJ0r
4
R2
de modo que, ao levarmos este resultado na expressa˜o para o vetor induc¸a˜o magne´tica, encontraremos que
B(r) =
[
µ0J0r
3
4R2
]
φˆ, .
(c) No caso da regia˜o externa ao cilindro teremos que a corrente ele´trica I(r) a ser usada e´ aquela cuja
expressa˜o foi obtida no primeiro item, cuja substituic¸a˜o na expressa˜o para o vetor induc¸a˜o magne´tica
resultara´ em
B(r) =
[
µ0J0R
2
4r
]
φˆ, .
�
2. A figura abaixo mostra dois arames condutores r´ıgidos, muito longos, abc e a′b′c′, dobrados em aˆngulo reto,
pertencentes ao plano XY . O arame abc esta´ fixo, com seu ve´rtice b coincidindo com a origem do sistema
de coordenadas. O arame a′b′c′, por sua vez, translada-se com uma velocidade v constante, dirigida ao
longo da bissetriz do primeiro quadrante do plano XY ; suponha que, no instante t = 0, seu ve´rtice b′ coin-
cide com o ve´rtice b do outro arame. Esse aparato encontra-se imerso em um campo magne´tico constante
(estaciona´rio e uniforme), B, que faz um aˆngulo θ, menor que 90◦, com o eixo Z.
(a) Determine o fluxo do campo magne´tico Φ
B
atrave´s do circuito definido pelos arames, em func¸a˜o de B,
v, θ e t. [1,0 ponto]
(b) Determine a forc¸a eletromotriz induzida Eind ao longo do circuito, tambe´m em func¸a˜o de B, v, θ e t.
[0,8 ponto]
(c) Informe claramente qual o sentido da corrente induzida, justificando. [0,7 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) O fluxo do campo magne´tico atrave´s do circuito quadrado de lado a sera´ fornecido por
Φ
B
=
∫
S
B · nˆ dA =
∫
S
B dA cos θ = B cos θ
∫
S
dA = B cos θ S =⇒ Φ
B
= B cos θ a2 .
5
Desde que a diagonal do quadrado definido pelo circuito cresce como d(t) = vt e, pelo teorema de Pita´goras,
d =
√
2 a, enta˜o conclu´ımos que a(t) = vt/
√
2. Portanto, usando este resultado na expressa˜o obtida para
Φ
B
, encontraremos que
Φ
B
(t) =
1
2
(
Bv2 cos θ
)
t2 .
(b) Usando a lei da induc¸a˜o de Faraday, encontraremos que a forc¸a eletromotriz induzida no circuito sera´
fornecida por
Eind = − dΦB
dt
= − d
dt
{
1
2
(
Bv2 cos θ
)
t2
}
=⇒ Eind(t) = −
(
Bv2 cos θ
)
t .
(c) Como a a´rea definida pelo circuito esta´ crescendo com o tempo, o mesmo acontecera´ com Φ
B
(t). Pela
lei de
Lenz a forc¸a eletromotriz induzida devera´ se opor a este crescimento. Para tanto, ela devera´ produzir
uma corrente ele´trica induzida cujo campo magne´tico associado apresente um fluxo que se oponha ao fluxo
do campo magne´tico externo B no qual o circuito se encontra imerso. Nestas condic¸o˜es conclu´ımos que a
corrente ele´trica induzida devera´ percorrer o circuito no sentido hora´rio.
�
6
7
Provas Antigas - Física 3/P2-2010.1.pdf
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2010/1
Segunda Prova (P2) – 08/07/2010
Versa˜o: A
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
Total
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por dez (10) questo˜es de mu´ltipla
escolha, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizac¸a˜o alguma;
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
E =
E0
K
, I =
∫
S
J · nˆ dA J = nqv
F
em
= qE + qv ×B , B =
∮
C
µ0
4pi
Id`× rˆ
r2
,
∮
S
B ·nˆ dA = 0 ,
∮
C
B ·d` = µ0Ienc + µ0�0 d
dt
ΦE , Eind = − d
dt
ΦB
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5=5,0 pontos)
1. Uma superf´ıcie na forma de um hemisfe´rio de raio
a, aberta (sem incluir sua base no plano “equato-
rial” XY ), conforme mostrada na figura abaixo,
e´ atravessada por um campo magne´tico uniforme
B = Bzˆ, onde B > 0. O mo´dulo, |ΦB|, do fluxo
desse campo atrave´s da superf´ıcie e´
Y
X
Z
(a) 0.
(b) pi
2
a2B.
(c) pia2B.
(d) 2pia2B.
(e) 4pia2B.
2. Considere dois planos infinitos transportando cor-
rentes em sentidos opostos, como mostra a figura
abaixo. Cada um desses planos pode ser enten-
dido como sendo formado por um nu´mero infinito
de fios retil´ıneos, paralelos, onde o nu´mero de fios
por unidade de comprimento (perpendicular) e´ n.
No plano de cima, cada fio transporta uma cor-
rente I (saindo do papel), enquanto no plano de
baixo cada fio transporta uma corrente 2I em sen-
tido oposto (entrando no papel). Assinale a opc¸a˜o
que melhor representa o campo magne´tico resul-
tante, nas treˆs regio˜es t´ıpicas do espac¸o (I, II e
III), de cima para baixo, respectivamente.
· · · · · ·�������������������
· · · · · ·⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
xˆ
I
II
III
(a) 0, 0, 0.
(b) 0, µ0nIxˆ, 0.
(c) µ0nI
2
xˆ, 3µ0nI
2
xˆ, −µ0nI
2
xˆ.
(d) −µ0nI
2
xˆ, 3µ0nI
2
xˆ, µ0nI
2
xˆ.
(e) µ0nI
2
xˆ, − 3µ0nI
2
xˆ, µ0nI
2
xˆ.
3. Dois fios condutores longos sa˜o dobrados da
mesma maneira e dispostos como mostrado na fi-
gura abaixo. As partes retil´ıneas podem ser con-
sideradas muito longas e as dobras formam dois
arcos de c´ırculo de raio a e aˆngulo θ centrados
em O. Correntes estaciona´rias I e 2I passam pelo
conjunto de fios a` esquerda e pelo conjunto de fios
a` direita, respectivamante, com os sentidos mos-
trados na figura. O campo magne´ticoB no ponto
O e´ perpendicular ao plano da figura com inten-
sidade e sentido dados por
O
I
2I
θ
(a) µ0Iθ
4pia
, saindo da pa´gina.
(b) 3µ0Iθ
4pia
, entrando na pa´gina.
(c) µ0Iθ
4pia
, entrando na pa´gina.
(d) µ0Iθ
(
1
2a
+ 2
pia
)
, entrando na pa´gina.
(e) µ0Iθ
(
1
2a
+ 2
pia
)
, saindo da pa´gina.
4. Um ı´on com carga ele´trica elementar negativa −e
e velocidade v = vxˆ, onde v > 0, entra em uma
regia˜o onde existe um campo ele´trico constante
(estaciona´rio e uniforme) E = Eyˆ. Para que a
trajeto´ria desse ı´on nessa regia˜o seja retil´ınea, e´
necessa´rio que haja um campo magne´tico cons-
tante (estaciona´rio e uniforme) B dado por
(a) −E
v
yˆ.
(b) E
v
yˆ.
(c) E
v
zˆ.
(d) −E
v
zˆ.
(e) Nenhuma das possibilidades acima, pois
o ı´on descreveria uma trajeto´ria circu-
lar quando na presenc¸a de um campo
magne´tico constante.
2
5. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) a forc¸a
magne´tica sobre uma part´ıcula (pontual) nunca
realiza trabalho; (II) o fluxo do campo magne´tico
atrave´s de uma superf´ıcie fechada e´ igual a` cor-
rente no seu interior, e (III) a lei de Faraday so´
se aplica para correntes estaciona´rias. Assinale,
das opc¸o˜es abaixo, aquela que indica as afirmac¸o˜es
verdadeiras.
(a) I.
(b) II.
(c) III.
(d) I e II.
(e) I e III.
(f) II e III.
(g) I, II, III.
(h) Nenhuma das treˆs afirmac¸o˜es e´ verda-
deira.
6. A figura mostra uma pequena barra condutora
PQ, contida no plano XY, que tem sua extremi-
dade Q pivotada ao eixo Z, de forma a poder girar
livremente em torno dele com velocidade angular
de mo´dulo constante ω. Um campo magne´tico
constante (estaciona´rio e uniforme) perpendicular
ao plano de seu movimento e orientado no sentido
negativo do eixo Z, ocupa o semi-espac¸o superior
(y > 0), como mostrado na figura. Sabendo-se
que θ = 0 no instante inicial (t = 0), qual dos
gra´ficos melhor representa a diferenc¸a de poten-
cial VP − VQ, em func¸a˜o do tempo, a cada volta
completa em torno do eixo?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
3
7. Uma espira condutora, r´ıgida, em repouso, esta´
imersa em uma regia˜o de campo magne´tico na˜o
estaciona´rio, cujo mo´dulo varia como mostra o
gra´fico abaixo. Assinale a opc¸a˜o abaixo que me-
lhor representa a relac¸a˜o entre os mo´dulos, E , da
forc¸a eletromotriz induzida na espira em cada um
dos diferentes intervalos de tempo (I, II, III, IV e
V) marcados no gra´fico.
0
1
2
0 1 2 3 4 5 6
B
t
I II III IV V
(a) |EI | = |EIV | < |EIII | < |EV | < |EII |.
(b) |EII | < |EIV | < |EIII | < |EI | < |EV |.
(c) |EIV | < |EI | < |EII | < |EIII | < |EV |.
(d) |EV | < |EI | = |EIV | < |EIII | < |EII |.
(e) |EV | < |EI | < |EII | < |EIII | < |EIV |.
8. A figura abaixo mostra uma regia˜o atraves-
sada perpendicularmente por va´rios fios condu-
zindo correntes estaciona´rias com intensidades de
mesmo mo´dulo I. Por convenc¸a˜o, as correntes
que saem da pa´gina sa˜o representadas por � e
as que entram na pa´gina por ⊗. Esta˜o repre-
sentados, tambe´m, treˆs diferentes caminhos fecha-
dos, orientados, para a a determinac¸a˜o da integral
Γ :=
∮
C
B ·d`. Assinale a opc¸a˜o abaixo que me-
lhor indica a relac¸a˜o entre tais integrais para os
diferentes caminhos.
C3
C1 C2
� �
� �
⊗
⊗
⊗
⊗
(a) Γ1 = Γ2 = Γ3.
(b) Γ1 = −Γ2 = Γ3.
(c) Γ1 = −Γ2 e Γ3 = 0.
(d) Γ1 = Γ2 e Γ3 = 0.
(e) Na˜o podemos determinar Γ sem conhe-
cermos as dimenso˜es dos caminhos utili-
zados.
9. O mesmo fluxo de um campo magne´tico na˜o esta-
ciona´rio e´ simultaneamente produzido no interior
de treˆs ane´is muito afastados entre si, por meio
de um longo soleno´ide cil´ındrico ideal que os atra-
vessa, como mostrado na figura. Os ane´is 1 (de
raio a) e 2 (de raio 2a) sa˜o formados por mate-
rial condutor. O anel 3 (tambe´m de raio 2a) e´
de material isolante. Assinale a opc¸a˜o que me-
lhor descreve a relac¸a˜o entre os mo´dulos da forc¸a
eletromotriz induzida
em cada um, num dado ins-
tante.
(a) |E1| < |E2| = |E3|.
(b) |E1| > |E2| = |E3|.
(c) |E1| = |E2| = |E3|.
(d) |E1| < |E2|; |E3| = 0.
(e) |E1| > |E2|; |E3| = 0.
(f) |E1| = |E2|; |E3| = 0.
4
10. Dois fios condutores retil´ıneos, muito longos e pa-
ralelos, esta˜o separados por uma distaˆncia d, como
mostra a figura abaixo. O fio da esquerda conduz
uma corrente ele´trica I que esta´ saindo da pa´gina
e o fio da direita conduz uma corrente ele´trica
2I em sentido oposto. O campo magne´tico B no
ponto P , que se encontra a uma mesma distaˆncia
d dos dois fios, e´ igual a
Y
Z
� ⊗
I 2I
•P
d
(a) 3µ0I
2pid
zˆ.
(b) µ0I
4pid
(
3yˆ +
√
3zˆ
)
.
(c) µ0I
2pid
(yˆ + 3zˆ).
(d) µ0I
4pid
(√
3yˆ + 3zˆ
)
.
(e) − 3µ0I
2pid
yˆ.
5
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma sec¸a˜o reta de um cabo coaxial cil´ındrico, circular, muito longo e´ mostrada na figura abaixo. Esse
constitui-se de um condutor interno macic¸o, de raio a, e uma casca externa, tambe´m condutora, de raios
b e c (0 < a < b < c). O condutor interno transporta, atrave´s de sua sec¸a˜o, uma corrente uniformemente
distribu´ıda, de intensidade I, ao passo que, na casca externa, temos, tambe´m uniformemente distribu´ıda,
uma corrente de densidade J , orientada no sentido oposto.
a
b
c
�
⊗
� zˆ
ϕˆ
(a) Deduza a corrente total que atravessa uma sec¸a˜o reta da casca cil´ındrica. [0,5 ponto]
(b) Determine o mo´dulo, J , da densidade de corrente na casca, para que o campo magne´tico seja nulo fora
do cabo (r > c). [0,5 ponto]
(c) Ainda com a condic¸a˜o do item (b), determine o vetor campo magne´tico nas outras treˆs regio˜es (0 < r < a,
a < r < b e b < r < c). [1,5 ponto]
6
7
2. Uma espira retangular condutora de comprimento a, largura b e resisteˆncia ele´trica R e um fio retil´ıneo,
muito longo, atrave´s do qual passa uma corrente I, esta˜o dispostos no mesmo plano, conforme mostra a
figura abaixo. Sabendo que o mo´dulo do campo magne´tico gerado por um fio infinito e´
B(r) =
µ0I
2pir
,
onde r e´ a distaˆncia do fio ao ponto considerado, determine:
(a) o mo´dulo do fluxo magne´tico ΦB atrave´s da espira; [0,8 ponto]
(b) a forc¸a eletromotriz induzida na espira, em func¸a˜o da distaˆncia x, se essa espira se afasta do fio com
uma velocidade v = vxˆ; [0,8 ponto]
(c) a forc¸a eletromotriz induzida na espira, em func¸a˜o da distaˆncia x, se essa espira se move com uma
velocidade v = vyˆ. [0,4 ponto]
(d) Indique, numa figura, o sentido da corrente na espira condutora para cada uma das duas situac¸o˜es
definidas nos itens (b) e (c), justificando suas escolhas. [0,5 ponto]
I
xˆ
yˆ
a
b
x
8
9
10
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5=5,0 pontos)
1. Uma superf´ıcie na forma de um hemisfe´rio de raio
a, aberta (sem incluir sua base no plano “equato-
rial” XY ), conforme mostrada na figura abaixo,
e´ atravessada por um campo magne´tico uniforme
B = Bzˆ, onde B > 0. O mo´dulo, |ΦB|, do fluxo
desse campo atrave´s da superf´ıcie e´
Y
X
Z
(a) 0.
(b) pi
2
a2B.
(c) pia2B.
(d) 2pia2B.
(e) 4pia2B.
2. Considere dois planos infinitos transportando cor-
rentes em sentidos opostos, como mostra a figura
abaixo. Cada um desses planos pode ser enten-
dido como sendo formado por um nu´mero infinito
de fios retil´ıneos, paralelos, onde o nu´mero de fios
por unidade de comprimento (perpendicular) e´ n.
No plano de cima, cada fio transporta uma cor-
rente I (saindo do papel), enquanto no plano de
baixo cada fio transporta uma corrente 2I em sen-
tido oposto (entrando no papel). Assinale a opc¸a˜o
que melhor representa o campo magne´tico resul-
tante, nas treˆs regio˜es t´ıpicas do espac¸o (I, II e
III), de cima para baixo, respectivamente.
· · · · · ·�������������������
· · · · · ·⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
xˆ
I
II
III
(a) 0, 0, 0.
(b) 0, µ0nIxˆ, 0.
(c) µ0nI
2
xˆ, 3µ0nI
2
xˆ, −µ0nI
2
xˆ.
(d) −µ0nI
2
xˆ, 3µ0nI
2
xˆ, µ0nI
2
xˆ.
(e) µ0nI
2
xˆ, − 3µ0nI
2
xˆ, µ0nI
2
xˆ.
1
3. Dois fios condutores longos sa˜o dobrados da
mesma maneira e dispostos como mostrado na fi-
gura abaixo. As partes retil´ıneas podem ser con-
sideradas muito longas e as dobras formam dois
arcos de c´ırculo de raio a e aˆngulo θ centrados
em O. Correntes estaciona´rias I e 2I passam pelo
conjunto de fios a` esquerda e pelo conjunto de fios
a` direita, respectivamante, com os sentidos mos-
trados na figura. O campo magne´ticoB no ponto
O e´ perpendicular ao plano da figura com inten-
sidade e sentido dados por
O
I
2I
θ
(a) µ0Iθ
4pia
, saindo da pa´gina.
(b) 3µ0Iθ
4pia
, entrando na pa´gina.
(c) µ0Iθ
4pia
, entrando na pa´gina.
(d) µ0Iθ
(
1
2a
+ 2
pia
)
, entrando na pa´gina.
(e) µ0Iθ
(
1
2a
+ 2
pia
)
, saindo da pa´gina.
4. Um ı´on com carga ele´trica elementar negativa −e
e velocidade v = vxˆ, onde v > 0, entra em uma
regia˜o onde existe um campo ele´trico constante
(estaciona´rio e uniforme) E = Eyˆ. Para que a
trajeto´ria desse ı´on nessa regia˜o seja retil´ınea, e´
necessa´rio que haja um campo magne´tico cons-
tante (estaciona´rio e uniforme) B dado por
(a) −E
v
yˆ.
(b) E
v
yˆ.
(c) E
v
zˆ.
(d) −E
v
zˆ.
(e) Nenhuma das possibilidades acima, pois
o ı´on descreveria uma trajeto´ria circu-
lar quando na presenc¸a de um campo
magne´tico constante.
5. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) a forc¸a
magne´tica sobre uma part´ıcula (pontual) nunca
realiza trabalho; (II) o fluxo do campo magne´tico
atrave´s de uma superf´ıcie fechada e´ igual a` cor-
rente no seu interior, e (III) a lei de Faraday so´
se aplica para correntes estaciona´rias. Assinale,
das opc¸o˜es abaixo, aquela que indica as afirmac¸o˜es
verdadeiras.
(a) I.
(b) II.
(c) III.
(d) I e II.
(e) I e III.
(f) II e III.
(g) I, II, III.
(h) Nenhuma das treˆs afirmac¸o˜es e´ verda-
deira.
2
6. A figura mostra uma pequena barra condutora
PQ, contida no plano XY, que tem sua extremi-
dade Q pivotada ao eixo Z, de forma a poder girar
livremente em torno dele com velocidade angular
de mo´dulo constante ω. Um campo magne´tico
constante (estaciona´rio e uniforme) perpendicular
ao plano de seu movimento e orientado no sentido
negativo do eixo Z, ocupa o semi-espac¸o superior
(y > 0), como mostrado na figura. Sabendo-se
que θ = 0 no instante inicial (t = 0), qual dos
gra´ficos melhor representa a diferenc¸a de poten-
cial VP − VQ, em func¸a˜o do tempo, a cada volta
completa em torno do eixo?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
7. Uma espira condutora, r´ıgida, em repouso, esta´
imersa em uma regia˜o de campo magne´tico na˜o
estaciona´rio, cujo mo´dulo varia como mostra o
gra´fico abaixo. Assinale a opc¸a˜o abaixo que me-
lhor representa a relac¸a˜o entre os mo´dulos, E , da
forc¸a eletromotriz induzida na espira em cada um
dos diferentes intervalos de tempo (I, II, III, IV e
V) marcados no gra´fico.
0
1
2
0 1 2 3 4 5 6
B
t
I II III IV V
(a) |EI | = |EIV | < |EIII | < |EV | < |EII |.
(b) |EII | < |EIV | < |EIII | < |EI | < |EV |.
(c) |EIV | < |EI | < |EII | < |EIII | < |EV |.
(d) |EV | < |EI | = |EIV | < |EIII | < |EII |.
(e) |EV | < |EI | < |EII | < |EIII | < |EIV |.
8. A figura abaixo mostra uma regia˜o atraves-
sada perpendicularmente por va´rios fios condu-
zindo correntes estaciona´rias com intensidades de
mesmo mo´dulo I. Por convenc¸a˜o, as correntes
que saem da pa´gina sa˜o representadas por � e
as que
entram na pa´gina por ⊗. Esta˜o repre-
sentados, tambe´m, treˆs diferentes caminhos fecha-
dos, orientados, para a a determinac¸a˜o da integral
Γ :=
∮
C
B ·d`. Assinale a opc¸a˜o abaixo que me-
lhor indica a relac¸a˜o entre tais integrais para os
diferentes caminhos.
C3
C1 C2
� �
� �
⊗
⊗
⊗
⊗
(a) Γ1 = Γ2 = Γ3.
(b) Γ1 = −Γ2 = Γ3.
(c) Γ1 = −Γ2 e Γ3 = 0.
(d) Γ1 = Γ2 e Γ3 = 0.
(e) Na˜o podemos determinar Γ sem conhe-
cermos as dimenso˜es dos caminhos utili-
zados.
3
9. O mesmo fluxo de um campo magne´tico na˜o esta-
ciona´rio e´ simultaneamente produzido no interior
de treˆs ane´is muito afastados entre si, por meio
de um longo soleno´ide cil´ındrico ideal que os atra-
vessa, como mostrado na figura. Os ane´is 1 (de
raio a) e 2 (de raio 2a) sa˜o formados por mate-
rial condutor. O anel 3 (tambe´m de raio 2a) e´
de material isolante. Assinale a opc¸a˜o que me-
lhor descreve a relac¸a˜o entre os mo´dulos da forc¸a
eletromotriz induzida em cada um, num dado ins-
tante.
(a) |E1| < |E2| = |E3|.
(b) |E1| > |E2| = |E3|.
(c) |E1| = |E2| = |E3|.
(d) |E1| < |E2|; |E3| = 0.
(e) |E1| > |E2|; |E3| = 0.
(f) |E1| = |E2|; |E3| = 0.
10. Dois fios condutores retil´ıneos, muito longos e pa-
ralelos, esta˜o separados por uma distaˆncia d, como
mostra a figura abaixo. O fio da esquerda conduz
uma corrente ele´trica I que esta´ saindo da pa´gina
e o fio da direita conduz uma corrente ele´trica
2I em sentido oposto. O campo magne´tico B no
ponto P , que se encontra a uma mesma distaˆncia
d dos dois fios, e´ igual a
Y
Z
� ⊗
I 2I
•P
d
(a) 3µ0I
2pid
zˆ.
(b) µ0I
4pid
(
3yˆ +
√
3zˆ
)
.
(c) µ0I
2pid
(yˆ + 3zˆ).
(d) µ0I
4pid
(√
3yˆ + 3zˆ
)
.
(e) − 3µ0I
2pid
yˆ.
4
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma sec¸a˜o reta de um cabo coaxial cil´ındrico, circular, muito longo e´ mostrada na figura abaixo. Esse
constitui-se de um condutor interno macic¸o, de raio a, e uma casca externa, tambe´m condutora, de raios
b e c (0 < a < b < c). O condutor interno transporta, atrave´s de sua sec¸a˜o, uma corrente uniformemente
distribu´ıda, de intensidade I, ao passo que, na casca externa, temos, tambe´m uniformemente distribu´ıda,
uma corrente de densidade J , orientada no sentido oposto.
a
b
c
�
⊗
� zˆ
ϕˆ
(a) Deduza a corrente total que atravessa uma sec¸a˜o reta da casca cil´ındrica. [0,5 ponto]
(b) Determine o mo´dulo, J , da densidade de corrente na casca, para que o campo magne´tico seja nulo fora
do cabo (r > c). [0,5 ponto]
(c) Ainda com a condic¸a˜o do item (b), determine o vetor campo magne´tico nas outras treˆs regio˜es (0 < r < a,
a < r < b e b < r < c). [1,5 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) Como a corrente esta´ uniformemente distribu´ıda atrave´s da sec¸a˜o reta da casca, temos
Icasca = JAcasca ,
ou seja,
Icasca = piJ
(
c2 − b2) .
�
(b) Por simetria cil´ındrica e lei de Ampe`re, temos que
B2pir = µ0 (I − Icasca)
= µ0
[
I − piJ (c2 − b2)] .
Para que B seja, pois, zero, devemos ter, enta˜o,
J =
I
pi (c2 − b2) .
�
(c) Ainda por simetria e lei de Ampe`re, temos, em qualquer uma das treˆs regio˜es:
B2pir = µ0Ienc .
Enta˜o:
5
• 0 < r < a:
Ienc = I
pir2
pia2
= I
r2
a2
.
Logo,
B =
µ0I
2pia2
r ϕˆ .
• a < r < b:
Ienc = I .
Logo,
B =
µ0I
2pir
ϕˆ .
• b < r < c:
Ienc = I − I
pi
(
r2 − b2)
pi (c2 − b2)
= I
(
1− r
2 − b2
c2 − b2
)
.
Logo,
B =
µ0I
2pir
(
1− r
2 − b2
c2 − b2
)
ϕˆ .
�
2. Uma espira retangular condutora de comprimento a, largura b e resisteˆncia ele´trica R e um fio retil´ıneo,
muito longo, atrave´s do qual passa uma corrente I, esta˜o dispostos no mesmo plano, conforme mostra a
figura abaixo. Sabendo que o mo´dulo do campo magne´tico gerado por um fio infinito e´
B(r) =
µ0I
2pir
,
onde r e´ a distaˆncia do fio ao ponto considerado, determine:
(a) o mo´dulo do fluxo magne´tico ΦB atrave´s da espira; [0,8 ponto]
(b) a forc¸a eletromotriz induzida na espira, em func¸a˜o da distaˆncia x, se essa espira se afasta do fio com
uma velocidade v = vxˆ; [0,8 ponto]
(c) a forc¸a eletromotriz induzida na espira, em func¸a˜o da distaˆncia x, se essa espira se move com uma
velocidade v = vyˆ. [0,4 ponto]
(d) Indique, numa figura, o sentido da corrente na espira condutora para cada uma das duas situac¸o˜es
definidas nos itens (b) e (c), justificando suas escolhas. [0,5 ponto]
I
xˆ
yˆ
a
b
x
6
Resoluc¸a˜o:
(a) O fluxo magne´tico ΦB atrave´s da espira, considerando nˆ = −zˆ (de modo a sair ja´ positivo), e´ dado por
ΦB =
∫
S
B · nˆ dA
=
∫ x+b
x
µ0I
2pix′
(−zˆ)·(−zˆ) adx′ ,
ou seja,
ΦB =
µ0Ia
2pi
ln
(
x+ b
x
)
.
Como, neste caso, ΦB > 0, este e´ o valor do mo´dulo |ΦB |.
�
(b) A forc¸a eletromotriz induzida na espira e´ dada por
E = −dΦB
dt
.
Quando a espira se afasta do fio com uma velocidade constante v = vxˆ, temos que dx
dt
= v. Logo
E = −µ0Ia
2pi
(
1
x+ b
− 1
x
)
v ,
ou seja,
E = µ0I
2pi
ab
x(x + b)
v .
�
(c) Quando a espira se move com uma velocidade constante v = vyˆ, na˜o ha´ variac¸a˜o do fluxo magne´tico,
logo
E = 0 .
�
(d) Na situac¸a˜o do item (b), o sentido da corrente na espira condutora e´ o hora´rio. Podemos justificar
utilizando a lei de Lenz. Como o fluxo magne´tico esta´ diminuindo, ja´ que a espira se afasta, a corrente
induzida deve ser no sentido de tentar impedir esta diminuic¸a˜o. Para isso, ela deve criar um campo no
mesmo sentido do campo existente.
Uma outra maneira e´, levando em conta que, conforme o item (a), nˆ = −zˆ, enta˜o o sentido positivo de
percurso da espira retangular e´ o hora´rio e, como, agora segundo o item (b), a fem induzida e´ positiva,
temos que o sentido da corrente induzida e´ o pro´prio sentido positivo de percurso da espira, ou seja, o
hora´rio.
Ja´ no item (c), conforme visto acima, nao ha´ corrente induzida.
�
7
8
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2010/1
Segunda Prova (P2) – 08/07/2010
Versa˜o: B
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
Total
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por dez (10) questo˜es de mu´ltipla
escolha, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizac¸a˜o alguma;
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
E =
E0
K
, I =
∫
S
J · nˆ dA J = nqv
F
em
= qE + qv ×B , B =
∮
C
µ0
4pi
Id`× rˆ
r2
,
∮
S
B ·nˆ dA = 0 ,
∮
C
B ·d` = µ0Ienc + µ0�0 d
dt
ΦE , Eind = − d
dt
ΦB
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5=5,0 pontos)
1. Uma superf´ıcie na forma de um hemisfe´rio de raio
a, aberta (sem incluir
sua base no plano “equato-
rial” XY ), conforme mostrada na figura abaixo,
e´ atravessada por um campo magne´tico uniforme
B = Bzˆ, onde B > 0. O mo´dulo, |ΦB|, do fluxo
desse campo atrave´s da superf´ıcie e´
Y
X
Z
(a) 0.
(b) pi
2
a2B.
(c) pia2B.
(d) 2pia2B.
(e) 4pia2B.
2. Considere dois planos infinitos transportando cor-
rentes em sentidos opostos, como mostra a figura
abaixo. Cada um desses planos pode ser enten-
dido como sendo formado por um nu´mero infinito
de fios retil´ıneos, paralelos, onde o nu´mero de fios
por unidade de comprimento (perpendicular) e´ n.
No plano de cima, cada fio transporta uma cor-
rente I (saindo do papel), enquanto no plano de
baixo cada fio transporta uma corrente 2I em sen-
tido oposto (entrando no papel). Assinale a opc¸a˜o
que melhor representa o campo magne´tico resul-
tante, nas treˆs regio˜es t´ıpicas do espac¸o (I, II e
III), de cima para baixo, respectivamente.
· · · · · ·�������������������
· · · · · ·⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
xˆ
I
II
III
(a) 0, 0, 0.
(b) 0, µ0nIxˆ, 0.
(c) µ0nI
2
xˆ, 3µ0nI
2
xˆ, −µ0nI
2
xˆ.
(d) −µ0nI
2
xˆ, 3µ0nI
2
xˆ, µ0nI
2
xˆ.
(e) µ0nI
2
xˆ, − 3µ0nI
2
xˆ, µ0nI
2
xˆ.
3. Uma espira condutora, r´ıgida, em repouso, esta´
imersa em uma regia˜o de campo magne´tico na˜o
estaciona´rio, cujo mo´dulo varia como mostra o
gra´fico abaixo. Assinale a opc¸a˜o abaixo que me-
lhor representa a relac¸a˜o entre os mo´dulos, E , da
forc¸a eletromotriz induzida na espira em cada um
dos diferentes intervalos de tempo (I, II, III, IV e
V) marcados no gra´fico.
0
1
2
0 1 2 3 4 5 6
B
t
I II III IV V
(a) |EI | = |EIV | < |EIII | < |EV | < |EII |.
(b) |EII | < |EIV | < |EIII | < |EI | < |EV |.
(c) |EIV | < |EI | < |EII | < |EIII | < |EV |.
(d) |EV | < |EI | = |EIV | < |EIII | < |EII |.
(e) |EV | < |EI | < |EII | < |EIII | < |EIV |.
2
4. A figura abaixo mostra uma regia˜o atraves-
sada perpendicularmente por va´rios fios condu-
zindo correntes estaciona´rias com intensidades de
mesmo mo´dulo I. Por convenc¸a˜o, as correntes
que saem da pa´gina sa˜o representadas por � e
as que entram na pa´gina por ⊗. Esta˜o repre-
sentados, tambe´m, treˆs diferentes caminhos fecha-
dos, orientados, para a a determinac¸a˜o da integral
Γ :=
∮
C
B ·d`. Assinale a opc¸a˜o abaixo que me-
lhor indica a relac¸a˜o entre tais integrais para os
diferentes caminhos.
C3
C1 C2
� �
� �
⊗
⊗
⊗
⊗
(a) Γ1 = Γ2 = Γ3.
(b) Γ1 = −Γ2 = Γ3.
(c) Γ1 = −Γ2 e Γ3 = 0.
(d) Γ1 = Γ2 e Γ3 = 0.
(e) Na˜o podemos determinar Γ sem conhe-
cermos as dimenso˜es dos caminhos utili-
zados.
5. Dois fios condutores longos sa˜o dobrados da
mesma maneira e dispostos como mostrado na fi-
gura abaixo. As partes retil´ıneas podem ser con-
sideradas muito longas e as dobras formam dois
arcos de c´ırculo de raio a e aˆngulo θ centrados
em O. Correntes estaciona´rias I e 2I passam pelo
conjunto de fios a` esquerda e pelo conjunto de fios
a` direita, respectivamante, com os sentidos mos-
trados na figura. O campo magne´ticoB no ponto
O e´ perpendicular ao plano da figura com inten-
sidade e sentido dados por
O
I
2I
θ
(a) µ0Iθ
4pia
, saindo da pa´gina.
(b) 3µ0Iθ
4pia
, entrando na pa´gina.
(c) µ0Iθ
4pia
, entrando na pa´gina.
(d) µ0Iθ
(
1
2a
+ 2
pia
)
, entrando na pa´gina.
(e) µ0Iθ
(
1
2a
+ 2
pia
)
, saindo da pa´gina.
6. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) a forc¸a
magne´tica sobre uma part´ıcula (pontual) nunca
realiza trabalho; (II) o fluxo do campo magne´tico
atrave´s de uma superf´ıcie fechada e´ igual a` cor-
rente no seu interior, e (III) a lei de Faraday so´
se aplica para correntes estaciona´rias. Assinale,
das opc¸o˜es abaixo, aquela que indica as afirmac¸o˜es
verdadeiras.
(a) I.
(b) II.
(c) III.
(d) I e II.
(e) I e III.
(f) II e III.
(g) I, II, III.
(h) Nenhuma das treˆs afirmac¸o˜es e´ verda-
deira.
3
7. Um ı´on com carga ele´trica elementar negativa −e
e velocidade v = vxˆ, onde v > 0, entra em uma
regia˜o onde existe um campo ele´trico constante
(estaciona´rio e uniforme) E = Eyˆ. Para que a
trajeto´ria desse ı´on nessa regia˜o seja retil´ınea, e´
necessa´rio que haja um campo magne´tico cons-
tante (estaciona´rio e uniforme) B dado por
(a) −E
v
yˆ.
(b) E
v
yˆ.
(c) E
v
zˆ.
(d) −E
v
zˆ.
(e) Nenhuma das possibilidades acima, pois
o ı´on descreveria uma trajeto´ria circu-
lar quando na presenc¸a de um campo
magne´tico constante.
8. O mesmo fluxo de um campo magne´tico na˜o esta-
ciona´rio e´ simultaneamente produzido no interior
de treˆs ane´is muito afastados entre si, por meio
de um longo soleno´ide cil´ındrico ideal que os atra-
vessa, como mostrado na figura. Os ane´is 1 (de
raio a) e 2 (de raio 2a) sa˜o formados por mate-
rial condutor. O anel 3 (tambe´m de raio 2a) e´
de material isolante. Assinale a opc¸a˜o que me-
lhor descreve a relac¸a˜o entre os mo´dulos da forc¸a
eletromotriz induzida em cada um, num dado ins-
tante.
(a) |E1| < |E2| = |E3|.
(b) |E1| > |E2| = |E3|.
(c) |E1| = |E2| = |E3|.
(d) |E1| < |E2|; |E3| = 0.
(e) |E1| > |E2|; |E3| = 0.
(f) |E1| = |E2|; |E3| = 0.
9. Dois fios condutores retil´ıneos, muito longos e pa-
ralelos, esta˜o separados por uma distaˆncia d, como
mostra a figura abaixo. O fio da esquerda conduz
uma corrente ele´trica I que esta´ saindo da pa´gina
e o fio da direita conduz uma corrente ele´trica
2I em sentido oposto. O campo magne´tico B no
ponto P , que se encontra a uma mesma distaˆncia
d dos dois fios, e´ igual a
Y
Z
� ⊗
I 2I
•P
d
(a) 3µ0I
2pid
zˆ.
(b) µ0I
4pid
(
3yˆ +
√
3zˆ
)
.
(c) µ0I
2pid
(yˆ + 3zˆ).
(d) µ0I
4pid
(√
3yˆ + 3zˆ
)
.
(e) − 3µ0I
2pid
yˆ.
4
10. A figura mostra uma pequena barra condutora
PQ, contida no plano XY, que tem sua extremi-
dade Q pivotada ao eixo Z, de forma a poder girar
livremente em torno dele com velocidade angular
de mo´dulo constante ω. Um campo magne´tico
constante (estaciona´rio e uniforme) perpendicular
ao plano de seu movimento e orientado no sentido
negativo do eixo Z, ocupa o semi-espac¸o superior
(y > 0), como mostrado na figura. Sabendo-se
que θ = 0 no instante inicial (t = 0), qual dos
gra´ficos melhor representa a diferenc¸a de poten-
cial VP − VQ, em func¸a˜o do tempo, a cada volta
completa em torno do eixo?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
5
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma sec¸a˜o reta de um cabo coaxial cil´ındrico, circular, muito longo e´ mostrada na figura abaixo. Esse
constitui-se de um condutor interno macic¸o, de raio a, e uma casca externa, tambe´m condutora, de raios
b e c (0 < a < b < c). O condutor interno transporta, atrave´s de sua sec¸a˜o, uma corrente uniformemente
distribu´ıda, de intensidade I, ao passo que, na casca externa, temos, tambe´m uniformemente distribu´ıda,
uma corrente de densidade J , orientada no sentido oposto.
a
b
c
�
⊗
� zˆ
ϕˆ
(a) Deduza a corrente total que atravessa uma sec¸a˜o reta da casca cil´ındrica. [0,5 ponto]
(b) Determine o mo´dulo, J , da densidade de corrente na casca, para que o campo magne´tico seja nulo fora
do cabo (r > c). [0,5 ponto]
(c) Ainda com a condic¸a˜o do item (b), determine o vetor campo magne´tico nas outras treˆs regio˜es (0 < r < a,
a < r < b e b < r < c). [1,5 ponto]
6
7
2. Uma espira retangular condutora de comprimento a, largura b e resisteˆncia ele´trica R e um fio retil´ıneo,
muito longo, atrave´s do qual passa uma corrente I, esta˜o dispostos
no mesmo plano, conforme mostra a
figura abaixo. Sabendo que o mo´dulo do campo magne´tico gerado por um fio infinito e´
B(r) =
µ0I
2pir
,
onde r e´ a distaˆncia do fio ao ponto considerado, determine:
(a) o mo´dulo do fluxo magne´tico ΦB atrave´s da espira; [0,8 ponto]
(b) a forc¸a eletromotriz induzida na espira, em func¸a˜o da distaˆncia x, se essa espira se afasta do fio com
uma velocidade v = vxˆ; [0,8 ponto]
(c) a forc¸a eletromotriz induzida na espira, em func¸a˜o da distaˆncia x, se essa espira se move com uma
velocidade v = vyˆ. [0,4 ponto]
(d) Indique, numa figura, o sentido da corrente na espira condutora para cada uma das duas situac¸o˜es
definidas nos itens (b) e (c), justificando suas escolhas. [0,5 ponto]
I
xˆ
yˆ
a
b
x
8
9
10
Gabarito para Versa˜o B
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5=5,0 pontos)
1. Uma superf´ıcie na forma de um hemisfe´rio de raio
a, aberta (sem incluir sua base no plano “equato-
rial” XY ), conforme mostrada na figura abaixo,
e´ atravessada por um campo magne´tico uniforme
B = Bzˆ, onde B > 0. O mo´dulo, |ΦB|, do fluxo
desse campo atrave´s da superf´ıcie e´
Y
X
Z
(a) 0.
(b) pi
2
a2B.
(c) pia2B.
(d) 2pia2B.
(e) 4pia2B.
2. Considere dois planos infinitos transportando cor-
rentes em sentidos opostos, como mostra a figura
abaixo. Cada um desses planos pode ser enten-
dido como sendo formado por um nu´mero infinito
de fios retil´ıneos, paralelos, onde o nu´mero de fios
por unidade de comprimento (perpendicular) e´ n.
No plano de cima, cada fio transporta uma cor-
rente I (saindo do papel), enquanto no plano de
baixo cada fio transporta uma corrente 2I em sen-
tido oposto (entrando no papel). Assinale a opc¸a˜o
que melhor representa o campo magne´tico resul-
tante, nas treˆs regio˜es t´ıpicas do espac¸o (I, II e
III), de cima para baixo, respectivamente.
· · · · · ·�������������������
· · · · · ·⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
xˆ
I
II
III
(a) 0, 0, 0.
(b) 0, µ0nIxˆ, 0.
(c) µ0nI
2
xˆ, 3µ0nI
2
xˆ, −µ0nI
2
xˆ.
(d) −µ0nI
2
xˆ, 3µ0nI
2
xˆ, µ0nI
2
xˆ.
(e) µ0nI
2
xˆ, − 3µ0nI
2
xˆ, µ0nI
2
xˆ.
1
3. Uma espira condutora, r´ıgida, em repouso, esta´
imersa em uma regia˜o de campo magne´tico na˜o
estaciona´rio, cujo mo´dulo varia como mostra o
gra´fico abaixo. Assinale a opc¸a˜o abaixo que me-
lhor representa a relac¸a˜o entre os mo´dulos, E , da
forc¸a eletromotriz induzida na espira em cada um
dos diferentes intervalos de tempo (I, II, III, IV e
V) marcados no gra´fico.
0
1
2
0 1 2 3 4 5 6
B
t
I II III IV V
(a) |EI | = |EIV | < |EIII | < |EV | < |EII |.
(b) |EII | < |EIV | < |EIII | < |EI | < |EV |.
(c) |EIV | < |EI | < |EII | < |EIII | < |EV |.
(d) |EV | < |EI | = |EIV | < |EIII | < |EII |.
(e) |EV | < |EI | < |EII | < |EIII | < |EIV |.
4. A figura abaixo mostra uma regia˜o atraves-
sada perpendicularmente por va´rios fios condu-
zindo correntes estaciona´rias com intensidades de
mesmo mo´dulo I. Por convenc¸a˜o, as correntes
que saem da pa´gina sa˜o representadas por � e
as que entram na pa´gina por ⊗. Esta˜o repre-
sentados, tambe´m, treˆs diferentes caminhos fecha-
dos, orientados, para a a determinac¸a˜o da integral
Γ :=
∮
C
B ·d`. Assinale a opc¸a˜o abaixo que me-
lhor indica a relac¸a˜o entre tais integrais para os
diferentes caminhos.
C3
C1 C2
� �
� �
⊗
⊗
⊗
⊗
(a) Γ1 = Γ2 = Γ3.
(b) Γ1 = −Γ2 = Γ3.
(c) Γ1 = −Γ2 e Γ3 = 0.
(d) Γ1 = Γ2 e Γ3 = 0.
(e) Na˜o podemos determinar Γ sem conhe-
cermos as dimenso˜es dos caminhos utili-
zados.
5. Dois fios condutores longos sa˜o dobrados da
mesma maneira e dispostos como mostrado na fi-
gura abaixo. As partes retil´ıneas podem ser con-
sideradas muito longas e as dobras formam dois
arcos de c´ırculo de raio a e aˆngulo θ centrados
em O. Correntes estaciona´rias I e 2I passam pelo
conjunto de fios a` esquerda e pelo conjunto de fios
a` direita, respectivamante, com os sentidos mos-
trados na figura. O campo magne´ticoB no ponto
O e´ perpendicular ao plano da figura com inten-
sidade e sentido dados por
O
I
2I
θ
(a) µ0Iθ
4pia
, saindo da pa´gina.
(b) 3µ0Iθ
4pia
, entrando na pa´gina.
(c) µ0Iθ
4pia
, entrando na pa´gina.
(d) µ0Iθ
(
1
2a
+ 2
pia
)
, entrando na pa´gina.
(e) µ0Iθ
(
1
2a
+ 2
pia
)
, saindo da pa´gina.
6. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) a forc¸a
magne´tica sobre uma part´ıcula (pontual) nunca
realiza trabalho; (II) o fluxo do campo magne´tico
atrave´s de uma superf´ıcie fechada e´ igual a` cor-
rente no seu interior, e (III) a lei de Faraday so´
se aplica para correntes estaciona´rias. Assinale,
das opc¸o˜es abaixo, aquela que indica as afirmac¸o˜es
verdadeiras.
(a) I.
(b) II.
(c) III.
(d) I e II.
(e) I e III.
(f) II e III.
(g) I, II, III.
(h) Nenhuma das treˆs afirmac¸o˜es e´ verda-
deira.
2
7. Um ı´on com carga ele´trica elementar negativa −e
e velocidade v = vxˆ, onde v > 0, entra em uma
regia˜o onde existe um campo ele´trico constante
(estaciona´rio e uniforme) E = Eyˆ. Para que a
trajeto´ria desse ı´on nessa regia˜o seja retil´ınea, e´
necessa´rio que haja um campo magne´tico cons-
tante (estaciona´rio e uniforme) B dado por
(a) −E
v
yˆ.
(b) E
v
yˆ.
(c) E
v
zˆ.
(d) −E
v
zˆ.
(e) Nenhuma das possibilidades acima, pois
o ı´on descreveria uma trajeto´ria circu-
lar quando na presenc¸a de um campo
magne´tico constante.
8. O mesmo fluxo de um campo magne´tico na˜o esta-
ciona´rio e´ simultaneamente produzido no interior
de treˆs ane´is muito afastados entre si, por meio
de um longo soleno´ide cil´ındrico ideal que os atra-
vessa, como mostrado na figura. Os ane´is 1 (de
raio a) e 2 (de raio 2a) sa˜o formados por mate-
rial condutor. O anel 3 (tambe´m de raio 2a) e´
de material isolante. Assinale a opc¸a˜o que me-
lhor descreve a relac¸a˜o entre os mo´dulos da forc¸a
eletromotriz induzida em cada um, num dado ins-
tante.
(a) |E1| < |E2| = |E3|.
(b) |E1| > |E2| = |E3|.
(c) |E1| = |E2| = |E3|.
(d) |E1| < |E2|; |E3| = 0.
(e) |E1| > |E2|; |E3| = 0.
(f) |E1| = |E2|; |E3| = 0.
9. Dois fios condutores retil´ıneos, muito longos e pa-
ralelos, esta˜o separados por uma distaˆncia d, como
mostra a figura abaixo. O fio da esquerda conduz
uma corrente ele´trica I que esta´ saindo da pa´gina
e o fio da direita conduz uma corrente ele´trica
2I em sentido oposto. O campo magne´tico B no
ponto P , que se encontra a uma mesma distaˆncia
d dos dois fios, e´ igual a
Y
Z
� ⊗
I 2I
•P
d
(a) 3µ0I
2pid
zˆ.
(b) µ0I
4pid
(
3yˆ +
√
3zˆ
)
.
(c) µ0I
2pid
(yˆ + 3zˆ).
(d) µ0I
4pid
(√
3yˆ + 3zˆ
)
.
(e) − 3µ0I
2pid
yˆ.
3
10. A figura mostra uma pequena barra condutora
PQ, contida no plano XY, que tem sua extremi-
dade Q pivotada ao eixo Z, de forma a poder girar
livremente em torno dele com velocidade angular
de mo´dulo constante ω. Um campo magne´tico
constante (estaciona´rio e uniforme) perpendicular
ao plano de seu movimento e orientado no sentido
negativo do eixo Z, ocupa o semi-espac¸o superior
(y > 0), como mostrado na figura. Sabendo-se
que θ = 0 no instante inicial (t = 0), qual dos
gra´ficos melhor representa a diferenc¸a de poten-
cial VP − VQ, em func¸a˜o do tempo, a cada volta
completa em torno do eixo?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
4
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma sec¸a˜o reta de um cabo coaxial cil´ındrico, circular, muito longo e´ mostrada na figura abaixo. Esse
constitui-se
de um condutor interno macic¸o, de raio a, e uma casca externa, tambe´m condutora, de raios
b e c (0 < a < b < c). O condutor interno transporta, atrave´s de sua sec¸a˜o, uma corrente uniformemente
distribu´ıda, de intensidade I, ao passo que, na casca externa, temos, tambe´m uniformemente distribu´ıda,
uma corrente de densidade J , orientada no sentido oposto.
a
b
c
�
⊗
� zˆ
ϕˆ
(a) Deduza a corrente total que atravessa uma sec¸a˜o reta da casca cil´ındrica. [0,5 ponto]
(b) Determine o mo´dulo, J , da densidade de corrente na casca, para que o campo magne´tico seja nulo fora
do cabo (r > c). [0,5 ponto]
(c) Ainda com a condic¸a˜o do item (b), determine o vetor campo magne´tico nas outras treˆs regio˜es (0 < r < a,
a < r < b e b < r < c). [1,5 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) Como a corrente esta´ uniformemente distribu´ıda atrave´s da sec¸a˜o reta da casca, temos
Icasca = JAcasca ,
ou seja,
Icasca = piJ
(
c2 − b2) .
�
(b) Por simetria cil´ındrica e lei de Ampe`re, temos que
B2pir = µ0 (I − Icasca)
= µ0
[
I − piJ (c2 − b2)] .
Para que B seja, pois, zero, devemos ter, enta˜o,
J =
I
pi (c2 − b2) .
�
(c) Ainda por simetria e lei de Ampe`re, temos, em qualquer uma das treˆs regio˜es:
B2pir = µ0Ienc .
Enta˜o:
5
• 0 < r < a:
Ienc = I
pir2
pia2
= I
r2
a2
.
Logo,
B =
µ0I
2pia2
r ϕˆ .
• a < r < b:
Ienc = I .
Logo,
B =
µ0I
2pir
ϕˆ .
• b < r < c:
Ienc = I − I
pi
(
r2 − b2)
pi (c2 − b2)
= I
(
1− r
2 − b2
c2 − b2
)
.
Logo,
B =
µ0I
2pir
(
1− r
2 − b2
c2 − b2
)
ϕˆ .
�
2. Uma espira retangular condutora de comprimento a, largura b e resisteˆncia ele´trica R e um fio retil´ıneo,
muito longo, atrave´s do qual passa uma corrente I, esta˜o dispostos no mesmo plano, conforme mostra a
figura abaixo. Sabendo que o mo´dulo do campo magne´tico gerado por um fio infinito e´
B(r) =
µ0I
2pir
,
onde r e´ a distaˆncia do fio ao ponto considerado, determine:
(a) o mo´dulo do fluxo magne´tico ΦB atrave´s da espira; [0,8 ponto]
(b) a forc¸a eletromotriz induzida na espira, em func¸a˜o da distaˆncia x, se essa espira se afasta do fio com
uma velocidade v = vxˆ; [0,8 ponto]
(c) a forc¸a eletromotriz induzida na espira, em func¸a˜o da distaˆncia x, se essa espira se move com uma
velocidade v = vyˆ. [0,4 ponto]
(d) Indique, numa figura, o sentido da corrente na espira condutora para cada uma das duas situac¸o˜es
definidas nos itens (b) e (c), justificando suas escolhas. [0,5 ponto]
I
xˆ
yˆ
a
b
x
6
Resoluc¸a˜o:
(a) O fluxo magne´tico ΦB atrave´s da espira, considerando nˆ = −zˆ (de modo a sair ja´ positivo), e´ dado por
ΦB =
∫
S
B · nˆ dA
=
∫ x+b
x
µ0I
2pix′
(−zˆ)·(−zˆ) adx′ ,
ou seja,
ΦB =
µ0Ia
2pi
ln
(
x+ b
x
)
.
Como, neste caso, ΦB > 0, este e´ o valor do mo´dulo |ΦB |.
�
(b) A forc¸a eletromotriz induzida na espira e´ dada por
E = −dΦB
dt
.
Quando a espira se afasta do fio com uma velocidade constante v = vxˆ, temos que dx
dt
= v. Logo
E = −µ0Ia
2pi
(
1
x+ b
− 1
x
)
v ,
ou seja,
E = µ0I
2pi
ab
x(x + b)
v .
�
(c) Quando a espira se move com uma velocidade constante v = vyˆ, na˜o ha´ variac¸a˜o do fluxo magne´tico,
logo
E = 0 .
�
(d) Na situac¸a˜o do item (b), o sentido da corrente na espira condutora e´ o hora´rio. Podemos justificar
utilizando a lei de Lenz. Como o fluxo magne´tico esta´ diminuindo, ja´ que a espira se afasta, a corrente
induzida deve ser no sentido de tentar impedir esta diminuic¸a˜o. Para isso, ela deve criar um campo no
mesmo sentido do campo existente.
Uma outra maneira e´, levando em conta que, conforme o item (a), nˆ = −zˆ, enta˜o o sentido positivo de
percurso da espira retangular e´ o hora´rio e, como, agora segundo o item (b), a fem induzida e´ positiva,
temos que o sentido da corrente induzida e´ o pro´prio sentido positivo de percurso da espira, ou seja, o
hora´rio.
Ja´ no item (c), conforme visto acima, nao ha´ corrente induzida.
�
7
8
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2010/1
Segunda Prova (P2) – 08/07/2010
Versa˜o: C
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
Total
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por dez (10) questo˜es de mu´ltipla
escolha, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizac¸a˜o alguma;
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
E =
E0
K
, I =
∫
S
J · nˆ dA J = nqv
F
em
= qE + qv ×B , B =
∮
C
µ0
4pi
Id`× rˆ
r2
,
∮
S
B ·nˆ dA = 0 ,
∮
C
B ·d` = µ0Ienc + µ0�0 d
dt
ΦE , Eind = − d
dt
ΦB
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5=5,0 pontos)
1. A figura mostra uma pequena barra condutora
PQ, contida no plano XY, que tem sua extremi-
dade Q pivotada ao eixo Z, de forma a poder girar
livremente em torno dele com velocidade angular
de mo´dulo constante ω. Um campo magne´tico
constante (estaciona´rio e uniforme) perpendicular
ao plano de seu movimento e orientado no sentido
negativo do eixo Z, ocupa o semi-espac¸o superior
(y > 0), como mostrado na figura. Sabendo-se
que θ = 0 no instante inicial (t = 0), qual dos
gra´ficos melhor representa a diferenc¸a de poten-
cial VP − VQ, em func¸a˜o do tempo, a cada volta
completa em torno do eixo?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
2. O mesmo fluxo de um campo magne´tico na˜o esta-
ciona´rio e´ simultaneamente produzido no interior
de treˆs ane´is muito afastados entre si, por meio
de um longo soleno´ide cil´ındrico ideal que os atra-
vessa, como mostrado na figura. Os ane´is 1 (de
raio a) e 2 (de raio 2a) sa˜o formados por mate-
rial condutor. O anel 3 (tambe´m de raio 2a) e´
de material isolante. Assinale a opc¸a˜o que me-
lhor descreve a relac¸a˜o entre os mo´dulos da forc¸a
eletromotriz induzida em cada um, num dado ins-
tante.
(a) |E1| < |E2| = |E3|.
(b) |E1| > |E2| = |E3|.
(c) |E1| = |E2| = |E3|.
(d) |E1| < |E2|; |E3| = 0.
(e) |E1| > |E2|; |E3| = 0.
(f) |E1| = |E2|; |E3| = 0.
2
3. Dois fios condutores longos sa˜o dobrados da
mesma maneira e dispostos como mostrado na fi-
gura abaixo. As partes retil´ıneas podem ser con-
sideradas muito longas e as dobras formam dois
arcos de c´ırculo de raio a e aˆngulo θ centrados
em O. Correntes estaciona´rias I e 2I passam pelo
conjunto de fios a` esquerda e pelo conjunto de fios
a` direita, respectivamante, com os sentidos mos-
trados na figura. O campo magne´ticoB no ponto
O e´ perpendicular ao plano da figura com inten-
sidade e sentido dados por
O
I
2I
θ
(a) µ0Iθ
4pia
, saindo da pa´gina.
(b) 3µ0Iθ
4pia
, entrando na pa´gina.
(c) µ0Iθ
4pia
, entrando na pa´gina.
(d) µ0Iθ
(
1
2a
+ 2
pia
)
, entrando na pa´gina.
(e) µ0Iθ
(
1
2a
+ 2
pia
)
, saindo da pa´gina.
4. Uma superf´ıcie na forma de um hemisfe´rio de raio
a, aberta (sem incluir sua base no plano “equato-
rial” XY ), conforme mostrada na figura abaixo,
e´ atravessada por um campo magne´tico uniforme
B = Bzˆ, onde B > 0. O mo´dulo, |ΦB|, do fluxo
desse campo atrave´s da superf´ıcie e´
Y
X
Z
(a) 0.
(b) pi
2
a2B.
(c) pia2B.
(d) 2pia2B.
(e) 4pia2B.
5. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) a forc¸a
magne´tica sobre uma part´ıcula (pontual) nunca
realiza trabalho; (II) o fluxo do campo magne´tico
atrave´s de uma superf´ıcie fechada e´ igual a` cor-
rente no seu interior, e (III) a lei de Faraday so´
se aplica para correntes estaciona´rias. Assinale,
das opc¸o˜es abaixo, aquela que indica as afirmac¸o˜es
verdadeiras.
(a) I.
(b) II.
(c) III.
(d) I e II.
(e) I e III.
(f) II e III.
(g) I, II, III.
(h) Nenhuma das treˆs afirmac¸o˜es e´ verda-
deira.
6. A figura abaixo mostra uma regia˜o atraves-
sada perpendicularmente por va´rios fios condu-
zindo correntes estaciona´rias com intensidades de
mesmo mo´dulo I. Por convenc¸a˜o, as correntes
que saem da pa´gina sa˜o representadas por � e
as que entram na pa´gina por ⊗. Esta˜o repre-
sentados, tambe´m, treˆs diferentes caminhos fecha-
dos, orientados, para a a determinac¸a˜o da integral
Γ :=
∮
C
B ·d`. Assinale a opc¸a˜o abaixo que me-
lhor indica a relac¸a˜o entre tais integrais para os
diferentes caminhos.
C3
C1 C2
� �
� �
⊗
⊗
⊗
⊗
(a) Γ1 = Γ2 = Γ3.
(b) Γ1 = −Γ2 = Γ3.
(c) Γ1 = −Γ2 e Γ3 = 0.
(d) Γ1 = Γ2 e Γ3 = 0.
(e) Na˜o podemos determinar Γ sem conhe-
cermos as dimenso˜es dos caminhos utili-
zados.
3
7. Um ı´on com carga ele´trica elementar negativa −e
e velocidade v = vxˆ, onde v > 0, entra em uma
regia˜o onde existe um campo ele´trico constante
(estaciona´rio e uniforme) E = Eyˆ. Para que a
trajeto´ria desse ı´on nessa regia˜o seja retil´ınea, e´
necessa´rio que haja um campo magne´tico cons-
tante (estaciona´rio e uniforme) B dado por
(a) −E
v
yˆ.
(b) E
v
yˆ.
(c) E
v
zˆ.
(d) −E
v
zˆ.
(e) Nenhuma das possibilidades acima, pois
o ı´on descreveria uma trajeto´ria circu-
lar quando na presenc¸a de um campo
magne´tico constante.
8. Dois fios condutores retil´ıneos, muito longos e pa-
ralelos, esta˜o separados por uma distaˆncia d, como
mostra a figura abaixo. O fio da esquerda conduz
uma corrente ele´trica I que esta´ saindo da pa´gina
e o fio da direita conduz uma corrente ele´trica
2I em sentido oposto. O campo magne´tico B no
ponto P , que se encontra a uma mesma distaˆncia
d dos dois fios, e´ igual a
Y
Z
� ⊗
I 2I
•P
d
(a) 3µ0I
2pid
zˆ.
(b) µ0I
4pid
(
3yˆ +
√
3zˆ
)
.
(c) µ0I
2pid
(yˆ + 3zˆ).
(d) µ0I
4pid
(√
3yˆ + 3zˆ
)
.
(e) − 3µ0I
2pid
yˆ.
9. Uma espira condutora, r´ıgida, em repouso, esta´
imersa em uma regia˜o de campo magne´tico na˜o
estaciona´rio, cujo mo´dulo varia como mostra o
gra´fico abaixo. Assinale a opc¸a˜o abaixo que me-
lhor representa a relac¸a˜o entre os mo´dulos, E , da
forc¸a eletromotriz induzida na espira em cada um
dos diferentes intervalos de tempo (I, II, III, IV e
V) marcados no gra´fico.
0
1
2
0 1 2 3 4 5 6
B
t
I II III IV V
(a) |EI | = |EIV | < |EIII | < |EV | < |EII |.
(b) |EII | < |EIV | < |EIII | < |EI | < |EV |.
(c) |EIV | < |EI | < |EII | < |EIII | < |EV |.
(d) |EV | < |EI | = |EIV | < |EIII | < |EII |.
(e) |EV | < |EI | < |EII | < |EIII | < |EIV |.
10. Considere dois planos infinitos transportando cor-
rentes em sentidos opostos, como mostra a figura
abaixo. Cada um desses planos pode ser enten-
dido como sendo formado por um nu´mero infinito
de fios retil´ıneos, paralelos, onde o nu´mero de fios
por unidade de comprimento (perpendicular) e´ n.
No plano de cima, cada fio transporta uma cor-
rente I (saindo do papel), enquanto no plano de
baixo cada fio transporta uma corrente 2I em sen-
tido oposto (entrando no papel). Assinale a opc¸a˜o
que melhor representa o campo magne´tico resul-
tante, nas treˆs regio˜es t´ıpicas do espac¸o (I, II e
III), de cima para baixo, respectivamente.
· · · · · ·�������������������
· · · · · ·⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
xˆ
I
II
III
(a) 0, 0, 0.
(b) 0, µ0nIxˆ, 0.
(c) µ0nI
2
xˆ, 3µ0nI
2
xˆ, −µ0nI
2
xˆ.
(d) −µ0nI
2
xˆ, 3µ0nI
2
xˆ, µ0nI
2
xˆ.
(e) µ0nI
2
xˆ, − 3µ0nI
2
xˆ, µ0nI
2
xˆ.
4
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma sec¸a˜o reta de um cabo coaxial cil´ındrico, circular, muito longo e´ mostrada na figura abaixo. Esse
constitui-se de um condutor interno macic¸o, de raio a, e uma casca externa, tambe´m condutora, de raios
b e c (0 < a < b < c). O condutor interno transporta, atrave´s de sua sec¸a˜o, uma corrente uniformemente
distribu´ıda, de intensidade I, ao passo que, na casca externa, temos, tambe´m uniformemente distribu´ıda,
uma corrente de densidade J , orientada no sentido oposto.
a
b
c
�
⊗
� zˆ
ϕˆ
(a) Deduza a corrente total que atravessa uma sec¸a˜o reta da casca cil´ındrica. [0,5 ponto]
(b) Determine o mo´dulo, J , da densidade de corrente na casca, para que o campo magne´tico seja nulo fora
do cabo (r > c). [0,5 ponto]
(c) Ainda com a condic¸a˜o do item (b), determine o vetor campo magne´tico nas outras treˆs regio˜es (0 < r < a,
a < r < b e b < r < c). [1,5 ponto]
5
6
2. Uma espira retangular condutora de comprimento a, largura b e resisteˆncia ele´trica R e um fio retil´ıneo,
muito longo, atrave´s do qual passa uma corrente I, esta˜o dispostos no mesmo plano, conforme mostra a
figura abaixo. Sabendo que o mo´dulo do campo magne´tico gerado por um fio infinito e´
B(r) =
µ0I
2pir
,
onde r e´ a distaˆncia do fio ao ponto considerado, determine:
(a) o mo´dulo do fluxo magne´tico ΦB atrave´s da espira; [0,8 ponto]
(b) a forc¸a eletromotriz induzida na espira, em func¸a˜o da distaˆncia x, se essa espira se afasta do fio com
uma velocidade v = vxˆ; [0,8 ponto]
(c) a forc¸a eletromotriz induzida na espira, em func¸a˜o da distaˆncia x, se essa espira se move com uma
velocidade v = vyˆ. [0,4 ponto]
(d) Indique, numa figura, o sentido da corrente na espira condutora para cada uma das duas situac¸o˜es
definidas nos itens (b) e (c), justificando suas escolhas. [0,5 ponto]
I
xˆ
yˆ
a
b
x
7
8
9
Gabarito para Versa˜o C
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5=5,0 pontos)
1. A figura mostra uma pequena barra condutora
PQ, contida no plano XY, que tem sua extremi-
dade Q pivotada ao eixo Z, de forma a poder girar
livremente em torno dele com velocidade angular
de mo´dulo constante ω. Um campo magne´tico
constante (estaciona´rio e uniforme) perpendicular
ao plano de seu movimento e orientado no sentido
negativo do eixo Z, ocupa o semi-espac¸o superior
(y > 0), como mostrado na figura. Sabendo-se
que θ = 0 no instante inicial (t = 0), qual dos
gra´ficos melhor representa a diferenc¸a de poten-
cial VP − VQ, em func¸a˜o do tempo, a cada volta
completa em torno do eixo?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
2. O mesmo fluxo de um campo magne´tico na˜o esta-
ciona´rio e´ simultaneamente produzido no interior
de treˆs ane´is muito afastados entre si, por meio
de um longo soleno´ide cil´ındrico ideal que os atra-
vessa, como mostrado na figura. Os ane´is 1 (de
raio a) e 2 (de raio 2a) sa˜o formados por mate-
rial condutor. O anel 3 (tambe´m de raio 2a) e´
de material isolante. Assinale a opc¸a˜o que me-
lhor descreve a relac¸a˜o entre os mo´dulos da forc¸a
eletromotriz induzida
em cada um, num dado ins-
tante.
(a) |E1| < |E2| = |E3|.
(b) |E1| > |E2| = |E3|.
(c) |E1| = |E2| = |E3|.
(d) |E1| < |E2|; |E3| = 0.
(e) |E1| > |E2|; |E3| = 0.
(f) |E1| = |E2|; |E3| = 0.
1
3. Dois fios condutores longos sa˜o dobrados da
mesma maneira e dispostos como mostrado na fi-
gura abaixo. As partes retil´ıneas podem ser con-
sideradas muito longas e as dobras formam dois
arcos de c´ırculo de raio a e aˆngulo θ centrados
em O. Correntes estaciona´rias I e 2I passam pelo
conjunto de fios a` esquerda e pelo conjunto de fios
a` direita, respectivamante, com os sentidos mos-
trados na figura. O campo magne´ticoB no ponto
O e´ perpendicular ao plano da figura com inten-
sidade e sentido dados por
O
I
2I
θ
(a) µ0Iθ
4pia
, saindo da pa´gina.
(b) 3µ0Iθ
4pia
, entrando na pa´gina.
(c) µ0Iθ
4pia
, entrando na pa´gina.
(d) µ0Iθ
(
1
2a
+ 2
pia
)
, entrando na pa´gina.
(e) µ0Iθ
(
1
2a
+ 2
pia
)
, saindo da pa´gina.
4. Uma superf´ıcie na forma de um hemisfe´rio de raio
a, aberta (sem incluir sua base no plano “equato-
rial” XY ), conforme mostrada na figura abaixo,
e´ atravessada por um campo magne´tico uniforme
B = Bzˆ, onde B > 0. O mo´dulo, |ΦB|, do fluxo
desse campo atrave´s da superf´ıcie e´
Y
X
Z
(a) 0.
(b) pi
2
a2B.
(c) pia2B.
(d) 2pia2B.
(e) 4pia2B.
5. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) a forc¸a
magne´tica sobre uma part´ıcula (pontual) nunca
realiza trabalho; (II) o fluxo do campo magne´tico
atrave´s de uma superf´ıcie fechada e´ igual a` cor-
rente no seu interior, e (III) a lei de Faraday so´
se aplica para correntes estaciona´rias. Assinale,
das opc¸o˜es abaixo, aquela que indica as afirmac¸o˜es
verdadeiras.
(a) I.
(b) II.
(c) III.
(d) I e II.
(e) I e III.
(f) II e III.
(g) I, II, III.
(h) Nenhuma das treˆs afirmac¸o˜es e´ verda-
deira.
6. A figura abaixo mostra uma regia˜o atraves-
sada perpendicularmente por va´rios fios condu-
zindo correntes estaciona´rias com intensidades de
mesmo mo´dulo I. Por convenc¸a˜o, as correntes
que saem da pa´gina sa˜o representadas por � e
as que entram na pa´gina por ⊗. Esta˜o repre-
sentados, tambe´m, treˆs diferentes caminhos fecha-
dos, orientados, para a a determinac¸a˜o da integral
Γ :=
∮
C
B ·d`. Assinale a opc¸a˜o abaixo que me-
lhor indica a relac¸a˜o entre tais integrais para os
diferentes caminhos.
C3
C1 C2
� �
� �
⊗
⊗
⊗
⊗
(a) Γ1 = Γ2 = Γ3.
(b) Γ1 = −Γ2 = Γ3.
(c) Γ1 = −Γ2 e Γ3 = 0.
(d) Γ1 = Γ2 e Γ3 = 0.
(e) Na˜o podemos determinar Γ sem conhe-
cermos as dimenso˜es dos caminhos utili-
zados.
2
7. Um ı´on com carga ele´trica elementar negativa −e
e velocidade v = vxˆ, onde v > 0, entra em uma
regia˜o onde existe um campo ele´trico constante
(estaciona´rio e uniforme) E = Eyˆ. Para que a
trajeto´ria desse ı´on nessa regia˜o seja retil´ınea, e´
necessa´rio que haja um campo magne´tico cons-
tante (estaciona´rio e uniforme) B dado por
(a) −E
v
yˆ.
(b) E
v
yˆ.
(c) E
v
zˆ.
(d) −E
v
zˆ.
(e) Nenhuma das possibilidades acima, pois
o ı´on descreveria uma trajeto´ria circu-
lar quando na presenc¸a de um campo
magne´tico constante.
8. Dois fios condutores retil´ıneos, muito longos e pa-
ralelos, esta˜o separados por uma distaˆncia d, como
mostra a figura abaixo. O fio da esquerda conduz
uma corrente ele´trica I que esta´ saindo da pa´gina
e o fio da direita conduz uma corrente ele´trica
2I em sentido oposto. O campo magne´tico B no
ponto P , que se encontra a uma mesma distaˆncia
d dos dois fios, e´ igual a
Y
Z
� ⊗
I 2I
•P
d
(a) 3µ0I
2pid
zˆ.
(b) µ0I
4pid
(
3yˆ +
√
3zˆ
)
.
(c) µ0I
2pid
(yˆ + 3zˆ).
(d) µ0I
4pid
(√
3yˆ + 3zˆ
)
.
(e) − 3µ0I
2pid
yˆ.
9. Uma espira condutora, r´ıgida, em repouso, esta´
imersa em uma regia˜o de campo magne´tico na˜o
estaciona´rio, cujo mo´dulo varia como mostra o
gra´fico abaixo. Assinale a opc¸a˜o abaixo que me-
lhor representa a relac¸a˜o entre os mo´dulos, E , da
forc¸a eletromotriz induzida na espira em cada um
dos diferentes intervalos de tempo (I, II, III, IV e
V) marcados no gra´fico.
0
1
2
0 1 2 3 4 5 6
B
t
I II III IV V
(a) |EI | = |EIV | < |EIII | < |EV | < |EII |.
(b) |EII | < |EIV | < |EIII | < |EI | < |EV |.
(c) |EIV | < |EI | < |EII | < |EIII | < |EV |.
(d) |EV | < |EI | = |EIV | < |EIII | < |EII |.
(e) |EV | < |EI | < |EII | < |EIII | < |EIV |.
10. Considere dois planos infinitos transportando cor-
rentes em sentidos opostos, como mostra a figura
abaixo. Cada um desses planos pode ser enten-
dido como sendo formado por um nu´mero infinito
de fios retil´ıneos, paralelos, onde o nu´mero de fios
por unidade de comprimento (perpendicular) e´ n.
No plano de cima, cada fio transporta uma cor-
rente I (saindo do papel), enquanto no plano de
baixo cada fio transporta uma corrente 2I em sen-
tido oposto (entrando no papel). Assinale a opc¸a˜o
que melhor representa o campo magne´tico resul-
tante, nas treˆs regio˜es t´ıpicas do espac¸o (I, II e
III), de cima para baixo, respectivamente.
· · · · · ·�������������������
· · · · · ·⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
xˆ
I
II
III
(a) 0, 0, 0.
(b) 0, µ0nIxˆ, 0.
(c) µ0nI
2
xˆ, 3µ0nI
2
xˆ, −µ0nI
2
xˆ.
(d) −µ0nI
2
xˆ, 3µ0nI
2
xˆ, µ0nI
2
xˆ.
(e) µ0nI
2
xˆ, − 3µ0nI
2
xˆ, µ0nI
2
xˆ.
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma sec¸a˜o reta de um cabo coaxial cil´ındrico, circular, muito longo e´ mostrada na figura abaixo. Esse
constitui-se de um condutor interno macic¸o, de raio a, e uma casca externa, tambe´m condutora, de raios
b e c (0 < a < b < c). O condutor interno transporta, atrave´s de sua sec¸a˜o, uma corrente uniformemente
distribu´ıda, de intensidade I, ao passo que, na casca externa, temos, tambe´m uniformemente distribu´ıda,
uma corrente de densidade J , orientada no sentido oposto.
a
b
c
�
⊗
� zˆ
ϕˆ
(a) Deduza a corrente total que atravessa uma sec¸a˜o reta da casca cil´ındrica. [0,5 ponto]
(b) Determine o mo´dulo, J , da densidade de corrente na casca, para que o campo magne´tico seja nulo fora
do cabo (r > c). [0,5 ponto]
(c) Ainda com a condic¸a˜o do item (b), determine o vetor campo magne´tico nas outras treˆs regio˜es (0 < r < a,
a < r < b e b < r < c). [1,5 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) Como a corrente esta´ uniformemente distribu´ıda atrave´s da sec¸a˜o reta da casca, temos
Icasca = JAcasca ,
ou seja,
Icasca = piJ
(
c2 − b2) .
�
(b) Por simetria cil´ındrica e lei de Ampe`re, temos que
B2pir = µ0 (I − Icasca)
= µ0
[
I − piJ (c2 − b2)] .
Para que B seja, pois, zero, devemos ter, enta˜o,
J =
I
pi (c2 − b2) .
�
(c) Ainda por simetria e lei de Ampe`re, temos, em qualquer uma das treˆs regio˜es:
B2pir = µ0Ienc .
Enta˜o:
4
• 0 < r < a:
Ienc = I
pir2
pia2
= I
r2
a2
.
Logo,
B =
µ0I
2pia2
r ϕˆ .
• a < r < b:
Ienc = I .
Logo,
B =
µ0I
2pir
ϕˆ .
• b < r < c:
Ienc = I − I
pi
(
r2 − b2)
pi (c2 − b2)
= I
(
1− r
2 − b2
c2 − b2
)
.
Logo,
B =
µ0I
2pir
(
1− r
2 − b2
c2 − b2
)
ϕˆ .
�
2. Uma espira retangular condutora de comprimento a, largura b e resisteˆncia ele´trica R e um fio retil´ıneo,
muito longo, atrave´s do qual passa uma corrente I, esta˜o dispostos no mesmo plano, conforme mostra a
figura abaixo. Sabendo que o mo´dulo do campo magne´tico gerado por um fio infinito e´
B(r) =
µ0I
2pir
,
onde r e´
a distaˆncia do fio ao ponto considerado, determine:
(a) o mo´dulo do fluxo magne´tico ΦB atrave´s da espira; [0,8 ponto]
(b) a forc¸a eletromotriz induzida na espira, em func¸a˜o da distaˆncia x, se essa espira se afasta do fio com
uma velocidade v = vxˆ; [0,8 ponto]
(c) a forc¸a eletromotriz induzida na espira, em func¸a˜o da distaˆncia x, se essa espira se move com uma
velocidade v = vyˆ. [0,4 ponto]
(d) Indique, numa figura, o sentido da corrente na espira condutora para cada uma das duas situac¸o˜es
definidas nos itens (b) e (c), justificando suas escolhas. [0,5 ponto]
I
xˆ
yˆ
a
b
x
5
Resoluc¸a˜o:
(a) O fluxo magne´tico ΦB atrave´s da espira, considerando nˆ = −zˆ (de modo a sair ja´ positivo), e´ dado por
ΦB =
∫
S
B · nˆ dA
=
∫ x+b
x
µ0I
2pix′
(−zˆ)·(−zˆ) adx′ ,
ou seja,
ΦB =
µ0Ia
2pi
ln
(
x+ b
x
)
.
Como, neste caso, ΦB > 0, este e´ o valor do mo´dulo |ΦB |.
�
(b) A forc¸a eletromotriz induzida na espira e´ dada por
E = −dΦB
dt
.
Quando a espira se afasta do fio com uma velocidade constante v = vxˆ, temos que dx
dt
= v. Logo
E = −µ0Ia
2pi
(
1
x+ b
− 1
x
)
v ,
ou seja,
E = µ0I
2pi
ab
x(x + b)
v .
�
(c) Quando a espira se move com uma velocidade constante v = vyˆ, na˜o ha´ variac¸a˜o do fluxo magne´tico,
logo
E = 0 .
�
(d) Na situac¸a˜o do item (b), o sentido da corrente na espira condutora e´ o hora´rio. Podemos justificar
utilizando a lei de Lenz. Como o fluxo magne´tico esta´ diminuindo, ja´ que a espira se afasta, a corrente
induzida deve ser no sentido de tentar impedir esta diminuic¸a˜o. Para isso, ela deve criar um campo no
mesmo sentido do campo existente.
Uma outra maneira e´, levando em conta que, conforme o item (a), nˆ = −zˆ, enta˜o o sentido positivo de
percurso da espira retangular e´ o hora´rio e, como, agora segundo o item (b), a fem induzida e´ positiva,
temos que o sentido da corrente induzida e´ o pro´prio sentido positivo de percurso da espira, ou seja, o
hora´rio.
Ja´ no item (c), conforme visto acima, nao ha´ corrente induzida.
�
6
7
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2010/1
Segunda Prova (P2) – 08/07/2010
Versa˜o: D
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
Total
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por dez (10) questo˜es de mu´ltipla
escolha, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizac¸a˜o alguma;
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
E =
E0
K
, I =
∫
S
J · nˆ dA J = nqv
F
em
= qE + qv ×B , B =
∮
C
µ0
4pi
Id`× rˆ
r2
,
∮
S
B ·nˆ dA = 0 ,
∮
C
B ·d` = µ0Ienc + µ0�0 d
dt
ΦE , Eind = − d
dt
ΦB
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5=5,0 pontos)
1. A figura mostra uma pequena barra condutora
PQ, contida no plano XY, que tem sua extremi-
dade Q pivotada ao eixo Z, de forma a poder girar
livremente em torno dele com velocidade angular
de mo´dulo constante ω. Um campo magne´tico
constante (estaciona´rio e uniforme) perpendicular
ao plano de seu movimento e orientado no sentido
negativo do eixo Z, ocupa o semi-espac¸o superior
(y > 0), como mostrado na figura. Sabendo-se
que θ = 0 no instante inicial (t = 0), qual dos
gra´ficos melhor representa a diferenc¸a de poten-
cial VP − VQ, em func¸a˜o do tempo, a cada volta
completa em torno do eixo?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
2. Dois fios condutores retil´ıneos, muito longos e pa-
ralelos, esta˜o separados por uma distaˆncia d, como
mostra a figura abaixo. O fio da esquerda conduz
uma corrente ele´trica I que esta´ saindo da pa´gina
e o fio da direita conduz uma corrente ele´trica
2I em sentido oposto. O campo magne´tico B no
ponto P , que se encontra a uma mesma distaˆncia
d dos dois fios, e´ igual a
Y
Z
� ⊗
I 2I
•P
d
(a) 3µ0I
2pid
zˆ.
(b) µ0I
4pid
(
3yˆ +
√
3zˆ
)
.
(c) µ0I
2pid
(yˆ + 3zˆ).
(d) µ0I
4pid
(√
3yˆ + 3zˆ
)
.
(e) − 3µ0I
2pid
yˆ.
3. Uma superf´ıcie na forma de um hemisfe´rio de raio
a, aberta (sem incluir sua base no plano “equato-
rial” XY ), conforme mostrada na figura abaixo,
e´ atravessada por um campo magne´tico uniforme
B = Bzˆ, onde B > 0. O mo´dulo, |ΦB|, do fluxo
desse campo atrave´s da superf´ıcie e´
Y
X
Z
(a) 0.
(b) pi
2
a2B.
(c) pia2B.
(d) 2pia2B.
(e) 4pia2B.
2
4. Um ı´on com carga ele´trica elementar negativa −e
e velocidade v = vxˆ, onde v > 0, entra em uma
regia˜o onde existe um campo ele´trico constante
(estaciona´rio e uniforme) E = Eyˆ. Para que a
trajeto´ria desse ı´on nessa regia˜o seja retil´ınea, e´
necessa´rio que haja um campo magne´tico cons-
tante (estaciona´rio e uniforme) B dado por
(a) −E
v
yˆ.
(b) E
v
yˆ.
(c) E
v
zˆ.
(d) −E
v
zˆ.
(e) Nenhuma das possibilidades acima, pois
o ı´on descreveria uma trajeto´ria circu-
lar quando na presenc¸a de um campo
magne´tico constante.
5. Uma espira condutora, r´ıgida, em repouso, esta´
imersa em uma regia˜o de campo magne´tico na˜o
estaciona´rio, cujo mo´dulo varia como mostra o
gra´fico abaixo. Assinale a opc¸a˜o abaixo que me-
lhor representa a relac¸a˜o entre os mo´dulos, E , da
forc¸a eletromotriz induzida na espira em cada um
dos diferentes intervalos de tempo (I, II, III, IV e
V) marcados no gra´fico.
0
1
2
0 1 2 3 4 5 6
B
t
I II III IV V
(a) |EI | = |EIV | < |EIII | < |EV | < |EII |.
(b) |EII | < |EIV | < |EIII | < |EI | < |EV |.
(c) |EIV | < |EI | < |EII | < |EIII | < |EV |.
(d) |EV | < |EI | = |EIV | < |EIII | < |EII |.
(e) |EV | < |EI | < |EII | < |EIII | < |EIV |.
6. Considere dois planos infinitos transportando cor-
rentes em sentidos opostos, como mostra a figura
abaixo. Cada um desses planos pode ser enten-
dido como sendo formado por um nu´mero infinito
de fios retil´ıneos, paralelos, onde o nu´mero de fios
por unidade de comprimento (perpendicular) e´ n.
No plano de cima, cada fio transporta uma cor-
rente I (saindo do papel), enquanto no plano de
baixo cada fio transporta uma corrente 2I em sen-
tido oposto (entrando no papel). Assinale a opc¸a˜o
que melhor representa o campo magne´tico resul-
tante, nas treˆs regio˜es t´ıpicas do espac¸o (I, II e
III), de cima para baixo, respectivamente.
· · · · · ·�������������������
· · · · · ·⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
xˆ
I
II
III
(a) 0, 0, 0.
(b) 0, µ0nIxˆ, 0.
(c) µ0nI
2
xˆ, 3µ0nI
2
xˆ, −µ0nI
2
xˆ.
(d) −µ0nI
2
xˆ, 3µ0nI
2
xˆ, µ0nI
2
xˆ.
(e) µ0nI
2
xˆ, − 3µ0nI
2
xˆ, µ0nI
2
xˆ.
3
7. Dois fios condutores longos sa˜o dobrados da
mesma maneira e dispostos como mostrado na fi-
gura abaixo. As partes retil´ıneas podem ser con-
sideradas muito longas e as dobras formam dois
arcos de c´ırculo de raio a e aˆngulo θ centrados
em O. Correntes estaciona´rias I e 2I passam pelo
conjunto de fios a` esquerda e pelo conjunto de fios
a` direita, respectivamante, com os sentidos mos-
trados na figura. O campo magne´ticoB no ponto
O e´ perpendicular ao plano da figura com inten-
sidade e sentido dados por
O
I
2I
θ
(a) µ0Iθ
4pia
, saindo da pa´gina.
(b) 3µ0Iθ
4pia
, entrando na pa´gina.
(c) µ0Iθ
4pia
, entrando na pa´gina.
(d) µ0Iθ
(
1
2a
+ 2
pia
)
, entrando na pa´gina.
(e) µ0Iθ
(
1
2a
+ 2
pia
)
, saindo da pa´gina.
8. O mesmo fluxo de um campo magne´tico na˜o esta-
ciona´rio e´ simultaneamente produzido no interior
de treˆs ane´is muito afastados entre si, por meio
de um longo soleno´ide cil´ındrico ideal que os atra-
vessa, como mostrado na figura. Os ane´is 1 (de
raio a) e 2 (de raio 2a) sa˜o formados por mate-
rial condutor. O anel 3 (tambe´m de raio 2a) e´
de material isolante. Assinale a opc¸a˜o que me-
lhor descreve a relac¸a˜o entre os mo´dulos da forc¸a
eletromotriz induzida em cada um, num dado ins-
tante.
(a) |E1| < |E2| = |E3|.
(b) |E1| > |E2| = |E3|.
(c) |E1| = |E2| = |E3|.
(d) |E1| < |E2|; |E3| = 0.
(e) |E1| > |E2|; |E3| = 0.
(f) |E1| = |E2|; |E3| = 0.
9. A figura abaixo mostra uma regia˜o atraves-
sada perpendicularmente por va´rios fios condu-
zindo correntes estaciona´rias com intensidades de
mesmo mo´dulo I. Por convenc¸a˜o, as correntes
que saem da pa´gina sa˜o representadas por � e
as que entram na pa´gina por ⊗. Esta˜o repre-
sentados, tambe´m, treˆs diferentes caminhos fecha-
dos, orientados, para a a determinac¸a˜o da integral
Γ :=
∮
C
B ·d`. Assinale a opc¸a˜o abaixo que me-
lhor indica a relac¸a˜o entre tais integrais para os
diferentes caminhos.
C3
C1 C2
� �
� �
⊗
⊗
⊗
⊗
(a) Γ1 = Γ2 = Γ3.
(b) Γ1 = −Γ2 = Γ3.
(c) Γ1 = −Γ2 e Γ3 = 0.
(d) Γ1 = Γ2 e Γ3 = 0.
(e) Na˜o podemos determinar Γ sem conhe-
cermos as dimenso˜es dos caminhos utili-
zados.
10. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) a forc¸a
magne´tica sobre uma part´ıcula (pontual) nunca
realiza trabalho; (II) o fluxo do campo magne´tico
atrave´s de uma superf´ıcie fechada e´ igual a` cor-
rente no seu interior, e (III) a lei de Faraday so´
se aplica para correntes estaciona´rias. Assinale,
das opc¸o˜es abaixo, aquela que indica as afirmac¸o˜es
verdadeiras.
(a) I.
(b) II.
(c) III.
(d) I e II.
(e) I e III.
(f) II e III.
(g) I, II, III.
(h) Nenhuma das treˆs afirmac¸o˜es e´ verda-
deira.
4
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma sec¸a˜o reta de um cabo coaxial cil´ındrico, circular, muito longo e´ mostrada na figura abaixo. Esse
constitui-se de um condutor interno macic¸o, de raio a, e uma casca externa, tambe´m condutora, de raios
b e c (0 < a < b < c). O condutor interno transporta, atrave´s de sua sec¸a˜o, uma corrente uniformemente
distribu´ıda, de intensidade I, ao passo que, na casca externa, temos, tambe´m uniformemente distribu´ıda,
uma corrente de densidade J , orientada no sentido oposto.
a
b
c
�
⊗
� zˆ
ϕˆ
(a) Deduza a corrente total que atravessa uma sec¸a˜o reta da casca cil´ındrica. [0,5 ponto]
(b) Determine o mo´dulo, J , da densidade de corrente na casca, para que o campo magne´tico seja nulo fora
do cabo (r > c). [0,5 ponto]
(c) Ainda com a condic¸a˜o do item (b), determine o vetor campo magne´tico nas outras treˆs regio˜es (0 < r < a,
a < r < b e b < r < c). [1,5 ponto]
5
6
2. Uma espira retangular condutora de comprimento a, largura b e resisteˆncia ele´trica R e um fio retil´ıneo,
muito longo, atrave´s do qual passa uma corrente I, esta˜o dispostos no mesmo plano, conforme mostra a
figura abaixo. Sabendo que o mo´dulo do campo magne´tico gerado por um fio infinito e´
B(r) =
µ0I
2pir
,
onde r e´ a distaˆncia do fio ao ponto considerado, determine:
(a) o mo´dulo do fluxo magne´tico ΦB atrave´s da espira; [0,8 ponto]
(b) a forc¸a eletromotriz induzida na espira, em func¸a˜o da distaˆncia x, se essa espira se afasta do fio com
uma velocidade v = vxˆ; [0,8 ponto]
(c) a forc¸a eletromotriz induzida na espira, em func¸a˜o da distaˆncia x, se essa espira se move com uma
velocidade v = vyˆ. [0,4 ponto]
(d) Indique, numa figura, o sentido da corrente na espira condutora para cada uma das duas situac¸o˜es
definidas nos itens (b) e (c), justificando suas escolhas. [0,5 ponto]
I
xˆ
yˆ
a
b
x
7
8
9
Gabarito para Versa˜o D
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5=5,0 pontos)
1. A figura mostra uma pequena barra condutora
PQ, contida no plano XY, que tem sua extremi-
dade Q pivotada ao eixo Z, de forma a poder girar
livremente em torno dele com velocidade angular
de mo´dulo constante ω. Um campo magne´tico
constante (estaciona´rio e uniforme) perpendicular
ao plano de seu movimento e orientado no sentido
negativo do eixo Z, ocupa o semi-espac¸o superior
(y > 0), como mostrado na figura. Sabendo-se
que θ = 0 no instante inicial (t = 0), qual dos
gra´ficos melhor representa a diferenc¸a de poten-
cial VP − VQ, em func¸a˜o do tempo, a cada volta
completa em torno do eixo?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
2. Dois fios condutores retil´ıneos, muito longos e pa-
ralelos, esta˜o separados por uma distaˆncia d, como
mostra a figura abaixo. O fio da esquerda conduz
uma corrente ele´trica I que esta´ saindo da pa´gina
e o fio da direita conduz uma corrente ele´trica
2I em sentido oposto. O campo magne´tico B no
ponto P , que se encontra a uma mesma distaˆncia
d dos dois fios, e´ igual a
Y
Z
� ⊗
I 2I
•P
d
(a) 3µ0I
2pid
zˆ.
(b) µ0I
4pid
(
3yˆ +
√
3zˆ
)
.
(c) µ0I
2pid
(yˆ + 3zˆ).
(d) µ0I
4pid
(√
3yˆ + 3zˆ
)
.
(e) − 3µ0I
2pid
yˆ.
1
3. Uma superf´ıcie na forma de um hemisfe´rio de raio
a, aberta (sem incluir sua base no plano “equato-
rial” XY ), conforme mostrada na figura abaixo,
e´ atravessada por um campo magne´tico uniforme
B = Bzˆ, onde B > 0. O mo´dulo, |ΦB|, do fluxo
desse campo atrave´s da superf´ıcie e´
Y
X
Z
(a) 0.
(b) pi
2
a2B.
(c) pia2B.
(d) 2pia2B.
(e) 4pia2B.
4. Um ı´on com carga ele´trica elementar negativa −e
e velocidade v = vxˆ, onde v > 0, entra em uma
regia˜o onde existe um campo ele´trico constante
(estaciona´rio e uniforme) E = Eyˆ. Para que a
trajeto´ria desse ı´on nessa regia˜o seja retil´ınea, e´
necessa´rio que haja um campo magne´tico cons-
tante (estaciona´rio e uniforme) B dado por
(a) −E
v
yˆ.
(b) E
v
yˆ.
(c) E
v
zˆ.
(d) −E
v
zˆ.
(e) Nenhuma das possibilidades acima, pois
o ı´on descreveria uma trajeto´ria circu-
lar quando na presenc¸a de um campo
magne´tico constante.
5. Uma espira condutora, r´ıgida, em repouso, esta´
imersa em uma regia˜o de campo magne´tico na˜o
estaciona´rio, cujo mo´dulo varia como mostra o
gra´fico abaixo. Assinale a opc¸a˜o abaixo que me-
lhor representa a relac¸a˜o entre os mo´dulos, E , da
forc¸a eletromotriz induzida na espira em cada um
dos diferentes intervalos de tempo (I, II, III, IV e
V) marcados no gra´fico.
0
1
2
0 1 2 3 4 5 6
B
t
I II III IV V
(a) |EI | = |EIV | < |EIII | < |EV | < |EII |.
(b) |EII | < |EIV | < |EIII | < |EI | < |EV |.
(c) |EIV | < |EI | < |EII | < |EIII | < |EV |.
(d) |EV | < |EI | = |EIV | < |EIII | < |EII |.
(e) |EV | < |EI | < |EII | < |EIII | < |EIV |.
6. Considere dois planos infinitos transportando cor-
rentes em sentidos opostos, como mostra a figura
abaixo. Cada um desses planos pode ser enten-
dido como sendo formado por um nu´mero infinito
de fios retil´ıneos, paralelos, onde o
nu´mero de fios
por unidade de comprimento (perpendicular) e´ n.
No plano de cima, cada fio transporta uma cor-
rente I (saindo do papel), enquanto no plano de
baixo cada fio transporta uma corrente 2I em sen-
tido oposto (entrando no papel). Assinale a opc¸a˜o
que melhor representa o campo magne´tico resul-
tante, nas treˆs regio˜es t´ıpicas do espac¸o (I, II e
III), de cima para baixo, respectivamente.
· · · · · ·�������������������
· · · · · ·⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
xˆ
I
II
III
(a) 0, 0, 0.
(b) 0, µ0nIxˆ, 0.
(c) µ0nI
2
xˆ, 3µ0nI
2
xˆ, −µ0nI
2
xˆ.
(d) −µ0nI
2
xˆ, 3µ0nI
2
xˆ, µ0nI
2
xˆ.
(e) µ0nI
2
xˆ, − 3µ0nI
2
xˆ, µ0nI
2
xˆ.
2
7. Dois fios condutores longos sa˜o dobrados da
mesma maneira e dispostos como mostrado na fi-
gura abaixo. As partes retil´ıneas podem ser con-
sideradas muito longas e as dobras formam dois
arcos de c´ırculo de raio a e aˆngulo θ centrados
em O. Correntes estaciona´rias I e 2I passam pelo
conjunto de fios a` esquerda e pelo conjunto de fios
a` direita, respectivamante, com os sentidos mos-
trados na figura. O campo magne´ticoB no ponto
O e´ perpendicular ao plano da figura com inten-
sidade e sentido dados por
O
I
2I
θ
(a) µ0Iθ
4pia
, saindo da pa´gina.
(b) 3µ0Iθ
4pia
, entrando na pa´gina.
(c) µ0Iθ
4pia
, entrando na pa´gina.
(d) µ0Iθ
(
1
2a
+ 2
pia
)
, entrando na pa´gina.
(e) µ0Iθ
(
1
2a
+ 2
pia
)
, saindo da pa´gina.
8. O mesmo fluxo de um campo magne´tico na˜o esta-
ciona´rio e´ simultaneamente produzido no interior
de treˆs ane´is muito afastados entre si, por meio
de um longo soleno´ide cil´ındrico ideal que os atra-
vessa, como mostrado na figura. Os ane´is 1 (de
raio a) e 2 (de raio 2a) sa˜o formados por mate-
rial condutor. O anel 3 (tambe´m de raio 2a) e´
de material isolante. Assinale a opc¸a˜o que me-
lhor descreve a relac¸a˜o entre os mo´dulos da forc¸a
eletromotriz induzida em cada um, num dado ins-
tante.
(a) |E1| < |E2| = |E3|.
(b) |E1| > |E2| = |E3|.
(c) |E1| = |E2| = |E3|.
(d) |E1| < |E2|; |E3| = 0.
(e) |E1| > |E2|; |E3| = 0.
(f) |E1| = |E2|; |E3| = 0.
9. A figura abaixo mostra uma regia˜o atraves-
sada perpendicularmente por va´rios fios condu-
zindo correntes estaciona´rias com intensidades de
mesmo mo´dulo I. Por convenc¸a˜o, as correntes
que saem da pa´gina sa˜o representadas por � e
as que entram na pa´gina por ⊗. Esta˜o repre-
sentados, tambe´m, treˆs diferentes caminhos fecha-
dos, orientados, para a a determinac¸a˜o da integral
Γ :=
∮
C
B ·d`. Assinale a opc¸a˜o abaixo que me-
lhor indica a relac¸a˜o entre tais integrais para os
diferentes caminhos.
C3
C1 C2
� �
� �
⊗
⊗
⊗
⊗
(a) Γ1 = Γ2 = Γ3.
(b) Γ1 = −Γ2 = Γ3.
(c) Γ1 = −Γ2 e Γ3 = 0.
(d) Γ1 = Γ2 e Γ3 = 0.
(e) Na˜o podemos determinar Γ sem conhe-
cermos as dimenso˜es dos caminhos utili-
zados.
10. Considere as seguintes afirmac¸o˜es: (I) a forc¸a
magne´tica sobre uma part´ıcula (pontual) nunca
realiza trabalho; (II) o fluxo do campo magne´tico
atrave´s de uma superf´ıcie fechada e´ igual a` cor-
rente no seu interior, e (III) a lei de Faraday so´
se aplica para correntes estaciona´rias. Assinale,
das opc¸o˜es abaixo, aquela que indica as afirmac¸o˜es
verdadeiras.
(a) I.
(b) II.
(c) III.
(d) I e II.
(e) I e III.
(f) II e III.
(g) I, II, III.
(h) Nenhuma das treˆs afirmac¸o˜es e´ verda-
deira.
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma sec¸a˜o reta de um cabo coaxial cil´ındrico, circular, muito longo e´ mostrada na figura abaixo. Esse
constitui-se de um condutor interno macic¸o, de raio a, e uma casca externa, tambe´m condutora, de raios
b e c (0 < a < b < c). O condutor interno transporta, atrave´s de sua sec¸a˜o, uma corrente uniformemente
distribu´ıda, de intensidade I, ao passo que, na casca externa, temos, tambe´m uniformemente distribu´ıda,
uma corrente de densidade J , orientada no sentido oposto.
a
b
c
�
⊗
� zˆ
ϕˆ
(a) Deduza a corrente total que atravessa uma sec¸a˜o reta da casca cil´ındrica. [0,5 ponto]
(b) Determine o mo´dulo, J , da densidade de corrente na casca, para que o campo magne´tico seja nulo fora
do cabo (r > c). [0,5 ponto]
(c) Ainda com a condic¸a˜o do item (b), determine o vetor campo magne´tico nas outras treˆs regio˜es (0 < r < a,
a < r < b e b < r < c). [1,5 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) Como a corrente esta´ uniformemente distribu´ıda atrave´s da sec¸a˜o reta da casca, temos
Icasca = JAcasca ,
ou seja,
Icasca = piJ
(
c2 − b2) .
�
(b) Por simetria cil´ındrica e lei de Ampe`re, temos que
B2pir = µ0 (I − Icasca)
= µ0
[
I − piJ (c2 − b2)] .
Para que B seja, pois, zero, devemos ter, enta˜o,
J =
I
pi (c2 − b2) .
�
(c) Ainda por simetria e lei de Ampe`re, temos, em qualquer uma das treˆs regio˜es:
B2pir = µ0Ienc .
Enta˜o:
4
• 0 < r < a:
Ienc = I
pir2
pia2
= I
r2
a2
.
Logo,
B =
µ0I
2pia2
r ϕˆ .
• a < r < b:
Ienc = I .
Logo,
B =
µ0I
2pir
ϕˆ .
• b < r < c:
Ienc = I − I
pi
(
r2 − b2)
pi (c2 − b2)
= I
(
1− r
2 − b2
c2 − b2
)
.
Logo,
B =
µ0I
2pir
(
1− r
2 − b2
c2 − b2
)
ϕˆ .
�
2. Uma espira retangular condutora de comprimento a, largura b e resisteˆncia ele´trica R e um fio retil´ıneo,
muito longo, atrave´s do qual passa uma corrente I, esta˜o dispostos no mesmo plano, conforme mostra a
figura abaixo. Sabendo que o mo´dulo do campo magne´tico gerado por um fio infinito e´
B(r) =
µ0I
2pir
,
onde r e´ a distaˆncia do fio ao ponto considerado, determine:
(a) o mo´dulo do fluxo magne´tico ΦB atrave´s da espira; [0,8 ponto]
(b) a forc¸a eletromotriz induzida na espira, em func¸a˜o da distaˆncia x, se essa espira se afasta do fio com
uma velocidade v = vxˆ; [0,8 ponto]
(c) a forc¸a eletromotriz induzida na espira, em func¸a˜o da distaˆncia x, se essa espira se move com uma
velocidade v = vyˆ. [0,4 ponto]
(d) Indique, numa figura, o sentido da corrente na espira condutora para cada uma das duas situac¸o˜es
definidas nos itens (b) e (c), justificando suas escolhas. [0,5 ponto]
I
xˆ
yˆ
a
b
x
5
Resoluc¸a˜o:
(a) O fluxo magne´tico ΦB atrave´s da espira, considerando nˆ = −zˆ (de modo a sair ja´ positivo), e´ dado por
ΦB =
∫
S
B · nˆ dA
=
∫ x+b
x
µ0I
2pix′
(−zˆ)·(−zˆ) adx′ ,
ou seja,
ΦB =
µ0Ia
2pi
ln
(
x+ b
x
)
.
Como, neste caso, ΦB > 0, este e´ o valor do mo´dulo |ΦB |.
�
(b) A forc¸a eletromotriz induzida na espira e´ dada por
E = −dΦB
dt
.
Quando a espira se afasta do fio com uma velocidade constante v = vxˆ, temos que dx
dt
= v. Logo
E = −µ0Ia
2pi
(
1
x+ b
− 1
x
)
v ,
ou seja,
E = µ0I
2pi
ab
x(x + b)
v .
�
(c) Quando a espira se move com uma velocidade constante v = vyˆ, na˜o ha´ variac¸a˜o do fluxo magne´tico,
logo
E = 0 .
�
(d) Na situac¸a˜o do item (b), o sentido da corrente na espira condutora e´ o hora´rio. Podemos justificar
utilizando a lei de Lenz. Como o fluxo magne´tico esta´ diminuindo, ja´ que a espira se afasta, a corrente
induzida deve ser no sentido de tentar impedir esta diminuic¸a˜o. Para isso, ela deve criar um campo no
mesmo sentido do campo existente.
Uma outra maneira e´, levando em conta que, conforme o item (a), nˆ = −zˆ, enta˜o o sentido positivo de
percurso da espira retangular e´ o hora´rio e, como, agora segundo o item (b), a fem induzida e´ positiva,
temos que o sentido da corrente induzida e´ o
pro´prio sentido positivo de percurso da espira, ou seja, o
hora´rio.
Ja´ no item (c), conforme visto acima, nao ha´ corrente induzida.
�
6
7
Provas Antigas - Física 3/P2-2010.2.pdf
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2010/2
Segunda Prova (P2) – 25/11/2010
Versa˜o: A
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
Total
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por dez (10) questo˜es objetivas
(de mu´ltipla escolha), cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizac¸a˜o por questa˜o errada.
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
I =
∫
S
J · nˆ dA J = nqv
F = qE + qv ×B , dF = Idℓ×B
B =
∮
C
dB =
∮
C
µ0
4π
Idℓ× rˆ
r2
,
∮
S
B · nˆ dA = 0 ,
∮
C
B · dℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0
dΦE
dt
, Eind = −
dΦB
dt
ΦB[1] = LI1 +M12I2 , uB =
1
2
B2
µ0
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5=5,0 pontos)
1. A figura mostra uma anel circular, muito fino, de
raio R, submetido a um campo magne´tico (es-
taciona´rio) divergente e com simetria radial. O
campo magne´tico em todos os pontos do anel tem
o mesmo mo´dulo B, e´ perpendicular ao anel e faz
um aˆngulo θ com a normal ao plano do anel. Qual
e´ a forc¸a magne´tica que o campo exerce sobre a es-
pira se, nessa, passa uma corrente de intensidade
I?
(a) 2πRIB cos θzˆ .
(b) −2πRIB cos θzˆ .
(c) 2πRIB sen θzˆ .
(d) −2πRIB sen θzˆ .
(e) 2πRIBzˆ .
2. Considere as seguintes afirmativas: (I) a lei de
Faraday so´ vale para campos magne´ticos esta-
ciona´rios; (II) a lei de Biot-Savart vale para cor-
rentes arbitra´rias, dependentes ou na˜o do tempo;
(III) os fluxos dos campos ele´trico e magne´tico
so´ podem ser calculados atrave´s de superf´ıcies fe-
chadas. Assinale a opc¸a˜o que indica quais dessas
afirmativas sa˜o corretas.
(a) I.
(b) II.
(c) III.
(d) Todas elas.
(e) Nenhuma delas.
3. Um fio fino circular, de raio R, e´ percorrido
por uma corrente estaciona´ria de intensidade
Iint. No mesmo plano, temos um outro fio,
constitu´ıdo por dois segmentos retil´ıneos, longos
e um arco de semi-circunfereˆncia, conceˆntrico
com o primeiro fio, de raio 2R, conforme mostra
a figura. Qual deve ser a intensidade da corrente
estaciona´ria Iext, nesse segundo fio, para que
o campo magne´tico no centro comum C seja nulo?
(a) Iext = 4Iint .
(b) Iext = 2Iint .
(c) Iext = Iint/2 .
(d) Iext = 2πIint .
(e) Iext = πIint .
2
4. A figura abaixo representa um espectroˆmetro
de massa, aparelho usado para medir a massa
de ı´ons. Um ı´on de massa m, a ser determi-
nada, e carga q e´ produzido na fonte S, em re-
pouso, e acelerado pelo campo eletrosta´tico as-
sociado a uma diferenc¸a de potencial V . O
ı´on entra em uma caˆmara de separac¸a˜o na qual
existe um campo magne´tico B constante (uni-
forme e estaciona´rio), perpendicular a` sua tra-
jeto´ria. Suponha que o ı´on atinja o detetor em
um ponto situado a uma distaˆncia x do ponto
de entrada da caˆmara. Qual e´ a massa do ı´on?
(a) 8B2qx2/V .
(b) B2qx2/(8V ) .
(c) B2qx2/V .
(d) 2B2qx2/V .
(e) B2qx2/(2V ) .
5. Considere as seguintes afirmativas: (I) pode ha-
ver uma fem induzida diferente de zero em um
instante em que o fluxo atrave´s de um circuito
e´ igual a zero; (II) a auto-indutaˆncia de um dado
soleno´ide e´ proporcional a` taxa de variac¸a˜o da cor-
rente no soleno´ide; (III) a auto-indutaˆncia de um
dado soleno´ide e´ proporcional a` corrente no so-
leno´ide. Assinale a opc¸a˜o que indica quais dessas
afirmativas sa˜o corretas.
(a) I e II.
(b) I e III.
(c) II e III.
(d) I.
(e) II.
(f) III.
6. Treˆs espiras meta´licas e um observador esta˜o
dispostos como mostra a figura. Do ponto de
vista do observador, uma corrente I flui no
sentido anti-hora´rio na espira do meio, que se
move no sentido do observador com uma ve-
locidade v. As espiras A e B esta˜o em re-
pouso. Esse mesmo observador notaria que:
(a) correntes hora´rias sa˜o induzidas nas espi-
ras A e B.
(b) correntes anti-hora´rias sa˜o induzidas nas
espiras A e B.
(c) uma corrente hora´ria e´ induzida na espira
A, mas uma corrente anti-hora´ria e´ indu-
zida na espira B.
(d) uma corrente anti-hora´ria e´ induzida na
espira A, mas uma corrente hora´ria e´ in-
duzida na espira B.
(e) uma corrente anti-hora´ria e´ induzida na
espira A, mas nenhuma corrente e´ indu-
zida na espira B.
7. Considere uma espira circular, condutora, ao
longo da qual flui uma corrente estaciona´ria. Tal
espira esta´ sujeita a um campo magne´tico externo
constante (uniforme e estaciona´rio). Ao atingir o
equil´ıbrio esta´vel, o momento de dipolo magne´tico
de tal espira apontara´ para onde?
(a) No equil´ıbrio esta´vel, o momento de di-
polo magne´tico da espira sera´, obvia-
mente zero.
(b) Na˜o sofrera´ alterac¸a˜o, continuando a
apontar no sentido original.
(c) Num sentido perpendicular ao campo
magne´tico externo.
(d) No sentido oposto do campo magne´tico
externo.
(e) No sentido do pro´prio campo magne´tico
externo.
3
8. Considere dois ane´is circulares, um condutor e ou-
tro isolante, pertencentes a um mesmo plano, su-
jeitos a um campo magne´tico varia´vel no tempo,
perpendicular ao plano dos ane´is. Estando os dois
ane´is em repouso, em qual deles surgira´ uma forc¸a
eletromotriz induzida? Em qual deles surgira´ uma
corrente induzida?
(a) Em ambos os ane´is. Em ambos os ane´is.
(b) Em ambos os ane´is. Somente no anel con-
dutor.
(c) Em nenhum dos ane´is. Em nenhum dos
ane´is.
(d) Em nenhum dos ane´is. Somente no anel
condutor.
(e) Somente no anel condutor. Somente no
anel condutor.
9. Temos cinco correntes estaciona´rias, todas de
mesma intensidade I. Seus sentidos sa˜o indica-
dos na figura, com as convenc¸o˜es usuais. Assi-
nale a opc¸a˜o que apresenta a circulac¸a˜o do campo
magne´tico, ou seja,
∮
C
B · dℓ atrave´s de cada uma
das treˆs curvas orientadas C1, C2 e C3, respectiva-
mente.
(a) 3µ0I,−2µ0I, 0 .
(b) −3µ0I, 2µ0I, 0 .
(c) 3µ0I, 2µ0I, 0 .
(d) −3µ0I,−2µ0I, 0 .
(e) 5µ0I, 2µ0I, 2µ0I .
10. Considere as seguintes quatro distribuic¸o˜es de cor-
rente: (I) corrente retil´ınea, muito longa, esta-
ciona´ria; (II) corrente em forma de quadrado,
estaciona´ria; (III) corrente constante (uniforme
e estaciona´ria) na direc¸a˜o axial de um condu-
tor cil´ındrico, so´lido, muito longo. Assinale
a opc¸a˜o que indica corretamente, dessas distri-
buic¸o˜es, aquela(s) para a(s) qual(is), em uma
curva fechada arbitra´ria, vale exatamente a lei de
Ampe`re.
(a) I e II.
(b) I e III.
(c) II e III.
(d) Todas elas.
(e) Somente a I.
4
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Um cilindro circular, so´lido, muito comprido, de eixo coincidente com o
eixo cartesiano Z, possui uma densidade de corrente
J =


3I0
2πR3
rzˆ , para r < R ;
0 , para r > R ,
onde R e´ o raio do cilindro, r e´ a distaˆncia radial entre o ponto considerado
e o eixo do cilindro e I0 e´ uma constante.
(a) Mostre que I0 e´ a (intensidade de) corrente ele´trica total que passa
atrave´s de uma sec¸a˜o reta do cilindro. [0,7 ponto]
(b) Usando a lei de Ampe`re, deduza uma expressa˜o para o campo magne´tico
B na regia˜o r ≥ R . [0,6 ponto]
(c) Obtenha uma expressa˜o para a (intensidade de) corrente ele´trica I(r)
contida em uma sec¸a˜o reta circular de raio r ≤ R, centrada sobre o eixo do
cilindro. [0,6 ponto]
(d) Aplicando a lei de Ampe`re, deduza uma expressa˜o para o campo
magne´tico B na regia˜o 0 ≤ r ≤ R . [0,6 ponto]
5
6
2. Uma barra condutora ab, de comprimento w, esta´ em contato
com os trilhos paralelos ad e bc, formando a espira mostrada na
figura ao lado. O dispositivo todo encontra-se sujeito ao campo
de um fio retil´ıneo, muito longo, coplanar, postado paralelamente
ao trilho mais pro´ximo ad, a uma distaˆncia L, ao longo do qual
flui uma corrente estaciona´ria de intensidade I, no sentido do
eixo Z.
(a) Calcule o fluxo atrave´s da superf´ıcie abcd, quando a barra ab
encontra-se a uma distaˆncia z, acima do lado dc do dispositivo.
[0,8 ponto]
(b) Calcule a forc¸a eletromotriz induzida ao longo do dispositivo,
num instante em que a barra se desloca com velocidade vzˆ . [0,7
ponto]
(c) Determine o sentido da corrente induzida ao longo do dispo-
sitivo, justificando seu racioc´ınio. [0,5 ponto]
(d) Sabendo que a barra ab e´ um material oˆhmico, de resisteˆncia
R, e o resto do dispositivo tem resisteˆncia desprez´ıvel, determine
a poteˆncia dissipada no dispositivo. Despreze quaisquer capa-
citaˆncias e indutaˆncias no sistema. [0,5 ponto]
7
8
9
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5=5,0 pontos)
1. A figura mostra uma anel circular, muito fino, de
raio R, submetido a um campo magne´tico (es-
taciona´rio) divergente e com simetria radial. O
campo magne´tico em todos os pontos do anel tem
o mesmo mo´dulo B, e´ perpendicular ao anel e faz
um aˆngulo θ com a normal ao plano do anel. Qual
e´ a forc¸a magne´tica que o campo exerce sobre a es-
pira se, nessa, passa uma corrente de intensidade
I?
(a) 2πRIB cos θzˆ .
(b) −2πRIB cos θzˆ .
(c) 2πRIB sen θzˆ .
(d) −2πRIB sen θzˆ .
(e) 2πRIBzˆ .
2. Considere as seguintes afirmativas: (I) a lei de
Faraday so´ vale para campos magne´ticos esta-
ciona´rios; (II) a lei de Biot-Savart vale para cor-
rentes arbitra´rias, dependentes ou na˜o do tempo;
(III) os fluxos dos campos ele´trico e magne´tico
so´ podem ser calculados atrave´s de superf´ıcies fe-
chadas. Assinale a opc¸a˜o que indica quais dessas
afirmativas sa˜o corretas.
(a) I.
(b) II.
(c) III.
(d) Todas elas.
(e) Nenhuma delas.
3. Um fio fino circular, de raio R, e´ percorrido
por uma corrente estaciona´ria de intensidade
Iint. No mesmo plano, temos um outro fio,
constitu´ıdo por dois segmentos retil´ıneos, longos
e um arco de semi-circunfereˆncia, conceˆntrico
com o primeiro fio, de raio 2R, conforme mostra
a figura. Qual deve ser a intensidade da corrente
estaciona´ria Iext, nesse segundo fio, para que
o campo magne´tico no centro comum C seja nulo?
(a) Iext = 4Iint .
(b) Iext = 2Iint .
(c) Iext = Iint/2 .
(d) Iext = 2πIint .
(e) Iext = πIint .
1
4. A figura abaixo representa um espectroˆmetro
de massa, aparelho usado para medir a massa
de ı´ons. Um ı´on de massa m, a ser determi-
nada, e carga q e´ produzido na fonte S, em re-
pouso, e acelerado pelo campo eletrosta´tico as-
sociado a uma diferenc¸a de potencial V . O
ı´on entra em uma caˆmara de separac¸a˜o na qual
existe um campo magne´tico B constante (uni-
forme e estaciona´rio), perpendicular a` sua tra-
jeto´ria. Suponha que o ı´on atinja o detetor em
um ponto situado a uma distaˆncia x do ponto
de entrada da caˆmara. Qual e´ a massa do ı´on?
(a) 8B2qx2/V .
(b) B2qx2/(8V ) .
(c) B2qx2/V .
(d) 2B2qx2/V .
(e) B2qx2/(2V ) .
5. Considere as seguintes afirmativas: (I) pode ha-
ver uma fem induzida diferente de zero em um
instante em que o fluxo atrave´s de um circuito
e´ igual a zero; (II) a auto-indutaˆncia de um dado
soleno´ide e´ proporcional a` taxa de variac¸a˜o da cor-
rente no soleno´ide; (III) a auto-indutaˆncia de um
dado soleno´ide e´ proporcional a` corrente no so-
leno´ide. Assinale a opc¸a˜o que indica quais dessas
afirmativas sa˜o corretas.
(a) I e II.
(b) I e III.
(c) II e III.
(d) I.
(e) II.
(f) III.
6. Treˆs espiras meta´licas e um observador esta˜o
dispostos como mostra a figura. Do ponto de
vista do observador, uma corrente I flui no
sentido anti-hora´rio na espira do meio, que se
move no sentido do observador com uma ve-
locidade v. As espiras A e B esta˜o em re-
pouso. Esse mesmo observador notaria que:
(a) correntes hora´rias sa˜o induzidas nas espi-
ras A e B.
(b) correntes anti-hora´rias sa˜o induzidas nas
espiras A e B.
(c) uma corrente hora´ria e´ induzida na espira
A, mas uma corrente anti-hora´ria e´ indu-
zida na espira B.
(d) uma corrente anti-hora´ria e´ induzida na
espira A, mas uma corrente hora´ria e´ in-
duzida na espira B.
(e) uma corrente anti-hora´ria e´ induzida na
espira A, mas nenhuma corrente e´ indu-
zida na espira B.
7. Considere uma espira circular, condutora, ao
longo da qual flui uma corrente estaciona´ria. Tal
espira esta´ sujeita a um campo magne´tico externo
constante (uniforme e estaciona´rio). Ao atingir o
equil´ıbrio esta´vel, o momento de dipolo magne´tico
de tal espira apontara´ para onde?
(a) No equil´ıbrio esta´vel, o momento de di-
polo magne´tico da espira sera´, obvia-
mente zero.
(b) Na˜o sofrera´ alterac¸a˜o, continuando a
apontar no sentido original.
(c) Num sentido perpendicular ao campo
magne´tico externo.
(d) No sentido oposto do campo magne´tico
externo.
(e) No sentido do pro´prio campo magne´tico
externo.
2
8. Considere dois ane´is circulares, um condutor e ou-
tro isolante, pertencentes a um mesmo plano, su-
jeitos a um campo magne´tico varia´vel no tempo,
perpendicular ao plano dos ane´is. Estando os dois
ane´is em repouso, em qual deles surgira´ uma forc¸a
eletromotriz induzida? Em qual deles surgira´ uma
corrente induzida?
(a) Em ambos os ane´is. Em ambos os ane´is.
(b) Em ambos os ane´is. Somente no anel con-
dutor.
(c) Em nenhum dos ane´is. Em nenhum dos
ane´is.
(d) Em nenhum dos ane´is. Somente no anel
condutor.
(e) Somente no anel condutor. Somente no
anel condutor.
9. Temos cinco correntes estaciona´rias, todas de
mesma intensidade I. Seus sentidos sa˜o indica-
dos na figura, com as convenc¸o˜es usuais. Assi-
nale a opc¸a˜o que apresenta a circulac¸a˜o do campo
magne´tico, ou seja,
∮
C
B · dℓ atrave´s de cada uma
das treˆs curvas orientadas C1, C2 e C3, respectiva-
mente.
(a) 3µ0I,−2µ0I, 0 .
(b) −3µ0I, 2µ0I, 0 .
(c) 3µ0I, 2µ0I, 0 .
(d) −3µ0I,−2µ0I, 0 .
(e) 5µ0I, 2µ0I, 2µ0I .
10. Considere as seguintes quatro distribuic¸o˜es de cor-
rente: (I) corrente retil´ınea, muito longa, esta-
ciona´ria; (II) corrente em forma de quadrado,
estaciona´ria; (III) corrente constante (uniforme
e estaciona´ria) na direc¸a˜o axial de um condu-
tor cil´ındrico, so´lido, muito longo. Assinale
a opc¸a˜o que indica corretamente, dessas distri-
buic¸o˜es, aquela(s) para a(s) qual(is), em uma
curva fechada arbitra´ria, vale exatamente a lei de
Ampe`re.
(a) I e II.
(b) I e III.
(c) II e III.
(d) Todas elas.
(e) Somente a I.
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Um cilindro circular, so´lido, muito