Aulas EDO 2013

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UNIVERSIDADE TECNOL ´OGICA FEDERAL DO PARAN ´A
PROF. ADILANDRI M ´ERCIO LOBEIRO (UTFPR-CM-COINF).
DISCIPLINAS: EL32B, ED3XA, EA32F, ED3XB
EQUAC¸ ˜OES DIFERENCIAIS ORDIN ´ARIAS
CAMPO MOUR ˜AO
2013/1
Estas notas seguem de muito perto a bibliografia referenciada e que
correspondem aos livros textos deste Curso. Sugere-se a sua aquisic¸a˜o.
O u´nico objetivo destas notas e´ facilitar as atividades dos alunos em sala
de aula, pois na˜o precisara˜o anotar conteu´dos e enunciados de exercı´-
cios. De forma que o aluno tem um maior conforto em sala de aula e o
professor podera´ explicar os temas de forma mais ra´pida. De nenhuma
maneira a leitura ou consulta da bibliografia esta´ descartada, isto e´ dever
do aluno.
P.ALuno
Atendimento Quarta Sexta
Hora´rios 13:50-15:30 10:20-12:00
Provas
Eventos EL32B EA32F ED3XB ED3XA
Primeira Prova 27/06/13 28/06/13 28/06/13 28/06/13
Segunda Prova 15/08/13 16/08/13 16/08/13 16/08/13
Terceira Prova 19/09/13 20/09/13 20/09/13 20/09/13
Reavaliac¸a˜o 26/09/13 27/09/13 27/09/13 27/09/13
SUM ´ARIO
1 INTRODUC¸ ˜AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 INTRODUC¸ ˜AO `AS EQUAC¸ ˜OES DIFERENCIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
INTRODUC¸ ˜AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 CLASSIFICAC¸ ˜AO DAS EQUAC¸ ˜OES DIFERENCIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.1 Classificac¸a˜o pelo Tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.2 Classificac¸a˜o pelo Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.3 Classificac¸a˜o como Linear e Na˜o-Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.4 Soluc¸o˜es Explı´citas e Implı´citas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 EDOS DO TIPO QUADRATURA E SEPAR ´AVEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1 QUADRATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 PROBLEMA DE VALOR INICIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 VARI ´AVEIS SEPAR ´AVEIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4 APLICAC¸ ˜OES DE EDOS - QUADRATURA E SEPAR ´AVEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4.1 Crescimento e Decrescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4.2 Resfriamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4.3 Problemas de Misturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.4 Circuitos em Se´rie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.5 MEIA-VIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.6 CRONOLOGIA DO CARBONO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.7 LISTA DE EXERC´ICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 EDOS HOMOG ˆENEAS, EXATAS, LINEARES, BERNOULLI, RICATTI, CLAI-
RAUT, D’ALEMBERTDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1 EQUAC¸ ˜OES HOMOG ˆENEAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1.1 Equac¸o˜es Homogeˆneas de Classe A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.1.2 Equac¸o˜es Homogeˆneas de Classe C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 EQUAC¸ ˜OES EXATAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3 EQUAC¸ ˜OES LINEARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4 EQUAC¸ ˜AO DE BERNOULLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.5 EQUAC¸ ˜AO DE RICATTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.6 EQUAC¸ ˜AO DE CLAIRAUT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.7 EQUAC¸ ˜AO DE D’ALEMBERT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.8 APLICAC¸ ˜OES DE EQUAC¸ ˜OES N ˜AO LINEARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 EQUAC¸ ˜OES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM SUPERIOR . . . . . . . . . . . 49
INTRODUC¸ ˜AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1 TEORIA PRELIMINAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.1 Problema de Valor Inicial e de Valor de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Problema de Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Problema de Valor de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.1.2 Dependeˆncia Linear e Independeˆncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.1.3 Soluc¸o˜es Para Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Equac¸o˜es Homogeˆneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Princı´pio de Superposic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Soluc¸o˜es Linearmente Independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Equac¸o˜es Na˜o-Homogeˆneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Func¸a˜o Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 CONSTRUINDO UMA SEGUNDA SOLUC¸ ˜AO A PARTIR DE UMA SOLUC¸ ˜AO
CONHECIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Reduc¸a˜o de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3 EQUAC¸ ˜OES LINEARES HOMOG ˆENEAS COM COEFICIENTES CONSTANTES 64
Equac¸a˜o Auxiliar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Equac¸a˜o de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.4 OPERADORES DIFERERENCIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Equac¸o˜es Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Operador Anulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5 COEFICIENTES INDETERMINADOS - ABORDAGEM POR ANULADORES . . . 74
Resumo do Me´todo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.6 VARIAC¸ ˜AO DOS PAR ˆAMETROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.6.1 Resoluc¸a˜o de Equac¸o˜es Lineares de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.6.2 Equac¸o˜es de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
REFER ˆENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4
1 INTRODUC¸ ˜AO
Coisas que voceˆ precisa saber a nı´vel de Ensino Me´dio:
1.
0
2
=
2.
2
0 =
3. 00 =
e a nı´vel de Ensino Superior:
1.
d
dx
(
x2
)
=
2.
d
dx (2
x) =
3. ddx (x
x) =
5
2 INTRODUC¸ ˜AO `AS EQUAC¸ ˜OES DIFERENCIAIS
As palavras equac¸a˜o e diferencial sugerem certamente algum tipo de equac¸a˜o que envolve
derivadas. Da mesma forma que um curso de a´lgebra e trigonometria, nos quais um bom tempo
e´ gasto na resoluc¸a˜o de equac¸o˜es como 2x+6 = 0 para a inco´gnita x, neste curso uma de nossas
tarefas sera´ resolver equac¸o˜es diferenciais como
dy
dx = y(x),
para a func¸a˜o inco´gnita y = y(x).
O primeiro para´grafo acima nos fala algo, mas na˜o tudo, sobre o curso que voceˆ esta´ prestes
a comec¸ar. No decorrer do curso, voceˆ vera´ que ha´ mais no estudo de equac¸o˜es diferenciais que
ta˜o somente o domı´nio de me´todos idealizados por algue´m para resolveˆ-las. Mas, em primeiro
lugar, para ler, estudar e familiarizar-se com esse assunto ta˜o especializado, e´ necessa´rio conhe-
cer algumas definic¸o˜es e terminologias ba´sicas sobre o mesmo (ZILL DENNIS G; CULLEN,
2006).
No curso de ca´lculo, voceˆ aprendeu que, dada uma func¸a˜o y = f (x), a derivada
dy
dx = f
′(x)
e´ tambe´m, ela mesma, uma func¸a˜o de x e e´ calculada por regras apropriadas. Por exemplo, se
y = ex2 , enta˜o
dy
dx = 2xe
x2 ou
dy
dx = 2xy
O problema com o qual nos deparamos neste curso na˜o e´: dada uma func¸a˜o y = f (x)
encontre sua derivada. Nosso problema e´: dada uma equac¸a˜o como dydx = 2xy, encontre, de
algum modo, uma func¸a˜o y = f (x) que satisfac¸a a equac¸a˜o. O problema e´ mais ou menos
equivalente ao familiar problema inverso do ca´lculo diferencial: dada uma derivada, encontrar
uma antiderivada. Em outras palavras, no´s queremos resolver equac¸o˜es diferenciais.
Definic¸a˜o 2.1 (Equac¸a˜o Diferencial) Uma equac¸a˜o que conte´m as derivadas ou diferenciais
6
de uma ou mais varia´veis dependentes, em relac¸a˜o a uma ou mais varia´veis independentes, e´
chamada de equac¸a˜o diferencial (ED).
2.1 CLASSIFICAC¸ ˜AO DAS EQUAC¸ ˜OES DIFERENCIAIS
Para poder discuti-las melhor, classificaremos as equac¸o˜es diferenciais por tipo, ordem e
linearidade.
2.1.1 Classificac¸a˜o pelo Tipo
Se uma equac¸a˜o contiver somente derivadas ordina´rias de uma ou mais varia´veis depen-
dentes em relac¸a˜o a uma u´nica varia´vel independente, ela sera´ chamada de equac¸a˜o diferencial
ordina´ria (EDO). Por exemplo,
dy
dt −5y = 1
d2y
dx2 −2
dy
dx +6y = 0
(y− x)dx+4xdy = 0
du
dx −
dv
dx = x
(2.1.1)
sa˜o equac¸o˜es diferenciais ordina´rias.
Uma equac¸a˜o que envolve as derivadas parciais de uma ou mais varia´veis dependentes de
duas ou mais varia´veis independentes e´ chamada de equac¸a˜o diferencial parcial (EDP). Por
exemplo,
∂u
∂y = −
∂v
∂x
x
∂u
∂x + y
∂u
∂y = u
∂ 2u
∂x2 =
∂ 2u
∂ t2 −2
∂u
∂ t
(2.1.2)
sa˜o equac¸o˜es diferenciais parciais.
As derivadas ordina´rias sera˜o escritas ao longo deste texto como a notac¸a˜o de Leibniz dydx ,
d2y
dx2 ,
d3y
dx3 , · · · ou com a notac¸a˜o linha (conhecida como “prime”) y
′
, y′′, y′′′, · · · . Usando a u´ltima
notac¸a˜o, podemos escrever as duas primeiras equac¸o˜es diferenciais em (2.1.1) um pouco mais
compactamente como y′− 5y = 1 e y′′− 2y′+ 6y = 0. Na realidade, a notac¸a˜o linha e´ usada
somente para denotar as treˆs primeiras derivadas; a quarta derivada e´ escrita como y(4), em vez
de y′′′′ . Em geral, a n-e´sima derivada e´ escrita como d
ny
dxn ou y
(n)
. Embora seja menos conve-
niente para escrever e imprimir, a notac¸a˜o de Leibniz tem, sobre a notac¸a˜o linha, a vantagem
7
de explicitar claramente as varia´veis dependentes e independentes. Por exemplo, na equac¸a˜o
d2x
dt2 + 16x = 0 veˆ-se imediatamente que o sı´mbolo x representa uma varia´vel dependente e t,
uma varia´vel independente. Derivadas parciais sa˜o frequ¨entemente denotadas por uma notac¸a˜o
em subscrito indicando as varia´veis independentes. Por exemplo, com a notac¸a˜o em subscrito,
a terceira equac¸a˜o em (2.1.2) torna-se uxx = utt −2ut .
2.1.2 Classificac¸a˜o pelo Ordem
A ordem de uma equac¸a˜o diferencial (EDO) ou (EDP) e´ a ordem da maior derivada na
equac¸a˜o. Por exemplo,
d2y
dx2 +5
(
dy
dx
)3
−4y = ex
e´ uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de segunda ordem (ou de ordem dois). A equac¸a˜o
a2
∂ 4u
∂x4 +
∂ 2u
∂ t2 = 0,
e´ uma equac¸a˜o diferencial parcial de quarta ordem.
Embora as equac¸o˜es diferenciais parciais sejam muito importante, seu estudo demanda um
bom conhecimento da teoria de equac¸o˜es diferenciais ordina´rias. Portanto, na discussa˜o que se
segue, limitaremos nossa atenc¸a˜o a`s equac¸o˜es diferenciais ordina´rias.
Uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria geral de n-e´sima ordem e´ frequentemente representada
pelo simbolismo
F
(
x,y,
dy
dx , · · · ,
dny
dxn
)
= 0,
onde x e´ a varia´vel independente.
Por exemplo, dada a equac¸a˜o 4xdydx + y = x podemos escreveˆ-la da forma
4x
dy
dx + y− x = 0.
Neste caso, F
(
x,y,
dy
dx
)
= 4x
dy
dx + y− x.
8
2.1.3 Classificac¸a˜o como Linear e Na˜o-Linear
Uma equac¸a˜o diferencial e´ chamada de linear na varia´vel dependente y quando pode ser
escrita na forma
an(x)
dny
dxn +an−1(x)
dn−1y
dxn−1 + · · ·+a1(x)
dy
dx +a0(x)y = g(x).
Observe que as equac¸o˜es diferenciais lineares sa˜o caracterizadas por duas propriedades:
• A varia´vel dependente y e todas as suas derivadas sa˜o do primeiro grau: isto e´, a poteˆncia
de cada termo envolvendo y e´ 1.
• Cada coeficiente depende apenas da varia´vel independente x.
Uma equac¸a˜o que na˜o e´ linear e´ chamada de na˜o-linear.
As equac¸o˜es
y′′−2y′+ y = 0
x3
d3y
dx3 − x
2 d2y
dx2 +3x
dy
dx +5y = e
x
sa˜o equac¸o˜es diferenciais ordina´rias lineares de primeira, segunda e terceira ordens, respectiva-
mente. Por outro lado,
yy′′−2y′ = x e d
3y
dx3 + y
2 = 0
sa˜o equac¸o˜es diferenciais ordina´rias na˜o-lineares de segunda e terceira ordens, respectivamente.
Como mencionado antes, nosso objetivo neste curso e´ resolver ou encontrar soluc¸o˜es para
equac¸o˜es diferenciais.
Definic¸a˜o 2.2 (Soluc¸a˜o para uma Equac¸a˜o Diferencial) Qualquer func¸a˜o f definida em al-
gum intervalo I, que, quando substituı´da na equac¸a˜o diferencial, reduz a equac¸a˜o a uma iden-
tidade, e´ chamada de soluc¸a˜o para a equac¸a˜o no intervalo.
Em outras palavras, uma soluc¸a˜o para uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria
F(x,y,y′, · · · ,y(n)) = 0
e´ uma func¸a˜o f que possui pelo menos n derivadas e satisfaz a equac¸a˜o; isto e´,
F(x, f (x), f ′(x), · · · , f (n)(x)) = 0
para todo x no intervalo I.
9
Exemplo 2.1 Verifique se y = x
4
16 e´ uma soluc¸a˜o
para a equac¸a˜o na˜o-linear
dy
dx − xy
1/2 = 0
no intervalo (−∞,+∞).
Exemplo 2.2 Verifique se y = xex e´ uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o linear
y′′−2y′+ y = 0
no intervalo (−∞,+∞).
Note que, nos exemplos (2.1) e (2.2), a func¸a˜o constante y = 0 tambe´m satisfaz a equac¸a˜o
diferencial dada para todo x real. Uma soluc¸a˜o para uma equac¸a˜o diferencial que e´ identica-
mente nula em um intervalo I e´ em geral referida como soluc¸a˜o trivial.
Nem toda equac¸a˜o diferencial que escrevemos possui necessariamente uma soluc¸a˜o.
Exemplo 2.3 As equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem(
dy
dx
)2
+1 = 0 e (y′)2 + y2 +4 = 0
na˜o possuem soluc¸a˜o. Por queˆ? A equac¸a˜o de segunda ordem(
y
′′)2
+10y4 = 0
posuui somente uma soluc¸a˜o real. Qual?
2.1.4 Soluc¸o˜es Explı´citas e Implı´citas
Voceˆ deve estar familiarizado com as noc¸o˜es de func¸o˜es explı´citas vistas em seu estudo
de ca´lculo. Similarmente, soluc¸o˜es de equac¸o˜es diferenciais sa˜o divididas em explı´citas ou
implı´citas. Uma soluc¸a˜o para uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria (EDO) que pode ser escrita na
forma y = f (x) e´ chamada de soluc¸a˜o explı´cita. Vimos em nossa discusa˜o inicial que y = ex2
e´ uma soluc¸a˜o explı´cita de dydx = 2xy. Nos exemplos (2.1) e (2.2), y =
x4
16 e y = xe
x sa˜o
soluc¸o˜es explı´citas de dydx = xy
1/2 e y
′′−2y′+y = 0, respectivamente. Dizemos que uma relac¸a˜o
G(x,y) = 0 e´ uma soluc¸a˜o implı´cita de uma equac¸a˜o diferencial em um intervalo I, se ela define
uma ou mais soluc¸o˜es explı´citas em I.
10
Exemplo 2.4 Verifique que para −2 < x < 2, a relac¸a˜o x2+y2−4 = 0 e´ uma soluc¸a˜o implı´cita
para a equac¸a˜o diferencial
dy
dx =−
x
y
Ale´m disso, note que qualquer relac¸a˜o da forma x2 + y2 − c = 0 satisfaz, formalmente,
dy
dx =−
x
y
para qualquer constante c. Pore´m, fica subentendido que a relac¸a˜o deve sempre fazer
sentido no sistema dos nu´meros reais; logo, na˜o podemos dizer que x2 + y2 + 1 = 0 determina
uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial.
Como a distinc¸a˜o entre uma soluc¸a˜o explı´cita e uma soluc¸a˜o implı´cita e´ intuitivamente
clara, na˜o nos daremos ao trabelho de dizer “aqui temos uma soluc¸a˜o explı´cita (implı´cita)”.
Nu´mero de Soluc¸o˜es - Voceˆ deve se acostumar com o fato de que uma dada equac¸a˜o
diferencial geralmente possui um nu´mero infinito de soluc¸o˜es.
Exercı´cio 2.1 Verifique se a func¸a˜o dada e´ uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o diferencial. (c1 e c2
sa˜o constantes).
1. 2y′+ y = 0; y = e−x/2
2.
dy
dx −2y = e
3x; y = e3x +10e2x
3. y′ = 25+ y2; y = 5tan5x
4. y′+ y = sinx; y = 1
2
sinx− 1
2
cosx+10e−x
5. x2dy+2xydx = 0; y =− 1
x2
6. y′− 1
x
y = 1; y = x lnx, x > 0
7. y′′−6y′+13y = 0; y = e3x cos2x
8. xd
2y
dx2 +2
dy
dx = 0; y = c1 + c2x
−1
9. x2y′′−3xy′+4y = 0; y = x2 + x2 lnx , x > 0
10. y′′′−3y′′+3y′− y = 0; y = x2ex
11
3 EDOS DO TIPO QUADRATURA E SEPAR ´AVEL
Apresentadas todas as terminologias necessa´rias, estamos agora aptos para estudar algumas
das equac¸o˜es diferenciais ordina´rias de primeira ordem segundo a classificac¸a˜o do software
Maple 16 e resolveˆ-las.
Se uma equac¸a˜o diferencial de primeira ordem puder ser resolvida, veremos que a te´cnica
ou me´todo para resolveˆ-la depende do tipo da equac¸a˜o de primeira ordem com que estamos
lidando. Durante anos, muitos matema´ticos se esforc¸aram para resolver diversos tipos particula-
res de equac¸o˜es. Por isso, ha´ va´rios me´todos de soluc¸a˜o: o que funciona para um tipo de equac¸a˜o
de primeira ordem na˜o se aplica necessariamente a outros tipos de equac¸a˜o (MALUMBRES,
1996).
Estudaremos alguns tipos de EDO de primeira ordem mostrado na Figura (2), conforme a
classificac¸a˜o do software Maple 12, ou verso˜es superiores.
Figura 1: EDO de primeira ordem.
Iniciaremos nossos estudos com o tipo “Quadrature”.
3.1 QUADRATURA
Comec¸amos nosso estudo sobre a resoluc¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem
F
(
x,y,
dy
dx
)
= 0 (3.1.1)
12
que pode ser escrita na forma explı´cita
dy
dx = f (x,y) (3.1.2)
com a mais simples dentre todas as equac¸o˜es diferenciais, aquela onde f e´ independente de uma
varia´vel:
1. f independente da varia´vel y, isto e´, f (x,y) = h(x).
De (3.1.2), temos:
dy
dx = h(x)
. (3.1.3)
Resolver esta equac¸a˜o consiste em encontrar uma func¸a˜o cuja derivada seja h(x), isto e´,
encontrar a primitiva (integral indefinida) de h(x).
Integrando ambos os lados de (3.1.3), ou ainda, usando o primeiro teorema fundamental
do ca´lculo, obtemos
y(x) =
∫
h(x)dx = H(x)+ c
A func¸a˜o y dada desta forma e´ a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o (3.1.3). Geometricamente, a
primitiva e´ a equac¸a˜o de uma famı´lia de curvas e uma soluc¸a˜o particular e´ a equac¸a˜o de
uma dessas curvas. Estas curvas sa˜o denominadas curvas integrais da equac¸a˜o diferencial.
2. Se f e´ independente da varia´vel x, isto e´, f (x,y) = g(y), ou ainda,
dy
dx = g(y)
. (3.1.4)
Temos dois casos a considerar:
(i) g(y) 6= 0;
Ao considerarmos g(y) 6= 0, obtemos:
1
g(y)
dy
dx = 1
⇒
∫ dy
g(y)
=
∫
dx
⇒
∫ dy
g(y)
= x+ c,
que e´ a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o, caso exista a integral.
(ii) g(y) = 0.
Se g(y) = 0 significa que existe y0 tal que g(y0) = 0. Logo a soluc¸a˜o e´ y0 = c, onde
13
c e´ constante. De fato,
d
dx(y0) = 0 = g(y0).
Nesta caso, y0 e´ chamada de soluc¸a˜o singular da equac¸a˜o.
Definic¸a˜o 3.1 (Equac¸a˜o Quadratura) Uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de primeira ordem
da forma
dy
dx = h(x)
(3.1.5)
ou
dy
dx = g(y)
(3.1.6)
e´ chamada de quadratura.
Exemplo 3.1 Resolva as equac¸o˜es:
1.
dy
dx = 2x;
2.
dy
dx = y;
3. dydx = y
2−4.
3.2 PROBLEMA DE VALOR INICIAL
Estamos interessados em resolver equac¸o˜es de primeira ordem que podem ser escritas na
forma
dy
dx = f (x,y)
sujeita a` condic¸a˜o inicial y(x0) = x0, em que x0 e´ um nu´mero no intervalo I e y0 e´ um nu´mero
real arbitra´rio. O problema
Resolva : dydx = f (x,y)
Su jeita a : y(x0) = y0
(3.2.7)
e´ chamado de problema de valor inicial PVI. Em termos geome´tricos, estamos procurando
uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o diferencial, definida em algum intervalo I tal que o gra´fico da
soluc¸a˜o passe por um (x0,y0) determinado a priori.
14
Exemplo 3.2 Vimos que y = cex e´ uma famı´lia de soluc¸o˜es para dydx = y no intervalo (−∞,∞).
Encontre uma soluc¸a˜o para o problema de valor inicial (PVI).

dy
dx = y
y(0) = 3
.
A questa˜o fundamental surge quando consideramos um problema de valor inicial como
(3.2.7):
Existe uma soluc¸a˜o para o problema?
Se existe uma soluc¸a˜o, ela e´ u´nica?
Em outras palavras, a equac¸a˜o diferencial dydx = f (x,y) possui uma soluc¸a˜o cujo gra´fico
passa pelo ponto (x0,y0)? E sera´ que essa soluc¸a˜o, se existir, e´ u´nica?
Exemplo 3.3 Verifique se cada uma das func¸o˜es y = 0 e y = x
4
16 satisfaz o problema de valor
inicial (PVI). 

dy
dx = xy
1/2
y(0) = 0
.
Em geral, deseja-se saber, antes de considerar um problema de valor inicial, se uma soluc¸a˜o
existe e, quando existe, se e´ a u´nica soluc¸a˜o para o problema.
Teorema 3.1 (Existeˆncia de uma ´Unica Soluc¸a˜o - Teorema de Picard) Seja R uma regia˜o re-
tangular no plano xy definida por a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, que conte´m o ponto (x0,y0) em seu
interior. Se f (x,y) e ∂ f∂y sa˜o contı´nuas em R, enta˜o existe um intervalo I centrado em x0 e uma
u´nica func¸a˜o y(x) definida em I que satisfaz o problema de valor inicial

dy
dx = f (x,y)
y(x0) = y0
. (3.2.8)
Exemplo 3.4 Use o teorema (3.1) para verificar a existeˆncia de uma u´nica soluc¸a˜o para o
problema de valor inicial (PV I) 

dy
dx = xy
1/2
y(x0) = y0
.
15
Exemplo 3.5 Use o teorema (3.1) para garantir a existeˆncia de uma u´nica soluc¸a˜o
para o
problema de valor inicial (PV I) 

dy
dx = y
y(0) = 3
.
3.3 VARI ´AVEIS SEPAR ´AVEIS
Considerando a equac¸a˜o diferencial de 1a ordem
dy
dx = f (x,y) (3.3.1)
podemos escrever a func¸a˜o f = f (x,y) como o quociente de duas outras func¸o˜es, a saber, M =
M(x,y) e N = N(x,y), logo:
dy
dx =
M(x,y)
N(x,y)
´E conveniente manter o sinal negativo no segundo membro da equac¸a˜o, na forma:
dy
dx = −
M(x,y)
N(x,y)
assim podemos escrever a equac¸a˜o (3.3.1) na forma diferencial
M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0 (3.3.2)
O problema de resolver equac¸o˜es diferenciais de 1a ordem depende da soluc¸a˜o da equac¸a˜o
(3.3.1) ou da soluc¸a˜o da equac¸a˜o (3.3.2).
Se M e´ uma func¸a˜o apenas da varia´vel x, isto e´, M = M(x) e N e´ uma func¸a˜o apenas da
varia´vel y, isto e´ N = N(y), enta˜o a equac¸a˜o (3.3.2) fica na forma
M(x)dx+N(y)dy = 0 (3.3.3)
e ela e´ chamada equac¸a˜o separa´vel.
Definic¸a˜o 3.2 (Equac¸a˜o Separa´vel) Uma equac¸a˜o diferencial de primeira ordem da forma
dy
dx = f (x)g(y) (3.3.4)
e´ chamada de separa´vel ou de varia´veis separa´veis.
Me´todo de soluc¸a˜o: Para resolver a equac¸a˜o (3.3.4), devemos considerar os seguintes
16
casos:
a) Se g(y) = a, onde a e´ constante, temos uma EDO separa´vel que e´, em particular, uma qua-
dratura. Temos da equac¸a˜o (3.3.4) que
dy
dx = a f (x) . (3.3.5)
Para obter a soluc¸a˜o basta observar como resolvemos (3.1.5).
b) Se f (x) = b, onde b e´ constante, temos uma EDO separa´vel que e´, em particular, uma
quadratura conforme (3.1.6). Da equac¸a˜o (3.3.4), temos
dy
dx = bg(y).
(3.3.6)
Nesta situac¸a˜o vamos considerar dois casos:
(i) g(y) 6= 0;
Ao considerarmos g(y) 6= 0, obtemos:
1
g(y)
dy
dx = b
⇒
∫ dy
g(y)
= b
∫
dx
⇒
∫ dy
g(y)
= bx+ c,
que e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o.
(ii) g(y) = 0.
Se g(y) = 0 significa que existe y0 tal que g(y0) = 0. Logo a soluc¸a˜o e´ y0 = c, onde
c e´ constante. De fato,
d
dx(y0) = 0 = b ·0 = b ·g(y0).
Concluı´mos que y0 e´ uma soluc¸a˜o singular.
c) Se nem f e nem g forem constantes temos uma equac¸a˜o de varia´vel separa´vel. Para resol-
vermos consideraremos dois casos:
Caso 1: g(y) 6= 0;
Se para todo y temos g(y) 6= 0. Podemos escrever a equac¸a˜o (3.3.4) da forma
1
g(y)
dy
dx = f (x).
17
Ao calcularmos a integral ∫ dy
g(y)
=
∫
f (x)dx+ c .
obtemos a soluc¸a˜o.
Caso 2: g(y) = 0.
Se existe y0 tal que g(y0) = 0. Temos que y0 = c, onde c e´ constante, e´ soluc¸a˜o. De
fato,
d
dx(y0) = 0 = f (x) ·0 = f (x) ·g(y0).
Observac¸a˜o 3.1 Uma equac¸a˜o diferencial de primeira ordem da forma
dy
dx = f (x)g(y) ,
e´ chamada de separa´vel ou de varia´veis separa´veis.
a) Se g(y) = a, onde a e´ constante, temos uma EDO separa´vel que e´, em particular, uma
quadratura.
b) Se f (x) = b temos uma situac¸a˜o ana´loga ao item anterior;
c) Se nem f e nem g forem constantes temos uma equac¸a˜o de varia´vel separa´vel.
Observac¸a˜o 3.2 1. Como este me´todo depende de escrevermos (3.3.1) ou (3.3.2) na forma
(3.3.3), onde as varia´veis esta˜o “separadas” em dois termos, ele e´ chamado de Me´todo
de Separac¸a˜o de Varia´veis, e as varia´veis sa˜o ditas separa´veis.
2. Na˜o se deve memoriar a fo´rmula obtida no final. O que fizemos aqui foi mostrar o cami-
nho que deve ser seguido para resolver uma “equac¸a˜o separa´vel”.
3. Na˜o ha´ necessidade de usar duas constantes na integrac¸a˜o de uma equac¸a˜o separa´vel,
pois ∫
N(y)dy+ c1 =
∫
−M(x)dx+ c2
⇒
∫
N(y)dy =
∫
−M(x)dx+ c2− c1
⇒
∫
N(y)dy =
∫
−M(x)dx+ c
Apresentaremos agora alguns exemplos para melhor entendimento.
18
Exemplo 3.6 Considere a EDO
dy
dx = x(y−1).
Vamos encontrar sua soluc¸a˜o.
Exercı´cio 3.1 Resolva a equac¸a˜o diferencial dada por separac¸a˜o de varia´vel.
1.
dy
dx = sin5x.
2. dx+ e3xdy = 0 .
3. (x+1)dydx = x+6 .
4. x
dy
dx = 4y .
5.
dy
dx =
y3
x2
6. dxdy =
x2y2
1+ x
.
7.
dy
dx = e
3x+2y
.
8. 2y(x+1)dy = xdx.
9. dSdr = kS.
Exercı´cio 3.2 Resolva a equac¸a˜o diferencial dada sujeita a` condic¸a˜o inicial indicada.
1.
{
(e−y +1)sinxdx = (1+ cosx)dy
y(0) = 0
2.
{
ydy = 4x(y2 +1)1/2dx
y(0) = 1
3.


dx
dy = 4(x
2 +1)
x
(pi
4
)
= 1
4.
{
x2y′ = y− xy
y(−1) = −1
19
3.4 APLICAC¸ ˜OES DE EDOS - QUADRATURA E SEPAR ´AVEL
3.4.1 Crescimento e Decrescimento
O problema de valor inicial 

dx
dt = kx
x(t0) = x0
(3.4.7)
em que k e´ uma constante de proporcionalidade, ocorre em muitas teorias fı´sicas envolvendo
crescimento ou decrescimento. Por exemplo, em biologia, e´ frequ¨entemente observado que a
taxa de crescimento de certas bacte´rias e´ proporcional ao nu´mero de bacte´rias presente no dado
instante. Durante um curto intervalo de tempo, a populac¸a˜o de pequenos animais, tais como
roedores, pode ser prevista com alto grau de precisa˜o pela soluc¸a˜o para (3.4.7). Em fı´sica, um
problema de valor inicial como (3.4.7) proporciona um modelo para o ca´lculo aproximado da
quantidade remanescente de uma substaˆncia que esta´ sendo desintegrada atrave´s de radioati-
vidade. A equac¸a˜o diferencial em (3.4.7) pode ainda determinar a temperatura de um corpo
em resfriamento. Em quı´mica, a quantidade remanescente de uma substaˆncia durante certas
reac¸o˜es tambe´m pode ser descrita por (3.4.7).
Exemplo 3.7 Em uma cultura, ha´ inicialmente N0 bacte´rias. Uma hora depois, t = 1, o nu´mero
de bacte´rias passa a ser 3
2
N0. Se a taxa de crescimento e´ proporcional ao nu´mero de bacte´rias
presentes, determine o tempo necessa´rio para que o nu´mero de bacte´rias triplique.
3.4.2 Resfriamento
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variac¸a˜o de temperatura T (t) de um
corpo em resfriamento e´ proporcional a` diferenc¸a entre a temperatura do corpo e a temperatura
constante Tm do meio ambiente, isto e´, dT/dt = k(T − Tm), em que k e´ uma constante de
proporcionalidade.
Exemplo 3.8 Quando um bolo e´ retirado do forno, sua temperatura e´ de 300◦F. Treˆs minutos
depois, sua temperatura passa para 200◦F. Quanto tempo levara´ para sua temperatura chegar
a 70 graus, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for de exatamente
70◦F?
20
3.4.3 Problemas de Misturas
Na mistura de dois fluı´dos, muitas vezes temos de lidar com equac¸o˜es diferenciais lineares
de primeira ordem. No pro´ximo exemplo, consideramos a mistura de duas soluc¸o˜es salinas com
diferentes concentrac¸o˜es.
Exemplo 3.9 Inicialmente, 50 gramas de sal sa˜o dissolvidos em um tanque contendo 300 litros
de a´gua. Uma soluc¸a˜o salina e´ bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 litros por
minuto, e a soluc¸a˜o bem misturada e´ enta˜o drenada na mesma taxa. Se a concentrac¸a˜o da
soluc¸a˜o que entra e´ 2 gramas por litro, determine a quantidade de sal no tanque em qualquer
instante. Quantas gramas de sal esta˜o presentes apo´s 50 minutos? E depois de um longo
tempo?
3.4.4 Circuitos em Se´rie
Em um circuito em se´rie contendo somente um resistor e um indutor, a seguda lei de Kir-
chhoff diz que a soma da queda de tensa˜o do indutor
(
L
(
di
dt
))
e da queda de tensa˜o do
resistor (iR) e´ igual a` voltagem (E(t)) no circuito.
Logo, obtemos a equac¸a˜o diferencial linear para a corrente i(t),
L
di
dt +Ri = E(t)
(3.4.8)
em que L e R sa˜o constantes conhecidas como a indutaˆncia e a resisteˆncia, respectivamente. A
corrente e´ algumas vezes chamada de resposta do sistema.
A queda de potencial em um capacitor com capacitaˆncia C e´ dada por q(t)C , em que q e´ a
carga no capacitor. Enta˜o, para o circuito em se´rie mencionado anteriormente, a segunda lei de
kirchhoff nos da´
Ri+
1
C
q = E(t) (3.4.9)
Mas a corrente i e a carga q esta˜o relacionadas por i = dqdt , logo, (3.4.9) torna-se a equac¸a˜o
diferencial linear
R
dq
dt +
1
C
q = E(t) (3.4.10)
Exemplo 3.10 Uma bateria de 12volts e´ conectada a um circuito em se´rie no qual a indutaˆncia
e´ de 1/2henry e a resisteˆncia, 10ohms. Determine a corrente i se a corrente inicial e´ zero.
21
3.5 MEIA-VIDA
Em fı´sica, meia-vida e´ uma medida de estabilidade de uma substaˆncia radioativa. A meia-
vida e´ simplesmente o tempo gasto para metade dos a´tomos de uma quantidade inicial A0 se
desintegrar ou se transmutar em a´tomos de outro elemento. Quanto maior a meia-vida de uma
substaˆncia, mais esta´vel ela e´. Por exemplo, a meia-vida do ultra-radioativo ra´dio, Ra−226, e´
cerca de 1700 anos. Em 1700 anos, metade de uma dada quantidade de Ra−226 e´ transmutada
em radoˆnio, Rn− 222. O iso´topo de uraˆnio mais comum, U − 238, tem uma meia-vida de
aproximadamente 4.500.000.000 de anos. Nesse tempo, metade de uma quantidade de U−238
e´ transmutada em chumbo, Pb−206.
Exemplo 3.11 Um reator converte uraˆnio 238 em iso´topo de plutoˆnio 239. Apo´s 15 anos, foi
detectado que 0,043% da quantidade inicial A0 de plutoˆnio se desintegrou. Encontre a meia-
vida desse iso´topo, se a taxa de desintegrac¸a˜o e´ proporcional a` quantidade remanescente.
3.6 CRONOLOGIA DO CARBONO
Por volta de 1950, o quı´mico Willard Libby inventou um me´todo para determinar a idade
de fo´sseis usando o carbono radioativo. A teoria da cronologia do carbono se baseia no fato
de que o iso´topo do carbono 14 e´ produzido na atmosfera pela ac¸a˜o de radiac¸o˜es co´smicas no
nitrogeˆnio. A raza˜o entre a quantidade de C−14 para carbono ordina´rio na atmosfera parece ser
uma constante e, como consequ¨eˆncia, a proporc¸a˜o da quantidade de iso´topo presente em todos
os organismos vivos e´ a mesma proporc¸a˜o da quantidade na atmosfera. Quando um organismo
morre, a absorc¸a˜o de C− 14, atrave´s da respirac¸a˜o ou alimentac¸a˜o, cessa. Logo, comparando
a quantidade proporcional de C− 14 presente, digamos, em um fo´ssil com a raza˜o constante
encontrada na atmosfera, e´ possı´vel obter uma razoa´vel estimativa da idade do fo´ssil. O me´todo
se baseia no conhecimento da meia-vida do carbono radioativo C− 14, cerca de 5.600 anos.
Por esse trabalho, Libby ganhou o Preˆmion Nobel de quı´mica em 1960. O me´todo de Libby
tem sido usado para datar mobı´lias de madeira nos tu´mulos egı´pcios e os pergaminhos do Mar
Morto.
Exemplo 3.12 Um osso fossilizado conte´m 1
1.000 da quantidade original do C−14. Determine
a idade do fo´ssil.
22
3.7 LISTA DE EXERC´ICIOS
Exercı´cio 3.3 Em uma refinaria de petro´leo, um tanque de estocagem conte´m 2.000 galo˜es de
gasolina que, inicialmente, possui 100 libras de aditivo dissolvido nela. Durante a preparac¸a˜o
para o inverno, gasolina contendo 2 lb de aditivo por gala˜o e´ bombeada para o reservato´rio
a uma taxa de 40gal/min. A mistura homogeˆnea e´ bombeada para fora do tanque na mesma
taxa, ou seja, 40gal/min. Quanto aditivo ha´ no tanque depois de 20 minutos do inı´cio do
processo?
Exercı´cio 3.4 O corpo de uma vı´tima de homicı´dio foi descoberto a`s 23 horas. O me´dico da
polı´cia chegou a`s 23h30m e imediatamente tomou a temperatura do cada´ver, que era de 34,80.
Uma hora mais tarde ele tomou a temperatura outra vez e encontrou 34,10. A temperatura do
quarto era mantida constante a 200. Use a lei do resfriamento de Newton para estimar a hora
em que se deu a morte. Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva e´ 36,50.
Exercı´cio 3.5 Uma barra de metal com uma temperatura de 100◦F e´ colocada em um ambiente
com temperatura constante de 0◦F. Se apo´s 20 minutos a temperatura da barra e´ de 50◦F,
determinar o tempo (t) necessa´rio para que a barra atinja uma temperatura de 25◦F. Qual a
temperatura que estara´ esta barra depois de decorridos 10 minutos?
Exercı´cio 3.6 A populac¸a˜o de uma cidade cresce a uma taxa proporcional a` populac¸a˜o exis-
tente no tempo t. A populac¸a˜o inicial de 500 aumenta 15 % em 10 anos. Qual sera´ a populac¸a˜o
em t anos? Qual sera´ a populac¸a˜o em 30 anos?
Exercı´cio 3.7 Um tanque grande e´ preenchido com 500 litros de a´gua pura, que inicialmente,
possui 2 quilos de sal dissolvidos nele. Salmoura contendo 2 quilos de sal por litro e´ bombeada
para dentro do tanque a uma taxa de 5 l/min. A soluc¸a˜o bem misturada e´ bombeada para fora
a` mesma taxa. Determine a quantidade A(t) de quilos de sal no tanque no instante de tempo t?
Quanto quilos de sal ha´ no tanque depois de 20 minutos do inı´cio do processo?
Exercı´cio 3.8 O suda´rio de Turim mostra a imagem em negativo do corpo de um homem cru-
cificado, que muitos acreditam ser de Jesus de Nazare´. Em 1988, o Vaticano deu a permissa˜o
para datar por carbono o suda´rio. Treˆs laborato´rios cientı´ficos e independentes analisaram o
tecido e concluı´ram que o suda´rio tinha aproximadamente 660 anos, idade consistente com seu
aparecimento histo´rico. Usando essa idade, determine a porcentagem da quantidade original
de C−14 remanescente no tecido em 1988.
23
Exercı´cio 3.9 O iso´topo radioativo de chumbo, Pb−209, decresce a uma taxa proporcional a`
quantidade presente em qualquer tempo. Sua meia-vida e´ 3,3 horas. Se 1 grama de chumbo
esta´ presente inicialmente, quanto tempo levara´ para 90% de chumpo desaparecer?
Exercı´cio 3.10 Um termoˆmetro e´ removido de uma sala, em que a temperatura e´ de 70◦F, e
colocado do lado de fora, em que a temperatura e´ de 10◦F. Apo´s 0,5 minuto, o termoˆmetro
marcava 50◦F. Qual sera´ a temperatura marcada no termoˆmetro no instante t = 1 minuto?
Quanto tempo levara´ para o termoˆmetro marcar 15◦F?
Exercı´cio 3.11 Um tanque conte´m 200 litros de fluı´do no qual sa˜o dissolvidos 30g de sal. Uma
soluc¸a˜o salina contendo 1g de sal por litro e´ enta˜o bombeada para dentro do tanque a uma taxa
de 4 litros por minuto; a mistura e´ drenada a` mesma taxa. Encontre a quantidade de gramas
de sal A(t) no tanque em qualquer instante.
Exercı´cio 3.12 Uma cidade e´ abastecida por um lago cujo manancial e´ de 108 l e que e´ ali-
mentada por um rio cuja vaza˜o e´ de 200 l/min. Algumas fabricas localizadas a` beira deste rio
o poluem na ordem de 60g/l. A quantidade ma´xima de poluente admissı´vel, por decisa˜o das
autoridades sanita´rias, e´ da ordem de 25g/l. O Prefeito municipal, muito preocupado com
as constantes reclamac¸o˜es que colocam em perigo a eleic¸a˜o de seu candidato, pede ao enge-
nheiro hidra´ulico, responsa´vel pelo abastecimento, que resolva o grave problema em um prazo
ma´ximo de 4 meses(para na˜o ultrapassar o dia das eleic¸o˜es).O engenheiro resolve desviar o
curso de outro rio (considerando que as condic¸o˜es topogra´ficas impec¸am que seja desviado o
curso do rio poluı´do), cujas a´guas esta˜o com um grau de poluic¸a˜o de 10g/l, fazendo com que
o mesmo alimente o lago com uma vaza˜o de 800 l/min. Desprezando-se a evaporac¸a˜o e outros
fatores que viessem a alterar o volume do manancial (considerando-o, portanto, constante),
pergunta-se: O candidato do Prefeito sera´ eleito?
Figura 2: EDO de primeira ordem.
24
4 EDOS HOMOG ˆENEAS, EXATAS, LINEARES, BERNOULLI, RICATTI,
CLAIRAUT, D’ALEMBERTDE
Mudanc¸a de Varia´veis
Como uma equac¸a˜o diferencial cujas varia´veis sa˜o separa´veis e´ fa´cil de resolver, surge enta˜o
a seguinte pergunta:
“Existem outros tipos de equac¸o˜es diferenciais cujas varia´veis na˜o sa˜o separa´veis mas que
podem ser transformadas em equac¸o˜es cujas varia´veis sa˜o separa´veis?”
A resposta, a esta pergunta e´ “sim”. De fato, uma das maneiras mais importantes de resolver
uma equac¸a˜o diferencial dada e´ fazer uma mudanc¸a de varia´vel conveniente, que reduza a
equac¸a˜o num tipo que possamos resolver. ´E uma situac¸a˜o semelhante a que usamos em ca´lculo
I para resolver integrais por meio de uma mudanc¸a de varia´veis. Em alguns casos a mudanc¸a de
varia´veis a ser usada e´ sugerida pela forma da equac¸a˜o. Em outros casos a transformac¸a˜o na˜o e´
ta˜o o´bvia.
4.1 EQUAC¸ ˜OES HOMOG ˆENEAS
Antes de considerar o conceito de equac¸a˜o diferencial homogeˆnea de primeira ordem e
seu me´todo de soluc¸a˜o, precisamos primeiro examinar a natureza de uma func¸a˜o homogeˆnea.
Comec¸amos com a definic¸a˜o deste conceito.
Definic¸a˜o 4.1 (Func¸a˜o Homogeˆnea) Se uma func¸a˜o f satisfaz
f (tx, ty) = tn f (x,y) (4.1.1)
para algum nu´mero real n, enta˜o dizemos que f e´ uma func¸a˜o homogeˆnea de grau n.
Exemplo 4.1 Dadas as func¸o˜es abaixo vamos determinar se elas sa˜o homogeˆneas e especificar
o grau de homogeneidade, quando for o caso.
1. f (x,y) = x2−3xy+5y2
25
2. f (x,y) = 3
√
x2 + y2
3. f (x,y) = x3 + y3 +1
4. f (x,y) = x
2y
+4
Seja f (x,y) uma func¸a˜o homogeˆnea de grau n, ou seja,
f (tx, ty) = tn f (x,y) ,
podemos escrever
f (x,y) =
(
1
t
)n
f (tx, ty) . (4.1.2)
Fazendo tx = 1 temos x = 1
t
e t =
1
x
. De (4.1.2), obtemos:
f (x,y) = xn f
(
1,
y
x
)
. (4.1.3)
Fazendo ty = 1 temos y = 1
t
e t =
1
y
. Substituindo em (4.1.2), obtemos:
f (x,y) = yn f
(
x
y
,1
)
. (4.1.4)
´E importante observar que f
(
1,
y
x
)
e f
(
x
y
,1
)
sa˜o ambas homogeˆneas de grau zero.
Uma equac¸a˜o diferencial homogeˆnea de primeira ordem e´ definida em termos das func¸o˜es
homogeˆneas.
Definic¸a˜o 4.2 (Equac¸a˜o Homogeˆnea) Uma equac¸a˜o diferencial da forma
M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0
e´ chamada de homogeˆnea se ambos os coeficientes M e N sa˜o func¸o˜es homogeˆneas do mesmo
grau.
Em outras palavras,
M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0
e´ homogeˆnea se
M(tx, ty) = tnM(x,y) e N(tx, ty) = tnN(x,y)
26
ou ainda,
M(x,y) = xnM
(
1,
y
x
)
e M(x,y) = ynM
(
x
y
,1
)
e
N(x,y) = xnN
(
1,
y
x
)
e N(x,y) = ynN
(
x
y
,1
)
4.1.1 Equac¸o˜es Homogeˆneas de Classe A
Uma equac¸a˜o diferencial homogeˆnea pode sempre ser expressa na forma alternativa
dy
dx = f
(y
x
)
ou
dy
dx = g
(
x
y
)
.
Para ver isso, consideramos a equac¸a˜o homogeˆnea M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0 e escrevemos na
forma, dydx = f (x,y), onde
f (x,y) =−M(x,y)
N(x,y)
.
Sabendo que M e N sa˜o homogeˆneas de grau n, observamos que f (x,y) deve ser necessari-
amente homogeˆnea de grau zero e
f (x,y) =−x
nM(1, y
x
)
xnN(1, y
x
)
=−M(1,
y
x
)
N(1, y
x
)
.
A u´ltima raza˜o e´ uma func¸a˜o da forma f
(y
x
)
. Analogamente,
f (x,y) =−
ynM(xy ,1)
ynN(xy ,1)
=−
M(xy ,1)
N(xy ,1)
.
A u´ltima raza˜o e´ uma func¸a˜o da forma g
(
x
y
)
.
Definic¸a˜o 4.3 (Equac¸a˜o Homogeˆnea de Classe A) A forma geral de uma equac¸a˜o homogeˆnea
de classe A e´ dada por
dy
dx = f
(y
x
)
(4.1.5)
ou
dy
dx = g
(
x
y
)
(4.1.6)
27
onde f
(y
x
)
e g
(
x
y
)
sa˜o func¸o˜es arbitra´rias.
Me´todo de soluc¸a˜o: O me´todo consiste em transformar a EDO homogeˆnea de Classe A,
em uma equac¸a˜o de varia´veis separa´veis com a substituic¸a˜o y(x)
x
= u(x) , ou de uma forma
mais simples
y
x
= u , onde u = u(x) e´ uma nova func¸a˜o inco´gnita.
Dada a equac¸a˜o homogeˆnea M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0, podemos escreveˆ-la na forma
dy
dx = f
(y
x
)
.
Fazendo y
x
= u, temos
y = ux
⇒ dydx = u+ x
du
dx
podemos enta˜o separar as varia´veis
u+ x
du
dx = f (u)
ou ainda,
x
du
dx = f (u)−u. (4.1.7)
onde temos dois casos, a considerar:
Caso 1: f (u)−u 6= 0;
Se f (u)−u 6= 0 podemos escrever (4.1.7) da seguinte forma
1
f (u)−udu =
dx
x
, .
Integrando, ambos os membros, obtemos∫ 1
f (u)−udu =
∫ dx
x
ou ainda, ∫ du
f (u)−u = lnx+ c
⇒ lnx− lnc =
∫ 1
f (u)−udu
⇒ ln x
c
=
∫ 1
f (u)−udu
⇒ x
c
= e
∫ 1
f (u)−u du
28
isolando x,
x = ce
∫ 1
f (u)−u du.
Fazendo
φ(u) =
∫ 1
f (u)−udu
obtemos
x = ceφ(u).
Como y
x
= u
⇒ y = ux
⇒ y = cueφ(u)
Portanto, obtemos {
x = ceφ(u)
y = cueφ(u)
(4.1.8)
que sa˜o as curvas de equac¸o˜es parame´tricas que sa˜o as soluc¸o˜es para a equac¸a˜o diferencial
homogeˆnea de Classe A para cada c ∈ IR.
Caso 2: f (u)−u = 0.
Suponhamos que existe algum u0 tal que f (u0) = u0. Neste caso, e´ imediato comprovar
que a reta y = u0x e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial (4.1.5), pois:
dy
dx = u0.1 = u0 = f (u0) = f
(y
x
)
.
A reta y = u0x e´ a soluc¸a˜o singular da equac¸a˜o (4.1.5).
Apresentaremos agora um exemplo de EDO homogeˆnea de Classe A.
Exemplo 4.2 Resolva a equac¸a˜o homogeˆnea de classe A
dy
dx =
2xy− y2
x2
.
4.1.2 Equac¸o˜es Homogeˆneas de Classe C.
Definiremos a seguir uma Equac¸a˜o Homogeˆnea de Classe C.
Definic¸a˜o 4.4 (Equac¸a˜o Homogeˆnea de Classe C) A forma geral de uma equac¸a˜o homogeˆnea
de classe C e´ dada por
dy
dx = f
(
ax+by+ c
rx+ sy+ t
)
29
onde f e´ uma func¸a˜o arbitra´ria e a, b, c, r, s e t sa˜o constantes.
Me´todo de Soluc¸a˜o:
Consideremos a equac¸a˜o da forma
dy
dx = f
(
ax+by+ c
rx+ sy+ t
)
onde a, b, c, r, s e t sa˜o constantes. Para esse tipo de equac¸a˜o temos dois casos a considerar:
Caso 1: O
∣∣∣∣∣ a br s
∣∣∣∣∣ e´ diferente de zero.
Suponhamos em primeiro lugar que o
∣∣∣∣∣ a br s
∣∣∣∣∣ 6= 0, ou seja, que as retas ax+by+c = 0 e
rx+ sy+ t = 0 se interceptam em um ponto (α;β ), ou ainda, ao considerarmos o sistema
{
ax+by+ c = 0
rx+ sy+ t = 0
(4.1.9)
temos como soluc¸a˜o x = α e y = β .
Fazendo {
x = u+α
y = v+β (4.1.10)
e substituindo no sistema (4.1.9), temos
dv
du = f
(
a(u+α)+b(v+β )+ c
r(u+α)+ s(v+β )+ t
)
que pode ser escrita como
dv
du = f
(
au+bv+aα +bβ + c
ru+ sv+ rα + sβ + t
)
.
Como (α,β ) e´ soluc¸a˜o do sistema, temos
dv
du = f
(
au+bv
ru+ sv
)
.
Obtemos assim uma equac¸a˜o homogeˆnea de classe A,
dv
du = f
(
a+b
(
v
u
)
r+ s
(
v
u
) ) ,
30
para resolvermos essa equac¸a˜o basta observamos (4.1.6). Observamos que, geometri-
camente, equivale a uma translac¸a˜o dos eixos coordenados para o ponto (α,β ) que e´ a
intersec¸a˜o das retas componentes do sistema, o que e´ verdadeiro, uma vez que o determi-
nante considerado e diferente de zero.
Caso 2: O
∣∣∣∣∣ a br s
∣∣∣∣∣ e´ igual a zero.
Suponhamos agora, que o
∣∣∣∣∣ a br s
∣∣∣∣∣= 0, ou seja, que as retas ax+by+c= 0 e rx+sy+t =
0 sejam paralelas distintas, ou seja, a soluc¸a˜o do sistema e´ vazia. Isto implica que o
me´todo aplicado no primeiro caso na˜o faz sentido.
Como
∣∣∣∣∣ a br s
∣∣∣∣∣= 0 , os coeficentes de x e y sa˜o proporcionais, de modo que se podemos
escrever as = rb, ou ainda,
s
b =
r
a
. (4.1.11)
Chamando a relac¸a˜o de m, temos:
s
b =
r
a
= m 6= t
c
(4.1.12)
logo
s
b = m ⇒ s = bm
e
r
a
= m ⇒ r = am.
Como
dy
dx = f
(
ax+by+ c
rx+ sy+ t
)
e substituindo as relac¸o˜es anteriores nesse sistema, obtemos
dy
dx = f
(
ax+by+ c
m(ax+by)+ t
)
(4.1.13)
Fazendo ax+by = z, e sendo z = g(x), temos
y =
1
b(z−ax). (4.1.14)
Derivando (4.1.14) em relac¸a˜o a x, obtemos
dy
dx =
1
b
(
dz
dx −a
)
(4.1.15)
31
Substituindo as equac¸o˜es (4.1.14) e (4.1.15) na equac¸a˜o (4.1.13), temos:
1
b
(
dz
dx −a
)
= f
(
z+ c
mz+ t
)
o que implica em
dz
dx = a+b f
(
z+ c
mz+ t
)
que e´ uma EDO de varia´veis separa´veis. Para resolvermos esta equac¸a˜o basta observar
(3.3.4).
Apresentamos a seguir um exemplo de uma EDO homogeˆnea de classe C.
Exemplo 4.3 Resolva as equac¸o˜es diferenciais homogeˆneas de classe C.
1.
dy
dx =
2x−3y−1
3x+ y−2 ;
2.
dy
dx =
x− y−1
x− y−2 .
Exercı´cio 4.1 Resolva as equac¸o˜es diferenciais homogeˆneas de classe C.
1.
dy
dx =
2x−3y
3x− y−1 ;
2.
dy
dx =
x+2y−4
2x+1y−5 .
3. dydx =
2x− y+1
6x−3y−1 ;
4.
dy
dx =
−2x−3y+1
2x+3y+2 .
4.2 EQUAC¸ ˜OES
EXATAS
Embora a EDO seja
ydx+ xdy = 0
seja Separa´vel e Homogeˆnea, podemos ver que ela e´ tambe´m equivalente a` diferencial do pro-
duto de x e y, isto e´
d(xy) = ydx+ xdy = 0.
Por integrac¸a˜o, obtemos imediatamente a soluc¸a˜o xy = c.
32
Voceˆ deve se lembrar do ca´lculo que, se z = f (x,y) e´ uma func¸a˜o com derivadas parciais
contı´nuas em uma regia˜o R do plano xy, enta˜o sua diferencial total e´
dz = ∂ f∂x dx+
∂ f
∂y dy.
Agora, se f (x,y) = c, segue-se que
∂ f
∂x dx+
∂ f
∂y dy = 0
Em outras palavras, dada uma famı´lia de curvas f (x,y) = c, podemos gerar uma equac¸a˜o
diferencial de primeira ordem, calculando a diferencial total.
Exemplo 4.4 Dada f (x,y) = x2−5xy+ y3 = c encontraremos dydx. Para isso, basta calcular a
diferencial total.
Para nossos propo´sitos, e´ mais importante inverter o problema, isto e´, dada uma equac¸a˜o
como
dy
dx =
5y−2x
−5x+3y2 , (4.2.16)
queremos encontrar uma func¸a˜o, neste caso f (x,y) = x2−5xy+ y3, onde
d(x2−5xy+ y3) = 0.
Observac¸a˜o 4.1 Note que a equac¸a˜o (4.2.16) na˜o e´ separa´vel nem homogeˆnea.
Definic¸a˜o 4.5 (Equac¸a˜o Exata) Uma expressa˜o diferencial
M(x,y)dx+N(x,y)dy
e´ uma diferencial exata em uma regia˜o R do plano xy se ela corresponde a` diferencial total de
algum func¸a˜o f (x,y). Uma equac¸a˜o diferencial da forma
M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0
e´ chamada de uma equac¸a˜o exata se a expressa˜o do lado esquerdo e´ uma diferencial exata.
Exemplo 4.5 Dada a func¸a˜o f (x,y) = x3y3 = c, observe que, a equac¸a˜o x2y3dx+ x3y2dy = 0
e´ exata.
O teorema a seguir e´ um teste para uma diferencial exata.
33
Teorema 4.1 (Crite´rio para uma Diferencial Exa ta) Sejam M(x,y) e N(x,y) func¸o˜es contı´nuas
com derivadas parciais contı´nuas em uma regia˜o retangular R definida por a< x< b, c< y< d.
Enta˜o, uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que
M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0
seja uma diferencial exata e´
∂M
∂y =
∂N
∂x
Prova de que a Condic¸a˜o e´ necessa´ria: Para simplificar, suponha que M(x,y) e N(x,y) tenham
derivadas parciais de primeira ordem contı´nuas em todo plano (x,y). Agora, se a expressa˜o
M(x,y)dx+N(x,y)dy e´ exata, existe algum func¸a˜o f tal que
M(x,y)dx+N(x,y)dy = ∂ f∂x dx+
∂ f
∂y dy
para todo (x,y) em R. Logo,
M(x,y) =
∂ f
∂x , N(x,y) =
∂ f
∂y ,
e
∂M
∂y =
∂
∂y
(∂ f
∂x
)
=
∂ 2 f
∂y∂x =
∂
∂x
(∂ f
∂y
)
=
∂N
∂x .
A igualdade das derivadas parciais mistas e´ uma consequeˆncia da continuidade das derivadas
parciais de primeira ordem de M(x,y) e N(x,y).
A prova de que a condic¸a˜o do teorema (4.1) e´ suficiente consiste em mostrar que existe uma
func¸a˜o f tal que ∂ f∂x = M(x,y) e
∂ f
∂y = N(x,y). A construc¸a˜o de tal func¸a˜o na verdade reflete
um procedimento ba´sica na resoluc¸a˜o para equac¸o˜es exatas.
Me´todo de Soluc¸a˜o: Dada a equac¸a˜o
M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0
mostre primeiro que
∂M
∂y =
∂N
∂x .
Depois suponha que
∂ f
∂x = M(x,y),
daı´ podemos encontrar f integrando M(x,y) com relac¸a˜o a x, considerando y constante. Escre-
34
vemos,
f (x,y) =
∫
M(x,y)dx+g(y), (4.2.17)
em que a func¸a˜o arbitra´ria g(y) e´ a constante de integrac¸a˜o. Agora, derivando (4.2.17) com
relac¸a˜o a y e supondo ∂ f∂y = N(x,y):
∂ f
∂y =
∂
∂y
∫
M(x,y)dx+g′(y) = N(x,y).
Assim
g′(y) = N(x,y)− ∂∂y
∫
M(x,y)dx (4.2.18)
Finalmente, integre (4.2.18) com relac¸a˜o a y e substitua o resultado em (4.2.17). A soluc¸a˜o
para a equac¸a˜o e´ f (x,y) = c.
Exemplo 4.6 Resolva a EDO
(1−2x2−2y)dydx = 4x
3 +4xy.
Algumas vezes, e´ possı´vel convertermos uma equac¸a˜o diferencial na˜o exata em uma equac¸a˜o
exata multiplicando-a por uma func¸a˜o µ(x,y) chamada “fator de integrac¸a˜o”.
Definic¸a˜o 4.6 (Fator de Integrac¸a˜o) Se
M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0
e´ multiplicada por µ(x,y) para obter
µ(x,y)M(x,y)dx+µ(x,y)N(x,y)dy = 0
cujo membro esquerdo e´ uma diferencial exata, dizemos que obtivemos uma equac¸a˜o diferencial
exata. A func¸a˜o de multiplicac¸a˜o µ e´ chamada fator de integrac¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0.
Dada a equac¸a˜o na˜o exata
M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0 (4.2.19)
queremos determinar um fator de integrac¸a˜o µ , onde supomos que µ depende apenas de uma
varia´vel. Temos dois casos, a considerar:
35
1. µ = µ(x)
Como µ e´ um fator de integrac¸a˜o para (4.2.19), ao multiplicarmos por µ , obtemos uma
equac¸a˜o exata da forma
µ(x)M(x,y)dx+µ(x)N(x,y)dy = 0
assim
∂ (µM)
∂y =
∂ (µN)
∂x ,
daı´
µMy = µxN +µNx
⇒ µMy−µNx = µxN
⇒ (My−Nx)µ = µxN
⇒ µxµ =
My−Nx
N
, N 6= 0.
⇒
∫ µx
µ dx =
∫ My−Nx
N
dx
⇒ ln µ =
∫ My−Nx
N
dx.
Obtemos o fator de integrac¸a˜o µ , que e´ dado por
µ(x) = e
∫ My−Nx
N dx , N 6= 0. (4.2.20)
2. µ = µ(y)
Raciocinando de forma ana´loga ao item anterior obtemos,
µ(y) = e
∫ Nx−My
M dy , M 6= 0.
Para melhor entendimento, apresentaremos os exemplos a seguir.
Exemplo 4.7 Dada a EDO
(x+ y)dx+ x lnxdy = 0,
encontraremos a sua soluc¸a˜o.
Exemplo 4.8 Resolva x2y3dx+ x3y2dy = 0.
Exercı´cio 4.2 Resolva (5y−2x)dx+(5x−3y2)dy = 0.
Exercı´cio 4.3 1. Resolva 2xydx+(x2−1)dy = 0.
36
2. Resolva o problema de valor inicial (PVI).{
(cosxsinx− xy2)dx+ y(1− x2)dy = 0
y(0) = 2
3. Resolva (e2y− ycosxy)dx+(2xe2y− xcosxy+2y)dy = 0.
4.3 EQUAC¸ ˜OES LINEARES
No capı´tulo (2) sec¸a˜o (2.1.3), definimos a forma geral para uma equac¸a˜o diferencial de
ordem n, como
an
dny
dxn +an−1(x)
dn−1y
dxn−1 + · · ·+a1(x)
dy
dx +a0(x)y = g(x)
Lembre-se de que linearidade em y significa que todos os coeficientes sa˜o func¸o˜es de x
somente e que y e todas as suas derivadas sa˜o elevadas a` primeira poteˆncia. Agora, quando
n = 1, obtemos uma “EDO linear de Primeira Ordem”,
a1(x)
dy
dx +a0(x)y = g(x).
Dividindo pelo coeficiente a1(x), temos
dy
dx +P(x)y = f (x) (4.3.21)
onde P(x) = a0(x)
a1(x)
e f (x) = g(x)
a1(x)
.
Definic¸a˜o 4.7 (Equac¸a˜o Linear) Uma equac¸a˜o diferencial da forma
dy
dx +P(x)y = f (x) (4.3.22)
e´ chamada de equac¸a˜o linear.
Me´todo de Soluc¸a˜o: Usando diferenciais, podemos escreveˆ-la, como
dy+[P(x)y− f (x)]dx = 0. (4.3.23)
Equac¸o˜es lineares possuem a agrada´vel propriedade atrave´s da qual podemos sempre en-
contrar uma func¸a˜o µ(x) em que
µ(x)dy+µ(x)[P(x)y− f (x)]dx = 0, (4.3.24)
37
e´ uma equac¸a˜o diferencial exata. Logo
∂
∂x(µ(x)) =
∂
∂y [µ(x)(P(x)y− f (x))] (4.3.25)
enta˜o
dµ
dx = µ(x)P(x).
Esta e´ uma equac¸a˜o separa´vel em que podemos determinar µ(x). Sendo µ(x) 6= 0, temos
dµ
µ(x) = P(x)dx. (4.3.26)
Enta˜o
ln µ =
∫
P(x)dx (4.3.27)
assim
µ(x) = e
∫
P(x)dx (4.3.28)
A func¸a˜o µ(x) definida em (4.3.28) e´ um fator de integrac¸a˜o para a equac¸a˜o linear (4.3.22).
Note que na˜o precisamos usar uma constante de integrac¸a˜o em (4.3.27), pois (4.3.25) na˜o se
altera se multiplicarmos por uma constante. Observe que µ(x) 6= 0 para todo x em I.
Multiplicando a equac¸a˜o (4.3.22) por (4.3.28), obtemos
e
∫
P(x)dx
[
dy
dx +P(x)y
]
= e
∫
P(x)dx f (x), (4.3.29)
daı´
d
dx
[
e
∫
P(x)dxy
]
= e
∫
P(x)dx f (x). (4.3.30)
Integrando esta equac¸a˜o, obtemos
y = e−
∫
P(x)dx
∫
e
∫
P(x)dx f (x)dx+ ce−
∫
P(x)dx. (4.3.31)
Em outras palavras, se (4.3.22) tiver uma soluc¸a˜o, ela devera´ ser da forma (4.3.31). Reci-
procamente, e´ imediato que (4.3.31) constitui uma famı´lia a um paraˆmetro de soluc¸o˜es para a
equac¸a˜o (4.3.22).
Observac¸a˜o 4.2 Uma equac¸a˜o diferencial da forma
dy
dx +P(x)y = f (x) (4.3.32)
38
e´ chamada de equac¸a˜o linear.
a) Se P(x) = 0 temos, em particular, uma EDO Quadratura. Veja (3.1.5);
b) Se f (x) = 0 temos, em particular, uma EDO separa´vel. Veja (3.3.4);
b) Se f e P forem constantes, temos uma EDO Quadratura. Veja (3.1.5);
Exemplo 4.9 Dada
a equac¸a˜o diferencial
dy
dx −
4
x
y = x5ex (4.3.33)
vamos obter sua soluc¸a˜o.
Soluc¸a˜o Geral - Por hipo´tese P(x) e f (x) sa˜o contı´nuas em um intervalo I e x0 e´ um ponto
desse intervalo. Enta˜o, segue-se do Teorema 3.1 que existe uma u´nica soluc¸a˜o para o problema
de valor inicial 

dy
dx +P(x)y = f (x)
y(x0) = y0
(4.3.34)
Mas vimos antes que (4.3.22) possui uma famı´lia de soluc¸o˜es e que toda soluc¸a˜o para a
equac¸a˜o no intervalo I tem a forma (4.3.31). Logo, obter a soluc¸a˜o para (4.3.34) e´ uma simples
questa˜o de encontrar um valor apropriado de c em (4.3.31). Consequentemente estamos certos
em chamar (4.3.31) de soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial. Voceˆ deve se lembrar de que em
va´rias ocasio˜es encontramos soluc¸o˜es singulares para equac¸o˜es na˜o lineares. Isso na˜o pode
acontecer no caso de uma equac¸a˜o linear em que P(x) e f (x) sa˜o contı´nuas.
Exemplo 4.10 Resolva o problema de valor inicial (P.V.I)

dy
dx +2xy = x
y(0) = −3
(4.3.35)
Exercı´cio 4.4 1. Encontre a soluc¸a˜o geral para
(x2 +9)dydx + xy = 0
2. Resolva o problema de valor inicial (P.V.I)
 x
dy
dx + y = 2x
y(1) = 0
(4.3.36)
39
3. Resolva o problema de valor inicial (P.V.I)

dy
dx =
1
x+ y2
y(−2) = 0
(4.3.37)
4. Encontre uma soluc¸a˜o contı´nua satisfazendo

dy
dx + y = f (x)
y(0) = 0
(4.3.38)
em que f (x) =
{
1 se 0 ≤ x ≤ 1
0 se x > 1
4.4 EQUAC¸ ˜AO DE BERNOULLI
Definic¸a˜o 4.8 (Equac¸a˜o de Bernoulli) A equac¸a˜o diferencial
dy
dx +P(x)y(x) = f (x)y(x)
n (4.4.39)
em que n e´ um nu´mero real qualquer, e´ chamada de equac¸a˜o de Bernoulli. Para n = 0 e n = 1,
a equac¸a˜o (4.4.39) e´ linear em y.
Me´todo de Soluc¸a˜o: Se y 6= 0, a equac¸a˜o (4.4.39) pode ser escrita como
y−n
dy
dx +P(x)y
−n · y = f (x) .
Enta˜o
y−n
dy
dx +P(x)y
1−n = f (x) . (4.4.40)
Se fizermos w = y1−n, com n 6= 0 e n 6= 1, temos
dw
dx = (1−n)y
−n dy
dx
Com esta substituic¸a˜o, a equac¸a˜o (4.4.40) transforma-se na equac¸a˜o
dw
dx +(1−n)P(x)w = (1−n) f (x) , (4.4.41)
que e´ uma EDO linear. Resolvendo (4.4.41) e depois substituindo y1−n = w, obtemos a soluc¸a˜o
de (4.4.39).
40
Observac¸a˜o 4.3 A equac¸a˜o diferencial
dy
dx +P(x)y(x) = f (x)y(x)
n (4.4.42)
em que n e´ um nu´mero real qualquer, e´ chamada de equac¸a˜o de Bernoulli (MURPHY, 1960).
a) Se n = 0 ou n = 1 temos, em particular, uma EDO Linear de Primeira Ordem. Veja (4.3.23);
b) Se P(x) = 0 ou f (x) = 0 temos, em particular, uma EDO separa´vel. Veja (3.3.4);
b) Se f e P forem constantes, temos uma EDO Quadratura. Veja (3.1.5);
Exemplo 4.11 Vamos aplicar o me´todo de soluc¸a˜o para resolver a equac¸a˜o de Bernoulli
dy
dx +
1
x
y = xy2. (4.4.43)
4.5 EQUAC¸ ˜AO DE RICATTI
Definic¸a˜o 4.9 (Equac¸a˜o De Ricatti) A equac¸a˜o diferencial na˜o linear
dy
dx = P(x)+Q(x)y+R(x)y
2 (4.5.44)
e´ chamada de equac¸a˜o de Ricatti.
Me´todo de Soluc¸a˜o: Se y1 e´ uma soluc¸a˜o particular para a equac¸a˜o (4.5.44), enta˜o as substituic¸o˜es
y = y1 +u e
dy
dx =
dy1
dx +
du
dx
na equac¸a˜o (4.5.44) produzem a seguinte equac¸a˜o diferencial na varia´vel u:
du
dx − (Q+2y1R)u = Ru
2 (4.5.45)
Como (4.5.45) e´ uma equac¸a˜o de Bernoulli com n = 2, ela pode, por sua vez, pode ser
reduzida a` Equac¸a˜o Linear
dw
dx +(Q+2y1R)w = −R (4.5.46)
atrave´s da substituic¸a˜o w = u−1. Ao encontrarmos, u na equac¸a˜o (4.5.46), basta substituirmos
na relac¸a˜o
y = y1 +u
41
e teremos a soluc¸a˜o da EDO.
Observac¸a˜o 4.4 A equac¸a˜o diferencial na˜o linear
dy
dx = P(x)+Q(x)y+R(x)y
2 (4.5.47)
a) Se P(x) = 0 a equac¸a˜o (4.5.47) passa a ser uma EDO de Bernoulli;
b) Se R(x) = 0 a equac¸a˜o (4.5.47) passa a ser EDO Linear de Primeira Ordem;
c) Se P, Q e R forem constantes, temos uma EDO Quadratura. Veja (3.1.5);
Exemplo 4.12 Dada a EDO
dy
dx = 2−2xy+ y
2 , (4.5.48)
encontre sua soluc¸a˜o.
4.6 EQUAC¸ ˜AO DE CLAIRAUT
Definic¸a˜o 4.10 (Equac¸a˜o De Clairaut) Toda equac¸a˜o diferencial de 1a ordem da forma
y = x
dy
dx +g
(
dy
dx
)
(4.6.49)
e´ chamada de Equac¸a˜o de Clairaut onde g e´ uma func¸a˜o diferencia´vel.
Me´todo de Soluc¸a˜o: Para resolver a equac¸a˜o (4.6.49) fazemos a mudanc¸a de varia´vel
dy
dx = p. Assim, a equac¸a˜o (4.6.49) passa a ser
y = xp+g(p) . (4.6.50)
Derivando (4.6.50) com relac¸a˜o a x, obtemos
dy
dx = p+ xp
′+g′(p).p′
p = p+ xp′+g′(p).p′
(x+g′(p))p′ = 0
enta˜o
p′ = 0 ou x+g′(p) = 0
42
Caso 1: Soluc¸a˜o geral
Se p′ = 0 enta˜o p = c. Devido ao fato de dydx = p temos
dy
dx = c. Portanto a soluc¸a˜o geral
e´
y = cx+g(c).
Concluı´mos que y = cx+g(c) e´ uma famı´lia de retas em que c e´ uma constante arbitra´ria.
Caso 2: Soluc¸a˜o singular
Se x+g′(p) = 0 podemos obter outra soluc¸a˜o da equac¸a˜o (4.6.50) eliminando p entre as
equac¸o˜es {
x+g′(p) = 0
y = xp+g(p)
Esta soluc¸a˜o e´ conhecida como soluc¸a˜o singular da equac¸a˜o de Clairaut a qual conduz
sempre a uma envolto´ria da famı´lia de retas definida pela soluc¸a˜o geral.
Observac¸a˜o 4.5 Envolto´ria e´ uma curva que e´ tangente a todas as curvas da famı´lia de curvas.
Exemplo 4.13 Resolveremos a EDO
y = x
dy
dx +
1
2
(
dy
dx
)2
(4.6.51)
como exemplo de uma EDO de Clairaut.
4.7 EQUAC¸ ˜AO DE D’ALEMBERT
Definic¸a˜o 4.11 (Equac¸a˜o de D’Alembert) A forma geral da equac¸a˜o diferencial ordina´ria de
d’Alembert e´ dada por:
y = x f
(
dy
dx
)
+g
(
dy
dx
)
onde f e g sa˜o func¸o˜es arbitra´rias. Esta EDO e´ uma generalizac¸a˜o da E.D.O. de Clairaut.
Me´todo de Soluc¸a˜o: Fazendo
dy
dx = p
temos
y = x f (p)+g(p) .
Daı´
dy
dx = 1 f (p)+ x f
′ (p)
d p
dx +g
′ (p)
d p
dx
43
logo,
p = f (p)+ x f ′ (p) d pdx +g
′ (p)
d p
dx ,
ou ainda,
(x f ′ (p)+g′ (p))d pdx = p− f (p)
Caso 1: p− f (p) 6= 0;
Se p− f (p) 6= 0, temos: (
x
f ′ (p)
p− f (p) +
g′ (p)
p− f (p)
)
d p
dx = 1
ou ainda
x
f ′ (p)
p− f (p) +
g′ (p)
p− f (p) =
dx
d p
ou seja,
dx
d p −
f ′ (p)
p− f (p)x =
g′ (p)
p− f (p)
que e´ uma equac¸a˜o linear em x.
Caso 2: p− f (p) = 0.
Se existe algum p0 tal que p0− f (p0) = 0, temos que,
y = p0x+g(p0)
e´ soluc¸a˜o singular da EDO. De fato, dada a equac¸a˜o,
y = x f
(
dy
dx
)
+g
(
dy
dx
)
e y = p0x+g(p0) temos
dy
dx = p0
e
y = x f (p0)+g(p0)
p0x+g(p0) = x f (p0)+g(p0)
p0x = x f (p0)
p0x− x f (p0) = 0
(p0− f (p0))x = 0
0 = 0
44
Exemplo 4.14 Resolva a equac¸a˜o de D’Alembert
y = x
(
y′+
1
y′
)
+(y′)4 . (4.7.52)
Exercı´cio 4.5 Resolva a equac¸a˜o de Bernoulli dada.
1. x
dy
dx + y =
1
y2
;
2.
dy
dx = y(xy
3−1);
3. x2 dydx + y
2 = xy
Exercı´cio 4.6 Resolva a equac¸a˜o diferencial dada sujeita a` condic¸a˜o inicial indicada.
1.


x2
dy
dx −2xy = 3y
4
y(1) =
1
2
2.

 xy(1+ xy
2)
dy
dx = 1
y(1) = 0
Exercı´cio 4.7 Resolva a equac¸a˜o de Ricatti dada: y1 e´ uma soluc¸a˜o conhecida para a equac¸a˜o.
1.


dy
dx = −2− y+ y
2
y1 = 2
2.


dy
dx = −
4
x2
− 1
x
y+ y2
y1 =
2
x
Exercı´cio 4.8 Resolva a equac¸a˜o de Clairaut dada. Obtenha uma soluc¸a˜o singular.
1. y = xy′+1− lny′;
2. y = x
dy
dx −
(
dy
dx
)3
.
Exercı´cio 4.9 Resolva as Equac¸o˜es Diferenciais de D’Alembert.
1. y = 2x
(
dy
dx
)
− x
(
dy
dx
)2
45
2. y = 2x
dy
dx +
1
dy
dx
3. y = xdxdy −
dy
dx
4. y =
(
1+
dy
dx
)
x+
(
dy
dx
)2
5. y =−1
2
(
dy
dx
)(
2x+
dy
dx
)
;
6. y = 2x
(
dy
dx
)
+
(
dy
dx
)2
;
7. y = y
(
dy
dx
)2
+2x
(
dy
dx
)
.
4.8 APLICAC¸ ˜OES DE EQUAC¸ ˜OES N ˜AO LINEARES
A mais simples ideia, idealizada por Thomas Malthus,
conhecida como Crescimento Expo-
nencial, diz que, assumindo-se y = φ(x) como a populac¸a˜o de uma dada espe´cie no tempo x, a
taxa de variac¸a˜o de y e´ proporcional ao valor corrente desta mesma populac¸a˜o, ou seja,
dy
dx = ry, (4.8.53)
onde a constante de proporcionalidade r e´ chamada de taxa de crescimento ou declı´nio, depen-
dendo de seu sinal. Quando r > 0, a soluc¸a˜o deste modelo prediz que a populac¸a˜o crescera´
exponencialmente por todo o tempo. Em condic¸o˜es ideais, este crescimento pode ser obser-
vado em muitas populac¸o˜es, no entanto, em condic¸o˜es na˜o ideais, a possı´vel falta de comida,
suprimentos ou outros recursos podem reduzir a taxa de crescimento e dar fim ao crescimento
exponencial.
Nesse contexto, P. F. Verhulst, lapidou a ideia e formulou um modelo mais pro´ximo da
realidade, o Crescimento Logı´stico. Tal modelo considera que a taxa de crescimento depende
da populac¸a˜o atual, mas substitui a constante r na Eq.(4.8.53) por uma func¸a˜o h(y), obtendo
uma equac¸a˜o modificada de forma que h(y) ≈ r quando o valor de y e´ pequeno, h(y) decresce
com o crescimento de y, e h(y)< 0 quando y e´ suficientemente grande. A mais simples func¸a˜o
tendo estas propriedades e´ h(y) = r−ay, com r > 0 e a > 0, obte´m-se enta˜o
dy
dx = (r−ay)y. (4.8.54)
46
A Eq.(4.8.54) e´ conhecida como Equac¸a˜o de Verhulst ou Equac¸a˜o Diferencial Logı´stica e e´
conveniente escreve-la em sua forma equivalente
dy
dx = r
(
1− y
K
)
y, (4.8.55)
onde K = r/a.
A constante r e´ chamada de Taxa de Crescimento Intrı´nseca, isto e´, a taxa de crescimento na
auseˆncia de qualquer fator limitante e K, conhecido como Nı´vel de Saturac¸a˜o, ou a Capacidade
de Suporte Ambiental, e´ o limite superior, abordado, mas nunca ultrapassado pelo crescimento
populacional iniciado abaixo dele, conforme pode ser visto na Figura (3) obtida com o auxı´lio
do Maple.
Ale´m disso, tem como soluc¸o˜es constantes y = φ1(x) = 0 e y = φ2(x) = K. Estas soluc¸o˜es
sa˜o chamadas Soluc¸o˜es de Equilı´brio da Eq.(4.8.55) pois elas na˜o correspondem a qualquer
mudanc¸a ou variac¸a˜o em y com o aumento de x .
Figura 3: Visualizac¸a˜o gra´fica via Maple.
Exemplo 4.15 Suponha que um estudante infectado com um vı´rus da gripe retorne a uma fa-
culdade isolada no campus onde se encontram 1000 estudantes. Presumindo que a taxa na
qual o vı´rus se espalha e´ proporcional na˜o somente a` quantidade y de alunos infectados, mas
tambe´m a` quantidade de alunos na˜o infectados, determine o nu´mero de alunos infectados apo´s
6 dias se ainda e´ observado que depois de 4 dias existem 50 alunos infectados.
Exercı´cio 4.10 O nu´mero de supermercados C(t) no paı´s que esta˜o usando um sistema com-
47
putadorizado e´ descrito pelo problema de valor inicial

dC
dt = C(1−0,0005C)
C(0) = 1
em que t > 0. Quantos supermercados estara˜o usando sistemas computadorizados quando
t = 10? Quantos companhias estara˜o adotando esse novo procedimento depois de um longo
perı´odo de tempo?
Exercı´cio 4.11 O nu´mero de pessoas N(t) em uma comunidade que sa˜o expostas a um anu´ncio
em particular e´ dado pela equac¸a˜o logı´stica. Inicialmente N(0) = 500, e e´ observado que
N(1) = 1000. Esta´ previsto que o nu´mero ma´ximo de pessoas na comunidade que vera˜o o
anu´ncio sera´ de 50.000. Determine N(t) em qualquer tempo.
Exercı´cio 4.12 A populac¸a˜o P(t) de uma grande cidade e´ descrita pelo problema de valor
inicial 

dP
dt = P(10
−1−10−7P)
P(0) = 5000
em que t e´ medido em meses. Qual e´ o valor limite da populac¸a˜o? Quando a populac¸a˜o sera´
igual a metade desse valor limite?
Exercı´cio 4.13 Um grande tanque esta´ com 100 litros de um fluido no qual foram dissolvidos
10 gramas de sal. Uma salmoura contendo 1
2
grama de sal por litro e´ bombeado para dentro do
tanque a uma taxa de 6 litros por minuto (6 l/min). A soluc¸a˜o bem misturada e´ enta˜o bombeada
para fora a uma taxa de 4 l/min.
1. Ache a quantidade de gramas de sal no tanque apo´s 30 minutos;
2. O tamanho do tanque contendo a mistura de sal na˜o foi dado. ´E claro que, uma vez que
a salmoura esta´ se acumulando no tanque a uma taxa de 2l/min, qualquer tanque finito
deve, mais cedo ou mais tarde, derramar. Suponha agora que o tanque tenha uma tampa
aberta e uma capacidade total de 400 litros.
(a) Quando o tanque transbordara´?
(b) No instante em que estiver transbordando, qual sera´ a quantidade de gramas de sal
no tanque?
48
(c) Suponha que, embora o tanque esteja transbordando, a soluc¸a˜o salina continue a
ser bombeada para dentro a uma taxa de 6 l/min e a soluc¸a˜o bem misturada continue
a ser bombeada para fora a uma taxa de 4 l/min. Crie um me´todo para determinar
a quantidade de gramas de sal no tanque no instante t = 250 min.
(d) Determine a quantidade de gramas de sal no tanque quando t → ∞.
Exercı´cio 4.14 Resolva a equac¸a˜o diferencial homogeˆnea de classe A
dy
dx =
x2 + y2
xy− x2
Exercı´cio 4.15 Resolva a equac¸a˜o diferencial homogeˆnea de classe C
dy
dx =
2x−3y−1
3x+ y−2
Exercı´cio 4.16 Resolva a equac¸a˜o diferencial homogeˆnea de classe A
(x2e−
y
x + y2)dx = xydy.
Exercı´cio 4.17 Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o de Ricatti (1+x3)dydx +2xy
2+x2y+1= 0,
sabendo-se que y =−x e´ uma soluc¸a˜o particular.
Exercı´cio 4.18 Resolva a equac¸a˜o diferencial na˜o exata y2dx+(xy+1)dy = 0.
Exercı´cio 4.19 Resolva a equac¸a˜o de D’Alembert dydx
(
x
dy
dx − y+5
)
+4 = 0.
Exercı´cio 4.20 Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o de Ricatti
dy
dx + y
2 = x2−2x
sabendo-se que y = 1− x e´ soluc¸a˜o particular.
49
5 EQUAC¸ ˜OES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM SUPERIOR
5.1 TEORIA PRELIMINAR
Comec¸amos a discussa˜o sobre equac¸o˜es diferenciais de ordem maior, como fize-
mos com equac¸o˜es de primeira ordem, com a noc¸a˜o de um problema de valor inicial. Pore´m,
concentramos nossa atenc¸a˜o nas equac¸o˜es diferenciais lineares.
5.1.1 Problema de Valor Inicial e de Valor de Contorno
Problema de Valor Inicial
Para uma equac¸a˜o diferencial de n-e´sima ordem, o problema
 Resolva : an(x)
dny
dxn +an−1(x)
dn−1y
dxn−1 + · · ·+a1(x)
dy
dx +a0(x)y = g(x)
Su jeita : y(x0) = y0, y′(x0) = y′0, · · · ,y(n−1)(x0) = y(n−1)0
(5.1.1)
em que y0,y′0, · · · ,y(n−1)0 sa˜o constantes arbitra´rias, e´ chamado de um problema de valor ini-
cial. Os valores especı´ficos y(x0) = y0, y′(x0) = y′0, · · · , y(n−1)(x0) = y(n−1)0 sa˜o chamados de
condic¸o˜es iniciais. Procuramos uma soluc¸a˜o em algum intervalo I contendo x0.
No caso de uma equac¸a˜o linear de segunda ordem, uma soluc¸a˜o para o problema de valor
inicial 
 Resolva : a2(x)
d2y
dx2 +a1(x)
dy
dx +a0(x)y = g(x)
Su jeita : y(x0) = y0, y′(x0) = y′0
(5.1.2)
e´ uma func¸a˜o que satisfac¸a a equac¸a˜o diferencial em I cujo gra´fico passa pelo ponto (x0,y0)
com inclinac¸a˜o igual a y′0.
O pro´ximo teorema nos fornece condic¸o˜es suficientes para a existeˆncia de uma u´nica soluc¸a˜o
para (5.1.1).
Teorema 5.1 (Existeˆncia de uma ´Unica Soluc¸a˜o) - Sejam an(x),a(n−1)(x), · · · ,a1(x),a0(x) e
g(x) contı´nuas em um intervalo I com an(x) 6= 0 para todo x neste intervalo. Se x = x0 e´ algum
50
ponto deste iintervalo, enta˜o existe uma u´nica soluc¸a˜o y(x) para o problema de valor inicial
(5.1.1) neste intervalo.
Exemplo 5.1 Verifique se y = 3e2x + e−2x−3x e´ a u´nica soluc¸a˜o para o{
y′′−4y = 12x
y(0) = 4, y′(0) = 1
Exemplo 5.2 Verifique se y ≡ 0 e´ a u´nica soluc¸a˜o para o{
3y′′′+5y′′− y′+7y = 0
y(1) = 0, y′(1) = 0, y′′(1) = 0
Exemplo 5.3 Verifique se a func¸a˜o y = 1
4
sin4x e´ a u´nica soluc¸a˜o para o
{
y′′+16y = 0
y(0) = 0, y′(0) = 1
Observac¸a˜o 5.1 No teorema (5.1), a continuidade de ai(x); i= 0,1,2, · · · ,n e a hipo´tese an(x) 6=
0 para todo x em I sa˜o ambas importantes. Especificamente, se an(x) = 0 para algum x no
in-
tervalo, enta˜o a soluc¸a˜o para um problema de valor inicial linear pode na˜o ser u´nica ou nem
mesmo existir.
Exemplo 5.4 Verifique se a func¸a˜o y = cx2+x+3 e´ a u´nica soluc¸a˜o para o problema de valor
inicial {
x2y′′−2xy′+2y = 6
y(0) = 3, y′(0) = 1
no intervalo de (−∞,+∞) para qualquer escolha do paraˆmetro c.
Problema de Valor de Contorno
Um outro tipo de problema consiste em resolver uma equac¸a˜o diferencial de ordem dois ou
maior na qual a varia´vel dependente y ou suas derivadas sa˜o especificadas em pontos diferentes.
Um problema como
 Resolva : a2(x)
d2y
dx2 +a1(x)
dy
dx +a0(x)y = g(x)
Su jeita : y(a) = y0, y(b) = y1
51
e´ chamado de problema de valor de contorno. Os valores especificados y(a) = y0 e y(b) = y1
sa˜o chamados de condic¸o˜es de contorno ou de fronteira. Uma soluc¸a˜o para o problema em
questa˜o e´ uma func¸a˜o que satisfac¸a a equac¸a˜o diferencial em algum intervalo I, contendo a e b,
cujo gra´fico passa pelos pontos (a,y0) e (b,y1).
Exemplo 5.5 Verifique que, no intervalo (0,+∞), a func¸a˜o y = 3x2−6x+3 satisfaz a equac¸a˜o
diferencial e as condic¸o˜es de contorno do problema de valor de contorno{
x2y′′−2xy′+2y = 6
y(1) = 0, y(2) = 3
Para uma equac¸a˜o diferencial de segunda ordem, outras condic¸o˜es de contorno podem ser
1. y′(a) = y′0 , y(b) = y1;
2. y(a) = y0 , y′(b) = y′1;
3. y′(a) = y′0 , y′(b) = y′1.
em que y0,y′0,y1 ey′1 denotam constantes arbitra´rias.
Os pro´ximos exemplos mostram que, mesmo quando as condic¸o˜es do teorema (5.1) sa˜o
satisfeitas, um problema de valor de contorno pode ter:
1. va´rias soluc¸o˜es;
2. uma u´nica soluc¸a˜o;
3. nenhuma soluc¸a˜o.
Exemplo 5.6 Verifique se y = c1 cos4x+ c2 sin4x e´ uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o
y′′+16y = 0
Suponha agora que queiramos determinar aquela soluc¸a˜o para a equac¸a˜o que tambe´m satisfac¸a
as condic¸o˜es de contorno.
1. y(0) = 0 , y(pi2 ) = 0;
2. y(0) = 0 , y(pi8 ) = 0;
3. y(0) = 0 , y(pi2 ) = 1.
52
LISTA DE EXERC´ICIOS
1. Sabe-se que y = c1ex+c2e−x e´ uma famı´lia a dois paraˆmetros de soluc¸o˜es para y′′−y = 0
no intervalo (−∞,+∞). Encontre um membro dessa famı´lia satisfazendo as condic¸o˜es
iniciais y(0) = 0 , y′(0) = 1.
2. Sabe-se que y = c1e4x + c2e−x e´ uma famı´lia a dois paraˆmetros de soluc¸o˜es para y′′−
3y′−4y = 0 no intervalo (−∞,+∞). Encontre um membro dessa famı´lia satisfazendo as
condic¸o˜es iniciais y(0) = 1 , y′(0) = 2.
3. Sabe-se que y = c1x+ c2x lnx e´ uma famı´lia a dois paraˆmetros de soluc¸o˜es para x2y′′−
xy′+ y = 0 no intervalo (−∞,+∞). Encontre um membro dessa famı´lia satisfazendo as
condic¸o˜es iniciais y(1) = 3 , y′(1) =−1.
4. Sabe-se que y = c1ex cosx+ c2ex sinx e´ uma famı´lia a dois paraˆmetros de soluc¸o˜es para
y′′−2y′+2y = 0 no intervalo (−∞,+∞). Encontre, se existir, um membro dessa famı´lia
satisfac¸a as condic¸o˜es.
(a) y(0) = 1, y′(0) = 0;
(b) y(0) = 1, y′(pi) =−1;
(c) y(0) = 1, y(pi2 ) = 1;
(d) y(0) = 1, y(pi) = 0.
5.1.2 Dependeˆncia Linear e Independeˆncia Linear
Os dois pro´ximos conceitos sa˜o ba´sicos para o estudo de equac¸o˜es diferenciais lineares.
Definic¸a˜o 5.1 (Dependeˆncia Linear) - Dizemos que um conjunto de func¸o˜es
f1(x), f2(x), · · · , fn(x)
e´ linearmente dependente em um intervalo I se existirem constantes c1,c2, · · · ,cn na˜o todas
nulas, tais que
c1 f1(x)+ c2 f2(x)+ · · ·+ cn fn(x) = 0
para todo x no intervalo.
Definic¸a˜o 5.2 (Independeˆncia Linear) - Dizemos que um conjunto de func¸o˜es
f1(x), f2(x), · · · , fn(x)
53
e´ linearmente independente em um intervalo I se ela na˜o e´ linearmente dependente no inter-
valo.
Em outras palavras, um conjunto de func¸o˜es e´ linearmente independente em um intervalo
se as u´nicas constantes para as quais
c1 f1(x)+ c2 f2(x)+ · · ·+ cn fn(x) = 0
para todo x no intervalo, sa˜o c1 = c2 = · · ·= cn = 0.
´E fa´cil de entender essas definic¸o˜es no caso de duas func¸o˜es f1(x) e f2(x). Se as func¸o˜es
sa˜o linearmente dependentes em um intervalo, enta˜o existem constantes c1 e c2, que na˜o sa˜o
ambas nulas, tais que, para todo x no intervalo,
c1 f1(x)+ c2 f2(x) = 0
Portanto, se supomos c1 6= 0, segue-se que
f1(x) =−c2
c1
f2(x)
isto e´, se duas func¸o˜es sa˜o linearmente dependentes, enta˜o uma e´ simplesmente uma constante
mu´ltipla da outra.
Reciprocamente, se f1(x) = c2 f2(x) para alguma constante c2, enta˜o
(−1) f1(x)+ c2 f2(x) = 0
para todo x em algum intervalo. Logo, as func¸o˜es sa˜o linearmente dependentes, pois pelo menos
uma das constantes (a saber c1 =−1) na˜o e´ nula. Concluı´mos que duas func¸o˜es sa˜o linearmente
independentes quando nenhuma delas e´ mu´ltipla da outra em um intervalo.
Exemplo 5.7 Verifique se as func¸o˜es f1(x) = sin2x e f2(x) = sinxcosx sa˜o linearmente depen-
dentes no intervalo de (−∞,+∞).
Exemplo 5.8 Verifique se as func¸o˜es f1(x) = x e f2(x) = |x| sa˜o linearmente dependentes ou
linearmente independentes no intervalo de (−∞,+∞).
Observac¸a˜o 5.2 Na considerac¸a˜o de dependeˆncia linear ou independeˆncia linear, o intervalo
no qual as func¸o˜es sa˜o definidas e´ importante. As func¸o˜es f1(x) = x e f2(x) = |x| do exemplo
(5.8) sa˜o linearmente dependentes no intervalo (0,+∞), pois
c1x+ c2|x|= c1x+ c2x = 0
54
e´ satisfeita se, por exemplo, c1 = 1 e c2 =−1.
Exemplo 5.9 Verifique se as func¸o˜es f1(x) = cos2 x, f2(x) = sin2 x, f3(x) = sec2 x e f4(x) =
tan2 x sa˜o linearmente dependentes no intervalo de
(
−pi
2
,+
pi
2
)
.
Dizemos que um conjunto de func¸o˜es
f1(x), f2(x), · · · , fn(x)
e´ linearmente dependentes em um intervalo se pelo menos uma func¸a˜o pode ser expressa como
uma combinac¸a˜o linear das outras func¸o˜es.
Exemplo 5.10 Verifique se as func¸o˜es f1(x) =√x+5, f2(x) =√x+5x, f3(x) = x−1 e f4(x) =
x2 sa˜o linearmente dependentes no intervalo de (0,+∞).
Wronskiano
O seguinte teorema proporciona condic¸a˜o suficiente para a independeˆncia linear de n func¸o˜es
em um intervalo. Supomos que cada func¸a˜o seja diferencia´vel pelo menos n−1 vezes.
Teorema 5.2 (Crite´rio para Independeˆncia Linear de Func¸o˜es)- Suponha que
f1(x), f2(x), · · · , fn(x)
sejam diferencia´veis pelo menos n−1 vezes. Se o determinante∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
f1 f2 · · · fn
f ′1 f ′2 · · · f ′n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
f (n−1)1 f (n−1)2 · · · f (n−1)n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
for diferente de zero em pelo menos um ponto do intervalo I, enta˜o as func¸o˜es f1(x), f2(x), · · · , fn(x)
sera˜o linearmente independentes no intervalo.
O determinante do teorema precedente e´ denotado por
W ( f1(x), f2(x), · · · , fn(x))
e e´ chamado o Wronskiano das func¸o˜es.
55
Observac¸a˜o 5.3 Josef Maria Hoe¨ne Wronski (1778-1853) Nascido na Poloˆnia e educado
na Alemanha, Wronski passou a maior parte de sua vida na Franc¸a. Mais um filo´sofo do
que um matema´tico, ele acreditou que a verdade absoluta poderia ser alcanc¸ada atrave´s da
matema´tica. Sua u´nica contribuic¸a˜o digna de nota a` matema´tica foi o determinante acima.
Sempre um exceˆntrico, eventualmente tinha crises de insanidade.
Corola´rio 5.1 Se f1(x), f2(x), · · · , fn(x) possuem pelo menos (n− 1) derivadas e sa˜o linear-
mente dependentes em I, enta˜o
W ( f1(x), f2(x), · · · , fn(x)) = 0
para todo x no intervalo.
Exemplo 5.11 Verifique se as func¸o˜es f1(x) = em1x e f2(x) = em2x tal que m1 6= m2 sa˜o L.I.
Exemplo 5.12 Verifique se as func¸o˜es f1(x) = sin2 x e f2(x) = 1− cos2x sa˜o linearmente de-
pendentes no intervalo de (−∞,+∞), depois calcule o W ( f1(x), f2(x)).
Exemplo 5.13 Verifique que se α e β sa˜o nu´meros reais, β 6= 0, enta˜o y1 = eαx cos(βx) e
y2 = eαx sin(βx) sa˜o linearmente independentes em qualquer intervalo do eixo x.
Observac¸a˜o 5.4 Vimos no exemplo (5.8) que f1(x) = x e f2(x) = |x| sa˜o linearmente indepen-
dentes no intervalo (−∞,+∞), pore´m, na˜o e´ possı´vel calcular
o Wronskiano, pois f2 na˜o e´
difetencia´vel em x = 0.
Um conjunto de func¸o˜es f1(x), f2(x), · · · , fn(x) pode ser linearmente independente em al-
gum intervalo, mesmo que o Wronskiano seja nulo.
Exemplo 5.14 Verifique que:
1. f1 = x2 e f2 = x|x| sa˜o linearmente independentes em (−∞,+∞).
2. W ( f1(x), f2(x)) = 0 para todo nu´mero real.
Exercı´cio 5.1 Determine se as func¸o˜es dadas sa˜o linearmente independentes ou dependentes
em (−∞,+∞).
1. f1(x) = x, f2(x) = x2, f3(x) = 4x−3x2;
56
2. f1(x) = 5, f2(x) = cos2 x, f3(x) = sin2 x;
3. f1(x) = x, f2(x) = x−1, f3(x) = x+3;
4. f1(x) = 1+ x, f2(x) = x, f3(x) = x2.
Exercı´cio 5.2 Mostre, calculando o Wronskiano, que as func¸o˜es dadas sa˜o linearmente inde-
pendentes no intervalo indicado.
1. x
1
2 , x2; (0,+∞).
2. sinx, cscx; (0,pi).
3. ex, e−x, e4x; (−∞,+∞).
4. ex, xex e x2ex; (−∞,+∞).
5.1.3 Soluc¸o˜es Para Equac¸o˜es Lineares
Equac¸o˜es Homogeˆneas
Uma equac¸a˜o diferencial de n-e´sima ordem da forma
an(x)
dny
dxn +an−1(x)
d(n−1)y
dx(n−1)
+ · · ·+a1(x)dydx +a0(x)y = 0
(5.1.1)
e´ chamada homogeˆnea, enquanto
an(x)
dny
dxn +an−1(x)
d(n−1)y
dx(n−1)
+ · · ·+a1(x)dydx +a0(x)y = g(x)
(5.1.2)
com g(x) na˜o identicamente zero, e´ chamada de na˜o-homogeˆnea
Observac¸a˜o 5.5 1. A palavra homogeˆnea neste contexto na˜o se refere aos coeficientes como
sendo func¸o˜es homogeˆneas.
2. A equac¸a˜o 2y′′+ 3y′− 5y = 0 e´ uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria linear de segunda
ordem homogeˆnea.
3. A equac¸a˜o x3y′′′− 2xy′′+ 5y′+ 6y = ex e´ uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria linear de
terceira ordem na˜o-homogeˆnea.
4. Veremos, que, para resolver uma equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea, devemos primeiro resolver a
equac¸a˜o homogeˆnea associada.
57
5. Para evitar repetic¸o˜es desnecessa´rias no decorrer do texto, faremos sempre as seguintes
suposic¸o˜es com relac¸a˜o a`s equac¸o˜es lineares (5.1.1) e (5.1.2). Em algum intervalo I,
(a) os coeficientes ai(x); i = 0,1, · · · ,n sa˜o contı´nuas;
(b) a func¸a˜o g(x) e´ contı´nua;
(c) an(x) 6= 0 para todo x no intervalo.
Princı´pio de Superposic¸a˜o
No pro´ximo teorema, veremos que a soma, ou superposic¸a˜o, de duas ou mais soluc¸o˜es para
uma equac¸a˜o diferencial linear homogeˆnea e´ tambe´m uma soluc¸a˜o.
Teorema 5.3 (Principı´o de Superposic¸a˜o - Equac¸a˜o Homogeˆnea)
Sejam y1,y2, · · · ,yk soluc¸o˜es para a equac¸a˜o diferencial linear de n-e´sima ordem homogeˆnea
(5.1.1) em um intervalo I. Enta˜o, a combinac¸a˜o linear
y = c1y1(x)+ c2y2(x)+ · · ·+ ckyk(x)
em que os ci, i = 1,2, · · · ,k sa˜o constantes arbitra´rias, e´ tambe´m uma soluc¸a˜o no intervalo.
Corola´rio 5.2 1. Um mu´ltiplo y = c1y1(x) de uma soluc¸a˜o y1(x) para uma equac¸a˜o dife-
rencial linear homogeˆnea e´ tambe´m uma soluc¸a˜o;
2. Uma equac¸a˜o diferencial linear homogeˆnea sempre possui a soluc¸a˜o trivial y = 0.
Exemplo 5.15 Verifique usando o princı´pio de superposic¸a˜o que, a combinac¸a˜o linear
y = c1x2 + c2x2 lnx
e´ soluc¸a˜o para a equac¸a˜o homogeˆnea
x3y′′′−2xy′+4y = 0
no intervalo (0,+∞).
Exemplo 5.16 Verifique usando o princı´pio de superposic¸a˜o que, a combinac¸a˜o linear
y = c1ex + c2e2x + c3e3x
58
e´ soluc¸a˜o para a equac¸a˜o homogeˆnea
d3y
dx3 −6
d2y
dx2 +11
dy
dx −6y = 0
em (−∞,+∞).
Exemplo 5.17 Verifique se y = cx2 e´ soluc¸a˜o para a equac¸a˜o linear homogeˆnea
x2y′′−3xy′+4y = 0
em (0,+∞), usando o corola´rio (5.2).
Soluc¸o˜es Linearmente Independentes
Estamos interessados em determinar quando n soluc¸o˜es y1,y2, · · · ,yn para a equac¸a˜o di-
ferencial homogeˆnea (5.1.1) sa˜o linearmente independentes. Surpreendentemente, o Wrons-
kiano na˜o nulo em um conjunto de n soluc¸o˜es em um intervalo I e´ necessa´rio e suficiente para
a independeˆncia linear.
Teorema 5.4 (Crite´rio para Independeˆncia Linear de Soluc¸o˜es)
Sejam y1,y2, · · · ,yn n soluc¸o˜es para a equac¸a˜o diferencial linear homogeˆnea de n-e´sima
ordem (5.1.1) em um intervalo I. Enta˜o, o conjunto de soluc¸o˜es e´ linearmente independente
em I se e somente se
W (y1,y2, · · · ,yn) 6= 0
para todo x no intervalo.
Definic¸a˜o 5.3 (Conjunto Fundamental de Soluc¸o˜es)
Qualquer conjunto y1,y2, · · · ,yn de n soluc¸o˜es linearmente independentes para a equac¸a˜o
diferencial linear homogeˆnea de n-e´sima ordem (5.1.1) em um intervalo I e´ chamado de con-
junto fundamental de soluc¸o˜es no intervalo.
Teorema 5.5 Sejam y1,y2, · · · ,yn n soluc¸o˜es linearmente independentes para a equac¸a˜o dife-
rencial linear homogeˆnea de n-e´sima ordem (5.1.1) em um intervalo I. Enta˜o, toda soluc¸a˜o
Y (x) para (5.1.1) e´ uma combinac¸a˜o linear das n soluc¸o˜es independentes y1,y2, · · · ,yn, ou
seja, podemos encontrar constantes C1,C2, · · · ,Cn, tais que
Y =C1y1 +C2y2 + · · ·+Cnyn
59
A questa˜o ba´sica de existeˆncia de um conjunto fundamental para uma equac¸a˜o linear e´
respondida no pro´ximo teorema.
Teorema 5.6 (Existeˆncia de um Conjunto Fundamental)
Existe um conjunto fundamental de soluc¸o˜es para a equac¸a˜o diferencial linear homogeˆnea
de n-e´sima ordem (5.1.1) em um intervalo I.
Definic¸a˜o 5.4 (Soluc¸a˜o Geral - Equac¸o˜es Homogeˆneas)
Sejam y1,y2, · · · ,yn n soluc¸o˜es linearmente independentes para a equac¸a˜o diferencial linear
homogeˆnea de n-e´sima ordem (5.1.1) em um intervalo I. A soluc¸a˜o geral para a equac¸a˜o no
intervalo e´ definida por
y = c1y1 + c2y2 + · · ·+ cnyn
em que os ci, i = 1,2, · · · ,n sa˜o constantes arbitra´rias.
Lembre-se de que a soluc¸a˜o geral, e´ tambe´m chamada de soluc¸a˜o completa para a equac¸a˜o
diferencial.
Exemplo 5.18 Sabendo que a equac¸a˜o diferencial de segunda ordem
y′′−9y = 0
possui duas soluc¸o˜es
y1 = e3x e y2 = e−3x
encontre a soluc¸a˜o geral.
Exemplo 5.19 Sabendo que as func¸o˜es
y1 = ex , y2 = e2x e y3 = e3x
satisfazem a equac¸a˜o de terceira ordem
d3y
dx3 −6
d2y
dx2 +11
dy
dx −6y = 0
encontre a soluc¸a˜o geral para a equac¸a˜o diferencial no intervalo (−∞,+∞).
60
Equac¸o˜es Na˜o-Homogeˆneas
Voltamos agora nossa atenc¸a˜o para a definic¸a˜o de soluc¸a˜o geral para uma equac¸a˜o linear
na˜o-homogeˆnea. Qualquer func¸a˜o yp, independente de paraˆmetros, que satisfac¸a (5.1.2) e´
chamada de soluc¸a˜o particular para a equac¸a˜o (algumas vezes e´ chamada de integral parti-
cular).
Exemplo 5.20 1. Verifique se yp = 3 e´ uma soluc¸a˜o particular para y′′+9y = 27.
2. Verifique se yp = x3− x e´ uma soluc¸a˜o particular para x2y′′+2xy′−8y = 4x3 +6x.
Teorema 5.7 Sejam y1,y2, · · · ,yn soluc¸o˜es para a equac¸a˜o diferencial linear homogeˆnea de
n-e´sima ordem (5.1.1) em um intervalo I e seja yp qualquer soluc¸a˜o para a equac¸a˜o na˜o-
homogeˆnea (5.1.2) no mesmo intervalo. Enta˜o
y = c1y1 + c2y2 + · · ·+ cnyn + yp(x)
e´ tambe´m uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea no intervalo para qualquer constantes
c1,c2, · · · ,cn.
Podemos agora provar o ana´logo do Teorema (5.5) para as equac¸o˜es diferenciais na˜o-
homogeˆneas.
Teorema 5.8 Seja yp uma dada soluc¸a˜o para a equac¸a˜o diferencial linear na˜o-homogeˆnea de
n-e´sima ordem (5.1.2) em um intervalo I e sejam {y1,y2, · · · ,yn} um conjunto fundamental de
soluc¸o˜es para a equac¸a˜o homogeˆnea associada (5.1.1) no intervalo. Enta˜o, para qualquer
soluc¸a˜o Y (x) de (5.1.2) em I, podemos encontrar constantes C1,C2, · · · ,Cn tais que
Y =C1y1(x)+C2y2(x)+ · · ·+Cnyn(x)+ yp(x).
Definic¸a˜o 5.5 (Soluc¸a˜o Geral - Equac¸o˜es Na˜o-homogeˆneas) Seja yp uma dada soluc¸a˜o para
a equac¸a˜o diferencial linear na˜o-homogeˆnea de n-e´sima ordem (5.1.2) em um intervalo I e seja
yc = c1y1(x)+ c2y2(x)+ · · ·+ cnyn(x)
a soluc¸a˜o geral para a equac¸a˜o homogeˆnea associada (5.1.1) no intervalo. A soluc¸a˜o geral
para a equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea no intervalo e´ definida por
y = c1y1(x)+ c2y2(x)+ · · ·+ cnyn(x)+ yp(x) = yc(x)+ yp(x)
61
Func¸a˜o Complementar
Na definic¸a˜o (5.5), a combinac¸a˜o linear
yc = c1y1(x)+ c2y2(x)+ · · ·+ cnyn(x)
que e´ a soluc¸a˜o geral para (5.1.1), e´ chamada de func¸a˜o complementar para a equac¸a˜o (5.1.2).
Em outras palavras, a soluc¸a˜o geral para uma equac¸a˜o diferencial linear na˜o-homogeˆnea e´
y = func¸a˜o complementar + qualquer soluc¸a˜o particular
Exemplo 5.21 Verifique se a func¸a˜o yp =−1112 −
1
2
x e´ uma soluc¸a˜o particular para a equac¸a˜o
na˜o-homogeˆnea
d3y
dx3 −6
d2y
dx2 +11
dy
dx −6y = 3x
depois, descreva a soluc¸a˜o geral para a equac¸a˜o.
Exercı´cio 5.3 Verifique que as func¸o˜es dadas formam um conjunto fundamental de soluc¸o˜es
para a equac¸a˜o diferencial no intervalo indicado. Forme a soluc¸a˜o geral.
1. y′′− y′−12y = 0; e−3x, e4x, (−∞,+∞).
2. y′′−2y′+5y = 0; ex cos2x, ex sin2x, (−∞,+∞).
3. x2y′′−6xy′+12y = 0; x3, x4, (0,+∞).
4. x3y′′′+6x2y′′+4xy′−4y = 0; x, x−2, x−2 lnx, (0,+∞).
Exercı´cio 5.4 Verifique que a dada famı´lia a dois paraˆmetros de func¸o˜es e´ a soluc¸a˜o geral para
a equac¸a˜o diferencial na˜o-homogeˆnea no intervalo indicado.
1. y′′−7y′+10y = 24ex; y = c1e2x + c2e5x +6ex, (−∞,+∞).
2. y′′−4y′+4y = 2e2x +4x−12; y = c1e2x + c2xe2x + x2e2x + x−2, (−∞,+∞).
5.2 CONSTRUINDO UMA SEGUNDA SOLUC¸ ˜AO A PARTIR DE UMA SOLUC¸ ˜AO CO-
NHECIDA
Reduc¸a˜o de Ordem
Um dos fatos mais interessantes e importantes no estudo de equac¸o˜es diferenciais lineares
de segunda ordem e´ que podemos construir uma segunda soluc¸a˜o a partir de uma soluc¸a˜o co-
62
nhecida. Suponha que y1(x) seja uma soluc¸a˜o na˜o trivial para a equac¸a˜o
a2(x)y′′+a1(x)y′+a0(x)y = 0 (5.2.1)
Supomos, como fizemos na sec¸a˜o precedente, que os coeficientes em (5.2.1) sa˜o contı´nuos
e a2(x) 6= 0 para todo x em um intervalo I. O processo que usaremos para encontrar uma
segunda soluc¸a˜o y2(x) consiste em reduzir a ordem da equac¸a˜o (5.2.1), transformando-a em
uma equac¸a˜o de primeira ordem. Dividindo a equac¸a˜o (5.2.1) por a2(x), esta toma a forma
padra˜o
y′′+P(x)y′+Q(x)y = 0 (5.2.2)
em que P(x) e Q(x) sa˜o contı´nuas em algum intervalo I. Vamos supor ainda que y1(x) seja uma
soluc¸a˜o conhecida para (5.2.2) em I e que y1(x) 6= 0 para todo x no intervalo. Se definirmos
y = u(x)y1(x), segue-se que
y′ = uy′1 + y1u
′
y′′ = uy′′1 +2y′1u′+ y1u′′
y′′+Py′+Qy = u [y′′1 + py′1 +Qy1]︸ ︷︷ ︸
zero
+y1u′′+(2y′1 + py1u′) = 0
Isso implica que devemos ter
y1u′′+(2y′1 +Py1)u′ = 0
ou
y1w′+(2y′1 +Py1)w = 0 (5.2.3)
em que substituı´mos w = u′. Observe que a equac¸a˜o (5.2.3) e´ linear e separa´vel. Aplicando
esta u´ltima te´cnica, obtemos
dw
w
+2
y′1
y1
dx+Pdx = 0
ln |w|+2ln |y1| = −
∫
Pdx+C
ln |wy21| = −
∫
Pdx+C
wy21 = c1e
−∫ Pdx
w = c1
e−
∫
Pdx
y21
Integrando novamente
u = c1
∫
e−
∫
Pdx
y21
dx+ c2
63
e portanto
y = u(x)y1 = c1y1(x)
∫
e−
∫
Pdx
y21
dx+ c2y1(x)
Escolhendo c2 = 0 e c1 = 1, concluı´mos que uma segunda soluc¸a˜o para a equac¸a˜o (5.2.2) e´
y2 = y1(x)
∫
e−
∫
Pdx
y21
dx (5.2.4)
´E um bom exercı´cio de derivac¸a˜o comec¸ar com a fo´rmula (5.2.4) e verificar que a equac¸a˜o
(5.2.2) e´ satisfeita.
Agora, y1(x) e y2(x) sa˜o linearmente independentes, pois
w(y1(x),y2(x)) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
y1 y1
∫
e−
∫
Pdx
y21
dx
y′1 y
′
1
∫
e−
∫
Pdx
y21
dx+ y1
e−
∫
Pdx
y21
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= e−
∫
Pdx
e´ diferente de zero em qualquer intervalo em que y1(x) seja diferente de zero.
Exemplo 5.22 Verifique se a func¸a˜o y1 = x2 e´ uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o
x2y′′−3xy′+4y = 0
Encontre se possı´vel a soluc¸a˜o geral no intervalo (0,+∞).
Exercı´cio 5.5 Encontre uma segunda soluc¸a˜o para cada equac¸a˜o diferencial. Use reduc¸a˜o de
ordem ou a fo´rmula (5.2.4) como ensinada. Suponha um intervalo apropriado.
1. y′′+5y′ = 0; y1 = 1.
2. y′′−4y′+4y = 0; y1 = e2x.
3. y′′+16y = 0; y1 = cos4x.
4. xy′′+ y′ = 0; y1 = lnx.
Exercı´cio 5.6 Use o me´todo de reduc¸a˜o de ordem para encontrar uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o
na˜o-homogeˆnea dada. A func¸a˜o indicada y1(x) e´ uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o homogeˆnea as-
sociada. Determine uma segunda soluc¸a˜o para a equac¸a˜o homogeˆnea e uma soluc¸a˜o particular
da equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea.
1. y′′−4y = 2; y1 = e−2x.
2. y′′−3y′+2y = 5e3x; y1 = ex.
64
5.3 EQUAC¸ ˜OES LINEARES HOMOG ˆENEAS COM COEFICIENTES CONSTANTES
Vimos que a equac¸a˜o linear de primeira ordem dydx + ay = 0, em que a e´ uma constante,
possui soluc¸a˜o exponencial y = c1e−ax em (−∞,+∞). Portanto, e´ natural procurar determinar
se soluc¸o˜es exponenciais existem em (−∞,+∞) para equac¸o˜es de ordem maior como
any(n)+a(n−1)y(n−1)+ · · ·+a2y′′+a1y′+a0y = 0 (5.3.1)
em que os ai, i = 0,1, · · · ,n sa˜o constantes. O fato surpreendente e´ que todas as soluc¸o˜es para
(5.3.1) sa˜o func¸o˜es exponenciais ou construı´das a partir de func¸o˜es exponenciais. Comec¸amos
considerando o caso especial da equac¸a˜o de segunda ordem
ay′′+by′+ cy = 0 (5.3.2)
Equac¸a˜o Auxiliar
Se tentarmos uma soluc¸a˜o da forma y = emx, enta˜o y′ = memx e y′′ = m2emx. Assim a
equac¸a˜o (5.3.2) torna-se
am2emx +bmemx + cemx = 0
ou
emx(am2 +bm+ c) = 0
Como emx nunca se anula para valores reais de x, enta˜o a u´nica maneira de fazer essa func¸a˜o
exponencial satisfazer a equac¸a˜o diferencial e´ escolher m de tal forma que ele seja raiz da
equac¸a˜o quadra´tica
am2 +bm+ c = 0 (5.3.3)
Essa u´ltima equac¸a˜o e´ chamada de equac¸a˜o auxiliar ou equac¸a˜o caracterı´stica da equac¸a˜o
diferencial (5.3.2). Consideramos treˆs casos: as soluc¸o˜es para a equac¸a˜o auxiliar correspon-
dem as raı´zes reais distintas, raı´zes reais iguais e raı´zes complexas conjugadas.
• Caso 1: Raı´zes Reais Distintas - Com a hipo´tese de que a equac¸a˜o auxiliar 5.3.3 possui
duas raı´zes reais distintas m1 e m2, encontramos duas soluc¸o˜es
y1 = em1x e y2 = em2x
Vimos que essas func¸o˜es sa˜o linearmente independentes em (−∞,+∞) e portanto formam
um conjunto fundamental. Segue-se que a soluc¸a˜o geral para a equac¸a˜o (5.3.2) nesse
65
intervalo e´
y = c1em1x + c2em2x (5.3.4)
• Caso 2: Raı´zes Reais Iguais - Quando m1 = m2, obtemos somente uma soluc¸a˜o expo-
nencial y1 = em1x. Pore´m, segue-se imediatamente da discusa˜o da Sec¸a˜o anterior que uma
soluc¸a˜o e´
y2 = em1x
∫
e−
b
a x
e2m1x
dx (5.3.5)
Mas, da forma quadra´tica, temos m1 = − b2a , pois a u´nica maneira de ter m1 = m2 e´ ter
b2−4ac = 0. Em vista do fato de que 2m1 =−ba torna-se
y2 = em1x
∫
e2m1x
e2m1x
dx = xem1x
a soluc¸a˜o para 5.3.2 e´ enta˜o
y = c1em1x + c2xem1x (5.3.6)
• Caso 3: Raı´zes Complexas Conjugadas - Se m1 e m2 sa˜o complexas, enta˜o podemos
escrever
m1 = α + iβ e m2 = α − iβ
em α e β > 0 sa˜o nu´meros reais e i2 = −1. Formalmente, na˜o ha´ diferenc¸a entre este
caso e o Caso 1, em que
y =C1e(α+iβ )x +C2e(α−iβ )x.
Pore´m, na pra´tica, preferimos trabalhar com func¸o˜es reais em vez de exponenciais com-
plexas. Para este fim, usamos a fo´rmula de Euler.
eiθ = cosθ + isinθ
em que θ e´ qualquer nu´mero real. Segue-se desta fo´rmula que
eiβx = cosβx+ isinβx e e−iβx = cosβx− isinβx (5.3.7)
em que usamos cos(−βx) = cosβx e sin(−βx) = −sinβx. Note que somando e depois
subtraindo as duas equac¸o˜es em (5.3.7), obtemos, respectivamente,
eiβx + e−iβx = 2cosβx e eiβx− e−iβx = 2isinβx
66
Como y = C1e(α+iβ )x +C2e(α−iβ )x e´ uma soluc¸a˜o para (5.3.2) para qualquer escolha
das constantes C1 e C2. Fazendo C1 = C2 = 1 e C1 = 1, C2 = −1, temos, nesta ordem,
soluc¸o˜es:
y1 = e(α+iβ )x + e(α−iβ )x e y2 = e(α+iβ )x− e(α−iβ )x
Mas,
y1 = eαx(eiβx + e−iβx) = 2eαx cosβx
e
y2 = eαx(eiβx− e−iβx) = 2ieαx sinβx
Portanto, pelo colora´rio (5.2) e o Teorema (5.3), os dois u´ltimos resultados mostram que
as func¸o˜es eαx cosβx e eαx sinβx sa˜o soluc¸o˜es para (5.3.2).
Como
W (eαx cosβx,eαx sinβx) = βe2αx 6= 0
β > 0, e daı´ podemos concluir que as duas func¸o˜es formam um conjunto fundamental
de soluc¸o˜es para a equac¸a˜o diferencial em (−∞,+∞). Pelo principı´o de superposic¸a˜o, a
soluc¸a˜o geral e´
y = c1eαx cosβx+ c2eαx sinβx
y = eαx(c1 cosβx+ c2 sinβx)
(5.3.8)
Exemplo 5.23 Resolva as seguintes equac¸o˜es diferenciais
1. 2y′′−5y′−3y = 0;
2. y′′−10y′+25y = 0;
3. y′′+ y′+ y = 0.
Exercı´cio 5.7 Resolva o problema de valor inicial{
y′′−4y′+13y = 0
y(0) =−1, y′(0) = 2
Equac¸a˜o de Ordem Superior
No caso geral, para resolver uma equac¸a˜o diferencial de n-e´sima ordem
any(n)+a(n−1)y(n−1)+ · · ·+a2y′′+a1y′+a0y = 0 (5.3.9)
67
em que os ai, i = 0,1, · · · ,n sa˜o constantes reais, devemos resolver uma equac¸a˜o polinomial de
grau n
anm
n +an−1mn−1 + · · ·+a2m2 +a1m+a0 = 0 (5.3.10)
Se todas as raı´zes de (5.3.10) sa˜o reais e distintas, enta˜o a soluc¸a˜o geral para (5.3.9) e´
y = c1em1x + c2em2x + · · ·+ cnemnx (5.3.11)
´E um pouco mais difı´cil resumir os ana´logos dos Casos II e III porque as raı´zes de uma equac¸a˜o
auxiliar de grau maior que dois podem ocorrer com va´rias combinac¸o˜es. Por exemplo, uma
equac¸a˜o de grau cinco pode ter cinco raı´zes reais distintas, ou treˆs raı´zes reais distintas e duas
complexas, ou uma raiz real e quatro complexas, ou cinco raı´zes reais iguais, ou cinco raı´zes
reais, mas duas delas iguais etc. Quando m1 e´ uma raiz de multiplicidade k de uma equac¸a˜o au-
xiliar de grau n (isto e´, k raı´zes sa˜o iguais a m1), pode ser mostrado que as soluc¸o˜es linearmente
independentes sa˜o
em1x,xem1x,x2em1x, · · · ,xk−1em1x
e a soluc¸a˜o geral tem de conter a combinac¸a˜o linear
c1e
m1x + c2xe
m1x + c3x
2em1x + · · ·+ ckxk−1em1x
Por u´ltimo, devemos lembrar que, quando os coeficientes sa˜o reais, raı´zes complexas de uma
equac¸a˜o auxiliar sempre aparecem em pares conjugados. Logo, por exemplo, uma equac¸a˜o
polinomial cu´bica pode ter no ma´ximo duas raı´zes complexas.
Exemplo 5.24 Resolva
1. y′′′+3y′′−4y = 0;
2. 3y′′′+5y′′+10y′−4y = 0;
3. d
4y
dx4 +2
d2y
dx2 + y = 0
O exemplo acima ilustra um caso especial quando a equac¸a˜o auxiliar possui raı´zes comple-
xas repetidas. No caso geral, se m1 = α + iβ e´ uma raiz complexa de multiplicidade k de uma
equac¸a˜o auxiliar com coeficientes reais, enta˜o seu conjugado m1 = α − iβ e´ tambe´m uma raiz
de multiplicidade k. A partir das 2k soluc¸o˜es complexas
e(α+iβ )x,xe(α+iβ )x,x2e(α+iβ )x, · · · ,xk−1e(α+iβ )x
68
e(α−iβ )x,xe(α−iβ )x,x2e(α−iβ )x, · · · ,xk−1e(α−iβ )x
concluı´mos, com a ajuda da fo´rmula de Euler, que a soluc¸a˜o geral para a equac¸a˜o diferencial
correspondente tem enta˜o de conter uma combinac¸a˜o linear das 2k soluc¸o˜es reais linearmente
independentes
eαx cosβx,xeαx cosβx,x2eαx cosβx, · · · ,xk−1eαx cosβx
eαx sinβx,xeαx sinβx,x2eαx sinβx, · · · ,xk−1eαx sinβx
LISTA DE EXERC´ICIOS
1. Encontre a soluc¸a˜o geral para a equac¸a˜o diferencial dada.
(a) 4y′′+ y′ = 0;
(b) y′′−36y = 0;
(c) y′′+9y = 0;
(d) y′′− y′−6y = 0;
(e) d
2y
dx2 +
dy
dx +16y = 0;
(f) y′′+3y′−5y = 0;
(g) 12y′′−5y′−2y = 0;
(h) y′′−4y′+5y = 0;
(i) 3y′′+2y′+ y = 0;
(j) y′′′−4y′′−5y′ = 0;
(k) y′′′− y = 0;
(l) y′′′−5y′′+3y′+9y = 0;
(m) y′′′+ y′′−2y = 0;
(n) y′′′+3y′′+3y′+ y = 0;
(o) d
4y
dx4 +
d3y
dx3 +
d2y
dx2 = 0;
(p) 16d
4y
dx4 +24
d2y
dx2 +9y = 0;
(q) d
5y
dx5 −16
dy
dx = 0;
(r) d
5y
dx5 +5
d4y
dx4 −2
d3y
dx3 −10
d2y
dx2 +
dy
dx +5y = 0.
2. Resolva a equac¸a˜o diferencial dada sujeita a`s condic¸o˜es iniciais indicadas.
69
(a)
{
y′′+16y = 0
y(0) = 2, y′(0) =−2
(b)
{
y′′+6y′+5y = 0
y(0) = 0, y′(0) = 3
(c)
{
2y′′−2y′+ y = 0
y(0) =−1, y′(0) = 0
(d)
{
y′′+ y′+2y = 0
y(0) = y′(0) = 0
(e)
{
y′′−3y′+2y = 0
y(1) = 0, y′(1) = 1
(f)
{
y′′′+12y′′+36y′ = 0
y(0) = 0, y′(0) = 1, y′′(0) =−7
(g)
{
y′′′−8y = 0
y(0) = 0, y′(0) =−1, y′′(0) = 0
(h)


d4y
dx4 −3
d3y
dx3 +3
d2y
dx2 −
dy
dx = 0
y(0) = y′(0) = 0, y′′(0) = y′′′(0) = 1
3. Resolva a equac¸a˜o diferencial dada sujeita a`s condic¸o˜es de contorno indicada.
(a)
{
y′′−10y′+25y = 0
y(0) = 1, y(1) = 0
(b)

 y
′′+ y = 0
y′(0) = 0, y′(pi
2
) = 2
4. As raı´zes de uma equac¸a˜o auxiliar sa˜o m1 = 4, m2 = m3 =−5. Qual e´ a equac¸a˜o diferen-
cial correspondente?
5. Encontre a soluc¸a˜o geral para a equac¸a˜o y′′′−9y′′+25y′−17y = 0, em que y1 = ex.
5.4 OPERADORES DIFERERENCIAIS
Em ca´lculo, usamos frequ¨entemente a letra maiu´scula D para denotar derivac¸a˜o; isto e´,
dy
dx = Dy
70
O sı´mbolo D e´ chamado de operador diferencial; ele transforma uma func¸a˜o diferencia´vel em
outra func¸a˜o; por exemplo,
D(e4x) = 4e4x , D(5x3−6x2) = 15x2−12x e D(cos2x) =−2sin2x
O operador diferencial D tambe´m possui uma propriedade de linearidade; D operando em
uma combinac¸a˜o linear de duas func¸o˜es diferencia´veis e´ o mesmo que a combinac¸a˜o linear de
D operando nas func¸o˜es individualmente. Em sı´mbolos, isso significa
D{a f (x)+bg(x)} = aD f (x)+bDg(x) (5.4.1)
em que a e b sa˜o constantes. Por causa da igualdade (5.4.1), dizemos que D e´ um operador
diferencial linear
Derivadas de Ordem Superior
Derivadas de ordem superior podem ser expressas em termos de D de uma maneira natural:
d
dx
(
dy
dx
)
=
d2y
dx2 = D(Dy) = D
2y , e no caso geral , d
ny
dxn = D
ny
em que y representa uma func¸a˜o suficientemente diferencia´vel. Expresso˜es polinomiais envol-
vendo D, tais como
D+3 , D2 +3D−4 e 5D3−6D2 +4D+9
sa˜o tambe´m operadores diferenciais lineares.
Equac¸o˜es Diferenciais
Qualquer equac¸a˜o diferencial linear pode ser expressa em termos de D. Por exemplo,
uma equac¸a˜o diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes ay′′+ by′+ cy = g(x)
pode ser escrita como
aD2y+bDy+ cy = g(x) ou (aD2 +bD+ c)y = g(x)
Se definirmos L = aD2 +bD+ c, enta˜o a u´ltima equac¸a˜o pode ser escrita de maneira com-
pacta como
L(y) = g(x)
O operador L = aD2 + bD+ c e´ chamado de operador diferencial linear de segunda ordem
com coeficientes cosntantes.
71
Exemplo 5.25 Escreva a equac¸a˜o
y′′+ y′+2y = 5x−3
em termos do operador diferencial.
Um operador diferencial linear de n-e´sima ordem
L = anDn +an−1Dn−1 + · · ·+a1D+a0
com coeficientes constantes pode ser fatorado quando o polinoˆmio caracterı´stico
anm
n +an−1mn−1 + · · ·+a1m+a0
tambe´m se fatora. Por exemplo, se tratarmos D como uma quantidade alge´brica, enta˜o D2 +
5D+ 6 pode ser fatorado como (D+ 2)(D+ 3) ou como (D+ 3)(D+ 2). Em outras palavras,
para uma func¸a˜o y = f (x) duas vezes diferencia´vel
(D2 +5D+6)y = (D+2)(D+3)y = (D+3)(D+2)y
Para ver por que isso funciona assim, seja w = (D+3)y = y′+3y, enta˜o
(D+2)w = Dw+2w = (y′′+3y′)+(2y′+6y) = y′′+5y′+6y
Analogamente, se colocarmos w = (D+2)y = y′+2y, enta˜o
(D+3)w = Dw+3w = (y′′+2y′)+(3y′+6y) = y′′+5y′+6y
Isso ilustra uma propriedade geral:
Fatores de um operador linear com coeficientes constantes comutam
Exemplo 5.26 Escreva a equac¸a˜o
y′′+4y′+4y = 0
em termos do operador diferencial (forma fatorada).
72
Operador Anulador
Se L e´ um operador diferencial com coeficientes constantes e y = f (x) e´ uma func¸a˜o sufici-
entemente diferencia´vel, tal que
L(y) = 0
enta˜o dizemos que L e´ um anulador da func¸a˜o. Por exemplo, se y = k (uma constante), enta˜o
Dk = 0. Ainda, D2x = 0, D3x2 = 0 e assim por diante.
O operador diferencial Dn anula cada uma das func¸o˜es
1,x,x2,x3, · · · ,xn−1 (5.4.2)
Como consequ¨eˆncia imediata de (5.4.2) e do fato de que a derivac¸a˜o pode ser feita termo a
termo, um polinoˆmio
c0 + c1x+ c2x
2 + · · ·+ cn−1xn−1
e´ anulado por um operador que anula a maior poteˆncia de x.
Exemplo 5.27 Encontre um operador diferencial que anula
1−5x2
+8x3
Observac¸a˜o 5.6 As func¸o˜es que sa˜o anuladas por um operador diferencial linear de n-e´sima
ordem L sa˜o simplesmente aquelas que podem ser obtidas a partir da soluc¸a˜o geral para a
equac¸a˜o homogeˆnea L(y) = 0.
O operador diferencial (D−α)n anula cada uma das func¸o˜es
eαx,xeαx,x2eαx, · · · ,xn−1eαx (5.4.3)
Para ver isso, note que a equac¸a˜o auxiliar da equac¸a˜o homogeˆnea (D−α)ny = 0 e´ (m−
α)n = 0. Como α e´ uma raiz de multiplicidade n, a soluc¸a˜o geral e´
y = c1eαx + c2xeαx + c3x2eαx + · · ·+ cnxn−1eαx
Exemplo 5.28 Encontre um operador anulador para
1. e5x;
73
2. 4e2x−6xe2x.
Quando α e β sa˜o nu´meros reais, a fo´rmula quadra´tica mostra que
[m2−2αm+(α2 +β 2)]n = 0
possui raı´zes complexas α +β i, α −β i, ambas de multiplicidade n.
O operador diferencial [D2−2αD+(α2 +β 2)]n anula cada uma das func¸o˜es
eαx cosβx,xeαx cosβx,x2eαx cosβx, · · · ,xn−1eαx cosβx
eαx sinβx,xeαx sinβx,x2eαx sinβx, · · · ,xn−1eαx sinβx (5.4.4)
Exemplo 5.29 Encontre um operador anulador para y = 5e−x cos2x−9e−x sin2x.
Exemplo 5.30 Encontre um operador anulador para
y = c1 cosx+ c2 sinx+ c3xcosx+ c4xsinx
Estamos interessados em anuladores da soma de duas ou mais func¸o˜es. Se L e´ um operador
diferencial linear tal que L(y1) = 0 e L(y2) = 0, enta˜o L anula a combinac¸a˜o linear c1y1(x)+
c2y2(x). Isto e´ uma consequeˆncia direta do Teorema (5.3). Vamos supor agora que L1 e L2 sa˜o
operadores diferenciais lineares com coeficientes constantes tais que, L1 anula y1(x) e L2 anula
y2(x), mas L1(y2) 6= 0 e L2(y1) 6= 0. Enta˜o, o o produto dos operadores diferenciais L1L2 anula
a soma c1y1(x)+ c2y2(x). Podemos facilmente demonstrar isso usando linearidade e o fato de
que L1L2 = L2L1:
L1L2(y1 + y2) = L1L2(y1)+L1L2(y2)
= L2L1(y1)+L1L2(y2)
= 0
(5.4.5)
Exemplo 5.31 Encontre um operador diferencial que anula 7− x+6sin3x.
Exemplo 5.32 Encontre um operador diferencial que anula e−3x + xex.
Observac¸a˜o 5.7 O operador diferencial que anula uma func¸a˜o na˜o e´ u´nico. Por exemplo, sa-
bemos que D− 5 anula e5x, mas tambe´m os operadores diferenciais de ordem superior, como
(D− 5)(D+ 1) e (D− 5)D2, anulam essa func¸a˜o. Quando procuramos um anulador diferen-
cial para uma func¸a˜o y = f (x), queremos o operador de menor ordem possı´vel que fac¸a este
trabalho.
74
LISTA DE EXERC´ICIOS
1. Escreva a equac¸a˜o diferencial na forma L(y) = g(x).
(a) dydx +5y = 9sinx;
(b) 3y′′−5y′+ y = ex;
(c) y′′′−4y′′+5y′ = 4x.
2. Se possı´vel, fatore o operador diferencial dado.
(a) 9D2−4;
(b) D2−4D−12;
(c) D3 +2D−13D+10;
(d) D4 +8D.
3. Verifique que o operador diferencial dado anula a func¸a˜o indicada.
(a) D4 ; y = 10x3−2x;
(b) (D−2)(D+5) ; y = 4e2x.
4. Encontre um operador diferencial que anule a func¸a˜o dada.
(a) 1+6x−2x3;
(b) 1+7e2x;
(c) cos2x;
(d) 13x+9x2− sin4x;
(e) e−x +2xex− x2ex;
(f) 3+ ex cos2x.
5.5 COEFICIENTES INDETERMINADOS - ABORDAGEM POR ANULADORES
Para obter a soluc¸a˜o geral para uma equac¸a˜o diferencial linear na˜o-homogeˆnea devemos
fazer duas coisas:
1. Encontrar a func¸a˜o complementar yc.
2. Encontrar uma soluc¸a˜o particular yp para a equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea.
75
Lembre-se de que uma soluc¸a˜o particular e´ qualquer func¸a˜o, independente de constantes,
que satisfac¸a a equac¸a˜o diferencial. A soluc¸a˜o geral para uma equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea em um
intervalo e´ enta˜o y = yc + yp.
Se L denota um operador diferencial linear da forma anDn + an−1Dn−1 + · · ·+ a1D+ a0,
enta˜o uma equac¸a˜o diferencial linear na˜o homogeˆnea pode ser escrita simplesmente como
L(y) = g(x) (5.5.6)
O me´todo dos coeficientes indeterminados apresentado nesta sec¸a˜o limita-se a equac¸o˜es
lineares na˜o-homogeˆneas
• que teˆm coeficiente constantes, e
• em que g(x) e´ uma constante k, uma func¸a˜o polinomial, uma func¸a˜o exponencial eαx,
sinβx, cosβx ou somas e produtos finitos dessas func¸o˜es.
Observac¸a˜o 5.8 Precisamente, g(x) = k, (uma constante) e´ uma func¸a˜o polinomial. Como
uma func¸a˜o constante na˜o e´ provavelmente a primeira coisa que lhe vem a` mente quando voceˆ
pensa em func¸o˜es polinomiais, para enfatizar, continuamos a usar a redundaˆncia “func¸o˜es
constantes, polinomiais, · · · ”
O que segue sa˜o alguns exemplos de tipos de func¸o˜es aplicadas g(x) que sa˜o apropriados
para essa discussa˜o:
g(x) = 10
g(x) = x2−5x
g(x) = 15x−6+8e4x
g(x) = sin3x−5xcos2x
g(x) = ex cosx− (3x2−1)e−x
(5.5.7)
e assim por diante. Em outras palavras, g(x) e´ uma combinac¸a˜o linear de func¸o˜es da forma
k (constante) , xm , xmeαx , xmeαx cosβx e xmeαx sinβx.
em que m e´ um inteiro na˜o negativo e α e β sa˜o nu´meros reais. O me´todo dos coeficientes
indeterminados na˜o se aplica a equac¸o˜es da forma (5.5.6) quando, por exemplo,
g(x) = lnx , g(x) = 1
x
, g(x) = tanx e g(x) = arcsinx.
76
Como vimos, uma combinac¸a˜o linear de func¸o˜es do tipo
k (constante) , xm , xmeαx , xmeαx cosβx e xmeαx sinβx
e´ precisamente o tipo de func¸a˜o que pode ser anulada por um operador L1 (de menor ordem)
consistindo em um produto de operadores tais como
Dn , (D−α)n e [D2−2αD+(α2 +β 2)]n
Aplicando L1 a ambos os membros de (5.5.6), obtemos
L1L(y) = L1(g(x)) = 0 (5.5.8)
Resolvendo a equac¸a˜o homogeˆnea de ordem maior L1L(y) = 0, podemos descobrir a forma
de uma soluc¸a˜o particular yp para a equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea original L(y) = g(x).
Exemplo 5.33 Resolva a equac¸a˜o y′′+3y′+2y = 4x2;
Exemplo 5.34 Resolva a equac¸a˜o y′′−3y′ = 8e3x +4sinx.
Resumo do Me´todo
Para sua convenieˆncia, o me´todo dos coeficientes indeterminados esta´ aqui resumido:
Coeficientes Indeterminados - Abordagem por Anuladores
A equac¸a˜o diferencial L(y) = g(x) tem coeficientes constantes e a func¸a˜o consiste em somas
e produtos finitos de constantes, func¸o˜es polinomiais, func¸o˜es exponenciais eαx, senos e co-
senos.
1. Encontre a soluc¸a˜o complementar yc para a equac¸a˜o homogeˆnea L(y) = 0.
2. Opere em ambos os lados da equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea L(y) = g(x) com um operador
diferencial L1, que anula a func¸a˜o g(x).
3. Encontre a soluc¸a˜o geral para a equac¸a˜o diferencial homogeˆnea de maior ordem L1L(y) =
0.
4. Desconsidere todos os termos da soluc¸a˜o encontrada em (3) que esta˜o duplicados na
soluc¸a˜o complementar yc encontrado em (1). Forme uma combinac¸a˜o linear yp dos ter-
mos restantes. Essa e´ a forma de uma soluc¸a˜o particular para L(y) = g(x).
77
5. Substitua yp encontrada em (4) na equac¸a˜o L(y) = g(x). Agrupe os coeficientes das
func¸o˜es em cada lado da igualdade e resolva o sistema resultante de equac¸o˜es para os
coeficientes indeterminados em yp.
6. Com a soluc¸a˜o particular encontrada em (5), forme a soluc¸a˜o geral y = yc + yp para a
equac¸a˜o diferencial dada.
LISTA DE EXERC´ICIOS
1. Resolva a equac¸a˜o diferencial dada pelo me´todo dos coeficientes indeterminados.
(a) y′′−9y = 54;
(b) y′′+ y′ = 3;
(c) y′′+4y′+4y = 2x+6;
(d) y′′′+ y′′ = 8x2;
(e) y′′− y′−12y = e4x;
(f) y′′−2y′−3y = 4ex−9;
(g) y′′+25y = 6sinx;
(h) y′′+6y′+9y =−xe4x;
(i) y′′− y = x2ex +5;
(j) y′′−2y′+5y = ex sinx;
(k) y′′+25y = 20sin5x;
(l) y′′+ y′+ y = xsinx;
(m) y′′′−3y′′+3y′− y = ex− x+16;
(n) y(4)−2y′′′+ y′′ = ex +1;
(o) 16y(4)− y = e x2 .
(p) y′′+8y = 5x+2e−x;
(q) y′′+ y = xcosx− cosx;
(r) y′′−2y′+ y = 10e−2x cosx;
(s) y′′′−4y′′+4y′ = 5x2−6x+4x2e2x +3e5x.
2. Resolva a equac¸a˜o diferencial dada sujeita a`s condic¸o˜es iniciais indicadas.
78
(a)
{
y′′−64y = 16
y(0) = 1, y′(0) = 0
;
(b)
{
y′′−5y′ = x−2
y(0) = 0, y′(0) = 2
;
(c)

 y
′′+ y = 8cos2x−4sinx
y
(pi
2
)
=−1, y′
(pi
2
)
= 0
;
(d)
{
y′′−4y′+8y = x3
y(0) = 2, y′(0) = 4
.
5.6 VARIAC¸ ˜AO DOS PAR ˆAMETROS
5.6.1 Resoluc¸a˜o de Equac¸o˜es Lineares de Primeira Ordem
No Capı´tulo 2, vimos que a soluc¸a˜o geral para a equac¸a˜o diferencial linear
de primeira
ordem
dy
dx +P(x)y = f (x) (5.6.9)
em que P(x) e f (x) sa˜o contı´nuas em um intervalo I, e´
y = e−
∫
P(x)dx
∫
e
∫
P(x)dx f (x)dx+ c1e−
∫
P(x)dx. (5.6.10)
Agora, (5.6.10) tem a forma y = yc + yp, em que yc = c1e−
∫
P(x)dx e´ uma soluc¸a˜o para
dy
dx +P(x)y = 0 (5.6.11)
e
yp = e−
∫
P(x)dx
∫
e
∫
P(x)dx f (x)dx (5.6.12)
e´ uma soluc¸a˜o particular para (5.6.9). Para motivar um me´todo adicional para resolver equac¸o˜es
lineares na˜o-homogeˆneas de ordem superior, vamos novamente deduzir (5.6.12), agora por um
me´todo conhecido como variac¸a˜o de paraˆmetros.
Suponha que y1 seja uma soluc¸a˜o conhecida para (5.6.11), isto e´,
dy
dx +P(x)y = 0
Sabemos que y1 = e−
∫
P(x)dx e´ uma soluc¸a˜o e, como a equac¸a˜o diferencial e´ linear sua soluc¸a˜o
79
e´ y = c1y1(x). Variac¸a˜o dos paraˆmetros consiste em encontrar uma func¸a˜o u1 tal que
yp = u1(x)y1(x),
seja uma soluc¸a˜o particular para (5.6.9). Em outras palavras, trocamos o paraˆmetro c1 por uma
varia´vel u1.
Substituindo yp = u1y1 em (5.6.9), obtemos
dy
dx +P(x)y = f (x)
d
dx [u1y1]+P(x)[u1y1] = f (x)
u1
dy1
dx + y1
du1
dx +P(x)u1y1 = f (x)
u1
[
dy1
dx +P(x)y1
]
+ y1
du1
dx = f (x)
y1
du1
dx = f (x)
assim
y1
du1
dx = f (x)
Separando as varia´veis, encontramos
du1 =
f (x)
y1(x)
dx e u1 =
∫ f (x)
y1(x)
dx
segue-se enta˜o que
y = u1y1 = y1
∫ f (x)
y1(x)
dx
Como y1 = e−
∫
P(x)dx
, temos que o u´ltimo resultado e´
y = e−
∫
P(x)dx
∫
e
∫
P(x)dx f (x)dx
5.6.2 Equac¸o˜es de Segunda Ordem
Para adaptar o procedimento precedente a equac¸o˜es diferenciais lineares de segunda ordem
a2(x)y′′+a1(x)y′+a0(x)y = g(x), (5.6.13)
80
colocamos (5.6.13) na forma padra˜o
y′′+P(x)y′+Q(x)y = f (x) (5.6.14)
dividindo por a2(x). Aqui, supomos P(x), Q(x) e f (x) sa˜o contı´nuas em alugm intervalo I. A
equac¸a˜o (5.6.14) e´ ana´loga a (5.6.9). Como sabemos, quando P(x) e Q(x) sa˜o constantes, na˜o
temos nenhuma dificuldade em escrever yc.
Suponha que y1 e y2 formem um conjunto fundamental de soluc¸o˜es em I da forma ho-
mogeˆnea associada (5.6.14), isto e´,
y′′1 +P(x)y
′
1 +Q(x)y1 = 0
e
y′′2 +P(x)y
′
2 +Q(x)y2 = 0
Agora, perguntamos: podemos encontrar duas func¸o˜es u1 e u2 tais que
yp = u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x)
seja uma soluc¸a˜o particular para (5.6.14)? Note que nossa suposic¸a˜o para yp e´ a mesma que
yc = c1(x)y1(x)+ c2(x)y2(x), mas substituı´mos c1 e c2 pelos “paraˆmetros varia´veis” u1 e u2.
Como queremos determinar duas func¸o˜es desconhecidas, a raza˜o nos diz que precisamos de
duas equac¸o˜es. Como na discussa˜o introduto´ria que resultou na descoberta de (5.6.12), uma
dessas equac¸o˜es resulta na substituic¸a˜o yp = u1y1 +u2y2 na equac¸a˜o diferencial dada (5.6.14).
A outra equac¸a˜o que impomos e´
y1u′1 + y2u
′
2 = 0 (5.6.15)
Essa equac¸a˜o e´ uma suposic¸a˜o que fazemos para simplificar a primeira derivada e, consequen-
temente, a segunda derivada de yp. Usando a regra do produto para derivar yp, obtemos:
y′p = u1y
′
1 + y1u
′
1 +u2y
′
2 + y2u
′
2 (5.6.16)
assim
y′p = u1y
′
1 +u2y
′
2.
Continuando, encontramos
y′′p = u1y
′′
1 +u
′
1y
′
1 +u2y
′′
2 +u
′
2y
′
2.
81
Substituindo esses resultados em (5.6.14), temos
y′1u
′
1 +u
′
2y
′
2 = f (x).
Em outras palavras, u1 e u2 teˆm de ser func¸o˜es que tambe´m satisfac¸am a condic¸a˜o
y′1u
′
1 +u
′
2y
′
2 = f (x) (5.6.17)
As equac¸o˜es (5.6.15) e (5.6.17) constituem um sistema linear de equac¸o˜es para determinar as
derivadas u′1 e u′2. Pela regra de Cramer, a soluc¸a˜o para{
y1u′1 + y2u
′
2 = 0
y′1u
′
1 + y
′
2u
′
2 = f (x)
pode ser expressa em termos de determinantes:
u′1 =
W1
W
e u′2 =
W2
W
(5.6.18)
em que
W =
∣∣∣∣∣ y1 y2y′1 y′2
∣∣∣∣∣ , W1 =
∣∣∣∣∣ 0 y2f (x) y′2
∣∣∣∣∣ e W2 =
∣∣∣∣∣ y1 0y′1 f (x)
∣∣∣∣∣ (5.6.19)
O determinante W e´ o Wronskiano de y1 e y2. Pela independeˆncia linear de y1 e y2 em I,
sabemos que W (x) 6= 0 para todo x no intervalo.
Resumo do Me´todo
Em geral, na˜o e´ uma boa ide´ia memorizar fo´rmulas em vez de entender o processo. Pore´m,
o procedimento precedente e´ muito longo e complicado de usar cada vez que queremos resolver
uma equac¸a˜o direferencial. Neste caso, e´ mais eficiente simplesmente usar as fo´rmulas de
(5.6.18). Enta˜o, para resolver a2(x)y′′+ a1(x)y′+ a0(x)y = g(x), primeiro encontre a func¸a˜o
complementar yc = c1y1 + c2y2 e enta˜o calcule o Wronskiano
W =
∣∣∣∣∣ y1 y2y′1 y′2
∣∣∣∣∣ .
Dividindo por a2, colocamos a equac¸a˜o na forma y′′+P(x)y′+Q(x)y = f (x) para determinar
f (x). Encontramos u1 e u2 integrando u′1 =W1/W e u′2 =W2/W , em que W1 e W2 esta˜o definidos
em (5.6.19). Uma soluc¸a˜o particular e´ yp = u1y1 + u2y2. A soluca˜o geral para a equac¸a˜o e´
portanto y = yc + yp.
82
Exemplo 5.35 Resolva y′′−4y′+4y = (x+1)e2x.
Exemplo 5.36 Resolva 4y′′+36y = csc3x.
Constantes de Integrac¸a˜o Quando calculamos as integrais indefinidas u′1 e u′2, na˜o preci-
samos introduzir constantes. Isso porque
y = yc + yp = c1y1 + c2y2 +(u1 +a1)y1 +(u2 +b2)y2
= (c1 +a1)y1 +(c2 +b1)y2 +u1y1 +u2y2
= C1y1 +C2y2 +u1y1 +u2y2
.
LISTA DE EXERC´ICIOS
1. Generalize o me´todo de variac¸a˜o de paraˆmetros para equac¸o˜es diferenciais na˜o-homogeˆneas
de n-e´sima ordem.
2. Resolva cada equac¸a˜o diferencial pelo me´todo da variac¸a˜o dos paraˆmetros. Defina um
intervalo no qual a soluc¸a˜o geral seja va´lida.
(a) y′′+ y = sinx;
(b) y′′+ y = secx;
(c) y′′−4y = e
2x
x
;
(d) y′′′+ y′ = tanx.
(e) y′′−2y′+ y = e−x lnx.
83
REFER ˆENCIAS
MALUMBRES, J. L. V. Metodos Cla´sicos de Resolucion de Ecuaciones Diferenciales Or-
dinarias. 4. ed. Espanha: Servic¸o de Publicac¸o˜es da Universidade de La Rioja, 1996.
MURPHY, G. M. Ordinary Differential Equations Their Solutions. 1. ed. New York: Litton
Educational Publishing, 1960.
ZILL DENNIS G; CULLEN, M. R. Equac¸o˜es diferenciais, Volume I. 4. ed. Sa˜o Paulo: Mar-
kon Books, 2006.