UNIDADE I - aula 1

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UNIDADE I: VETORES CURVAS E 
SUPERFÍCIES NO ESPAÇO
aula1
UNIDADE I: VETORES CURVAS E SUPERFÍCIES NO ESPAÇO
1.1. COORDENADAS CARTESIANAS NO ESPAÇO
1.2. PRODUTO ESCALAR. NORMAS DE UM VETOR. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
1.3. PRODUTO VETORIAL. PRODUTO MISTO. VOLUMES DE PARALELEPÍPEDOS. 
EQUAÇÕES DE PLANOS. INTERSEÇÃO DE PLANOS
1.4. CURVAS NO ESPAÇO. O VETOR VELOCIDADE E O VETOR ACELERAÇÃO. 
COMPRIMENTO DE ARCO. CURVATURA. TORÇÃO. TRIEDRO DE FRENET. FÓRMULA DE 
FRENET.
1.5. ESPAÇOS EUCLIDIANOS A N-DIMENSÕES (RN). CARACTERIZAÇÃO DO RN COMO 
ESPAÇO VETORIAL. O PRODUTO ESCALAR (PRODUTO INTERNO). PROPRIEDADES DO 
PRODUTO INTERNO. DESIGUALDADES DE CAUCHEY-SCHWARZ. NORMA DE UM VETOR 
E PROPRIEDADES. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS. DESIGUALDADES TRIANGULAR. 
Def: Vetor, Vetores iguais
Um vetor é um segmento de reta 
orientado. Dois vetores são iguais (ou 0 
mesmo) se têm o mesmo comprimento, 
amesma direção e o mesmo sentido.
Exemplo:
Sejam os pontos
Mostre que os vetores e 
são iguais.
A = (0, 0), B = (3, 4), C = (�4, 2), D = (�1, 6)
u =
��⇥
AB v =
��⇥
CD
Def.: Representação em 
Componentes de um Vetor
Se é um vetor no plano igual ao vetor com 
ponto inicial e ponto final , 
então a representação em componentes de 
é 
v
(0, 0) (v1, v2)
v
v = �v1, v2⇥
Dados os pontos e , o 
vetor posição equivalente a 
é 
P (x1, x2) Q(x1, x2)
v = �v1, v2⇥ ��⇥PQ
v = ⇥x2 � x1, y2 � y1⇤
A norma, comprimento ou magnitude do 
vetor é v = ��⇥PQ
| v |=
�
v12 + v22 =
�
(x2 � x1)2 + (y2 � y1)2
EX. Encontre 
a. as componentes
b. o comprimento do vetor 
com ponto inicial 
e ponto final 
P = (�3, 4)
Q = (�5, 2)
Ex. Uma força que move um carrinho.
Um carrinho é puxado ao longo de uma 
superfície horizontal lisa com uma força 
de que forma um ângulo de 45º com a 
superfície.
Qual é a força efetiva que move o 
carrinho para a frente? 
F
20lb
A força efetiva é a componente 
horizontal de , dado por F = �a, b⇥
a =| F | cos 45o = (20)
�⇤
2
2
⇥
� 14, 14lb
o vetor com comprimento é o vetor 
nulo
O vetor nulo também é o único vetor sem 
direção e sentido específicos.
Qualquer vetor de comprimento 1 é 
um vetor unitário, ou versor. Se 
fizer um ângulo com o eixo positivo, 
então 
Vetor nulo e vetor unitário
0
0 = �0, 0⇥
v
v = �v1, v2⇥
� x
v1 =| v | cos � = cos �, (| v |= 1)
v2 =| v | sin � = sin �
Resumo:
Um vetor unitário no plano que forma 
um ângulo com o eixo positivo é 
representado por
v
� x
v = �cos �, sin �⇥
Sejam e vetores e 
um escalar (número real)
Adição:
Multiplicação:
DEf: Operações Algébricas com vetores
v = �v1, v2⇥u = �u1, u2⇥ k
u+ v = �u1, u2⇥+ �v1, v2⇥ = �u1 + v1, u2 + v2⇥
ku = �ku1, ku2⇥
Propriedades
SEjam e vetores e e escalaresu v a b
u+ v = v + u (u+ v) + w = v + (u+ w)
u+ 0 = u u+ (�u) = 0
0u = 0 1u = u
a(bu) = (ab)u a(u+ v) = au+ av
(a+ b)u = au+ bu
Vetores Unitários Padrão
Qualquer vetor no plano pode 
ser escrito como uma combinação linear 
de dois vetores unitários padrão ou 
versores.
 e
v = �v1, v2⇥
i = �1, 0⇥ j = �0, 1⇥
v = �v1, v2⇥ = �v1, 0⇥+ �0, v2⇥ = v1�1, 0⇥+ v2�0, 1⇥ = v1i+ v2j
v1i
v2j v
Se , então
 é um vetor unitário na direção e no 
sentido de
a equação expressa em 
termos do seu comprimento, direção e 
sentido 
v �= 0
v
| v |
v
v = | v | v| v | v
Um vetor é tangente ou normal a uma 
curva em um ponto P se é paralelo ou 
normal, respectivamente , à reta 
tangente à curva em P.
Tangentes e Normais
Um objeto está´se movendo ao longo da 
curva
Encontre vetores unitários tangentes e 
normais à curva no ponto (1,1)
y =
x3
2
+
1
2
Solução:
Encontramos os vetores unitários que são 
paralelos e normais à reta tangente à 
curva em (1,1). O coeficiente angular da 
reta tangente à curva em (1,1) é 
 então
Procuramos um vetor unitário com esse 
coeficiente angular.
y� =
3x2
2
y�(x = 1) =
3
2
O vetor tem coeficiente 
angular 3/2 , assim como todo múltiplo de 
diferente de zero. Pra encontrarmos um 
múltiplo de que seja um vetor unitário, 
dividimos por 
Obtendo
O vetor é tangente à curva em (1,1) 
porque tem mesma diração que .
v = 2i+ 3j
v
v
v | v |=
�
22 + 32 =
⇥
13
u
v
u =
v
| v | =
2⇥
13
i+
3⇥
13
j
Obviamente,
qie aponta o sentido oposto, também é 
tangente à curva em (1,1). 
Para encontrarmos os vetores normais à 
curva em (1,1), procuramos vetores 
unitários cujos coeficientes angulares 
sejam os recíprocos negativos do 
coeficiente angular de . 
�u = � 2⇥
13
i� 3⇥
13
j
u
Isso é feito rapidamente trocando-se os 
componentes escalares de e mudando-
se o sinal de um deles. Obtemos
Novamente, qualquer um servirá. Os 
vetores têm sentidos opostos , mas ambos 
são normais à curva em (1,1).
u
n = � 3⇥
13
i+
2⇥
13
j �n = 3⇥
13
i� 2⇥
13
j