Matrizes determinantes e Sistemas Lineares - Exercícios Resolvidos

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FGV AULA 04 (Resolução) 
MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES 
 
1. (Ibmecrj 2010) Sejam M e N matrizes quadradas de ordem 2, cujos determinantes são 
denotados respectivamente por, Det (M) e Det (N). Seja O é a matriz nula de ordem 2. 
Assinale a afirmativa correta. 
a) Se Det (M) = 0 então M = O. 
b) Det (M + N) = Det (M) + Det (N). 
c) Det (3M) = 3 Det (M). 
d) Det (-M) = - Det (M). 
e) Se Det (MN) = 0 então Det (M) = 0 ou Det (N) = 0. 
 
Resolução: 
a) Falsa. Por exemplo: (
 
 
). Det = 0 , mas 
 
b) Falsa. Por exemplo: (
 
 
) (
 
 
) temos 
 
c) Falsa. Pois onde n é a ordem da matriz M. 
 
d) Falsa. Pois onde n é a ordem de M. 
 
e) Verdadeira, pois pelo teorema de Binet, 
 
Alternativa: e. 
 
 
2. (Fgv 2010) Uma fábrica decide distribuir os excedentes de três produtos alimentícios A, 
B e C a dois países da América Central, P
1
 e P
2
. As quantidades, em toneladas, são 
descritas mediante a matriz Q: 
 
Para o transporte aos países de destino, a fábrica recebeu orçamentos de duas 
empresas, em reais por tonelada, como indica a matriz P: 
 
 
 
a) Efetue o produto das duas matrizes, na ordem que for possível. Que representa o 
elemento a
13
 da matriz produto? 
b) Que elemento da matriz produto indica o custo de transportar o produto A, com a 
segunda empresa, aos dois países? 
c) Para transportar os três produtos aos dois países, qual empresa deveria ser escolhida, 
considerando que as duas apresentam exatamente as mesmas condições técnicas? Por 
quê? 
 
 
 
 
 
 
500 300 1ºempresa
P
400 200 2ºempresa
 
  
 
Resolução: 
a) P . Q= [
 
 
] . [
 
 
] [
 
 
] 
 
O elemento representa o preço, em reais, que a empresa 1 cobra para transportar o 
produto C para os dois países. 
b) O elemento 
c) Empresa 1: 
130.000 + 95.000 + 135.000 = 360.000 
Empresa 2: 
100.000 + 70.000 + 100.000 = 270.000 
Portanto a empresa 2 é mais vantajosa por apresentar o menor custo. 
 
 
3. (Fgv 2010) No início de dezembro de certo ano, uma loja tinha um estoque de calças e 
camisas no valor total de R$ 140 000,00, sendo R$ 80,00 o valor (preço de venda) de 
cada calça é R$ 50,00 (preço de venda) o de cada camisa. 
Ao longo do mês, foram vendidos 30% do número de calças em estoque e 40% do 
número de camisas em estoque, gerando uma receita de R$ 52 000,00. 
Com relação ao estoque inicial, a diferença (em valor absoluto) entre o número de calcas e 
o de camisas é: 
a) 1450 
b) 1500 
c) 1550 
d) 1600 
e) 1650 
 
Resolução: 
x: número de calças 
y: número de camisas (I) 
 (II) 
{
 
 
 
 
 
Diferença (valor absoluto): | | 
Alternativa: c 
 
 
 
4. (Ibmecrj 2010) Seja o sistema linear nas incógnitas x, y e z 
 
Assinale a afirmativa correta: 
a) para k = 1, possui mais de uma solução. 
b) para k = 3, não possui solução. 
c) para k = 2, possui infinitas soluções. 
d) para k = 2, não possui solução. 
e) para k = 2, possui uma única solução. 
 
Resolução: 
D’= [
 
 
 
] 
Para vem: 
{
 
 
 
 
Observando as equações 1 e 3 podemos concluir que para k=2 o sistema linear é 
impossível. 
Alternativa: d. 
5. (Fgv 2010) O sistema linear abaixo, nas incógnitas x e y: 
 
Será impossível quando: 
a) Nunca 
b) p ≠ –6 e m = 1 
c) p ≠ –6 e m ≠ 1 
d) p = –6 e m = 1 
e) p = –6 e m ≠ 1 
 
Resolução: 
Se S.P.D. 
D = |
 
 
| Portanto se – 
Se : 
{
 
 
 {
 
 
 
 
Se o sistema é impossível. 
Alternativa: e. 
2
x y kz 1
2x k z 1
x y 2z 0
  

  
   
x 3y m
2x py 2
 

 
6. (Fgv 2010) Em um quadrado mágico, como o indicado na figura, a soma dos números 
em cada linha, em cada coluna e em cada diagonal assume o mesmo valor. 
 
A 24 B 
18 C D 
25 E 21 
 
Se as letras A, B, C, D e E representam números, então D + E é igual a 
a) 43. 
b) 44. 
c) 45. 
d) 46. 
e) 47. 
 
Resolução: 
A 24 B 
18 C D 
25 E 21 
 
Primeira coluna e primeira linha: 
 
Primeira coluna e diagonal principal: 
 
Diagonal secundária e segunda coluna 
 
 
Segunda linha e terceira linha 
 
 
Portanto: D + E = 46 
Alternativa: d 
 
7. (Fgv 2010) Para que o sistema linear de solução (x, y) não seja 
possível e determinado, o parâmetro k IN tem de ser igual a 
a) 2. 
b) 3. 
c) 4. 
d) 5. 
e) 6. 
 
 
 
2x k! y 2
1 k! x 21y 3
  

  

Resolução: 
{
 
 
 Se D = 0, então não é S.P.D. 
 [
 
 
] 
Com 
 (não convém) ou 
Alternativa: b 
 
8. (Fgv 2010) Maria, que tem 52 anos, faz uma dieta alimentar e precisa tomar um 
lanche às 15:30 horas, no qual não pode consumir mais que 500 calorias, e precisa ingerir 
as necessidades mínimas diárias de cálcio, a saber, 1.200 mg/dia. Nesse lanche, ela quer 
tomar leite desnatado e comer amêndoas. Dentre os dados fornecidos por sua 
nutricionista, estão os seguintes: 
 
 
 
a) Represente algebricamente as condições do problema, considerando as porções de leite 
desnatado e de amêndoas. 
b) Represente graficamente as condições do problema no plano cartesiano x0y. 
c) É possível Maria ingerir exatamente 500 calorias e 1200 mg de cálcio se ingerir somente 
leite desnatado e amêndoas no lanche da tarde? Justifique sua resposta. 
 
 
Resolução: 
Não mais que 500 calorias 
No mínimo 1200 mg/dia de cálcio. 
a) porção de leite desnatado 
 porção de amêndoas 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 Porção 
(quantidades 
aproximadas) 
Calorias 
(kcal) 
Teor de cálcio 
(mg por 100 g de 
alimento) 
Leite 
desnatado 
250 ml 100 300 
Amêndoas 30 g 200 150 
b) Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Resolver o sistema: 
 
{
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. (Fgv 2010) Diofante de Alexandria, que viveu cerca do ano 250, publicou na sua obra 
Aritmética extensos estudos sobre equações indeterminadas, em que as soluções eram 
pares ordenados de números naturais. 
 
a) Uma das equações era esta: xy – 5x + 4y = 0, em que as variáveis x e y são números 
naturais. Expresse a variável x em termos da variável y e tente, por substituição, encontrar 
todos os pares ordenados (x, y) que são soluções da equação. 
b) Resolva
o problema: 
As irmãs Ana e Marta receberam de seu avô certa quantia cada uma, somente em notas, 
sem nenhuma moeda. Também não receberam nenhuma nota de R$ 1,00. A soma das 
quantias mais a diferença entre a quantia de Ana e a de Marta, mais o produto delas, é 
igual a 100. Se Ana, que e mais velha, recebeu uma quantia maior que a de Marta, 
quantos reais pode ter recebido cada uma? 
 
Resolução: 
a) 
 
 
 
 
 
Temos: 
 
Substituindo vem: 
 
 
 
 
 (não convém) 
 
 
Portanto os países ordenados são: (0,0); (1,1); (6,3); (16,4) 
b) x : valor Ana 
y : valor Maria 
 
 
 
 
 
 
 
 
x > y e (2+y) deve ser divisor de 100: 
 (não convém) 
 (não convém) 
 e 
 (não convém: R$ 2,00 +R$ 1,00) 
 e 
 (não convém pois x > y) 
Portanto temos: 
Ana: R$ 25,00 e Marta: R$ 2,00. 
 Ou 
Ana: R$ 10,00 e Marta: R$ 8,00. 
 
 
10. (Unicamp 2010) Considere a matriz ,cujos coeficientes são 
números reais. 
a) Suponha que exatamente seis elementos dessa matriz são iguais a zero. Supondo 
também que não há nenhuma informação adicional sobre A, calcule a probabilidade de 
que o determinante dessa matriz não seja nulo. 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
 
 
  
  
b) Suponha, agora, que a
ij
 = 0 para todo elemento em que j > i, e que a
ij
 = i − j + 1 
para os elementos em que j ≤ i. Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua inversa, 
A
−1
. 
 
Resolução: 
[
 
 
 
] 
a) 3 posições para os elementos não nulos: 
 
 
 
Os 3 elementos não nulos devem ocupar filas diferentes 
1ª Coluna 3 possibilidades 
2ª Coluna 2 possibilidades 
3ª Coluna 1 possibilidade 
Assim, teremos no total: 3 x 2 x 1 = 6 maneiras 
Portanto a probabilidade pedida será: 
 
 
 
 
 
 
b) A [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] 
{
 
 
 
 {
 
 
 
 {
 
 
 
 
 Resolvendo os sistemas, obtemos: 
 [
 
 
 
] 
 
11. (Fgv 2010) Uma matriz 4 x 4 que admite inversa é 
a) 
 
 
 
 
1 2 3 4
4 3 2 1
2 4 6 8
5 6 7 8
 
 
 
 
 
 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
Resolução: 
a) não admite inversa, 1ª linha x (2) = 3ª linha 
b) não admite inversa, 3ª linha = 1ª linha + 2ª linha 
c) não admite inversa, 2ª linha = (2) x 1ª linha 
d) não admite inversa, 3ª linha = (2) x 2ª linha – 1ª linha 
e) |
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 | (1ª L + 2ª L) ; (9 . 1ª L + 3ª L) ; (13 . 1ª L + 4ª L) 
|
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 | = [
 
 
 
] = [
 
 
 
] 
 [
 
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
 
Alternativa: e. 
 
 
 
 
 
1 2 3 4
1 4 5 16
2 6 8 20
5 6 11 8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
4 4 4 4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-1 2 3 4
1 - 6 7 8
9 10 -11 12
13 14 15 -16
 
 
 
 
 
 
12. (Ibmecrj 2009) Considere os pontos P
1
, P
2
 e P
3
 e a matriz: 
0 12 20
12 0 16
20 16 0
 
 
 
 
 
, onde cada 
a
ij
 é o valor da distância entre o ponto P
i
 e o ponto P
j
. No triângulo formado por esses 
pontos, a mediana relativa a P
2
 mede: 
a) 6 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 14 
 
Resolução: 
[
 
 
 
] 
 
 
 
 é pitagórico triângulo retângulo 
Então: 
 
 
 
 
 
 
 
Alternativa: c 
13. (Fgv 2009) Sendo e a matriz na equação 
será: 
a) b) c) d) e) 
 
Resolução: 
 [
 
 
]. [
 
 
] [
 
 
] 
 [
 
 
]. [
 
 
] [
 
 
] 
 [
 
 
]. [
 
 
] [
 
 
] Portanto: [
 
 
] 
[
 
 
] [
 
 ] [
 
 
] {
 
 
 [
 
 
] 
Alternativa: d 
 
1 1
A
0 1
 
  
 
170
B ,
10
 
  
 
x
X
y
 
  
 
16A X B 
5
5
 
 
 
0
10
 
 
 
10
5
 
 
 
10
10
 
 
 
5
10
 
 
 
14. (Fgv 2009) Considere o sistema linear de incógnitas x, y e z. Sendo k 
um parâmetro real, então: 
a) o sistema será impossível se ou 
b) o sistema será determinado se 
c) o sistema será impossível se ou 
d) o sistema será indeterminado se ou 
e) o sistema será determinado se ou 
 
Resolução: 
{
 
 
 
 
Se 
 [
 
 
 
] |
 
 
| |
 
 
| |
 
 
| 
 
 
 
 
 
Se k=0 (escalonando o sistema) 
{
 
 
 
 {
 
 
 
 
(1ª e 3ª linhas) (Sistema impossível) 
 Se k=1 (escalonando o sistema) 
 {
 
 
 
 
(1ª e 3ª linhas) (Sistema impossível) 
Se k=-1 (escalonando o sistema) 
{
 
 
 
 
(2ª e 3ª linhas) Sistema indeterminado 
Alternativa: c. 
kx y z 3
x ky z k
x y kz 1
  

  
   
k 1  k 1
k 1
k 0 k 1 
k 0 k 1 
k 0 k 1 
15. (Fgv 2008) Sendo n um número real, então o sistema de equações 
1
1
1
nx y
ny z
x nz
  

 
  
 não 
possui solução se, e somente se, n é igual a 
a) -1. 
b) 0. 
c) . 
d) . 
 
e) 1. 
 
Resolução: 
|
 
 
 
| 
 
 : 
{
 
 
 
 
Alternativa: a 
16. (Unicamp 2007) Seja dado o sistema linear: 
 
 
 
a) Mostre graficamente que esse sistema não tem solução. Justifique. 
b) Para determinar uma solução aproximada de um sistema linear AX = B impossível, 
utiliza-se o método dos quadrados mínimos, que consiste em resolver o sistema A
t
AX = 
A
t
B. Usando esse método, encontre uma solução aproximada para o sistema dado acima. 
Lembre-se de que as linhas de M
t
 (a transposta de uma matriz M) são iguais às colunas de 
M. 
 
Resolução: 
a) 
{
 
 
 
 
 
1
4
1
2
1 2
1 2
1 2
x 2x 2
2x x 2
x x 2
 

 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como não existe um ponto comum as 3 retas,
o sistema não tem solução. 
b) [
 
 
 
] [
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
] 
[
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
 
] 
[
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
{
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17. (Fgv 2007) Os números reais x, y e z são tais que x + y + z = 6 e 3x + 4y + 2z = 17. 
a) Encontre uma solução do sistema formado por essas duas equações. 
b) Determine todas as soluções do sistema. 
c) Calcule o valor de 9x + 11y + 7z. 
 
Resolução: 
a) {
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
b) 
 { } 
 
c) 
 
 
18. (Fgv 2007) "Um galo custa 5 moedas; uma galinha, 3 moedas e 3 frangos custam 1 
moeda. Com 100 moedas, compram-se 100 dessas aves. Quantos galos, galinhas e 
frangos são?." Esse é o problema chinês do Cento de Aves, que foi enunciado pela 
primeira vez no livro Manual Matemático, de Zhang Quijian, editado no século V. O 
problema ficou famoso e apareceu, mais tarde, em diversos textos matemáticos na Índia, 
no mundo islâmico e na Europa. 
a) Expresse o enunciado do problema chinês mediante um sistema de equações. 
b) Dê a solução geral do sistema. 
c) Nessa época, o zero não era considerado um número e, por isso, não entrava na 
solução dos problemas. Então, quais as prováveis respostas que o matemático chinês 
deve ter encontrado para o problema do Cento de Aves? 
 
Resolução: 
a) x = galo ; y = galinha ; z = frango 
 
{
 
 
 
 
 
 
b) {
 
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 {( 
 
 
 
 
 
)} 
 
c) K é múltiplo de 4: 
 
 
 
 
19. (Fgv 2007) As matrizes A = (a
ij
)
4x4
 e B = (b
ij
)
4x4
 são tais que 2a
ij
 = 3b
ij
. Se o 
determinante da matriz A é igual a 3/4, então o determinante da matriz B é igual a 
a) 0. 
b) 
4
27
 
c) 
9
8
 
d) 2. 
e) 
243
64
 
Resolução: 
Como 
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t
i
v
a
:
 
b 
20. (Fgv 2005) Sabe-se que o sistema 
linear 2
2 log ( )B
x y
x ay a
  

  
 nas 
variáveis x e y, é possível e 
indeterminado. Nessas condições, aB é 
igual a: 
a) 2 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
Resolução: 
{
 
 
 
 |
 
 
| 
 
 
{
 
 
 
 {
 
 
 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
√ 
 
 
4 2
2
4 2
2
2
4 2
2