Material sobre Matrizes

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MATRIZES E MATRIZES QUADRADAS. 
 
MATRIZES: Chama-se matriz a uma disposição retangular de reais do tipo 
A = 
mXnmnmm
n
n
aaa
aaa
aaa














 
 
 ... 
 
21
22221
11211



,
 a ij
, as m n-uplas: (
naaa 11211 , ... , , 
),(
naaa 22221 , ... , , 
),..., 
(
mnmm aaa , ... , , 21
), são chamadas linhas da matriz z e as n m-uplas: 
 














1
21
11
ma
a
a

,














1
21
11
ma
a
a

, ... ,














1
21
11
ma
a
a

, são as n-colunas de A. 
Obs.: As linhas e as colunas de uma matriz podem ser entendidas como vetores linhas e 
vetores colunas respectivamente. 
Cada elemento 
 a ij
pertence a i-ésima linha e a j-ésima coluna. 
Uma matriz com uma linha é chamada de vetor linha e com uma coluna de vetor coluna. 
O tamanho de uma matriz é dado pelo número de linhas pelo número de colunas. 
Ex.: A = 
____
704
352
x





 
 , as __ linhas da matriz são: 
as __ colunas de A, são: , os elementos 
13a
= , 
22a
= e 
32a
= 
 
IGUALDADE DE MATRIZES: 
Duas matrizes são iguais se e somente só além de serem de mesmos tamanhos, 
apresentarem os elementos respectivos iguais. 
Ex.: Determine a, b, x e y em A = 





 
x - ya - b
 ba yx , para que seja igual à B = 






1 5
17 . 
 
 
 
 
OPERAÇÕES COM MATRIZES 
 Sejam: A = 
mXnmnmm
n
n
aaa
aaa
aaa














 ... 
: ... : :
 ... 
 ... 
21
22221
11211
, B = 
mXnmnmm
n
n
bbb
bbb
bbb














 ... 
: ... : :
 ... 
 ... 
21
22221
11211
 
e
 k 
, definimos: 
 
ADIÇÃO DE MATRIZES: (somente definida para matrizes de mesmos tamanhos). 
 A + B = 
mXnmnmm
n
n
aaa
aaa
aaa

















mnm22m11
2n222222121
1n112121111
b b b 
 
b b b 
b b b 




 
 
MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR: 
 k A = 
mXnmnmm
n
n
aaka
aaka
aaka














k k 
 ... 
k ... k 
k ... k 
21
22221
11211


 
 
TRANSPOSIÇÃO DE MATRIZES: seja A = (aij)mXn , sua transposta, indicada por A
t
 
= (aji) nXm é definida como A
t
 = 
nXmmnnn
m
m
aaa
aaa
aaa














 
 
 
 
21
22212
12111




. 
 
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES: (somente definida se o número de linhas da 
segunda matriz for igual ao número de colunas da primeira matriz , e a matriz produto 
será do tamanho número de linhas da primeira pelo número de colunas da segunda.) 
Se A é uma matriz mxp e B uma matriz pxn, o produto entre as matrizes A e B é uma 
matriz mxn cujo elemento de ordem ij se obtém multiplicando a 
mai
 linha Ai de A 
pela
maj
 coluna de B. 
Ex . 1) A = 
  3135 2 X 
e B = 
23
14
01 
23
X











, então A.B = . 
Ex. 2) 
34
43 312
124
302
213
 
4 213
1202
12 31
X
X 




























= 
 
TEOREMA: 
I) (At)t =A. 
II) (A + B ) t = At . Bt. 
III) (kA)t = k (At). 
IV) (A.B)t = Bt.At. 
 
MATRIZES E SISTEMAS LINEARES: 
Consideremos o sistema linear: 
a 11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 
a 21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 
 

 

  

 
 
a m1 x1+ amx2 x2 + ... + amn xn = bm, então definimos: 
(i) Matriz dos coeficientes: A = 
mXnmnmm
n
n
aaa
aaa
aaa














 
 
 
 
21
22221
11211




, 
(ii) Matriz coluna das varáveis: X = 
1
2
1
nXn
x
x
x















, 
(iii) Matriz coluna dos termos independentes: B = 
1m
2
1
mX
b
b
b















e 
(iv) Matriz aumentada: (A,B) = 
)1(m21
222221
111211
b 
 
b 
b 















nmXmnmm
n
n
aaa
aaa
aaa




 
Obs.: O sistema fica bem definido pela matriz aumentada. 
O sistema linear acima é equivalente à equação matricial AX = B. 
Ex.: 
 
 
MATRIZES ESCALONADAS: (Equivalência por linhas). 
Uma matriz se apresenta na forma escalonada se o número de zeros que precede o 
primeiro significativo de cada linha aumente linha a linha. 
 
MATRIZES ESCALONADAS REDUZIDAS POR LINHAS (FORMA CANÔNICA): 
Uma matriz se apresenta na forma canônica se alem de se apresentar na forma 
escalonada, seus elementos distinguíveis forem únicos não nulos na respectiva coluna e 
iguais a 1. 
Exercício: Reduza a matriz A à sua forma escalonada e depois à sua forma canônica. 



















597163
2117563
174442
143121
 A 
 
MATRIZES QUADRADAS: 
São as que apresentam número de linhas e número de colunas iguais. Seu tamanho é 
dado pelo número comum de linhas ou colunas e chamada ordem da matriz. 
A = (aij)n é matriz quadrada de ordem n. 
Exs.: 1) A = 
2
25
43





 
,matriz quadrada de ordem 2. 
2) B = 
___










, é quadrada de ordem __. 
Definição: Os elementos aii, são chamados elementos diagonais, onde a soma desses 
elemento é chamado traço da matriz e indicado por: TR(A) = 


n
n
iia
1
. Nos exemplos: 
1) Os elementos diagonais são: 3 e 2 e seu traço, TR(A) = 3 + 2 = 5. 
2) Os elementos diagonais são: e TR(B) = . 
 
MATRIZ IDENTIDADE: 
 A = (aij)n, é chamada matriz identidade e indicada por In, se e somente se aij = 





j. i se 0,
j. i ,1 se
 
Exs.: 1) I2 = 






10
01
, 2) I3 =










100
010
001
, 3) K = 




















5
.
.
.
5
5
 
ÁLGEBRA DAS MATRIZES QUADRADAS: 
 Consideremos o conjunto V de todas as matrizes de uma mesma ordem, então as 
operações de adição de matrizes e multiplicação de matrizes são fechadas em V. 
Podemos então formar potências de matrizes em V, assim definidas: A
0
 = In, A
1
 = A, A
2
 
= A.A, A
3
 = A
2
.A e assim, por recorrência, 
A
p
 = A
p-1
.A. 
 
POLINÔMIOS E MATRIZES QUADRADAS: 
Sejam P(x) = a0 x 
p
 + a1
 
x 
p-1
 + ... + ap-1 x + ap e a matriz quadrada A = (aij)n, podemos 
escrever o polinômio na matriz A, como segue: 
P(A) = ap A
p
 + ap-1
 
A
p-1
 + ... + a1 A + a0 In. 
Obs: Se P(A) = 0n, A é chamada raiz de P(x). 
Exemplo: Sejam A = 
453 e 
35
12
2 x x f(x) 





,determine: 
a) A2 
b) F(A). 
 
MATRIZES INVERSÍVEIS ou NÃO SINGULARES:
Seja A = (aij)n, A é inversível ou não singular se 
nij I A B BA |)(b B  n
, então B 
é a inversa de A e geralmente indicada por B = A
-1
. 
Exemplo: Sejam A = 
453 e 
35
12
2 x x f(x) 





,determine A
-1
. 
EXERCÍCIOS: 
1) Dadas as matrizes A = 









 
30
41
32
, B = 












152
201
423
e C = 








242
311
, 
determine: 
a) A.Bt. 
b) A.At. 
c) At.A. 
d) 2 A – 3 B + 4 C. 
e) B.Ct. 
f) A2. 
 
2) Dados: A = 












152
201
423
, B = 





 
41
32 e f(x) = 3 x
2
 – 5 x + 4, determine: 
a) f(A). 
b) f(B). 
c) A-1. 
d) B-1. 
e) f(B-1). 
f) Se f(B-1) = [f(B)]-1. 
 
3) Determine x, y ,z e s em A = 






sz
yx | A
3
 = B, onde B = 






80
11 . 
 
4) Determine as matrizes equivalentes por linhas , na forma escalonada e depois na 
forma canônica da matriz A = 





















12321
21121
47363
34242
13121
 
5) Seja B = 










400
590
581
 .Determine a matriz A com elementos diagonais positivos 
tal que A
2
 = B. 
6) Ache a inversa da matriz A = 












111
011
321
 . 
7) Determine An , onde A = 










100
110
011
.