prova-de-equac3a7c3b5es-diferenciais_unidade_2_2012-2

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Instituto Federal de Educac¸a˜o, Cieˆncia e Tecnologia
Professor: Allan de Sousa Soares
Disciplina: Equac¸o˜es Diferenciais
Aluno(a): Data: / /
Avaliac¸a˜o da Segunda Unidade 2012.2
Valor 10, 0 - Peso 9, 0
i) Na˜o e´ permitido qualquer tipo de comunicac¸a˜o entre os alunos;
ii) Justifique todos os ca´lculos e passagens;
iii) Na˜o e´ permitido a utilizac¸a˜o folhas de rascunho ou dispositivos eletroˆnicos sem a autorizac¸a˜o pre´via do professor;
iv) Desligue o celular;
v) Assine o nome em cada folha assim que receber a avaliac¸a˜o.
Questo˜es:
1) Sabendo que y1 = xsen(ln(x)) e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
x2y′′ − xy′ + 2y = 0
no intervalo (0,+∞), encontre uma outra soluc¸a˜o y2 linearmente independente neste intervalo.
2) Resolva a equac¸a˜o diferencial
y′′ + 6y′ + 5y = 0
sujeita as condic¸o˜es iniciais
y(0) = 0, y′(0) = 3.
3) Determine a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial
y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = x− 4ex.
4) Julgue cada um dos itens a seguir como verdadeiro ou falso. Justifique.
( ) A func¸a˜o y = c1e
x + c2e
−x + c3e3x e´ a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial y′′′ − 2y′′ − y′ + 2y = 0.
( ) Um multiplo de uma soluc¸a˜o para uma equac¸a˜o diferencial e´ tambe´m uma soluc¸a˜o para a mesma equac¸a˜o.
5) Uma equac¸a˜o linear de segunda ordem que pode ser expressa na forma
at2y′′(t) + bty′(t) + cy(t) = f(t), (1)
onde a, b e c sa˜o constantes, e´ chamada de equac¸a˜o de Cauchy-Euler.
No caso em que (1) e´ homogeˆnea, podemos obter soluc¸o˜es da forma y = tr, t > 0. Nestas condic¸o˜es, encontre duas
soluc¸o˜es linearmente independentes para a equac¸a˜o
3t2y′′(t) + 11ty′(t)− 3y(t) = 0, t > 0.
Valor das Questo˜es
1) 2,0; 2) 2,0 3) 2,0 4) 2,0 5) 2,0
1