Lista1

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Universidade Federal Rural do Semi-Árido
Departamento de Ciências Exatas e Naturais
Disciplina: Álgebra Linear Período: 2013.1
Prof
a
: Suene Campos
Lista 1: Matrizes
1. Sejam A =
[
1 2 3
2 1 −1
]
, B =
[ −2 0 1
3 0 1
]
, C =
 −12
4

e D =
[
2 −1 ] .
Encontre:
(a) A+B (b) AC (c) BC (d) CD (e) DA (f) DB (g) −A (h) −D
2. Sejam A =
[
1 2 3
−1 0 2
]
e B =
[ −1 5 −2
2 2 −1
]
.
Encontre:
(a) A+B (b) 3B (c) A+ 2B (d) A− 2B (e) 2A−B (f) B −A
3. Dadas as matrizes A =
 1 03 2
5 −4

, B =
[
2 −1 0
1 3 4
]
, C =
 −1 0 35 1 0
0 −1 4

e D =
[ −1 0
0 1
]
calcule , quando possível:
(a) AB + C (b) BC (c) CB (d) CBTD −BA (e) AB +BA
4. Seja A =
[
2 x2
2x− 1 0
]
. Se AT = A, então quanto vale x?
5. Dadas as matrizes A =
 0 0 00 0 0
0 0 3

, B =
 1 0 00 0 0
0 0 0

, C =
 0 0 00 2 0
0 0 0

(a) Classifique essas matrizes.
(b) Determine a, b, c ∈ R, tais que aB + bB + cC = O.
(c) Determine x, y, z ∈ R, tais que xA+ yB + zC = I3.
(d) Determine α, β, γ ∈ R, tais que αA+ βB + γC =
 −3 0 00 −1 0
0 0 −2

.
6. Se A é uma matriz simétrica, descreva A−AT .
7. Se A é uma matriz triangular superior, descreva AT .
8. Se A é uma matriz diagonal, determine AT .
9. Se A,B são matrizes m× n, mostre que (A+B)T = AT +BT .
10. Se c é um número real, mostre que (cA)T = cAT .
11. Classifique cada afirmação abaixo em Verdadeira (V) ou Falsa (F).
(a) (−A)T = −(AT )
(b) (A+B)T = BT +AT
(c) Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0
(d) (k1A)(k2B) = (k1k2)AB
(e) (−A)(−B) = −(AB)
(f) Se A e B são matrizes simétricas, então AB = BA
1
(g) Se A ·B = 0, então B ·A = 0
(h) Se podemos efetuar o produto A ·A, então A é uma matriz quadrada.
12. Se A2 = A ·A, então determine
[ −2 1
3 2
]2
.
13. Determine x, y ∈ R para que A = B, sendo A =
[
x2 + x 6
y2 + 4 1
]
e B =
[
2 6
13 1
]
.
14. Se A =
[
2 3
1 4
]
determine uma matriz B tal que AB = I.
15. Se A é uma matriz triangular superior, classifique A2.
16. Ache x, y, z, w se
[
x y
z w
] [
2 3
3 4
]
=
[
1 0
0 1
]
.
17. Dadas A =
 1 −3 22 1 −3
4 −3 −1

, B =
 1 4 1 02 1 1 1
1 −2 1 2

e C =
 2 1 −1 −23 −2 −1 −1
2 −5 −1 0

mostre que
AB = AC.
18. Suponha que A 6= 0 e AB = AC onde A,B,C são matrizes tais que a multiplicação esteja definida.
(a) B = C?
(b) Se existir uma matriz Y , tal que Y A = I, onde I é a matriz identidade, então B = C?
19. Dadas A =
 2 −3 −5−1 4 5
1 −3 −4

, B =
 −1 3 51 −3 −5
−1 3 5

e C =
 2 −2 −4−1 3 4
1 −2 −3

,
(a) Mostre que AB = BA = 0, AC = A e CA = C.
(b) Use os resultados de (a) para mostrar que ACB = CBA, A2 − B2 = (A − B)(A + B) e
(A±B)2 = A2 +B2.
20. Se A =
[
3 −2
−4 3
]
, ache B, de modo que B2 = A.
GABARITO
4. x = 1, 5. (a) São matrizes diagonais. (b) a = b = c = 0. (c) x = 1/3, y = 1, z = 1/2. (d)
α = −2/3, β = −3, γ = −1/2. 8. Como toda matriz diagonal é simétrica, temos A = AT . 11.
(a)V, (b)V, (c)F, (d)V, (e)F, (f)F, (g)F, (h)V. 13. x = 1 ou x = −2, y = 3 ou y = −3. 14.[
4/5 −3/5
−1/5 2/5
]
. 15. Matriz Triangular Superior. 20.
[
3 −2
−4 3
]
.
2