Planos

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Milene Pimenta 
 Seja A(x0,y0,z0) є π e um vetor n=(a,b,c), n ≠ 
0 ortogonal ao plano 
 O plano π é o conjunto de pontos P(x,y,z) do 
espaço tais que AP é perpendicular a n, isto é 
P є π  AP . n = 0 
 (x-x0,y-y0,z-z0).(a,b,c)=0 => a(x-x0) + b(y-
y0)+c (z-z0)=0=> ax +by+cz –ax0-by0-
cz0=0 
 Fazendo –ax0-by0-cz0=d temos 
ax +by+cz +d=0 
 Esta é a equação geral do plano 
 
 Existe apenas um plano que: 
 1. passa por um ponto A e é paralelo a dois 
vetores não-colineares u e v. Nesse caso, n = 
u x v . 
 2. passa por dois pontos A e B e é paralelo a 
um vetor u, não-colinear a AB. 
 Nesse caso, n = u x AB 
 3.passa por três pontos não-colineares A, B e 
C. Nesse caso, n = AB x AC 
 4.contém duas retas concorrentes. Nesse 
caso, n = u x v, sendo u e v os vetores 
diretores das retas. 
 5. contém duas retas paralelas r e s. Nesse 
caso, n = u x AB, sendo u o vetor diretor de r 
 ( ou s ), A  r e B  s. 
 6. contém uma reta r e um ponto B r. Nesse 
caso, n = v x AB, sendo v um vetor diretor de 
r e A um ponto de r. 
 Determine a equação geral do plano π1 
paralelo ao plano π2: 2x-3y-z+5=0 e que 
tem o ponto A(4,-1,2) 
 Achar a equação do plano π perpendicular à 
reta r:x=2y-3; z=-y+1 e contém o ponto 
A(1,2,3) 
 Achar a equação geral do plano π mediador 
do segmento de extremos A(1,-2,6) e 
B(3,0,0) 
 Achar a equação geral do plano π que é 
paralelo ao eixo dos y e que contém os 
pontos A(2,1,0) e B(0,2,1) 
 Seja A(x0,y0,z0) um ponto de um plano π e u 
=(a1,b1,c1) e v(a2,b2,c2) dois vetores não 
colineares pertencentes a π 
 Um ponto P(x,y,z) pertence ao plano π que 
passa por A e é paralelo aos vetores u e v se e 
somente se existem números reais h e t tais 
que AP= hu+tv 
 (x-x0,y-y0,z-z0)=h(a1,b1,c1)+t(a2,b2,c2) 








tchczz
tbhbyy
tahaxx
210
210
210
 Achar a equação geral do plano que contém 
os pontos A(-1,2,0), B(2,-1,1), e C(1,1,-1) 
 1) Se um plano  é paralelo ao plano xOy , então 
todos os pontos de  têm o mesmo valor de z . 
Fica definido por uma condição do tipo: z = z0 . 
 1) Se um plano  é paralelo ao plano xOz , então 
todos os pontos de  têm o mesmo valor de y . 
Fica definido por uma condição do tipo: y = y0 . 
 1) Se um plano  é paralelo ao plano yOz , então 
todos os pontos de  têm o mesmo valor de x . 
Fica definido por uma condição do tipo: x = x0 . 
 
 1) Se um plano  é paralelo ao eixo Ox , então o 
vetor normal a  é ortogonal a e, portanto, a 
equação geral de  é by + cz + d = 0. 
 2) Se um plano  é paralelo ao eixo Oy , então o 
vetor normal a  é ortogonal a e, portanto, a 
equação geral de  é ax + cz + d = 0. 
 3) Se um plano  é paralelo ao eixo Oz , então o 
vetor normal a  é ortogonal a e, portanto, a 
equação geral de  é ax+ by + d = 0. 
 
 
n i
n
j
n k
 Uma reta está contida num plano se: 
 1) r//  e um ponto A є r  Aє  
 
 2) se dois pontos A, B є r  A, B є  
 Calcular o valor de m e n para que a reta r: 
y=2x-3,z=-x+4 esteja contida no plano : 
nx+my-z-2=0 
 Sejam : a1x + b1y + c1z + d1 = 0 e : a2x + b2y 
+ c2z + d2 = 0 dois planos com vetores 
normais n1 = (a1, b1, c1 ) e n2 = (a2, b2, c2 ). 
 a) Suponha que n1e n2 sejam iguais ou 
colineares. Daí os planos são coincidentes se 
 
 
 ou paralelos se 
 
 Suponha que n1e n2 sejam ortogonais, ou seja 
que a1 a2 + b1 b2 + c1 c2 =0. Daí os planos 
são perpendiculares. 
 Sejam r uma reta com vetor diretor u e um 
plano com vetor normal n. Então: 
 a) Se u e n são ortogonais, r e são paralelos. 
 b) Se u e n são paralelos, r e são 
perpendiculares. 
 c) Se u e n são ortogonais e existe um ponto 
A de r, que também pertence a, então a reta r 
está contida no plano . 
 
 Considere planos não paralelos 1:3x-y+z-
3=0 e 2:x+3y+2z+4=0 
 Se A(x,y,z) є 1 interseção 2 então A є 1 e A 
є 2 
 Isto significa que A satisfaz a equação dos 2 
planos simultaneamente 
 A é solução do sistema 
 3x-y+z-3=0 
 X+3y+2z+4=0 
 A é solução do sistema 
 3x-y+z-3=0->z=3-3x+y 
 X+3y+2z+4=0 
 A é solução do sistema 
 3x-y+z-3=0->z=3-3x+y 
 X+3y+2z+4=0->x+3y+6-6x+2y+4=0 
 =-5x+5y+10=0 
 Escolhendo x como variável livre 
 Y=x-2 
 Substituindo em z->z=-2x+1 logo 
 
 Y=x-2 
 Z=-2x+1 
 
 São as equações reduzidas da reta interseção 
dos planos 1 e 2 
 Determinar as equações paramétricas da reta 
r interseção dos planos 1:2x+y-2=0 e 
2:z=3 
 Quer-se encontrar o ponto de interseção da 
reta r:x=2y-3=(2z-3)/3 e o plano :2x-
y+3z-9=0 
 X=2y-3-> y=(x+3)/2 
 X=(2z-3)/3->z=(3x+3)/2 
 Substituindo na equação do plano 
 2x-y+3z-9=0->2x-x/2-3/2+9x/2+9/2-
9=0 
 ->6x-6=0->x=1 
 X=1->y=2,z=3 
 Logo o ponto A(1,2,3) pertence à reta r e ao 
Plano  
 
 O plano p: x+y-z-2=0 intercepta os eixos 
coordenados nos pontos A, B, C 
 
 Calcular a área do triângulo ABC 
Fim