Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original
Aula 12 Álgebra Linear I 1 Apresentação D ando continuidade ao estudo iniciado na aula 11 (Geometria de espaços euclidianos),trataremos de conjuntos em que todos os seus elementos são ortogonais entre si,chamados conjuntos ortogonais. Depois, desenvolveremos o conceito de projeção ortogonal para encontrarmos a distância entre um vetor e um subespaço. Em seguida, de- senvolveremos um método de construção de uma base de um subespaço que tenha somente vetores ortogonais e usaremos a teoria desenvolvida para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. Como se trata de uma continuação da aula 11, os conceitos nela desenvolvidos deverão ter sido compreendidos. Dê atenção especial aos conceitos de vetores ortogonais, norma e distância entre vetores. Eles são essenciais para a compreensão desta aula. Objetivos Dois métodos serão dados nesta aula: um para encontrar uma base ortogonal para um subespaço vetorial dado e outro para en- contrar uma solução aproximada para um sistema linear. Esses métodos deverão ser bem compreendidos e você deverá saber usá-los. Aula 12 Álgebra Linear I2 Conjuntos ortogonais Observe o conjunto ���� ��� ��� de vetores do ��, em que �� � �� � � � � � , �� � �� �� � � � � e �� � �� � ��� ���� � � . Quando calculamos os produtos internos �� � ��� �� � �� e �� � ��, encontramos �� � �� � � � � � � �� �� � � � � � �� � � � � � �, �� � �� � � � � � � �� � ��� ���� � � � � � � � � � � � � e �� � �� � � �� � � � �� � ��� ���� � � � � � � � � � � � �. Então, os vetores do conjunto ���� ��� ��� são ortogonais entre si. Quando isso acontece, dizemos que o conjunto é ortogonal. Definição – Um conjunto ���� ��� � � � � ��� de vetores em�� é dito um conjunto ortogonal, se cada par de vetores distintos no conjunto é ortogonal, isto é, se �� � �� � � sempre que � �� �. Aula 12 Álgebra Linear I 3 O próximo teorema é uma generalização do Exercício Proposto 4 da aula passada. Teorema 1 Se � � ���� ��� � � � � ��� é um conjunto ortogonal de vetores não nulos em ��, então, � é linearmente independente e, portanto, é uma base para o subespaço gerado por �. Demonstração Escrevendo � como combinação linear dos vetores de �, � � ���� � ���� � � � �� ����, para escalares ��� ��� � � � � ��. Então, � � �� � ����� � ���� � � � �� ����� � �� � � para todo �� � �. Assim, ����� � ��� � ����� � ��� � � � �� ����� � ��� � � � �� ����� � ��� � �. Como � é ortogonal, temos �� � �� � �, quando � �� �. Logo, ����� � ��� � � e, por �� ser não nulo, �� � � para cada um dos escalares ��� ��� � � � � ��. Ou seja, � é linearmente independente. O Teorema 1 nos inspira a seguinte definição. Definição – Uma base ortogonal para um subespaço� de �� é uma base de � que também é um conjunto ortogonal. Exercício resolvido 1 O conjunto � � ���� ��� ���, no qual �� � �� � � � � � , �� � �� �� � � � � e �� � �� � ��� ���� � � , é base ortogonal para ��. Expresse o vetor � � �� � � � � � como combi- nação linear dos vetores de �. 1 Aula 12 Álgebra Linear I4 Atividade 1 Solução Seja � � ���� � ���� � ����. Seguindo a idéia da demonstração do Teorema 1 e fazendo os produtos � � ��� � � �� e � � ��, chegamos a ����� � ���� � ����� � �� � ����� � ���, ����� � ���� � ����� � �� � ����� � ��� e ����� � ���� � ����� � �� � ����� � ���. Então, � ��� � � � � � � �� � � � � � � � ����� ���� � �� � � � � � �� � � � � � � ��� , � � �� � � � � � � �� �� � � � � � � � ����� � ��� � �� � �� � � � �� �� � � � � � �� � � e � � �� � � � � � � �� � ��� ���� � � � � � � � ����� � ��� � �� � � ��� ���� � �� � ��� ���� � � � �� � � � . Logo, �� � , �� � � � , �� � ��, ou seja, � � �� � � � �� � ��. Generalize o Exercício resolvido 1, isto é, resolva-o para uma base ortogonal qualquer de ��. Solução Seja � � ���� � ���� � ����. Seguindo a idéia da demonstração do Teorema 1 e fazendo os produtos � � ��� � � �� e � � ��, chegamos a ����� � ���� � ����� � �� � ����� � ���, ����� � ���� � ����� � �� � ����� � ��� e ����� � ���� � ����� � �� � ����� � ���. Então, � ��� � � � � � � � ��� � � � � � �� ��� � ����� ���� � �� � � � � � � ��� � � � � � �� �� � ��� , � � �� � � � � � � � ��� �� � � � � �� �� � � � ����� � ��� � �� � �� � � � � ��� �� � � � � �� �� � �� � � e � � �� � � � � � � � ��� � ��� ���� � � �� ��� � � � � ����� � ��� � �� � � ��� ���� � � ��� � ��� ���� � � �� �� � �� � � � . Logo, �� � , �� � � � , �� � ��, ou seja, � � �� � � � �� � ��. Aula 12 Álgebra Linear I 5 Projeção ortogonal U m problema comum é o de decompor um vetor não nulo dado na soma de doisvetores ortogonais, sendo que um desses tem uma direção já determinada. Porexemplo, se queremos escrever � como soma de um vetor na direção de � com um vetor que lhe seja ortogonal (Figura 1), devemos encontrar vetores �� � tais que � � � � �, � � � � � e � � ��, com � um escalar. Então, queremos encontrar o valor de � tal que � � �� seja ortogonal a �, ou seja, ��� ��� � � � �� � � � � ��� � �� � �� � � � � � � � � . Os vetores encontrados � � �� � � � � � � � e � � �� �� � � � � � � � são, respectivamente, o que chamamos projeção ortogonal de � sobre � e componente de � ortogonal a �. Exercício resolvido 2 Sejam � � � � � � e � � � �� � � . Encontre a projeção ortogonal de � sobre � e a projeção ortogonal de � sobre �. Solução A projeção ortogonal de � sobre � é dada por �� � � � � � � � � � � � � � ���� ��� � .A projeção ortogonal de � sobre � é obtida invertendo-se os papéis de � e �, isto é, �� � � � � � � � � � � � � � ��� ��� � . Figura 1 1 Solução A projeção ortogonal de � sobre � é dada por �� � � � � � � � � � � � � � ���� ��� � .A projeção ortogonal de � sobre � é obtida invertendo-se os papéis de � e �, isto é, �� � � � � � � � � � � � � � ��� ��� � . Aula 12 Álgebra Linear I6 Atividade 2 Repita o Exercício resolvido 2 com � � � �� � � . Qual a projeção ortogonal de � sobre �? E, se � � � �� � � , com � real? Observe que tomamos na atividade 2 todos os múltiplos do vetor � usado no Exercício resolvido 2. O resultado que você deve ter verificado é que qualquer que seja o vetor do subespaço gerado por � � � �� � � , a projeção ortogonal sobre � não se altera. Isso nos remete à próxima definição. Definição – Diz-se que o vetor ��� do subespaço vetorial � de �� é a pro- jeção ortogonal de � sobre � quando �� ��� é ortogonal a � . Exercício resolvido 3 Seja � ��� a projeção ortogonal de � � �� �� �� �� � � sobre o subespaço vetorial do �� gerado por �� � �� � � � � � e �� � �� � � � � � . Encontre uma expressão para � ���. Solução Como o vetor � ��� pertence a � , existem escalares �� � tais que � ��� � ��� � ���. Assim, o vetor �� ���� � ���� é ortogonal a todos os vetores de � . Em particular, chamando de a matriz cujas colunas são os vetores �� e ��, temos �� � � �� � � � �� � �� � � �� � � � �� � �. Ou seja, 1 Solução Como o vetor � ��� pertence a � , existem escalares �� � tais que � ��� � ��� � ���. Assim, o vetor �� ���� � ���� é ortogonal a todos os vetores de � . Em particular, chamando de a matriz cujas colunas são os vetores �� e ��, temos �� � � �� � � � �� � �� � � �� � � � �� � �. Ou seja, Aula 12 Álgebra Linear I 7 Atividade 3 � � �� � � � �� � �� � � � � � � ��� � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �� �� �� �� � � � � � � � � � � �� �� � �� � � � � � � � �� �� �� �� � � � � ��� � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� �� �� �� � � � �� �� � �� � � . Sejam � o subespaço de �� gerado pelos vetores ��� ��� � � � � �� e � ��� �� � � � �� a matriz cujas colunas são os vetores ��� ��� � � � � ��. Use os procedimentos do Exercício Resolvido 3 para mostrar que � ��� � ��� ����� �. 1. su a re sp os ta � � �� � � � �� � �� � � � � � � ��� � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � ��� �� �� �� � � �� ��� � � � � � � � �� �� � �� � � � � � � � � ��� �� �� �� � � �� ��� � ��� � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � �� �� � ��� �� �� �� � � �� �� � � ��� �� � �� � � �� ��. Aula 12 Álgebra Linear I8 Método dos mínimos quadrados Você pode interpretar a projeção ortogonal de um vetor � sobre um subespaço vetorial � como o vetor que minimiza a distância de � a � , conforme demonstrado no próximo teorema. Teorema 2 Seja� um subespaço de �� e seja � ��� a projeção ortogonal de � sobre� . Então, � ��� é o ponto de� mais próximo de �, isto é, �� � ��� � �� � para todo � em� diferente de � ���. Demonstração Seja � pertencente a � diferente de � ���. Então, � � � ��� também está em � e, portanto, é ortogonal a � � � ���. Como � � � � �� � � ���� � � � ��� � ��, o cálculo de � � � � nos dá � � � � � � � � ��� � � � ��� � � �. O fato de � ser diferente de � ��� nos garante que � ��� � � �. Logo, �� � ��� � � �� � � � �� � ��� � �� � . O Teorema 2 também nos garante que a projeção ortogonal de � sobre � é a melhor aproximação de � por vetores de � . Isso pode ser traduzido como encontrar a melhor solução aproximada de um sistema linear. Certos sistemas simplesmente não têm solução ou são tão trabalhosos que é necessário encontrar uma solução aproximada. O problema geral de mínimos quadráticos é encontrar um � que torne � � �� o menor possível. O termo “mínimos quadráticos” vem do fato de que � � �� é a raiz quadrada de uma soma de quadrados. Pelo Teorema 2, a melhor aproximação de � � �� é sua projeção ortogonal sobre o subespaço vetorial gerado pelas colunas de �, �����. Para simplificar a notação, usaremos � � ��������. Como � pertence a �����, é possível Figura 2 Aula 12 Álgebra Linear I 9 Atividade 4 encontrar uma solução � para o sistema �� � �. A solução desse novo sistema é a solução de mínimos quadráticos para �� � �. Exercício resolvido 4 Encontre a solução de mínimos quadráticos do sistema impossível �� � �, em que � � �� � � � �� � � � � � � � �� ��� � ��� � � . Solução Estamos procurando a projeção ortogonal � de � sobre o subespaço vetorial �����. Então, utilizando o desenvolvimento feito no Exercício Resolvido 3, precisamos encontrar � tal que �� � �, o que equivale a resolver o sistema � �� � � �. Assim, calculamos � � � � � � � � �� � � �� � � � �� � � � � � � � � � � � e � � � � � � � � �� � � �� ��� � ��� � � � � � � � . Com isso, temos o sistema � � � � � � � � � � � � � � � � ����� ���� � . Dados os pontos do plano ��� ��,��� ����, ��� ���� e ��� ��, o método dos míni- mos quadráticos pode ser usado para encontrar a reta que mais se aproxima deles. Basta verificar que se uma reta passa por todos os pontos, então existem �� � reais tais que ����� � � � � � � � � � ���� � � � � � ����� � ��� ��� � � ���� . Assim, se não existe tal reta, a que passa mais próximo dos pontos dados é aquela dada pelo método dos mínimos quadráticos. Use-o para determinar a equação dessa reta e faça um desenho de tal situação. 1 Solução Estamos procurando a projeção ortogonal � de � sobre o subespaço vetorial �����. Então, utilizando o desenvolvimento feito no Exercício Resolvido 3, precisamos encontrar � tal que �� � �, o que equivale a resolver o sistema � �� � � �. Assim, calculamos � � � � � � � � �� � � � ��� � � � �� � � � � �� �� � � � � � � � e � � � � � � � � �� � � � ��� ��� � ��� � � �� �� � � � � � . Com isso, temos o sistema � � � � � � � � � � � � � � � � ����� ���� � . Aula 12 Álgebra Linear I10 O processo de ortogonalização de Gram-Schmidt Já usamos o conjunto ���� ��� ��� de vetores do ��, em que �� � �� � � � � � , �� � �� �� � � � � e �� � �� � ��� ���� � � ,como exemplo de uma base ortogonal. Quaisquer múltiplos desses vetores continuam formando uma base ortogonal (verifique isso). Dentre todos estes, o conjunto ���� ��� ���, com �� � �� �� � � � �� � � � � � , �� � �� �� � � � � �� �� � � � � e �� � �� �� � � � �� � ��� ���� � � , merece atenção especial. Além de seus vetores serem ortogonais, têm norma 1. Definição – Uma base ortogonal formada por vetores de norma 1 é dita uma base ortonormal. É conveniente escrever vetores como combinação de bases ortonormais, já que, dados o vetor � e uma base ortonormal ���� ��� � � � � ���, os coeficientes de � � ���� � ���� � � � ������ podem ser determinados por � ��� � ����� ���������� ����� � � ������� ���� � �� � � � �� � � � � � �� �� � � � � � �� �� � � � ��. Aula 12 Álgebra Linear I 11 Exercício resolvido 5 Sejam, �� � ����� � � � � � ���� , �� � ����� � � � � � � ���� e �� � ����� � � � � � ���� . Como esses vetores são linearmente independentes, formam uma base para um subespaço� de��. Cons- trua uma base ortonormal para� . Solução Queremos encontrar uma base� � ���� ��� ��� para � que tenha vetores or- togonais com normas 1. Fixemos �� � �� �� � � � � ����� � � � � � ���� . Para encontrar um vetor ortogonal a ��, consideremos o subespaço vetorial�� gerado por �� e a projeção ortogonal de �� sobre ��, ������ � � �� � �� �� � �� � �� � ����� � � � � � ���� . Lembre-se de que �� � ������ � ����� � � � � � � ���� é ortogonal a ��. Agora, fazemos �� � �� � ������ �� � ������ � ����� � � � � � ���� . Falta então encontrar um vetor �� que seja ortogonal ao subspaço vetorial �� � ���� �� . Ou seja, �� deve ser ortogonal a �� e a �� simultaneamente com norma 1. Logo, �� � �� � ������ �� � ������ . Como ������ está em ��, existem escalares �� � tais que ������ � ���� ���, satisfazendo ���� ����� �������� � � e ���� ����� �������� � �. Disso segue que ������ � ��� � ����� � ��� � �����. Assim, como �� � ������ � ����� � � � � � ���� � � ����� ����� � � � � � ���� � ����� � � � � � ���� ����� � ����� � � � � � ���� , temos �� � ����� � � � � � ���� 1 Solução Queremos encontrar uma base� � ���� ��� ��� para � que tenha vetores or- togonais com normas 1. Fixemos �� � �� �� � � � � � ������������ � � � � � � �� ��������� �� . Para encontrar um vetor ortogonal a ��, consideremos o subespaço vetorial���� gerado por �� e a projeção ortogonal de �� sobre ���� , � ��� ���� � � �� � �� �� � �� � �� � � ������������ � � � � � � �� ��������� �� . Lembre-se de que �� � � ��� ���� � � ������������ � � � � � � � �� ��������� �� é ortogonal a ��. Agora, fazemos �� � �� � � ��� ���� �� � � ��� ���� � � ������������ � � � � � � �� ��������� �� . Falta então encontrar um vetor �� que seja ortogonal ao subspaço vetorial ���� � ���� �� . Ou seja, �� deve ser ortogonal a �� e a �� simultaneamente com norma 1. Logo, �� � �� � � ��� ���� �� � � ��� ���� . Como � ��� ���� está em ���� , existem escalares �� � tais que � ��� ���� � ���� ���, satisfazendo ���� ����� �������� � � e ���� ����� �������� � �. Disso segue que � ��� ���� � ��� � ����� � ��� � �����. Assim, como �� � � ��� ���� � � ������������ � � � � � � �� ��������� �� � � � �� ������������ � ������������ � � � � � � �� ��������� �� � � ������������ � � � � � � �� ��������� �� � ������������ � � ������������ � � � � � � �� ��������� �� , temos �� � � ������������ � � � � � � �� ��������� �� Aula 12 Álgebra Linear I12 Resumo No Exercício resolvido 5, seguimos um algoritmo que é chamado de processo de Gram- Schmidt. Esse processo pode ser aplicado a qualquer base ���� ��� � � � � ��� de um sub- espaço � para encontrar uma base ortonormal ���� ��� � � � � ��� de � . Suas etapas são bem definidas e seguem a seguinte seqüência. Passo 1 – Inicie fazendo �� � �� �� e considere�� � ��� . Passo 2 – Calcule �� � ������ e faça �� � �� � ������ �� � ������ . Considere �� � ���� �� . Passo � – Calcule �� � �������� e faça �� � �� � �������� �� � �������� . Con- sidere���� � ���� ��� � � � � ���� . Começamos definindo conjunto ortogonal como aquele que tem seus elemen- tos ortogonais entre si. Depois, vimos que um conjunto de vetores ortogonais é também linearmente independente. Definindo, assim, uma base para um sub- espaço vetorial. Essa base que é um conjunto ortogonal é chamada de base ortogonal. Passamos à idéia de projeção ortogonal. O vetor � ��� do sub- espaço vetorial � de�� é a projeção ortogonal de � sobre � quando �� � ��� é ortogonal a � . Usamos este conceito para encontrar soluções aproximadas para sistemas lineares através dos mínimos quadráticos. Vimos que esses dão os vetores mais próximos de uma solução em um subespaço determinado. Por fim, apresentamos o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt que nos permite encontrar uma base ortogonal de vetores de norma 1 a partir de qual- quer base dada. Algoritmo É um conjunto das regras e procedimentos que levam à solução de um problema em um número finito de etapas Aula 12 Álgebra Linear I 13 Auto-avaliação Considere a base de �� � � ���� ��� ��� ���, em que �� � � � ����� � � � � � ���� , �� � � � ����� � � �� �� � ���� , �� � � � � ����� � �� � � � ���� , �� � � � � ����� � � � �� � ���� . Dado qualquer vetor � de��, suas coordenadas na base� podem ser encontradas fazendo-se a multiplicação de matrizes � �, com � � ����� ��� ��� �� � � � ��� ��� ��� � � � ��� ���� � �� � � ��� ���� � ��� � � � ���� (perceba que as colunas de A são os vetores de B). Esse procedimento funciona com qualquer base? Por quê? Encontre o produto � � usando a matriz do item anterior. Verifique que matrizes cujas colunas são vetores ortonormais são inversíveis e que suas inversas são suas transpostas. No Exercício Resolvido 5, usamos o processo de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal para o subespaço gerado pelos vetores �� � ����� � � � � � ���� , �� � ����� � � � � � � ���� e �� � ����� � � � � � ���� . Considere a matriz � � ����� � � � � � � � � � � � � � � ���� e verifique que � � �, em que é a matriz cujas colunas são �� � � � � ����� � � � � � ���� , �� � ����� � � � � � ���� e �� � ����� � � � � � ���� , e � é uma matriz triangular superior. Observe que, sempre que as colunas de uma matriz � forem linearmente independentes, podemos ter a fatoração � � �, como no caso de �. 1 2 3 Aula 12 Álgebra Linear I14 Exercícios propostos 1) Encontre a projeção ortogonal de � sobre o subespaço gerado por �� e �� . a) � � � � � � , �� � � � � � , �� � � � � � b) � � �� � � � � � , �� � �� � � � � � , �� � �� � � � � � c) � � �� � � � � , �� � �� �� �� � � � , �� � �� � � � � � 2) Encontre o ponto mais próximo de � no subespaço gerado por �� e �� , no qual � � ����� � � � � � ���� , �� � ����� � � �� � � ���� , �� � ����� � �� � �� � ���� . 3) Nos itens a seguir, encontre uma solução de mínimos quadráticos para �� � �. a) � � �� � �� � � � � � � , � � �� � � � � � b) � � �� � � � � � � � � , � � �� � � � � c) � � ����� � � � � � �� � � � �� � �� � ���� , � � ����� � � � ���� 4) Nos itens a seguir, o conjunto dado é uma base para um subespaço � . Use o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal para� . a) �� � � � � � , �� � �� � � � b) ����� � � � � � ���� , ����� � � � � � ���� , ����� � � � � � ���� , ����� � � � � � ���� 5) Mostre que se � � �, em que tem colunas ortonormais, então, � � �. Aula 12 Álgebra Linear I 15 Referências ANDRADE, C. R. L; BEZERRA, J. Q; BIELSCHOWSKY, R. H. Álgebra linear aplicada. Natal, 2005. (Documento a ser publicado.) LAY, David C. Álgebra linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 1999. 1) a) � � ��� � � � � � b) ��� � �� ��� ���� � � � c) � � ��� � �� � � � � 2) ����� � �� � �� � ���� 3) a) � � � � b) � � �� � c) �� ��� ���� ���� � � 4) a) � � �� � � � � � , � � � �� � �� �� � � b) � � ����� � � � � � ���� , � � ����� � � �� �� � ���� , � � � ����� � � � �� � ���� , � � � ����� � �� � � � ���� 5) Se as colunas de são ortogonais, então sua inversa é . Daí, � � �. Respostas dos Exercícios propostos Aula 12 Álgebra Linear I16 Anotações