Cálculo III (Lista IV)

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Lista IV (Cálculo III) 
 
 
1. Um corpo de massa m é lançado verticalmente para baixo, com uma velocidade escalar 
inicial 0v , num meio que oferece resistência proporcional ao módulo da velocidade. Ache a 
velocidade v em função do tempo t . Ache também a velocidade limite lv do corpo. 
resp: ( ) 0
kt
m
mg mg
v t v e
k k
− = + − 
 
, l
mg
v
k
= . 
 
2. Um corpo de massa m cai, do repouso, num meio que oferece resistência proporcional ao 
módulo da velocidade. Ache o intervalo de tempo que se passa antes da velocidade do corpo 
atingir 90% da sua velocidade limite. 
resp: ( )ln 10mt
k
= . 
 
3. Um corpo de massa m cai, do repouso, num meio que oferece resistência proporcional ao 
quadrado da velocidade. Ache a velocidade v em função do tempo t . Ache também a 
velocidade limite lv do corpo. 
resp: ( )
2
2
1
1
kg
t
m
kg
t
m
mg e
v t
k
e
−
=
+
, l
mg
v
k
= 
 
4. Um corpo de massa m cai, do repouso, num meio que oferece resistência proporcional a 
r
v , onde 0r > é uma constante. Ache a velocidade limite lv do corpo. 
resp: 
1
r
l
mg
v
k
 =  
 
. 
 
5. Suponha que a temperatura de uma xícara de café obedece à lei de resfriamento de Newton. 
Se o café está a uma temperatura de 90º C logo depois de coado e um minuto depois a 
temperatura diminui para 85ºC em uma cozinha que se encontra a 25º C, determine o tempo 
que o café levará para chegar a uma temperatura de 65º C. 
resp: 
( )
( )
40
65
60
65
ln
6,06
ln
t = = min. 
 
6. Suponha que a temperatura de um corpo seja de 30º C no instante da descoberta e 23º C 
duas horas depois. A temperatura ambiente é constante e igual a 20ºC. Estime a hora da 
morte. 
resp: 53min antes do instante da descoberta. 
 
7. Suponha que um corpo à temperatura de 30º C seja descoberto meia-noite e que a 
temperatura ambiente seja constante e igual a 20ºC. O corpo é transportado rapidamente 
(suponha que o transporte seja instantâneo) para o necrotério, onde a temperatura ambiente é 
mantida em 5ºC. Depois de uma hora, a temperatura do corpo é de 15º C. Estime a hora da 
morte. 
resp: 23h: 25min. 
 
8. Suponha que a população da terra está aumentando a uma taxa proporcional à população. 
Calcula-se que no instante 0t = (1650 d.C.) a população da terra era de 600 milhões de 
habitantes ( )86,0 10⋅ e que no instante 300t = (1950 d.C.) era de 2,8 bilhões ( )92,8 10⋅ . 
Determine uma expressão para a população da terra em função do tempo. Supondo que a 
maior população que a terra é capaz de sustentar seja de 25 bilhões de habitantes ( )102,5 10⋅ , 
quando será atingido este limite? 
resp: ( ) 8 0,0051356,0 10 tN t e= ⋅ , 2376 d.C. 
 
9. A população de uma cidade é de 1.000.000 de habitantes. Houve uma epidemia e 10% da 
população contraiu o vírus. Em sete dias esta porcentagem cresceu para 20% . O vírus se 
propaga por contato direto entre os indivíduos doentes e sadios e portanto a taxa de 
propagação é proporcional ao número de contatos. A partir destes dados e supondo que o 
modelo seja fechado, isto é, com o número de habitantes se mantendo constante, calcule a 
proporção de indivíduos doentes em função do tempo. 
resp: ( )
1 4
ln
7 9
1000000
1 9
t
N t
e
 
 
 
=
+
 
 
10. A população de mosquitos em uma certa região aumenta a uma taxa proporcional à 
população e, na ausência de outros fatores, a população dobra a cada semana. Existem 
200.000 mosquitos inicialmente na região e os predadores comem 20.000 mosquitos por dia. 
Determine a população de mosquitos na região em função do tempo. 
resp: ( ) ( )ln 2201991,05 1991,05 tN t e= − 
 
11. A população de pássaros de uma ilha experimenta um crescimento sazonal descrito por 
( )3sen 2dN t N
dt
π= , 
onde t é o tempo em anos. A migração dos pássaros na ilha também é sazonal. A taxa de 
migração é dada por 
( )2000sen 2dN t
dt
π= . 
Logo, a taxa de variação da população de pássaros na ilha é dado por 
( ) ( )3sen 2 2000sen 2dN t N t
dt
π π= + . 
Determine a população de pássaros na ilha ( )N t , sendo a população inicial de 500 pássaros. 
resp: ( )
( )( )3 1 cos 2
2
2000 3500
3 3
t
N t e
π
π
−
= − + . 
 
12. O nuclídeo radioativo plutônio 241 decai de acordo com a equação diferencial ordinária 
0,0525
dQ
Q
dt
= − , 
onde Q está em miligramas e t em anos. Determine a meia-vida do plutônio 241. Ainda, se 
50mg de plutônio estiverem presentes numa amostra no dia de hoje, quanto plutônio existirá 
daqui a 10 anos? 
resp: 13,20 anos, 29,6mg. 
 
 
13. O einsteinio 253 decai a uma taxa proporcional à quantidade do nuclídeo presente. 
Determine a meia-vida se o material perde um terço da sua massa em 11,7 dias. 
resp: 20 dias. 
 
14. O rádio 226 tem a meia-vida de 1620 anos. Ache o intervalo de tempo durante o qual uma 
amostra deste nuclídeo se reduz a três quartos da sua massa original. 
resp: 672 anos. 
 
15. Mostre que, para qualquer material radioativo que decaia segundo a equação 
dQ
rQ
dt
= − , a 
meia-vida τ e a taxa de decaimento r satisfazem a equação ( )ln 2rτ = . 
 
16. Um tanque contém inicialmente 120 litros de água pura. Uma mistura contendo uma 
concentração de γ kg/litro de um certo sal entra no tanque com uma vazão de 2 litros/minuto 
e a solução homogênea deixa o tanque com a mesma vazão. Determine uma expressão em 
termos de γ para a quantidade de sal no tanque em função do tempo t . 
resp: ( ) 60120 1
t
Q t eγ
− 
= − 
 
 
 
17. Considere um tanque usado em certos experimentos de hidrodinâmica. Depois de um 
experimento o tanque contém 200 litros de uma solução de corante com uma concentração de 
1 g/litro. Para preparar o sistema para o experimento seguinte, o tanque é lavado com água 
pura, que entra com uma vazão de 2 litros/minuto. A solução homogênea sai com a mesma 
vazão. Determine o tempo necessário para que a concentração de corante diminua para 1% do 
valor original. 
resp: ( )100ln 100 460,5t = = min 
 
18. Um tanque com 500 litros de capacidade contém originalmente 200 litros de água com 
100 kg de um certo sal em solução. Um fluxo de água contendo 1 kg de sal por litro entra no 
tanque com uma vazão de 3 litros/minuto e a solução homogênea sai do tanque com um vazão 
de 2 litros/minuto. Determine a quantidade de sal no tanque em função do tempo antes que ele 
comece a transbordar. Ainda, determine a concentração de sal no tanque quando este está 
completamente cheio. 
resp: ( ) ( )
( )
2
2
2000
200
200
Q t t
t
= + −
+
, 
121
125
kg/litro.