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Ministério da Educação
Universidade Tecnológica Federal do Paraná/Campus Curitiba
Departamento Acadêmico de Matemática (DAMAT)
PRÉ-CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Conjuntos numéricos e funções reais - NOTAS DE AULA
Profª: Silvana Heidemann Rocha
Curitiba,
2007
2
Caro(a) estudante,
Esta apostila tem o objetivo de auxiliá-lo(a) na revisão de conteúdos básicos para o estudo do Cálculo
Diferencial e Integral.
No entanto, este material não dispensa o estudo em livros, uma vez que não tem a riqueza de
informações de um bom livro.
Caso você encontre erros de quaisquer tipos ou tenha alguma sugestão a fazer, favor comunicar-me.
Assim eu poderei aperfeiçoar o material e colocá-lo a disposição de outros estudantes.
Pode ser usado o conteúdo desta apostila por qualquer pessoa. No entanto, pede-se que seja citada a
fonte.
Grata por sua colaboração e bom estudo.
Profª Silvana Heidemann Rocha
3
ÍNDICE
1. Sistematização dos conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 4
Noção de conjunto, conjuntos importantes (conjunto vazio, unitário, universo, conjuntos iguais, subconjunto, conjunto das
partes, conjuntos disjuntos, par ordenado), operações com conjuntos (união, interseção, diferença, complementar, produto
cartesiano), propriedades das operações com conjuntos, partição de um conjunto, conjuntos numéricos (conjunto dos
números naturais, dos números inteiros, dos números racionais, dos números irracionais, dos números reais, dos números
complexos), estudo dos números reais (módulo de um número real, intervalos).
2. Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 18
Sistema unidimensional ou linear (comprimento de segmento retilíneo orientado, distância entre dois pontos, ponto de
acumulação e vizinhança na reta real), sistema bidimensional ou sistema cartesiano (distância entre dois pontos no plano
cartesiano, bola aberta ou vizinhança e ponto de acumulação no plano cartesiano).
3. Relações e funções no plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 22
Relação binária (domínio, contradomínio, imagem, relação inversa), função de variável real (definição, notação, domínio,
contra-domínio, imagem, funções iguais), gráficos de funções (sinal e zeros de uma função, intervalos de crescimento e
decrescimento, extremos relativos e absolutos de uma função, translação e reflexão de gráficos), classificação de funções
(função injetora, sobrejetora, bijetora, função par, ímpar, função periódica), operações com funções (adição, subtração,
multiplicação e divisão de funções, multiplicação de uma função por um escalar, composição de funções, inversão de
funções), tipos de funções elementares (funções algébricas e funções transcendentes), formas de apresentação de funções
(explícitas, implícitas, paramétricas), funções especiais.
ahiperbólic cossecante da argumento Função
ahiperbólic secante da argumento Função
ahiperbólic cotangente da argumento Função
ahiperbólic tangenteda argumento Função
ohiperbólic cosseno do argumento Função
ohiperbólic seno do argumento Função
inversas
ahiperbólic cossecante Função
ahiperbólic secante Função
ahiperbólic cotangente Função
ahiperbólic tangenteFunção
ohiperbólic cosseno Função
ohiperbólic seno Função
diretas
ashiperbólic ricasTrigonomét1
=
etc
integral Função
derivada Função
sinal Função
inteiromenor Função
inteiromaior Função
modulares Funções
funções Outras
inversas
diretas
ashiperbólic ricasTrigonomét
cossecante arco Função
secante arco Função
cotangente arco Função
tangentearco Função
cosseno arco função
seno arco Função
inversas
cossecante Função
secante Função
cotangente Função
tangenteFunção
cosseno Função
seno Função
diretas
circulares ricasTrigonomét
aLogarítmic
lExponencia
entes transcendFunções
sIrracionai
Q(x)
P(x))( asFracionári
cúbicasou grau 3º
squadráticaou grau 2º
Afim
Linear
grau 1º
Constante
is)(polinomia Inteiras
Racionais
algébricas Funções
selementare Funções
1
xf
4
1) SISTEMATIZAÇÃO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
1.1) Noção de conjunto:
Em Matemática, existem várias teorias de conjuntos e em geral não se define conjunto. Mas,
intuitivamente, conjunto é o mesmo que agrupamento, classe ou coleção de elementos. Geralmente, os
conjuntos são nomeados por letras maiúsculas e os elementos por minúsculas, entre chaves.
Ex.: A = { r, s, t}.
As representações mais comuns de um conjunto é através de uma propriedade de seus elementos, da
enumeração desses elementos ou de diagramas. Um conjunto fica caracterizado pelos seus elementos e não
pela sua representação ou ordem dos elementos.
Ex1.: M = { x / x é o número de erros na página de um livro} (por uma propriedade)
M = {0, 1, 2, ..., n} (pela enumeração dos elementos)
M
(por diagrama)
Ex2: S = {0, 3, 10} = {0, 10, 3} = {3, 0, 10} = {3, 10, 0} = {10, 0, 3} = {10, 3, 0}
Ex3: T = { 1, 3, 3, 5, 5, 5} = {1, 3, 5}
Em geral, usa-se os símbolos ∉∈ e para relacionar elementos com conjuntos, ainda que os
elementos possam ser também conjuntos.
Ex.: Dado o conjunto P = { 1, 2, {1, 2}, {{5}} }, tem-se:
1 ∈ P; 2 ∈ P; {1, 2} ∈ P; {{5}} ∈ P; 5 ∉ P; {1} ∉ P; {5} ∉ P.
1.2) Conjuntos importantes:
Conjunto vazio (φ ): é aquele que não possui elemento algum.
Ex: A = φ ou A = { }.
O conjunto B = {φ } não é vazio.
Conjunto unitário: é aquele que possui um único elemento.
Ex1: {{5}} (Lê-se: O conjunto unitário formado pelo unitário 5).
Ex2: { {6, 7} } (Lê-se: O conjunto unitário formado pelo par não ordenado 6 e 7).
0
1
2
n
M
5
Conjunto universo (U): é um conjunto ao qual pertencem todos os elementos do assunto tratado.
Ex1: A equação (x - 3).(x + 2).(x - )3
1
.(x + 0)1).(2 2 =+x , tem os seguintes conjuntos soluções:
S={3} se U= N (conjunto dos números naturais).
S={-2, 3} se U = Z (conjunto dos números inteiros).
S={-2,
3
1
,3} se U =Q (conjunto dos números racionais).
S = {-2,
3
1
,3, - 2 } se U = R (conjunto dos números reais).
S = {-2,
3
1
,3, - 2 , j, -j} se U = C (conjunto dos números complexos), com j = 1− .
Ex2: Num problema de geometria plana, o conjunto universo é um plano α .
Conjuntos iguais: Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e todo elemento de
B pertence a A. Em símbolos, tem-se: A=B BxAxx ∈⇔∈∀⇔ ,
Ex.: {0, 3, 10} = {0, 10, 3} = {3, 0, 10} = {3, 10, 0} = {10, 0, 3} = {10, 3, 0}
Observação: ∀ = para todo, qualquer que seja. Quando se faz x∀ quer-se dizer: “Para todo x do
universo em questão”.
Subconjunto )(⊂ : Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se e somente se todo elemento de A
pertence também a B. Em símbolos, tem-se:
BxAxxBA ∈⇒∈∀⇔⊂ , .
Com a notação BA ⊂ indicamos que A é subconjunto de B ou que A está contido em B ou que A é parte
de B. O símbolo ⊂ é denominado sinal de inclusão. Quando BA ⊂ também podemos escrever B A⊃ que se
lê “B contém A”.
Ex.: Dado o conjunto P = { 1, 2, {1, 3}, {{5}} }, tem-se:
{1} ⊂ P, pois 1 ∈ P;
{1, 2} ⊂ P, pois 1∈ P e 2 ∈ P;
{1, 3} ⊄ P, pois 3∉ P;
⊂φ P, pois pode-se provar que ⊂φ A, qualquer que seja o conjunto A;
{ {{5}} } ⊂ P, pois {{5}} ∈ P;
{5} ⊄ P , pois 5 ∉ P;
P ⊂ P.
Observação: Sendo A, B e C três conjuntos arbitrários, tem-se:
a) ( BA ⊂ e BAAB =⇒⊂ ) (propriedade anti-simétrica da inclusão )
b) ( BA ⊂ e CACB ⊂⇒⊂ ) (propriedade transitiva da inclusão)
6
Conjunto das partes (PPPP (A)): Dado um conjunto A, define-se conjunto das partes de A ao conjunto formado
por todos os subconjuntos de A. Em símbolos, tem-se: P (A) = {X / X A⊂ }.
Conjuntos disjuntos: Dois conjuntos A e B são denominados conjuntos disjuntos quando não possuírem
elemento comum.
Par ordenado: O par ordenado (a, b) é igual por definição ao par não ordenado {{a}, {a, b}}.
Em símbolos, tem-se:
}},{},{{) ,( baaba
def
= .
Observações:
• (a, b) = }}{},,{{}}{},,{{}},{},{{ aabababaa ==
• (a, b) = }},{},{{),(}},{},{{ bababbaa =≠
• (a, a) = {{a}, {a, a}} = {{a}, {a}}={{a}}
• No par ordenado (a, b), a e b podem representar diversas estruturas matemáticas como, por exemplo,
podem ser conjuntos, números, pares ordenados, matrizes, polinômios.
Ex1: { {3}, { 3, {{4}, {4, 5} } } } = { {3}, { 3, (4, 5) } } = (3, (4, 5) )
Ex2: (a, b) , onde a {∈ matrizes 2 x 2} e b {∈ polinômios de grau 2}
1.3) Operações com conjuntos:
União ( ∪ ): Dados dois conjuntos A e B, define-se a união de A e B como o conjunto formado pelos
elementos que pertencem a A ou a B. Assim: AxxBA ∈=∪ /{ ou }Bx ∈ .
Interseção ( :)∩ Dados dois conjuntos A e B, define-se a interseção de A e B como o conjunto formado pelos
elementos que pertencem a A e a B. Assim: AxxBA ∈=∩ /{ e }Bx ∈ .
Diferença (−−−−): Dados dois conjuntos A e B, define-se a diferença entre A e B como o conjunto formado pelos
elementos de A que não pertencem a B. Assim: A− B = { Axx ∈/ e }Bx ∉
Complementar de B em relação a A ( CAB ): Dados dois conjuntos A e B, tal que B ⊂ A, define-se o
complementar de B em relação a A como o conjunto A− B, isto é, o conjunto dos elementos de A que não
pertencem a B. Assim: CAB = A− B.
A notação CB representa o complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja, CB = U− B .
Alguns autores denotam o complementar de B em relação ao conjunto universo U por B .
7
Produto cartesiano: Dados A e B dois conjuntos não vazios. Define-se o produto cartesiano de A por B
como o conjunto A X B (lê-se: A cartesiano B ou produto cartesiano de A por B) cujos elementos são todos
pares ordenados (x, y), onde o primeiro elemento x pertence a A e o segundo elemento y pertence a B.
Em símbolos:
A X B = {(x, y) / x∈A e y ∈B}.
Ex.: Dados S = {a, 3, {1, 2}} e T = { 5, {6}}, tem-se:
a) S X T = { (a, 5), (a, {6}), (3, 5), (3, {6}), ({1,2}, 5), ( {1,2}, {6} ) }
b) T X S = { (5, a), (5, 3), (5, {1,2}), ({6}, a), ({6}, 3), ( {6}, {1,2} ) }
Se A ou B for o conjunto vazio, define-se o produto cartesiano de A por B como sendo o conjunto vazio.
Ex.: A X φφ = , φ X B = φ , φ X φ = φ .
Observações:
• ABA ⇒≠ X B ≠ B X A.
• Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos respectivamente, então A X B é um conjunto finito
com mn elementos.
• Se A ou B for infinito e nenhum deles for vazio, então A X B é um conjunto infinito.1
1.4) Propriedades das operações com conjuntos:
Sendo A, B e C três conjuntos arbitrários e U o conjunto universo, tem-se:
i) AAA =∪
ii) AA =∪ φ
iii) A UU =∪
iv) AAA =∩
v) A φφ =∩
vi) AUA =∩
vii) ABBA ∪=∪ (comutativa em relação à união)
viii) )()( CBACBA ∪∪=∪∪ = CBA ∪∪ (associativa em relação à união)
ix) ABBA ∩=∩ (comutativa em relação à interseção)
x) CBACBA ∩∩=∩∩ )()( = CBA ∩∩ (associativa em relação à interseção)
1
Conjunto finito é um conjunto que tem n elementos, sendo n um número natural. Um conjunto X é dito infinito se admitir
subconjunto Y, com YX ≠ , tal que X e Y possam ser colocados em correspondência biunívoca, isto é, YXf →: é uma bijeção.
Um conjunto infinito pode ser enumerável ou não. Um conjunto é dito contável ou enumerável se puder ser colocado em
correspondência biunívoca com o conjunto dos números naturais, caso contrário, o conjunto é não contável ou não enumerável. O
conjunto dos naturais N é infinito, pois por exemplo considere o subconjunto {0,2,4,6,...} de N. (Cf. SANT’ANNA, Adonai S. O que
é um conjunto. Barueri: Manole (no prelo) ).
8
xi) )()()( CABACBA ∪∩∪=∩∪ (distributiva da união em relação à interseção)
xii) )()()( CABACBA ∩∪∩=∪∩ (distributiva da intersecção em relação à união)
xiii) )()()( CABACBA ∩−∩=−∩ (distributiva da interseção em relação à diferença)
xiv) φ=∩ AAC , onde CA é o complementar de A em relação ao conjunto universo U.
xv) φ=CU e UC =φ
xvi) AA CC =)(
xvii) CBABA ∩=−
xviii) CC ABBA −=−
xix) CCC BABA ∩=∪ )( (Primeira Lei de Morgan)
Generalização: Cn
CC
n
i
C
i
C
n
i
i
C
n AAAAAAAA ∩∩∩==
=∪∪∪
==
...)...( 21
11
21 IU
xx) CCC BABA ∪=∩ )( (Segunda Lei de Morgan)
Generalização: Cn
CC
n
i
C
i
C
n
i
i
C
n AAAAAAAA ∪∪∪==
=∩∩∩
==
...)...( 21
11
21 UI
xxi) CCC BABA )( ∩=∪
xxii) )()(( BAABABABA C ∩∪=∩−∪=∪
xxiii) CCC BABA )( ∪=∩
xxiv) A= )( BAA ∩∪
xxv) A= )( BAA ∪∩
xxvi) )()( BABAA −∪∩=
xxvii) A= )()( CBABA ∩∪∩
xxviii) BA ⊂ ⇒ CC BA ⊃ ∨ CC AB ⊂ Obs.: ∨ = ou
xxix) BA ⊂ e DC ⊂ ) X () X ( DBCA ⊂⇒ , onde X = produto cartesiano.
xxx) ) X ( ) X ()( X CABACBA ∪=∪ (distributiva do produto cartesiano em relação à união)
xxi) ) X ( ) X ()( X CABACBA ∩=∩ (distributiva do produto cartesiano em relação à interseção)
xxxii) CACBBA ⊂⇒⊂∧⊂ )()( . Obs.: ∧ = e
Observações:
• As propriedades das operações com conjuntos, enunciadas anteriormente, são demonstráveis no
contexto da teoria de conjuntos mais usual (aquela que faz uso do Cálculo Proposicional Clássico L e do
Cálculo de Predicados). Para demonstrar uma dessas propriedades, deve-se ater às definições (por
exemplo, à simbologia, às fórmulas, às regras de inferência) da teoria em questão.
Ex.: Prove a lei comutativa da união de conjuntos ABBA ∪=∪ .
9
Prova:
BUAxAxBxBxAxBAxx
sconjdoisdeuniãoda
definiçãoc
Ll ClássicooposicionaCálculo
verdadestabelasconforme
sconjdoisdeuniãoda
definiçãoc
∈∈∨∈∈∨∈∪∈∀ ⇒⇒⇒
.'
onforme
Pr
do
.'
onforme
)()()()( , .
Logo, ABBA ∪=∪ .
Tabela verdade da disjunção ∨ (ou)
do Cálculo Proposicional Clássico L (Cálculo L)
A ∨ B
V V V
V V F
F V V
F F F
1ºpasso 3º passo 2º passo
Notas: 1) V=verdade, F=falsidade. 2) A e B são fórmulas do Cálculo L.
3) A indicação “1º, 2º, 3º passos” na última linha da tabela serve apenas para
indicar a ordem em que a tabela deve ser preenchida. 4) Essa última linha não faz
parte de uma tabela verdade do Cálculo L.
• Em Matemática, o processo de demonstração de uma propriedade ou de um teorema não é único. Na
prática, muitos autores mesclam o uso da linguagem formal da teoria em questão com o uso da
linguagem natural dos seus interlocutores, a fim de se fazerem compreender por aqueles que não estão
habituados à linguagem formal da teoria em questão (no exemplo acima, a teoria de conjuntos mais
usual em matemática no Brasil). Ao desenvolver um processo de demonstração, deve-se estar atento
para não corromper a idéia que se deseja provar.
• Provar algo, mesmo em Matemática, é convencer o interlocutor a respeito de uma idéia através do uso
da razão.
1.5) Partição de um conjunto:
Definição: Os subconjuntos A1, A2, ..., An formam uma partição do conjunto U se:
i) Ai ≠ ∅, ∀ i = 1, 2, ..., n
ii) Ai ∩ Aj = ∅, para i ≠ j (ou seja, Ai e Aj são conjuntos disjuntos), com j = 1, 2, ..., n.
iii) UA
n
i
i =
=
U
1
Tabela verdade da bicondicional ⇔
do Cálculo Proposicional Clássico L (Cálculo L)
A ⇔ B
V V V
V F F
F F V
F V F
1º 3º 2º
Tabela verdade
) ( BA ∨ ⇔ ) ( AB ∨
V V V V V V V
V V F V F V V
F V V V V V F
F F F V F F F
1º 3º 2º 5º 2º 4º 1º
Nota: Comparam-se os passos 3º e 4º para compor o 5º (conclusão).
Como os resultados do 5º passo (conclusão) foram todos V
(verdadeiro), então a fórmula ((A ∨ B) ⇔ (B ∨ A)) é uma
tautologia, ou seja, as fórmula (A ∨ B) e (B ∨ A) são equivalentes.
10
Ex:
Em resumo, uma partição de um conjunto U é uma coleção de subconjuntos não-vazios e disjuntos de
U, cujas uniões são iguais a U.
1.6) Conjuntos numéricos:
1.6.1) Conjunto dos números naturais (N):2
N = {0, 1, 2, 3, ... } ou . . . . . ...
0 1 2 3 4
No conjunto dos naturais são definidas duas operações fundamentais: a adição e a multiplicação.
Propriedades:
Sendo a, b e c N∈ , tem-se:
(a + b) + c = a + (b + c) (associativa da adição)
a + b = b + a (comutativa da adição)
a + 0 = a (elemento neutro da adição)
(ab)c = a(bc) (associativa da multiplicação)
ab = ba (comutativa da multiplicação)
a.1 = a (elemento neutro da multiplicação)
a(b + c) = ab + ac (distributiva da multiplicação em relação à adição)
Observação:
Sendo a e b números naturais, o símbolo a - b não tem significado em N, pois o simétrico de b
não existe em N (em símbolos, -b )N∉ . Dessa forma, a subtração não é uma operação em N e os demais
conjuntos numéricos (Z, Q, R-Q , R e C) constituem ampliações de N, a fim de solucionarem os
problemas que motivaram essa ampliação.
2
Historicamente, aceita-se que o número zero foi inventado aproximadamente 800 depois de Cristo, para representar a linha vazia do
ábaco. Mas há evidências de que outros povos além dos hindus tinham um símbolo para representar o nada. (Cf. BOYER, Carl B.
História da matemática. 2 ed. São Paulo: Blücher, 1996). Aqui será assumido que o zero pertence ao conjunto dos naturais, embora
exista controvérsia a respeito. A criação dos números naturais foi motivada pela necessidade de contagem e o ser humano efetua
processos de contagem desde a idade antiga. Sobre a origem dos números negativos, racionais, irracionais, reais e complexos, ver
BOYER, 1996 ou GARBI, Gilberto. O romance das equações algébricas. São Paulo: Makron Books, 1997.
A1
A3
A2
An
...
An-1
U
11
1.6.2) Conjunto dos números inteiros (Z):
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } ou ... . . . . . ...
-2 -1 0 1 2
Subconjuntos de Z:
Z+ = {0, 1, 2, 3, ... } = N (conjunto dos inteiros não negativos)
Z
-
= {..., -3, -2, -1, 0} (conjunto dos inteiros não positivos)
Z* = Z - {0}= {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... } (conjunto dos inteiros não nulos)
=+
*Z {1, 2, 3, ... } (conjunto dos inteiros positivos)
=
−
*Z {..., -3, -2, -1} (conjunto dos inteiros negativos)
Propriedades:
Sendo a, b e c Z∈ , tem-se:
(a + b) + c = a + (b + c) (associativa da adição)
a + b = b + a (comutativa da adição)
a + 0 = a (elemento neutro da adição)
a + (-a) = 0 (simétrico ou oposto aditivo)
(ab)c = a(bc) (associativa da multiplicação)
ab = ba (comutativa da multiplicação)
a.1 = a (elemento neutro da multiplicação)
a(b + c) = ab + ac (distributiva da multiplicação em relação à adição)
Devido a existência ( existe=∃ ) em Z de elemento simétrico para a adição ( ∀ a Z∈ , ∃ -a Z∈ tal que
0)( =−+ aa ) é possível definir em Z a operação de subtração, estabelecendo que ZbZa ∈∀∈∀ , , tem-se
).( baba −+=−
No entanto, o inverso de um número inteiro q, com q ≠ 1 e q ≠ –1, não existe em Z, isto é, Z
q
∉
1
se
}1,1{−−∈ Zq . Por isso não se define em Z a operação de divisão. O símbolo
q
p
não tem significado em Z. O
conjunto dos racionais supera esta dificuldade.
12
1.6.3) Conjunto dos números racionais (Q):
Q =
∈∈ Z q e Z p com , *
q
p
ou ... . . . . . . . . .. . ...
-2
2
3
−
-1 -0,1 0 0,25 1 1,333... 2 2,004
No conjunto dos racionais valem as seguintes definições:
(i) igualdade: bcad
d
c
b
a
=⇔=
(ii) adição:
bd
bcad
d
c
b
a +
=+
(iii) multiplicação:
bd
ac
d
c
b
a
=.
Propriedades:
Sendo
d
c
b
a
, e f
e
Q∈ , tem-se:
)()( f
e
d
c
b
a
f
e
d
c
b
a
++=++ (associativa da adição)
b
a
d
c
d
c
b
a
+=+ (comutativa da adição)
b
a
b
a
=+ 0 (elemento neutro da adição)
0)( =−+
b
a
b
a
(simétrico ou oposto aditivo)
).()..( f
e
d
c
b
a
f
e
d
c
b
a
= (associativa da multiplicação)
b
a
d
c
d
c
b
a
.. = (comutativa da multiplicação)
b
a
b
a
=1. (elemento neutro da multiplicação)
f
e
b
a
d
c
b
a
f
e
d
c
b
a
..)( +=+ (distributiva da multiplicação em relação à adição)
1. =
a
b
b
a
, com 0≠
b
a
(simétrico ou inverso para a multiplicação)
Devido à propriedade do simétrico multiplicativo (∀ Q
b
a
∈ e 0≠
b
a
, ∃ Q
a
b
∈ tal que 1. =
a
b
b
a ),
define-se em Q* = Q – {0} a operação de divisão, estabelecendo-se que
c
d
b
a
d
c
b
a
.: = para *Q
b
a
∈ e *Q
d
c
∈ .
Todo número racional
b
a
pode ser representado por um número decimal. Para isso, basta dividir o
numerador a pelo denominador b. O número decimal obtido pode ter uma quantidade finita de algarismo
(decimal exata) ou ter uma quantidade infinita de algarismos que se repetem periodicamente (dízima periódica).
13
Todavia, os números decimais com uma quantidade infinita de algarismos não periódicos (dízimas
não periódicas) não podem ser obtidos através da divisão de dois números inteiros. Por isso, as dízimas não
periódicas não são consideradas números racionais.
Se Q
b
a
∈ e n é um número natural tal que n 2≥ , nem sempre n
b
a
é racional. Assim, a operação de
radiciação não pode ser definida em Q. O conjunto dos reais supera este impedimento.
1.6.4) Conjunto dos números irracionais (R - Q):
Os números irracionais são dízimas não periódicas como, por exemplo, 2 =1,4142136...;
=
4 5 1,495348...; ...;141592,3=pi e = 2,718281...; 1,010010001...
Se α é um número irracional e r é um número racional, então ,r+α ,.rα
r
α
e
α
r
são números
irracionais.
1.6.5) Conjunto dos números reais (R):
O conjunto dos números reais é formado por todos os números decimais, sejam eles decimais exatos,
dízimas periódicas ou dízimas não periódicas, isto é, os números reais são formados pelos racionais e pelos
irracionais.
Assim, R = Q ∪ (R - Q ) e geometricamente a reta dos números reais é a única reta contínua dos
conjuntos até aqui estudados. Os conjuntos N, Z, Q e (R – Q) são representados geometricamente por um
conjunto de pontos espaçados entre si. Você sabe dizer por quê?
A reta dos reais é representada pela figura e estão localizados sobre essa reta
todos os números racionais e irracionais.
Propriedades:
Sendo a, b e c R∈ , tem-se:
)()( cbacba ++=++ (associativa da adição)
abba +=+ (comutativa da adição)
aa =+ 0 (elemento neutro da adição)
0)( =−+ aa (simétrico ou oposto aditivo)
).()..( cbacba = (associativa da multiplicação)
abba .. = (comutativa da multiplicação)
aa =1. (elemento neutro da multiplicação)
acabcba +=+ )( (distributiva da multiplicação em relação à adição)
11. =
a
a , com 0≠a (simétrico ou inverso para a multiplicação)
R
14
Como ∀a R∈ , ∀ b R∈ tem-se a - b = a + (-b) , então a operação de subtração está definida em R.
Como ∀a R∈ , ∀ b *R∈ tem-se a : b = a.
b
1
, então a operação de divisão está definida em R*.
Como os conjuntos Q e (R – Q) são subconjuntos de R, então a radiciação pode ser definida em R+,
isto é, n a R∈ para todo a +∈ R . Desde que o índice da raiz (n) seja ímpar, os radicais da forma n a− , com
+∈ Ra , também representam números reais.
No entanto, n a− R∉ se a *+∈ R . Por exemplo, R∉−1 , pois
211 xx =−⇒=− e tal situação é
impossível se x .R∈ O conjunto dos números complexos dá conta desse impedimento.
1.6.6) Conjunto dos números complexos (C):
Pode-se definir o conjunto dos números complexos como o conjunto dos pares ordenados (x, y) de
números reais para os quais estão definidas a igualdade, a adição e a multiplicação conforme abaixo.
Tomando dois elementos (a,b) e (c,d) 2R∈ , com R2 = R X R, tem-se:
(i) igualdade: (a, b) = (c, d) ca =⇔ e b = d
(ii) adição: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(iii) multiplicação: (a, b).(c, d) = (ac - bd, ad + bc)
Todo número complexo z = (a,b) pode ser escrito sob a forma algébrica z = a + bi, onde a unidade
imaginária i é definida como i = 1− , obtendo-se 12 −=i .
É isso que justifica a definição da multiplicação em C como (a, b).(c, d) = (ac - bd, ad + bc), uma vez
que essa igualdade equivale a
),()()).(( 2 bcadbdacibcadbdacbdibciadiacdicbia +−=++−=+++=++
Nos livros de engenharia, é usual denotar-se a unidade imaginária por j, obtendo-se por exemplo
bjaz += .
Observações:
• O conjunto C dos números complexos não é igual ao conjunto R2, uma vez que pela definição
de conjuntos iguais os elementos de C e de R2 não são os mesmos. Por exemplo: (a, b) ∈ C
significa que a componente b está sendo multiplicada pela unidade imaginária, ou seja, (a, b) é
apenas uma forma de representar o número complexo a + bi.
• Um número complexo z = a + bi pode ser representado ainda na forma trigonométrica ou polar
).(cos θθρ seniz += , bem como na forma exponencial θρ iez .= . Geometricamente, os
números complexos são representados num plano denominado plano de Argand-Gauss.
15
Propriedades:
Sendo z1, z2 e z3 C∈ , tem-se:
(z1 + z2) + z3 = z1 + ( z2 + z3 ) (associativa aditiva)
z1 + z2 = z2 + z1 (comutativa aditiva)
z + (0,0) = z (elemento neutro aditivo)
z + (-z) = (0,0) (elemento simétrico ou inverso aditivo)
(z1 . z2) . z3 = z1 . ( z2 . z3 ) (associativa multiplicativa)
z1 . z2 = z2 . z1 (comutativa multiplicativa)
z.(1,0) = z (elemento neutro multiplicativo)
z.( ), 2222 ba
b
ba
a
+
−
+
= (1,0) (elemento inverso multiplicativo), com z = (a, b)
z1. ( z2 + z3) = z1. z2 + z1 .z3 ) (distributiva da multiplicação em relação à adição)
1.7) Estudo dos números reais:
1.7.1) Valor absoluto ou módulo de um número real:
Definição:
<
≥
=
0 x sex -
0 xse x
x .
De acordo com a definição anterior, para todo x R∈ tem-se 0≥x .
Propriedades - Resolva os exercícios 04 e 05 da lista a seguir e sintetize as propriedades do módulo de
números reais.
1.7.2) Intervalos:
Intervalo é um subconjunto dos números reais.
Ex.: [ ]ba, , (a, b), ),[ ba e ],( ba que são, respectivamente, intervalo fechado, intervalo aberto,
intervalo fechado à esquerda e aberto à direita, intervalo aberto à esquerda e fechado à direita.
Os intervalos [ ]ba, , (a, b), ),[ ba e ],( ba são denominados intervalos limitados3. Em cada um desses
intervalos, o número a é denominado ínfimo ou extremo inferior do intervalo e o número b é denominado
supremo ou extremo superior. O ínfimo e o supremo podem ou não pertencer ao intervalo.
3
Um subconjunto X dos números reais ( RX ⊂ ) é limitado superiormente quando existe XxxbRb ∈∀≥∈ , / . Essa
afirmação é equivalente a dizer ],( bX −∞⊂ . Cada número real b com esta propriedade é denominado cota superior de X. A menor
das cotas superiores é denominada supremo ou extremo superior. Analogamente, RX ⊂ é limitado inferiormente quando existe
Xxx aRa ∈∀≤∈ ,/ . Essa afirmação é equivalente a dizer ),[ +∞⊂ aX . Cada número real a com esta propriedade é denominado
cota inferior de X. A maior das cotas inferiores é denominada ínfimo ou extremo inferior. Se RX ⊂ for limitado superiormente e
inferiormente, diz-que X é limitado, ou seja, quando existem a e b tais que ],[ baX ⊂ .
16
Os intervalos (- ∞ , b], (- ∞ ,b), [a, + ∞ ) , (a, + ∞ ) e (- ∞ , + ∞ ) são denominados intervalos
ilimitados.
Os intervalos (- ∞ , b] e (- ∞ ,b), por exemplo, podem ser denominados também intervalos
limitados superiormente. Analogamente, os intervalos [a, + ∞ ) e (a, + ∞ ) são intervalos limitados
inferiormente.
EXERCÍCIOS
01) Em cada item, faça um diagrama como o abaixo e assinalar nele os seguintes conjuntos:
a) CBA ∩∩ b) )( CBA ∩∪
c) )( CBA ∩− d) ACB −∪ )(
e) )()( CABA ∩−∪ f) )( CBA ∪−
g) CBA − .
h) CBA )( ∪ i) )( BAAC ∪−
02) Desenhe um diagrama de Venn representando quatro conjuntos A, B, C e D não vazios de modo que se
tenha ,BA ⊄ ,AB ⊄ )( BAC ∪⊃ e D )( BA ∩⊂ .
03) Expresse através de um diagrama de Venn o seguinte teorema: “Se A B⊂ , então CC BA ⊃ ou CC AB ⊂ ,
onde CA e CB são os conjuntos complementares de A e de B em relação a U, respectivamente”.
04) Sendo a, b e c números reais, assinale V para verdadeiro e F para falso. Se a afirmação for verdadeira dê
um exemplo, se for falsa dê um contra-exemplo e explicite a sentença correta:
a) Se a > b e b > c, então a > c b) Se a > b e c > 0, então ac < bc.
c) Se a > b e c < 0, então ac > bc d) Se a> b, então a + c > b +c para todo c real
e) Se a > b e c > d, então a + c > b + d f) Se a > b> 0 e c > d > 0, então ac < bd
g) ,axaax <<−⇔< onde a > 0 h) ,axaax <<−⇔> onde a > 0
i) Se a, b ,R∈ então |a . b| = |a| . |b|. j) Se a, b R∈ e b ≠ 0, então
b
a
b
a
= .
l) Se a, b ,R∈ então ba + ≥ |a| + |b|. m) Se a, b ,R∈ então ba − ≤ |a| + |b|.
n) Se a, b ,R∈ então |a| − |b| ≥ ba −
o) Se a, b ,R∈ então ≤− ba ||−|| ba ba −≤ ≤ |a| + |b|.
p) Se |a| = |b| então a = b. q) aa =2 , para todo a ∈ R.
r) |a|2 = a2, com a R∈
A B
U
C
17
05) Mostre que:
a) ,axaax <<−⇔< onde a > 0.
b) ⇔> ax x>a ou x < -a, onde a > 0.
06) Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo:
a)
4
35
<
x
b)
3
1
4
3
3
152 xxx −++<− c) 82 ≤x
d) ( ) 03 4 >−x e) (3x – 7,5)5< 0 f) (4 – 5x)6 0≤
g) 1 − x − 2x2 0≥ h) (x2 − 1).(x + 4) ≤ 0 i) x4 2x≥
j) x3 + 1 > x2 + x l) x3 – x2 – x – 2 > 0 m) x3 – 3x + 2 0≤
n) 8x3 – 4x2 < 2x –1 o) 2
3
1
1
−
≥
+ xx
p) 1
2
2
2
2 ≤
−
+≤
− x
x
x
q)
x
x
x
x
+
<
−
+
32
1
r)
>
+
++
−≤
−
−
x
x
xx
x
x
1
3
2
1
52
2 s)
( ) 0)3).(273(
.299)52(
32
24
≥
−++
−+−−
xxx
xxx
07) Resolva as equações em R e esboce, se possível, a interpretação gráfica de cada uma delas:
a) | 5x − 3| = 12 b) | 2x − 3| = | 7x – 5| c) | 3x + 2| = 5 − x
d) | 9x| − 11 = x e) 2x − 7 = | x| + 1 f) | 3x – 2| = 3x – 2
g) | 4 – 3x| = 3x – 4 h) | x +3| + | x| = 7 i) 5
2
2
=
−
+
x
x
08) Resolver as inequações em R:
a) | x + 12| < 7 b) | 2x − 5| > 3 c) | 4x − 7| ≥ −1 d) | 2x + 4| < −3
e) 1 < | x + 2| < 4 f)
2
1
12
5
−
≥
− xx
g) 3| x - 1| + | x| < 1 h)
5
1
3.1
1 ≥
−+ xx
i) 1
2/1
2/1
<
+
−
x
x
j) xxx <++− 1562 l) xx 342 <− m) xxx −≤−− 462
n) 642 ≥−+− xx
09) Mostre que se a, b R∈ e a < b, então:
a) (x − a).(x − b) ⇒≥ 0 x ∉ (a, b).
b) (x − a).(x − b) ⇒< 0 x ∈ (a, b).
18
2) SISTEMAS DE COORDENADAS
Conceito: Sistemas de coordenadas são referenciais pelos quais se estabelece uma correspondência
recíproca entre pontos geométricos e números reais. Esses sistemas são usados para investigação analítica (que
procede por análise) de propriedades geométricas como, por exemplo, determinar a equação de uma curva
geométrica.
2.1) Sistema unidimensional de coordenadas ou sistema linear:
Neste sistema, um ponto pode mover-se livremente sobre a reta dos números reais, denominada mais
simplesmente de reta real. A reta real representa geometricamente o espaço de dimensão um. A orientação
positiva da reta é da esquerda para a direita, sendo O um ponto fixo sobre essa reta. O ponto O é denominado
origem do sistema e a reta real orientada é denominada eixo.
A distância de um ponto P à origem é x vezes o comprimento adotado como unidade de medida na
escala do eixo. Se P localiza-se à direita da origem O, x é positivo. Se P localiza-se à esquerda de O, x é
negativo.
Nessa correspondência entre o ponto P e o número real x, dizemos que:
• P tem coordenada (x);
• P é a representação geométrica ou gráfica do número real x;
• A coordenada (x) é a representação analítica de P;
• Há correspondência biunívoca entre ponto geométrico e número real, ou seja, a cada número real
corresponde um e único ponto sobre o eixo e a cada ponto sobre o eixo corresponde um e único número
real.
Geralmente escrevemos o ponto P e sua coordenada juntos, assim: P(x).
A origem O tem coordenada 0 (zero) e o ponto A, correspondente à unidade de comprimento, tem
coordenada 1.
Ex.:
Comprimento de segmento retilíneo orientado:
Num sistema linear de coordenadas, o comprimento do segmento retilíneo orientado 21PP determinado
por dois pontos dados )( 11 xP e )( 22 xP é obtido, tanto em grandeza como em sinal, subtraindo-se a coordenada
do ponto inicial 1P da coordenada da extremidade 2P . Assim:
1221 xxPP −=
A O P
0 1
R
x
19
Distância entre dois pontos no sistema linear:
A distância d entre dois pontos dados )( 11 xP e )( 22 xP é definida como o valor absoluto do
comprimento do segmento retilíneo determinado por estes dois pontos. Assim:
1221 xxPPd −==
Ponto de acumulação e vizinhança na reta real:
Um número Ra ∈ chama-se ponto de acumulação do conjunto X R⊂ quando todo intervalo aberto
( εε +− aa , ), de centro a, contém algum ponto x X∈ diferente de a, onde ε >0 é o raio do intervalo.
Se a é ponto de acumulação à direita do conjunto X, então todo intervalo [a, a+ε ), com ε >0, contém
algum ponto de X diferente de a. Analogamente, se a é ponto de acumulação à esquerda do conjunto X, então
todo intervalo (a - ε , a], com ε >0, contém algum ponto de X diferente de a.
A condição “a é ponto de acumulação de X” exprime-se simbolicamente por:
εε <−<∈∃>∀ axXx 0/,0 ,
onde ε<− ax , equivalente a ε−a < x < a+ε ou -ε < ax − <ε ou x ),( εε +−∈ aa , representa a
vizinhança de raio ε do ponto a.
Geometricamente, tem-se:
2.2) Sistema bidimensional de coordenadas:
Conceito: É um sistema no qual um ponto pode se mover livremente para todas as posições num plano.
Para localizar um ponto num plano é necessário um sistemas de coordenadas que pode ser, por
exemplo, o sistema cartesiano de coordenadas retangulares, o sistema cartesiano oblíquo ou o sistema de
coordenadas polares. Em geral, em Cálculo Diferencial e Integral I é dado enfoque ao estudo do sistema de
coordenadas cartesianas retangulares ou sistema cartesiano ortogonal. O sistema de coordenadas polares, o
sistema cartesiano oblíquo, bem como os sistemas tridimensionais de coordenadas ficam a cargo de outras
disciplinas.
2.2.1) Sistema de coordenadas cartesianas retangulares ou plano cartesiano:
Este sistema é formado por duas retas orientadas denominadas eixos coordenados, perpendiculares entre
si. O ponto O de intersecção entre os eixos coordenados é denominado origem do sistema. Vide figura 1.
O eixo Ox ou mais comumente eixo x é denominado eixo das abscissas e o eixo Oy ou eixo y é o eixo
das ordenadas. A orientação positiva do eixo x é para a direita. A orientação positiva do eixo y é para cima. Os
eixos coordenados x e y dividem o
plano em quatro quadrantes, numerados conforme a figura 1.
a ε+a ε−a
) (
R
X
20
Sobre o eixo das abscissas e à direita de O, marca-se o ponto A, correspondente a unidade de
comprimento do eixo x. Analogamente, sobre o eixo das ordenadas e acima de O, marca-se o ponto B,
correspondente a unidade de comprimento do eixo y. Os segmentos OBOA e , que representam as escalas
utilizadas respectivamente no eixo x e no eixo y, não necessitam ter exatamente a mesma medida, uma vez que
x e y geralmente representam grandezas distintas como, por exemplo, tempo e velocidade, tempo e
deslocamento, lado e área, etc. Como em Matemática x e y são grandezas quaisquer, é usual adotar a mesma
escala para ambos os eixos coordenados. Essa escala é denominada escala identidade.
Cada ponto P pode ser inequivocadamente localizado no plano cartesiano mediante um par ordenado
),( yx , onde x é a abscissa de P e y é a sua ordenada. No par ordenado (x,y) x e y não podem ser trocados de
lugar, pois há uma relação de ordem no par. Os números reais x e y são denominados coordenadas retangulares
de P. O módulo da abscissa x representa a distância que P está do eixo y e o módulo da ordenada y representa a
distância que P está do eixo x.
Para cada ponto distinto P no plano cartesiano há um e apenas um par de coordenadas (x, y).
Inversamente, qualquer par de coordenadas (x, y) determina um e apenas um ponto no plano coordenado.
Portanto, no sistema de coordenadas retangulares, há uma correspondência biunívoca entre cada ponto
geométrico e um par ordenado de números reais.
A localização de um ponto por meio de suas coordenadas é denominada gráfico do ponto. O gráfico de
pontos é facilitado pelo uso de papel de coordenadas retangulares (papel quadriculado).
Os pontos do plano cujas ordenadas são zero localizam-se sobre o eixo x e os pontos cujas abscissas são
zero localizam-se sobre o eixo y.
O
x
y
P(x,y)
Px
Py
xPxP eixo o sobre ponto do ortogonal projeção=
yPyP eixo o sobre ponto do ortogonal projeção=
1
A
y
x O
I(+,+) II(-,+)
III(-, -) IV (+,_)
α
B 1
Figura 1
21
Distância entre dois pontos no plano cartesiano:
Exercício:
Localize num plano cartesiano dois pontos P1(x1, y1) e P2 (x2, y2), onde x1, x2, y1 e y2 são
números reais quaisquer, e determine a distância entre P1 e P2.
Solução:
No triângulo 21MPP tem-se: 121 yyMP −= e 122 xxMP −= .
O estudante deve estar atento ao conceito de distância entre dois pontos no sistema unidimensional, para
não tomar, por exemplo, a distância entre P1 e M, dada pelo valor absoluto do comprimento do segmento
orientado MP1 , como negativa, uma vez que neste caso .012 <− yy É comum o erro 121 yyMP −= .
Pelo teorema de Pitágoras, vem:
2
12 PP =
2
1MP +
2
2MP ⇒
2
12 PP =
2
12 yy − +
2
12 xx − ⇒
2
12 PP =
2
12 )( xx − + 212 )( yy − , pois Raaa ∈∀= ,22 . Fazendo d = 12 PP , vem:
2
12
2
12 )()( yyxxd −+−= .
Bola aberta ou vizinhança no plano cartesiano:
Sejam P0 (x0, y0) 2R∈ e ε > 0, um número real. Chama-se bola aberta ou vizinhança B(P0, ε ), de
centro em P0 e raio ε , o conjunto de todos os pontos P(x,y) 2R∈ cuja distância até P0 é menor que ε , isto é,
pelos pontos P(x,y) que satisfazem ε<− 0PP . Em símbolos:
B(P0, ε ) = {(x,y) 2R∈ / ε<− ),(),( 00 yxyx } = {(x,y) 2R∈ / ε<−+− 2020 )()( yyxx }
Geometricamente, B(P0, ε ) no plano é o conjunto de todos os pontos internos à circunferência de
centro em P0(x0, y0) e raio ε .
1P
2P
x
y
O 1x
2x
2y
1y
⇒
1P
2P
x
y
O
1x 2x
2y
1y
M
Observação:
Neste caso, tem-se:
0 e 0 , 1221 <>< xxxx
0y e 0 , 1212 ><< yyy
22
Ponto de acumulação no plano cartesiano:
Seja 2RX ⊂ . Um ponto P0 2R∈ , com P0 não necessariamente pertencente a X, é dito um ponto de
acumulação de X se toda bola aberta de centro em P0 contiver pelo menos um ponto P X∈ , com P ≠ P0.
Dizer que (x0, y0) é ponto de acumulação de X significa dizer que existem pontos de X, distintos de
),( 00 yx , tão próximos de (x0, y0) quanto se queira.
EXERCÍCIOS:
1) Dados os conjuntos A = {1, 3} e B = {2, 4, 5}, determine os seguintes produtos cartesianos:
a) A X B b) B X A c) A2 = A X A d) B2
2) Considere os conjuntos numéricos N, Z, Q, Q´e R. Esboce graficamente os produtos cartesianos abaixo:
a) N2 b) Z2 c) Q2 d)Q´2 e) R2 f) N X R g) Z X R
3) Dados os conjuntos A = {x }31/ <≤∈ xR , B = {2}, C = {x }51/ ≤≤∈ xR e D = ]-1, 4[, determine o
conjunto solução dos seguintes produtos cartesianos e represente-os graficamente:
a) A X B b) B X A c) A X C d) C X A e) B X D f) C X B
3) RELAÇÕES E FUNÇÕES NO PLANO CARTESIANO:
Vamos analisar a seguinte situação:
“Num dia de frio, um jovem ou uma jovem está despreocupadamente tomando seu banho na água
quente e o banheiro enchendo-se de vapor de água. A mãe, impaciente, bate periodicamente à porta:
- Saia já deste banho. Já falei várias vezes: desligue o chuveiro!”
Para o jovem ou a jovem o importante é prolongar o seu prazer num banho bem quente, mas a mãe está
preocupada com outra coisa: as faturas de energia elétrica e de água que logo deverão ser pagas. Está sendo
considerado aqui um chuveiro elétrico.
Uma situação como essa pode ser analisada do ponto de vista quantitativo, a exemplo de outras
situações quotidianas. Para isso, primeiramente listemos as grandezas físicas envolvidas no problema em
questão.
Grandeza física aqui é tudo aquilo que pode ser medido, pesado ou comparado quantitativamente. No
problema acima, tem-se por exemplo as seguintes grandezas físicas com suas respectivas unidades de medida:
23
• Potência do chuveiro (em watts),
• Temperatura da água (em ºC),
• Tempo que o chuveiro permanece ligado (em minuto),
• Vazão da água (em m3/minuto),
• Volume de água utilizada (em m3),
• Energia consumida (em kwh),
• Valor a ser pago pela energia consumida (em $),
• Valor a ser pago pela água utilizada (em $).
Numa situação ideal, algumas dessas grandezas podem ser consideradas constantes e outras variáveis
como, por exemplo:
Grandezas constantes Grandezas variáveis
Potência do chuveiro Volume de água
Temperatura da água Tempo que o chuveiro permanece ligado
Vazão da água Energia consumida pelo chuveiro
Valor pago pela energia consumida
Valor pago pela água utilizada
É possível também determinar um modelo matemático para representar essa situação. No modelo,
podem ser relacionadas diversas grandezas ou, no caso mais simples, apenas duas delas. Em Cálculo
Diferencial e Integral I, geralmente são estudadas apenas as relações entre duas grandezas que assumem valores
reais (o universo considerado é o conjunto dos números reais).
Dentre as grandezas variáveis listadas anteriormente, pode-se relacionar duas delas como, por exemplo:
• a energia consumida e o tempo em que o chuveiro permanece ligado,
• a energia consumida e o valor pago por essa energia,
• o volume de água e o tempo em que o chuveiro permanece ligado,
• o volume de água e o valor pago pela água utilizada.
Em cada uma dessas relações, é preciso identificar qual a variável dependente e qual a independente,
perguntando-se qual grandeza depende de qual. Por exemplo: a energia consumida depende do tempo em que
o chuveiro permanece
ligado ou é o tempo em que o chuveiro permanece ligado que depende da energia
consumida?
Na relação entre a energia consumida e o tempo em que o chuveiro permanece ligado, a energia
consumida depende do tempo em que o chuveiro permanece ligado. Neste caso, o tempo é arbitrário (grandeza
independente) e a energia consumida é a grandeza dependente.
24
Na relação entre a energia consumida e o valor pago por essa energia, o valor pago pela energia
depende da quantidade de energia que é consumida. Neste caso, a energia consumida é a grandeza independente
e o valor a ser pago é a grandeza dependente.
Analogamente, o volume de água utilizada depende do tempo em que o chuveiro fica ligado e o valor a
ser pago pela água consumida depende do volume de água que é utilizado.
Em Matemática, no estudo das relações entre duas grandezas quantitativas, é usual representar
genericamente a variável dependente por y e a variável independente por x, sem se preocupar com o que essas
grandezas podem estar representando particularmente (se tempo, se volume, se área, etc).
Assim, na relação entre energia consumida e tempo, a energia será representada por y e o tempo, por x.
Já na relação entre valor pago e energia consumida, o valor pago será representado por y e a energia
consumida, por x.
Utilizando-se diagramas, pode-se resumir essas duas situações, onde S e T representam duas relações
distintas:
Se a cada valor da variável independente x houver apenas um único correspondente valor da variável
dependente y, então a relação é denominada função.
Exemplo:
A lei matemática y=x2, onde x R∈ , y R∈ , expressa que y é uma função de x, pois para cada
valor real de x existe um único y em correspondência. No entanto, em y2=x, y não é uma função de x,
mas x é função de y.
Numa função, a lei matemática que associa y a x pode ser uma função polinomial ou uma função
racional, ou irracional, ou trigonométrica circular, ou exponencial, ou logarítmica, ou modular, dentre outras,
dependendo da natureza do problema analisado.
A seguir, discutiremos esses conceitos de forma mais rigorosa do ponto de vista matemático.
Energia
consumida
(x)
Valor pago
(y)
x1
x2
xn
y1
yn
M M
y2
T Tempo
(x)
Energia
consumida
(y)
x2
xn
M
x1 y1
y2
M
yn
S
25
3.1) Relação binária
Definição:
Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação binária de A em B a todo subconjunto R de A X B. Em
símbolos:
R é relação binária de A em B ⇔ R ⊂ A X B.
Observação: R aqui não é o conjunto dos números reais, mas o nome de uma relação de A em B.
Exemplo: Dados A = {2, 3, 4, 8} e B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, tem-se:
A X B = {(2, 2),(2, 3),(2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3,7), (4, 2),(4, 3),
(4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (8,2), (8,3), (8,4), (8,5), (8,6), (8, 7)}.
Seja R o conjunto de pares ordenados (x, y) ∈ A X B tal que x é divisor de y. Assim:
R = {(x, y) BA X ∈ / x y} = {(2, 2),(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)} é uma relação binária de A em B.
Observação: x y lê-se: x divide y ou x é divisor de y.
Em diagramas tem-se:
3.1.1) Domínio de uma relação R de A em B é o conjunto D de todos os primeiros elementos dos pares
ordenados pertencentes a R.
Em símbolos: x R ),/(, ∈∈∃⇔∈ yxByyD .
No diagrama anterior, D = {2, 3, 4}
3.1.2) Contradomínio de uma relação R de A em B é o conjunto de chegada B.
3.1.3) Imagem de uma relação R de A em B é o conjunto Im de todos os segundos elementos dos pares
ordenados pertencentes a R.
Em símbolos: y Im∈ R),/(, ∈∈∃⇔ yxAxx .
No diagrama anterior, Im={2, 3, 4, 6}.
Decorre da definição que numa relação R de A em B, BAD ⊂⊂ Im e .
onde A é o conjunto de partida e B é o conjunto
de chegada da relação R.
2.
3.
4.
8.
.2
.3
.4
.5
.6
.7
A B
R
26
3.1.4) Relação inversa
Definição:
Dada uma relação binária R de A em B, o conjunto { }R),/( X ),(R 1 ∈∈=− yxABxy é uma relação
binária de B em A denominada relação inversa de R.
Note que se R é uma relação de A em B, então 1R − é um subconjunto de B X A.
Em diagrama, tem-se:
Propriedades:
a) D(R-1) = Im(R)
b) Im (R-1) = D (R)
c) (R-1)-1 = R
EXERCÍCIOS:
1) Enumerar os elementos de R-1, relação inversa de R, nos seguintes casos:
a) R = {(1, -1), (2, -1), (3,-1), (-2, 1)}
b) R = {(-3,-2), (1, 3), (-2,-3), (3,1)}
2) Dadas as seguintes relações binárias em A = {x 10/ ≤∈ xN }, enumerar os elementos e esboçar os gráficos
de R e R-1:
a) R = {(x, y) 2A∈ / x + 2y =10}
b) R = {(x, y) 2A∈ / y = (x – 3)2 + 1}
c) R = {(x, y) 2A∈ / y=2x}
3) Sejam os conjuntos }61/{ ≤≤∈= xRxA e }102/{ ≤≤∈= yRyB e as relações binárias
a) R = {(x, y) BA X ∈ / y = x}
b) S = {(x, y) BA X ∈ / y = x + 2}
c) R = {(x, y) BA X ∈ / y + x = 7}.
Em cada caso, determine num mesmo plano cartesiano o gráfico da relação e da sua respectiva relação
inversa.
x1 .
x2 .
M
xn .
. y1
. y2
M
. yn
A R B
x1 .
x2 .
M
xn .
. y1
. y2
M
. yn
A R
-1
B
⇒
27
3.2) Função de variável real4:
Definição:
Dados dois conjuntos de números reais A e B, não vazios, uma relação f de A em B recebe o nome de
aplicação de A em B ou função definida em A com imagens em B ou simplesmente função definida de A em
B se, e somente se, para todo x A∈ existe um único y B∈ , tal que (x, y) f∈ . Em símbolos:
f é função definida de A em B /( Ax ∈∀⇔ ∃ fyxBy ∈∈ ),/( }.
Observações:
• ∃ = existe um único.
• Toda função f definida de A em B é uma relação binária de A em B, isto é, f é um subconjunto de A X B.
• Em geral, há uma sentença matemática y = f(x) que determina y para um dado x A∈ . Essa sentença
matemática é denominada lei de correspondência.
Notação das funções:
Denota-se uma função f definida de A em B segundo a lei de correspondência y = f(x), por:
B
xfy
Af
x )(
:
=
→
a
ou f: B
xf
A
x )( →a
ou B
xf
A
x
f
)( →a
Lê-se: f é uma função que associa cada x de A a um y de B tal que y = f(x).
3.2.1) Domínio: O domínio de uma função f definida de A em B é o conjunto D dos elementos x A∈ para os
quais existe y B∈ , tal que (x,y) f∈ . Como, pela definição de função, todo elemento de A tem essa
propriedade, então D(f) = A. Em símbolos:
D(f) = { ∀ x A∈ , }),( / fyxBy ∈∈∃ .
Se x )( fD∈ , diz-se que f é definida em x ou que f(x) existe. A expressão f não é definida em x significa
que x )( fD∉ .
3.2.2) Contra-domínio: O contradomínio de uma função f definida de A em B é o conjunto CD dos elementos
y B∈ . Assim:
CD (f) = B.
4
Em Cálculo Diferencial e Integral I, geralmente estuda-se apenas as funções reais ou função de variável real, isto é, aquelas
funções que possuem apenas uma variável livre (independente) e que tanto a variável dependente (y) como a variável independente (x)
assumem apenas valores reais (o conjunto universo é o conjunto dos números reais). Essas funções são regidas por uma lei
matemática do tipo y=f(x) e o gráfico é uma curva
plana contida do plano cartesiano. Em Cálculo Diferencial e Integral II, são
estudadas as funções de duas variáveis livres, regidas por leis matemáticas do tipo z=f(x,y) cujos gráficos são superfícies do espaço
tridimensional e são estudadas também as funções de três ou mais variáveis livres, regidas por leis matemáticas do tipo t=f(x,y,z),
w=f(x,y,z,t) etc. Em Cálculo Diferencial e Integral III, são estudadas as funções de variáveis complexas (o conjunto universo é o
conjunto dos números complexos).
28
3.2.3) Imagem: A imagem de uma função f definida de A em B é o conjunto Im dos elementos y B∈ para
os quais existe x A∈ tal que (x,y) f∈ . Portanto, Im B⊂ . Em símbolos:
Im(f) = { ∀ y B∈ , }),( / fyxAx ∈∈∃ .
Quando se trabalha com subconjuntos dos números reais, é usual a função ser caracterizada apenas pela
lei de correspondência que a define. Neste caso, o domínio de f é o conjunto de todos os números reais para os
quais a função está definida. No entanto, a fim de evitar confusões é preferível usar a notação
B
xfy
RAf
x )(
:
=
⊂ →
a
, ainda que não se explicite o domínio A.
3.2.4) Funções iguais: Duas funções f e g, tais que f está definida de A em B e g está definida de C em D, são
iguais se e somente se ∀ Ax ∈ , tem-se:
i) A = C (domínios iguais)
ii) B = D (contra-domínios iguais),
iii) f(x) = g(x) (leis de correspondências iguais)
Exemplos:
a) As funções R
xy
Rf
x 2
:
=
→
a
e R
xy
Rg
x =
→
a
:
são iguais, pois Rxxx ∈∀= ,2 .
b) As funções R
x
xy
Rh
x
2
4
}2{:
2
+
−
=
−− →
a
e R
xy
Rj
x 2
}2{:
−=
−− →
a
são iguais, pois
2
2
42
−=
+
−
x
x
x
, se 2−≠x .
3.2.5) Gráficos de funções:
Definição: Seja f uma função de variável real. O gráfico de f é o conjunto de todos os pontos
(x, f(x)) do plano cartesiano, onde x )( fD∈ .
Em símbolos, tem-se: )}(/),{()( 2 xfyRyxfGraf =∈= .
Em geral, utiliza-se uma representação geométrica para descrever o gráfico de uma função de variável
real.
Exemplo: Seja a função real dada por f: R
xy
R
x =
→+
a
. O gráfico de f são todos os pontos do R2 que
assumem a forma (x, x ). Geometricamente, tem-se:
29
No eixo horizontal ou eixo das abscissas são representados os valores da variável independente, não
importando a denominação que tal variável recebe (se x ou y). Analogamente, no eixo vertical ou eixo das
ordenadas, são representados os valores da variável dependente, não importando a denominação que tal variável
recebe (y ou x).
Exemplos:
a) f: R
senxy
R
x =
→
a
.
Neste caso, y é dado em função de x. Logo, x é a variável independente e seus valores são representados
no eixo das abscissas (horizontal). Conseqüentemente, y é a variável dependente e seus valores são
representados no eixo das ordenadas (vertical).
A variável independente x pode assumir qualquer valor real. No entanto, para facilitar o esboço do
gráfico, os valores de x serão tomados em intervalos de
2
pi
radianos.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
y = x
x
y
x(rad)
y
O
2
pi
2
pi
−
pi
-pi
30
Observações:
• 1 radiano é o arco de medida igual ao raio da circunferência. Numa circunferência, cabem
28,6rad pi2 ≅
arcos de comprimento igual ao raio da circunferência.
• Quando o ângulo é dado em radianos, não é necessário indicar a unidade. Ex.: 5θrad 5θ =⇔= ,
4
pi)rad
4
pi( tgtg = , sen (1 rad) = sen 1.
• Ao usar a calculadora, certifique-se de que ela esteja no modo radiano, caso os ângulos sejam
dados em radianos.
• A função real definida por
x
senxy =
não tem sentido se x for medido em graus. Ao tratar-se de
funções trigonométricas circulares, os ângulos serão medidos em radianos, que são números
reais, a fim de que seja possível localizá-los na reta real.
b) g: R
yx
R
y 23 2 +=
→
a
.
Neste caso, x é dado em função de y. Logo, y é a variável independente e seus valores são representados
no eixo das abscissas (horizontal). Conseqüentemente, x é a variável dependente e seus valores são
representados no eixo das ordenadas (vertical).
x
y
y
x
O
Observação: Os eixos x e y não foram
rotacionados de sua posição tradicional.
Apenas, foram trocados de posição.
31
c) h: R
x
y
R
x 1
*
=
→
a
.
Como x não pode assumir o valor zero, é necessário estudar a vizinhança do x=0 a fim de perceber o
comportamento de y.
Representando, no eixo x, δ+0 por 0+ (lê-se: zero pela direita) e δ−0 por −0 (lê-se: zero pela
esquerda), onde 0>δ é o raio da vizinhança de x=0, tem-se:
É preciso analisar, ainda, o comportamento de y quando x cresce ou decresce infinitamente. Assim,
representando, no eixo y, ε+0 por 0+ e ε−0 por −0 , onde 0>ε é o raio da vizinhança de y=0, pois y
também não assume o valor zero, tem-se:
Reunindo todas essas informações num mesmo gráfico, tem-se o comportamento geral da função dada:
+∞→=⇒→ +
x
yx 10 (lê-se: se x tende a zero pela direita, então y tende a
infinito positivo)
−∞→=⇒→ −
x
yx 10 (lê-se: se x tende a zero pela esquerda, então y tende a
infinito negativo)
)
x
y
0 δ+0
δ−0
(
+→=⇒+∞→ 01
x
yx (lê-se: se x tende a infinito positivo, então y tende a
zero pela direita)
−→=⇒−∞→ 01
x
yx (lê-se: se x tende a infinito negativo, então y tende a
zero pela esquerda)
x
y
0
ε+0
ε−0
x
y
x
y 1=
x
y
32
d) j: R
x
y
R
x
3
1
} 3 ,3{
2
−
=
−− →
a
.
Primeiramente, esboça-se no plano cartesiano as retas verticais 3−=x e 3=x , de forma tracejada,
pois x não pode assumir esses valores.
No entanto, é necessário estudar a vizinhança de 3−=x e de 3=x a fim de perceber o
comportamento de y. É preciso analisar, ainda, o comportamento de y quando x cresce ou decresce
infinitamente. Assim, vem:
e) m: R
x
xy
R
x
2
8
} 2{
3
−
−
=
− →
a
.
Aqui, deve-se trabalhar com o conceito de funções iguais. A função m é igual a função
R
xxy
Rn
x 42
} 2{:
2 ++=
− →
a
. Logo, o gráfico de m é dado por:
Alguns gráficos de funções mais complicadas serão esboçados mediante o estudo do sinal da primeira e
da segunda derivadas da função dada.
( ) −∞→
−
=⇒−→
+
3
13 2x
yx
( ) +∞→
−
=⇒−→
−
3
13 2x
yx
+∞→
−
=⇒→
+
3
13 2x
yx
( ) −∞→
−
=⇒→
−
3
13 2x
yx
+→
−
=⇒+∞→ 0
3
1
2x
yx
+→
−
=⇒−∞→ 0
3
1
2x
yx
) x
y
δ+3
δ−3
(
3
3− ) (
λ−− 3 λ+− 3
0
3
1
−
2
12
x
y
33
3.2.6) Sinal e zeros de uma função:
A observação do gráfico de uma função possibilita identificarmos os pontos do domínio nos quais a
função é positiva, negativa ou nula.
A função f: B
xfy
A
x )( =→a
é positiva se a variável dependente y assume valores reais maiores que zero.
Neste caso, o gráfico encontra-se acima do eixo das abscissas.
A função f é negativa se a variável dependente y assume valores reais menores que zero, ou seja, o
gráfico encontra-se abaixo do eixo das abscissas.
Nos pontos em que o gráfico da função f intercepta o eixo das abscissas, a função é nula, ou seja, a
variável dependente y é igual a zero. Os valores (ou o valor) da variável independente x que tornam y=0 são
denominados zeros da função.
Exemplo:
Neste exemplo, os zeros da função (y = 0) são x = -2, x = 0 e x = 1.
A função é positiva (y > 0) nos intervalos -2 < x < 0 ou x > 1.
A função é negativa (y < 0) nos intervalos x <-2 ou 0 < x <1.
3.2.7) Intervalos de crescimento e de decrescimento de uma função de variável real:
Função crescente: Uma função f: R
xfy
RD
x )( =
⊂ →
a
é denominada função crescente num intervalo aberto (a,b)
do domínio de f quando )()( ,, 212121 xfxfxxDxx <⇔<∈ .
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
34
Função decrescente: Uma função f: R
xfy
RD
x )( =
⊂ →
a
é denominada função decrescente num intervalo
(a,b) do domínio de f quando )()( ,, 212121 xfxfxxDxx >⇔<∈ .
Função constante: Uma função f: R
kxfy
RD
x ==
⊂ → )( a
é denominada função constante num intervalo (a,b) do
domínio de f quando RkkxfxfxxDxx ∈==⇔<∈ com ,)()( ,, 212121 .
Função não-decrescente: Uma função f: R
xfy
RD
x )( =
⊂ →
a
é denominada função não-decrescente num
intervalo (a,b) do domínio de f quando )()( ,, 212121 xfxfxxDxx ≤⇔<∈ .
Função não-crescente: Uma função f: R
xfy
RD
x )( =
⊂ →
a
é denominada função não-crescente num intervalo
(a,b) do domínio de f quando )()( ,, 212121 xfxfxxDxx ≥⇔<∈ .
Função monótona: Uma função f: R
xfy
RD
x )( =
⊂ →
a
é denominada função monótona quando é somente
crescente ou decrescente no intervalo considerado.
Alguns autores, para classificar uma função f em crescente ou decrescente, consideram um intervalo
fechado [a,b] do domínio de f, enquanto outros consideram o intervalo aberto e outros ainda nada dizem a
respeito.
Aqui consideraremos os intervalos de crescimento ou decrescimento de f como intervalos abertos do
tipo (a,b), uma vez que, no tópico sobre derivada, a função será crescente se a derivada primeira existir e for
positiva (f´(x)>0), bem como será decrescente se existir e for negativa (f´(x)<0).
Para a derivada primeira existir num ponto 0x , neste ponto as derivadas laterais devem ser iguais, pois o
conceito de derivada de uma função real de variável real envolve um limite bilateral
(
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim)´( 00
00
).
. De acordo com essa definição, caso a função esteja definida num intervalo fechado [a,b], não tem
sentido falar então em crescimento ou decrescimento nos pontos extremos x=a ou x=b.
Por também ser adotado em muitas definições posteriores, relativas ao tópico sobre derivadas, que uma
função será derivável num intervalo aberto (a,b), preferiu-se aqui considerar o crescimento e o decrescimento
da função num intervalo aberto. No entanto, existem autores que definem função diferenciável num intervalo
35
fechado, baseados na existência das derivadas laterais nos pontos extremos do intervalo [a,b], por exemplo
ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. V 1. 6 ed. Porto Alegre: Bookman, 2000, p. 186.
Exemplo: Classifique a função dada pelo gráfico abaixo de acordo com seu crescimento ou
decrescimento:
Solução:
Neste exemplo, a função é:
Crescente no intervalo x < 1;
decrescente no intervalo x > 2;
constante no intervalo 1<x<2;
não-decrescente no intervalo x<2;
não-crescente no intervalo x>1.
3.2.8) Extremos relativos e absolutos de uma função de variável real:
Máximo local ou relativo: Uma função real f: R
xfy
D
x )( =→a
possui um máximo local ou máximo relativo no
ponto Da ∈ quando existe um 0>ε tal que )()(),( afxfDaax ≤⇒∩+−∈ εε .
Essa definição diz que para a pertencente ao domínio de f deve existir uma vizinhança de a de raio ε ,
tal que para todo x pertencente à interseção entre o domínio e a vizinhança, a imagem f(x) é menor ou igual à
imagem de f no ponto a.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
x
y
36
Exemplo:
Mínimo local ou relativo: Uma função real f: R
xfy
D
x )( =→a
possui um mínimo local ou mínimo relativo no
ponto Da ∈ quando existe um 0>ε tal que )()(),( afxfDaax ≥⇒∩+−∈ εε .
Exemplo:
Máximo absoluto: Uma função real f: R
xfy
D
x )( =→a
possui um máximo absoluto no ponto Da ∈ quando
)()( afxfDx ≤⇒∈∀ .
Mínimo absoluto: Uma função real f: R
xfy
D
x )( =→a
possui um mínimo absoluto no ponto Da ∈ quando
)()( afxfDx ≥⇒∈∀ .
y=f(x)
x
y
a
f(a)
f(x)
x
Máximo relativo: y= f(a)
Ponto de máximo relativo: x = a
) (
ε−a
ε+a
y=f(x)
x
y
a
f(a)
f(x)
x
Mínimo relativo: y = f(a)
Ponto de mínimo relativo: x = a
) (
ε−a
ε+a
37
Exemplo: A função f: R
xsenyx
pipi,[
]
=
− →
a
tem um máximo absoluto em y=1, pois nenhum outro ponto
do domínio de f tem imagem maior que essa. Analogamente, f tem um mínimo absoluto em y= -1, pois nenhum
outro ponto do domínio de f tem imagem menor que essa.
3.2.9) Função limitada:
Seja RX ⊂ . Dizer que uma função f é limitada em X significa que existem m, M R∈ , tais que
Mxfm ≤≤ )( , para todo Xx ∈ , ou seja, f(x) ],[ Mm∈ .O menor desses intervalos contendo todos os valores f(x)
é dado por m =inf f e M=sup f, onde inf f é o ínfimo de f e sup f é o supremo de f.
Exemplos:
A função f: R
xy
R
x )
3
2cos( pi+=
→
a
é limitada em todo seu domínio, pois [ ]1,1)(, −∈∈∀ xfRx . Neste caso,
inf f = -1 e sup f = 1.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
y=sen x
pi
pi-
2
pi
2
pi
−
x (rad)
Mínimo absoluto: y = -1
Ponto de mínimo absoluto: x = rad
2
pi
−
Máximo absoluto: y = 1
Ponto de máximo absoluto: x = rad
2
pi
x
y
y=-1
y=1
)
3
2cos( pi+= xy
x
y
2
1
x
y =
38
A função g: R
x
y
R
x
2
1
}0{
=
− →
a
é limitada, por exemplo, no intervalo [1,4], pois
∈∈∀ 1,
16
1)(],4,1[ xgx . Neste caso, 16
1inf ]4,1[ =∈ gx e 1sup ]4,1[ =∈ gx . No entanto, no intervalo (0, 2], a função g
não
é limitada, pois ),
4
1[)(],2,0( +∞∈∈∀ xgx . Aqui, 4
1inf ]2,0( =∈ gx e =∈ gx ]2,0(sup não existe.
Ainda que não tenhamos o gráfico da função h: R
x
xseny
R
x
12
2
+
=
→
a
, é possível classificá-la em limitada
em todo seu domínio, pois [ ]1,0)(, ∈∈∀ xhRx , uma vez que 11x , 10 22 ≥+≤≤ xsen e, conseqüentemente,
1
1x
0
2
2
≤
+
≤ xsen .
3.2.10) Translação e reflexão de gráficos:
Translação vertical: Se somarmos uma constante k a cada valor y da função y=f(x), o gráfico de y=f(x),
denominado gráfico básico, fica transladado verticalmente. Se k>0 o gráfico sobe e se k<0 o gráfico desce em
relação a sua posição básica.
Exemplos:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
y=x+3
y=x
y=x - 4
Gráfico básico: y=x
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
y=x2 - 3
y=x2+2
y=x2
Gráfico básico: y=x2
39
Translação horizontal: Se somarmos uma constante k a cada valor x da função y=f(x), o gráfico básico fica
transladado horizontalmente. Se k>0 o gráfico descola-se para à esquerda e se k<0 o gráfico desloca-se para a
direita, em relação a sua posição básica.
Exemplos:
Multiplicação de uma função por uma constante: Se multiplicarmos uma função y=f(x) por uma constante k,
então cada valor y da função fica multiplicado por essa constante. Se k<0, os gráficos y =kf(x) e y= )(xfk são
denominados reflexões de cada um deles em relação ao eixo x.
Exemplos:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
y=x2
y=(x+3)2
y=(x-2)2
Gráfico básico: y=x2
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
y=x3
y=(x-1)3
y=(x+2)3
Gráfico básico: y=x3
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
y=x2
y= -x2
Gráfico básico: y=x2
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
xy =
xy 2=
xy
2
1
=
Gráfico básico: xy =
40
Ao esboçar o gráfico de uma função elementar, deve-se estar atento ao gráfico da função básica. Se
esse gráfico for conhecido, então aplicando uma translação ou reflexão ao gráfico básico, o trabalho de esboço
de gráfico pode ser bastante facilitado.
Exemplos: Esboce o gráfico das funções reais regidas pelas seguintes leis matemáticas:
a) y= 2x + 3
b) y = 2-x2
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
y=x
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
⇒
y=2x
⇒
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
y=2x+3
Gráfico básico
⇒ ⇒
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
Gráfico básico
y=x2
y=-x2
y=2-x2
41
c) y = 1
3
2
−
+x
d) )
4
(
2
13 pi−−= xseny
⇒ −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
1
3
2
−
+
=
x
y
⇒ ⇒
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
Gráfico básico
x
y 1=
3
1
+
=
x
y 3
2
+
=
x
y
⇒
x= -3
⇒
⇒ ⇒
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
Gráfico básico
xseny = )
4
pi( −= xseny )4
pi( −−= xseny
⇒
⇒
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
)
4
pi
(
2
1
−−= xseny )4
pi(
2
13 −−= xseny
2
pi
4
3pi
4
pi
y=1
y=-1
y=1 y=1
y=-1
y=1/2
y=-1/2
y=5/2
y=7/2
y= -1
42
3.2.11) Classificação de uma função de variável real:
a) Função injetora:
Definição: Uma função f de A em B dada por função f: B
xfy
A
x )( =→a
é injetora se, e somente se,
∀ x )( fD∈ , x1 )()( 212 xfxfx ≠⇒≠ ou 2121 )()( xxxfxf =⇒= .
Exemplo:
b) Função sobrejetora:
Definição: Uma função f de A em B é sobrejetora se, para todo By ∈ existe um elemento Ax ∈ , tal que
y=f(x), ou seja, uma função é sobrejetora se Im (f) = B.
Em símbolos: Seja a função f: B
xfy
A
x )( =→a
. f é sobrejetora yxfAxBy =∈∃∈∀⇔ )(/,
Exemplo:
c) Função bijetora:
Definição: Uma função f(x) é bijetora se for injetora e sobrejetora simultaneamente, ou seja, para todo By ∈
existe um único Ax ∈ , tal que y=f(x).
Seja a função f: B
xfy
A
x )( =→a
. f é bijetora )(/ , xfyAxBy =∈∃∈∀⇔
1x
2x
M
nx
1y
2y
3y
M
my
A B
f
1x
2x
M
1−nx
nx
1y
2y
M
my
A B f
43
Exemplo:
Observação:
• Existem funções que não são sobrejetoras nem injetoras. Ex.: R
xy
R
x
f
:
=
→
a
.
d) Função par:
Definição: Uma função f(x) é par se, para todo x no domínio de f, tem-se f(-x) = f(x).
O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo dos y.
Exemplos:
1x
2x
M
1−nx
nx
1y
2y
3y
M
my
A B
f
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
12 += xy
x -x
f(x)=f(-x)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
y=cos x
2
pi
2
pi
−
44
e) Função ímpar:
Definição: Uma função f(x) é ímpar se, para todo x no domínio de f, tem-se f(-x) = -f(x).
O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.
Exemplos:
f) Função periódica:
Uma função f(x) é periódica se
existe um número real T >0 tal que f(x + T) = f(x) para todo x )( fD∈ .
O menor número real positivo de T é chamado período da função f(x).
O gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento T .
Exemplos:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
3xy =
x
-x
f(x)
f(-x)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
y=sen x
2
pi
2
pi
−
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
xseny 2=
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
y=tg x
45
3.2.12) Operações com funções de uma variável real:
a) Adição, subtração, multiplicação e divisão:
Definição: Dadas as funções de uma variável real f e g, sua soma f + g, diferença f – g, produto f.g e quociente
f/g, são definidas por:
i) (f+g)(x) = f(x) + g(x) ii) (f-g)(x) = f(x) – g(x) iii) (f.g)(x) = f(x).g(x) iv) )(
)())((
xg
xf
x
g
f
=
O domínio das funções f + g, f – g e f.g é a intersecção dos domínios de f e g. O domínio de f/g é a
intersecção dos domínios de f e g, excluindo-se os pontos x onde g(x) = 0.
Exemplos:
a) f: R
xxy
RD
x +=
⊂ →
a
. Como D( xy =1 ) = R, D( )2 xy = = +R e ++ =∩ RRR , então D( xxy += ) = +R .
Portanto, a função f fica assim definida: f: R
xxy
R
x +=
→+
a
b) g: R
exy
RD
x x. 2=
⊂ →
a
. Como D( 21 xy = ) = R, D( )2 xey = = R e RRR =∩ , então D(y = xex .2 )= R .
Portanto, a função g fica assim definida: g: R
exy
R
x x. 2=
→
a
.
c) h: R
x
xseny
RD
x
=
⊂ →
a
. Como D( xseny 1 = )=R, D( )12
x
y = = *R e ** RRR =∩ , então
D(
x
xsen
x
xseny 1. == )= }0{* −= RR . Portanto, a função h fica assim definida: h: R
x
xseny
R
x
}0{
=
− →
a
.
b) Produto de uma função por um escalar:
Se f é uma função e k é um número real, definimos a função kf por (kf)(x) = kf(x).
O domínio de kf coincide com o domínio de f.
Exemplo: Seja a função f: R
xy
RD
x )2ln(3 +=
⊂ →
a
. Como D( )2ln(1 += xy ) = ),2( +∞− , então
D( )2ln(3 += xy ) = ),2( +∞− . Portanto, a função f fica assim definida: f: R
xyx )2ln(3
),2(
+=
+∞− →
a
.
46
c) Composição de funções:
Dadas duas funções f e g, a função composta de g com f, denotada por g 0 f é definida por
(g 0 f)(x) = g(f(x)). O símbolo g 0 f lê-se g composta com f ou g bola f .
O domínio de g 0 f é o conjunto de todos os pontos x no domínio de f tais que f(x) está no domínio de g.
Em símbolos: D(g 0 f ) = {x )}()(/)( gDxffD ∈∈
Em diagrama, tem-se:
Exemplo: Sejam as funções f: R
xyx 3
),3[
+=
+∞− →
a
e g: R
xy
R
x ln
*
=
→+
a
. Determine o domínio e a lei de
composição das funções g 0 f e f 0 g.
Solução:
a) g 0 f = g(f(x)). Lei de composição:
O domínio de g 0 f será dado por:
Como f(-3)=0 e zero não pertence ao domínio de g(x)=lnx, então o domínio de g 0 f é ),3( +∞− , pois
neste intervalo as imagens f(x) pertencem ao intervalo ),0( +∞ que é igual ao domínio da função g.
Em diagrama, vem:
Verificação: g 0 f = 3ln +x 30303 −>⇒>+⇒>+⇒ xxx
x
f(x)
g(f(x))
f g
g 0 f
x
3ln +x
f g
g 0 f
3+x
),3[ +∞−
3+= xf
g=lnx ),0[ +∞
?
g 0 f = 3ln +x
g 0 f = 3ln +x
),3( +∞−
3+= xf
g=lnx ),0( +∞
R
47
b) f 0 g = f(g(x)). Lei de composição:
O domínio de f 0 g será dado por:
Existe um intervalo (0<x<e-3) pertencente ao domínio de g que fornece imagens g(x) <-3. Esse intervalo
deve ser retirado do domínio de g para que possa existir a função real f 0 g . Após a retirada desse intervalo, a
imagem de g será maior ou igual a -3 que é igual ao domínio da função f.
Em diagrama, vem:
Verificação: f 0 g = 3ln +x 33ln03ln −≥⇒−≥⇒≥+⇒ exxx
d) Inversão de funções:
Função inversa:
Seja a função real f: B
xfy
A
x )( =→a
. Se f for uma função bijetora, então podemos definir uma função
g: A
ygx
B
y )( =→a
. A função g definida dessa maneira é chamada função inversa de f e denotada por f –1.
Caso uma função f não seja bijetora, pode-se restringir o seu domínio de modo que naquele intervalo f
seja bijetora e, portanto, admita inversa.
),0( +∞
xxg ln)( =
3)( += xxf
R
?
f 0 g = 3ln +x
x
3ln +x
g
f
f 0 g
ln x
),[ 3 +∞−e
xxg ln)( =
3)( += xxf ),3[ +∞−
R+
f 0 g = 3ln +x
48
Os gráficos de uma função f: B
xfy
A
x )( =→a
e da sua inversa g= f –1: A
ygx
B
y )( =→a
são simétricos
em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. Isso porque a composição g(f(x))=x. Veja:
Exemplo: Defina a função y = x2 – 4x + 3 no maior intervalo real tal que ela admita função inversa. Dê
o domínio, o contradomínio e a fórmula da função inversa. Esboce o gráfico da função dada e da sua inversa.
Solução:
A função y = x2 – 4x + 3 não é bijetora em seu todo seu domínio (D(y)=R). No entanto, se restringirmos
a função aos intervalos 2≥x ou 2≤x ela será bijetora e, portanto, admitirá função inversa.
A lei matemática que define a função inversa é dada por:
y = x2 – 4x + 3 yxyxyxyxx +±=⇒+±=⇒−−±=⇒=−+−⇒ 12
2
)1(44
2
)3(4164
0342 . Daí, vem:
a) Se f: ),1[
34
),2[
2
+∞−
+−=
+∞ →
xxyx a
, então b) Se f: ),1[
34
]2,(
2
+∞−
+−=
−∞ →
xxyx a
, então
),2[
12
),1[:
1 +∞
++=
+∞−= →−
yx
g
y
f
a
. ]2,(
12
),1[:
1
−∞
+−=
+∞−= →−
yx
h
y
f
a
.
x
y=f(x)
g(f(x))=g(y)=x
f g
g 0 f
A
B
A
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
y
y
y=f(x)
x=g(y) x
x
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
x
y
x
y
x=h(y)
y=f(x)
49
Gráficos auxiliares:
Observação:
O gráfico de yx +±= 12 , onde x é o eixo das ordenadas (variável dependente) e y é o eixo das abscissas
(variável independente), é equivalente ao gráfico de yxx =+− 342 , basta elevar ambos os membros ao quadrado
e isolar y. No entanto, na equação yxx =+− 342 , obtida de yx +±= 12 , x continua sendo a variável dependente e
y continua sendo a variável independente. Como em Matemática, usualmente representamos a variável
independente no eixo horizontal e a denominamos por x, bem como representamos a variável dependente no
eixo vertical e a denominamos de y, então o gráfico de yx +±= 12 é equivalente ao gráfico de x = y2-4y+3.
Veja:
3.2.13) Tipos de funções elementares:
Funções elementares são funções regidas por leis matemáticas que contêm um número finito de
operações (adição, subtração, multiplicação,
divisão, potenciação, radiciação, exponenciação, logaritmação ou
trigonométrica (direta ou inversa)). As funções elementares dividem-se em algébricas e em transcendentes.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
34
2
y +−= yx
x
y
yx +±= 12
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
yxx =+− 342
x
y
⇒
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
34
2
y +−= yx
y
x
⇒
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
yx +±= 12
y
x
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
x
y
342 +−= xxy
50
a) Função algébrica:
É uma função que pode ser obtida através de um número finito de operações algébricas de polinômios.
As operações algébricas são a adição, a subtração, a multiplicação, a divisão, a potenciação e a radiciação com
índice inteiro positivo.
Exemplos: Função racional inteira ou polinomiais, função racional fracionária, função irracional.
b) Função transcendente:
É uma função que transcende as operações algébricas, ou seja, aquela que não é algébrica.
Exemplos: Funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas circulares (diretas e inversas),
trigonométricas hiperbólicas (diretas e inversas).
3.2.14) Outros tipos de funções:
Função modular, função maior inteiro, menor inteiro, função sinal, função derivada, função integral, etc.
3.2.15) Formas de apresentação de funções de uma variável real:
Forma explícita: Uma função de variável real está representada na forma explícita se a variável dependente é
dada em função da variável independente, ou seja, a variável dependente está isolada. Genericamente escreve-
se y=f(x).
Exemplos:
a) f: R
xxy
RD
x 34 2 +−=
⊂ →
a
b) g: R
xsenxy
RD
x
−=
⊂ →
a
c) h: R
tts
RD
t 45 2 +−=
⊂ →
a
d) j: R
yyx
RD
y 43 2 −=
⊂ →
a
(neste caso, a variável dependente é x e a independente é y).
Forma implícita: A equação F(x,y)=k define implicitamente as funções y=f(x) ou x=g(y) se ao substituirmos
y por f(x) ou x = g(y) na equação F(x,y)=k, esta equação se transforma numa identidade. No entanto, nem
sempre uma equação F(x,y)=k define uma função y=f(x) ou x=g(y) como, por exemplo:
a) x2 + y2 +1=0 122 −=+⇒ yx . Não existe par ordenado (x,y), com x e y reais, que satisfaça essa equação.
b) x2 + y2 =0 0==⇒ yx .
Ainda que a equação F(x,y)=k admita soluções, ou seja, ainda que existam pares ordenados de números
reais que satisfaçam a equação, por si só ela não representa y como função de x e nem x como função de y.
51
Exemplo: A equação x2 + y2 = 4 possui infinitas soluções. Ela representa uma circunferência de centro
na origem e raio igual a 2. No entanto, x2 + y2 = 4 não representa y como função de x, pois para x pertencente
ao intervalo [ ]2 ,2− existem dois valores de y em correspondência. Analogamente, a equação x2 + y2 = 4
também não representa x como função de y.
Todavia, se tomarmos por exemplo 0 e ]2,2[ ≥−∈ yx , a equação 222 44 xyyx −=⇒=+ representará
implicitamente a função f: [ ] +
−=
− → R
xyx 24
2 ,2
a
.
x
y
f: [ ] +
−=
− → R
xyx 24
2 ,2
a
.
x
y
x
y
x
2+y2=4
x
y
52
De forma análoga, a equação 422 =+ yx também representa implicitamente as funções:
Assim, a equação F(x,y)=k, quando define alguma função, pode representar implicitamente diversas
funções dos tipos y=f(x) ou x=g(y).
Usualmente, a forma implícita é utilizada para representar uma função quando não é possível utilizar a
forma explícita y=f(x) ou x=g(y).
Exemplo: 3x2y +2 ln (xy)=0.
Forma paramétrica: Sejam
=
=
)(
)(
tyy
txx
duas funções da mesma variável real t, com ],[ bat ∈ . A cada valor de t
correspondem dois valores x e y. Conseqüentemente, a cada valor de t corresponde um ponto P(x(t),y(t)) do
plano cartesiano xOy. Se as funções x=x(t) e y=y(t) são contínuas, quando t varia de a até b, o ponto P(x(t), y(t))
descreve uma curva no plano. As equações x=x(t) e y=y(t) são denominadas equações paramétricas da curva e
t é denominado parâmetro.
x
y
g: [ ]
−
−−=
− → R
xyx 24
2 ,2
a
x
y
x
y
h: [ ] +
−=
→ R
xyx 24
2 ,0
a
x
y
x
y
j: [ ] ]2,0[
4
2 ,2
2yxy −=
− →
a
y
x
x
y
<≤−
<≤−−
=
21- se ,4
-12- se ,4)(
2
2
xx
xx
xm
m: [ ] R
xmyx )(
2 ,2
=
− →
a
com
x
y
53
Exemplo:
a)
=
=
θ
θ
sen
cos
ry
rx
, onde 2piθ0 e 0 ≤≤>r , são as equações paramétricas de uma circunferência com centro na
origem do sistema de coordenas cartesianas e raio igual a r.
Demonstração:
b)
=
=
θ
θ
sen
cos
by
ax
, onde 2piθ0 e 0, ≤≤>ba , são as equações paramétricas de uma elipse com centro na origem,
semi-eixo maior a e semi-eixo menor b.
Demonstração:
x
y
x
y
x
2+y2=r2
x
y
θ
P
Como θsen e θcos ryrx == , vem:
=
=
⇔=+
θ
θ
sen
cos222
ry
rx
ryx ,
onde 2piθ0 e 0 ≤≤>r .
r
Toma-se um ponto P(x,y) qualquer sobre a elipse
e ergue-se uma perpendicular ao eixo x, passando por
P(x,y).
Seja A o ponto de interseção entre essa
perpendicular e a circunferência de centro na origem e
raio igual ao semi-eixo maior da elipse. Daí, tem-se:
aOAOM == .
No triângulo OAA’ tem-se: θcosax = .
Como a equação canônica da elipse com centro
na origem é dada por 12
2
2
2
=+
b
y
a
x
e θcosax = é a
abscissa do ponto P da elipse, vem que a ordenada de P é
dada por:
senθθ sen1θcos 2222
2
2
22
byby
b
y
a
a
=⇒=⇒=+ , pois
b>0 e y terá o sinal do senθ .
x
y
O A’
A
P
θ
M
N
Semi-eixo maior: aOM =
Semi-eixo menor: bON =
54
c)
=
=
θ
θ
btgy
ax sec
, onde [ ] }
2
3
,
2
{0,2θ e 0, pipipi −∈>ba , são as equações paramétricas de uma hipérbole com
centro na origem, semi-eixo real a e semi-eixo imaginário b, com eixo real sobre Ox.
Demonstração:
No caso da hipérbole ter o eixo real sobre Oy, sua equação canônica é dada por 12
2
2
2
=−
b
x
a
y
, de onde vêm
suas equações paramétricas
=
=
θsec
θ
ay
btgx
.
d)
−=
−=
)cos1(
)(
θ
θθ
ay
senax
, onde 0>a , são as equações paramétricas de uma ciclóide. Uma ciclóide é o lugar
geométrico descrito por um ponto fixo da circunferência de um círculo que roda sem deslizar sobre uma reta
fixa.
Demonstração:
Seja CB=CM=a o raio do círculo rolante
de centro em C, P(x,y) um ponto fixo da circunferência e M o ponto de
contato do círculo com a reta fixa Ox, denominada base.
Se o arco PM=OM em comprimento, então P tocará O se o círculo roda para a esquerda.
Seja θ o ângulo MCP
^
. Daí, vem:
x=ON=OM – NM==aθ -asenθ =a(1-senθ )
y=NP=MC-AC=a - acosθ =a(1-cosθ ).
Toma-se um ponto P(x,y) qualquer sobre a
hipérbole. Quando θ percorre o intervalo
−
2
,
2
pipi
é
descrito o ramo direito da hipérbole ( ax ≥ ) e quando θ
percorre o intervalo
2
3
,
2
pipi
é descrito o ramo esquerdo
da hipérbole ( ax −≤ ).
Como a equação canônica da hipérbole com
centro na origem é dada por 12
2
2
2
=−
b
y
a
x
e
1θθsec 22 =− tg (relação trigonométrica), pode-se fazer:
θ e θsec tg
b
y
a
x
== , de onde se tem as equações
paramétricas
=
=
θ
θsec
btgy
ax
.
B1
B2
θ
P(x,y)
Semi-eixo real: 2 aOA =
Semi-eixo imaginário: bOB =2
x
y
O A1 A2
55
Logo, as equações paramétricas da ciclóide são
−=
−=
)cos1(
)1(
θ
θ
ay
senax
. O ponto V é denominado vértice.
EXERCÍCIOS:
01) Esboce o gráfico das relações abaixo e verifique se elas representam função:
a) A = {(x,y) 2R∈ / y2 = x} b) S = {(x,y) 2R∈ / x2 + y2 = 4}
c) T = {(x,y) 2R∈ / x2 + y2 = 4 e 0 2≤≤ x } d) V = {(x,y) 2R∈ / y = x2}
e) X: R
y
R
x
→
a
, com y =
>
<<
≤+
1 xse ,2
1x2- se 3,
-2 xse ,1
x
2x
02) Dê a imagem das seguintes funções reais:
a) b)
x
y
x
y
C
θ
N
x
y
O
P A
M
B
O x
y
a
a
V ⇒
56
3.2.16) Funções especiais:
a) Função polinomial: É toda função do tipo f: R
xay
R
x n
p
p
p∑
→
=
=
0
a
, onde a0, a1, a2, ..., an são números reais
não nulos chamados coeficientes e n, inteiro não negativo, determina o grau da função. Explicitamente, temos
f(x) = ∑
=
n
p
p
p xa
0
= anx
n
+ an-1x
n-1
+ ... + a2x
2
+ a1x + a0 .
Vejamos alguns tipos especiais de função polinomial:
a.1) Função constante: É uma função polinomial de grau zero, do tipo f: R
ky
R
x =
→
a
. O domínio da
função f(x) = k é D(f) = R e o conjunto imagem é Im(f) = {k}. O gráfico é uma reta paralela ao eixo x,
passando por y = k.
Exemplos:
a) f(x) = 3 b) f(x) = -1 c) f(x) = 0
a.2) Função do 1º grau: Função polinomial do 1º grau ou simplesmente função do 1º grau é uma
função do tipo f: R
baxy
R
x +=
→
a
, com 0≠a . Os números reais a e b são chamados, respectivamente,
coeficiente angular e coeficiente linear. O domínio de f(x) é D(f) = R e a imagem é Im(f) = R.
O gráfico de uma função f(x) = ax + b, com 0≠a , é uma reta não paralela aos eixos coordenados. Se
a > 0, a função f(x) é crescente e se a < 0 f(x) é decrescente.
x
y
x
y
x
y
57
Exemplos:
a) b)
a.3) Função identidade: É uma função do 1º grau, do tipo f: R
xy
R
x =
→
a
. O domínio de f(x) é
D(f) = R e a imagem é Im(f) = R.
O gráfico da função f(x) = x é a reta bissetriz dos quadrantes ímpares.
Exemplo:
a.4) Função quadrática ou função do 2º grau: É uma função polinomial do 2º grau, do tipo
f: R
cbxaxy
R
x ++=
→ 2
a
, com 0≠a . O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com eixo de simetria
paralelo ao eixo dos y.
Na função f(x) = ax2 + bx + c se a > 0 , então a parábola tem concavidade voltada para cima e se
a < 0 a parábola tem concavidade voltada para baixo.
A intersecção do eixo de simetria com a parábola é um ponto denominado vértice.
b
a
b
−
a <0
y=ax +b
x
y
b
a
b
−
a >0
y=ax +b
x
y
x
y
58
O domínio de f(x) = ax2 + bx + c, com 0≠a , é D(f) = R e o conjunto imagem é Im(f) = [ )+∞,vy se
a > 0 , ou Im(f) = ( ]vy,∞− se a < 0, onde yv é a ordenada do vértice.
Fazendo f(x) = ax2 + bx + c = 0, tem-se os zeros da função dados por
a
acbb
x
2
42 −±−
= , onde o
radicando acb 42 −=∆ é denominado discriminante.
De acordo com os valores de a e de ∆ , pode-se ter seis possibilidades para y = ax2 + bx + c:
Intersecção com o eixo dos x
Concavidade
210 xx ≠⇒>∆ 210 xx =⇒=∆ Rxx ∉⇒<∆ 21 ,0
a>0
a<0
b) Função racional:
É toda função do tipo f: R
xQ
xPy
RD
x
)(
)(
=
⊂ →
a
, com Q(x) 0≠ , onde P(x) e Q(x) são funções polinomiais.
O domínio de f(x)= ,)(
)(
xQ
xP
com Q(x) 0≠ , é D(f) = { 0)(/ ≠∈ xQRx }, ou seja, todos os números reais
que não anulam o denominador. O conjunto imagem depende de como é a função racional dada.
c) Função irracional:
É toda função do tipo f: R
xPy
RD
x n )( =
⊂ →
a
, com P(x) 0≥ se n for par, onde P(x) é uma função
polinomial e n 2, ≥∈ nN .
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
59
d) Função modular:
É toda função do tipo f: R
xy
R
x =
→
a
.
O domínio de f(x) = x é D(f) = R e a imagem é Im(f) = R+.
O gráfico de f(x) = x é dado por:
e) Função exponencial:
É toda função do tipo f: R
ay
R
x x=
→
a
, com 0 < a 1≠ .
O domínio de f(x) = ax, com 0 < a 1≠ , é D(f) = R e a imagem é Im(f) = *+R .
Com relação ao gráfico da função f(x) = ax , pode-se afirmar:
i) a curva exponencial está toda acima do eixo das abscissas, pois y = ax > 0 para todo x .R∈ ;
ii) corta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1);
iii) f(x) = ax é crescente se a >1 e decrescente se 0< a <1.
Exemplo:
Valor de a f(x) = ax
a > 1
0< a < 1
x
y
x
y
x
y
60
f) Função logarítmica:
É toda função do tipo f: R
xy
R
x alog
*
=
→+
a
, com 0 < a 1≠ .
O domínio de f(x) = loga x é D(f) = *+R e a imagem é Im(f) = R.
Com relação ao gráfico da função f(x) = loga x, pode-se afirmar:
i) está todo à direita do eixo y;
ii) corta o eixo das abscissas no ponto (1,0);
iii) f(x) = loga x é crescente s a > 1 e decrescente se 0 < a < 1;
iv) é simétrico ao gráfico da função g(x) = ax em relação a reta y=x.
Exemplo:
Valor de a f(x) = loga x
a > 1
0< a < 1
g) Funções trigonométricas circulares:
Seno e cosseno:
Seja t um número real. Marca-se um ângulo com medida t radianos na circunferência de raio unitário e
centro na origem do sistema de coordenadas cartesiano. Seja P o ponto de intersecção do lado terminal do
ângulo t, com essa circunferência. Denomina-se seno de t, denotado por sen t, a ordenada 1OP do ponto P e
cosseno de t, denotado por cos
t, a abscissa 2OP do ponto P.
Exemplo:
x
y
x
y
(1,0)
(0,1)
O
P P1
P2
t
x
y
61
g.1) Função seno:
É toda função do tipo f: R
xy
R
x sen =
→
a
.
O domínio de f(x) = sen x é D(f) = R e a imagem é Im(f) = [-1, 1].
A função f(x) = sen x é periódica de período 2pi radianos, já que sen (x + 2pi ) = sen x.
O gráfico da função f(x) = sen x é denominado senóide.
Exemplo:
g.2) Função cosseno:
É toda função do tipo f: R
xy
R
x cos =
→
a
.
O domínio de f(x) = cos x é D(f) = R e a imagem é Im(f) = [-1, 1].
A função f(x) = cos x é periódica de período 2pi radianos, já que cos (x + 2pi ) = cos x.
O gráfico da função f(x) = cos x é denominado cossenóide.
Exemplo:
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
62
g.3) Função tangente:
É toda função do tipo f: R
x
xy
RD
x
cos
sen
=
⊂ →
a
, com cos x ≠ 0.
O domínio de f(x) = tg x é D(f) =
∈+≠∈ ZkkxRx ,
2
/ pipi e a imagem é Im(f) = R.
A função f(x) = tg x é periódica de período pi radianos, já que tg (x +pi ) =tg x.
O gráfico da função f(x) = tg x é denominado tangentóide.
Exemplo:
g.4) Função cotangente:
É toda função do tipo f: R
x
xy
RD
x
sen
cos
=
⊂ →
a
, com sen x ≠ 0.
O domínio de f(x) = cotg x é D(f) = { }ZkkxRx ∈≠∈ ,/ pi e a imagem é Im(f) = R.
A função f(x) = cotg x é periódica de período pi radianos, já que cotg (x +pi ) = cotg x.
O gráfico da função f(x) =cotg x é dado por:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
63
g.5) Função secante:
É toda função do tipo f: R
x
y
RD
x
cos
1
=
⊂ →
a
, com cos x ≠ 0.
O domínio de f(x) = sec x é D(f) =
∈+≠∈ ZkkxRx ,
2
/ pipi e a imagem é Im(f) = ( ] [ )+∞∪−∞− ,11, .
A função f(x) = sec x é periódica de período 2pi radianos, já que sec (x +2pi ) =sec x.
O gráfico da função f(x) =sec x é dado por:
g.6) Função cossecante:
É toda função do tipo f: R
x
y
RD
x
sen
1
=
⊂ →
a
, com sen x ≠ 0.
O domínio de f(x) = cossec x é D(f) = { }ZkkxRx ∈≠∈ ,/ pi e a imagem é Im(f) = ( ] [ )+∞∪−∞− ,11, .
A função f(x) = cossec x é periódica de período 2pi radianos, já que cossec (x +2pi ) = cossec x.
O gráfico da função f(x) =cossec x é dado por:
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
64
h) Funções trigonométricas inversas:
h.1) Função arco seno:
Se f: [ ]
xy
x
sen
1,1
2
,
2
=
−
− →
a
pipi
, então a inversa de f, denominada função arco seno, é dada por
[ ]
senyxy
fg
arc
1
2
,
2
1,1:
=
−
−−= →
pipi
a
.
Note que foi necessário restringir o domínio da função f(x) = sen x num intervalo em que f(x) fosse
bijetora. Poderíamos ter escolhido outros intervalos como, por exemplo,
,...
2
5
,
2
3
ou
2
3
,
2
ou
2
,
2
3
ou
2
3
,
2
5
...,
−−
−−
pipipipipipipipi
No entanto, o intervalo
2
,
2
−
pipi
facilita cálculos, uma
vez que zero pertence a ele.
Na função g=f -1:[ ]
yxy senarc
2
,
2
1,1
=
−− →
pipi
a
, em que x = arc sen y, x é variável dependente e, portanto, seus
valores devem ser marcados sobre o eixo das ordenadas. Analogamente, y é a variável independente e,
portanto, seus valores devem ser marcados sobre o eixo das abscissas.
No entanto, para evitar confusões, vamos apenas fazer o gráfico de g:[ ]
xyx senarc
2
,
2
1,1
=
−− →
pipi
a
, uma vez que
estamos acostumados a relacionar o eixo das ordenadas com os valores de y e o eixo das abscissas com os
valores de x. Assim:
x
y
2
pi
1
2
pi
−
-1
x
y
65
h.2) Função arco cosseno:
Se f: [ ] [ ]
xsyx co
1,1,0
=
−→
a
pi , então a inversa de f, denominada função arco cosseno, é dada por
g=f -1: [ ] [ ]
ysxy co arc
,01,1
=
→− pi
a
.
Note que foi necessário restringir o domínio da função f(x) =cos x num intervalo em que f(x) fosse
bijetora. Poderíamos ter escolhido outros intervalos.
De modo análogo ao que fizemos na função arco seno, vamos apenas fazer o gráfico de
g: [ ] [ ]
xyx cos arc
,01,1
=
→− pi
a
:
Observação: Considerando o triângulo retângulo , tem-se:
2
piβα =+ e x = senα =cos β .
Portanto, α =arc sen x e β = arc cos x.
Assim, arc cos x = xarcsen
2
−
pi
x
y
x 1
-1
pi
2
pi
x
1
α
β
66
h.3) Função arco tangente:
Se f:
xtgyx
R
2
,
2
=
→
−
a
pipi
, então a inversa de f, denominada função arco tangente, é dada por
g=f -1:
yxy
R
tgarc
2
,
2
=
−→
pipi
a
.
Note que foi necessário restringir o domínio da função f(x) =tg x num intervalo em que f(x) fosse
bijetora. Poderíamos ter escolhido outros intervalos.
De modo análogo ao que fizemos na função arco seno, vamos apenas fazer o gráfico de g:
xyx
R
tgarc
2
,
2
=
−→
pipi
a
:
h.4) Função arco cotangente:
Se f: ] [
xgy
x
R
cot
,0
=
→
a
pi , então a inversa de f, denominada função arco cotangente, é dada por
] [
yxy
Rfg
cotg arc
1
,0:
=
− →= pi
a
.
Faça o gráfico de g: ] [
xcotg arc
,0
=
→ yxR pi
a
:
Observação: Do triângulo retângulo , tem-se:
2
piβα =+ e x = tgα =cotg β . Portanto, α =arc tg x e β = arc cotg x.
Assim, arc cotg x = arctgx−
2
pi
x
y
2
pi
2
pi
−
x
1
α
β
67
h.5) Função arco secante:
Se f: ] [ ] ] [ [
xyx sec
,11,
2
,0
=
+∞∪−∞−
− →
a
pi
pi , então a inversa de f, denominada função arco secante, é dada por
g=f -1: ] ] [ [ ] [
yxy sec arc
2
,0,11,
=
−+∞∪−∞− →
pi
pi
a
.
O gráfico de g=f -1: ] ] [ [ ] [
xsec arc
2
,0,11,
=
−+∞∪−∞− →
yx
pi
pi
a
é dado por:
Se y = arcsec x , então x =
sec y =
ycos
1
. Daí, vem: cos y =
=⇒
x
arcy
x
1
cos
1
, se 1≥x .
Logo, arc sec x =
x
arc
1
cos
h.6) Função arco cossecante:
Se f: { } ] ] [ [
xyx seccos
,11,0
2
,
2
=
+∞∪−∞−−
− →
a
pipi
, então a inversa de f, denominada função arco cossecante, é dada por
g=f -1: ] ] [ [ { }
yxy cossec arc
0
2
,
2
,11,
=
−
−+∞∪−∞− →
pipi
a
.
O gráfico de g: ] ] [ [ { }
xyx cossec arc
0
2
,
2
,11,
=
−
−+∞∪−∞− →
pipi
a
é dado por:
Se y = arc cossec x , então x = cossec y =
ysen
1
. Daí, vem: sen y =
=⇒
x
sarcy
x
1
en
1
, se 1≥x .
Logo, arc cossec x =
x
arc
1
sen .
x
y
2
pi
pi
-1 1 x
y
x
y
2
pi
2
pi
−
1
-1
y
x
68
i) Funções trigonométricas hiperbólicas:
Seno hiperbólico e cosseno hiperbólico:
Seja t um número real tal que t = 2Ah, onde Ah é a área do setor hiperbólico POQ no sistema de
coordenadas cartesiano abaixo e Q tem coordenadas (1,0). Seja P um ponto que descreve o ramo direito de uma
hipérbole unitária. Denomina-se seno hiperbólico de t, denotado por senh t, a ordenada 1OP , onde P1 é a
projeção ortogonal de P sobre o eixo das ordenadas, e cosseno hiperbólico de t, denotado por cosh t, a abscissa
2OP , onde P2 é a projeção ortogonal de P sobre o eixo das abscissas.
Exemplo:
O seno hiperbólico de um número real x é definido por senh x =
2
xx ee −−
, onde x é denominado
argumento do seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico de um número real x é definido por
cosh x =
2
xx ee −+
, onde x é denominado argumento do cosseno hiperbólico.
De forma análoga às relações trigonométricas circulares, define-se:
tgh x =
xx
xx
ee
ee
xtgh
x
x
−
−
+
−
=⇒
cosh
senh
cotgh x =
xx
xx
ee
ee
xgh
x
x
xtgh −
−
−
+
=⇒= cot
senh
cosh
1
xx ee
xh
x
xh
−+
=⇒=
2
sec
cosh
1
sec
xx eex
xh
−
−
==
2
senh
1
seccos
Dessas definições, resultam as seguintes identidades:
cosh2 x – senh2 x = 1
1 – tgh2 x = sech2x (basta dividir ambos os membros de cosh2 x – senh2 x = 1 por cosh2x)
1 – cotgh2 x = -cossech2x (basta dividir ambos os membros de cosh2 x – senh2 x = 1 por -senh2x)
Devido a esse comportamento semelhante às funções trigonométricas circulares é que as funções
exponenciais f(x)=senh x, g(x)=cosh x, h(x)=tgh x, j(x)= cotgh x, l(x)= sec xh e m(x)= xh seccos recebem o
adjetivo trigonométricas. O adjetivo hiperbólicas deve-se ao fato do ponto P de coordenadas
(cosh t, senh t) estar sobre a hipérbole unitária x2 - y2 = 1, uma vez que cosh2 t – senh2 t = 1.
1
P
P2
P1
O Q
x
y
69
i.1) Função seno hiperbólico:
É toda função do tipo f: R
xy
R
x senh =
→
a
.
O domínio de f(x) = senh x=
2
xx ee −−
é D(f) = R e a imagem é Im(f) = R
O gráfico da função f(x) = senh x pode ser obtido adicionando-se as ordenadas das funções auxiliares
g(x)= xe
2
1
e h(x)= − xe−
2
1
. Primeiramente, esboça-se os gráficos de g(x)= xe
2
1
e h(x) = − xe−
2
1 (pode ser
tracejado) e posteriormente soma-se as ordenadas obtendo-se f(x) = g(x) + h(x).
i.2) Função cosseno hiperbólico:
É toda função do tipo f: R
xy
R
x cosh =
→
a
.
O domínio de f(x) = cosh x=
2
xx ee −+
é D(f) = R e a imagem é Im(f) = [ [+∞,1 .
O gráfico da função f(x) = cosh x pode ser obtido adicionando-se as ordenadas das funções auxiliares
g(x)= xe
2
1
e h(x)= xe−
2
1
. Primeiramente, esboça-se os gráficos de g(x)= xe
2
1
e h(x) = xe−
2
1 (pode ser
tracejado) e posteriormente soma-se as ordenadas obtendo-se f(x) = g(x) + h(x).
x
y
f(x)=senh x
h(x) = xe−−
2
1
g(x) = xe
2
1
x
y
g(x) = xe
2
1
h(x) = xe−
2
1
f(x) = coshx
70
A função cosseno hiperbólico pode ser usada para descrever a forma de um cabo ou corrente flexível,
uniforme, cujas extremidades estão fixas a uma mesma altura.
A curva da função f(x) = cosh ( )
a
x
, a R∈ é denominada catenária (do latim: cadeia, corrente). Seu
emprego também se dá na arquitetura, na confecção de arcos.
i.3) Função tangente hiperbólica:
É toda função do tipo f: R
tghxy
R
x =
→
a
.
O domínio de f(x) = tgh x=
xx
xx
ee
ee
−
−
+
−
é D(f) = R e a imagem é Im(f) = ] [1 ,1− .
O gráfico de f(x) = tgh x é dado por:
i.4) Função cotangente hiperbólica: É toda função do tipo f: R
ghxy
R
x cot
*
=
→
a
.
O domínio de f(x) =cotgh x=
xx
xx
ee
ee
−
−
−
+
é D(f) = R* e a imagem é Im(f) = ] [ ] [+∞∪∞− ,11- , .
O gráfico de f(x) = cotgh x é dado por:
x
y
1
-1
x
y
1
-1
71
i.5) Função secante hiperbólica:
É toda função do tipo f: R
hxy
R
x sec =
→
a
.
O domínio de f(x) =sech x=
xx ee −+
2
é D(f) = R e a imagem é Im(f) = ] ]1 ,0 .
O gráfico de f(x) = sech x é dado por:
i.6) Função cossecante hiperbólica:
É toda função do tipo f: R
hxy
R
x seccos
*
=
→
a
.
O domínio de f(x) =cossech x=
xx ee −−
2
é D(f) = R* e a imagem é Im(f) = R*.
O gráfico de f(x) = cossech x é dado por:
x
y
x
y
1
72
j) Funções hiperbólicas inversas:
j.1) Função argumento do seno hiperbólico:
Se f:
xy
R
x
R
senh=
→
a
, então a inversa de f, denominada função argumento do seno hiperbólico e denotada
por arg senh x, é dada por g=f -1:
yxy
RR
senh arg =
→
a
.
Como a função seno hiperbólico é bijetora em todo o seu domínio, então não é necessário restringir um
intervalo para definir a função inversa.
Como y = senh x =
2
xx ee −−
, então a inversa x = arg senh y = ln (y + )12 +y .
O gráfico de g:
senh x arg =
→
yx
RR
a
é dado por:
j.2) Função argumento do cosseno hiperbólico:
Se f: [ [ [ [
xyx cosh
,1,0
=
+∞+∞ →
a
, então a inversa de f, denominada função argumento do cosseno hiperbólico e
denotada por arg cosh x, é dada por g=f -1: [ [ [ [
yxy cosh arg
,0,1
=
+∞+∞ →
a
.
Como a função cosseno hiperbólico não é bijetora em todo o seu domínio, então é necessário restringir
um intervalo para definir a função inversa, como feito acima.
Como y = cosh x =
2
xx ee −+
, então a inversa x = arg cosh y = ln (y + )12 −y , y .1≥ .
O gráfico de g: [ [ [ [
cosh x arg
,0,1
=
+∞+∞ →
yx a
é dado por:
x
y
x
y
x
y
1
73
j.3) Função argumento da tangente hiperbólica:
Se f: ] [
xtghyx
R
1,1
=
−→
a
, então a inversa de f,
denominada função argumento da tangente hiperbólica e denotada
por arg tgh x, é dada por g=f -1: ] [
yxy
R
tgh
1,1
=
→−
a
.
Como a função tangente hiperbólico é bijetora em todo o seu domínio, não é necessário restringir um
intervalo para definir a função inversa.
Como y = tgh x =
xx
xx
ee
ee
−
−
+
−
, então a inversa x = arg tgh y =
2
1
−
+
y
y
1
1ln , .11 <<− y
O gráfico de g: ] [
xyx
R
tgh arg
1,1
=
→−
a
é dado por:
j.4) Função argumento da cotangente hiperbólica:
Se f: ] [ ] [
xghyx
R
cot
*
,11,
=
+∞∪−∞−→
a
, então a inversa de f, denominada função argumento da cotangente
hiperbólica e denotada por arg cotgh x, é dada por g=f -1: ] [ ] [
yx
y
R
cotgh arg
*
,11,
=
→+∞∪−∞−
a
.
Como y = cotgh x =
xx
xx
ee
ee
−
−
−
+
, então a inversa x = arg cotgh y =
2
1
−
+
1
1ln
y
y
, .1>y
O gráfico de g: ] [ ] [
yx
y
R
cotgh arg
*
,11,
=
→+∞∪−∞−
a
é dado por:
x
y
-1 1 x
x
y
1 -
1
74
j.5) Função argumento da secante hiperbólica:
Se f: ] ]
xhyx
R
sec
1,0
=
+ →
a
, então a inversa de f, denominada função argumento da secante hiperbólica e
denotada por arg sech x, é dada por g=f -1: ] ]
yxy
R
sech arg
1,0
=
+→
a
.
Como y = sech x =
xx ee −+
2
, então a inversa x = arg sech y =
−+
y
y 211
ln , .10 ≤< y
O gráfico de g: ] ]
xyx
R
sech arg
1,0
=
+→
a
é dado por:
j.6) Função argumento da cossecante hiperbólica:
Se f:
xhyx
RR
seccos
**
=
→
a
, então a inversa de f, denominada função argumento da cossecante hiperbólica e
denotada por arg cosech x, é dada por g=f -1:
yxy
RR
cossech arg
**
=
→
a
.
Como y =cossech x =
xx ee −−
2
, então a inversa x = arg cossech y =
+
+
y
y
y
211ln , .0≠y
O gráfico de g:
cossech x arg
**
=
→ yx RR
a
é dado por:
x
y
1 x
x
y
75
EXERCÍCIOS
01) Considere todos os infinitos retângulos cujo comprimento tem 3 cm a mais que a largura. Dê a lei
matemática que relaciona a área y com a largura x desses retângulos. Essa relação representa uma função?
Justifique.
02) Um administrador de uma fábrica de móveis descobre que custa R$ 2200,00 para fabricar 100 cadeiras em
um dia e R$ 4800,00 para produzir 300 cadeiras em um dia.
a) Expresse o custo como uma função do número de cadeiras produzidas, supondo que ela é linear. Dê seu
domínio e imagem.
b) Esboce o gráfico da função acima.
c) Qual a inclinação do gráfico e o que ela representa?
d) Qual o intercepto y do gráfico e o que ele representa?
03) Em uma fazenda, um trabalhador deve construir um galinheiro de forma retangular. Dispondo apenas de 30
m de tela, ele decidiu aproveitar um velho muro como uma das laterais do galinheiro. Sabendo que o muro tem
extensão suficiente para ser lateral de qualquer galinheiro construído com essa tela, expresse matematicamente
a área do galinheiro em função da referida lateral. Dê o domínio, a imagem e o valor da área máxima.
04) Para uma determinada viagem, foi fretado um avião com 200 lugares. Cada pessoa deve pagar R$ 300,00
mais uma taxa de R$ 6,00 por lugar que ficar vago.
a) Expresse a lei que relaciona a quantia paga pelos passageiros à agência com o número de passageiros
que compareceram para viagem. Essa lei representa uma função? Justifique.
b) Qual a receita máxima que pode ser arrecadada nessas condições?
05) Um capital C foi aplicado durante n anos à taxa de juro composto de 20% ao ano. Dê a lei matemática que
relaciona o montante M (capital + juro) com o tempo que o capital permanece aplicado. Essa relação representa
uma
06) Em cada item abaixo, represente num mesmo plano cartesiano os gráficos das seguintes funções, partindo
do gráfico básico. Dê o domínio e o conjunto imagem de cada função:
a) f(x) = x; g (x) =x + 1; h(x) = x – 2; i(x) =x + 3
b) f(x) = x; g(x) = 2x; h(x) =3x; i(x) = x/2; j(x) = x/4
c) f(x) = x; g(x) = -x
d) f(x) = 2x + 3; g(x) = 3x-2; h(x) = 2-x;
76
e) f(x) = 4
3
−
x
; g(x) = 4 -
2
x
f) f(x) = x2; g(x) = x2 + 1; h(x) = x2 – 3; i(x) = 2-x2; j(x) = -3-x2; l(x) = 3x2
g) f(x) = x2; g(x) = x4; h(x) = x6; j(x) = x8
h) f(x) = x3; g(x) = x5; h(x) = x7
i) f(x) = x ; g(x) = 1+x ; h(x) = 1−x ; j(x) = x + 1; l(x) = x − 1
j) f(x) = sen x ; g(x) = sen 2x ; h(x) = sen
3
x
;
k) f(x) = sen x; g(x) = 2 + senx; g(x) = -1 - senx
l) f(x) = cos x; g(x) = cos(x+ )
3
pi
; h(x) = cos (x - pi );
m) f(x) = cos x; g(x) = cos(x + 1); h(x) = cos (x – 1);
n) f(x) = cosx; g(x) = 2 + cos 3x
o) f(x) = 2x; g(x) = 2x + 3; h(x) = 1 – 2x;
p) f(x) = 2 + 3.2x; j(x) = 24x
q) f(x) = (1/3)x; g(x) = 5-(1/3)2x
r) f(x) = ex; g(x) = 2 + ex; h(x) = -2 - ex
s) f(x) = log x; g(x) = 2 +log x; h(x) = -logx; com x *+∈ R
t) f(x) = x2/1log ; g(x) = 5 - x2/1log com x *+∈ R
u) f(x) = ln x; g(x) = 3 + 2.ln x; h(x) = -2 – 3.lnx com x *+∈ R
v) f(x) =
x
1
; g(x) =
x
2
; i(x) =
x
2
+ 3
w) f(x) =
x
1
; g(x) = -
x
1
;
x) f(x) =
1
1
+x
; g(x) =
4
1
−x
+2
y) f(x) =
x
; g(x) = x + 3; h(x) = - x
z) f(x) = x ; g(x) = 4 + 2 x
07) Esboce o gráfico das seguintes funções reais, dando seu domínio e imagem:
a) f(x) =
≥+−
<≤
<+
2 xse ,44
2x3- se ,4
-3 x se ,2
2 xx
x
b) g(x) =
≥+
<≤++
<+−
8 x se ,4
8x0 se 12,6x
0 x se ,32
2
x
x
x
77
c) f(w) =
≤≤−
<
3 w2- se ,
2- wse ,1
3w
w d) y =
<≤−
<≤+
<<
10x4 se,2
4x1 se , 2)log(x-
1x 0 se ,log 1,0 x
e) y =
≥−
<
− 0 x se ,
0 x se ,
x
x
e
e
f) y =
<≤
<<+
2
3
x0 se 2x),-ln(3-
0 x 3- se ),3ln(x
g) h(x) =
≥+−
−<
2
- x se ),
2
cos(
2
x se ,sen2
pipi
pi
x
x
h) y =
≥+
<−
0 x se ,12
0 x se ,26
2x
x
i) y =
≥
<
− 0 x se 3
0 x se ,3
x
x
j) f(t) =
<≤
<<
pi
pi
t0 se sen t,
0t- se ,0
08) Esboce o gráfico das seguintes funções dando seu domínio e imagem:
a) f(x) = arcsen x b) g(x) = arcos 2x c) h(x) = arctg
2
x
d) f(x) = senh x
e) g(x) = cosh 2x f) h(x) = tgh(-x) g) y = arg tgh x h) y = cotgh x
09) Determine o domínio das seguintes funções reais:
a) y =
2
1372 4 23
+
−++−
x
xx b) y =
1+x
x
c) f(x) = sen x + tg 2x
d) y = arc sen x e) g(x) = senh(-x) f) h(x) =
4
2cos3
x
tg
x+
g) y = ln (3x2 +
2
1 ) h) f(x) = )5(log 2)2( xxx ++ i) y = )13(log 2
2
−
−
x
e
x
x
10) Determine se f é par, ímpar ou nenhum dos dois:
a) f(x) = 2x5 – 3x2 +2 b) f(x) = x3 – x7 c) f(x) = 2xe− d) f(x) = 1 + sen x
78
11) Seja f(x) uma função, cujo
gráfico para x ≥ 0, tem o aspecto indicado na figura. Completar esse gráfico
no domínio x < 0, se:
a) f(x) é par b) f(x) é ímpar.
12) Analise os gráficos do exercício 6,e classificando-os em função par ou função ímpar, caso sejam.
13) Usando a definição de função periódica, determine o período das seguintes funções reais:
a) y = sen x b) y = cos (2x + )
2
pi
c) f(x) = tg( )x−pi
14) Se f(x) = ln x e g(x) = x2 – 9, encontre as funções f o g, g o f, f o f, g o g. Dê os seus domínios.
15) Sejam f(x) =
>
≤<−
≤
8 x se ,x
8 x 0 se ,
0 x se ,5
x
x
e g(x) = x3. Calcule f o g e g o f.
16) Sejam f(x) = 4−x e g(x) = 3. x,1
2
1
≥+
x
Calcule f o g. Dê o domínio e o conjunto imagem de f(x),
g(x) e de (f o g) (x).
17) Em cada um dos exercícios determine a fórmula da função inversa. Fazer os gráficos da função dada e da
sua inversa. Restrinja o domínio, se necessário:
a) y = 3x + 4 b) y =
3
1
−x
c) y = 1−x , se x 1≥ d) y = 8x3
e) y = x2 – 4, x 0≤ f) y = x2 g) y = sen 2x h) f(x) = cos
3
x
i) y = ex j) y = senh x l) y = log (3x + 1) m) y = cotg ( x +
4
pi )
79
Respostas dos exercícios
1) Sistematização dos conjuntos numéricos
01) a) b) c)
d) e) f)
g)φ h) i)
02) 03) 04)
Observação sobre o exercício 04)
b) F, pois ⇒ , c>0
l) Se a, b R∈ , então tem-se as seguintes situações:
a >0 e b >0. Daí, vem: baba +≥+ Verdadeiro, pois baba +=+
a> 0 e b < 0. Daí, vem: baba +≥+ Falso, pois baba +≤+
a> 0 e b = 0. Daí, vem: baba +≥+ Verdadeiro¸ pois baba +=+
a<0 e b>0. Daí, vem: baba +≥+ Falso, pois baba +≤+
a<0 e b < 0. Daí, vem: baba +≥+ Verdadeiro, pois baba +=+
a < 0 e b = 0. Daí, vem: baba +≥+ Verdadeiro, pois baba +=+
U A
B
C
C
A B
D
a) V b) F, ac > bc c) F, ac < bc
d) V e) V f) F, ac > bd
g) V h) F, x < -a ou x > a i) V
j) V l) F, baba +≤+ m) V
n) V o) V p) F, a= b ou a = -b
q) F, aa =2 r) V
a b R
ac bc R
U A
B
C
U A
B
C
U A
B
C
U A
B
C
U A
B
C
U A
B
C
U A
B
C
U A
B
C
U
B
A
A B
80
a = 0 e b >0. Daí, vem: baba +≥+ Verdadeiro, pois baba +=+
a = 0 e b < 0. Daí, vem: baba +≥+ Verdadeiro, pois baba +=+
a = 0 e b = 0. Daí, vem: baba +≥+ Verdadeiro, pois baba +=+
Logo, baba +≥+ é falso e baba +≤+ é verdadeiro.
m) Pode ser feito como no item l ou faz-se )( baba −+=− . Pela proposição anterior, tem-se:
babababa +≤−⇒−+≤−+ )( .
05) a)
i) axaaax <<−⇒>< 0 com,
• Se x > 0 xx =⇒ . Como, por hipótese, ,ax < segue x < a. Como a > 0, então –a < 0. Daí, vem:
-a< 0 < x < a. axa <<−⇒ .
• Se x < 0 xx −=⇒ . Como, por hipótese, ,ax < segue −x < a e x > -a.. Como a > 0, vem:
-a < x <0 < a. axa <<−⇒ .
ii) –a< x <a, com a > 0 ax <⇒
• Se x > 0 xx =⇒ . Como, por hipótese, –a< x <a e a > 0 segue –a < x < a, então x < a.
• Se x < 0 xx =−⇒ . Como, por hipótese, –a< x < a , então a > -x > -a. Daí, vem:
a > x >-a. Como a >0, então –a < 0. Daí, a > x >-a ax <⇒ .
b) .ou 0 com, axaxaax −<>⇔>>
i) .ou 0 com, axaxaax −<>⇒>>
• Se ,ax > com a > 0, então x > a se x > 0, ou –x > a se x < 0, pois
0 se , e 0 se, <−=>= xxxxxx . Daí, vem: x > a ou x < -a.
ii) axaaxax >⇒>−<> 0 com,ou
• Se x > a ou x < -a, e x > 0, então .ou axax −<> No entanto, a sentença ax −< é absurda, uma
vez que a > 0. Logo, . ax >
• Se x > a ou x < -a, então –x < -a ou –x > a. Se x < 0, então xx −= . Daí, vem:
ax −< ou . ax > Como no item anterior, a sentença ax −< é absurda, uma vez que a > 0. Segue,
então . ax >
06) a) ( )
+∞∪∞− ,
3
200, b)
∞−
19
68
, c) [ ]22 ,22− d) R – {3} e)
∞−
2
5
,
f)
5
4
g)
−
2
1
,1 h) ( ] [ ]1,14, −∪−∞− i) ( ] [ ] { }0,11, ∪+∞∪−∞− j) ( ) ( )+∞∪− ,11,1
l) ( )+∞,2 m) ( ] { }12, ∪−∞− n)
−∞−
2
1
, o) ( )2,1
2
5
, −∪
−∞− p) ( ]0,∞−
q) ( ) ( )+∞∪−∞− ,23, r) (-1,1) s) ( )
∪
−∪−∞− 3,
3
2
3
1
,
3
12,
07) a)
− 3,
5
9
b)
9
8
,
5
2
c)
−
4
3
,
2
7
d)
−
8
11
,
10
11
e) {8}
81
f)
+∞,
3
2
g)
+∞,
3
4
h) {−5, 2} i)
3,
3
4
08) a) (-19, -5) b) ( ) ( )+∞∪∞− ,41, c) R d) φ e) ( ) ( )2,13,6 −∪−−
f) [ )
−+∞∪
∞−
2
1
,3
7
11
, g) φ h) [ ] { }3,14,2 −−− i) ( )+∞,0
j) (4, 6) l) (1, 4) m) [ ]5,1 n) ( ] [ )+∞∪∞− ,60,
2) Sistema cartesiano ortogonal
01)
a) A X B = {(1,2), (1,4), (1,5), (3,2), (3,4), (3,5)} b) B X A = {(2,1), (2,3), (4,1), (4,3), (5,1), (5,3)}
c) A2 = {(1,1), (1,3), (3,1), (3,3)} d) B2 = {(2,2), (2,4), (2,5), (4,2), (4,4), (4,5), (5,2), (5,4), (5,5)}
02) a) b) c)
d) e) f)
g) 03) a) A X B = ( ){ }2y e 31/, 2 =<≤∈ xRyx
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
x
y
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
x
y
82
b) B X A = ( ){ } 31 e 2/, 2 <≤=∈ yxRyx c) A X C = ( ){ } 51 e 31/, 2 ≤≤<≤∈ yxRyx
d) C X A = ( ){ } 31 e 51/, 2 <≤≤≤∈ yxRyx e) B X D = ( ){ } 41- e 2/, 2 <<=∈ yxRyx
f) C X B = ( ){ } 2 e 51/, 2 =≤≤∈ yxRyx
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
BOYER, Carl B. História da matemática. 2 ed. São Paulo: Blücher, 1996.
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação e integração. 5 ed. São Paulo: Makron, 1992.
GARBI, Gilberto. O romance das equações algébricas. São Paulo: Makron Books, 1997.
GRANVILLE, W. A.; LONGLEY, W. R.; SMITH, P. F. Elementos de cálculo diferencial e integral. Rio de Janeiro: Científica, 1961,
p. 140.
IEZZI, Gelson. MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de matemática elementar: conjuntos, funções. V 1. 6 ed. São Paulo, Atual, 1985.
IEZZI, G. et al. Fundamentos de matemática elementar: complexos, polinômios e equações. São Paulo: Atual, 1977-1983, 4 ed, V 6.
LIMA, Elon Lages. Curso de análise. Rio de Janeiro: IMPA, 1976. V 1, p. 56, 60, 61, 138-140.
MUNEM, Mustafá A.; FOULIS, David J. Cálculo. V 1. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1982.
RIGHETTO, A.; FARRAUDO, A. S. Cálculo diferencial e integral I. São Paulo: Instituto Brasileiro de Edições Científicas, 1981,
V1.
SANT’ANNA, Adonai S. O que é um conjunto. Barueri: Manole (no prelo).
SPIEGEL, Morra Ralph. Probabilidade e estatística. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1978, p. 1-5.
WINTERLE, Paulo. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Makron Books, 2000, p. 186,187, 202, 203.
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
1 3
1
5
x
y
1 5
1
3
x
y
− 4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
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