P1_Prob I

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UFRGS – INSTITUTO DE MATEMA´TICA
Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada
Probabilidade I - 2013/2
Prova 1a A´rea – 09 de Outubro de 2013
1 2 3 4 5 Total
Nome: Carta˜o: Turma:
Questa˜o 1. Seja X uma varia´vel aleato´ria cont´ınua com func¸a˜o de distribuic¸a˜o FX e densidade fX tomando
valores em (1,∞). Defina Y = 1X−1 .
(a) Classifique Y e determine sua imagem.
(b) Determine a func¸a˜o de distribuic¸a˜o de Y e mostre formalmente que ela determina realmente uma
func¸a˜o de distribuic¸a˜o.
(c) Determine a densidade de Y em func¸a˜o de fX . Mostre formalmente que a func¸a˜o obtida e´ realmente
uma densidade.
(d) Determine a densidade de Y quando X ∼ U(1, b), para b > 1.
(e) Se X ∼ U(1, b), para b > 1, e x, y sa˜o dois nu´meros reais tais que 1 < x < y < b, determine
P (x ≤ Y ≤ y).
Questa˜o 2. Considere o seguinte experimento: primeiramente, joga-se um dado equilibrado 2 vezes e
anotam-se o valor obtido em cada jogada. Em seguida, joga-se uma moeda honesta, e anota-se o resultado
obtido.
(a) Determine o espac¸o de estados (Ω) associado ao experimento e associe a ele uma σ-a´lgebra adequada.
(b) Recodificando o experimento se necessa´rio, defina uma varia´vel aleato´ria X da seguinte forma: se o
resultado da moeda foi cara, X assume o maior valor dentre os resultados obtidos jogando-se os dados,
caso contra´rio (isto e´, se deu coroa), X assume o valor 0.
(c) Determine o valor de P (X = 0) e P (X = 1).
(d) Obtenha X−1(2).
Questa˜o 3. Considere o seguinte experimento: jogam-se dois dados equilibrados e anota-se os nu´meros
obtidos. Defina os eventos: A = “soma dos dados e´ 3” e B = “segundo dado deu 1”.
(a) Determine o espac¸o de estados do experimento e os subconjuntos relativos a` A e B.
(b) Verifique se A e B sa˜o eventos independente.
(c) Calcule P (A|B).
Questa˜o 4. Considere uma varia´vel aleato´ria X com densidade
f(x) =

1/3, se x ∈ (−2, 0);
x2, se x ∈ (0, 1);
0, caso contra´rio.
(a) Obtenha a func¸a˜o de distribuic¸a˜o de X.
(b) Determine P (X = 0) e P (−1 < X ≤ 1/2).
Questa˜o 5. Seja (Ω,A, P ) um espac¸o de probabilidade. Sejam A,B,C ∈ A, com P (B) > 0 e P (C) > 0.
Se B e C sa˜o independentes, mostre que
P (A|B) = P (A|B ∩ C)P (C) + P (A|B ∩ Cc)P (Cc).
Dica: P (A ∩B) = P (A ∩B ∩ (C ∪ Cc)).