2 Resmat2 - cap2

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Cargas e esforços – Professora Elaine Toscano 
Capítulo 2 – Cargas e esforços 
 
2.1 –Cargas 
 
Até o presente momento foram adotadas apenas cargas concentradas e cargas-momento nos 
exemplos, no entanto, na prática, o tipo mais usual de carregamento é o distribuido. Como 
principal exemplo pode-se citar o peso próprio da estrutura: vigas, lajes, etc. 
 
De uma forma geral, todas as forças aplicadas sobre uma estrutura são transmitidas através de 
uma superfície de contato. Uma carga é dita concentrada quando a área dessa superfície de 
contato é tão pequena que pode ser considerada nula, sem que o erro cometido com essa 
simplificação seja significativo para efeitos de cálculo estrutural. Caso contrário, a carga é 
considerada distribuída. 
 
Um exemplo de carga concentrada é o caso de vigas secundárias descarregando suas reações 
sobre vigas principais. Neste caso, a viga principal ira ter um carregamento distribuido 
(proveniente do seu peso próprio e de outras solicitações contínuas) e cargas concentradas 
onde estão apoiadas as vigas secundárias. 
2.1.1- Tipos principais de cargas distribuídas 
 
Os tipos mais usuais de cargas distribuídas que ocorrem na prática em estruturas compostas de 
barras (que podem ser representadas pelos eixos longitudinais de seus elementos) são as 
cargas uniformemente distribuídas e as cargas triangulares (mais comum em casos de 
empuxos de terra e de água). A forma de representa-las em um modelo estrutural pode ser 
vista abaixo: 
 
 
 29/6/2007 15 
 
 
 
 
 
Carga triangular Carga uniformemente distribuída 
q 
q 
 
 
2.2- Cargas equivalentes 
 
Para efeito deo cálculo das reações de apoio utiliza-se o conceito de cargas equivalentes para 
se trabalhar com a resultante de um carregamento distribuido. Como uma carga distribuída 
pode ser encarada como uma soma infinita de cargas concentradas aplicadas sobre áreas 
infinitesimais (q.ds), a resultante de um carregamento distribuído genérico como o mostrado 
na figura abaixo será igual a: 
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Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
 
 
∫=
B
A
dsqR . 
 
 
 
 
 
 
 
 O ponto de aplicação dessa resultante é definido pela abscissa s do centro de gravidade 
dessa área. 
 
 
Recordando 3 - Centros de gravidade 
 
O centro de gravidade ou baricentro de um corpo é o ponto onde pode ser pensado que toda 
a massa do corpo está concentrada para o cálculo de vários efeitos relacionados com a 
gravidade. Em figurtas planas de massa homogênea o centro de massa coincide com o centro 
de gravidade. Para n partículas, cada uma com posição ri e massa mi, o centro de massa R é 
dado por: 
q 
s 
s R 
q.d
A B 
o 
ou seja, a carga equivalente 
é igual à área limitada entre a 
curva que define a variação do 
carregamento e o eixo da 
estrutura 
s 
 
∑= ii rmMR 1 
 
Onde mi é a massa de cada uma das partículas, M é a massa do corpo, ri é a posição de cada 
partícula 
 
O anexo 1 apresenta uma tabela com os centros de massa das principais figuras geométricas. 
 
 
2.3 - Esforços seccionais 
 
Até o presente momento já foram estudadas as reações de apoio através da aplicação das 
equações de equilíbrio. No entanto, o principal objetivo do estudo das estruturas isostáticas é 
determinar de que forma as solicitações das cargas influenciam cada uma das seções de um 
corpo. Só a partir da quantificação destes esforços seccionais torna-se possível dimensionar 
uma estrutura com propriedades geométricas e materiais adequados para resistir a tais 
esforços. 
 
Esforços seccionais são os efeitos estáticos que um conjunto de cargas e reações de apoio 
provocam em cada uma das seções transversais da peça em estudo.. 
 
16 
Cargas e esforços – Professora Elaine Toscano 
Considere-se em equilíbrio um corpo submetido a um conjunto de forças (carregamentos e 
reações de apoio). Ao seciona-lo por um plano P, que o intercepta segundo uma seção S, o 
corpo é dividido em duas partes A e B. Para manutenção do estado de equilíbrio em cada uma 
das partes, é necessário aplicar na seção S um sistema estaticamente equivalente ao das forças 
aplicadas na parte suprimida. Tal sistema estático pode sempre ser desmembrado em um vetor 
força (R) e um vetor momento (M) aplicados no centro de gravidade da seção. 
 
Assim se definem os esforços seccionais em uma seção S de uma peça, os quais podem ser 
quantificados utilizando-se todas as forças atuantes à esquerda da seção OU utilizando-se 
as forças à sua direita. 
 
 
S
P 
1.1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R 
M 
M 
R 
B 
A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: Um engano comum é o aluno confundir o somatório das forças e momentos (equações 
de equilibrio) com as equações que devem ser usadas para o cálculo dos esforços seccionais. 
É sempre útil frizar que enquanto no primeiro caso são utilizadas todas as cargas atuantes na 
estrutura para a determinação das reações de apoio, no segundo caso se utiliza apenas um 
dos dois lados da seção para a determinação dos esforços seccionais, até porque, caso fossem 
usadas as cargas de ambos os lados, o resultado seria sempre nulo (conforme definição de 
um corpo em equilíbrio). 
Ultima atualização em 29/6/2007 17 
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Quadro 5 - Sistema estaticamente equivalente 
Sabendo+ 
A figura abaixo é capaz de mostrar que para se reduzir um sistema de forças qualquer a um 
determinado ponto no espaço, basta transferir todas as forças para esse ponto, acrescentando, 
para cada uma delas, seu momento em relação ao ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
F
− F
F F
O O 
A A 
= = 
 F
 m 
Pode-se dizer, portanto, que todo sistema de forças é redutível a um sistema estaticamente 
equivalente, composto de uma força resultante R e de um momento resultante m em relação 
a qualquer ponto O do espaço. 
 
Decompondo-se o vetor R em uma componente perpendicular à seção S e outra situada no 
próprio plano P, obtemos, respectivamente, o esforço normal e o esforço cortante atuantes na 
seção, podendo ainda este último ser decomposto em duas componentes, nas direções dos dois 
eixos de referência ortogonais à normal ao plano P. Da mesma forma, se o vetor M for 
decomposto em uma componente normal e outra no plano P, teremos, respectivamente, os 
momentos torçor e fletor. Assim como o esforço cortante, o momento fletor pode ser 
decomposto em duas componentes ortogonais entre si, nas direções dos dois eixos 
coordenados situados no plano P. 
 
Numa seção transversal s de uma barra de uma estrutura espacial qualquer, tomando-se um 
sistema de eixos coordenados onde o eixo x tem a direção longitudinal à barra, são, portanto, 
seis os esforços seccionais considerados: 
 
N(s) → esforço Normal = Rx 
Qy(s) → componente do esforço cortante na direção y = Ry 
Qz(s) → componente do esforço cortante na direção z = Rz 
T(s) → momento torsor = Mx 
My(s) → componente do momento fletor na direção y = My 
Mz(s) → componente do momento fletor na direção z = Mz 
 
 
No caso particular dos quadros planos, as cargas atuantes, necessariamente contidas no 
plano da estrutura, fazem com que tenhamos apenas três tipos de esforços seccionais a 
considerar: momento fletor, esforço normal e esforço cortante. 
 
Da mesma forma, como, por definição, as cargas nas grelhas planas são sempre 
perpendiculares ao plano da estrutura, tais estruturas só admitem três tipos de esforços 
seccionais: momento fletor, momento torçor e esforço cortante. 
 
18 
Cargas e esforços – Professora Elaine Toscano 
2.3.1- Esforço normal (N) 
 
O esforço normal em uma seção transversal da barra é a soma de todas as forças ligadas a 
seção por um lado ou pelo outro, projetadass na direção do eixo da barra(normal à 
seção). 
 
O esforço normal é: positivo na tração (forças “saindo da seção”) e 
negativo na compressão (forças “entrando na seção”) 
 
 
 
 
 29/6/2007 19 
 
 
 
 
 
 
 
- 
+ + 
S 
- 
+ 
ds ds 
- 
N(+) N(-) 
 
 
2.3.2- Esforço cortante (Q) 
 
O esforço cortante em uma seção transversal da barra é a soma de todas as forças ligadas a 
seção por um lado ou pelo outro, projetadas na direção perpendicular ao eixo da 
barra. . 
 
Como o corpo encontra-se em equilíbrio, o somatório das forças calculado de um lado terá 
sempre módulo igual e direção contraria ao somatório realizado utilizando-se as forças do 
outro lado da seção. Desta forma, pode-se dizer que estas forças se representam como se 
formassem um “binário”. Esta analogia é útil para a definição de sinais. 
 
O esforço cortante é: positivo quando o “binário” parece atuar no sentido horário e 
negativo quando o “binário” parece atuar no sentido anti-horário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ 
- 
+ 
S 
- 
+ 
ds ds 
- 
 Q(+) Q(-) 
 
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2.3.3- Momento fletor (M) 
 
O momento fletor em uma seção transversal da barra é a soma de todos os momentos 
produzidos pelas forças ligadas a esta seção por um lado ou pelo outro, considerando-se 
apenas as componentes de momento em torno dos eixos do plano da seção 
transversal.. 
 
O momento fletor é positivo quando traciona as fibras inferiores da barra e 
negativo quando traciona as fibras superiores da barra. 
 
 
 ds ds 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: Mais importante do que saber o sinal do momento é saber em que lado da barra as 
fibras estão tracionadas. No caso de barras verticais é preciso apenas identificar se o lado 
tracionado está a direita ou a esquerda.. 
Alguns autores, a fim de eliminar a necessidade de escrever que fibras da seção estão sendo 
tracionadas, fazem um pontilhado de um lado das barras. Assim o momento será positivo 
quando tracionar o lado pontilhado e negativo em caso contrário. 
Quando forem estudados os diagramas de esforços, o diagrama de momentos fletores será 
sempre traçado no lado tracionado. 
 
2.3.4- Momento torçor (T) 
 
O momento torçor em uma seção transversal da barra é a soma de todos os momentos 
produzidos pelas forças ligadas a esta seção por um lado ou pelo outro, considerando-se 
apenas as componentes de momento em torno do eixo perpendicular a seção 
transversal, isto é, na direção da barra.. 
 
O momento torçor é: positivo quando o vetor de seta dupla parece estar “saindo da seção” e 
negativo quando o vetor de seta dupla parece estar “entrando na seção” 
S - 
+ 
S + 
- 
M(+) M(-) 
 
 
ds ds 
 
 
 
 
 
 T(-) T(+) 
20 
Cargas e esforços – Professora Elaine Toscano 
 
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Quadro 6 - A importância dos esforços secionais 
Sabendo+ 
 
O conhecimento de exemplos práticos de atuação dos esforços secionais sempre motiva mais 
o aprendizado do cálculo destes esforços. 
O esforço normal, além de ser o principal esforço em pilares, também se encontra em 
escoras, cabos de aço para estaiamento, barras de treliças de telhados, coberturas, entre outros. 
Conhecer o tipo de esforço predominante em uma estrutura ajuda até na escolha dos materiais 
em uma fase de pré-projeto. Por exemplo: uma estrutura submetida fundamentalmente a 
esforços de tração deve priorizar materiais como o aço, que possuem alta resistência a tração. 
No caso de estruturas submetidas fundamentalmente a compressão, o concreto continua sendo 
a melhor alternativa. 
Por causa destas propriedades físicas do concreto e do aço, o momento fletor é de grande 
importância no dimensionamento das estruturas de concreto armado. A flexão, tão comum em 
vigas e lajes, provocaria fissuras no lado tracionado do concreto se não fossem usadas as 
armaduras de aço. É por esta razão que os diagramas de momentos fletores são desenhados do 
lado tracionado. Desta forma, as barras de aço longitudinais das vigas podem ser distribuidas 
de acordo com a magnitude e o sinal do momento fletor e são chamadas de armadura 
positiva quando utilizadas na parte inferior da viga e armadura negativa quando utilizadas 
na parte superior da viga 
O esforço cortante, além de ser necessário no dimensionamento de todos os tipos de 
estruturas, é fundamentalmente importante na escolha de parafusos para diversos tipos de 
ligações estruturais. De acordo com as solicitações de corte na ligação são adotados os tipos, 
áreas e a distribuição dos parafusos nas ligações. 
Quanto ao esforço torçor, é interessante observar o comportamento de duas seções 
transversais de mesma área e formatos diferentes quando submetidas a este esforço. As seções 
abertas, como os perfis metálicos do tipo I (muito utilizado para resistir a flexão), podem se 
deformar quando submetidas a torção (empenamento da seção transversal). Já as seções 
fechadas possuem maior resistência quando submetidas a esforços de torção. 
 
 
 
2.4- Exercícios resolvidos 
 
 
1) Calcular os esforços secionais nas seções indicadas para as estruturas abaixo: 
 
a) 
 
 
O primeiro passo para a resolução deste tipo de exercício é sempre calcular as reações de 
apoio, o que já foi feito no capítulo 1 deste livro (exercício resolvido 1a). 
S 
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S 
Após o cálculo das reações basta preencher o quadro abaixo com os esforços atuantes na seção 
indicada. 
Esforço Seção S Unidade 
Normal (N) ? KN 
Cortante (Q) ? KN 
Fletor (M) ? KN m 
Torçor (T) ? KN m 
 
Como a estrutura e um caso de forças coplanares atuando no plano da estrutura, pode-se 
definir o torçor como nulo. 
Para o cálculo do esforço normal, basta somar todas as forças ligadas a seção por um lado ou 
pelo outro, na direção horizontal (direção da barra). Neste exemplo não existe força 
horizontal, então o esforço normal é zero. 
No caso do cortante consideram-se as forças perpendiculares a barra. A esquerda da seção há 
apenas a reação de 2kN para cima. Logo, o cortante vale 2kN (positivo). 
Para o cálculo do momento fletor, é mais fácil utilizar também o lado esquerdo. 
KNmM S 422 =×= ? 
Como utilizamos o lado esquerdo da seção para o cálculo, o momento traciona as fibras 
inferiores da seção (positivo). 
Assim temos: 
 
Esforço Seção S Unidade 
Normal (N) 0 KN 
Cortante (Q) +2 KN 
Fletor (M) +4 KN m 
Torçor (T) 0 KN m 
 
b) 
 
S2
S1
S3
 
 
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Cargas e esforços – Professora Elaine Toscano 
Utilizando-se o cálculo das reações de apoio do capítulo 1 (exercício resolvido 1b). 
 
S2
S1
S3
Para simplificar os cálculos, vamos considerar para S1 as forças ligadas a ela por baixo, para 
S2 as forças ligadas pela esquerda e para S3 as forças ligadas a ela por baixo. 
 
Para o esforço normal: Seção 1: 1KN saindo da seção (tração) 
 Seção 2: 0: nenhuma força horizontal a esquerda. 
 Seção 3: –5KN:entrando na seção (compressão). 
 
E para o esforço cortante: Seção 1: 0: nenhuma força horizontal abaixo 
 Seção 2:.1+4=5KN? a esquerda de S2
 Seção 3: 2 respostas devem ser dadas. 
 
No cálculo do esforço cortante na seção 3, deve-se considerar ou não a força 
horizontal de 2KN aplicada na seção? A resposta é simples. Considerar os dois 
casos e fornecer a resposta para uma seção S3i (imediatamene abaixo) e uma seção S3s 
(imediatamente acima). 
 
 Seção 3: Abaixo de S3 = 2KN? 
 Acima de S3 = 2-2=0 
 
E para o momento fletor: Seção 1: 0: nenhuma força abaixo de S1 produz momento 
 Seção 2: -1 x 3 ? - 4 x 1 ? = -7KNm ? (tração superior) 
 Seção 3: 2 x 2 =4KNm ? (tracionando a direita). 
 
 
Seção S3Esforço Seção S1 Seção S2
S3i S3s
Unidade 
Normal(N) 1 0 -5 KN 
Cortante (Q) 0 -5 2 0 KN 
Fletor (M) 0 -7 4 (direita) KN m 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 23 
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c) 
 
S2
S1
HA ? Força horizontal no primeiro apoio, adotada inicialmente para esquerda (?) 
VA ? Força vertical no primeiro apoio, adotada inicialmente para cima (?) 
VB ? Força vertical no segundo apoio, adotada inicialmente para cima (?) 
 
kNV
kNVVxxxxxMMz
kNxxVVY
kNHX
A
BBA
n
i
i
BA
n
i
i
A
n
i
i
281846
18
8
15624432085.6)38(4
2
3442160:0
462461638
2
3416:0
3:0
1
1
1
=−=
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
=++−−=→=+−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+===
=++=++=+=
==
∑∑
∑
∑
=
=
=
 
 
S2S1
Para simplificar os cálculos, vamos considerar para S1 as forças ligadas a ela pela esquerda e 
para S2 as forças ligadas pela direita. 
 
Para o esforço normal: Seção 1: 6-3=3KN entrando na seção (compressão) 
 Seção 2: 3kN entrando na seção (compressão). 
 
E para o esforço cortante: Seção 1: 28-16=12kN(? à esquerda) 
 Seção 2:. 18-8x3= -6K(? à direita) 
 
No cálculo do momento fletor na seção 1, deve-se considerar ou não o momento 
aplicado de 4KNm? Considerar os dois casos e fornecer a resposta para uma seção S1e 
(imediatamente a esquerda) e uma seção S1d (imediatamente à direita). 
 
E para o momento: Seção 1e: -16 x 3 ? +28 x 1 ? = -20KNm? (tração superior) 
 Seção 1d: -16 x 3 ? +28 x 1 ? -4 ? = -24KNm? (tração superior) 
 Seção 2: -18x3?+8 x 3 x 1,5? = -18? (tração inferior) 
 
Seção S1Esforço 
S1e S1d
Seção S2 Unidade 
Normal (N) -3 -3 KN 
Cortante (Q) +12 +6 KN 
Fletor (M) -20 -24 18 KN m 
 
 
24 
Cargas e esforços – Professora Elaine Toscano 
2) Calcular os esforços na seção S para a estrutura tridimensional abaixo, cujas barras 
formam entre si apenas angulos de 90º.: 
 
 
S 
 
Utilizando-se o cálculo das reações de apoio do capítulo 1 (exercício resolvido 2). 
 
 
VA = 10kN 
MAx=52kN S 
MAy=6kN 
 
Trata-se de uma grelha plana, isto é, temos q nos preocupar com os seguintes esforços: 
 
Cortante: 4 + 2 = 6kN (? à esquerda) 
Momento Fletor: 4 x 0 + 2 x 0 = 0 
Momento Torçor: 4 x 3?? - 2 x 3 ??= 6kNm saindo da seção 
 
 
Esforço Seção S Unidade 
Cortante (Q) -6 KN 
Fletor (M) 0 KN m 
Torçor (T) +6 KN m 
 
 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 25 
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2.5- Exercícios propostos 
 
1) Calcular as reações de apoio e os esforços atuantes nas seções indicadas para as 
estruturas abaixo: 
 
a) 
 
b) 
S 
 
S3
S1 S2
c) 
 
 
S2
S1
 
d) 
 
 
S3
S1 S2
26 
Cargas e esforços – Professora Elaine Toscano 
 
2.6 - Respostas dos exercícios propostos 
 
 
a) 
 
 
 
 
Seção S1Esforço 
S1e S1d
Unidade 
Normal (N) 0 KN 
Cortante (Q) +4 0 KN 
Fletor (M) +8 KN m 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
Esforço Seção S1 Seção S2 Seção S3 Unidade 
Normal (N) +3 0 0 KN 
Cortante (Q) -3 -3 +6 KN 
Fletor (M) -5 +7 6 (esquerda) KN m 
 
 
Ultima atualização em 29/6/2007 27 
Apostila de Isostática – Professora Elaine Toscano 
 
c) 
 
 
 
Esforço Seção S1 Seção S2 Unidade 
Normal (N) -2 0 KN 
Cortante (Q) 0 -4 KN 
Fletor (M) +12 4(direita) KN m 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
Seção S1 Seção S3Esforço 
S1e S1d
Seção S2
S3e S3d
Unidade 
Normal (N) -8 -5 -5 -5 KN 
Cortante (Q) -8 +16 +16 -8 KN 
Fletor (M) -16 0 +28 +24 KN m 
28