Cadeias de Markov4pp

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Cadeias de Markov
Imagine as situações:
Prever a participação de mercado de uma empresa, com 
base nas preferências atuais dos clientes
Avaliar a chance de um produto apresentar defeito em um 
processo produtivo ou num próximo período de tempo
Avaliar a chance de uma base de empregados manter-se 
estável em um período de tempo
Avaliar o valor da sua base de clientes no longo prazo
Avaliar a chance de ganhar, empatar ou perder em 
aplicações financeiras durante um período de tempo
Técnica que trata de probabilidades de 
ocorrência de um evento futuro com 
base nas probabilidades conhecidas ou 
atuais
Cada evento é chamado de um 
“estado”. Haverá tantos “estados” 
quanto sucessos possíveis
Condições de Aplicação:
Existe um número finito de possíveis estados
A probabilidade de modificação de estados é 
constante ao longo do tempo
Pode-se predizer qualquer estado futuro a 
partir do estado anterior e da matriz de 
transição
O número de elementos não se modifica 
durante o período de análise
Exemplo:
Determinado cliente pode comprar um carro 
da GM, Ford ou Fiat. A decisão da sua 
próxima compra será resultante do carro que 
possui agora. Há m = 3 estados possíveis:
 Estado Descrição 
 E1 comprará GM
 E2 comprará Ford
 E3 comprará Fiat 
O quadro a seguir apresenta as 
probabilidades de compra de cada um 
dos veículos, dado o estado inicial:
Compra
Atual
 Próxima Compra (n= 1)
(n= 0) % GM % Ford % Fiat
 GM 40 30 30
 Ford 20 50 30
 Fiat 25 25 50
Se a informação for reescrita como uma 
tabela de probabilidades, terá o nome 
de “matriz de transição”, denotada por 
P:
 E1 E2 E3
 E1 0,40 0,30 0,30 
 P = E2 0,20 0,50 0,30
 E3 0,25 0,25 0,50
A matriz de transição deve preencher as 
seguintes condições:
Cada elemento deve ser uma 
probabilidade, isto é, deve estar entre 0 
e 1.
Cada linha deve somar exatamente 1.
A matriz de transição pode ser usada 
para determinar a probabilidade de um 
sucesso após “n” passos, dado um 
estado inicial Ei
 
Exemplo 1:
 Suponha que um cliente acabou de comprar um 
carro GM ( Ei = E1 em n = 0 ). 
 Qual a probabilidade de ele comprar um Ford 
depois da próxima compra ( Ej = E2 em n = 2) ?
 Sucessos possíveis em dois passos:
Compra em n = 0
(momento atual)
Compra em n = 1
(próxima compra)
Compra em n = 2
(após a próxima compra)
GM
GM
GM
GM
Ford
Fiat
Ford
Ford
Ford
 Somadas as probabilidades de todas as 
probabilidades, obtêm-se:
Compra em n = 1
 (próxima compra)
Estado %
Compra em n = 2
 (após a próxima compra)
Estado %
Probabilidade 
conjunta
GM 0,40
Ford 0,30 
Fiat 0,30
Ford 0,30
Ford 0,50
Ford 0,25
0,40 (0,30) = 0,120
0,30 (0,50) = 0,150
0,30 (0,25) = 0,075
 ! = 0,345
Exemplo 2:
 Suponha agora que o estado presente seja um carro 
Fiat, em n = 0. Qual a probabilidade de se estar em 
cada um dos estados em n = 1 e em n = 2 ?
Respostas do Exemplo 2:
n = 0 carro Fiat
 carro GM p = 25 %
n = 1 carro Ford p = 25 %
 carro Fiat p = 50 %
 carro GM p = 27,5 %
n = 2 carro Ford p = 32,5 %
 carro Fiat p = 40,0 %
 
Exemplo 3:
 Suponha que o cliente tenha atualmente um Ford, 
quais as probabilidades associadas às suas quatro 
compras seguintes ?
 Atual (n = 0) = Ford
 1ª compra (n = 1) = (0,20 0,50 0,30)
 2ª compra (n = 2) = (0,255 0,385 0,36)
 3ª compra (n = 3) = (0,269 0,359 0,372)
 4ª compra (n = 4) = (0,272 0,353 0,374)
Exemplo 4:
 Utilizando o Exemplo 3, observe as probabilidades 
obtidas na 4ª compra e as associadas às compras 
seguintes:
 4ª compra (n = 4) = (0,272 0,353 0,374)
 5ª compra (n = 5) = (0,273 0,352 0,375)
 6ª compra (n = 6) = (0,273 0,352 0,375)
 Observa-se, neste caso, que as probabilidades dos 
estados não se alteram a partir de n = 5, tendo-se 
alcançado um ponto de equilíbrio entre a perda de 
mercado e o ganho de mercado.
Condições de Equilíbrio
A condição de equilíbrio é alcançada 
quando os estados não modificam os 
resultados finais entre uma fase e 
outra. Ou seja, os vetores sucessivos 
de participação não se modificam.
 P11 P12 ... P1m
[ X1 X2 ... Xm ] x P21 P22 ... P2m = [ X1 X2 ... Xm ]
 ..... .... ... .....
 Pm1 Pm2 ... Pmm
Prática:
 A distribuição de compra de duas marcas de 
pastas de dente pode ser expresso como uma 
cadeia de Markov com as seguintes 
probabilidades de transição:
 Para
 
De
Qual marca parece ter uma maior fidelidade dos 
clientes? Explique.
 CROST CREST
CROST 0,90 0,10
CREST 0,05 0,95
Exercício
Uma grande rede de supermercados está interessada em analisar a sua 
participação de mercado e a fidelidade de seus clientes em comparação a 
duas outras grandes redes da cidade. O número de clientes atendidos por 
mês pelas três redes perfaz um total de 800.000. A fatia atual de mercado 
para cada empresa, assim como a previsão de manutenção e perda dos 
clientes está descrita a seguir.
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Supermercado 1o mês
2o mês2o mês2o mês
Supermercado 1o mês
1 2 3
1 – TRIUNFO 400.000 200.000 100.000 100.000
2 – GLORIOSO 160.000 20.000 120.000 20.000
3 – MAJESTADE 240.000 42.000 78.000 120.000
Situação no 2o mêsSituação no 2o mês 262.000 298.000 240.000
Exercício Cont.
Com base nestes dados:
a) Reescreva a tabela acima, inserindo os dados em forma percentual.
b) Qual rede de supermercados aparece como tendo uma maior fidelidade de 
seus clientes? Explique.
c) Qual a taxa total de perda de cada uma das redes de supermercado? Faça um 
comparativo entre elas.
d) Qual a taxa de retenção de cada uma das redes de supermercado? Faça um 
comparativo entre elas.
e) Considerando o mercado total, como ficará a fatia de participação para as três 
redes para o 2o mês? Faça um comparativo entre elas.
f) Qual a matriz de transição neste problema?
g) Qual a matriz de estado do período atual? E a do período seguinte (n=1)?
h) Qual a matriz de estado após o período seguinte (n=2)? Comente. 
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