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UTFPR - Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
Pato Branco
Engenharias
Lista de Exerc´ıcios
Soluc¸o˜es em tornos de pontos ordina´rios.
1- Para cada equac¸a˜o diferencial, encontre duas soluc¸o˜es em se´rie de poteˆncias linearmente
independentes em torno do ponto ordina´rio x = 0.
a) y′′ − xy = 0
b) y′′ − 2xy′ + y = 0
c) y′′ + x2y′ + xy = 0
d) (x− 1)y′′ + y′ = 0
e) (x2 − 1)y′′ + 4xy′ + 2y = 0
f) (x2 + 2)y′′ + 3xy′ − y = 0
g) y′′ − (x + 1)y′ − y = 0
h) y′′ − y = 0
i) y′′ − xy′ − y = 0
2- Use o me´todo de se´ries de poteˆncias para resolver a equac¸a˜o diferencial dada sujeita a`s
condic¸o˜es iniciais indicadas.
a) (x− 1)y′′ − xy′ + y = 0, y(0) = −2, y′(0) = 6
Gilson Tumelero 2
b) y′′ − 2xy′ + 8y = 0, y(0) = 3, y′(0) = 0
3-Veja o exemplo abaixo e encontre duas soluc¸o˜es, em se´rie de poteˆncias, para as equac¸o˜es
diferenciais dadas em torno do ponto ordina´rio x = 0.
EXEMPLO ⇒ y′′ + (cosx)y = 0
Como cos x = 1− x2
2!
+ x
4
4!
− x6
6!
+ ..., vemos que x = 0 e´ um ponto ordina´rio.
Supondo enta˜o y =
∑∞
n=0 cnx
n, temos
y′′ + (cosx)y =
∑∞
n=2 n(n− 1)cnxn−2 + (1− x
2
2!
+ x
4
4!
− ...)∑∞n=0
= (2c2 + 6c3x + 12c4x
2 + 20c5x
3...)
+(1− x2
2
+ x
4
24
− ...)(c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + ...)
= 2c2 + c0 + (6c3 + c1)x + (12c4 + c2 − 12c0)x2 + (20c5 + c3 − 12) + ...
como devemos ter a u´ltima linha identicamente nula, enta˜o
2c2 + c0 = 0
6c3 + c1 = 0
12c4 + c2 − 12c0 = 0
20c5 + c3 =
1
2
c1 = 0
E assim por diante. Como c0 e c1 sa˜o arbitra´rias, encontramos
y1(x) = c0[1− 12x2 + 112x4 − ...] e y2(x) = c1[x− 16x3 + 130x5 − ...]
Como a equac¸a˜o diferencial na˜o tem pontos singulares, ambas as se´ries convergem
para todos os valores de x.
a) y′′ + (sinx)y = 0
b) y′′ + e−xy = 0