2ª Prova Cálculo I UFMG (C12013_1_gabarito_2)

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Cálculo I: Gabarito 2a prova, Turmas R1, R2, OL. 18 de maio de 2013, 8h00, Duração: 1h40.
1. (12pts) Uma corda de tamanho L é cortada em dois pedaços (não necessariamente iguais), e cada pedaço é usado para
fazer um quadrado. Qual é o jeito de cortar a corda que maximiza/minimiza a soma das áreas dos dois quadrados?
Suponha que o primeiro pedaço de corda tenha comprimento x ∈ [0, L]. Logo, a área do primeiro quadrado é igual a
(x/4)2. O segundo pedaço tem comprimento L−x, logo a área do segundo quadrado é igual a ((L−x)/4)2. Portanto,
a soma das áreas dos quadrados é dada por
A(x) = 116
(
x2 + (L− x)2) , x ∈ [0, L] .(3pts)
Procuremos os extremos globais de A em [0, L]. Primeiro procuremos os pontos críticos de A em (0, L). Como
A é obviamente derivável (polinômio de segundo grau em x), procuremos soluções de A′(x) = 0. Mas A′(x) =
1
16 (2x − 2(L − x)) = 18 (2x − L) (1pts). Logo, o único ponto crítico é x∗ = L/2 (1pts). O valor da área total nesse
ponto é A(x∗) = 1162(L/2)
2 = L2/32 (1pts).
Considerando os valores de A na fronteira do intervalo: A(0) = 116L
2
e A(L) = 116L
2 (2pts). Logo, comparando com
o valor de A no ponto crítico, vemos que o mínimo global de A é atingido em x∗ e o máximo global em x = 0 e x = L.
Isto é, a área total é máxima quando a corda inteira é usada para criar um quadrado só, e a área mínima é obtida
cortando a corda em dois pedaços iguais (de tamanho L/2), e formando dois quadrados idênticos (cada um de lado
L/8) (4pts).
2. (15pts) Considere f(x) = (x2 − 3)e−x. Estude: o sinal, os zeros, as assíntotas (se tiver), a variação, e as posições dos
pontos de mínimos/máximos (locais, se tiver) no plano cartesiano. Em seguida, monte o gráfico detalhado.
Os zeros de f são −√3 e +√3. Como e−x > 0 para todo x e x2 − 3 = (x − √3)(x + √3), o sinal de f é dado por
(2pts)
f(x)
−√3 +√3
+ 0 − 0 +
Procurando as assíntotas ((2pts)): quando x → ∞, (x2 − 3)e−x = x2−3ex é da forma �∞∞ �, mas a Regra de Bernoulli-
l'Hôpital se aplica:
lim
x→∞
x2 − 3
ex
= lim
x→∞
2x
ex
= lim
x→∞
2
ex
= 0 .
Logo, y = 0 é assíntota horizontal (quando x → +∞). Quando x → −∞, o numerador de x2−3ex tende a +∞ e o
denominador é > 0 e tende a 0. Logo (a Regra de Bernoulli-l'Hôpital não se aplica, e) limx→−∞ f(x) = +∞ (não tem
assíntota horizontal quando x→ −∞).
A derivada se calcula da seguinte maneira:
f ′(x) = 2x · e−x + (x2 − 3) · (−e−x)
= −e−x(x+ 1)(x− 3) (3pts).
Logo, a variação de f é dada por:
x
f ′(x)
Var. de f
−1 3
− 0 + 0 −
min.min.
máx.máx.
Logo, f decresce em (−∞,−1], cresce em [−1, 3], e decresce em [3,∞), (−1, f(−1)) = (−1,−2e) é um ponto de
mínimo local, e (3, f(3)) = (3, 6e−3) é um ponto de máximo local (4pts). Finalmente, o gráfico é dado por
x
(x2 − 3)e−x
−√3 +√3
(−1,−2e)
(3, 6e−3)
(4pts)
Observe que o mínimo em (−1,−2e) é também global.
3. (8pts) Procure os intervalos em que a função f(x) = ln(1 + x2) é convexa/côncava.
Como a função é sempre bem definida e duas vezes derivavel, podemos estudar o sinal da sua segunda derivada. Mas
f ′(x) = 2x1+x2 (2pts), logo
f ′′(x) =
( 2x
1 + x2
)′
= 2
1 · (1 + x2)− x · (2x)
(1 + x2)2
= 2
1− x2
(1 + x2)2
.(2pts)
Como o denominador dessa fração é sempre > 0, o sinal de f ′′(x) é determinado pelo sinal de 1−x2. Portanto (2pts):
x
f ′′(x)
Conc.
de f
−1 +1
− 0 + 0 −
_ ^ _
Assim vemos que f é côncava em (−∞,−1], convexa em [−1, 1], e côncava em [1,+∞) (2pts). Observe que (−1, ln 2)
e (+1, ln 2) são pontos de inflexão.
4. (BONUS) Enuncie as hipóteses e as conclusões do Teorema de Rolle para uma função f : [a, b] → R com f(a) =
f(b) = 0. Em seguida, considere f(x) = (senx)2 no intervalo [0, pi]. Caso as hipóteses do Teorema de Rolle sejam
verificadas, verifique que a conclusão é verdadeira.
(O bônus vale (5pts).) Para o enunciado do Teorema de Rolle: apostila, Seção 5.5. A função f(x) = (senx)2 é
contínua em [0, pi] e derivável em (0, pi). Além disso, f(0) = f(pi) = 0. Portanto, o Teorema de Rolle garante a
existência de pelo menos um ponto c ∈ (0, pi) tal que f ′(c) = 0. No caso, temos f ′(x) = 2senx cosx, e vemos que
f ′(pi2 ) = 0. Logo, c =
pi
2 é um ponto em que a conclusão do teorema é verdadeira.
2