Prova 1 - Mat Aplicada - Matriz e Determinante - 2012-1 (GABARITO)

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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Catarinense – Campus Araquari 
 ALUNO(A):___________________________________________________________ 
 CURSO: BACHAREL EM SISTEMAS DE INFORMAÇÃO DATA: ____/____/ 2012 
 DISCIPLINA: MATEMÁTICA APLICADA A INFORMÁTICA PROFESSOR: CLODOALDO 
 
AVALIAÇÃO 1 AVALIAÇÃO 1 AVALIAÇÃO 1 AVALIAÇÃO 1 –––– MATRIZES E DETERMINANTESMATRIZES E DETERMINANTESMATRIZES E DETERMINANTESMATRIZES E DETERMINANTES (GABARITO)(GABARITO)(GABARITO)(GABARITO) 
 
1) (2Pontos) Sendo A = 
3 4 2
1 5 7
− 
 
 
, B = 
1 2
3 5
0 4
− − 
 
 
  
 e C = 
2 3
5 7
− 
 
 
 , então o valor de 3. A . B – 2.C2 é ? 
I) A . B = 
1 2
3 4 2 9 6
. 3 5
1 5 7 14 510 4
− − 
−    
=    
     
 logo temos que 3. A . B – 2.C2 é igual a 
II) C2 = C . C = 
2 3 2 3 11 27
.
5 7 5 7 45 34
− − − −     
=     
     
 3 . 
9 6
14 51
 
 
 
 – 2 . 
11 27
45 34
− − 
 
 
 = 
49 72
48 85
 
 
− 
 
______________________________________________________________________________________________________ 
 
2) (2 Pontos) Encontre, caso exista, uma matriz A ∈M(2,2) tal que A2 = 
1 0
2 3
 
 
− 
. 
 
 Admitindo que A = 
a b
c d
 
 
 
, temos que A2 = 
a b
c d
 
 
 
.
a b
c d
 
 
 
=
2
2
1 0a bc ab bd
2 3ac cd bc d
   + +
=   
−+ +   
 
 Comparando as matrizes temos que 
( )
2
2
a bc 1 (I)
b.(a d) 0 II
c.(a d) 2 (III)
bc d 3 (IV)
 + =

+ =

+ =
 + = −
 
 Da equação (II) temos que b = 0 ou (a + d) = 0 . De IV temos que b não pode ser zero pois senão 
teríamos d2 = -3 o que é incoerente. De III temos que (a + d) não pode ser zero, pois c.(a + d) = 2. 
 Assim não existe matriz A tal que A2 = 
1 0
2 3
 
 
− 
. 
______________________________________________________________________________________________________ 
 
3) (2 Pontos) Para distribuição de casas populares entre moradores de baixa renda de uma 
determinada cidade, serão levadas em consideração as seguintes variáveis: número de filhos, renda 
familiar e distância da moradia ao local de trabalho. Foi feito uma simulação com 3 famílias 
cadastradas levando em consideração esses 3 pontos e admitindo 2 critérios de pontuação. A família 
1 tem 2 filhos, renda mensal de 2.000 unidades monetárias (u.m) e 14 Km de distância até o local de 
trabalho. A família 2 tem 3 filhos, 2.500 u.m. de renda e 20 Km de distância até o local de trabalho e 
a família 3 tem 5 filhos, 2.200 u.m. de renda e 12 Km de distância até o local de trabalho. Os 
critérios adotados levam em consideração esses tópicos, admitindo pontos para cada item. O critério 
1 admite 2 pontos para o número de filhos, 4 pontos para a renda familiar e 4 pontos para a 
distância. O critério 2 admite 4 pontos para o número de filhos, 4 para a renda familiar e 2 pontos 
para a distância. 
 A distribuição das casas se dará pela maior valor obtido na soma dos produtos das variáveis pelos 
pontos. Escreva as matrizes que modelam o problema acima e verifique qual dos critérios de 
pontuação é o mais conveniente para essas famílias (Explique sua escolha). 
 
I) Matriz das variáveis V = 
2 2000 14
3 2500 20
5 2200 12
 
 
 
  
 II) Matriz dos pontos P = 
2 4
4 4
4 2
 
 
 
  
 
 Multiplicando as matrizes V . P = 
2 2000 14
3 2500 20
5 2200 12
 
 
 
  
 . 
2 4
4 4
4 2
 
 
 
  
 = 
8060 8036
10086 10052
8858 8844
 
 
 
  
 
 
 Logo o critério 1 é o mais conveniente para as famílias cadastradas. 
 
4) (2 Pontos) Dado o sistema 
2X Y 3A 4B
X 2Y A 2B
+ = −

− = − −
 sendo A = 
2 0
3 4
− 
 
 
 e B = 
3 4
2 1
 
 
− − 
, calcule o valor de 
det (X.Y). 
 
 Resolvendo o sistema temos: 
2X Y 3A 4B.(2) 4X 2Y 6A 8B
X 2Y A 2B X 2Y A 2B
 + = − + = −
⇒ 
− = − − − = − − 
 
 5X = 5A – 10B → X = A – 2B 
 
 Calculando X = 
2 0 3 4 8 8
2.
3 4 2 1 7 6
− − −     
− =     
− −     
 , com isso det X = 8 
 
 Usando a equação 2X + Y = 3A – 4B temos que Y = 3A – 4B – 2X 
 
 Y = 3 . 
2 0
3 4
− 
 
 
 – 4 . 
3 4
2 1
 
 
− − 
 – 2 . 
8 8
7 6
− − 
 
 
 = 
2 0
3 4
− 
 
 
, com isso det Y = – 8 
 
 Assim temos que det (X.Y) = det X . det Y = 8 . (– 8) = – 64 
______________________________________________________________________________________________________ 
 
5) (2 Pontos) Calcule det(A-1), det(At) e det (A5), sendo A = 
1 1 3 0
0 1 5 4
1 2 8 5
3 1 2 3
− − 
 
 
 
−
 
− −  
 pelo processo de 
triangulação 
 
 A = 
1 3 3 2 3 3 *
3 4
1 4 4 2 4 4
1 1 3 0 1 1 3 0 1 1 3 0
L L L ( 1).L L L0 1 5 4 0 1 5 4 0 1 5 4
L L( 3).L L L ( 2).L L L1 2 8 5 0 1 5 5 0 0 0 1
3 1 2 3 0 2 7 3 0 0 3 5
1 1 3 0
0 1 5 4
0 0 3 5
0 0 0 1
− − − − − −     
     + → − + →     ⇒ ⇒ ↔ ⇒
     
− + → − + →−
     
− − − −          
− − 
 
 ⇒
 
− −
 
  
 
 
 Logo o valor de det (A) = – 3 . (–1)* = 3. 
 Assim temos que det(A-1) = 
1
3
, det (At) = 3 e det (A5) = 35 = 243 
______________________________________________________________________________________________________ 
 
 Dúvidas e/ou sugestões clodoaldo.figueredo@ifc-araquari.edu.br