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Lista de Pre´-requisito I: Conjuntos. Disciplina: Aritme´tica e A´lgebra (04/fev./2011).
Uma qualquer colec¸a˜o de objetos e´ denominada conjunto, e cada objeto de um conjunto e´ denominado elemento. O
conjunto vazio, isto e´, o conjunto sem elemento, e´ denotado por ∅ ou ainda { }. Para simbolizar conjuntos usamos
letras maiu´sculas e para elementos reservamos as minu´sculas.
Se x e´ um elemento do conjunto A escrevemos x ∈ A (x pertence a A), caso contra´rio, escrevemos x /∈ A (x na˜o
pertence a A).
Quando todo elemento de um conjunto A pertence a um conjunto B dizemos que A esta´ contido em B, ou A e´ um
subconjunto de B, e denotamos por A ⊂ B; caso contra´rio A 6⊂ B. Observe que, o conjunto ∅ esta´ contido em todo
conjunto (por queˆ?). Se A ⊂ B tambe´m dizemos que B conte´m A e denotamos por B ⊃ A.
Dois conjuntos A e B sa˜o iguais se possuem os mesmo elementos, ou seja A = B. se, e somente se, A ⊂ B e B ⊂ A.
O conjunto dos elementos que pertencem, simultaneamente, a um conjunto A e a um conjunto B e´ denotado por
A ∩B e chamado a intersec¸a˜o de A e B, ou seja,
A∩B = {x : x ∈ A e x ∈ B}.
O conjunto dos elementos que pertencem a um conjunto A ou a um conjunto B e´ denotado por A∪B e chamado a
unia˜o de A e B, ou seja,
A ∪B = {x : x ∈ A ou x ∈ B}.
1. Prove que para quaisquer que sejam os conjuntos A,B e C, tem-se:
(a) A ⊂ A;
(b) Se A ⊂ B e B ⊂ C enta˜o A ⊂ C;
(c) Se A ⊂ B e B ⊂ A enta˜o A = B.
2. Prove que quaisquer que sejam os conjuntos A,B e C, tem-se:
(a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C);
(b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C);
(c) A ∪B = B ∪A; A ∩B = B ∩A;
(d) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C; A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C;
(e) A ⊂ B se, e somente se, A ∪B = B se, e somente se, A ∩B = A.
3. Sejam A,B ⊂ E, (E, denominado conjunto Universo). Definimos:
{EA = {x ∈ E : x /∈ A} e A−B = {a ∈ A : a /∈ B}.
Demonstre que:
(a) {E(A ∪B) = {EA ∩ {EB; {E(A ∩B) = {EA ∪ {EB;
(b) A ∩ {EA = ∅; A ∪ {EA = E;
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(c) A−B = A ∩ {EB;
(d) {E({EA) = A.
4. Sejam A,B, C ⊂ E. Demonstre as afirmac¸o˜es verdadeiras e deˆ contra-exemplo para as falsas:
(a) Se A ⊂ B e B 6⊂ C enta˜o A 6⊂ C;
(b) {E(A−B) = {EA ∩B;
(c) {E(A−B) = {E(A ∩B);
(d) A− (B − C) = A− (B ∪ C);
(e) (A ∪B)− C = (A− C) ∪ (B − C);
(f) (A−B) ∩ C = (A ∩ C)− (B ∩ C).
5. Deˆ, se poss´ıvel, uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que sejam verdadeiras as seguintes afirmac¸o˜es:
se A,B sa˜o conjuntos enta˜o:
(a) A ∪ (B −A) = B;
(b) A− (A−B) = B.
6. Se E e´ um conjunto, definimos o conjunto das partes de E por
P (E) = {A : A ⊂ E}.
Calcule P (E) para os seguintes conjuntos E abaixo:
(a) E = ∅;
(b) E = {∅};
(c) E = {∅, 1, {1}};
(d) E = {x ∈ R : x2 < 2 e x2 − 4 > 0}.
7. Sejam X e Y conjuntos. Demonstre as afirmac¸o˜es verdadeiras e deˆ contra-exemplo para as falsas:
(a) Se X ⊂ Y , enta˜o P (X) ⊂ P (Y );
(b) Se X ⊂ Y , enta˜o P (Y −X) = P (Y )− P (X).
8. Escreva os seguintes conjuntos A como unia˜o de intervalos:
(a) A = {x ∈ R : x2 > 1 e x2 < 4};
(b) A = {x ∈ R : x2 ≥ 4 e x2 < 9};
(c) A = {x ∈ R : x2 ≥ 2 ou x2 ≥ 1}.
9. Sejam A,B, e C conjuntos. E´ verdade em geral que:
(a) A ∪B = A ∪ C ⇒ B = C?
(b) A ∩B = A ∩ C ⇒ B = C?
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