3ª Lista

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3a Lista. A estrutura alge´brica: ANEL. Disciplina: Aritme´tica e A´lgebra (18/fev./2011).
1. Verifique se as ternas a seguir tem a estrutura alge´brica: anel, anel comutativo, anel com unidade, domı´nio de integridade.
(a) (Q, ∗,♦), onde Q e´ o conjunto dos nu´meros racionais, ∗ e´ tal que x ∗ y = x + y − 2 e ♦ e´ tal que x♦y = x + y − xy
2
,
∀x, y ∈ Q.
(b) (Z,+,♦), onde Q e´ o conjunto dos nu´meros racionais, (+) e´ a adic¸a˜o usual em Z e ♦ e´ tal que x♦y = 0, ∀x, y ∈ Z.
(c) (Q,⊕,�), onde Q e´ o conjunto dos nu´meros racionais, ⊕ e´ tal que x⊕ y = x+ y − 1 e � e´ tal que x� y = x+ y − xy,
∀x, y ∈ Q.
(d) (Mn(Z),+, .), onde Mn(Z) e´ o conjunto das matrizes de ordem n ≥ 1 com entradas em (Z,+, .) , (+) e ( . ) sa˜o as
adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o usuais para matrizes.
(e) (M2(Z3),+, .), onde M2(Z3) e´ o conjunto das matrizes de ordem 2 com entradas em Z3, (+) e ( . ) sa˜o as adic¸a˜o e
multiplicac¸a˜o ‘usuais’ para matrizes.
(f) (ZZ,+, .), onde ZZ = {f, f : Z→ Z func¸a˜o}, (+) e ( . ) sa˜o as adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o definidas como segue:
(+) : ZZ × ZZ −→ ZZ
(f, g) 7−→ f + g , (f + g)(x) := f(x) + g(x)
e
(.) : ZZ × ZZ −→ ZZ
(f, g) 7−→ f.g , (f.g)(x) := f(x).g(x)
(g) (AX ,+, .), onde AX = {f, f : X → A func¸a˜o}, (A,♦,♥) anel comutativo com unidade , (+) e ( . ) sa˜o as adic¸a˜o e
multiplicac¸a˜o definidas como segue:
(+) : AX ×AX −→ AX
(f, g) 7−→ f + g , (f + g)(x) := f(x)♦g(x)
e
(.) : AX ×AX −→ AX
(f, g) 7−→ f.g , (f.g)(x) := f(x)♥g(x)
2. Defina (+) e ( . ) de maneira que (Mn(A),+, .), onde Mn(A) e´ o conjunto das matrizes de ordem n ≥ 1 com entradas em
um anel (A, ∗, ◦), seja um anel. Em quais circunstaˆncias esta terna seria anel comutatitco com unidade?
3. Seja (A,+, .) um anel tal que a+ b = a.b, ∀a, b ∈ A. Mostre que A = {0}
4. Seja (A,+, .) um anel comutativo om unidade. Mostre que o anel dos polinoˆmios (A[X],+, .) tambe´m e´ um anel comutativo
com unidade.
5.
Seja (A,+, .) um anel. Definimos
• Diferenca entre dois elementos.
a− b = a+ (−b), ∀a, b ∈ A.
• Potenciac¸a˜o.
a0 = 1A (se o anel possuir unidade), a
1 := a e an := an−1.a, ∀a ∈ A, ∀n ∈ N∗.
Mostre que
(a) −(−a) = a, ∀a ∈ A;
(b) a+ x = a+ y ⇒ x = y, ∀a, x, y ∈ A;
(c) a.0 = 0 = 0.a, ∀a ∈ A;
(d) a.(−b) = −(a.b) = (−a).b, ∀a, b ∈ A;
1
(e) a.b = (−a).(−b) ∀a, b ∈ A;
(f) a.(b− c) = a.b− a.c ∀a, b, c ∈ A;
(g) am.an = am+n, ∀a ∈ A, ∀m,n ∈ N;
(h) (am)n = amn, ∀a ∈ A, ∀m,n ∈ N.
6. Mostre que um anel comutativo com unidade e´ um domı´nio de integridade se, e somente se,
a.b = a.c⇒ b = c, ∀a, b, c,∈ A e a 6= 0.
7. E´ verdade que todo subanel de um anel com unidade tambe´m possui unidade? Ainda, se o subanel possui unidade necessa-
riamente esta e´ igual ao do anel?
8. Mostre que todo ideal de um anel comutativo e´ um subanel. A afirmac¸a˜o rec´ıproca e´ verdadeira?
9. Sejam A um anel comutativo e a1, a2, a3, . . . , an ∈ A. Mostre que o conjunto abaixo e´ um ideal de A.
〈a1, a2, a3, . . . , an〉 := {α1a1 + α2a2 + α3a3 + αnan;α1, α2, α3, . . . , αn ∈ A}.
10.
Sejam (A,+, .) um anel comutativo e I e J ideais de A. Definimos
• Intersec¸a˜o de Ideais.
I ∩ J := {a ∈ A : a ∈ I e a ∈ J}.
• Soma de Ideais.
I + J := {x+ y : x ∈ I e y ∈ J}.
Mostre que I ∩ J e I + J sa˜o ideais de A. (E´ poss´ıvel mostrar que, mediante a relac¸a˜o inclusa˜o, I ∩ J e´ o maior ideal contido
em I e em J ; e I + J e´ o menor ideal contido em I e em J . ) A unia˜o I ∪ J := {a ∈ A : a ∈ I ou a ∈ J} e´ um ideal de A?
11. Mostre que Zm, com m > 1, e´ um Anel Principal. E´ um P.I.D.?
12. Determine todos os polinoˆmios de grau 1 no anel Z3[X].
13. Mostre que I = 〈X〉 e´ um ideal primo de Z[X].
14. Mostre que I = 〈2, X〉 e´ maximal e na˜o e´ principal em Z[X]. E quanto a J = 〈4, X〉 ?
15. Determine (se poss´ıvel) o quociente q e o resto r da divisa˜o euclidiana de f e g, polinomios pertencente a A[X], descritos
nos itens a seguir:
(a) f = 0, g = 5X2 − 1 e A = Q;
(b) f = X2 − 1, g = X3 +X2 − 1 e A = Z;
(c) f = X2 − 1, g = 3X3 +X2 − 1 e A = Z;
(d) f = 5X2 − 1, g = X3 +X2 − 1 e A = Z;
(e) f = X + 1, g = X2 + 1 e A = Z2;
(f) f = X − 1, g = X2 − 1 e A = Z2;
(g) f = X − 1, g = 3X2 − 1 e A = Z4.
16. Mostre que todo corpo e´ um anel de integridade.
17. Mostre que S = {x+ y 3√3 + z 3√9 : x, y, z ∈ Q} e´ um subcorpo de R.
18. Seja A um anel comutativo com unidade. Mostre que A e´ corpo se, e somente se, os u´nicos ideais de A sa˜o os triviais.
19. Seja A um anel comutativo com unidade. Enta˜o p ∈ A e´ um elemento primo de A se, e somente se, < p > e´ um ideal primo
na˜o nulo de A.
20. Mostre que um elemento p 6= 0 de um PID e´ primo se, e somente se, < p > e´ maximal.
21. Se A for PID, mostre que todo ideal primo na˜o nulo de A e´ maximal.
22. Se K e´ um corpo, mostre que K[x] e´ principal.
2
23. Mostre que num anel finito todo ideal primo e´ maximal.
24. Seja Q[
√
2] = {a+ b√2; a, b ∈ Q}. Mostre que M = {f(x) ∈ Q[x]; f(√2) = 0} e´ um ideal maximal de Q[x].
25. Mostre que p e´ irredut´ıvel se, e somente se, < p > e´ maximal.
26. Mostre que um anel comutativo com unidade A e´ anel de integridade se, e somente se, < 0 > e´ primo.
27. Deˆ exemplos de ideais primos que na˜o sa˜o maximais.
28. Seja a 6= 0 um nu´mero inteiro. Prove que < a > e´ primo se, e somente se, a e´ primo.
29. Mostre que todo ideal primo P 6=< 0 > em Z e´ maximal.
30. Mostre que e´ maximal em A = RR = {f |f : R→ R} o ideal M = {f ∈ A|f(1) = 0}.
31. Quais sa˜o os poss´ıveis ane´is quocientes no corpo R dos nu´meros reais?
32. Mostre que, se A possui unidade, enta˜o A/I possui unidade.
33. Mostre que a+ I ∈ A/I e´ invers´ıvel (supondo A com unidade) se, e somente se, ∃ r ∈ A de modo que a.r − 1 ∈ I.
34. Deˆ um exemplo de anel de integridade A e ideal I em A tal que A/I na˜o e´ de integridade. Resolva o mesmo exerc´ıcio quando
A e´ um corpo.
35. Um elemento a de um anel A e´ nilpotente se existe n ∈ N, de modo que an = 0. Sendo I o ideal constitu´ıdo pelos elementos
nilpotentes de um anel A, mostre que I e´ o u´nico elemento nilpotente de A/I.
36. Dado o homomorfismo f : Z→ Z4 definido por f(m) = m :
(a) construa o nu´cleo de f ;
(b) determine o homomorfismo canoˆnico de Z em Z/Ker(f).
37. Seja S um conjunto na˜o vazio e A um anel comutativo. Para um elemento s ∈ S, seja Is = {f ∈ As|f(s) = 0}, mostre que
Is e´ um ideal maximal em AS = {f |f : S → A}.
38. Seja I um ideal em um anel comutativo A. Mostre que A/I tem unidade se, e somente se, existe e ∈ A tal que ae − a ∈ I,
qualquer que seja a ∈ A.
39. Seja K o conjunto dos nu´meros do tipo a + bi, em que a e b sa˜o racionais e i e´ a unidade imagina´ria. Prove que K e´ um
subcorpo de C.
40. Determine quais dos seguintes subconjuntos de R sa˜o subcorpos:
(a) A = {a+ b√2 | a ∈ Q e b ∈ Q};
(b) A = {a+ b 3√2 | a ∈ Q e b ∈ Q};
(c) A = {a√2 + b√3 | a ∈ Q e b ∈ Q};
(d) A = {a+ b√2 | a ∈ Z e b ∈ Z}.
41. O subconjunto M = {0, 1} de um corpo K qualquer e´ subcorpo de K?
42. Se B e C sa˜o subcorpos de um corpo A, enta˜o B ∩ C e´ um subcorpo de A.
43. Se n ∈ N e´ um nu´mero primo enta˜o < x > e´ um ideal maximal de Z.
44. Seja A = 2Z. Mostre que o ideal 4Z e´ maximal em A.
45. Sejam R = M2(Z) e p um nu´mero primo. O ideal M = M2(pZ) e´ um ideal maximal de R.
46. Mostre que I =< 2, x > e´ um ideal principal em Z[x].
47. Seja J = (x2 + 4)R[x]. Enta˜o R[x]/J e´ um corpo.
48. Seja A = (Q,+, ∗), onde + denota a adic¸a˜o usual dos racionais e ∗ e´ definida por a ∗ b = ab/3. Mostre que A e´ um corpo.
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