Métodos da Física Teórica II - Paulo Miranda

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Universidade Federal da Bahia
Instituto de F´ısica
Notas de Aula
Me´todos de F´ısica Teo´rica II
Prof Paulo Miranda
Salvador, 12 de julho de 2011
Fa´bio de O. Paiva
2
Suma´rio
1 EDP’s Lineares de 2 Ordem e sua Classificac¸a˜o 5
1.1 Equac¸a˜o Hiperbo´lica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Equac¸a˜o Parabo´lica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Equac¸a˜o El´ıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Problemas Elementares Descritos por EDP’s 19
2.1 Problemas F´ısicos Elementares Descritos por Equac¸o˜es Hiperbo´licas . . . . . 19
2.1.1 Pequenas Oscilac¸o˜es Transversais de uma Corda Vibrante . . . . . . . 19
2.1.2 Equac¸a˜o das Pequenas Oscilac¸o˜es Longitudinais . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.3 Equac¸o˜es da Hidrodinaˆmica e da Acu´stica . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.4 Equac¸o˜es dos Campos Ele´trico e Magne´tico (va´cuo) . . . . . . . . . . 28
2.2 Problemas F´ısicos Elementares Descritos por Equac¸o˜es Parabo´licas . . . . . . 28
2.2.1 Propagac¸a˜o Linear do Calor (Caso Unidimensional) . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Propagac¸a˜o do calor no espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.3 Equac¸a˜o da difusa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Problemas F´ısicos Elementares Descritos por Equac¸o˜es El´ıpticas . . . . . . . 35
2.3.1 Processos Estaciona´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.2 Processos Perio´dicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.3 Fenoˆmenos F´ısicos (dependentes ou na˜o do tempo) Descritos por Equac¸o˜es
do Tipo Poisson e Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.4 Equac¸a˜o da Sondagem Ele´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Formulac¸a˜o ou Colocac¸a˜o Matema´tica de um Problema . . . . . . . . . . . . 37
3 Me´todos de Soluc¸a˜o das Equac¸o˜es da F´ısica Matema´tica 41
3.1 Me´todo da Separac¸a˜o de Varia´veis (ou de Fourier) . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 A Esseˆncia do Me´todo de Separac¸a˜o de Varia´veis (Me´todo de Fourier) . . . . 49
3.4 Separac¸a˜o de Varia´veis Espaciais e Sistemas de Coordenadas . . . . . . . . . 63
3.4.1 Separac¸a˜o de Varia´veis Espaciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5 Exemplos de Fixac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.6 Valores de Contorno - Formulac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4 Func¸o˜es Especiais 89
4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2 Pontos Singulares em Equac¸o˜es Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3
4.3 Me´todo de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4 Equac¸a˜o de Bessel do 1 Tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4.1 Fo´rmulas de Recorreˆncia de Jν(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4.2 Ana´lise das Soluc¸o˜es da Func¸a˜o de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.4.3 Func¸a˜o Geradora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.4.4 Func¸a˜o de Neumann ou Func¸a˜o de Bessel do Segundo Tipo, Nν(x) . . 112
4.4.5 Func¸o˜es de Hankel ou Func¸o˜es de Bessel do Terceiro Tipo . . . . . . . 113
4.4.6 Func¸a˜o Modificada de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.4.7 Func¸o˜es Esfe´ricas de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.4.8 Ortogonalidade das Func¸o˜es de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.4.9 Comportamento das Func¸o˜es de Bessel na Origem e no Infinito . . . . 121
4.5 Se´ries de Fourier-Bessel e Transformadas de Fourier-Bessel . . . . . . . . . . . 121
4.5.1 Se´rie de Fourier-Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.5.2 Transformadas de Fourier-Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.5.3 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.6 Polinoˆmio de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.6.1 Determinac¸a˜o dos Polinoˆmios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.6.2 Fo´rmulas de Recorreˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.6.3 Ortogonalidade de Pn(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.6.4 Se´rie de Legendre - Expansa˜o de Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.6.5 Polinoˆmio Associado de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.6.6 Relac¸o˜es de Recorreˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.6.7 Ortogonalidade de P (m)n (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.7 Func¸o˜es Esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5 O Me´todo da Func¸a˜o de Green e Aplicac¸o˜es 145
5.1 A Func¸a˜o de Green em uma Dimensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4
Cap´ıtulo 1
EDP’s Lineares de 2 Ordem e sua
Classificac¸a˜o
Examinemos a equac¸a˜o de 2 ordem da func¸a˜o u, dependente das varia´veis x e y:
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + F1(x, y, u, ux, uy) = 0 . (1.1)
Se a11, a12 e a22 dependem de x, y, u, ux e uy, enta˜o (1.1) se chama na˜o-linear. Se a11, a12 e
a22 so´ dependem de x e y e se
F1(x, y, u, ux, uy) = b1ux + b2uy + Cu+ f(x, y) ,
onde b1, b2 e C so´ dependem de x e y, enta˜o (1.1) se chama linear.
Se os coeficientes a11, a12, a22, b1, b2 e C na˜o dependem de x nem de y, enta˜o (1.1)
se chama equac¸a˜o diferencial de derivadas parciais lineares com coeficientes constantes e de
2 ordem. Se f(x, y) = 0, enta˜o (1.1) se chama homogeˆnea; caso contra´rio, na˜o-homogeˆnea.
Para um caso mais geral (n varia´veis) temos:
n∑
i=1
n∑
j=1
aijuxiyj +
n∑
i=1
biuxi + Cu = f(x1, x2, · · · , xn) . (1.2)
A forma canoˆnica (a mais compacta e simples) de uma EDP linear de 2 ordem deve ser
procurada atrave´s de mudanc¸a das varia´veis independentes x e y. Vamos propor um par
(ξ, η) que substitua o par (x, y) e que possua a forma{
ξ = ϕ(x, y)
η = ψ(x, y)
, (1.3)
que deve possuir inversa (por queˆ?), isto e´:{
x = θ(ξ, η)
y = γ(ξ, η)
. (1.4)
Apliquemos (1.3) a (1.1), escrevendo antes u, ux, uy, uxx, uxy, uyy, C, b1, b2, a11, a12 e a22
nas novas varia´veis:
ux =
∂u
∂x
=
∂u(x, y)
∂x
=
∂u(ξ, η)
∂x
=
∂u
∂ξ
∂ξ
∂x
+
∂u
∂η
∂η
∂x
= uξξx + uηηx , (1.5)
uy =
∂u
∂y
=
∂u(x, y)
∂y
=
∂u(ξ, η)
∂y
=
∂u
∂ξ
∂ξ
∂y
+
∂u
∂η
∂η
∂y
= uξξy + uηηy . (1.6)
5
Agora, calculamos uxx, uxy e uyy1:
uxx =
∂ux
∂x
=
∂
∂x
(uξξx + uηηx)
=
∂uξ
∂x
ξx + uξ
∂ξx
∂x
+
∂uη
∂x
ηx + uη
∂ηx
∂x
=
(
∂uξ
∂ξ
∂ξ
∂x
+
∂uξ
∂η
∂η
∂x
)
ξx + uξξxx +
(
∂uη
∂ξ
∂ξ
∂x
+
∂uη
∂η
∂η
∂x
)
ηx + uηηxx ,
ou
uxx = uξξξ
2
x + 2uξηξxηx + uηηη
2
x + uξξxx + uηηxx . (1.7)
Analogamente se escreve uyy, isto e´:
uyy = uξξξ
2
y + 2uξηξyηy + uηηη
2
y + uξξyy + uηηyy . (1.8)
Para uxy, temos:
uxy =
∂ux
∂y
=
∂
∂y
(uξξx + uηηx)
=
∂uξ
∂y
ξx + uξ
∂ξx
∂y
+
∂uη
∂y
ηx + uη
∂ηx
∂x
=
(
∂uξ
∂ξ
∂ξ
∂y
+
∂uξ
∂η
∂η
∂y
)
ξx + uξξxy +
(
∂uη
∂ξ
∂ξ
∂y
+
∂uη
∂η
∂η
∂y
)
ηx + uηηxy
= uξξξxξy + uξηξxηy + uξξxy + uξηξyηx + uηηηxηy + uηηxy ,
ou
uxy = uξξξxξy + uξη (ξxηy + ξyηx) + uηηηxηy + uξξxy + uηηxy . (1.9)
Substituindo (1.5)-(1.9) em (1.1), temos:
a11
(
uξξξ
2
x + 2uξηξxηx + uηηη
2
x + uξξxx + uηηxx
)
+
2a12 [uξξξxξy + uξη (ξxηy + ξyηx) + uηηηxηy + uξξxy + uηηxy] +
a22
(
uξξξ
2
y + 2uξηξyηy + uηηη
2
y + uξξyy + uηηyy
)
+
b1 (uξξx + uηηx) + b2 (uξξy + uηηy) + Cu+ f(ξ, η) = 0 .
Coletando os termos em uξξ, uηη, uξη, uξ, uη e u, chegamos a:(
a11ξ
2
x + 2a12ξxξy + a22ξ
2
y
)
uξξ + 2 [a11ξxηx + a12 (ξxηy + ηxξy) + a22ξyηy]uξη +(
a11η
2
x + 2a12ηxηy + a22η
2
y
)
uηη + (a11ξxx + 2a12ξxy + a22ξyy + b1ξx + b2ξy)uξ+
(a11ηxx + 2a12ηxy + a22ηyy + b1ηx + b2ηy)uη + Cu+ f(ξ, η) = 0 ,
1Note-se que:
∂uξ
∂x
=
∂uξ
∂ξ
∂ξ
∂x
+
∂uξ
∂η
∂η
∂x
e
∂uη
∂x
=
∂uη
∂ξ
∂ξ
∂x
+
∂uη
∂η
∂η
∂x
6
que pode ser escrito como
a11uξξ + 2a12uξη + a22uηη + β1uξ + β2uη + ζu+ δ = 0 ,
ou
a11uξξ + 2a12uξη + a22uηη + F (ξ, η, u, uξ, uη) = 0 (1.10)
onde 
a11 = a11ξ2x + 2a12ξxξy + a22ξ
2
y
a12 = a11ξxηx + a12 (ξxηy + ηxξy) + a22ξyηy
a22 = a11η2x + 2a12ηxηy + a22η
2
y
F = β1uξ + β2uη + ζu+ δ
β1 = a11ξxx + 2a12ξxy + a22ξyy + b1ξx + b2ξy
β2 = a11ηxx + 2a12ηxy + a22ηyy + b1ηx + b2ηy
C = ζ
f = δ
(1.11)
Sob a transformac¸a˜o (1.3), a equac¸a˜o (1.1) continua linear. Note que:
a212 = a
2
11ξ
2
xη
2
x + a
2
12 (ξxηy + ηxξy)
2 + a222ξ
2
yη
2
y + 2a11a12 (ξxηy + ηxξy) + 2a11a22ξxξyηxηy
= a211ξ
2
xη
2
x + a
2
12ξ
2
xη
2
y + 2a
2
12ξxηyξyηx + a
2
12ξ
2
yη
2
x + a
2
22ξ
2
yη
2
y + 2a11a12ξ
2
xηxηy +
2a11a12ξxξyη
2
x + 2a11a22ξxηxξyηy + 2a12a22ξxξyη
2
y + 2a11a22ξ
2
yηxηy .
E tambe´m,
a11a22 =
(
a11ξ
2
x + 2a12ξxξy + a22ξ
2
y
) (
a11η
2
x + 2a12ηxηy + a22η
2
y
)
= a211ξ
2
xη
2
x + 2a11a12ξ
2
xηxηy + a11a12ξ
2
xη
2
y + 2a11a12ξxξyη
2
x + 4a
2
12ξxξyηxηy +
2a12a22ξxξyη
2
y + a11a22ξ
2
yη
2
x + 2a11a22ξ
2
yηxηy + a
2
22ξ
2
yη
2
y .
Enta˜o, combinando essas duas u´ltimas expresso˜es, chegamos a:
a212 − a11a22 = a212
(
ξ2xη
2
y − 2ξxξyηxηy + ξ2yη2x
)− a11a22 (ξ2xη2y − 2ξxξyηxηy + ξ2yη2x)
= [a212 − a11a22][ξxηy − ξyηx]2
= [a212 − a11a22]
∣∣∣∣∣ξx ξyηx ηy
∣∣∣∣∣
2
= [a212 − a11a22] J2 , (1.12)
onde J = ∂(ξ,η)∂(x,y) (jacobiano da transformac¸a˜o) "= 0, o que mostra que (1.1) e´ invariante sob a
mudanc¸a de coordenadas do tipo (1.3)-(1.4).
Na transformac¸a˜o (1.3) as func¸o˜es ϕ(x, y) = ξ e ψ(x, y) = η esta˜o sujeitas a` nossa escolha
a fim de que a equac¸a˜o (1.10) tome a sua forma mais simples. Vamos mostrar que e´ poss´ıvel
7
escolheˆ-las de tal modo que uma das condic¸o˜es seguintes seja satisfeita, ou seja, vamos impor :
1) a11 = a22 = 0 e a12 "= 0 , ou
2) a11 = a12 = 0 e a22 "= 0 , ou
3) a11 = a22 "= 0 e a12 = 0 .
(1.13)
Assim, a equac¸a˜o transformada (1.10) assumira´ uma das formas mais simples (canoˆnica),
respectivamente:
2a12uξη + F (ξ, η, u, uξ, uη) = 0 , (1.14)
a22uηη + F (ξ, η, u, uξ, uη) = 0 , (1.15)
a11uξξ + a11uηη + F (ξ, η, u, uξ, uη) = 0 . (1.16)
Vamos examinar (1.14) a partir da escolha das varia´veis ξ e η tais que em (1.13) tenhamos:{
a11 = 0 = a11ξ2x + 2a12ξxξy + a22ξ
2
y = 0
a22 = 0 = a11η2x + 2a12ηxηy + a22η
2
y = 0
(1.17)
Devemos, portanto, estudar a EDP de 1 ordem do tipo:
a11Z
2
x + 2a12ZxZy + a22Z
2
y = 0 ;
(
Z =
{
ξ
η
)
(1.18)
Note que a questa˜o da escolha de novas varia´veis independentes esta´ relacionada com a soluc¸a˜o
de (1.18), pois: “seja Z = ϕ(x, y) (ou Z = ψ(x, y)) uma soluc¸a˜o particular de (1.18); enta˜o,
neste caso, os coeficientes a11 e a22 sera˜o nulos”. Para encontrar uma soluc¸a˜o particular de
(1.18) examinaremos o seguinte lema:
Lema 1 Se Z = ϕ(x, y) (ou Z = ψ(x, y)) e´ soluc¸a˜o particular de (1.18), enta˜o ϕ(x, y) =
Z = cte representa uma soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial ordina´ria
a11dy
2 − 2a12dxdy + a22dx2 = 0 . (1.19)
Demonstrac¸a˜o: Como Z = ϕ(x, y) satisfaz a (1.18), enta˜o
a11Z
2
x + 2a12ZxZy + a22Z
2
y = 0 = a11ϕ
2
x + 2a12ϕxϕy + a22ϕ
2
y ⇒
⇒ a11
(
ϕx
ϕy
)2
− 2a12
(
−ϕx
ϕy
)
+ a22 = 0 (1.20)
e´ uma identidade, por ser satisfeita para todos x e y na regia˜o onde ϕ(x, y) e´ dada. A expressa˜o
ϕ(x, y) = C so´ sera´ integral geral da equac¸a˜o (1.19) se a func¸a˜o y, determinada a partir da
relac¸a˜o impl´ıcita ϕ(x, y) = C, satisfizer a` equac¸a˜o (1.19). Seja, portanto, y = f(x,C) esta
func¸a˜o. Enta˜o,
dϕ(x, y) = dC = 0 =
∂ϕ
∂y
dy +
∂ϕ
∂x
dx , (1.21)
8
de onde temos
df
dx
=
dy
dx
= −
(
ϕx(x, y)
ϕy(x, y)
)∣∣∣∣
y=f(x,C)
= −
(
∂ϕ
∂x
)
(
∂ϕ
∂y
)
∣∣∣∣∣∣∣∣
y=f(x,C)
. (1.22)
De (1.22) segue-se que y = f(x,C) satisfaz a` equac¸a˜o (1.19), porque:
a11
(
dy
dx
)2
− 2a12
(
dy
dx
)
=
[
a11
(
ϕx
ϕy
)2
− 2a12
(
−ϕx
ϕy
)
+ a22
]∣∣∣∣∣
y=f(x,C)
= 0 , (1.23)
pois a expressa˜o entre pareˆnteses satisfaz a (1.18), isto e´: e´ nula para todos os valores de x e
y da regia˜o e na˜o somente para y = f(x,C). Assim, o Lema 1 fica demonstrado. Mostremos
que a rec´ıproca do Lema 1 e´ verdadeira.
Lema 2 Se ϕ(x, y) = cte representa a integral geral da equac¸a˜o diferencial ordina´ria (1.19),
enta˜o a func¸a˜o Z = ϕ(x, y) satisfaz a` equac¸a˜o (1.18).
Demonstrac¸a˜o: Seja ϕ(x, y) = C a soluc¸a˜o geral de (1.19). Demonstremos que:
a11ϕ
2
x + 2a12ϕxϕy + a22ϕ
2
y = 0 (1.24)
para todos x, y pertencentes ao domı´nio de definic¸a˜o de ϕ(x, y) = C. Seja (x0, y0) um
ponto arbitra´rio deste domı´nio. Passemos a soluc¸a˜o geral de (1.19) por este ponto, isto e´,
ϕ(x0, y0) = C0, e examinemos a curva y = f(x,C0) (e e´ claro que y0 = f(x0, C0)), cujos
pontos devem satisfazer a` igualdade:
a11
(
dy
dx
)2
− 2a12 dy
dx
+ a22 = a11
(
ϕx
ϕy
)2
− 2a12
(
−ϕx
ϕy
)
+ a22 = 0 . (1.25)
Supondo em (1.25) x = x0, e e´ claro, y = y0 = f(x0, C0), temos:
a11ϕ
2
x(x0, y0) + 2a12ϕx(x0, y0)ϕy(x0, y0) + a22ϕ
2
y(x0, y0) = 0 . C.Q.D. (1.26)
A equac¸a˜o (1.19) e´ chamada de equac¸a˜o caracter´ıstica da equac¸a˜o a derivadas parciais (1.1).
Escolhendo agora ξ = ϕ(x, y), de sorte que ϕ(x, y) = cte seja a integral geral de (1.19),
enta˜o o coeficiente a11 de uξξ em (1.10) sera´ nulo. Analogamente, escolhendo η = ψ(x, y)
de sorte que ψ(x, y) = cte represente outra integral geral, independente de ϕ(x, y) = cte, da
equac¸a˜o (1.19), enta˜o o coeficiente a22 de uηη em (1.10) sera´ tambe´m nulo e teremos (1.14).
Examinemos com mais detalhes a equac¸a˜o caracter´ıstica (1.19):
a11dy
2 − 2a12dxdy + a22dx2 = 0 ∴ a11
(
dy
dx
)2
− 2a12 dy
dx
+ a22 = 0 ,
ou enta˜o,
(
dy
dx
)
=
a12 ±
√
a212 − a11a22
a11
=

a12 +
√
a212 − a11a22
a11
a12 −
√
a212 − a11a22
a11
(1.27)
9
ou
(
dy
dx
)
=
a12 ±
√
∆
a11
=

a12 +
√
∆
a11
a12 −
√
∆
a11
, ∆ = a212 − a11a22 . (1.28)
Como se veˆ de (1.28), as ra´ızes da equac¸a˜o caracter´ıstica dependem do valor do discriminante
∆, que vai definir, em u´ltima ana´lise, o tipo de EDP que (1.1) representa em um dado ponto
do domı´nio de definic¸a˜o de ϕ e de ψ. Observe que ∆ = ∆(x, y) e por isso pode mudar de sinal
ou mesmo ser nulo para determinados valores de x e y. Isto significa que a equac¸a˜o (1.1) pode
ter uma classificac¸a˜o de um tipo em uma sub-regia˜o do domı´nio Γ e classificac¸a˜o de outro
tipo em outra(s) subregia˜o(o˜es) de Γ. No entanto, (1.12) assegura que (1.1) e´ invariante em
cada subdomı´nio de Γ, onde pertenc¸a a um dado tipo de classificac¸a˜o. Mais concretamente,
temos que a equac¸a˜o diferencial
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + Cu+ f︸ ︷︷ ︸
F (u,ux,uy ,f)
= 0 (1.29)
sera´, no ponto r, chamada do tipo
HIPERBO´LICO , se ∆ > 0 ou a212 − a11a22 > 0 , (1.30)
ELI´PTICO , se ∆ < 0 ou a212 − a11a22 < 0 , (1.31)
PARABO´LICO , se ∆ = 0 ou a212 − a11a22 = 0 . (1.32)
Figura 1.1: Domı´nio de definic¸a˜o de ϕ, ψ.
Suponha agora
que em Γ, na subregia˜o G1, ∆ > 0 (Figura 1.1). Enta˜o a´ı (1.29) sera´
hiperbo´lica. Na subregia˜o G2, ∆ < 0, enta˜o a´ı (1.29) sera´ el´ıptica e ao longo da curva Λ que
separa G1 e G2, ∆ = 0; enta˜o a´ı (1.29) sera´ parabo´lica. Vejamos em detalhes.
1.1 Equac¸a˜o Hiperbo´lica
Neste caso, ∆ = a212 − a11a22 > 0, e sera˜o duas as equac¸o˜es caracter´ısticas de (1.29), isto
e´:
dy
dx
=
a12 +
√
∆
a11
, (1.33)
10
e
dy
dx
=
a12 −
√
∆
a11
. (1.34)
Sejam ϕ(x, y) = C1 e ψ(x, y) = C2 suas integrais gerais, que definem famı´lias de func¸o˜es
caracter´ısticas reais. Fac¸amos agora ϕ(x, y) = ξ e ψ(x, y) = η (liberando as constantes C1 e
C2), onde ξ e η sa˜o tambe´m as novas varia´veis independentes que levadas a (1.29) anulara˜o
os coeficientes a11 e a22 em (1.10); consequ¨entemente, teremos:
uξη = Φ(ξ, η, u, uξ, uη) , onde Φ = − F2 a12 ; a12 "= 0 . (1.35)
Esta e´ chamada de primeira forma canoˆnica da equac¸a˜o hiperbo´lica.
Fac¸amos a seguinte mudanc¸a de varia´veis em (1.35):
ξ = α+ β (1.36)
η = α− β (1.37)
o que nos leva a
α =
ξ + η
2
β =
ξ − η
2
, onde α e β sa˜o novas varia´veis independentes.
Nestas varia´veis, teremos: ((ξ, η) −→ u(α,β))
uξ =
∂u
∂ξ
=
∂u
∂α
∂α
∂ξ
+
∂u
∂β
∂β
∂ξ
= uααξ + uββξ =
1
2
(uα + uβ) . (1.38)
Da mesma forma,
uη =
∂u
∂η
=
∂u
∂α
∂α
∂η
+
∂u
∂β
∂β
∂η
= uααη + uββη =
1
2
(uα − uβ) , (1.39)
e
uξη = uηξ =
∂2u
∂ξ∂η
=
∂
∂ξ
(
∂u
∂η
)
=
∂
∂ξ
(
uα − uβ
2
)
=
1
2
∂uα
∂ξ
− 1
2
∂uβ
∂ξ
=
1
2
[
∂uα
∂α
∂α
∂ξ
+
∂uα
∂β
∂β
∂ξ
− ∂uβ
∂α
∂α
∂ξ
− ∂uβ
∂β
∂β
∂ξ
]
=
1
2
[uαα
2
+
uαβ
2
− uβα
2
− uββ
2
]
,
ou
uξη =
1
4
[uαα − uββ ] . (1.40)
E ainda
F = β1uξ + β2uη + γu+ f −→ Φ1(α,β) ,
Φ1 =
β1 + β2
2
uα +
β1 − β2
2
uβ + γu+ f = Φ1(u, uα, uβ , f) . (1.41)
Finalmente:
uαα − uββ = Φ2 = 4Φ1 (1.42)
Esta e´ chamada de segunda forma canoˆnica da equac¸a˜o hiperbo´lica.
11
1.2 Equac¸a˜o Parabo´lica
Neste caso, ∆ = a212 − a11a22 = 0, as equac¸o˜es caracter´ısticas coincidem e obteremos,
consequ¨entemente, uma u´nica integral geral para a equac¸a˜o (1.19), isto e´: ϕ(x, y) = cte.
Fac¸amos, neste caso:
ξ = ϕ(x, y) , (1.43)
η = η(x, y) – func¸a˜o qualquer, independente de ϕ . (1.44)
Com esta escolha das novas varia´veis independentes, os coeficientes a11 e a12 sera˜o:
a11 = a11ξ
2
x + 2a12ξxξy + a22ξ
2
y
= a11ξ
2
x + 2
√
a12
√
a22ξxξy + a22ξ
2
y
= (
√
a11ξx +
√
a22ξy)
2 ,
a12 = a11ξxηx + a12 (ξxηy + ξyηx) + a22ξyηy
=
√
a11
√
a11ξxηx +
√
a11
√
a22 (ξxηy + ξyηx) +
√
a11
√
a22ξyηy
= (
√
a11ξx +
√
a22ξy) (
√
a11ηx +
√
a22ηy) = 0 , pois o 1 fator e´ nulo. (1.45)
O coeficiente a22 "= 0, pois η = η(x, y) e´ uma func¸a˜o arbitra´ria, sendo escolhida para na˜o
satisfazer a` equac¸a˜o caracter´ıstica (1.19), como o foi a func¸a˜o ϕ(x, y) = ξ. Desse modo, a
considerac¸a˜o (13 – 2) fica provada e apo´s a divisa˜o por a22 "= 0, a equac¸a˜o (1.29) tera´ a forma:
uηη = Φ3(ξ, η, u, uξ, uη, f)
(
Φ3 = − F
a22
)
. (1.46)
Esta e´ a forma canoˆnica da equac¸a˜o parabo´lica.
1.3 Equac¸a˜o El´ıptica
Neste caso, ∆ = a212−a11a22 < 0, e as equac¸o˜es (1.33) e (1.34) tera˜o seus membros direitos
complexos e distintos2. Seja enta˜o ϕ(x, y) = C a integral complexa de (1.33); logo:
ϕ∗(x, y) = C∗ = C2 = cte ; ϕ∗ – complexo conjugado da func¸a˜o ϕ (1.47)
devera´ representar a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o (1.34), que e´ complexa conjugada com (1.33).
Definamos aqui as varia´veis complexas
ξ = ϕ(x, y) e η = ϕ∗(x, y) , (1.48)
2 
(
dy
dx
)
1
=
a12 +
√
∆
a11
=
a12 + i
√
∆
a11(
dy
dx
)
2
=
a12 −
√
∆
a11
=
a12 − i
√
∆
a11
∴

(
dy
dx
)∗
1
=
(
dy
dx
)
2
=
(
dy
dx
)
1
()∗ = () complexo conjugado
12
que satisfazem a (1.18). Com isso a equac¸a˜o do tipo el´ıptico adquirira´ a mesma forma que a
equac¸a˜o hiperbo´lica em sua 1 forma canoˆnica (1.35), pois se anulara˜o a11 e a22, e a12 "= 0.
Para contornar as grandezas complexas que aparecem na equac¸a˜o el´ıptica, fac¸amos a
seguinte mudanc¸a de varia´veis:
α =
ξ + η
2
e β =
ξ − η
2i
, (1.49)
ξ = α+ iβ e η = α− iβ , (1.50)
pois de (1.33) e (1.34), as func¸o˜es ξ e η sa˜o complexas conjugadas: ξ∗ = η e ξ = η∗. Assim, a
primeira forma canoˆnica da equac¸a˜o el´ıptica sera´:
uξη = Φ(ξ, η, u, uξ, uη, f) Φ = − F2a12 ; a12 "= 0 . (1.51)
Apliquemos a` (1.51) a transformac¸a˜o definida em (1.50), isto e´:
uξη =
∂2u
∂η∂ξ
=
∂
∂η
(
∂u
∂ξ
)
=
∂
∂η
[
∂u
∂α
∂α
∂ξ
+
∂u
∂β
∂β
∂ξ
]
=
∂
∂η
[uααξ + uββξ] =
1
2
∂
∂η
[
uα +
uβ
i
]
=
1
2
[
∂uα
∂η
+
1
i
∂uβ
∂η
]
=
1
2
[
∂uα
∂α
∂α
∂η
+
∂uα
∂β
∂β
∂η
+
1
i
(
∂uβ
∂α
∂α
∂η
+
∂uβ
∂β
∂β
∂η
)]
=
1
4
[uαα + iuαβ − iuβα + uββ ] = 14 [uαα + uββ ] = Φ ∴
uαα + uββ = Φ1 = 4Φ (1.52)
Esta e´ a segunda forma canoˆnica da equac¸a˜o el´ıptica. Outra forma de se chegar ao mesmo
resultado e´ a seguinte:
a11ξ
2
x + 2a12ξxξy + a22ξ
2
y = a11 (αx + iβx)
2 + 2a12 (αx + iβx) (αy + iβy) + a22 (αy + iβy)
2
= α2x + 2 ia11αxβx − a11β2x + 2 a12αxαy + 2 ia12αxβy +
2 ia12βxαy − 2 a12βxβy + a22α2y + 2 ia22αyβy − a22β2y
=
[
a11α
2
x + 2 a12αxαy + a22α
2
y
]︸ ︷︷ ︸
a11
+
2i [(αxβy + βxαy) a12 + a11αxβx + a22αyβy]︸ ︷︷ ︸
a12
−
[
a11β
2
x + 2 a12βxβy + a22β
2
y
]︸ ︷︷ ︸
a22
= 0 .
13
Consequ¨entemente, para que esta expressa˜o seja nula, devemos ter:
a11 = a22 "= 0 (1.53)
e
a12 = 0 . (1.54)
Exemplos
1. Considere a equac¸a˜o: x2
∂2u
∂x2
− y2∂
2u
∂y2
= 0, (x > 0, y > 0). Determine a que tipo pertence,
encontre sua equac¸a˜o caracter´ıstica e forma canoˆnica.
Soluc¸a˜o:
1. Tipo: e´ dado pelo discriminante ∆, segundo (1.30), (1.31) e (1.32), isto e´:
∆ = a212 − a11a22 = 0− (x2)(−y2) = x2y2 > 0 ; Hiperbo´lico.
2. Equac¸a˜o Caracter´ıstica:
a11dy2 − 2a12dydx+ a22dx2 = 0 ∴
x2dy2 − 2 · 0 · dydx− y2dx2 = 0 ∴
(xdy − ydx) (xdy + ydx) = 0 =⇒
{
xdy + ydx = 0
xdy − ydx = 0
dy
y
+
dx
x
= 0
dy
y
− dx
x
= 0
=⇒
{
ln y + lnx = lnC1
ln y − lnx = lnC2
=⇒
{
ln (xy) = lnC1
ln (y/x) = lnC2
=⇒
{
xy = C1
y/x = C2
}
Integrais gerais da eq. caracter´ıstica.
As novas varia´veis e a forma canoˆnica da equac¸a˜o dada sera˜o obtidas fatorando-se:{
xy = ξ
y/x = η
.
De (1.7) e (1.9), veˆm as expresso˜es:{
uxx = uξξξ2x + 2uξηξxηx + uηηη
2
x + uξξxx + uηηxx
uyy = uξξξ2y + 2uξηξyηy + uηηη
2
y + uξξyy + uηηyy
.
Onde: {
ξx = y ∴ ξ2x = y2
ξy = x ∴ ξ2y = x2
e
{
ξxx = 0
ξyy = 0
,
14

ηx = − y
x2
∴ η2x =
y2
xy
ηy =
1
x
∴ η2y =
1
x2
e

ηxx =
2y
x3
ηyy = 0
.
Finalmente: 
uxx = y2uξξ +
y2
xy
uηη − 2y
2
x2
uξη +
2y
x3
uη
uyy = x2uξξ +
1
x2
uηη + 2uξη
x2uxx − y2uyy = −4y2uξη + 2yx uη = 0 , ou
uξη − 12xyuη = 0 =⇒ uξη −
1
2ξ
uη = 0 forma canoˆnica .
2. Considere a equac¸a˜o abaixo. Classifique-a e represente-a na forma canoˆnica.
∂2u
∂x2
− 2 sinx ∂
2u
∂x∂y
− cos2 x∂
2u
∂y2
− cosx∂u
∂y
= 0 .
Soluc¸a˜o: Vamos resolver este exemplo com todos os detalhes para que ele fique como modelo
para exerc´ıcios futuros. Em nossa notac¸a˜o, teremos:
uxx − 2 sinxuxy − cos2 xuyy − cosxuy = 0 ,
que comparada termo a termo com , isto e´, com:
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + Cu+ f = 0 ,
nos da´:
a11 = 1 , a12 = − sinx , a22 = − cos2 x ,
b1 = 0 , b2 = − cosx e c = 0 .
Por
outro lado,
ux = uξξx + uηηx ,
uy = uξξy + uηηy ,
uxx = uξξξ
2
x + 2uξηξxηx + uηηη
2
x + uξξxx + uηηxx ,
uyy = uξξξ
2
y + 2uξηξyηy + uηηη
2
y + uξξyy + uηηyy ,
uxy = uξξξxξy + uξη (ξxηy + ξyηx) + uηηηxηy + uξξxy + uηηxy .
Estas relac¸o˜es sera˜o usadas para compor a equac¸a˜o dada nas novas varia´veis: ξ e η. O tipo
da equac¸a˜o dada e´ obtido atrave´s do discriminante ∆ = a212 − a11a22, isto e´:
∆ = (− sinx)2 − 1 · (− cos2 x) = sin2 x+ cos2 x = 1 > 0 .
15
Logo, a equac¸a˜o e´ do tipo hiperbo´lico. As novas varia´veis que a expressam na forma mais
simples sa˜o obtidas da soluc¸a˜o da equac¸a˜o caracter´ıstica da equac¸a˜o dada, isto e´:
a11dy
2 − 2a12dxdy + a22dx2 = 0 , que no caso, e´:
dy2 + 2 sinxdxdy − cos2 xdx2 = 0 .
Daqui, segundo (1.33) e (1.34), as soluc¸o˜es poss´ıveis sa˜o:
dy
dx
=
a12 +
√
∆
a11
dy
dx
=
a12 −
√
∆
a11
,
as quais, para o caso acima, sera˜o:
dy
dx
= − sinx+ 1 e dy
dx
= − sinx− 1
Integrando separadamente essas duas equac¸o˜es diferenciais ordina´rias, temos:
ˆ
(dy + sinxdx− dx) = 0
ˆ
(dy + sinxdx+ dx) = 0
=⇒
{
y − cosx− x = C1
y − cosx+ x = C2
.
Relaxando as constantes C1 e C2 e identificando-as com as novas varia´veis ξ e η respectiva-
mente, vem: {
ξ = y − x− cosx
η = y + x− cosx .
Da´ı, temos:
ξx = −1 + sinx ; ξxx = cosx ; ξy = 1 ; ξyy = 0 ;
ηx = 1 + sinx ; ηxx = cosx ; ηy = 1 ; ηyy = 0 ;
ξxy = ηxy = 0 .
Vamos finalmente escrever a equac¸a˜o dada nas novas coordenadas (varia´veis).
uxx =
(
1− 2 sinx+ sin2 x)uξξ + 2 (−1 + sin2 x)uξη
+
(
1 + 2 sinx+ sin2 x
)
uηη + (cosx)uξ + (cosx)uη
−2 sinxuxy =
(
2 sinx− 2 sin2 x)uξξ
+ 2
(
sinx− sin2 x− sinx− sin2 x)uξη + (−2 sinx− 2 sin2 x)uηη
− cos2 xuyy =
(− cos2 x)uξξ + 2 (− cos2 x)uξη + (− cos2 x)uηη
− cosxuy = (− cosx)uξ + (− cosx)uη
————————————————————————————————————
0 =
(
1− sin2 x− cos2 x)uξξ + 2 (−1− sin2 x− cos2 x)uξη
+
(
1− sin2 x− cos2 x)uηη + (cosx− cosx)uξ
+ (cosx− cosx)uξ = −4uξη .
16
Logo:
uξη = 0 (primeira forma canoˆnica da equac¸a˜o hiperbo´lica)
Nota: a classificac¸a˜o das EDP’s de 2 ordem na˜o se esgota aqui. Maiores detalhes sobre a
classificac¸a˜o de equac¸o˜es do tipo (1.1) para os quais o discriminante ∆ = a212 − a11a22 muda
de sinal a` medida que x e y variam em Γ, e ainda a classificac¸a˜o para casos mais gerais onde
a equac¸a˜o dada tem n varia´veis independentes, isto e´:
n∑
i=1
n∑
j=1
aijuxiyj +
n∑
i=1
biuxi + Cu = f(x1, x2, · · · , xn) ,
podem ser encontrados em Tikhonov & Samarskii.
Para encerrar este assunto, notemos que se a equac¸a˜o (1.1) ja´ estiver expressa na forma
canoˆnica, isto e´:
uξξ + uηη + b1uξ + b2uη + Cu+ f = 0 (El´ıptica) (1.55)
{
uξη + b1uξ + b2uη + Cu+ f = 0
uξξ − uηη + b1uξ + b2uη + Cu+ f = 0
}
(Hiperbo´lica) (1.56)
uξξ + b1uξ + b2uη + Cu+ f = 0 (Parabo´lica) (1.57)
e se seus coeficientes forem constantes, enta˜o a mudanc¸a da varia´vel dependente:
u(ξ, η) = eλξ+µη v(ξ, η) (1.58)
onde λ e µ sa˜o constantes a determinar, pela imposic¸a˜o de que os termos em primeiras
derivadas sejam nulos na nova varia´vel v(ξ, η), leva (1.55)-(1.57) a`s seguintes formas canoˆnicas:
vξξ + vηη + γv + f1 = 0 (El´ıptica) (1.59){
vξη + γv + f1 = 0
vξξ − vηη + γv + f1 = 0
}
(Hiperbo´lica) (1.60)
vξξ + b2vη + f1 = 0 (Parabo´lica) (1.61)
17
1.4 Problemas
Classificac¸a˜o
1. Classifique as equac¸o˜es abaixo e escreva-as na forma canoˆnica em cada regia˜o
de seu domı´nio de definic¸a˜o onde seu tipo (classificac¸a˜o) se conserva.
1.a) (a+ x)uxx + 2xyuxy − y2uyy = 0 (Analise sua classificac¸a˜o em func¸a˜o do
paraˆmetro real a.)
1.b) uxx + yuyy = 0
1.c) uxx + yuyy +
1
2uy = 0
1.d) yuxx + xuyy = 0
1.e) y2uxx − x2uyy = 0
1.f ) x2uxx + y2uyy = 0
1.g) x2uxx + 2xyuxy + y2uyy = 0
1.h) 4y2uxx − e2xuyy − 4y2ux = 0
1.i) x2uxx + 2xyuxy − 3y2uyy − 2xux + 4yuy + 16x4u = 0
1.j ) (1 + x2)uxx + (1 + y2)uyy + xux + yuy = 0
1.l) sin2 xuxx − 2y sinxuxy + y2uyy = 0
1.m) b4 sin4 (2x+ c)uxx + 4b4 sin4 (2x+ c)uxy − uyy = 0
2. Classifique as equac¸o˜es abaixo e, com o aux´ılio da mudanc¸a da func¸a˜o depen-
dente na forma u(x, y) = v(x, y) eαx+βy, escreva-as na forma mais simples poss´ıvel.
2.a) auxx + 4auxy + auyy + bux + cuy = 0
2.b) 2auxx + 2auxy + auyy + 2bux + 2cuy + u = 0
2.c) auxx + 2auxy + auyy + bux + cuy + u = 0
18
Cap´ıtulo 2
Problemas Elementares Descritos
por EDP’s
2.1 Problemas F´ısicos Elementares Descritos por Equac¸o˜es
Hiperbo´licas
2.1.1 Pequenas Oscilac¸o˜es Transversais de uma Corda Vibrante
Definic¸a˜o: Corda vibrante e´ o fio flex´ıvel que na˜o oferece resisteˆncia a` flexa˜o mas a
oferece a` distensa˜o (≡ fio flex´ıvel, mas indistens´ıvel). Na˜o resisteˆncia a` flexa˜o significa fisica-
mente que a tensa˜o no fio e´ sempre tangente ao seu perfil instantaˆneo em qualquer ponto x
(fio disposto ao longo do eixo−x).
Examinaremos aqui somente o caso das pequenas oscilac¸o˜es da corda, cujas extremidades
esta˜o presas em O e A (veja a Figura 2.1). O seu deslocamento (afastamento) de sua posic¸a˜o
de repouso (eixo−x) sera´ representado por u(x, t). As oscilac¸o˜es da corda ocorrem somente
no plano xu.
Figura 2.1: Pequenas oscilac¸o˜es transversais.
Da hipo´tese sobre as pequenas oscilac¸o˜es,
ux =
∂u(x, t)
∂x
= lim
∆x=x2−x1→0
[u(x2, t)− u(x1, t)]
x2 − x1 ≈ lim∆x→0
∆u(x, t)
∆x
(2.1)
19
e´ muito pequeno e, consequ¨entemente, u2x(x, t) ≈ 0; da´ı, decorre que a tensa˜o T (x, t) que
aparece na corda depende do tempo t. Examinemos um pedac¸o da corda em repouso (t0 = 0)
e no instante t "= t0, delimitado por x1 e x2 (Fig. 2.1). Teremos:
– No instante t = t0 = 0.
S = x(0)2 − x(0)1 = S0 , para t = t0 = 0 . (2.2)
– No instante t "= t0.
ds2 = dx2+[u(x1 + dx, t)− u(x1, t)]2 ≈ dx2+u2xdx2 ∴ ds ≈
√
1 + u2x dx ≈ dx . (2.3)
Logo:
S =
ˆ
dS =
ˆ x2
x1
dx = x(t)2 − x(t)1 = x(0)2 − x(0)1 = S0 . (2.4)
Isto significa que, com precisa˜o de ate´ 2 grau em ux, o arco S na˜o varia com o tempo, ou seja,
a corda na˜o se distende de modo irrevers´ıvel, isto e´, aqui vale a lei de Hooke: “A deformac¸a˜o
ela´stica e´ proporcional a` forc¸a deformante aplicada”. Desse modo, temos forc¸osamente que:
T = T (x) , e na˜o T = T (x, t) . (2.5)
Como estamos interessados somente nas oscilac¸o˜es transversais, examinaremos somente a
componente vertical do vetor tensa˜o T.
(T)u = T sinα =
T∆u√
∆x2 +∆u2
=
T (∆u/∆x)√
1 + (∆u/∆x)2
≈ Tux√
1 + u2x
≈ Tux . (2.6)
Escrevamos agora a equac¸a˜o de movimento do trecho ∆x = x2 − x1, da corda considerada
aqui na˜o-homogeˆnea. A quantidade de movimento no trecho x2 − x1 e´ˆ x2
x1
ut(ξ, t)ρ(ξ) dξ (2.7)
no instante t; ρ(ξ) e´ a densidade linear de massa da corda. Examinemos a componente vertical
da corda recorrendo a` segunda lei de Newton.
Pela 2 lei de Newton, a variac¸a˜o da quantidade de movimento (no trecho x2−x1) durante
o intervalo ∆t = t2 − t1, e´ igual ao impulso das forc¸as atuantes (no caso, a forc¸a de tensa˜o
Tux (restauradora) e a forc¸a externa F (x, t), cuja densidade e´ f(x, t)), isto e´1:
ˆ x2
x1
[ut(ξ, t2)− ut(ξ, t1)] ρ(ξ) dξ =
ˆ t2
t1
[T (x2)ux(x2, τ)− T (x1)ux(x1, τ)] dτ +
ˆ t2
t1
ˆ x2
x1
f(ξ, τ) dξ dτ . (2.8)
Esta e´ a equac¸a˜o integral das pequenas oscilac¸o˜es de trecho (x2, x1) da corda vibrante.
1 ˆ
dp =
ˆ
dItensa˜o +
ˆ
dIoutras forc¸as .
20
Vamos procurar a forma diferencial da (2.8), notando que:
ut(ξ, t2)− ut(ξ, t1) ≈ utt∆t
e
T (x2)ux(x2, τ)− T (x1)ux(x1, τ) ≈ ∂
∂x
[
T (x′)ux(x′, t)
]
∆x .
Enta˜o:
ˆ x2
x1
utt(ξ, t
′)ρ(ξ) dξ∆t =
ˆ t2
t1
∂
∂x
[
T (x′)ux(x′, t)
]
dτ∆x+
ˆ t2
t1
ˆ x2
x1
f(ξ, τ) dξ dτ .
Usando aqui o teorema do valor me´dio, vem:
utt(x
′, t′)ρ(x′)∆x∆t =
∂
∂x
[
T (x′′)ux(x′′, t′′)
]
∆x∆t+
f(x′′′, t′′′) ,
onde x′, x′′, x′′′ ∈ (x1, x2) e t′, t′′, t′′′ ∈ (t1, t2). Cancelando-se ∆x∆t e passando o limite
∆x→ 0 e ∆t→ 0, tem-se x′ → x′′ → x′′′ → x e t′ → t′′ → t′′′ → t ; logo:
utt(x, t)ρ(x) =
∂
∂x
[T (x)ux(x, t)] + f(x, t) (2.9)
Esta e´ a equac¸a˜o diferencial da corda vibrante.
Para pequenas oscilac¸o˜es transversais, a tensa˜o T e´ a mesma para qualquer ponto da
corda, isto e´, independe de x. Realmente, sua componente x sera´:
T cosα =
T (x)∆x√
(∆x)2 + (∆u)2
≈ T (x)√
1 + u2x
.
Portanto:
T (x2) cosα2 = T (x1) cosα1 ∴
T (x2)√
1 + u2x
=
T (x1)√
1 + u2x
,
e finalmente:
T (x2) = T (x1) = T = cte .
E assim:
utt(x, t)ρ(x) = Tuxx(x, t) + f(x, t) (2.10)
Se ρ(x) = cte, teremos:
utt = a2uxx + f(x, t)
(
f(x, t) =
f(x, t)
ρ
, a2 =
T
ρ
)
(2.11)
Os casos mais frequ¨entes de uso da equac¸a˜o da corda vibrante sa˜o da forma (2.10) e (2.11).
Os me´todos de soluc¸a˜o poss´ıveis sera˜o vistos mais tarde. Veremos agora outro problema
relacionado com as oscilac¸o˜es.
21
2.1.2 Equac¸a˜o das Pequenas Oscilac¸o˜es Longitudinais
As pequenas oscilac¸o˜es longitudinais de cordas, basto˜es, molas, etc. sa˜o descritas por uma
equac¸a˜o diferencial de derivadas parciais de 2 ordem, da func¸a˜o u(x, t) que mede o desvio de
uma sec¸a˜o reta do objeto vibrante no momento t, sabendo-se que sua posic¸a˜o no repouso e´ x.
Vamos admitir o objeto vibrante unidimensional, disposto ao longo de x, sua sec¸a˜o reta S(x),
sua densidade ρ(x) e seu mo´dulo de Young K(x) > 0. Sendo as oscilac¸o˜es supostas pequenas,
as deformac¸o˜es do objeto obedecem a` lei de Hooke.
Analisemos um trecho do basta˜o compreendido entre x e x +∆x, nos instantes t0 = 0 e
t "= t0. As coordenadas dos extremos deste trecho em t0 e t sera˜o, respectivamente,{
x e x+∆x → (t0 = 0)
x+ u(x, t) e x+∆x+ u(x+∆x, t) → (t "= t0)
(2.12)
O alongamento relativo do trecho devido a` passagem da onda longitudinal e´:
[x+∆x+ u(x+∆x, t)− (x+ u(x, t))]− (x+∆x− x)
x+∆x− x ≈ ux(x, t) +O(∆x
2) (2.13)
Fazendo-se aqui ∆x→ 0, a grandeza ux(x, t)+O(∆x2) tende a ux(x, t) no ponto x. Aplicando
ao trecho do corpo vibrante compreendido entre os pontos x1 e x2 a 2 lei de Newton, isto
e´: “a variac¸a˜o da quantidade de movimento no trecho ∆x = x2 − x1, durante o intervalo de
tempo ∆t = t2 − t1, e´ igual ao impulso das forc¸as atuantes (no caso, a tensa˜o T (x, t) e a
densidade das forc¸as externas fx(x, t))”, temos:
ˆ x2
x1
[ut(ξ, t2)− ut(ξ, t1)] ρ(ξ)S(ξ) dξ =
ˆ t2
t1
[T (x2, τ)− T (x1, τ)] dτ +
ˆ t2
t1
ˆ x2
x1
f1(ξ, τ) dξ dτ . (2.14)
Esta e´ a equac¸a˜o das pequenas oscilac¸o˜es longitudinais, na forma integral, onde T (x, t) e´ a
tensa˜o do corpo no ponto x e no instante t, que, para pequenas oscilac¸o˜es deve obedecer a` lei
de Hooke, isto e´:
T (x, t) = K(x)S(x)ux(x, t) .
Por procedimento ana´logo ao caso da sec¸a˜o 2.1.1, obteremos:
ρ(x)S(x)utt(x, t) =
∂
∂x
[K(x)S(x)ux(x, t)] + f1(x, t) (2.15)
Se
ρ(x) = ρ = cte ,
S(x) = S = cte ,
K(x) = K = cte ,
enta˜o temos:
utt(x, t) = a2uxx(x, t) + f(x, t)
(
f =
1
ρS
f1 , a
2 =
K
ρ
)
(2.16)
22
2.1.3 Equac¸o˜es da Hidrodinaˆmica e da Acu´stica
Para caracterizar o movimento dos fluidos vamos utilizar:
– a func¸a˜o vetor velocidade v no ponto (x, y, z) no instante t;
– a densidade do fluido ρ = ρ(x, y, z, t);
– a pressa˜o P , e
– a densidade das forc¸as externas aplicadas a` unidade de massa: F(x, y, z, t).
Figura 2.2: Um elemento de volume do fluido.
Examinemos um certo volume de fluido V e consideremos as forc¸as que nele atuam. Vamos
imaginar um fluido ideal (sem viscosidade ou atrito). A resultante das forc¸as de pressa˜o e´:
f(x, y, z, t) =
‹
S
P (x, y, z, t) nˆ dS , (2.17)
onde S e´ a superf´ıcie do volume V e nˆ e´ o vetor unita´rio normal externo a S. Da fo´rmula de
Gauss-Ostrogradskii, vem:
f(x, y, z, t) = −
‹
S
P (x, y, z, t) nˆdS = −
‹
S
[P cos(nˆ, i)i+ P cos(nˆ, j)j+ P cos(nˆ,k)k] dS
= −
‹
S
P cos(nˆ, i) dS
 i+
‹
S
P cos(nˆ, j) dS
 j+
‹
S
P cos(nˆ,k) dS
k

= −
˚
V
∂P
∂x
dV
 i+
˚
V
∂P
∂y
dV
 j+
˚
V
∂P
∂z
dV
k

= −
˚
V
(
∂P
∂x
i+
∂P
∂y
j+
∂P
∂z
k
)
dV
= −
˚
V
(∇P ) dV . (2.18)
23
Para calcular a acelerac¸a˜o de qualquer ponto do fluido, deve-se ter em conta que o ponto
em questa˜o esta´ em movimento; logo: x = x(t), y = y(t), z = z(t). Por isso, a acelerac¸a˜o de
um ponto (x, y, z) qualquer do l´ıquido sera´:
d
dt
v =
∂v
∂x
∂x
∂t
+
∂v
∂y
∂y
∂t
+
∂v
∂z
∂z
∂t
+
∂v
∂t
=
∂v
∂t
+ x˙
∂v
∂x
+ y˙
∂v
∂y
+ z˙
∂v
∂z
=
∂v
∂t
+ (v ·∇)v =
(
∂
∂t
+ v ·∇
)
v . (2.19)
Pela 2 lei de Newton, tem-se:
˚
V
ρ
dv
dt
dV = −
˚
V
(∇P ) dV +
˚
V
ρF dV . (2.20)
A u´ltima equac¸a˜o em (2.20) e´ a resultante das forc¸as externas atuantes em V. Por forc¸a da
arbitrariedade do volume V do fluido, a expressa˜o
˚
V
[
ρ
dv
dt
+∇P − ρF
]
dV = 0
e´ uma identidade, significando que:
ρ
dv
dt
+∇P − ρF = 0 (2.21)
ou
vt + (v ·∇)v = − 1
ρ
∇P + F . (2.22)
Esta e´ a forma de Euler; temos 3 equac¸o˜es e 5 func¸o˜es desconhecidas. Devemos procurar mais
duas equac¸o˜es para completar o sistema (5 equac¸o˜es e 5 inco´gnitas). Uma delas e´ a equac¸a˜o
da continuidade. Vamos deduzi-la.
Se no interior do volume V na˜o existem fontes nem sorvedouros do fluido, enta˜o a variac¸a˜o
da quantidade de fluido encerrado em V e´ igual ao seu fluxo (Φ) atrave´s da superf´ıcie S, isto
e´:
dM
dt
= lim
∆t→0
∆M
∆t
= −Φ . (2.23)
Esta lei de conservac¸a˜o pode ser expressa matematicamente da seguinte maneira: admi-
tamos que no instante t exista em V uma massa m do fluido e que em t + ∆t exista em V
uma massa m+∆m. A variac¸a˜o ∆m de massa so´ pode ter ocorrido por ganho de massa do
exterior de S (∆m > 0) ou por perda de massa do interior de S (∆m < 0), isto e´, pelo fluxo
atrave´s de S. Determinemos este fluxo.
So´ atravessara˜o um elemento dS de S aquelas part´ıculas contidas em um cilindro de
base dS e de comprimento ∆l = v⊥∆t, onde v⊥ e´ a componente da velocidade v me´dia do
fluido perpendicular a dS. O cilindro pode ser tanto interno quanto externo a V. Fixemo-
nos no cilindro interno. Enta˜o, o fluxo sera´ positivo (sai de V) mas a variac¸a˜o de massa
sera´ negativa (∆m < 0). Exatamente o contra´rio ocorrera´ se tomarmos o cilindro externo.
Matematicamente, temos:
∆m
∆t
= −∆Φ ; ∆Φ - fluxo elementar atrave´s de ∆S . (2.24)
24
∆Φ = −
(
∆m
∆t
)
= −
(
ρ∆S∆l
∆t
)
= −ρv⊥∆S = −ρv ·∆S , (2.25)
onde ∆S = nˆ∆S e nˆ e´ o vetor unita´rio normal (externo) a ∆S. Finalmente, fazendo ∆t→ 0,
vem:
lim
∆t→0
∆m
∆t
=
dm
dt
= −ρv · dS . (2.26)
A variac¸a˜o total de massa atrave´s de S na unidade de tempo sera´ igual ao fluxo total atrave´s
de S:
d
dt
˚
V
ρ dV = −
‹
S
ρv · dS = −
˚
V
∇ · (ρv) dV . (2.27)
Figura 2.3: Cilindros de fluxo.
Pela arbitrariedade da escolha de V no fluido, temos:
∂ρ
∂t
+ div(ρv) = 0 . (2.28)
Outra equac¸a˜o a ser adicionada e´ a de estado termodinaˆmico, que tomamos na forma:
P = f(ρ) , (2.29)
onde P e´ a pressa˜o e ρ e´ a densidade. Finalmente, temos as equac¸o˜es procuradas:
∂v
∂t
+ (v ·∇)v = − 1
ρ
∇P + F
∂ρ
∂t
+ div(ρv) = 0
P = f(ρ)
(2.30)
Vamos aplicar (2.30) ao processo de propagac¸a˜o do som, sendo o meio fluido um ga´s. Fac¸amos
as seguintes hipo´teses:
1. Forc¸as externas ausentes: F = 0.
25
2. O processo de propagac¸a˜o do som e´ adiaba´tico, logo:
P
P0
=
(
ρ
ρ0
)γ
, onde γ =
CP
CV
, (2.31)
sendo ρ0 a densidade inicial, P0 a pressa˜o inicial e CP e CV as capacidades
te´rmicas.
3. Oscilac¸o˜es do ga´s sa˜o pequenas, logo pode-se desprezar poteˆncias superiores da veloci-
dade, do gradiente de velocidade, das variac¸o˜es de densidade.
Introduzamos a grandeza:  S =
ρ− ρ0
ρ0
ρ = ρ0 (1 + S)
(2.32)
Com as hipo´teses feitas, o sistema (2.32) pode ser simplificado. Temos:
1
ρ
=
1
ρ0
1
1 + S
=
1
ρ0
(
1− S + S2 − S3 + S4 + . . .) ≈ 1
ρ0
(1− S) (2.33)
P = P0
(
ρ
ρ0
)γ
= P0 (1 + S)
Γ ≈ P0 (1 + γS) (2.34)
1
ρ
∇P ≈ 1
ρ0
(1− S)∇ [P0 (1 + γS)] ≈ P0γ
ρ0
∇S , se ρ0 = cte (2.35)
div(ρv) = ρ0 div [(1 + S)v] = ρ0 div(v) + ρ0 div(Sv) ≈ ρ0 div(v) , (2.36)
se ρ0 = cte. Substituindo esses resultados em (2.30), vem:
∂v
∂t
+
1
ρ0
1
1 + S
∇P = 0
∂
∂t
[ρ0 (1 + S)] + div [ρ0 (1 + S)v] = 0
P = f(ρ) = P0
(
ρ
ρ0
)γ ∴

vt +
γP0
ρ0
∇S = 0
ρ0 St + ρ0 divv = 0
P = f(ρ) = P0
(
ρ
ρ0
)γ

vt +
γP0
ρ0
∇S = 0
ρ0 St + ρ0∇ · v = 0
∴

vt + a2∇S = 0
St +∇ · v = 0
; a2 =
γ P0
ρ0
(2.37)
Aplicando a` 1 equac¸a˜o de (2.37) o operador ∇ e a` 2 equac¸a˜o de (2.37) o operador ∂
∂t
= ∂t,
temos, apo´s eliminar os termos comuns:
Stt = a2∇2S (2.38)
Da definic¸a˜o de S = S(x, y, z, t) =
ρ− ρ0
ρ0
; ρ0 = cte, vem:
ρtt = a2∇2ρ (2.39)
26
Igualmente, da definic¸a˜o de P = P0
(
ρ
ρ0
)γ
, vem:
Ptt = a2∇2P (2.40)
As equac¸o˜es (2.38), (2.39) e (2.40) sa˜o conhecidas como equac¸o˜es da acu´stica.
Potencial de Velocidades
Uma vez que na˜o existem fontes ou sorvedouros do fluido na regia˜o em ana´lise, podemos
esperar que o campo de velocidades v(x, y, z, t) possa ser descrito atrave´s de um potencial de
velocidades. Para procura´-lo, vamos determinar v a partir da 1 equac¸a˜o de (2.37)
∂v
∂t
= −a2∇S ∴ v(x, y, z, t) = v0(x, y, z, 0)− a2∇
(ˆ t
0
S dt
)
,
onde v0(x, y, z, 0) e´ a distribuic¸a˜o de velocidades inicial. Se v(x, y, z, t) prove´m de um poten-
cial de velocidades, enta˜o temos:
v(x, y, z, t)|t=0 = −∇f(x, y) = v0(x, y, z, 0) .
Enta˜o:
v(x, y, z, t) = −∇
[
f(x, y, z) + a2
ˆ t
0
S dt
]
= −∇u(x, y, z, t) , (2.41)
pois ∇×v = −∇×∇u = 0 (auseˆncia de fontes e sorvedouros) e u e´ o potencial procurado e
que deve ser suficiente para descrever todo o processo de oscilac¸o˜es nos fluidos. Assim, temos
o sistema: 
v(x, y, z, t) = −∇u(x, y, z, t)
vt(x, y, z, t) + a2∇S = 0
St(x, y, z, t) +∇ · v(x, y, z, t) = 0
(2.42)
Da 1 e da 2 equac¸o˜es, vem:
−vt = −∂v
∂t
= +
∂
∂t
(∇u) = +∇ut
+vt = −a2∇S
=⇒ ∇ut − a2∇S = 0
∇ (ut − a2S) = 0 ∴ S = 1
a2
ut ∴ St =
1
a2
utt
∇ · v =∇ · (−∇u) = −∇2u
St =
1
a2
utt
St +∇ · v = 1
a2
utt −∇2u = 0 ∴ a2∇2u = utt
27
2.1.4 Equac¸o˜es dos Campos Ele´trico e Magne´tico (va´cuo)
Das equac¸o˜es de Maxwell no va´cuo, isto e´:
∇×E = −∂B
∂t
∇ ·E = 0
∇ ·B = 0
∇×B = /0µ0∂E
∂t
(2.43)
Aplicando ∇× e ∂/∂t a` 1 e a` 4 equac¸o˜es respectivamente e eliminando os termos seme-
lhantes surgidos, vem:
∇× (∇×E) = −∇× ∂B
∂t
= − ∂
∂t
(∇×B) = − ∂
∂t
(
/0µ0
∂E
∂t
)
= −/0µ0∂
2E
∂t2
e
∇× (∇×E) =∇ (∇ ·E)︸ ︷︷ ︸
=0
− (∇ ·∇)E = −∇2E . (veja a 2 equac¸a˜o)
Finalmente, temos:
∇2E = /0µ0∂
2E
∂t2
(2.44)
Esta e´ a equac¸a˜o para o campo ele´trico no va´cuo.
A equac¸a˜o de B no va´cuo se obte´m de modo ana´logo, aplicando ∇× e ∂/∂t a` 4 e a`
1 equac¸o˜es respectivamente, isto e´:
∇× (∇×B) = −∇×
(
/0µ0
∂E
∂t
)
= /0µ0
∂
∂t
(∇×E) = /0µ0 ∂
∂t
(
−∂B
∂t
)
= −/0µ0∂
2B
∂t2
e
∇× (∇×B) =∇ (∇ ·B)︸ ︷︷ ︸
=0
− (∇ ·∇)B = −∇2B . (veja a 3 equac¸a˜o)
Finalmente, temos:
∇2B = /0µ0∂
2B
∂t2
(2.45)
Esta e´ a equac¸a˜o para o campo magne´tico no va´cuo.
2.2 Problemas F´ısicos Elementares Descritos por Equac¸o˜es
Parabo´licas
Os fenoˆmenos mais frequ¨entemente encontrados sa˜o os processos de transfereˆncia de calor
e de difusa˜o.
28
2.2.1 Propagac¸a˜o Linear do Calor (Caso Unidimensional)
Vejamos um caso bastante ideal! Seja uma haste retil´ınea uniforme de comprimento l e
sec¸a˜o reta S = cte, com os lados (laterais) termicamente isolados e ainda suficientemente fina
para que em qualquer instante t a temperatura de qualquer sec¸a˜o reta seja constante.
Se as extremidades da haste forem mantidas a`s temperaturas u1 = cte e u2 = cte, enta˜o
ao longo da haste estabelecer-se-a´ uma distribuic¸a˜o linear de temperatura (caso estaciona´rio):
u(x) = u1 +
u2 − u1
l
x . (2.46)
Estabelece-se um fluxo de calor q, da extremidade mais quente para a extremidade mais fria
da haste.
Figura 2.4: Haste com extremidades isoladas.
A quantidade de calor que atravessa a sec¸a˜o reta da haste de a´rea S, na unidade de tempo,
e´ dada pela lei emp´ırica devida a Fourier:
Q = −k u2 − u1
l
S ⇒ Q
S
= −k ∂u
∂x
= q ∴ q = −k ∂u
∂x
xˆ , (2.47)
onde k e´ o coeficiente de conduc¸a˜o te´rmica.
Vejamos agora um caso menos ideal, ainda que unidimensional. Seja uma haste qualquer
de sec¸a˜o reta S(x) e de constante de conduc¸a˜o te´rmica k(x), disposta ao longo do eixo-x,
e com superf´ıcie lateral termicamente isolada. A haste e´ suposta suficientemente fina, de
sorte que a temperatura em qualquer sec¸a˜o reta S(x) pode ser considerada constante, em
dado instante t. O processo de propagac¸a˜o na haste pode ser descrito pela temperatura (da
haste) em cada ponto x e em cada instante t, isto e´, pela func¸a˜o u(x, t) – temperatura. Para
determinar a equac¸a˜o que descreve o fenoˆmeno, devemos observar o balanc¸o te´rmico em um
trecho arbitra´rio da haste durante um certo intervalo de tempo ∆t, no qual admitiremos a
existeˆncia dos seguintes eventos:
1. Presenc¸a de fontes de calor cuja densidade em cada ponto x e instante t e´ F (x, t).
Estas fontes ou sorvedouros podem ser de origem ele´trica (corrente), qu´ımica (reac¸o˜es),
radiativa, etc.
2. Variac¸a˜o da temperatura em cada ponto do trecho durante o intervalo de tempo ∆t =
t2 − t1.
3. Fluxo de calor para fora (ou para dentro) do trecho em estudo (dado pela lei de Fourier).
O evento 1 fornece (absorve) a quantidade de calor ∆Q1, onde dQ1 = S(x)F (x, t)dx dt.
∆Q1 =
ˆ t2
t1
ˆ x2
x1
S(ξ)F (ξ, η) dξ dη . (2.48)
29
O evento 2 gasta, para aumentar a temperatura do trecho estudado em ∆u, a quantidade de
calor ∆Q2, isto e´: dQ2 = c(x)m∆u. Logo:
∆Q2 =
ˆ x2
x1
c(x)ρ(x)S(x) [u(x, t2)− u(x, t1)] dx , (2.49)
onde:
c(x) – capacidade te´rmica espec´ıfica (da amostra).
m – massa do trecho (da amostra).
ρ(x) – densidade do corpo (da amostra).
dV = S(x) dx – volume elementar da amostra.
O evento 3 representa a quantidade de calor ∆Q3 cedida (adquirida) pelo trecho atrave´s do
fluxo te´rmico, isto e´, fluxo que ocorre segundo a lei de Fourier:
Se a temperatura u(x, t) de um corpo na˜o for uniforme, enta˜o nele aparece(m)
fluxo(s) te´rmico(s) dirigido(s) da(s) regia˜o(o˜es) de temperatura(s) mais elevada(s)
para regia˜o(o˜es) de temperatura(s) mais baixa(s), e que sa˜o proporcionais ao gra-
diente de temperatura local.
Para o caso da haste, temos que a quantidade de calor que atravessa a sec¸a˜o reta S(x) no
ponto x, no intervalo de tempo ∆t = t2 − t1 e´ igual a2:
dQ3 = qS(x) · n dt
q = −k(x)∂u
∂x
xˆ
. (2.50)
Enta˜o:
dQ3 = −S(x)k(x)∂u
∂x
dt . (2.51)
Daqui, vem:
dQ3 =
ˆ
“fluxo atrave´s de S(x2)” +
ˆ
“fluxo atrave´s de S(x1)” ,
isto e´:
dQ3 = −
ˆ t2
t1
[(
S(x2)k(x2)
∂u(x2, τ)
∂x
)
−
(
S(x1)k(x1)
∂u(x1, τ)
∂x
)]
dτ . (2.52)
Pela lei de conservac¸a˜o da energia te´rmica, a quantidade de calor necessa´ria para variar a
temperatura em ∆u (∆Q2) e´ igual a` soma das quantidades de calor devido a fontes (∆Q1) e
devido a fluxos (−∆Q3). Logo:
∆Q2 = ∆Q1 −∆Q3 (2.53)
2Fluxo de
calor : e´ definido como a quantidade de calor que atravessa a unidade de a´rea (sec¸a˜o reta) na
unidade de tempo.
30
ou
ˆ x2
x1
c(x)S(x) [u(x, t2)− u(x, t1)] dx =
ˆ t2
t1
ˆ x2
x1
F (ξ, η)S(ξ) dξ dη+
ˆ t2
t1
[
S(x2)k(x2)
∂u(x2, τ)
∂x
− S(x1)k(x1)∂u(x1, τ)
∂x
]
dτ . (2.54)
Esta e´ a forma integral da equac¸a˜o da conduc¸a˜o de calor (unidimensional). A forma diferencial
sera´ obtida utilizando-se o teorema do valor me´dio em (2.54):
c(x′)ρ(x′)S(x′)
∂u(x′, t′)
∂t
∆x∆t =
∂
∂x
[
S(x′′)k(x′′)
∂u(x′′, t′′)
∂x
]
∆x∆t+ S(x′′′)F (x′′′, t′′′)∆x∆t .
Fazendo aqui ∆x → 0 e ∆t → 0, enta˜o x′, x′′, x′′′ → x e ainda t′, t′′, t′′′ → t, teremos
finalmente:
c(x)ρ(x)S(x)ut =
∂
∂x
(S(x)k(x)ux(x, t)) + S(x)F (x, t) (2.55)
Esta e´ a forma diferencial da equac¸a˜o de conduc¸a˜o de calor. Se a sec¸a˜o reta da haste for
constante, S(x) = cte:
c(x)ρ(x)ut =
∂
∂x
(k(x)ux(x, t)) + F (x, t) (2.56)
ou
c(x)ρ(x)S(x)
∂u
∂t
=
∂
∂x
(
k(x)
∂u
∂x
)
+ F (x, t) (2.57)
que e´ a equac¸a˜o da conduc¸a˜o de calor em uma dimensa˜o.
Casos Particulares
A – Haste homogeˆnea: k = cte, c(x) = cte, ρ = cte. Enta˜o, segue-se que:
ut = a2uxx + f(x, t) ∴ a2 =
k
ρc
, f(x, t) =
F (x, t)
ρc
(2.58)
B – Densidade das fontes (ou de sorvedouros) de calor pode depender da tem-
peratura u(x, t). Isto pode ocorrer quando existe troca de calor entre a haste e o meio
envolvente. Seja esta troca uma perda de calor da haste. Newton descobriu que:
Lei de Newton: A quantidade de calor perdida pela haste por unidade de
comprimento e de tempo e´ dada pela seguinte relac¸a˜o:
F0(x, t) = h [u(x, t)−Θ(x, t)] , (2.59)
onde Θ(x, t) e´ a temperatura do meio envolvente e h e´ o coeficiente de troca
de calor.
31
Assim, a densidade de fontes deve ser escrita como:
F (x, t) = F1(x, t)− F0(x, t) = F1(x, t)− h [u(x, t)−Θ(x, t)] . (2.60)
A densidade de outras fontes de calor e´ representada por F1(x, t). Se a haste for agora
homogeˆnea, teremos:
ut = a2uxx − αu+ f1(x, t) ∴

a2 =
h
ρc
,
f1(x, t) = αΘ(x, t) +
F1(x, t)
ρc
(2.61)
C – Grandes variac¸o˜es da temperatura:
As equac¸o˜es (2.55) – (2.61) so´ sa˜o verdadeiras para pequenas variac¸o˜es da temperatura
u(x, t). Realmente, quando ocorrem grandes variac¸o˜es da temperatura, a densidade
do corpo (haste) ρ(x) passa a depender da temperatura, isto e´: ρ = ρ(x, u), o mesmo
acontecendo com os outros coeficientes c = c(x, u) e k = k(x, u).
Estes novos valores dos coeficientes acima devem ser introduzidos nas equac¸o˜es da
conduc¸a˜o te´rmica unidimensional, isto e´:
∂
∂x
[
k(x, u)
∂u
∂x
]
+ F (x, t) = c(x, u)ρ(x, u)
∂u
∂t
(2.62)
Esta e´ a equac¸a˜o na˜o-linear da conduc¸a˜o te´rmica. A soluc¸a˜o desta equac¸a˜o foge ao
escopo de nosso curso.
2.2.2 Propagac¸a˜o do calor no espac¸o
A propagac¸a˜o do calor no espac¸o e´ caracterizada pela func¸a˜o temperatura u(x, y, z, t).
Se u(x, y, z, t) na˜o for a mesma em todo o corpo, surgira˜o fluxos de calor das regio˜es mais
aquecidas para as menos aquecidas (supondo o meio isotro´pico), e que obedecem lei de Fourier.
Examinemos dentro do meio um certo volume V limitado pela superf´ıcie S. Seja ρ(x, y, z)
a sua densidade, k(x, y, z) o seu coeficiente de conduc¸a˜o te´rmica e finalmente, seja c(x, y, z)
sua capacidade te´rmica espec´ıfica.
Figura 2.5: Volume V delimitado pela superf´ıcie S
Seja dS um elemento da superf´ıcie S cuja normal n no ponto P (ξ, η, ζ) ∈ S e´ dirigida para
fora. Neste caso, o fluxo de calor, isto e´, a quantidade de calor que atravessa dS na unidade
32
de tempo, de acordo com a lei de Fourier, e´:
qndS = (q · n) dS = −k ∂u
∂n
dS , (2.63)
onde:
qn – componente normal da densidade do fluxo
∂u
∂n
– gradiente de temperatura, ou seja:
∂u
∂n
=
∂u
∂x
cos (n, xˆ) +
∂u
∂y
cos (n, yˆ) +
∂u
∂z
cos (n, zˆ)
=
∂u
∂x
(n · xˆ) + ∂u
∂y
(n · yˆ) + ∂u
∂z
(n · zˆ)
= n ·
(
xˆ
∂u
∂x
)
+ n ·
(
yˆ
∂u
∂y
)
+ n ·
(
zˆ
∂u
∂z
)
= n ·
(
xˆ
∂
∂x
+ yˆ
∂
∂y
+ zˆ
∂
∂z
)
u
= n ·∇u . (2.64)
Desse modo, teremos em (2.63):
qndS = (q · n) dS = −k ∂u
∂n
dS = −k n ·∇udS , (2.65)
onde
q = −k∇u (2.66)
e´ o vetor densidade de fluxo de calor (lei de Fourier).
Se o meio for isotro´pico, enta˜o k e´ um escalar (func¸a˜o de x, y, z e possivelmente tambe´m
de t) e se o meio for anisotro´pico, enta˜o k tera´ diferentes valores para diferentes componentes
do vetor q, isto e´, sera´ um tensor e a lei de Fourier tera´ portanto a forma:
qi = −κij ∂u
∂xj
(2.67)
Examinaremos somente meios isotro´picos, para os quais deduziremos a equac¸a˜o da conduc¸a˜o
do calor no espac¸o por racioc´ınio ana´logo ao usado no caso unidimensional. Assim, o balanc¸o
de energia te´rmica no volume arbitra´rio V durante ∆t = t2 − t1, sera´ ∆Q2 = ∆Q1 −∆Q3.˚
V
cρ [u(P, t2)− u(P, t1)] dVP = −
ˆ t2
t1
‹
qn dS dt+
ˆ t2
t1
˚
V
F (P, t) dVp dt . (2.68)
Esta e´ a forma integral da equac¸a˜o da conduc¸a˜o do calor no espac¸o. P = P (ξ, η, ζ) e´ o ponto
de integrac¸a˜o onde dVP = dξ dη dζ. Pore´m, usando o teorema de Gauss-Ostrogradskii:‹
qndS =
‹
(q · n) dS =
˚
V
(div q) dVP (2.69)
33
e ˚
V
cρ [u(P, t2)− u(P, t1)] dV =
˚
V
cρ
∂u
∂t
dVR∆t . (2.70)
Logo: ˚
V
cρ
∂u
∂t
dVR∆t = −
ˆ t2
t1
˚
V
(∇ · q) dVP dt+
ˆ t2
t1
˚
V
F (P, t) dVP dt ,
ou
˚
V
cρ
∂u
∂t
dVR∆t = −
ˆ t2
t1
˚
V
∇ · [k(P )∇u(P, t)] dVP dt+
ˆ t2
t1
˚
V
F (P, t) dVP dt .
Usando aqui o teorema do valor me´dio, vem apo´s o processo limite de ∆V → 0 e ∆t→ 0:
cρ
∂u
∂t
= ∇ · [k∇u] + F (2.71)
Esta e´ a equac¸a˜o da conduc¸a˜o do calor no espac¸o. Se o meio for homogeˆneo, isto e´: k = cte,
ρ = cte, temos:
ut = a2∇2u+ f , a2 = k
ρc
. (2.72)
2.2.3 Equac¸a˜o da difusa˜o
E´ o processo de propagac¸a˜o de uma grandeza f´ısica (mole´culas, neˆutrons, fo´tons) atrave´s
de um certo meio (fluido, l´ıquido, material opaco, etc.), sem as caracter´ısticas das ondas.
Exemplos: fumac¸a do cigarro no ar, gota de anilina em a´gua, neˆutrons em um reator, luz em
um vidro fosco, etc. . . A difusa˜o ocorre sempre de regio˜es de maior concentrac¸a˜o para as de
menor concentrac¸a˜o atrave´s de fluxos.
Φ =
“coisa”
∆t
.
Seja J a densidade de corrente da “coisa”,
J =
“coisa”
∆S∆t
,
e u(x, y, z, t) a sua concentrac¸a˜o, isto e´, densidade volume´trica:
u =
“coisa”
∆V
.
Tomemos um volume arbitra´rio V do meio, sendo S sua fronteira. Seja dS uma certa a´rea
elementar no ponto P (ξ, η, ζ) com normal nˆ. A quantidade de “coisa” que atravessa dS na
unidade de tempo e´ dada, de acordo com a lei de Fick, por
Jn dS = J · nˆ dS = −D ∂u
∂n
dS = −D nˆ · (∇u) dS ,
ou
J = −D∇u . (2.73)
34
onde D e´ o coeficiente de difusa˜o.
Supondo que na˜o existem fontes nem sorvedouros da “coisa” em difusa˜o, deve haver uma
equac¸a˜o da continuidade, isto e´:
∂u
∂t
+ div J = 0 . (2.74)
Combinando (2.73) e (2.74), vem
∂u
∂t
= D∇2u (2.75)
que e´ a equac¸a˜o da difusa˜o para D = cte, e
∂u
∂t
=∇ · (D∇u) (2.76)
que e´ a equac¸a˜o da difusa˜o para D varia´vel. Caso haja criac¸a˜o ou aniquilac¸a˜o da “coisa”,
vem:
∂u
∂t
+ div J = S (2.77)
e
∂u
∂t
=∇ · (D∇u) + S (2.78)
onde S e´ a densidade volume´trica das fontes/sorvedouros.
Caso na˜o haja criac¸a˜o ou aniquilamento da grandeza em processo de difusa˜o, S representa
ou fontes de criac¸a˜o (S > 0) ou de aniquilac¸a˜o (S < 0).
Se u(x, y, z, t) mede a concentrac¸a˜o de certo material f´ıssil, enta˜o a densidade das fontes
sera´ proporcional a u, isto e´:
S = αu (2.79)
O sinal de α sera´ negativo se u medir a concentrac¸a˜o do material f´ıssil (esta diminui com o
tempo) e sera´ positivo
se umedir a concentrac¸a˜o de neˆutrons livres criados pela partic¸a˜o de
nu´cleons, como acontece nas reac¸o˜es nucleares em cadeia. Sua concentrac¸a˜o deve portanto
aumentar com o tempo. Isto significa que α > 0.
2.3 Problemas F´ısicos Elementares Descritos por Equac¸o˜es
El´ıpticas
2.3.1 Processos Estaciona´rios
Todos os fenoˆmenos elementares ate´ aqui discutidos, independentemente de sua natureza e
da equac¸a˜o que o descreve no estado na˜o-estaciona´rio sera˜o, no estado estaciona´rio, descritos
por equac¸o˜es el´ıpticas, uma vez que as derivadas temporais sera˜o nulas.
Ex.:
∂u
∂t
= D∇2u+ αu = 0 ∴ ∇2u+ α
D
u = 0 .
35
2.3.2 Processos Perio´dicos
Neste caso, a dependeˆncia temporal pode ser representada por eiωt (ω = 2pi/T – frequ¨eˆncia
angular; T – per´ıodo) e as grandezas procuradas tera˜o, nos processos ate´ aqui estudados, a
seguinte forma:
u(x, y, z, t) = v(x, y, z) eiωt , (2.80)
o que possibilita trabalhar somente com grandezas espaciais (x, y, z), como nos exemplos que
se seguem.
Ex.: Oscilac¸o˜es forc¸adas sob a ac¸a˜o de forc¸as perio´dicas externas.
∇2u = 1
a2
utt − F (x, y, z)e
iω t
a2
=⇒ u = v eiω t =⇒
=⇒ ∇2v(x, y, z) + k2v(x, y, z) = −F (x, y, z)
a2
; k =
ω
a
. (2.81)
As equac¸o˜es do tipo (2.81) sa˜o conhecidas como equac¸o˜es de Helmholtz (na˜o-homogeˆnea).
2.3.3 Fenoˆmenos F´ısicos (dependentes ou na˜o do tempo) Descritos por
Equac¸o˜es do Tipo Poisson e Helmholtz
∇2u = −ρ equac¸a˜o de Poisson (2.82)
∇2u+ k2u = −ρ equac¸a˜o de Helmholtz (2.83)
2.3.4 Equac¸a˜o da Sondagem Ele´trica
O problema consiste em aplicar a um semi-espac¸o homogeˆneo, infinito e isotro´pico uma
corrente ele´trica de intensidade I, para medir o potencial ele´trico gerado por estas cargas,
deslocando-se no interior do semi-espac¸o. A corrente I e´ por hipo´tese ou cont´ınua ou de
frequ¨eˆncia desprez´ıvel.
Figura 2.6:
Admitindo a inexisteˆncia de fontes ou sorvedouros de cargas no semi-espac¸o, deve ser
satisfeita a equac¸a˜o da continuidade:
∂ρ
∂t
+ div J = 0 (2.84)
36
e tambe´m a lei de Ohm:
J = σE = −σ∇ϕ . (2.85)
Enta˜o, segue que:
∂ρ
∂t
−∇ · (σ∇ϕ) = 0 . (2.86)
Notando que no caso acima a densidade de carga e´ dada por:
ρ(x, y, z, t) = −e(t)δ(r− r′) (2.87)
e que, portanto,
∂ρ
∂t
= −e
t
δ(r− r′) = −Iδ(r− r′) , (2.88)
vem:
∇ · (σ∇ϕ) = −Iδ(r− r′) (2.89)
Se σ = cte (σ e´ a condutividade do meio), vem:
∇2ϕ = − I
σ
δ(r− r′) (2.90)
As equac¸o˜es (2.89) e (2.90) determinam o potencial ϕ gerado por uma fonte (eletrodo) de
corrente localizada no ponto r′ da superf´ıcie do solo que se quer pesquisar. As variac¸o˜es do
potencial ϕ em meios geolo´gicos podem determinar a presenc¸a de jazidas minerais no subsolo
e que representem interesse.
Encerramos neste ponto esta fase de deduc¸a˜o e criac¸a˜o de um acervo de fenoˆmenos f´ısicos
elementares descritos por equac¸o˜es diferenciais parciais lineares de 2 ordem. A etapa seguinte
sera´ a busca das soluc¸o˜es das EDP’s pelos me´todos mais difundidos.
2.4 Formulac¸a˜o ou Colocac¸a˜o Matema´tica de um Problema
Para resolver um problema qualquer da F´ısica ou de outro ramo da Cieˆncia por me´todos
matema´ticos, e´ necessa´rio, antes de mais nada, formular ou colocar matematicamente o pro-
blema, ou seja:
1. Escrever a equac¸a˜o (ou sistema de equac¸o˜es) a que deve satisfazer a func¸a˜o procurada
(ou sistema de func¸o˜es procuradas) que descreve (ou descrevem) o fenoˆmeno em estudo;
2. escrever as condic¸o˜es complementares a que a func¸a˜o procurada (ou sistema de func¸o˜es
procuradas) deve (ou devem) satisfazer.
Se nas condic¸o˜es complementares a varia´vel envolvida for o tempo t, devera˜o ser conhecidos
os valores que a func¸a˜o procurada (ou sistema de func¸o˜es procuradas) assume(m) no instante
em que se inicia a contagem do tempo (t = t0). teremos enta˜o as condic¸o˜es iniciais do
problema.
Se nas condic¸o˜es complementares forem conhecidos os valores que a func¸a˜o procurada (ou
sistema de func¸o˜es procuradas) assume(m) ou enta˜o o(s) seu(s) gradiente(s) ou ainda a com-
binac¸a˜o linear dos valores da(s) func¸a˜o(o˜es) e de seu(s) gradiente(s) na fronteira do domı´nio
de definic¸a˜o da(s) varia´vel(eis) espacial(is), para qualquer t, teremos enta˜o as chamadas
condic¸o˜es na fronteira ou valores de contorno.
37
A maioria dos problemas que estudaremos tera˜o treˆs varia´veis espaciais e o tempo, como
varia´veis independentes. A soluc¸a˜o do problema so´ estara´ univocamente determinada para
estas varia´veis da func¸a˜o procurada se o problema for corretamente formulado, isto e´, se tiver-
mos as equac¸o˜es que descrevem o fenoˆmeno, juntamente com as condic¸o˜es complementares.
Seja u(r, t) a func¸a˜o procurada, onde r e´ um ponto do espac¸o (tridimensional, bidimen-
sional ou unidimensional) e t o tempo. Os tipos mais encontrados de valores de contorno da
func¸a˜o u(r, t) sa˜o:
1. u(r, t)|S = µ(r, t) – descreve sistemas f´ısicos sem interac¸a˜o direta com o meio externo.
2.
∂u(r, t)
∂n
∣∣∣∣S = ν(r, t) – descreve sistemas f´ısicos que interagem com o meio externo atrave´s
de fluxos ou forc¸as.
3.
(
∂u(r, t)
∂n
+ hu(r, t)
)∣∣∣∣S = β(r, t) – descreve sistemas f´ısicos sem e com interac¸a˜o direta
com o meio exterior.
Aqui, S e´ a “superf´ıcie” que delimita o volume V onde a func¸a˜o u esta´ definida, isto e´, o
contorno ou fronteira do domı´nio. Observe que estas condic¸o˜es de contorno sa˜o lineares em
relac¸a˜o a` func¸a˜o u(r, t). Se as func¸o˜es µ(r, t), ν(r, t) e β(r, t) na˜o forem nulas, as condic¸o˜es
de contorno listadas acima sa˜o chamadas heterogeˆneas; caso contra´rio, sa˜o homogeˆneas.
Vamos postular que estamos estudando eventos f´ısicos descritos por equac¸o˜es do tipo:
Equac¸a˜o hiperbo´lica:
∇ · [k(r)∇u(r, t)]− q(r)u(r, t) + f(r, t) = ρ(r)utt(r, t) (2.91)
Equac¸a˜o parabo´lica
∇ · [k(r)∇u(r, t)]− q(r)u(r, t) + f(r, t) = ρ(r)ut(r, t) (2.92)
Equac¸a˜o el´ıptica
∇ · [k(r)∇u(r)]− q(r)u(r) = −f(r, t) (2.93)
As vantagens de escrevermos (2.91)–(2.93) sera˜o vistas mais tarde, no Problema de Sturm-
Liouville.
Vamos escrever como exemplo a formulac¸a˜o matema´tica de um fenoˆmeno descrito por
uma equac¸a˜o hiperbo´lica, com condic¸o˜es iniciais dadas e com valores de contorno do tipo 1.
∇ · [k(r)∇u(r, t)]− q(r)u(r, t) + f(r, t) = ρ(r)utt(r, t)
u(r, 0) = ϕ(r)
ut(r, 0) = ψ(r)
}
condic¸o˜es iniciais
u(r, t)|S = µ(r, t) , t > 0
(2.94)
Observe que u(r, 0) = ϕ(r) da´ a distribuic¸a˜o de u(r, t) em t = 0 e ut(r, 0) = ψ(r) da´ a
sua taxa de variac¸a˜o temporal.
38
Se o problema f´ısico for descrito por uma equac¸a˜o parabo´lica, nas condic¸o˜es iniciais na˜o
aparecera´ ut(r, 0) = ψ(r) e na˜o havera´ condic¸o˜es iniciais se o problema for descrito por
uma equac¸a˜o do tipo el´ıptico. De maneira ana´loga se coloca matematicamente os problemas
envolvendo as condic¸o˜es de contorno 2 e 3.
As treˆs possibilidades de valores de contorno dadas em 1, 2 e 3 podem ser escritas em
uma forma compacta, isto e´: {
γ1(r)
∂u
∂n
+ γ2(r)u
}∣∣∣∣S = λ(r, t) (2.95)
Realmente, se:
γ1 ≡ 0 e γ2 "= 0 e λ
γ2
= µ, teremos 1.
γ2 ≡ 0 e γ1 "= 0 e λ
γ1
= µ, teremos 2.
γ1 "= 0 e γ2 "= 0 e λ
γ1
= β e
γ2
γ1
= ζ, teremos 3.
Os problemas que descrevem regimes permanentes na˜o possuem condic¸o˜es iniciais e sa˜o
conhecidos como problemas sem condic¸o˜es iniciais.
Os problemas que envolvem pequeno lapso de tempo ou cujo domı´nio de definic¸a˜o espacial
e´ infinitamente grande, na˜o possuem condic¸o˜es de contorno e sa˜o conhecidos como problemas
de Cauchy. Tem-se ainda na literatura da f´ısica matema´tica as seguintes condic¸o˜es:
– Condic¸a˜o de Dirichlet: γ1 = λ = 0 ou u(r, t)|S = 0.
– Condic¸a˜o de Neumann: γ2 = λ = 0 ou
∂u(r, t)
∂n
∣∣∣∣S = 0.
39
40
Cap´ıtulo 3
Me´todos de Soluc¸a˜o das Equac¸o˜es
da F´ısica Matema´tica
Existem va´rios me´todos de soluc¸a˜o das EDP’s da F´ısica Matema´tica, mas no´s nos restrin-
giremos a alguns deles, os mais difundidos, como:
a) Me´todo da Separac¸a˜o de Varia´veis (ou de Fourier)
b) O Me´todo da Func¸a˜o de Green
c) O Me´todo Variacional
d) O Me´todo das Perturbac¸o˜es
3.1 Me´todo da Separac¸a˜o de Varia´veis (ou de Fourier)
A principal proposta deste me´todo e´ procurar a soluc¸a˜o u(r, t) do problema em estudo
(equac¸a˜o + condic¸o˜es complementares) como o produto de func¸o˜es das varia´veis independen-
tes. Considerando r um ponto do espac¸o e t o tempo, teremos:
u(r, t) = R(r)T (t) . (3.1)
Se por seu turno desejarmos (e se for necessa´rio) separar as varia´veis espaciais, isto e´, se
r = r(x, y, z), vem:
R(r) = X(x)Y (y)Z(z) . (3.2)
Estas expresso˜es (3.1) e (3.2) devera˜o ser operacionalizadas no problema proposto (formu-
lado), de onde surgira˜o tantas equac¸o˜es diferenciais ordina´rias quantas sejam as varia´veis
independentes.
Antes, pore´m, de entrarmos nos pormenores da esseˆncia deste me´todo, vamos resolver
um problema bastante simples mas muito ilustrativo, apo´s o que, voltaremos aos pontos mais
gerais do me´todo.
Problema Proposto: Resolver o problema de uma corda vibrante, de compri-
mento L e de extremidades fixas, sendo conhecidos no instante t = 0 o seu perfil
e ainda a distribuic¸a˜o de velocidades de cada ponto da corda. Desprezam-se as
forc¸as externas e considera-se a corda homogeˆnea: ρ = cte, S = cte.
41
Formulac¸a˜o ou Colocac¸a˜o Matema´tica do Problema:
utt(x, t) = a
2uxx(x, t) – equac¸a˜o do evento (3.3)
{
u(x, 0) = ϕ(x)
ut(x, 0) = ψ(x)
(3.4)
As equac¸o˜es (3.4) sa˜o as condic¸o˜es iniciais, onde ϕ(x) e´ o perfil e ψ(x) e´ a distribuic¸a˜o de
velocidades. {
u(0, t) = 0
u(L, t) = 0
(3.5)
As equac¸o˜es (3.5) sa˜o as condic¸o˜es de contorno: os extremos sa˜o fixos (sempre). Procuremos
a soluc¸a˜o de (3.3)–(3.5) na forma seguinte:
u(x, t) = X(x)T (t) . (3.6)
Substituindo (3.6) em (3.3) e dividindo tudo por a2X(x)T (t), vem
X(x)T ′′(t) = a2X ′′(x)T (t) =⇒ X(x)T
′′(t)
a2X(x)T (t)
=
a2X ′′(x)T (t)
a2X(x)T (t)
=⇒ X
′′(x)
X(x)
=
1
a2
T ′′(t)
T (t)
= −λ = cte , (3.7)
pois estas func¸o˜es fraciona´rias de varia´veis independentes distintas so´ podera˜o ser iguais se
cada uma em separado for igual a uma constante (−λ). Daqui,{
X ′′ + λX = 0
X(0) = X(L) = 0
. (3.8)
Vamos determinar X(x) supondo que:
a) λ < 0: Procuremos a soluc¸a˜o de (3.8) na forma:
X(x) = eγx , (3.9)
onde γ e´ um paraˆmetro qualquer. Logo, X ′ = γ eγx, X ′′ = γ2 eγx e
γ2 + λ = 0 , (3.10)
pois, por hipo´tese, X(x) "= 0. Enta˜o,
γ = ±√−λ , (3.11)
o que nos fornece duas soluc¸o˜es diferentes:{
X1(x) = ex
√−λ
X2(x) = e−x
√−λ
(3.12)
42
A combinac¸a˜o linear de X1(x) e X2(x) e´ tambe´m soluc¸a˜o, isto e´:
X(x) = C1X1(x) + C2X2(x) = C1 e
x
√−λ + C2 e−x
√−λ . (3.13)
Determinemos os coeficientes C1 e C2 a partir das condic¸o˜es de contorno (3.8), isto e´:{
X(0) = C1X1(0) + C2X2(0) = C1 + C2 = 0 ∴ C1 = −C2
X(L) = C1X1(L) + C2X2(L) = C1 e
√−λL + C2 e−
√−λL .
E, sendo C1 = −C2, temos:
C1
[
e
√−λL − e−
√−λL
]
= 0 . (3.14)
Como o termo entre colchetes em (3.14) na˜o e´ nulo, segue que C1 deve seˆ-lo, isto
e´, C1 = 0 = −C2, e desse modo a soluc¸a˜o (3.13) e´ identicamente nula, ou seja,
X(x) = C1X1(x) + C2X2(x) e´ soluc¸a˜o trivial .
Conclusa˜o: A constante de separac¸a˜o λ < 0 confere ao problema (3.8) a soluc¸a˜o
trivial, o que na˜o nos interessa. Queremos X(x) "= 0.
b) λ = 0: Neste caso,
X ′′(x) = −λX(x) = 0 . (3.15)
Logo, integrando duas vezes (3.15), teremos:
X(x) = C ′1 x+ C
′
2 . (3.16)
Uma vez que (3.16) e´ soluc¸a˜o do seguinte problema{
X ′′(x) = 0
X(0) = X(L) = 0
, (3.17)
determinemos C ′1 e C ′2 a partir das condic¸o˜es de contorno
X(0) = C ′1 · 0 + C ′2 = 0 ∴ C ′2 = 0 ,
X(L) = C ′1 · L+ C ′2 = 0 ∴ C ′1 · L = 0 ∴ C ′1 = 0 .
Novamente, temos outra soluc¸a˜o trivial do problema (3.8).
c) λ > 0: A soluc¸a˜o possui forma ana´loga a (3.13), de sorte que
X(x) = C ′′1 e
x
√−λ + C ′′2 e
−x√−λ .
Aqui, λ > 0 e
√−λ = i√λ, do que resulta:
X(x) = C ′′1 e
i
√
λx + C ′′2 e
−i√λx
= C ′′1
[
cos
√
λx+ i sin
√
λx
]
+ C ′′2
[
cos
√
λx− i sin
√
λx
]
=
(
C ′′1 + C
′′
2
)
cos
√
λx+ i
(
C ′′1 − C ′′2
)
sin
√
λx .
43
Como X(x) e´ uma func¸a˜o real, segue que os coeficientes (C ′′1 + C ′′2 ) e i (C ′′1 − C ′′2 )
tambe´m devera˜o ser reais, pois ate´ aqui C ′′1 e C ′′2 sa˜o complexos.
Vamos enta˜o definir os coeficientes do seno e do cosseno, agora reais, do seguinte modo:{
C ′′1 + C ′′2 = D′′1
i (C ′′1 − C ′′2 ) = D′′2
∴ C∗1 =
D′′1 − iD′′2
2
e C∗2 =
D′′1 + iD′′2
2
. (3.18)
Enta˜o:
X(x) = D′′1 cos
(√
λx
)
+D′′2 sin
(√
λx
)
. (3.19)
Determinemos em (3.19) os coeficientes D′′1 e D′′2 a partir as condic¸o˜es de contorno
X(0) = X(L) = 0, isto e´:
X(0) = D′′1 +D′′2 · 0 = 0 ∴ D′′1 = 0 ,
X(L) = D′′1 cos
(√
λL
)
+D′′2 sin
(√
λL
)
= 0 · cos
(√
λL
)
+D′′2 sin
(√
λL
)
= 0 ,
ou
X(L) = D′′2 sin
(√
λL
)
= 0 .
Daqui, segue que, ou D′′2 = 0 (e teremos soluc¸a˜o trivial, o que na˜o nos interessa), ou
sin (
√
λL) = 0 (e D′′2 "= 0), o que so´ vai ocorrer para valores especiais do argumento do
seno, isto e´: sin (
√
λL) = sin (npi) = 0 ∴
√
λL = npi.
λn =
n2pi2
L2
> 0 , n = ±1,±2,±3, . . . (3.20)
λn sa˜o os auto-valores do problema, pois somente λn fornece soluc¸o˜es na˜o-triviais. A
expressa˜o (3.20) significa que existe um conjunto infinitamente grande de valores de
λ (= λn) para os quais a soluc¸a˜o de (3.8) e´ na˜o-trivial, isto e´, existem λn constantes
de separac¸a˜o que fornecem soluc¸o˜es na˜o-triviais ao problema. Para λ "= λn so´ existira˜o
soluc¸o˜es triviais.
Podemos enta˜o escrever:
Xn(x) = Dn sin
(npi
L
x
)
, n = ±1,±2,±3, . . . (3.21)
Xn e´ a auto-func¸a˜o associada ao auto-valor λn, e e´ soluc¸a˜o na˜o trivial. Como λ (= λn)
separa as equac¸o˜es em (3.7), isso significa que os valores de λ que forneceram soluc¸o˜es
na˜o triviais a (3.8) devera˜o tambe´m fornecer soluc¸a˜o na˜o-trivial para a equac¸a˜o na outra
varia´vel, isto e´, para a equac¸a˜o
T ′′(t) + a2λT (t) = 0 , (3.22)
cuja soluc¸a˜o e´ dada por
Tn(t) = an cos
(npia
L
t
)
+ bn sin
(npia
L
t
)
, (3.23)
onde an e bn sa˜o constantes reais.
44
Podemos agora construir a soluc¸a˜o dada pela n–e´sima constante de separac¸a˜o (o n–e´simo
auto-valor):
un(x, t) = Xn(x)Tn(t) =
[
(anDn) cos
(npia
L
t
)
+ (bnDn) sin
(npia
L
t
)]
sin
(npi
L
x
)
,
ou enta˜o:
un(x, t) =
[
An cos
(npia
L
t
)
+Bn sin
(npia
L
t
)]
sin
(npi
L
x
)
. (3.24)
A soluc¸a˜o geral do problema sera´ a soma de todas as soluc¸o˜es particulares poss´ıveis,
isto e´, sera´ dada pelo princ´ıpio da superposic¸a˜o:
u(x, t) =
∑
n
un(x, t) =
∑
n
[
An cos
(npia
L
t
)
+Bn sin
(npia
L
t
)]
sin
(npi
L
x
)
. (3.25)
Esta func¸a˜o deve satisfazer a`s condic¸o˜es iniciais (3.4), pois e´ soluc¸a˜o geral do problema;
logo:
u(x, 0) = ϕ(x) =
∑
n
un(x, 0) =
∑
n
An sin
(npix
L
)
, (3.26)
e
ut(x, 0) = ψ(x) =
∑
n
∂un
∂t
(x, 0) =
∑
n
(npia
L
)
Bn sin
(npix
L
)
. (3.27)
Da teoria das se´ries de Fourier, sabe-se que qualquer func¸a˜o seccionalmente cont´ınua e
seccionalmente diferencia´vel, definida em 0 ≤ x ≤ l pode ser expandida em se´rie–seno
de Fourier, bastando para isto continua´-la periodicamente ao longo do eixo–x de modo
ı´mpar. Assim, vem:
ϕ(x) =
∑
n
ϕn sin
( pi
L
x
)
=⇒ ϕn = 2
L
ˆ L
0
ϕ(ξ) sin
( npi
L
ξ
)
dξ (3.28)
ψ(x) =
∑
n
ψn sin
( pi
L
x
)
=⇒ ψn = 2
L
ˆ L
0
ψ(ξ) sin
( npi
L
ξ
)
dξ (3.29)
onde ϕne ψn sa˜o os coeficientes de Fourier das expanso˜es.
Comparando (3.26) com (3.28) e (3.27) com (3.29), obtemos os valores das constantes
(ainda indeterminadas) An e Bn, isto e´:
An = ϕn =
2
L
ˆ L
0
ϕ(ξ) sin
( npi
L
ξ
)
dξ (3.30)
Bn =
L
npia
ψn =
2
npia
ˆ L
0
ψ(ξ) sin
( npi
L
ξ
)
dξ (3.31)
Conhecidos An e Bn, o problema resulta completamente resolvido.
Podemos tambe´m escrever a (3.24) na seguinte forma:
un(x, t) =
[
An cos
(npia
L
t
)
+Bn sin
(npia
L
t
)]
sin
(npi
L
x
)
= αn cos
[npia
L
(t+ δn)
]
sin
(npi
L
x
)
, (3.32)
45
onde fizemos 
An = αn cos
(npia
L
δn
)
Bn = −αn sin
(npia
L
δn
) , (3.33)
de sorte que
αn =
(
A2n +B
2
n
) 1
2 e tan
(npia
L
δn
)
= −Bn
An
.
De (3.32) nota-se que cada ponto x = x0 da corda vibrante realiza movimento harmoˆnico,
isto e´:
un(x0, t) = αn cos
[npia
L
(t+ δn)
]
sin
(npi
L
x0
)
, (3.34)
cuja amplitude e´:
an = αn sin
(npi
L
x0
)
. (3.35)
Existem, no entanto, valores particulares de x para os quais a amplitude e´ nula, ou seja,
pontos que na˜o oscilam, isto e´:
sin
(npix
L
)
= 0 = sin
(mpi
2
)
∴ x = mL
n
, m = 1, 2, . . . , (n− 2) . (3.36)
A existeˆncia destes pontos imo´veis (pois a amplitude an e´ nula), chamados no´s, da´
origem a um tipo especial de ondas chamadas estaciona´rias.
O perfil da corda vibrante em qualquer instante t e´ dado, para a n–e´sima auto-func¸a˜o
un(x, t), pela expressa˜o:
un(x, t) = Cn(t) sin
(npix
L
)
, (3.37)
onde
Cn(t) = an cos [ωn (t+ δn)] , com ωn =
npia
L
=
npi
L
√
T
ρ
. (3.38)
As vibrac¸o˜es (oscilac¸o˜es) aqui estudadas sa˜o as mesmas que ocorrem nas cordas dos
instrumentos musicais, cujo estudo detalhado implica na presenc¸a de forc¸as externas
na˜o nulas (f(x, t) "= 0).
Soluc¸o˜es da forma (3.32) sa˜o conhecidas como harmoˆnicas e os auto-valores√
λn a =
npia
L
= ωn
sa˜o conhecidos como frequ¨eˆncias pro´prias da corda vibrante. Se n = 1,
ω1 =
pia
L
=
pi
L
√
T
ρ
e´ a frequ¨eˆncia fundamental.
46
3.2 Problemas
Formulac¸a˜o Matema´tica
1. A extremidade superior de uma haste ela´stica e homogeˆnea, de comprimento
igual a l, esta´ rigidamente presa ao teto de um elevador, de sorte que seu eixo coin-
cide com a vertical local. Suponha que o elevador esteja em queda livre e ao atingir
a velocidade v0, seja bruscamente freado (parando instantaneamente). Formule
matematicamente o problema proposto para as pequenas oscilac¸o˜es longitudinais
da haste.
2. Uma corda vibrante l, esta´ imersa em um meio que lhe oferece uma resisteˆncia
ao deslocamento, oscilac¸o˜es transversais, proporcional a` sua velocidade. Formule
matematicamente o problema proposto, supondo que suas extremidades esta˜o:
a) rigidamente fixas;
b) livres, mas se movem por leis conhecidas;
c) livres;
d) elasticamente presas a molas, isto e´, cada extremidade experimenta uma forc¸a
proporcional ao seu pro´prio deslocamento.
3. Uma corda vibrante pesada, presa verticalmente por uma de suas extremidades,
oscila nas vizinhanc¸as de sua posic¸a˜o de repouso (em um plano fixo). Formule
matematicamente o problema, admitindo que seu extremo superior (x = 0) esta´
rigidamente fixo e que o inferior esta´ livre.
4. Mesmo enunciado do problema anterior, agora pore´m, a corda gira em torno
da posic¸a˜o vertical com velocidade angular constante ω.
5. Por uma haste homogeˆnea e uniforme de comprimento l e de resisteˆncia ele´trica
pequena (R, 1), imersa em um campo magne´tico H, perpendicular ao eixo x, da
haste, passa uma corrente ele´trica I(t). Identifique o tipo de oscilac¸o˜es (pequenas)
e formule matematicamente o problema admitindo que as extremidades da haste
esta˜o fixas.
6. Duas hastes semi-infinitas, homogeˆneas e ela´sticas, de mesma sec¸a˜o reta S = cte
sa˜o soldadas para compor uma reta infinita. Sejam ρ1, E1 e ρ2, E2 as respectivas
densidades e mo´dulos de Young. Formule matematicamente o problema para
pequenas oscilac¸o˜es longitudinais.
7. Uma corda vibrante homogeˆnea, de comprimento l, possui ambas as extremi-
dades rigidamente fixas. No ponto x = x0 da corda fixou-se uma massa pontual
m0. Formule matematicamente o problema para pequenas oscilac¸o˜es transversais
da corda.
8. Uma corda homogeˆnea e infinita esta´ sob a ac¸a˜o de uma forc¸a F (t) cujo ponto
de aplicac¸a˜o se desloca com velocidade v0 = cte ao longo da corda. Formule
matematicamente o problema em questa˜o se no instante t = 0 a forc¸a estava
aplicada no ponto x = x0.
47
9. Deduza a equac¸a˜o da tensa˜o ele´trica v(x, t) – ou da corrente ele´trica I(x, t) –
em um cabo condutor, de pequeno diaˆmetro, de uma rede de transmissa˜o ele´trica.
Sendo o cabo um condutor real, admita que as grandezas resisteˆncia ele´trica R,
indutaˆncia L, capacitaˆncia C e constante de fuga de carga G, sejam dadas (me-
didas) por unidade de comprimento.
10. Formule matematicamente o problema anterior supondo:
a) uma extremidade do cabo (x = 0) aterrada por meio de uma bobina pontual
de indutaˆncia L(1)0 ;
b) a outra extremidade ligada a uma fem E(t) por meio de uma bobina pontual
L(2)0 .
11. Idem, idem, se uma extremidade (x = 0) for aterrada por meio de uma
resisteˆncia pontual R0 e a outra (x = l) for aterrada por meio de um capacitor de
capacitaˆncia C0.
12. Deduza a equac¸a˜o da difusa˜o em um meio que se desloca com uma velocidade
v(x) na direc¸a˜o do eixo–x, supondo que as superf´ıcies de mesma concentrac¸a˜o
formam planos, em cada momento, perpendiculares ao eixo–x.
13. Formule matematicamente o problema do aquecimento de uma haste semi-
infinita, uma extremidade da qual se queima e a frente de combusta˜o se propaga
com velocidade v0 e possui temperatura igual a ϕ(t).
14. Formule matematicamente o problema do resfriamento de um anel delgado,
na superf´ıcie do qual ocorre troca convectiva de calor com o meio envolvente,
segundo a lei de Newton. Despreze a variac¸a˜o de temperatura na sec¸a˜o reta do
anel e suponha que o meio ambiente local possua temperatura igual a u0.
48
3.3 A Esseˆncia do Me´todo de Separac¸a˜o de Varia´veis (Me´todo
de Fourier)
Os problemas t´ıpicos, cuja soluc¸a˜o envolve o me´todo de Fourier, sa˜o os problemas de
valores de contorno definidos em domı´nios limitados do espac¸o. No entanto, o tempo pode
estar presente na EDP e consequ¨entemente na func¸a˜o procurada, como e´ o caso das equac¸o˜es
hiperbo´licas e parabo´licas. Este fato nos leva a separar inicialmente as varia´veis espaciais
(ponto r) e temporal (instante t). A separac¸a˜o de varia´veis espaciais exige a escolha pre´via
do sistema de coordenadas mais adequado a` descric¸a˜o do fenoˆmeno f´ısico em estudo.
Vamos enta˜o separar espac¸o e tempo em problemas progressivamente mais complexos. Ini-
ciaremos estudando em paralelo as equac¸o˜es hiperbo´licas e parabo´licas associadas a condic¸o˜es
complementares simples.
I - Problemas Homogeˆneos
Aqui, tanto as equac¸o˜es diferenciais quanto as condic¸o˜es complementares sa˜o homogeˆneas.
I.1 – O Problema de Sturm-Liouville
Encontrar a soluc¸a˜o u(r, t), para t > 0 e r ∈ V , volume delimitado por S, superf´ıcie
fechada, seccionalmente cont´ınua, do evento f´ısico descrito pela seguinte equac¸a˜o diferencial:
∇ · [k(r)∇u(r, t)]− q(r)u(r, t) =
{
ρ(r)utt(r, t)
ρ(r)ut(r, t)
(3.39)
e com a condic¸a˜o de contorno (
γ1(r)
∂u
∂n
+ γ2(r)u
)∣∣∣∣S = 0 (3.40)
e com as condic¸o˜es iniciais {
u(r, 0) = ϕ(r)
ut(r, 0) = ψ(r)
(3.41)
para a eq. hiperbo´lica, e
u(r, 0) = ϕ(r) (3.42)
para a eq. parabo´lica.
Vamos introduzir a seguinte representac¸a˜o:
L ≡∇ · [k(r)∇ . . .]− q(r) . . . , (3.43)
onde L e´ um operador diferencial linear, de sorte que as equac¸o˜es propostas tera˜o as formas:
L (u) =
{
ρutt
ρut
(3.44)
Como a equac¸a˜o diferencial (3.43) e´ linear, vale o princ´ıpio da superposic¸a˜o (combinac¸a˜o
linear de todas as soluc¸o˜es poss´ıveis), isto e´, se u1(r, t), u2(r, t), . . . , un(r, t) forem soluc¸o˜es
49
do problema proposto (3.39)–(3.40), enta˜o
u(r, t) =
n∑
l=1
Cl ul(r, t) (3.45)
tambe´m o sera´. Exigiremos que (3.44) satisfac¸a tambe´m a`s condic¸o˜es iniciais (3.41).
Procuraremos enta˜o a soluc¸a˜o do problema proposto atrave´s da superposic¸a˜o das soluc¸o˜es
na˜o-triviais da equac¸a˜o (3.39) e que satisfac¸am a`s condic¸o˜es de contorno (3.40) na classe de
func¸o˜es do tipo:
u(r, t) = R(r)T (t) , (3.46)
onde R(r) deve ser cont´ınua em V e seccionalmente cont´ınua sobre S e T (t) deve ser cont´ınua
em 0 ≤ t ≤ ∞. Logo, substituindo,
L [R(r)T (t)] =
{
ρ(r)R(r)T ′′(t)
ρ(r)R(r)T ′(t)
. (3.47)
Dividindo (3.46) por ρ(r)R(r)T (t) (ou ρ rT ):
L [R]
ρR
=
T ′′
T
(3.48)
(ou T ′/T para a equac¸a˜o parabo´lica) Para que esta igualdade seja uma identidade, isto e´,
para que (3.45) satisfac¸a (3.39), e´ necessa´rio e suficiente que ambas as frac¸o˜es L [R] /ρR e
T ′′/T (ou T ′/T ) sejam iguais a uma mesma constante. Logo:
L [R]
ρR
= −λ = T
′′
T
(
ou
T ′
T
)
. (3.49)
Consequ¨entemente sa˜o satisfeitas as identidades:
L [R] + λρR ≡ 0 e T ′′ + λT ≡ 0 (ou T ′ + λT ≡ 0) . (3.50)
Assim, as func¸o˜es R = R(r) e T = T (t) so´ podera˜o ser escolhidas dentre aquelas que
forem soluc¸o˜es na˜o-triviais das equac¸o˜es diferenciais ordina´rias
T ′′(t) + λT (t) = 0 (ou T ′(t) + λT (t) = 0) (3.51)
e
L [R] + λρR = 0 , (3.52)
onde R(r) deve satisfazer a (
γ1
∂R
∂n
+ γ2R
)
S
= 0 . (3.53)
O problema (3.51)–(3.52) e´ conhecido como o problema de Sturm-Liouville. Ele so´ possui
soluc¸o˜es na˜o-triviais para determinados valores da constante de separac¸a˜o λ.
Aqueles valores de λ, para os quais o problema (3.51)–(3.52) possui soluc¸a˜o na˜o-
trivial se chamam auto-valores e as func¸o˜es R(r) a eles correspondentes, isto e´,
que sa˜o soluc¸o˜es na˜o-triviais de (3.51), sa˜o chamadas auto-func¸o˜es do problema
de Sturm-Liouville (3.51)–(3.52).
50
Vamos supor, daqui em diante, que os coeficientes k(r), q(r) e ρ(r) sa˜o cont´ınuos em V
e sobre S e ainda, que K(r) > 0, ρ(r) ≥ 0 (mas ρ(r) "= 0) e q(r) ≥ 0 em V e sobre S, e ainda
que: γ1(r) ≥ 0, γ2(r) ≥ 0 sobre S e γ21 + γ22 "= 0.
As auto-func¸o˜es Rn(r) associadas aos auto-valores correspondentes λn do problema de
Sturm-Loiuville, possuem uma se´rie de propriedades, dentre as quais formularemos e discu-
tiremos algumas. As fo´rmulas expl´ıcitas de Rn(r) dependem da equac¸a˜o diferencial a que
satisfazem e do sistema de coordenadas escolhido.
I.2 – Propriedades dos Auto-Valores e das Auto-Func¸o˜es do Problema de Sturm-
Liouville
i) Existe um conjunto infinito de auto-valores {λn}, (n = 1, 2, 3, . . .) e tal que
λ1 < λ2 < λ3 < . . . < λn < . . . (3.54)
e a cada um deles corresponde uma auto-func¸a˜o
R1(r), R2(r), R3(r), . . . , Rn(r), . . . (3.55)
e que representam soluc¸o˜es na˜o-triviais do problema de Sturm-Liouville. A demons-
trac¸a˜o desta propriedade foge do escopo deste curso.
ii) Teorema da Expansa˜o de Steklov
Toda func¸a˜o f(r) que possua derivadas parciais de 1 e 2 ordens seccional-
mente cont´ınuas em V e sobre S, pode ser expandida em se´rie de Fourier das
auto-func¸o˜es (e auto-valores) do problema de Sturm-Liouville (3.51)–(3.52).
Tal se´rie e´ absoluta e uniformemente convergente em V e sobre S.
Novamente, no´s declinaremos da demonstrac¸a˜o desta propriedade. No entanto, a se´rie
de Fourier, composta por func¸o˜es do conjunto ortogonal {Rn(r)}, sera´
f(r) =
∑
n
CnRn(r) , (3.56)
na qual os coeficientes Cn sa˜o coeficientes de Fourier da expansa˜o, como sera´ mostrado.
iii) As auto-func¸o˜es Rk(r) e Rl(r) correspondem a diferentes auto-valores λk e λl, (k "= l),
respectivamente, sa˜o ortogonais em V , com peso ρ(r), isto e´:
˚
V
ρ(R)Rk(P )Rl(P ) dτP = 0 , ∀ k "= l . (3.57)
Demonstrac¸a˜o
Como por definic¸a˜o de auto-valores e de auto-func¸o˜es, temos as identidades:{
L [Rk] + λkρRk ≡ 0
L [Rl] + λlρRl ≡ 0
L ≡∇ · (k∇ . . .)− q . . . (3.58)
51
Multipliquemos em (3.57) a 1 identidade por Rl e a 2 por (−Rk) e somemos:
RlL [Rk]−RkL [Rl] + (λk − λl) ρRkRl ≡ 0 . (3.59)
Substituindo L por seu valor, vem:
Rl [∇ · (k∇Rk)− qRk]−Rk [∇ · (k∇Rl)− qRl] + (λk − λl) ρRkRl ≡ 0 ,
ou
Rl∇ · (k∇Rk)−Rk∇ · (k∇Rl) + (λk − λl) ρRkRl ≡ 0 . (3.60)
Notando que ∇ · [w (p∇v)] = (∇w) · (p∇v) + w∇ · [p∇v], vem:
w∇ · [p∇v] =∇ · [w (p∇v)]− (∇w) · (p∇v) . (3.61)
Aplicando (3.60) a (3.59) e cancelando os termos semelhantes, vem;
∇{Rl (k∇Rk)−Rk (k∇Rl)}+ (λk − λl) ρRkRl ≡ 0 . (3.62)
Integrando (3.61) por todo o volume V , vem:
˚
V
∇{Rl (k∇Rk)−Rk (k∇Rl)}dτ + (λk − λl)
˚
V
ρRkRl dτ ≡ 0 ,
onde, aplicando o Teorema de Gauss-Ostrogradskii no 1 termo, tem-se:
‹
{kRl (∇Rk)− kRk (∇Rl)} · nˆ dS = (λl − λk)
˚
V
ρRkRl dv , (3.63)
ou ‹ {
kRl
∂Rk
∂n
− kRk ∂Rl∂n
}
dS = (λl − λk)
˚
V
ρRkRl dv . (3.64)
A integrac¸a˜o do 1 membro se realiza sobre a superf´ıcie S onde as soluc¸o˜es Rk e Rl
satisfazem a` seguinte condic¸a˜o:(
γ1
∂Rα
∂n
+ γ2Rα
)
S
= 0 . (3.65)
Analisando (3.63) e(3.64):
a) Se o problema for o de Dirichlet:
Rα|S = 0 , enta˜o Rl = Rk = 0 e
‹
S
{. . .} dS = 0
b) Se o problema for o de Neumann:
∂Rα
∂n
∣∣∣∣S = 0 , enta˜o
(
∂Rl
∂n
)
S
=
(
∂Rk
∂n
)
S
= 0 e
‹
S
{. . .} dS = 0
52
c) Se o problema for o misto:(
γ1
∂Rα
∂n
+ γ2Rα
)
S
= 0 =⇒
(
∂Rα
∂n
)
S
= −
(
γ2
γ1
Rα
)
S
e
‹
S
{
kRl
(
−γ2
γ1
Rk
)
− kRk
(
−γ2
γ1
Rl
)}
dS = (λl − λk)
˚
V
ρRkRl dv = 0 ,
ou explicitamente
(λl − λk)
˚
V
ρRkRl dv = 0 (3.66)
para todos os treˆs tipos de problemas de valores de contorno: Dirichlet, Neumann
e misto.
Sendo λK "= λl por hipo´tese, resta que a integral sobre V
˚
V
ρRkRl dv = 0
e as auto-func¸o˜es Rk e Rl sa˜o ortogonais com peso ρ.
Se, por outro lado, k = l, a integral
˚
V
ρRkRk dv = ‖Rk‖2 (3.67)
e´ a norma de Rk com peso ρ (veja 3.56).
iv) Todos os auto-valores do problema de Sturm-Liouville sa˜o reais.
Demonstrac¸a˜o: Suponhamos que λ = α + iβ representa o auto-valor correspondente a`
auto-func¸a˜o Φ = Φ1 + iΦ2. Enta˜o, a identidade abaixo deve ser satisfeita:
L [Φ] + λρΦ = L [Φ1 + iΦ2] + (α+ iβ) ρ (Φ1 + iΦ2) ≡ 0 . (3.68)
Consequ¨entemente, pode-se escrever
L [Φ1] + ρ (αΦ1 − βΦ2) + i{L [Φ2] + ρ (αΦ2 + βΦ1)} ≡ 0 ,
o que leva a {
L [Φ1] + ρ (αΦ1 − βΦ2) ≡ 0
i{L [Φ2] + ρ (αΦ2 + βΦ1)} ≡ 0
.
Subtraindo da 1 a 2 identidade,
L [Φ1 − iΦ2] + (α− iβ) ρ (Φ1 − iΦ2) ≡ 0 , (3.69)
53
isto e´, o nu´mero complexo λ∗ = α−iβ e a func¸a˜o complexa Φ∗ = Φ1−iΦ2 sa˜o auto-valor
e correspondentemente auto-func¸a˜o do mesmo problema. Enta˜o, pela propriedade (ii),
teremos:
0 =
˚
V
ρ(Φ)(Φ∗) dV
=
˚
V
ρ (Φ1 + iΦ2) (Φ1 − iΦ2) dV =
˚
V
ρ
(
Φ21 + Φ
2
2
)
dV = 0 , (3.70)
o que na˜o e´ poss´ıvel para Φ1 e Φ2 na˜o-triviais. Logo, os autovalores λ = α+iβ propostos
na˜o podem existir.
v) Todos os autovalores do problema de Sturm-Liouville sa˜o na˜o-negativos, ou seja, λm > 0.
Demonstrac¸a˜o: Sendo Rl(r) soluc¸a˜o de (3.52)–(3.53), enta˜o
L [Rl] + λl ρRl ≡ 0 ,
que multiplicada por Rk da´
RkL [Rl] + λl ρRkRl ≡ 0 . (3.71)
Integrando (3.71) em V , temos:
˚
V
RkL [Rl] dτ + λl
˚
V
ρRkRl dτ = 0 .
Logo,
λl =
[Rk,L (Rl)]˚
V
ρRkRl dτ
,
onde
[Rk,L (Rl)] = −
˚
V
RkL [Rl] dτ
= −
˚
V
Rk{∇ · (k∇Rl)− qRl} dτ
= −
˚
V
Rk∇ · (k∇Rl) dτ +
˚
V
qRkRl dτ
= −
˚
V
{∇ · [Rk (k∇Rk)]− (∇Rk) · (k∇Rl)} dτ +
˚
V
qRkRl dτ
= −
‹
S
Rk (k∇Rl) · n dS +
˚
V
(∇Rk) · (k∇Rl) dτ +
˚
V
qRkRl dτ .
54
A integral de superf´ıcie sera´ nula para os problemas de Dirichlet, pois (Rα)S = 0, e de
Neumann, pois (
∂Rα
∂n
)
S
= 0 .
Para o problema mixto, onde (
γ1
∂Rα
∂n
+ γ2Rα
)
S
= 0 ,
ela pode ser escrita substituindo-se r ·∇Rn = ∂Rα∂n por
(
∂Rα
∂n
)
S =
(
−γ1γ2Rα
)
S
, ou seja:
−
‹
S
[
Rk
(
k
∂Rl
∂n
)]
dS =
‹
S
(
γ1
γ2
kRkRl
)
dS ,
onde γ1 ≥ 0, γ2 ≥ 0, k ≥ 0, por hipo´tese. Continuando,
[Rk,L [Rl]] =
˚
V
(∇Rk) · (k∇Rl) dτ +
˚
V
qRkRl dτ +
‹
S
(
γ1
γ2
kRkRl
)
dS =
[Rl,L [Rk]] = −
˚
V
[RlL [Rk]] dτ . (3.72)
Se fizermos k = l, isto e´: Rk = Rl, vem:
[Rl,L [Rl]] =
˚
V
k (∇Rl) · (∇Rl) dτ +
˚
V
qR2l dτ +
‹
S
(
γ1
γ2
kR2l
)
dS ≥ 0 , (3.73)
pois k > 0, q ≥ 0, γ1 ≥ 0, γ2 ≥ 0. Finalmente,
λl =
[Rl,L [Rl]]
‖Rl‖2 ≥ 0 . (3.74)
Com estas propriedades das auto-func¸o˜es Rl(r), podemos realizar a expansa˜o em se´rie
de Fourier pelo sistema de func¸o˜es (auto-func¸o˜es) ortogonais {Rk} como hav´ıamos sugerido,
determinando inclusive seus coeficientes. Vejamos na pra´tica: Seja f(r) uma func¸a˜o de r
definida em V e sobre S. Pelo teorema de Steklov, esta func¸a˜o pode ser expandida em uma
se´rie de Fourier pelo conjunto de func¸o˜es (auto-func¸o˜es) ortogonais Rl, com peso ρ(r), ou
seja:
f(r) =
∞∑
l=1
ClRl(r) , (3.75)
onde Cl sa˜o os coeficientes de Fourier. Para determinar Cl, vamos utilizar os conceitos de
norma dos elementos do sistema ortogonal e a pro´pria ortogonalidade do sistema.
˚
V
ρ(P )f(P )Rn(P ) dτ =
˚
V
∞∑
l=1
ρ(P )ClRl(P )Rk(P ) dτ .
55
Devido a` convergeˆncia uniforme da se´rie, escrevemos
˚
V
ρ(P )f(P )Rn(P ) dτ =
∞∑
l=1
Cl
˚
V
ρ(P )Rl(P )Rk(P ) dτ =
∞∑
l=1
Cl‖Rn‖2δln = Cn‖Rn‖2 ,
e
Cn =
1
‖Rn‖2
˚
V
ρ(P )f(P )Rn(P ) dτ (3.76)
A Separac¸a˜o de Varia´veis
Voltemos ao problema da separac¸a˜o de varia´veis. Depois de resolver o problema de Sturm-
Liouville (decomposic¸a˜o de R(r) em um sistema ortogonal de func¸o˜es Rl(r), que sa˜o, cada
uma delas, soluc¸o˜es particulares de (3.52)-(3.53)), devemos resolver (3.51), que devera´ ter
como soluc¸o˜es particulares, auto-func¸o˜es correspondentes aos mesmos auto-valores que R(r)
no problema de Sturm-Liouville, isto e´,
T ′′(t) + λT (t) = 0 (ou T ′(t) + λT (t) = 0) ,
cuja soluc¸a˜o e´ do tipo1
Tn(t) = Dn cos
√
λn t+ En sin
√
λn t (3.77)
Comparando com Rk(r) e (3.77), as soluc¸o˜es particulares da equac¸a˜o (3.39) (e que satisfazem
somente a`s condic¸o˜es na fronteira (3.40)), teremos2:
un(r, t) = Rn(r)Tn(t) =
[
Dn cos
√
λn t+ En sin
√
λn t
]
Rn(r) . (3.78)
A func¸a˜o (3.78) pode ser escrita na forma
un(r, t) = Bn sin
(√
λn t+Θn
)
Rn(r) , (3.79)
onde
Bn =
√
D2n + E
2
n e Θn = arctan
Dn
En
(3.80)
Se o problema em estudo, descrito por equac¸o˜es hiperbo´licas, for oscilac¸o˜es, enta˜o mo-
vimentos descritos pelas func¸o˜es (3.79) sa˜o conhecidos por oscilac¸o˜es pro´prias ou por ondas
estaciona´rias. Os nu´meros
√
λ1,
√
λ2, . . . ,
√
λn, . . . sa˜o conhecidos por frequ¨eˆncias pro´prias
do corpo oscilante. As frequ¨eˆncias das oscilac¸o˜es pro´prias na˜o dependem das condic¸o˜es inici-
ais. Isto significa fisicamente que elas independem do modo pelo qual foram excitadas. Elas,
portanto, caracterizam as propriedades do pro´prio corpo oscilante.
Tomando-se a soma (superposic¸a˜o) destas soluc¸o˜es particulares para todas as auto-func¸o˜es,
teremos a soluc¸a˜o geral do problema, a menos das constantes Dn e En, que sera˜o calculadas
pela imposic¸a˜o de que
u(r, t) =
∞∑
n=1
{Dn cos
√
λn t+ En sin
√
λn t}Rn(r) (3.81)
1ou Tn(t) = Dne
−λnt – equac¸a˜o diferencial parabo´lica.
2ou un(r, t) = Dne
−λntRn(r) – equac¸a˜o diferencial parabo´lica.
56
satisfac¸a a`s condic¸o˜es iniciais (3.41), isto e´:
u(r, 0) =
∞∑
n=1
DnRn(r) = ϕ(r) ∴ Dn =
1
‖Rn‖2
˚
V
ρϕRn dτ (3.82)
ut(r, 0) =
∞∑
n=1
√
λnEnRn(r) = ψ(r) ∴ En =
1√
λn ‖Rn‖2
˚
V
ρψRn dτ (3.83)
Assim, em (3.81)-(3.83) a soluc¸a˜o do problema (3.39)-(3.42) fica completamente determinada.
II - Problemas Na˜o-Homogeˆneos
A soluc¸a˜o do problema homogeˆneo I.1 atrave´s dos auto-valores e das auto-func¸o˜es corres-
pondentes serve agora como ponto de partida para a soluc¸a˜o de problemas na˜o-homogeˆneos
ou na EDP e/ou nas condic¸o˜es complementares. Examinemos alguns casos.
II.1 – Equac¸a˜o Na˜o-Homogeˆnea e Condic¸o˜es Complementares Homogeˆneas
Solicita-se encontrar a soluc¸a˜o do seguinte problema:
L [u] + f(r, t) = ρutt (ou ρut) (3.84)
u(r, t) = 0 , ut(r, t) = 0 (3.85)
(
γ1
∂u
∂n
+ γ2u
)
S
= 0 (3.86)
A soluc¸a˜o procurada, segundo o teorema de Steklov, pode ser representada na forma de uma
se´rie de Fourier das auto-func¸o˜es {Rn(r)} correspondentes respectivamente aos auto-valores
{λn} do problema (homogeˆneo) de Sturm-Liouville, isto e´:
u(r, t) =
∞∑
n=1
Tn(t)Rn(r) , (3.87)
onde
Tn(t) =
1
‖Rn‖2
˚
V
ρ(P )u(P, t)Rn(P ) dτP (3.88)
sa˜o os coeficientes de Fourier da expansa˜o.
Substituindo em (3.88) o valor de ρRn(r) obtido da equac¸a˜o homogeˆnea do problema de
Sturm-Liouville, isto e´,
L [Rn] + λnρRn = 0 ∴ ρRn = − 1
λn
L [Rn] , (3.89)
57
temos
Tn(t) = − 1
λn
1
‖Rn‖2
˚
V
uL [Rn] dτ =
[u,L [Rn]]
λn‖Rn‖2 =
[Rn,L [u]]
λn‖Rn‖2 = −
1
λn
1
‖Rn‖2
˚
V
RnL [u] dτP . (3.90)
De (3.84), obtemos L [u] = ρutt − f(r, t). Logo,
Tn(t) = − 1
λn
1
‖Rn‖2
˚
V
[ρutt − f(r, t)] dτP ,
o que implica em
Tn(t) = − 1
λn
1
‖Rn‖2
˚
V
ρ(P )utt(P, t)Rn(P ) dτP +
1
λn
1
‖Rn‖2
˚
V
f(r, t)Rn(P ) dτP . (3.91)
Comparando a primeira integral de (3.91) com (3.88), notamos que ela e´ igual a −T ′′n (t)/λn e
comparando ainda a segunda integral com a expansa˜o de f(r, t) em se´rie de Fourier (segundo
o teorema de Steklov), temos:
fn(t) =
1
‖Rn‖2
˚
V
f(P, t)Rn(P ) dτP . (3.92)
Enta˜o, a expressa˜o (3.91) fica igual a` identidade
Tn(t) = −T
′′
n
λn
+
fn(t)
λn
. (3.93)
Consequ¨entemente, Tn(t) e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o em Tn, isto e´:
T ′′n (t) + λnTn(t) = fn(t)
(
ou T ′n(t) + λnTn(t) = fn(t)
)
, (3.94)
com as seguintes condic¸o˜es complementares:
Tn(0) =
1
‖Rn‖2
˚
V
ρ(P )u(P, 0)Rn(P ) dτP = 0 , (3.95)
T ′n(0) =
1
‖Rn‖2
˚
V
ρ(P )ut(P, 0)Rn(P ) dτP = 0 . (3.96)
A soluc¸a˜o de (3.94)-(3.96) e´:
Tn(t) =
1√
λn
ˆ t
0
sin
√
λn(t− t′)fn(t′) dt′ . (3.97)
Substituindo (3.97) em (3.87) obte´m-se a soluc¸a˜o procurada na forma de se´rie de Fourier pelo
sistema ortogonal de auto-func¸o˜es, isto e´:
u(r, t) =
∞∑
n=1
[
1√
λn
ˆ t
0
sin
√
λn(t− t′)fn(t′) dt′
]
Rn(r) . (3.98)
58
II.2 – Equac¸a˜o Na˜o-Homogeˆnea, Condic¸o˜es Iniciais Na˜o-Homogeˆneas e Condic¸o˜es
de Contorno Homogeˆneas
Devemos encontrar a soluc¸a˜o do seguinte problema:
L [u] + f(r, t) = ρutt(r, t) (ou ρ(r)ut(r, t)) (3.99)
u(r, t) = ϕ(r) (3.100)
ut(r, t) = ψ(r) (3.101)(
γ1
∂u
∂n
+ γ2u
)
S
= 0 (3.102)
Vamos procurar a soluc¸a˜o na forma de soma de func¸o˜es
u(r, t) = v(r, t) + w(r, t) , (3.103)
onde cada uma delas em separado representa a soluc¸a˜o de um certo problema, ou seja:
a) a func¸a˜o v(r, t) representa a soluc¸a˜o de um problema tipo I.1, isto e´:
L [v] = ρvtt (ou ρvt)
v(r, 0) = ϕ(r)
vt(r, 0) = ψ(r)(
γ1
∂v
∂n
+ γ2v
)
S
= 0
(3.104)
b) A func¸a˜o w(r, t) representa a soluc¸a˜o de um problema tipo II.1, isto e´:
L [w] + f(r, t) = ρwtt (ou ρwt)
w(r, 0) = 0
wt(r, 0) = 0(
γ1
∂w
∂n
+ γ2w
)
S
= 0
(3.105)
Observe que se somarmos os termos correspondentes em (3.104) e (3.105), obteremos o pro-
blema proposto (3.99)-(3.102)
II.3 – Equac¸a˜o Heterogeˆnea e Condic¸o˜es Complementares
Heterogeˆneas
Devemos encontrar a soluc¸a˜o na˜o-trivial do seguinte problema:
L [u] + f(r, t) = ρ(r)utt(r, t) (ou ρut)
u(r, 0) = ϕ(r)
ut(r, 0) = ψ(r)(
γ1
∂u
∂n
+ γ2u
)
S
= β(r, t)
(3.106)
59
Para encontrar a soluc¸a˜o de (3.106), vamos tentar o seguinte artif´ıcio: ao inve´s de procurar
uma soluc¸a˜o geral da EDP, vamos procurar uma func¸a˜o seccionalmente diferencia´vel que
satisfac¸a a` condic¸a˜o de contorno no problema, uma vez que γ1(r), γ2(r) e β(r, t) sa˜o dadas.
Seja v1(r, t) esta func¸a˜o. Enta˜o,(
γ1(r)
∂v1
∂n
(r, t) + γ2(r)v1(r, t)
)
S
≡ β(r, t) ,
isto e´, v1(r, t) e´ soluc¸a˜o particular da condic¸a˜o de contorno!!
Substituindo agora
u(r, t) = w(r, t) + v1(r, t) (3.107)
em (3.106), obteremos o seguinte problema na func¸a˜o w(r, t):
L [w] + f1(r, t) = ρwtt (ou ρut)
w(r, 0) = ϕ1(r) (=⇒ ϕ1 = ϕ(r)− v1(r, 0))
wt(r, 0) = ψ1(r) (=⇒ ψ1 = ψ(r)− v1t(r, 0))(
γ1
∂w
∂n
+ γ2w
)
S
= 0 (=⇒ f1(r, t) = f(r, t) +L [v1]− ρv1tt)
(3.108)
O problema (3.108) recai no problema ja´ estudado em II.2. A func¸a˜o v1(r, t) ou e´ adivinhada
ou enta˜o pode ser determinada pelo me´todo de Duhamel, do qual na˜o trataremos aqui.
60
Etapas Seguidas na Soluc¸a˜o do Problema II-1
1 - Problema Dado: Encontrar a soluc¸a˜o de:
L [u(r, t)] + f(r, t) =
{
ρ(r)utt(r, t)
ρ(r)ut(r, t)
u(r, t) = 0 , ut(r, t) = 0(
γ1(r)
∂u
∂n
(r, t) + γ2u(r, t)
)
S
= 0
2 - Problema Auxiliar: Determinar as soluc¸o˜es na˜o triviais do problema homogeˆneo
L [R(r)] + λρ(r)R(r) = 0(
γ1(r)
∂R(r)
∂n
+ γ2(r)R(r)
)
S
= 0
obtido do problema dado pela separac¸a˜o de varia´veis.
3 - Novamente o Problema Dado: Uso do teorema de Steklov para expandir u(r, t)
em se´rie de Fourier pelo sistema de auto-func¸o˜es obtido no problema auxiliar (2 etapa)
u(r, t) =
∑
Tn(t)Rn(r)
Tn(t) =
1
‖Rn‖2
˚
V
ρ(P )u(P, t)Rn(P ) dτP
4 - Etapa Alge´brica:
i) Substituir em Tn(t) da etapa 3:
ρ(r)Rn(r) = − 1
λn
L [Rn(r)]
ii) Uso das propriedades de simetria dos operadores (auto-adjuntos)
F [u,w] = F [w, u] = −
˚
V
uL [w] dτ = −
˚
V
wL [u] dτ
para obtenc¸a˜o de Tn(t) na forma
Tn(t) = − 1
λn‖Rn‖2
˚
V
RL [u] dτ
iii) Substituic¸a˜o de L [u] = ρutt − f(r, t) proveniente da equac¸a˜o dada na etapa 1.
61
5 - Problema Auxiliar II:
i) Determinac¸a˜o da equac¸a˜o diferencial ordina´ria e na˜o homogeˆnea em Tn(t), a partir
das indicac¸o˜es da 4 etapa:
T ′′n (t) + λnTn(t) = 0
Tn(0) = 0
T ′n(0) = 0
ii) Determinac¸a˜o da soluc¸a˜o deste problema auxiliar.
6 - Composic¸a˜o da Soluc¸a˜o:
i) Composic¸a˜o da soluc¸a˜o particular do problema dado para a n-e´sima constante de
separac¸a˜o usando as condic¸o˜es (para λn) dos problemas auxiliares 1 e 2.
ii) Uso do princ´ıpio de superposic¸a˜o para determinar a soluc¸a˜o geral do problema
dado.
62
3.4 Separac¸a˜o de Varia´veis Espaciais e Sistemas de Coordena-
das
Os problemas da F´ısica Matema´tica, via de regra, envolvem coordenadas espaciais e o tempo. Nos
problemas ate´ agora estudados, usando o me´todo da separac¸a˜o de varia´veis, as varia´veis espaciais foram
tratadas como pontos do domı´nio de definic¸a˜o da func¸a˜o desconhecida (e procurada) que descreve o
evento. Se tais pontos do domı´nio forem perfeitamente caracterizados por uma u´nica varia´vel (uma
dimensa˜o espacial) na˜o ha´ necessidade de maiores preocupac¸o˜es com a escolha de um sistema de
coordenadas que melhor se adeque na descric¸a˜o do evento. Em casos contra´rios, a escolha do sistema
de coordenadas adequado e´ fundamental na soluc¸a˜o do problema proposto. Tal escolha deve observar
a, pelo menos, dois crite´rios:
1. Os sistemas de coordenadas devem permitir a separac¸a˜o de varia´veis, se vamos procurar a soluc¸a˜o
do problema pelo me´todo de Fourier.
2. Os sistemas de coordenadas devem descrever bem as simetrias do problema e tambe´m as suas
fronteiras geome´tricas.
Existem atualmente catalogados pelo menos 14 sistemas de coordenadas separa´veis para a equac¸a˜o de
Laplace e 11 para a de Helmholtz, ambas tridimensionais.
A localizac¸a˜o da origem do sistema de coordenadas e´ outro ponto fundamental. Tal escolha deve ser
feita de modo que as simetrias sejam ma´ximas e de modo que a(s) fronteira(s) seja(m) coincidentes(s)
com superf´ıcie(s) gerada(s) pelo sistema de coordenadas quando fixamos uma de suas varia´veis, ou
seja, devemos escolher um sistema de coordenadas (ξ1, ξ2, ξ3) de sorte que ao se fixar por exemplo
ξ1 = cte = C, as varia´veis ξ2 e ξ3 geram uma superf´ıcie que coincida com uma das fronteiras do
problema proposto. Neste sentido, podemos exemplificar:
a) Sistema Cartesiano
Fixando-se x = C1, obte´m-se um plano yz que passa por C1; fixando-se y = C2, obte´m-se um
plano xz que passa por C2 e assim por diante.
b) Sistema Esfe´rico
Fixando-se r = R = cte, obte´m-se uma casca esfe´rica de raio R, em θ e ϕ. Fixando-se r = R e
θ = Θ (ou ϕ = Φ), obte´m-se um cone de geratriz g = R e base de raio ρ = R sinΘ (ou R sinΦ),
etc, etc.
c) Sistema Cil´ındrico
Fixando-se z = Z, obte´m-se um plano em ρ e ϕ, passando por z. Fixando-se ϕ = Φ, obte´m-se
um semiplano em ρ e z. Fixando-se ρ = P , obte´m-se uma superf´ıcie cil´ındrica (casca) nas
varia´veis ρ e ϕ.
A simetria acima aludida se refere a` independeˆncia da func¸a˜o que descreve o fenoˆmeno estudado
u(ξ1, ξ2, ξ3), de uma ou ate´ de duas varia´veis independentes do sistema de coordenadas escolhido. Por
exemplo, escolhamos o sistema esfe´rico. Enta˜o, u = u(r, θ,ϕ). Se u for independente de ϕ, teremos
simetria axial, se de θ e de ϕ, teremos simetria radial. A existeˆncia de simetrias no problema pode
diminuir o nu´mero de varia´veis independentes a serem usadas na sua soluc¸a˜o.
Assim, as simetrias devem ser exploradas na soluc¸a˜o dos problemas propostos, mediante a escolha
adequada do sistema de coordenadas a ser utilizado.
3.4.1 Separac¸a˜o de Varia´veis Espaciais
O procedimento e´ ana´logo ao ja´ visto para a separac¸a˜o do ponto r no espac¸o e tempo t. Vamos
portanto proceder a` separac¸a˜o de varia´veis da equac¸a˜o de Helmholtz, nos sistemas cartesiano, esfe´rico
e cil´ındrico.
63
a) Cartesiano
A equac¸a˜o de Helmholtz e´
∇2u(x, y, z) + k2u(x, y, z) = 0 , k2 = cte . (3.109)
Representemos u(x, y, z) atrave´s de um produto de func¸o˜es de uma u´nica varia´vel cada:
u(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z) . (3.110)
Substituindo (3.110) em (3.109) e dividindo, apo´s todas as operacionalizac¸o˜es, por XY Z, vem:
X ′′
X
+
Y ′′
Y
+
Z ′′
Z
+ k2 = 0 . (3.111)
Reordenando (3.111),
X ′′
X
= −Y
′′
Y
− Z
′′
Z
− k2 = −l2 = cte . (3.112)
Logo,
X ′′ + l2X = 0 (func¸a˜o em uma u´nica varia´vel: X) (3.113)
Agora,
Y ′′
Y
+
Z ′′
Z
+ k2 − l2 = 0 .
Logo,
Y ′′
Y
= −k2 + l2 − Z
′′
Z
= −m2
e
Y ′′ +m2Y = 0 . (3.114)
Finalmente,
Z ′′
Z
= −k2 + l2 +m2 = −n2 ,
de onde decorre que
Z ′′ + n2Z = 0 (3.115)
e
k2 = l2 +m2 + n2 . (3.116)
As equac¸o˜es (3.113), (3.114) e (3.115) sa˜o ordina´rias de 2 ordem, cada uma dependendo de
uma u´nica varia´vel dependente. Cada uma delas possui um conjunto infinito de auto-func¸o˜es
correspondentes aos auto-valores espec´ıficos de sua equac¸a˜o.
Uma soluc¸a˜o particular de (3.109) podera´ ser o produto das auto-func¸o˜es Xl(x), Ym(y) e Zn(z)
e que corresponde respectivamente aos autovalores l (de X(x)), m (de Y (y)) e n (de Z(z)), isto
e´:
ulmn(x, y, z) = almnXl(x)Ym(y)Zn(z) , (3.117)
onde l, m e n devem satisfazer a (3.116).
A soluc¸a˜o geral e´ obtida utilizando-se o princ´ıpio da superposic¸a˜o das soluc¸o˜es:
u(x, y, z) =
∑
l
∑
m
∑
n
ulmn(x, y, z) =
∑
l
∑
m
∑
n
almnXl(x)Ym(y)Zn(z) . (3.118)
O processo de separac¸a˜o de varia´veis que acabamos de ver pode ser generalizado se o fator k2
da equac¸a˜o de
Helmholtz for agora uma func¸a˜o que tenha a seguinte forma:
k2 = k2(x, y, z) = f(x) + g(y) + h(z) + k21 , (3.119)
64
onde k21 = cte. Realmente, introduzindo (3.119) em (3.109) e procedendo de maneira ana´loga
ao caso anterior, teremos:
∇2u(x, y, z) + [f(x) + g(y) + h(z) + k21]u(x, y, z) = 0 (3.120)
e daqui vem, fazendo-se u(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z),
X ′′
X
+
Y ′′
Y
+
Z ′′
Z
+ f(x) + g(y) + h(z) + k21 = 0 . (3.121)
Enta˜o,
X ′′
X
+ f(x) = −l2 = cte ∴ X ′′ + f(x)X + l2X = 0 . (3.122)
Agora,
Y ′′
Y
+ g(y) = −m2 = cte = l2 − k21 −
Z ′′
Z
− h(z) ,
de onde temos
Y ′′ + g(y)Y +m2Y = 0 (3.123)
e finalmente
Z ′′ + h(z)Z + n2Z = 0 , (3.124)
onde teremos
k21 = l
2 +m2 + n2 . (3.125)
E´ evidente que as soluc¸o˜es de (3.122)-(3.124) sera˜o diferentes daquelas encontradas para (3.113)-
(3.115). Uma vez encontradas, o processo de obtenc¸a˜o da soluc¸a˜o geral e´ ana´logo ao caso anterior.
Nota: se k2 for nulo, a equac¸a˜o de Helmholtz passara´ a ser a equac¸a˜o de Laplace.
b) Esfe´rico
O laplaciano em coordenadas esfe´ricas e´:
∇ ·∇ = ∇2 = 1
r2 sin θ
[
sin θ
∂
∂r
(
r2
∂
∂r
)
+
∂
∂θ
(
sin θ
∂
∂θ
)
+
1
sin θ
∂2
∂ϕ2
]
. (3.126)
Desse modo, a equac¸a˜o de Helmholtz em coordenadas esfe´ricas, u(r, θ,ϕ) = R(r)Θ(θ)Φ(ϕ), tem
a seguinte forma, apo´s a divisa˜o por R(r)Θ(θ)Φ(ϕ):
1
Rr2
d
dr
(
r2
dR
dr
)
+
1
Θ r2 sin θ
d
dθ
(
sin θ
dΘ
dθ
)
+
1
Φ r2 sin2 θ
d2Φ
dϕ2
= −k2 . (3.127)
Para realizar a separac¸a˜o das varia´veis r, θ e ϕ, fac¸amos uma pequena considerac¸a˜o que podera´
simplificar a nossa ana´lise futura. Na maioria dos problemas de F´ısica Matema´tica, a varia´vel ϕ
aparece como aˆngulo azimutal. Isto sugere soluc¸o˜es perio´dicas para Φ(ϕ) no lugar de soluc¸o˜es
exponenciais. Com este dado em mente, vamos iniciar a separac¸a˜o das varia´veis justamente
por Φ(ϕ), escolhendo −m2 como constante de separac¸a˜o. Multiplicando (3.127) por r2 sin θ e
escrevendo isoladamente (1/Φ) d2Φ/dϕ2, obteremos
1
Φ
d2Φ
dϕ2
= r2 sin2 θ
[
−k2 − 1
r2R
d
dr
(
r2
dR
dr
)
− 1
r2 sin θ
1
Θ
d
dθ
(
sin θ
dΘ
dθ
)]
= −m2 .
Daqui, obtemos
1
Φ
d2Φ
dϕ2
= −m2 ou d
2Φ
dϕ2
+m2Φ = 0 (3.128)
e ainda
1
r2R
d
dr
(
r2
dR
dr
)
+
1
Θ r2 sin θ
d
dθ
(
sin θ
dΘ
dθ
)
− m
2
r2 sin2 θ
= −k2 ,
65
que multiplicada por r2 e subsequ¨entemente reordenada, fornece:
1
R
d
dr
(
r2
dR
dr
)
+ r2k2 = − 1
Θ sin θ
d
dθ
(
sin θ
dΘ
dθ
)
+
m2
sin2 θ
= γ .
Enta˜o,
1
sin θ
d
dθ
(
sin θ
dΘ
dθ
)
− m
2
sin2 θ
Θ+ γΘ = 0 (3.129)
e
1
r2
d
dr
(
r2
dR
dr
)
+ k2R− γ
r2
R(r) = 0 (3.130)
As equac¸o˜es (3.128), (3.129) e (3.130) sa˜o ordina´rias de 2 ordem e assim separamos a equac¸a˜o
de Helmholtz no sistema esfe´rico.
Exerc´ıcio: Mostre que a equac¸a˜o de Helmholtz no sistema de coordenadas esfe´ricas continua
sendo separa´vel se, no lugar de k2 = cte, escrevermos
k2 = k2(r, θ,ϕ) = f(r) +
1
r2
g(θ) +
1
r2 sin θ
h(θ) + k21 .
c) Cil´ındrico
Utilizando a mesma abordagem usada para o sistema de coordenadas retangulares ou esfe´ricas,
podemos separar a equac¸a˜o de Helmholtz para o sistema de coordenadas cil´ındricas, onde temos:
1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ
∂u
∂ρ
)
+
1
ρ2
∂2u
∂ϕ2
+
∂2u
∂z2
+ k2u = 0 . (3.131)
Seja a func¸a˜o u(ρ,ϕ, z) procurada na forma
u(ρ,ϕ, z) = P (ρ)Φ(ϕ)Z(z) , (3.132)
que substitu´ıda em (3.131), fornece, apo´s a divisa˜o por (3.132),
1
ρP
d
dρ
(
ρ
dP
dρ
)
+
1
ρ2Φ
d2Φ
dϕ2
+
1
Z
d2Z
dz2
+ k2 = 0 (3.133)
Sejam:
1
Z
d2Z
dz2
= −β2 ∴ d
2Z
dz2
+ β2Z = 0 , (3.134)
1
Φ
d2Φ
dϕ2
= −m2 ∴ d
2Φ
dϕ2
+m2Φ = 0 (3.135)
e ainda
1
ρP
d
dρ
(
ρ
dP
dρ
)
+
(
γ2ρ2 −m2)P = 0 , (3.136)
onde γ2 = k2 − β2. Novamente, obtivemos a separac¸a˜o de varia´veis. Vamos examinar algumas
destas equac¸o˜es, escritas ou no sistema esfe´rico ou no sistema cil´ındrico, modificando a sua
forma.
Vamos iniciar pela equac¸a˜o (3.129), admitindo que o problema possui simetria axial (tambe´m
chamada simetria azimutal – o aˆngulo ϕ e´ chamado azimute, significando que o problema na˜o
depende de ϕ). Isto implica que m2 seja nulo (m2 ≡ 0), logo, (3.129) assume a seguinte forma:
1
sin θ
d
dθ
(
sin θ
dΘ
dθ
)
+ γΘ = 0 . (3.137)
66
Fac¸amos aqui a mudanc¸a de varia´veis{
cos θ → x
Θ(θ) → y(x) . (3.138)
Temos, por isto, que:
d
dθ
=
dx
dθ
d
dx
=
d(cos θ)
dθ
d
dx
= − sin θ d
dx
. (3.139)
Logo,
1
sin θ
(− sin θ) d
dx
[
sin θ (− sin θ) dy
dx
]
+ γy(x) = 0 ,
d
dx
[(
1− cos2 θ) dy
dx
]
+ γy(x) = 0 ,
ou
d
dx
[
(1− x2)dy
dx
]
+ γy(x) = 0 . (3.140)
Se a constante de separac¸a˜o for igual a
γ = l(l + 1) , (3.141)
a expressa˜o
d
dx
[
(1− x2)dy
dx
]
+ l(l + 1)y(x) = 0 (3.142)
ou
(1− x2)d
2y
dx2
− 2xdy
dx
+ l(l + 1)y = 0 , l = 0, 1, 2, 3, . . . (3.143)
e´ a forma de Sturm-Liouville da equac¸a˜o do polinoˆmio de Legendre.
Usando o mesmo procedimento, na mesma equac¸a˜o (3.129) e mantendo-se agora m2 "= 0, tere-
mos:
d
dx
[
(1− x2)dy
dx
]
+ l(l + 1)y(x)− m
2
1− x2 y(x) = 0 (3.144)
que e´ a forma de Sturm-Liouville para o polinoˆmio associado de Legendre. Escrevendo explici-
tamente a derivac¸a˜o, vem:
(1− x2)d
2y
dx2
− 2xdy
dx
+ l(l + 1)y(x)− m
2
1− x2 y(x) = 0 (3.145)
uma outra forma da equac¸a˜o diferencial do polinoˆmio associado de Legendre.
As equac¸o˜es (3.130) e (3.136), provenientes da separac¸a˜o de varia´veis nos sistemas esfe´rico e
cil´ındrico de coordenadas, respectivamente, representam equac¸o˜es de Bessel na forma de Sturm-
Liouville, de argumentos kr e γρ. Representando tanto R quanto P por Zν e os argumentos kr
e γρ por kx, teremos:
x2
d2
dx2
Zν(kx) + x
d
dx
Zν(kx) + (k2x2 − ν2)Zν(kx) = 0 (3.146)
A equac¸a˜o de Bessel escrita na forma de Sturm-Liouville e´
d
dt
(
t
d
dt
Zν(t)
)
+
(
t− ν
2
t
)
Zν(t) = 0 (3.147)
onde kx = t – nova varia´vel.
Exerc´ıcio: Deduza (3.147).
67
Existem va´rias formas da equac¸a˜o (e tambe´m da func¸a˜o) de Bessel que recebem denominac¸o˜es
espec´ıficas. O comportamento de cada uma dessas func¸o˜es na origem e no infinito e´ diferente, embora
obedec¸am em alguns casos a um u´nico operador diferencial. Este comportamento espec´ıfico sera´
utilizado na busca de soluc¸o˜es dos problemas de F´ısica Matema´tica de acordo com as caracter´ısticas
pro´prias de fenoˆmeno estudado, como veremos brevemente. Somente a t´ıtulo de registro, citaremos: a
func¸a˜o de Neumann, a func¸a˜o de Hankel, a func¸a˜o modificada de Bessel, a func¸a˜o de McDonald, etc.,
todas provenientes da equac¸a˜o (3.146).
Como vemos, o me´todo de separac¸a˜o das varia´veis espaciais passa obrigatoriamente pelo cap´ıtulo
das func¸o˜es especiais, nosso pro´ximo tema. No entanto, nos deteremos na ana´lise de alguns problemas
onde aplicaremos os assuntos rece´m estudados, antes do estudo das func¸o˜es especiais.
3.5 Exemplos de Fixac¸a˜o
1. Determinac¸a˜o das dimenso˜es cr´ıticas de corpos onde ocorrem reac¸o˜es em cadeia –
Modelo simplificado.
Uma reac¸a˜o em cadeia se caracteriza principalmente pelo fato de que as part´ıculas da substaˆncia
em difusa˜o (neˆutrons) se multiplicam ao entrarem em contato com o meio circundante (material f´ıssil),
de sorte que o nu´mero de neˆutrons aumenta. Designando por u(r, t) a concentrac¸a˜o de neˆutrons, a
equac¸a˜o que descreve esse processo de difusa˜o e´
ut(r, t) = a
2∇2u(r, t) + f(r, t) (i)
Neste
caso, a densidade de fontes de neˆutrons f(r, t) deve ser proporcional ao nu´mero de neˆutrons
livres, isto e´, a` sua concentrac¸a˜o:
f(r, t) = βu(r, t); β > 0 (por queˆ?) (ii)
ut(r, t) = a
2∇2u(r, t) + βu(r, t) (iii)
Vamos determinar as dimenso˜es geome´tricas cr´ıticas, ale´m das quais a soluc¸a˜o encontrada explode,
onde a distribuic¸a˜o de material f´ıssil se da´ em:
(a) Uma camada infinita de espessura l
(b) Um cilindro homogeˆneo infinitamente longo
(c) Uma esfera homogeˆnea
O problema a ser resolvido e´ enta˜o o seguinte:
Encontrar a soluc¸a˜o da EDP
ut(r, t) = a
2∇2u(r, t) + βu(r, t); β > 0; r ∈ D; t ≥ 0 (iv)
que satisfac¸a a` condic¸a˜o inicial
u(r, 0) = ϕ(r) (v)
e a` condic¸a˜o de contorno
u(r, t)|S = 0 (vi)
Soluc¸a˜o:
Antes de entrarmos na especificidade dos casos (a), (b) e (c), vamos procurar uma forma mais
simples para (iv), atrave´s da mudanc¸a da varia´vel dependente
u(r, t) = v(r, t) eγt ,
68
que substitu´ıda em (iv), da´
vt(r, t) e
γt + γvt(r, t) e
γt = a2∇2v(r, t) eγt + βv(r, t) eγt ,
ou
vt(r, t) = a
2∇2v(r, t) + (β − γ) v(r, t) .
Impondo γ = β,
vt(r, t = a2∇2v(r, t)
v(r, 0) = ϕ(r) , pois: u(r, 0) =
(
v(r, 0) eβt
)
= v(r, 0) = ϕ
v(r, t)|S = 0 , pois: (u(r, t))|S =
(
v(r, 0) eβt
)∣∣
S = 0 ∴ v(r, t)|S = 0
(vii)
e
u(r, t) = v(r, t) eβt . (viii)
Separando as varia´veis, teremos:
v(r, t) = R(r)T (t) . (ix)
Logo,
R(r)T ′(t) = a2∇2R(r)T (t)
e daqui, apo´s dividir por a2R(r)T (t), vem
T ′(t)
a2T (t)
=
∇2R(r)
R(r)
= −λ
e daqui, obtemos:
T ′(t) + a2λT (t) = 0 (x)
{ ∇2R(r) + λR(r) = 0
R(r)|S = 0
(xi)
Vamos agora procurar as soluc¸o˜es na˜o-triviais de (x) e (xi), para cada uma das geometrias acima
sugeridas.
Caso a: Camada homogeˆnea, infinita, de espessura l
O problema aqui e´ portanto unidimensional e o laplaciano toma a forma
∇2 = ∂
2
∂x2
=
d2
dx2
e ainda
R(r) = y(x) e (R(r))|S = 0 =⇒ y(0) = y(l) = 0 ,
d2y(x)
dx2
+ λy(x) = 0
y(0) = y(l) = 0
(xii)
Busquemos a soluc¸a˜o de (xii) na forma
y(x) = eδx . (xiii)
Enta˜o, substituindo em (xii), vem
δ2 + λ = 0 ∴ δ = ±√−λ = ±i
√
λ (pois λ > 0) ,
69
y(x) = C1e
i
√
λx + C2e
−i√λx ≡ D1 cos
√
λx+D2 sin
√
λx
Das condic¸o˜es de contorno de (xii), tem-se:
y(0) = D1 +D2 · 0 = 0 ∴ D1 = 0
y(l) = D2 sin
√
λ l = 0
Como D2 "= 0 (soluc¸a˜o na˜o-trivial), vem que
sin
√
λ l = 0 = sinnpi ∴
√
λ l = npi e λ→ λn ,
para os quais o problema (xii) possui soluc¸a˜o na˜o-trivial, ou seja, para λ→ λn e
λn =
(npi
l
)2
. (xiv)
Desse modo,
yn(x) = an sin
√
λn x . (xv)
Integrando (x) para o n-e´simo valor λn,
Tn(t) = bne
−a2λnt . (xvi)
Finalmente,
yn(x)Tn(t) = anbn sin(
√
λn x) e
−a2λnt = An sin(
√
λn x) e
−a2λnt (xvii)
e
un(r, t) = un(x, t) = yn(x)Tn(t) e
βt =
anbn sin(
√
λn x) e
−a2λnt eβt = Ane(β−λna
2)t sin(
√
λn x) . (xviii)
Como u =
∑
n un, vem
u(r, t) =
∑
n
An sin(
npi
l
x) e(β−a
2n2pi2/l2)t (xix)
Os coeficientes An sa˜o encontrados utilizando-se as condic¸o˜es iniciais:
u(r, 0) = ϕ(r) =
∑
n
An sin(
npi
l
x) ∴ An =
1
l
ˆ l
0
ϕ(ξ) e−inpiξ/ldξ .
Observe que a soluc¸a˜o do problema (xix) sera´ uma func¸a˜o exponencialmente crescente se
β − a2λn > 0 , e decrescente se
β − a2λn < 0 , e estaciona´ria se
β − a2λn = 0 .
(xx)
Desse modo, as dimenso˜es cr´ıticas da placa sera˜o obtidas para os valores do expoente que fornecem
soluc¸o˜es estaciona´rias:
(
β − a2λn
)
crit
= 0 ∴ β − a
2n2pi2
l2
= 0 ∴ lcrit =
(
a2n2pi2
β
)1/2
=
anpi√
β
Observe que existem infinitos valores cr´ıticos, sendo que ja´ nos satisfaz apenas o primeiro, para n = 1:
lcrit =
api√
β
(xxi)
70
Caso b: Cilindro infinito com simetrial radial
Vamos partir das expresso˜es (x) e (xi) e resolveˆ-las em um sistema de coordenadas cil´ındrico, isto
e´: { ∇2R(r) + λR(r) = 0
R(r)|S = 0
R(r) = R(ρ)Φ(ϕ)Z(z)
T ′(t) + a2λT (t) = 0
Vamos admitir que a distribuic¸a˜o do material f´ıssil (e tambe´m dos neˆutrons) independa de ϕ e de z,
isto e´, distribuic¸a˜o com simetria radial.
Neste caso, o laplaciano sera´:
∇2R(ρ) = 1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ
∂R(ρ)
∂ρ
)
+
1
ρ2
∂2R(ρ)
∂ϕ2︸ ︷︷ ︸
=0
+
∂2R(ρ)
∂z2︸ ︷︷ ︸
=0
.
Enta˜o, { ∇2R(r) + λR(r) = 0
R(r)|S = 0
=⇒

1
ρ
∂
∂ρ
(
ρ
∂R(ρ)
∂ρ
)
+ λR(ρ) = 0
R(ρ)|ρ=r0 = 0
.
Fac¸amos
ρ = x , R = y e
∂
∂ρ
=
d
dρ
=
d
dx
Logo, 
1
x
d
dx
[
x
dy(x)
dx
]
+ λy(x) = 0
y(x)|x=r0 = 0
(xxii)
e a equac¸a˜o diferencial acima pode ser reescrita como
y′′ +
1
x
y′ + λy = 0 ou x2y′′ + xy′ + λx2y = 0 .
Comparando (xii) com a equac¸a˜o de Bessel{
L [ω] = z2ω′′ + zω′ +
(
λ2 − ν2)ω = 0
L [y] = x2y′′ + xy′ + λx2y = 0
(xxiii)
notamos que em (xxii), ν ≡ 0, isto e´, a soluc¸a˜o de (xxii) e´ uma func¸a˜o de Bessel de ordem zero e
argumento z =
√
λx. Isto signifiac que
y(x) = J0
(√
λx
)
. (xxiv)
A condic¸a˜o de contorno nos da´
y(x)|S = J0
(√
λx
)∣∣∣
x=r0
= 0 = J(µ) . (xxv)
Os zeros desta func¸a˜o de Bessel sa˜o µ(0)1 , µ
(0)
2 , µ
(0)
3 , . . . , µ
(0)
n , . . . , onde µ
(0)
1 < µ
(0)
2 < . . . < µ
(0)
n . Deste
modo, tem-se:
µ(0)k =
√
λk r0 ∴ λk =
(
µ(0)k
r0
)2
. (xxvi)
71
A soluc¸a˜o da parte temporal ja´ nos e´ conhecida, isto e´, seja (xvi)
Tn(t) = bne
−a2λnt .
Recompondo a soluc¸a˜o particular para o n-e´simo autovalor λn, tem-se:
un(x, t) = BnJ0
(√
λn x
)
e(β−a
2λn)t . (xxvii)
Enta˜o,
un(x, t) =
∑
n
BnJ0
(√
λn x
)
e(β−a
2λn)t =
∑
n
BnJ0
(
µ(0)n
r0
x
)
e
[
β−(aµ(0)n /r0)
2
]
t
.
Novamente aqui nos deparamos com treˆs possibilidades:
β −
(
a
µ(0)n
r0
)2
> 0 – soluc¸a˜o exponencial/crescente
β −
(
a
µ(0)n
r0
)2
< 0 – soluc¸a˜o exponencial/decrescente
β −
(
a
µ(0)n
r0
)2
= 0 – soluc¸a˜o estaciona´ria
Finalmente, encontramos os valores cr´ıticos do raio do cilindro:
r20 =
(
aµ(0)n
)2
β
∴ r0n =
aµ(0)n√
β
ou
Dcrit.n = 2r0n =
2aµ(0)n√
β
(xxviii)
Estes sa˜o os diaˆmetros cr´ıticos para os quais podem ocorrer reac¸o˜es em cadeia em cilindros de raio r0n
e comprimento infinito, constitu´ıdos de material f´ıssil.
O valor mı´nimo destes diaˆmetros e´ obtido para a menor raiz de J0 (z), isto e´, J0(z) = 0 = J0
(
µ(0)n
)
,
onde µ(0)1 = 2, 9048. Finalmente,
Dcrit.n = D
crit.
01 =
2aµ(0)1√
β
=
4, 8 a√
β
(xxix)
Caso c: Esfera radialmente sime´trica
A abordagem e´ a mesma dos dois casos anteriores. Vamos procurar a soluc¸a˜o do problema sepa-
rando as varia´veis espaciais e temporal, isto e´, fazemos u(r, t) = R(r)T (t), que substitu´ıda em (vii)
fornece: { ∇2R(r) + λR(r) = 0
R(r)|S = 0
(xxx)
T ′(t) + a2λT (t) = 0 (xxxi)
72
Seja R(r) = R(r)Θ(θ)Φ(ϕ) = R(r), pois Θ(θ) = cte e Φ(ϕ) = cte e ainda ΘΦ = 1, que substitu´ıda
em (xxx) fornece no sistema de coordenadas esfe´ricas
∇2R(r) = ∇2R(r)
=
1
r2
∂
∂r
(
r2
∂R
∂r
)
+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
(
sin θ
∂R
∂θ
)
︸ ︷︷ ︸
=0
+
1
r2 sin θ
∂2R
∂ϕ2︸ ︷︷ ︸
=0
=
∂2R
∂r2
+
2
r
∂R
∂r
=
1
r
[
r
∂2R
∂r2
+ 2
∂R
∂r
]
=
1
r
[
∂
∂r
(
r
∂R
∂r
)
+
∂R
∂r
]
=
1
r
∂
∂r
[
r
∂R
∂r
+R
]
=
1
r
∂
∂r
[
∂
∂r
(rR)
]
=
1
r
∂2
∂r2
(rR)
=
1
r
d2
dr2
(rR)
= ∇2R(r) .
Assim, teremos:
1
r
d2
dr2
(rR(r)) + λR(r) = 0 ∴ d
2
dr2
(rR(r)) + rλR(r) = 0
R(r)|S = 0
(xxxii)
Seja ω = rR(r). Logo,
d2ω
dr2
+ λω = 0 ∴ ω(r) = C1 sin
√
λ r + C2 cos
√
λ r (xxxiii)
e
R(r) = ω(r)
r
=
C1 sin
√
λ r
r
+
C2 cos
√
λ r
r
. (xxxiv)
Como lim
r→ 0(cos
√
λ r)/r → ∞, devemos impor que C2 ≡ 0. Observe que (C1 sin
√
λ r)/r. Na fronteira
S, tem-se que:
R(r) = C1 sin
√
λ r
r
e R(r)|S =
C1 sin
√
λ r0
r0
= 0 .
Como r0 "= 0 e r0 "=∞ e ainda C1 "= 0 (na˜o estamos interessados em soluc¸o˜es triviais), temos
sin
√
λ r0
r0
= 0 ∴ sin
√
λ r0 = sinnpi = 0 ∴
73
√
λn r0 = npi ∴
√
λn =
npi
r0
ou λn =
n2pi2
r20
(xxxv)
e como antes, o valor cr´ıtico das dimenso˜es do material f´ıssil sa˜o dadas pela soluc¸a˜o de (vii):
un(r, t) = Rn(r)Tn(t) = Cn sin
√
λn r
r
e−a
2λnt ,
ou, como u(r, t) = v(r, t) eβt,
un(r, t) = vn(r, t) e
βt = Rn(r)Tn(t) eβt = Cn sin
√
λn r
r
e−a
2λnt eβt ,
e finalmente,
un(r, t) = Cn
sin
√
λn r
r
e(β−a
2λn) t . (xxxvi)
Novamente aqui aparecem as treˆs possibilidades de evoluc¸a˜o temporal da reac¸a˜o em cadeia, ana´logas
a`s vistas anteriormente, pore´m com λn = n2pi2/r20. Assim, o estado estaciona´rio representa o divisor
entre o aceleramento e o desaceleramento do processo, ou seja, fornece os valores cr´ıticos do problema.
Desse modo,
β − a2λn = β − a
2n2pi2
r20
= 0 ∴ r0n =
anpi√
β
e
Dcrit.0n =
2anpi√
β
= 2 rcrit.0n (xxxvii)
O menor valor cr´ıtico e´ poss´ıvel para n = 1.
Note que em todos os casos estudados surgiu a possibilidade de mais de um estado cr´ıtico, eviden-
temente com diferentes dimenso˜es cr´ıticas.
2. Ondas monocroma´ticas – Propagac¸a˜o no espac¸o.
Seja u(r, t) a func¸a˜o procurada e que descreve a propagac¸a˜o da onda monocroma´tica no espac¸o,
cuja frente se encontra na origem do sistema de coordenadas escolhido (o sistema esfe´rico). A equac¸a˜o
de onda em 3 dimenso˜es e´:
∇2u(r, t) = 1
a2
∂2u
∂t2
+ f(r, t) . (xxxviii)
Vamos imaginar uma fonte pontual de onda na origem, de onde retiramos, apo´s a produc¸a˜o da
onda, um elemento de volume δv, ta˜o pequeno quanto queiramos, de sorte que na regia˜o agora estudada
na˜o existam fontes. Consequ¨entemente, sua equac¸a˜o passa a ser
∇2u(r, t) = 1
a2
∂2u
∂t2
. (xxxix)
Sendo a onda monocroma´tica,
u(r, t) = v(r) eiωt . (xl)
Logo:
∇2v(r) eiωt = (iω)
2
a2
eiωt
e
∇2v(r) + ω
2
a2
v(r) = ∇2v(r) + c2v(r) = 0 . (xli)
74
Figura 3.1: Elemento de volume.
Vamos admitir que a frente emissora de ondas seja pontual e que o espac¸o seja homogeˆneo e
isotro´pico, de sorte que a func¸a˜o v(r) possua simetria radial (independeˆncia em θ e em ϕ simultanea-
mente). Assim, no sistema de coordenadas esfe´ricas teremos:
∇2v(r, θ,ϕ) = ∇2v(r)
=
1
r2
∂
∂r
(
r2
∂v(r)
∂r
)
+
1
r2 sin θ
∂
∂θ
(
sin θ
∂v(r)
∂θ
)
︸ ︷︷ ︸
=0
+
1
r2 sin θ
∂2v(r)
∂ϕ2︸ ︷︷ ︸
=0
=
1
r2
[
2r
∂v
∂r
+ r2
∂2v
∂r2
]
=
1
r
[
r
∂2v
∂r2
+
∂v
∂r
+
∂v
∂r
]
=
1
r
[
∂
∂r
(
r
∂v
∂r
)
+
∂v
∂r
]
=
1
r
∂
∂r
[
r
∂v
∂r
+ v
]
=
1
r
∂
∂r
[
∂
∂r
(rR)
]
=
1
r
∂2
∂r2
(rv) , (xlii)
ou
∇2v(r) = 1
r
∂2
∂r2
(rv) =
1
r
d2
dr2
(rv) . (xliii)
Desse modo, a equac¸a˜o dada tera´ a forma
∇2v(r) + c2v(r) = 1
r
d2
dr2
(rv) + c2v(r) = 0 . (xliv)
Fac¸amos ω = rv; enta˜o, (xliv) passa a ser
d2ω
dr2
+ c2ω = 0 . (xlv)
75
A constante c2 pode ser:
a) c2 > 0, enta˜o c2 = k2
b) c2 < 0, enta˜o c2 = −κ2 e teremos:
d2ω
dr2
+ k2ω = 0 (c2 > 0) (xlvi)
d2ω
dr2
− κ2ω = 0 (c2 < 0) (xlvii)
cujas soluc¸o˜es sa˜o, respectivamente,
c2 > 0 : ω(r) = C1e
ikr + C2 e
−ikr = rv(r) ∴ v(r) = C1e
ikr
r
+
C2 e−ikr
r
, (xlviii)
u(r, t) = v(r) eiωt , (xlix)
e enta˜o,
u(r, t) = v(r)T (t) = v(r) eiωt =
C1ei(ωt+kr)
r︸ ︷︷ ︸
onda convergente
para a origem
+
C2 ei(ωt−kr)
r︸ ︷︷ ︸
onda divergente
da origem
. (l)
No caso em questa˜o (espac¸o infinito e ondas produzidas somente na fonte), na˜o tem sentido f´ısico
ondas convergentes para a origem e, por isso, a constante C1 deve ser nula.
A onda esfe´rica progressiva (divergente da origem) representa uma onda emitida por uma fonte
situada na origem e que se propaga radialmente no espac¸o e sua frente de onda, em cada instante, e´:
ξ = ωt− kr = cte . (li)
A velocidade de deslocamento dessa frente de onda e´:
v =
dr
dt
=
ω
k
> 0 , pois
dξ
dt
= ω − kdr
dt
= 0 . (lii)
Observe que a func¸a˜o v(r) pode ser vista como a amplitude de oscilac¸a˜o do tipo eiωt ou e−iωt. No´s
tomamos o fator temporal na forma eiωt. Se o tive´ssemos tomado na forma e−iωt, ter´ıamos:
u(r, t) = v(r)T (t) = v(r) eiωt =
C1e−i(ωt−kr)
r︸ ︷︷ ︸
onda divergente
esfe´rica
+
C2 e−i(ωt+kr)
r︸ ︷︷ ︸
onda convergente
esfe´rica
.
Aqui, C2 ≡ 0 para que (?) tenha sentido f´ısico.
Se o coeficiente c2 for negativo (c2 < 0), a soluc¸a˜o da equac¸a˜o em ω(r) sera´:
ω(r) = C1e
κr + C2 e
−κr , (liii)
ou
v(r) =
C1eκr
r
+
C2 e−κr
t
(liv)
e
u(r, t) =
C1eκr+iωt
r
+
C2 e−κr+iωt
r
. (lv)
Qualquer que seja o processo f´ısico em que os fatores eκr e e−κr representem amplitude, a constante
C1 deve ser identicamente nula, pois a amplitude na˜o deve crescer exponencialmente. Sendo assim,
76
resta uma soluc¸a˜o com amortecimento ou aniquilac¸a˜o.
3. Ondas de temperatura ou frentes de temperatura na superf´ıcie da Terra.
Uma das primeiras aplicac¸o˜es matema´ticas a fenoˆmenos naturais da teoria da propagac¸a˜o do calor,
foi no estudo de ondas de temperatura no solo.
A temperatura do solo na superf´ıcie terrestre, proveniente do aquecimento solar, carrega em si
mesma todas as caracter´ısticas de periodicidade (diurna e mesmo anual nas zonas temperadas do
globo) da incideˆncia da radiac¸a˜o solar na superf´ıcie da Terra.
Admitamos, nos limites de nossa experieˆncia a Terra plana, homogeˆnea e isotro´pica (0 ≤ z ≤ ∞).
Assim, temos um problema unidimensional. Por outro lado, a repetic¸a˜o sucessiva (periodicidade)
do curso de temperatura durante um tempo extremamente longo nos leva a perder o controle da
distribuic¸a˜o de temperatura inicial, reduzindo este problema a um t´ıpico problema sem condic¸o˜es
iniciais. Assim, o problema que devemos resolver e´ o seguinte:
Encontrar a soluc¸a˜o limitada e na˜o-trivial da equac¸a˜o de propagac¸a˜o te´rmica
∂u(z)
∂t
= a2
∂2u(z, t)
∂z2
0 ≤ z ≤ ∞ −∞ < t (lvi)
e que satisfac¸a a` seguinte condic¸a˜o de contorno
u(0, t) = A cosωt . (lvii)
Este problema sem condic¸o˜es iniciais foi estudado pela primeira vez na histo´ria por Fourier.
Para facilitar nossa a´lgebra, vamos estender o problema ao campo complexo escrevendo no lugar
de (lvii), a seguinte condic¸a˜o de contorno:
u(0, t) = Aeiωt , (lviii)
sendo u(0, t) agora complexa e, consequ¨entemente, tambe´m u(z, t). Logo,{
ut(z, t) = a2 uzz(z, t)
u(0, t) = Aeiωt
(lix)
Procuremos a soluc¸a˜o de (lix) na forma
u(z, t) = Aeαz+βt , (lx)
onde α e β sa˜o constantes por determinar.
Substituindo (lx) em (lix), teremos:
βAeαz+βt = a2α2Aeαz+βt ∴ α2 = β
a2
u(0, t) = Aeα·0+βt = Aeiωt ∴ β = iω
Portanto, tem-se:
α = ±
√
β
a2
= ±
√
iω
a2
= ±
√
ω
a2
√
i = ±
√
ω
a2
(
1 + i√
2
)
= ±
[√
ω
2a2
+ i
√
ω
2a2
]
.
Desse modo, teremos:
u(z, t) = Ae
±
[√
ω
2a2
+i
√
ω
2a2
]
z+iωt
= Ae
±√ ω
2a2
z+i
(
±√ ω
2a2
z+ωt
)
,
77
possibilitando duas soluc¸o˜es:
u1(z, t) = A1e
−√ ω
2a2
z · C1ei
(√
ω
2a2
z+ωt
)
u2(z, t) = A1e
−√ ω
2a2
z · C2e−i
(√
ω
2a2
z−ωt
)
ja´ que a amplitude na forma A2e
+
√
ω
2a2
z deve ser descartada (A2 ≡ 0) por falta de sustentac¸a˜o f´ısica
(soluc¸a˜o limitada por hipo´tese).
u(z, t) = A1e
−√ ω
2a2
z
[
C1e
i
(√
ω
2a2
z+ωt
)
+ C2e
−i
(√
ω
2a2
z−ωt
)]
Como o problema deve descrever ondas de temperatura divergentes em relac¸a˜o a` origem, a constante
C1 deve ser identicamente nula (C1 ≡ 0). Finalmente,
u(z, t) = Ae−
√
ω
2a2
ze
−i
(√
ω
2a2
z−ωt
)
= u+ iu′ .
Logo, 
u(z, t) = Ae−
√
ω
2a2
z cos
(√
ω
2a2
z − ωt
)
u′(z, t) = Ae−
√
ω
2a2
z sin
(√
ω
2a2
z − ωt
) (lxi)
A func¸a˜o (lxi) nos diz que: se a temperatura na superf´ıcie do solo varia periodicamente, por um longo
tempo, enta˜o no solo estabelecer-se-a˜o oscilac¸o˜es de temperatura com o mesmo per´ıodo que o do agente
externo conhecido, e mais:
1 – A amplitude da oscilac¸a˜o decai exponencialmente com a profundidade no solo:
A(z) = Ae−
√
ω
2a2
z (lxii)
2 – As oscilac¸o˜es de temperatura no solo ocorrem com deslocamento de fase. A fase δ de atraso entre
ma´ximos (mı´nimos) de temperatura e os instantes correspondentes na superf´ıcie e´ proporcional
a` profundidade
δ =
√
ω
2a2
z
3 – A profundidade de penetrac¸a˜o da onda de temperatura (calor) no solo depende do per´ıodo das
oscilac¸o˜es de temperatura na superf´ıcie (que desejamos dar enfoque). Maiores per´ıodos, maiores
penetrac¸o˜es. A variac¸a˜o relativa de amplitude e´ igual a
A(z)
A0
= e−
√
ω
2a2
z = e−δ (lxiii)
Vejamos o caso de oscilac¸o˜es de temperatura com per´ıodos T1 e T2 nos quais a raza˜o A(z)/A0 sera´
ideˆntica para as profundidades z1 e z2 respectivamente. Teremos:
A(z)
A0
= e−
√
ω
2a2
z =
A(z1)
A0
= e
−
√
ω1
2a2
z1 = e
−
√
ω2
2a2
z2 =
A(z2)
A0
Enta˜o, tem-se: √
ω1
2a2
z1 =
√
ω2
2a2
z2 ∴
z1√
T1
=
z2√
T2
,
78
ou
z2 =
√
T2
T1
z1 (lxiv)
A comparac¸a˜o entre as oscilac¸o˜es diurnas e as oscilac¸o˜es anuais mostra que
z2 =
√
365T1
T1
z1 ≈ 19, 1 z1
Portanto, a profundidade de penetrac¸a˜o das oscilac¸o˜es anuais sob a condic¸a˜o de variac¸a˜o relativa da
amplitude ideˆntica a` das oscilac¸o˜es diurnas e´ 19, 1 vezes maior.
Fenoˆmenos de longo per´ıodo de permaneˆncia devera˜o ter profundidade de penetrac¸a˜o ainda mai-
ores.
4. A influeˆncia do decaimento radioativo na temperatura da crosta terrestre.
A influeˆncia da radiac¸a˜o solar na temperatura da crosta e´ desprez´ıvel, devido a` sua pequena
capacidade de penetrac¸a˜o (exerc´ıcio 3). Por outro lado, os dados obtidos em minas e em perfurac¸o˜es
de 3 000 metros ou mais de profundidade na crosta terrestre mostram que a temperatura aumenta com
a profundidade com um gradiente me´dio de 30 /km.
As primeiras tentativas teo´ricas feitas para explicar o gradiente geote´rmico observado encontraram
dificuldades intranspon´ıveis. Elas partiram de um modelo de esfriamento da crosta, que no instante
inicial teria a temperatura de fusa˜o das rochas basa´lticas (T0 = 1200 ) e por um processo de esfri-
amento, atingiria na superf´ıcie a temperatura Ts = 0 , decorrido, evidentemente, um certo tempo
te. A partir desse instante, na˜o deveriam ocorrer grandes variac¸o˜es de temperatura na superf´ıcie –
(0± 100) – de sorte a assegurar o surgimento, proliferac¸a˜o e manutenc¸a˜o da vida na Terra.
Para testar esse modelo, devemos resolver o seguinte problema:
Determinar a temperatura u(z, t) de um semi-espac¸o isotro´pico e homogeˆneo se na su-
perf´ıcie a temperatura e´ nula e se, no instante inicial, seu valor foi 1 200 .
A formulac¸a˜o matema´tica deste problema e´ a seguinte:
ut(z, t) = a2 uzz(z, t) −∞ ≤ z ≤ ∞ , t ≥ 0
u(z, 0) = T0 = 1200
u(0, t) = 0
(lxv)
Figura 3.2:
Para encontrar a soluc¸a˜o de (lxv) vamos resolver um problema mais geral e a seguir aplicar as
considerac¸o˜es necessa´rias aos resultados para se chegar a` soluc¸a˜o de (lxv).{
ut(z, t) = a2 uzz(z, t) −∞ ≤ z ≤ ∞ , t ≥ 0
u(z, 0) = ϕ(z) −∞ ≤ z ≤ ∞ (lxvi)
O problema (lxvi) e´ chamado de problema sem condic¸o˜es de valores de contorno.
79
Usemos em (lxiv) o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis, escrevendo:
u(z, t) = Z(z)T (t) . (lxvii)
Logo,
ZT ′ = a2Z ′′T ∴ ZT
′
a2ZT
=
a2Z ′′T
a2ZT
= −λ2
Temos:  T
′ + a2λ2T = 0 −→ Tλ(t) = Bλ e−a2λ2t
Z ′′(z) + λ2Z(z) = 0 −→ Zλ(z) = Cλ e±iλz
(lxviii)
Logo,
uλ(z, t) = BλCλ e
−a2λ2t±iλz = Aλ e−a
2λ2t±iλz (Aλ = A(λ)) (lxix)
A expressa˜o (lxix) e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial o problema (lxvi), para um valor arbitra´rio
da constante de separac¸a˜o λ, que e´ na realidade um nu´mero real qualquer, definido no intervalo
−∞ < λ < ∞. Este fato nos permite utilizar o princ´ıpio da superposic¸a˜o na forma integral, para
compor a soluc¸a˜o geral do problema proposto, isto e´:
u(z, t) =
ˆ ∞
−∞
uλ(z, t) dλ =
ˆ ∞
−∞
u(λ, z, t) dλ (lxx)
e ainda mais: escolhemos somente um dos sinais do fator e±iλz (Por que?). Esta escolha sera´ definida
pelo fato de que
u(z, 0) = ϕ(z) =
ˆ ∞
−∞
A(λ) e±iλz dλ
representa uma transformada integral conhecida e bem estabelecida, para a condic¸a˜o inicial. Assim, o
sinal positivo do expoente reduz a u´ltima integral acima a` forma da transformada inversa de Fourier,
definida como:
f(x) = F−1{F (k)} = 1√
2pi
ˆ ∞
−∞
F (k) eikx dk .
Enta˜o,
ϕ(z) = u(z, 0) =
√
2pi
{
1√
2pi
ˆ ∞
−∞
A(λ) eiλz dλ
}
=
√
2piF−1{A(λ)} .
Assim, fica evidente que ϕ(z) e´ proporcional a` transformada inversa de Fourier da func¸a˜o A(λ). Da´ı
decorre que
F{ϕ(z)} = √2piFF−1{A(λ)} = √2piA(λ) ,
ou
A(λ) =
1√
2pi
F{ϕ(z)} = F
{
ϕ(z)√
2pi
}
def≡ 1√
2pi
ˆ ∞
−∞
(
ϕ(ζ)√
2pi
)
e−iλζ dζ ,
ou
A(λ) =
1
2pi
ˆ ∞
−∞
ϕ(ζ) e−iλζ dζ . (lxxi)
Substituindo (lxxi) em u(z, t) =
´∞
−∞A(λ) e
−a2λ2t+iλz dλ, temos
u(z, t) =
ˆ ∞
−∞
(
1
2pi
ˆ ∞
−∞
ϕ(ζ) e−iλζ dζ
)
e−a
2λ2t±iλz dλ =
ˆ ∞
−∞
(
1
2pi
ˆ ∞
−∞
e−a
2λ2t+λ(z−ζ) dλ
)
︸ ︷︷ ︸
(I)
ϕ(ζ) dζ . (lxxii)
80
Vamos calcular a integral em λ de (lxxii), sabendo-se a priori que
ˆ ∞
−∞
e−α
2
dα =
√
pi . (lxxiii)
Devemos escrever o exponencial e−[a
2λ2t−iλ(z−ζ)] na forma e−α
2
. Se fizermos
−α2 = − (β − iγ)2 = − (β2 − 2iβγ − γ2)
e compararmos com −a2λ2t+ iλ(z − ζ) = − [a2λ2t− iλ(z − ζ)], temos
{
β2 = a2λ2t
2iβγ = iλ(z − ζ)
∴

2iγ
β
=
i(z − ζ)
a2λt
β = aλ
√
t
∴

iγ =
i(z − ζ)
2a
√
t
β = aλ
√
t
(lxxiv)
Enta˜o,
e
−
{
a2λ2t−iλ(z−ζ)−[(z−ζ)/
√
4a2t ]2+[(z−ζ)/
√
4a2t ]2
}
= e−(z−ζ)
2/(4a2t)e−[aλ
√
t−i(z−ζ)/(2a
√
t)]2 . (lxxv)
Assim, a integral (I) contida em (lxxii), e´
I =
1√
2pi
ˆ ∞
−∞
e−[a
2λ2t−iλ(z−ζ)] dλ =
e−(z−ζ)
2/(4a2t)
√
2pi
ˆ ∞
−∞
e−[aλ
√
t−i(z−ζ)/(2a
√
t)]2 dλ . (lxxvi)
Seja em (lxxvi) 
α = aλ
√
t− i(z − ζ)
2a
√
t
∴ dα = a
√
t dλ e
λ =
[
α+
i(z − ζ)
2a
√
t
]
1
a
√
t
(lxxvii)
Enta˜o,
I = e−(z−ζ)
2/(4a2t)
ˆ ∞−iσ
−∞−iσ
e−α
2 dα
a
√
t
; σ =
(
z − ζ
2a
√
t
)
(lxxviii)
Como o caminho de integrac¸a˜o se encontra em um domı´nio de conexa˜o u´nica, ele pode ser deformado
ate´ se superpor ao eixo α, como mostra a ilustrac¸a˜o.
Figura 3.3: Γ – caminho de integrac¸a˜o.
Finalmente:
I =
e−(z−ζ)
2/(4a2t)
2
√
pia2t
, (lxxix)
que substitu´ıda em (lxxii), fornece a soluc¸a˜o procurada do problema proposto (lxvi).
u(z, t) =
1
2a
√
pit
ˆ ∞
−∞
e−
(z−ζ)2
4a2t ϕ(ζ) dζ (lxxx)
81
Examinemos (lxxx) para z = 0, isto e´, u(z, t)|Σ=ζ=0 na fronteira do problema inicial (I), admitindo
que ϕ(ζ) possa ser par ou ı´mpar.
– Se ϕ(ζ) for ı´mpar, isto e´, se ϕ(ζ) = −ϕ(−ζ), enta˜o (lxxx) tendera´ a zero quando ζ → 0:
lim
z→0u(z, t) = u(z, t)|Σ=z=0 = u(0, t) = 0 . (lxxxi)
Realmente,
u(0, t) =
1
2
√
pi
ˆ ∞
−∞
e−
ζ2
4a2t√
a2t
ϕ(ζ) dζ
possui integrando ı´mpar (e−
ζ2
4a2t e´ par e ϕ(ζ) = −ϕ(−ζ) e´ ı´mpar por hipo´tese) e como a integral
de uma func¸a˜o limitada e ı´mpar entre
limites sime´tricos em relac¸a˜o a` origem e´ nula, segue a
relac¸a˜o (lxxxi), isto e´:
u(0, t) =
1
2
√
pi
ˆ ∞
−∞
e−
ζ2
4a2t√
a2t
ϕ(ζ) dζ = 0 .
– Se a func¸a˜o ϕ(ζ) for par, ϕ(ζ) = ϕ(−ζ), enta˜o a derivada da func¸a˜o u(z, t) em relac¸a˜o a` varia´vel
z, para z → 0, e´ nula para todo t > 0. Realmente:
0 = uz(z, t)|z=0 =
(
∂u
∂z
)∣∣∣∣
z=0
=
1
2
√
pi
ˆ ∞
−∞
−2(z − ζ)
4a2t
e−
(z−ζ)2
4a2t√
a2t
ϕ(ζ) dζ
∣∣∣∣∣∣
z=0
=
1√
pi
ˆ ∞
−∞
ζ
4a2t
e−
ζ2
4a2t√
a2t
ϕ(ζ) dζ . (lxxxii)
Como este integrando e´ ı´mpar, a integral e´ nula.
Voltemos ao problema (I), notando que o resultado expresso em (lxxxi) representa exatamente
a condic¸a˜o de contorno em (I). Devemos, portanto, compatibilizar os resultados do problema
(II), isto e´, (lxxx) com (lxxxi).
Exerc´ıcio: Explique porque resolvemos (II) e na˜o (I).
Passemos enta˜o a` construc¸a˜o da soluc¸a˜o de (I), com o aux´ılio do acervo adquirido no problema
(II). Devemos enta˜o procurar a soluc¸a˜o de um novo problema auxiliar:
ut(z, t) = a2uzz(z, t) ; −∞ < z <∞ ; 0 ≤ t < 0
u(0, t) = 0
u(z, 0) = Φ(z)
(lxxxiii)
Assim, podemos interpretar Φ(z) como a continuac¸a˜o ı´mpar de ϕ(z) (definida em (II)), representando-a
na forma
Φ(z) =
{
ϕ(z) , ∀z > 0
−ϕ(−z) , ∀z < 0 (lxxxiv)
Desse modo, podemos utilizar (lxxx) para determinar a soluc¸a˜o de (lxxxiii), isto e´:
u(z, t) =
1
2
√
pi
ˆ ∞
−∞
e−
(z−ζ)2
4a2t√
a2t
ϕ(ζ) dζ . (lxxxv)
Examinemos agora a func¸a˜o u(z, t) somente na regia˜o de nosso interesse, isto e´, z > 0, como o define
o problema (I). Temos que determinar:
v(z, t) = u(z, t) , para z ≥ 0 . (lxxxvi)
82
Usando as propriedades de (lxxxiii) em (lxxxvi), separando os domı´nios para z > 0 e z < 0, teremos:
v(z, t) =
1
2
√
pi
ˆ 0
−∞
e−
(z−ζ)2
4a2t√
a2t
Φ(ζ) dζ +
1
2
√
pi
ˆ ∞
0
e−
(z−ζ)2
4a2t√
a2t
Φ(ζ) dζ
=
1
2
√
pi
ˆ 0
−∞
e−
(z−ζ′)2
4a2t√
a2t
[−ϕ(−ζ ′) dζ ′] + 1
2
√
pi
ˆ ∞
0
e−
(z−ζ)2
4a2t√
a2t
Φ(ζ) dζ
=
1
2
√
pi
ˆ 0
−∞
e−
(z+ζ)2
4a2t√
a2t
[−ϕ(ζ)] (−dζ) + 1
2
√
pi
ˆ ∞
0
e−
(z−ζ)2
4a2t√
a2t
Φ(ζ) dζ
=
1
2
√
pi
ˆ ∞
0
ϕ(ζ)√
a2t
[
e−
(z−ζ)2
4a2t − e− (z+ζ)
2
4a2t
]
dζ ; z, ζ > 0 (lxxxvii)
Finalmente escrevemos (lxxxvi) utilizando (lxxxvii):
u(z, t) =
1
2
√
pi
ˆ ∞
0
ϕ(ζ)√
a2t
[
e−
(z−ζ)2
4a2t − e− (z+ζ)
2
4a2t
]
dζ ∀z ≥ 0 (lxxxviii)
Observe que (lxxxviii) satisfaz a` condic¸a˜o de contorno do problema proposto (I), isto e´: u(0, t) = 0.
Observe ainda que se fizermos ϕ(z) = T0 = u(z, 0), podemos escrever (lxxxviii) do seguinte modo:
u(z, t) =
T0
2
√
pi
ˆ ∞
0
[
e−
(z−ζ)2
4a2t − e− (z+ζ)
2
4a2t
]
dζ√
a2t
(lxxxix)
Se a condic¸a˜o inicial for dada na˜o em t = 0, mas no instante t = t0, podemos escrever:
u(z, t) =
T0
2
√
pi
ˆ ∞
0
[
e
− (ζ−z)2
4a2(t−t0) − e−
(ζ+z)2
4a2(t−t0)
]
dζ√
a2(t− t0)
. (xc)
Sejam agora em (xc), definidas as varia´veis
α =
ζ − z
2
√
a2(t− t0)
∴ dα = dζ
2a
√
t− t0 , (xci)
β =
ζ + z
2
√
a2(t− t0)
∴ dβ = dζ
2a
√
t− t0 . (xcii)
Enta˜o, tem-se:
u(z, t) =
ˆ ∞
−z
2a
√
t−t0
e−α
2
dα−
ˆ ∞
z
2a
√
t−t0
e−β
2
dβ
 (xciii)
Sejam em (xciii),
Z =
z
2a
√
t− t0 e β = α .
Enta˜o,
u(z, t) =
T0√
pi
[ˆ ∞
−Z
e−α
2
dα−
ˆ ∞
+Z
e−α
2
dα
]
=
T0√
pi
ˆ Z
−Z
e−α
2
dα ,
ou
u(z, t) =
2T0√
pi
ˆ Z
0
e−α
2
dα (xciv)
que e´ a soluc¸a˜o procurada do problema (I).
83
Vamos aplicar (xciv) ao modelo de resfriamento da Terra, ja´ descrito antes. Determinaremos o
gradiente de temperatura de (xciv), isto e´:
uz(z, t) =
∂u(z, t)
∂z
=
2T0√
pi
∂
∂z
(ˆ z
2
√
a2t
0
e−α
2
dα
)
. (xcv)
Usando aqui a regra de Leibniz para derivac¸a˜o de integrais dependentes de paraˆmetros, isto e´:
I(z, t) =
ˆ h(z,t)
g(z,t)
f(x, z, t) dx ,
temos:
∂I(z, t)
∂z
=
∂
∂z
ˆ h(z,t)
g(z,t)
f(x, z, t) dx
=
ˆ h(z,t)
g(z,t)
∂f
∂z
dx+
∂h
∂z
f(h(z, t), z, t)− ∂g(z, t)
∂z
f(g(z, t), z, t) . (xcvi)
No nosso caso, temos:
h(z, t) =
z
2a
√
t
, g(z, t) = 0 , f(x, z, t) = e−x
2
. (xcvii)
Enta˜o,
∂I(z, t)
∂z
=
∂u(z, t)
∂z
=
2T0√
pi
{ˆ z
2a
√
t
0
∂
∂z
(
e−x
2
)
dx+
∂
∂z
(
z
2a
√
t
)
e−
z2
4a2t − ∂(0)
∂z
f(0, z, t)
}
.
Portanto, (
∂u(z, t)
∂z
)∣∣∣∣
z=0
=
2T0√
pi
{
0 +
1
2a
√
t
· e− z
2
4a2t − 0
}∣∣∣∣
z=0
=
T0√
pia2t
≡ γ . (xcviii)
Do conhecimento sobre os dados para a crosta, isto e´:
a) Gradiente de Temperatura:
(
∂u
∂z
)∣∣∣∣
z=0
= γ = 30 /km
b) Temperatura Inicial: T0 = 1200
c) Coeficiente de Conduc¸a˜o do Calor na Crosta: a =
√
0, 006 cm/
√
s – coeficiente me´dio
experimental da conduc¸a˜o de temperatura em granitos, basaltos, etc.
De (xcviii) obtemos a durac¸a˜o do processo de resfriamento da crosta:
t =
T 20
pia2γ2
=
(1200 )2
3, 14× (0, 006 cm2/s) ·
1
(30× 10−3 /cm)2
≈ 0, 85× 1015 s ≈ 2, 7× 107anos = 27 000 000 anos (xcix)
Este tempo de resfriamento pode ser considerado pequeno se o compararmos com as atuais infereˆncias
sobre a presenc¸a de vida sobre a Terra, isto e´, se estima que existe vida na Terra ha´ pelo menos
3 000 000 000 de anos.
O modelo de resfriamento, visto acima, na˜o explica como a superf´ıcie do planeta pode ter sido
mantida a n´ıveis de temperatura favora´veis a` vida durante tanto tempo, e por isso na˜o suporta uma
ana´lise cr´ıtica maior, sendo portanto abandonado.
Uma expectativa com possibilidades de explicar o resfriamento e subsequ¨ente estabilidade da tem-
peratura na crosta surgiu com a descoberta do decaimento radioativo. Os elementos radioativos ao se
84
desintegrarem devem causar o aquecimento da crosta, atuando como fontes de calor. Desse modo, a
equac¸a˜o da conduc¸a˜o de calor deve conter o termo fonte, isto e´:
∂u(z, t)
∂t
= a2
∂2u(z, t)
∂z2
+ f(z, t) ; f(z, t) =
A
cρ
Baseando-se em uma grande quantidade de medic¸o˜es da radioatividade das rochas, considerando-se
o calor liberado pelo uraˆnio, pelo to´rio, pelo pota´ssio e por seus respectivos subprodutos radioativos,
usa-se tomar para A o valor
A = 1, 3× 10−12 cal
cm3 · seg
Suponhamos a Terra uma esfera de raio R = 6, 3 × 103 km com densidade de fontes radioativas
constante e igual a A. Neste caso, a quantidade de calor liberado em toda a esfera na unidade de
tempo e´
Q =
4
3
piR3A .
Fac¸amos uma segunda hipo´tese: a Terra na˜o deve se aquecer a`s custas do calor da radioatividade.
Assim, o fluxo de calor que atravessa uma unidade de a´rea de superf´ıcie e´
q = k
(
∂u
∂z
)∣∣∣∣
z=0
≥ Q
4piR2
∴
(
∂u
∂z
)∣∣∣∣
z=0
≥ AR
3k
≈ 6, 3× 1012
ou (
∂u
∂z
)∣∣∣∣
z=0
≈ 6300 /km
O presente modelo, com fontes radioativas uniformemente distribu´ıdas na esfera, acarreta um gradiente
de temperatura 200 vezes maior que o observado, o que nos leva a abandona´-lo.
Formulou-se ainda uma outra hipo´tese, segundo a qual os elementos radioativos se encontram dis-
tribu´ıdos somente em uma camada de espessuraH, medida a partir da superf´ıcie da Terra. Este modelo
tambe´m na˜o e´ satisfato´rio, pois na˜o capaz de explicar como os elementos radioativos se separaram,
concentrando-se em uma camada de 10 km de espessura3.
3.6 Valores de Contorno - Formulac¸a˜o
Formule matematicamente o seguinte problema de pequenas oscilac¸o˜es longitudinais:
Uma haste uniforme, ρ = cte, l = cte, de sec¸a˜o reta S = cte e mo´dulo de Young E = cte,
foi excitada por um agente externo, apo´s o que, iniciou-se sua observac¸a˜o (t0 = 0). Admita
agora as seguintes possibilidades:
a – As extremidades da haste esta˜o rigidamente fixas;
b – As extremidades da haste se movem no espac¸o por leis dadas;
c – As extremidades esta˜o livres;
d – As extremidades esta˜o elasticamente presas, experimentando, cada uma, uma forc¸a
longitudinal proporcional ao deslocamento (forc¸as ela´sticas).
O meio no qual a haste se encontra lhe oferece uma resisteˆncia ao deslocamento propor-
cional a` sua velocidade.
Soluc¸a˜o
a – Extremidades Fixas
Neste caso, a formulac¸a˜o matema´tica do problema e´ direta:
3Veja ca´lculos em Tikhonov.
85
Equac¸a˜o que descreve o fenoˆmeno:
utt(x, t) =
E
ρ
uxx(x, t)− 2νut(x, t) ; 0 ≤ x ≤ l ; 0 ≤ t ≤ ∞
Condic¸o˜es iniciais:
u(x, 0) = Φ(x) e ut(x, 0) = ψ(x)
Condic¸o˜es de contorno:
u(0, t) = u(l, t) = 0
b – Extremidades se movem por leis dadas
Aqui tambe´m a formulac¸a˜o e´ direta, diferindo da anterior somente nas condic¸o˜es nas fronteiras,
que passam a ser:
u(0, t) = µ(t)
u(l, t) = ν(t)
}
As func¸o˜es µ(t) e ν(t) sa˜o dadas.
c – Extremidades Livres
Aqui a equac¸a˜o que descreve o fenoˆmeno e as condic¸o˜es iniciais sa˜o as mesmas dos ı´tens a e b.
No entanto, as condic¸o˜es de contorno sa˜o diferentes.
Condic¸o˜es de Contorno
Para determinar estas condic¸o˜es, vamos aplicar aos extremos a segunda lei de Newton.
Figura 3.4:
Na extremidade da esquerda (∆x > 0), tem-se:
ρ0S∆xutt =
∑
Forc¸as = Telast =
ES [(x0 +∆x+ u(x0 +∆x, t))− (x0 + u(x0, t))− (x0 +∆x− x0)] 1
∆x
" ES ux(x0, t) .
No limite, quando ∆x→ 0, temos x0 → 0, ρ0S∆xutt → 0. Logo, a condic¸a˜o de contorno e´:
ux(0, t) = 0
Na extremidade direita (∆x > 0, ∆u = S∆x > 0), tem-se:
ρ0S∆xutt(xl, t) =
∑
Forc¸as = Telast =
ES [(xl −∆x+ u(xl −∆x, t))− (xl + u(xl, t))− (xl −∆x− xl)] 1
∆x
=
ES [u(xl −∆x, t)− u(xl, t)] 1
∆x
" −ES ux(xl, t) .
86
Quando ∆x→ 0, xl → l e da segunda lei de Newton tem-se que ρ0S∆xutt → 0. Consequ¨ente-
mente,
lim
∆x→0
ρ0S∆xutt = − lim
∆x→0
ES ux(xl, t) = 0 .
Logo,
ux(l, t) = 0
d – Extremidades elasticamente fixas
Sejam as molas de constantes k1 e k2 as representac¸o˜es destas ligac¸o˜es ela´sticas.
Figura 3.5:
Para encontrar as condic¸o˜es na fronteira para o caso em questa˜o, utilizaremos, como antes, a
segunda lei de Newton.
Na extremidade esquerda, ∆V > 0 ∴ ∆V = S∆x ⇒ ∆x > 0. No elemento de volume ∆V da
haste, atuam as forc¸as ela´sticas da haste e da mola. Logo, a segunda lei de Newton sera´:
ρ0S∆xutt =
∑
Forc¸as = T elast
haste
+T elast
mola
=
ES
[
u(x0 +∆x, t)− u(x0, t)
∆x
]
+ [−k1u(x0, t)] = ES ux(x0, t)− k1u(x0, t) .
No limite quando ∆x→ 0, x0 → 0 e enta˜o:
lim
∆x→0
ρ0S∆xutt(x0, t) = lim
∆x→0
[ES ux(x0, t)− k1u(x0, t)]
e temos
ES ux(0, t)− k1u(0, t) = 0 ,
ou
ux(0, t)− h1u(0, t) = 0 , h1 = k1
ES
Na extremidade esquerda, ∆V > 0 ∴ ∆V = S∆x ⇒ ∆x > 0. No elemento de volume ∆V da
haste, atuam as forc¸as ela´sticas da haste e da mola. Logo, a segunda lei de Newton sera´:
ρ0S∆xutt =
∑
Forc¸as = T elast
haste
+T elast
mola
=
ES
[
u(xl −∆x, t)− u(xl, t)
∆x
]
+ [−k2u(xl, t)] = −ES ux(xl, t)− k2u(xl, t) .
No limite quando ∆x→ 0, xl → l e enta˜o:
lim
∆x→0
ρ0S∆xutt(xl, t) = lim
∆x→0
[ES ux(xl, t)− k2u(xl, t)]
87
e temos
ES ux(l, t) + k2u(l, t) = 0 .
Finalmente:
ux(l, t) + h2u(l, t) = 0 , h2 =
k2
ES
Lembre-se que as condic¸o˜es na fronteira deste ı´tem sa˜o do tipo misto, pore´m homogeˆneas.
88
Cap´ıtulo 4
Func¸o˜es Especiais
4.1 Introduc¸a˜o
As func¸o˜es especiais que estudaremos sa˜o soluc¸o˜es particulares de uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria
de 2 ordem, da forma:
p0(z)
d2u(z)
dz2
+ p1(z)
du(z)
dz
+ p2(z)u(z) = 0 , (4.1)
onde
p2(z) = q(z) + λω(z) . (4.2)
Vamos representar (4.1) em uma forma mais concreta. Procuremos para isso um multiplicador f(z),
para (4.1), tal que
f(z)p0(z)
d2u(z)
dz2
+ f(z)p1(z)
du(z)
dz
=
d
dz
[
p0(z)f(z)
du
dz
]
. (4.3)
Daqui, deveremos determinar f(z), isto e´:
p0fu
′′ + p1fu′ = [p0fu′]
′
= p0fu
′′ + [p0f ]
′ u′ ∴
p1f = [p0f ]
′ = p′0f + p0f
′ ,
enta˜o:
p0(z)f ′(z) + p′0(z)f(z)− p1(z)f(z) = 0 (4.4)
Finalmente:
f ′(z)
f(z)
+
p′0(z)
p0(z)
− p1(z)
p0(z)
= 0 (4.5)
Integrando (4.5), temos
ln f(z) + ln p0(z) = ln {f(z)p0(z)} =
ˆ z p1(z)
p0(z)
dz
e chegamos a
f(z) =
1
p0(z)
e
´ z p1(z)
p0(z)
dz (4.6)
que e´ o multiplicador procurado.
Usando a func¸a˜o f(z) de (4.6) podemos escrever (4.1) na seguinte forma (usando (4.2)):
d
dz
[
p0(z)f(z)
du(z)
dz
]
+ q(z)f(z)u(z) + λω(z)f(z)u(z) = 0 , (4.7)
89
ou
L [u(z)] + λω(z)f(z)u(z) = 0 , (4.8)
onde
L ≡ d
dz
[
p0(z)f(z)
d
dz
. . .
]
+ q(z)f(z) . . .
Tomemos a equac¸a˜o diferencial adjunta a (4.1) (multiplicada por f(z)):
fp0
d2u
dz2
+ fp1
du
dz
+ fqu+ λfωu = 0
d2
dz2
(fp0u)− d
dz
(fp1u) + fqu+ λfωu = 0
(4.9)
Aqui, as func¸o˜es presentes sa˜o as mesmas que aparecem em (4.1)-(4.6)
Vamos desenvolver a segunda equac¸a˜o em (4.9) (a adjunta).
d
dz
[p′0fu+ p0f
′u+ p0fu′]− [p′1fu+ p1f ′u+ p1fu′] + fqu+ λfωu = 0 , ou
d
dz
[(
fp′0 + f
′p0
)
u+ fp0u
′
]
− [(p′1f + p1f ′)u+ p1fu′ ]+ fqu+ λfωu = 0 .
Utilizando (4.4) nos termos sublinhados, vem:
d
dz
[fp1u+ fp0u
′]− [(fp′0 + f ′p1)u+ (f ′p0 + fp′0)u] + fqu+ λfωu =
(fp1)
′ u+ (fp1)u′ + (fp0)
′ u′ + (fp0)u′′ − (fp1)′ u− (fp0)′ u′ + fqu+ λfωu = 0 .
Finalmente:
(fp0)u
′′ + (fp1)u′ + (fq)u+ λ (fω)u =
d2
dz2
(fp0u)− d
dz
(fp1u) + fqu+ λfωu =
d
dz
[
p0f
du
dz
]
+ fqu+ λfωu = 0 . (4.10)
Vamos representar (4.10) sob a forma de operadores diferenciais:{
d
dz
[
fp0
d
dz
. . .
]
+ fq . . .
}
u+ λfωu = L [u] + λfωu , (4.11)
{
d2
dz2
(fp0 . . .)− d
dz
(fp1 . . .) + fq
}
u+ λfωu =M [u] + λfωu , (4.12)
onde os operadores diferenciais L e M sa˜o:
L ≡ d
dz
[
fp0
d
dz
. . .
]
+ fq . . .+ λfω Operador de Sturm-Liouville (4.13)
M ≡ d
2
dz2
(fp0 . . .)− d
dz
(fp1 . . .) + fq Operador auto-adjunto a L (4.14)
Definic¸a˜o de operador adjunto para equac¸o˜es diferenciais:
Dado o operador diferencial de 2 ordem
L [u] ≡
n∑
i=1
n∑
j=1
aij
∂2u
∂xi∂xj
+
n∑
i=1
bi
∂u
∂xi
+ cu , (4.15)
90
onde aij = aij(x1, x2, . . . , xn) e bi = bi(x1, x2, . . . , xn) e c = c(x1, x2, . . . , xn) sa˜o func¸o˜es duas vezes
diferencia´veis em relac¸a˜o a xi (i = 1, 2, . . . , n), introduziremos o operador diferencial adjunto a L do
seguinte modo:
???? (4.16)
Definamos agora o operador diferencial de 2 ordem M , tal que:
M [v] ≡
n∑
i=1
n∑
j=1
∂2
∂xi∂xj
(aijv) +
n∑
i=1
∂
∂xi
(biv) + cv , (4.17)
onde os coeficientes aij , bi e c sa˜o os mesmos em (4.15) e (4.16).
O operador M e´ chamado adjunto ao operador L e, reciprocamente, o operador adjunto a M e´
o operador L .
Se o operadorM for igual ao operador L , enta˜oM e´ chamado operador auto-adjunto do operador
L . Este fato pode ser observado em (4.10), onde temos
L [v] + λωfv =M [v] + λωfv = (fp0)
d2u
dz2
+ (fp1)
du
dz
+ (fq)u+ λ (fω)u = 0 (4.18)
A condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que L e M sejam auto-adjuntos e´ que L [u] =M [u].
Uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de 2 ordem (4.1) pode ser sempre escrita na forma de uma
equac¸a˜o de Sturm-Liouville (4.11) com o aux´ılio de uma func¸a˜o multiplicadora f(x). No entanto,
podemos realizar esta representac¸a˜o sem recorrer a` func¸a˜o f(x), bastando exigir que o operador di-
ferencial linear de 2 ordem seja auto-adjunto. Realmente, fac¸amos f(x) = 1 em (4.13) e (4.14) e
exijamos que
M [u] = L [u] =
d2
dx2
(p0u)− d
dx
(p1u) + qu
= p0
d2u
dx2
+ p1
du
dx
+ qu
= p0
d2u
dx2
+ (2p′0 − p1)
du
dx
+ (p′′0 − p′1
+ q)u . (4.19)
Comparando as duas u´ltimas igualdades, vem p0 = p0, p1 = 2p′0 − p1, p′′0 − p′1 + q = q e daqui, temos
p′0 = p1 e p′′0 = p′1 (4.20)
A segunda relac¸a˜o decorre da primeira. Assim, se (4.20) for satisfeita a equac¸a˜o dada (4.1) pode ser
escrita na forma de Sturm-Liouville. Caso contra´rio, utiliza-se a func¸a˜o multiplicadora f(x).
A vantagem de se escrever a equac¸a˜o de Sturm-Liouville na forma (4.7) e´ que λ, no termo λωu,
pode ser interpretado como oriundo da separac¸a˜o de varia´veis de alguma equac¸a˜o diferencial parcial
ou, na linguagem de operadores diferenciais, L [u] = −λωu, o operador L aplicado a u fornecendo u
multiplicada por λω, sendo neste caso u a auto-func¸a˜o e λ o auto-valor e ω o peso.
O fato de (4.1) poder ser representada na forma da equac¸a˜o de Sturm-Liouvile, nos permite
aplicar a ela todas as propriedades e relac¸o˜es ja´ vistas para auto-valores e auto-func¸o˜es. No entanto,
como antes, os valores expl´ıcitos dos auto-valores λn e das auto-func¸o˜es un so´ podem ser encontrados
conhecendo-se todos os coeficientes (explicitamente) de (4.1). Em nossas aplicac¸o˜es, o u´nico caso
em que conhecemos todos estes coeficientes e´ o dos osciladores harmoˆnicos simples, onde p0(z) = 1,
q(z) = 0 e ω(z) = 1 e ainda f(z) = 1. Nos casos em que tais coeficientes na˜o sa˜o constantes, as
equac¸o˜es diferenciais podem ter pontos singulares que podera˜o de algum modo afetar as soluc¸o˜es.
Assim, vamos iniciar o estudo da equac¸a˜o (4.1) pelos seus pontos singulares.
91
4.2 Pontos Singulares em Equac¸o˜es Diferenciais
O interesse nesse conceito prove´m de seu uso na classificac¸a˜o das equac¸o˜es diferenciais e na inves-
tigac¸a˜o da factibilidade de soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial por se´ries (me´todo de Frobenius).
Uma maneira de se apresentar uma definic¸a˜o de pontos singulares em equac¸o˜es diferenciais e´
escreveˆ-las na forma
y′′(x) + P (x)y′(x) +Q(x)y(x) = R(x) (≡ 0) (4.21)
e examinar as func¸o˜es P (x) e Q(x)1. Se P (x) e Q(x) sa˜o finitas quando x = x0, enta˜o o ponto x0 e´
dito ordina´rio na equac¸a˜o. Se, no entanto, ou P (x) ou Q(x) ou ambas divergirem quando x → x0, o
ponto x0 e´ um ponto singular na equac¸a˜o. O ponto singular pode ser:
1 – Singular Regular ou Singular na˜o-essencial – se ou P (x) ou Q(x) diverge quando x→ x0,
mas
lim
x→x0
(x− x0)P (x) <∞ e
lim
x→x0
(x− x0)2Q(x) <∞
2 – Singular Essencial ou Irregular – se P (x) diverge mais ra´pido que 1x−x0 , de sorte que:
lim
x→x0
(x− x0)P (x) = ±∞ ,
ou se Q(x) diverge mais ra´pido que 1(x−x0)2 , de sorte que:
lim
x→x0
(x− x0)2Q(x) = ±∞ .
A abordagem acima e´ va´lida para x0 finito. Para x0 →∞, a ana´lise e´ semelhante a`quela feita na
ana´lise complexa: faz-se x → 1z e a seguir faz-se z → 0 na equac¸a˜o diferencial correspondente a` dada
e agora escrita na varia´vel z. Fazemos:
dy(x)
dx
=
dy(z−1)
dz
dz
dx
=
dy(z−1)
dz
d
dx
(
1
x
)
=
dy(z−1)
dz
(
− 1
x2
)
(4.22)
d2y(x)
dx2
=
d
dx
(
dy(x)
dx
)
=
d
dz
(
dy(x)
dx
)
dz
dx
=
d
dz
[
dy(z−1)
dz
(−z2)] dz
dx
,
=
d
dz
[
−dy(z
−1)
dz
z2
] (−z2) = z4 d2y(z−1)
dz2
+ 2
dy(z−1)
dz
z3
dz
dx
= z4
d2y(z−1)
dz2
+ 2z3
dy(z−1)
dz
. (4.23)
Finalmente, teremos:
z4
d2y(z−1)
dz2
+
[
2z3 − z2P (z−1)] dy(z−1)
dz
+Q(z−1)y(z−1) = 0 . (4.24)
O comportamento de x no infinito e´ aqui equivalente ao comportamento de
2z3 − z2P (z−1)
z4
e de
Q(z−1)
z4
quando z → 0.
1P (x) =
p1(x)
p0(x)
e Q(x) =
p2(x)
p0(x)
92
Exerc´ıcio
Utilizando as definic¸o˜es de pontos ordina´rios e pontos singulares (regulares e irregulares)
em equac¸o˜es diferenciais de 2 ordem, determine nas equac¸o˜es abaixo os pontos regulares e
irregulares (inclusive x→∞). Escreva-as todas na forma da equac¸a˜o de Sturm-Liouville.
1 – Oscilador Harmoˆnico Simples:
y′′ + ω2y = 0
2 – Equac¸a˜o de Hermite:
y′′ − 2xy′ + 2αy = 0
3 – Equac¸a˜o associada de Laguerre:
xy′′ + (k + 1− x) y′ + (α− k) y = 0 (se k = 0, e´ a equac¸a˜o de Laguerre)
4 – a) Equac¸a˜o de Bessel:
x2y′′ + xy′ +
(
a2x2 − ν2) y = 0
b) Equac¸a˜o Modificada de Bessel
x2y′′ + xy′ − (a2x2 + ν2) y = 0
5 – Equac¸a˜o de Tchebyshev:
I :
(
1− x2) y′′ − xy′ + n2y = 0
II :
(
1− x2) y′′ − 3xy′ + n (n+ 2) y = 0
6 – Equac¸a˜o associada de Legendre:
(
1− x2) y′′ − 2xy′ + [l (l + 1)− m2
1− x2
]
y = 0
7 – Equac¸a˜o Hipergeome´trica:
x (x− 1) y′′ + [(1 + a+ b)x− c] y′ + aby = 0
Se as func¸o˜es P (x), Q(x) e R(x) ( "= 0 para equac¸o˜es heterogeˆneas) forem anal´ıticas em certo ponto
x = x0, enta˜o a soluc¸a˜o y(x), caso exista, devera´ ser anal´ıtica naquele ponto. Realmente, a equac¸a˜o
diferencial impo˜e que y(x) possua as derivadas primeira e segunda em certa vizinhanc¸a de x0 se, e
somente se, as func¸o˜es P (x), Q(x) e R(x) forem anal´ıticas em x = x0. Portanto, a soluc¸a˜o pode ser
escrita como uma se´rie de Taylor:
y(x) = c0 + c1 (x− x0) + c2 (x− x0)2 + c3 (x− x0)3 + . . . . (4.25)
Se, por outro lado, uma ou mais das func¸o˜es aludidas (P , Q e R) na˜o for anal´ıtica em um ou mais
pontos de seu domı´nio de definic¸a˜o, e´ de se esperar que a soluc¸a˜o y(x) tambe´m na˜o seja regular nos
mesmos pontos. Neste caso, recorremos a uma expansa˜o em se´rie de Laurent (e na˜o mais de Taylor) que
existe para regio˜es de conexa˜o mu´ltipla. O me´todo de Frobenius, utilizado para se determinar a soluc¸a˜o
de equac¸o˜es diferenciais com pontos singulares na forma de expansa˜o em se´rie, utiliza exatamente esta
ide´ia. Assim, a equac¸a˜o do tipo (4.21), mesmo com pontos singulares, pode ter soluc¸a˜o expl´ıcita.
A utilizac¸a˜o do me´todo de Frobenius esta´ assegurada pelos seguintes teoremas, que na˜o demons-
traremos (veja C.R. Wylie, Jr. – Advanced Engeneering Mathematics):
93
Teorema 1 A soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial ordina´ria homogeˆnea (4.21) e´ anal´ıtica em qualquer
ponto ordina´rio de seu domı´nio de definic¸a˜o D.
Por este teorema, a soluc¸a˜o y(x) de (4.21) pode ser escrita sob a forma de se´rie de Taylor
y(x) =
∞∑
n=0
cn (x− x0)n (4.26)
e tera´ raio de convergeˆncia igual a` distaˆncia entre x0 e o ponto singular mais pro´ximo.
Teorema 2 A soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial ordina´ria homogeˆnea (4.21), anal´ıtica em qualquer ponto
singular regular x0, existe e pode ser expandida em se´rie de poteˆncia na seguinte forma:
y(x) = (x− x0)s
∞∑
n=0
an (x− x0)n , a0 "= 0 e s qualquer (4.27)
Teorema 3 A equac¸a˜o diferencial homogeˆnea (4.21) na˜o possui geralmente nenhuma soluc¸a˜o que
possa ser expandida em se´rie de poteˆncia de (x− x0) se x0 representa uma singularidade irregular.
4.3 Me´todo de Frobenius
Este me´todo de soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial ordina´ria de 2 ordem utiliza a expansa˜o em se´rie
(4.27) com suporte dos teoremas 1,2, e 3. Pelo fato de c0 "= 0 e s ser qualquer, a soluc¸a˜o por se´rie de
poteˆncias generalizada pode descrever:
i) func¸o˜es anal´ıticas que na˜o se anulam na origem (s = 0 e x0 = 0)
ii) func¸o˜es com um po´lo de ordem m na origem (x0 = 0, s = −m, m inteiro)
iii) func¸o˜es com pontos de ramificac¸a˜o na origem (x0 = 0, s na˜o inteiro, real, imagina´rio puro ou
complexo)
Exerc´ıcio: Mostrar que a se´rie (4.27) pode ser derivada termo a termo, qualquer que seja s0=s.
Se a se´rie dada converge uniformemente em dada regia˜o (de convergeˆncia), enta˜o substitu´ımos os
resultados de y′′(x), y′(x) e y(x) expandidos e derivados na equac¸a˜o diferencial em ana´lise e reunimos
os termos semelhantes em (x− x0) que sera˜o igualados a zero (por queˆ?).
As relac¸o˜es resultantes permitem frequ¨entemente calculas uma ou duas soluc¸o˜es independentes da
equac¸a˜o diferencial estudada. Vejamos isto em exemplos.
Exemplo: A equac¸a˜o:
x2y′′ + 2xy′ +
(
x2 − 2) y = 0 . (4.28)
Esta equac¸a˜o
possui po´lo na origem (m = 2). Sua soluc¸a˜o sera´ procurada na seguinte
forma:
y(x) = xs
∞∑
n=0
cnx
n =
∞∑
n=0
cnx
n+s . (4.29)
Enta˜o,
y′(x) =
∞∑
n=0
cnx
n+s−1 (4.30a)
y′′(x) =
∞∑
n=0
cn (n+ s) (n+ s− 1)xn+s−2 (4.30b)
94
Substituindo (4.29), (4.30a) e (4.30b) em (4.28) e agrupando os termos semelhantes, te-
remos:
∞∑
n=0
[cn (n+ s) (n+ s− 1) + 2cn (n+ s)− 2cn]xs+n +
∞∑
n′=0
cn′x
s+n′+2 = 0 .
Fac¸amos n′ = n− 2. Enta˜o, vem:
∞∑
n=0
[cn (n+ s) (n+ s− 1) + 2cn (n+ s)− 2cn]xs+n +
∞∑
n=2
cn−2xs+n = 0 . (4.31)
Escrevendo explicitamente os termos para n = 0 e n = 1 na primeira soma de (4.31), vem
enta˜o:
[c0s (s− 1) + 2c0s− 2c0]xs + [c1 (s+ 1) s+ 2c1 (s+ 1)− 2c1]xs+1+
∞∑
n=2
[cn (n+ s) (n+ s− 1) + 2cn (n+ s)− 2cn]xs+n +
∞∑
n=2
cn−2xs+n = 0 . (4.32)
Esta se´rie funcional so´ sera´ identicamente nula (pois por hipo´tese (4.29) e´ soluc¸a˜o de
(4.28)) se cada um de seus coeficientes separadamente o for. Logo:
c0 [s (s− 1) + 2s− 2] = c0 [s (s+ 1)− 2] = 0 (4.33)
c1 [(s+ 1) s+ 2 (s+ 1)− 2] = c1 [(s+ 1) (s+ 2)− 2] = 0 (4.34)
Supondo que xs seta o termo de menor expoente da se´rie, decorre de c0 "= 0, que:
s (s+ 1)− 2 = 0 =⇒ s2 + s− 2 = 0 ∴ s =
{
s1 = 1
s2 = −2 (4.35)
A equac¸a˜o (4.35) e´ conhecida como equac¸a˜o indicial. Temos ainda de (4.32) que:
∞∑
n=2
{cn [(n+ s) (n+ s− 1) + 2 (n+ s)− 2 + cn−2]}xs+n = 0 (4.36)
e
cn =
1
2− (s+ n) (s+ n+ 1) cn−2 (n ≥ 2) (4.37)
Substituindo os valores das ra´ızes de s (s1 = 1 e s2 = −2) da equac¸a˜o indicial em (4.34)
e (4.37), teremos:{
c1 [(s1 + 1) (s1 + 2)− 2] = c1 · (2 · 3− 2) = 0 ∴ c1 = 0
c1 [(s2 + 1) (s2 + 2)− 2] = c1 · ((−1) · 0− 2) = 0 ∴ c1 = 0
(4.38)
Daqui, usando a fo´rmula de recorreˆncia (4.37), teremos:
c3 =
1
2− (s1,2 + 3) (s1,2 + 4) c1 = 0
c5 =
1
2− (s1,2 + 5) (s1,2 + 5 + 1) c1 = 0
c2n+1 =
c2n−1
2− (s1,2 + 2n+ 1) (s1,2 + 2n+ 2) = 0
Enta˜o, temos c1 = c3 = c5 = c7 = . . . = c2n−1 = c2n+1 = 0, ou seja, os coeficientes
ı´mpares sa˜o nulos.
95
Determinemos os coeficientes pares:
s = s1 = 1
c2 =
1
2− (1 + 2) (2 + 1 + 1) c
(1)
0 =
1
2− 3 · 4 c
(1)
0 = −
1
10
c(1)0
c4 =
1
2− 5 · 6 c
(1)
2 = −
1
28
c(1)2 =
1
280
c(1)0
c6 =
1
2− 7 · 8 c
(1)
4 = −
1
54
c(1)4 = −
1
280 · 54 c
(1)
0
...
Enta˜o,
y1(x) = c
(1)
0
{
1− x
2
10
+
x4
280
− x
6
15120
+ . . .
}
. (4.39)
s = s2 = −2
c(−2)2 =
1
2− (2− 2) (2− 2 + 1) c
(−2)
0 =
1
2− 0 · 1 c
(−2)
0 =
1
2
c(−2)0
c(−2)4 =
1
2− 2 · 3 c
(−2)
2 = −
1
4
c(−2)2 = −
1
8
c(−2)0
c(−2)6 =
1
2− 4 · 5 c
(−2)
4 = −
1
18
c(−2)4 =
1
144
c(−2)0
...
Enta˜o,
y2(x) = c0
{
1
x2
+
1
2
− x
2
8
+
x4
144
− . . .
}
, (4.40)
pois c(−2)0 = c
(1)
0 = c0.
As duas expresso˜es (4.39) e (4.40) sa˜o soluc¸o˜es na˜o-triviais da equac¸a˜o diferencial ordina´ria
(4.28) e sa˜o, portanto, linearmente independentes. Assim, a soluc¸a˜o geral tera´ a seguinte
forma:
y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) = c1y
(1)(x) + c2y
(−2)(x) . (4.41)
Vamos utilizar esta mesma abordagem para encontrar a soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Bessel.
4.4 Equac¸a˜o de Bessel do 1 Tipo
A soluc¸a˜o sera´ obtida pelo me´todo de Frobenius. A te´cnica e´ a mesma daquela do exemplo visto,
isto e´, dada a equac¸a˜o
x2y′′ + xy′ +
(
x2 − ν2) y = 0 (4.42)
chamada de equac¸a˜o de Bessel do 1 tipo, propomos sua soluc¸a˜o na forma
y(x) = xs
∞∑
n=0
cnx
n , (4.43)
96
onde s e´ qualquer. Temos que:
y′(x) =
∞∑
n=0
cn (n+ s)x
s+n−1 =⇒ xy′ =
∞∑
n=0
cn (n+ s)x
s+n (4.44a)
e
y′′(x) =
∞∑
n=0
cn (n+ s) (n+ s− 1)xs+n−2 =⇒ x2y′′ =
∞∑
n=0
cn (n+ s) (n+ s− 1)xs+n (4.44b)
Substituindo (4.43), (4.44a) e (4.44b) em (4.42), obtemos:
∞∑
n=0
cn
[
(n+ s) (n+ s− 1) + (n+ s)− ν2]xn+s + ∞∑
n′=0
cn′x
n′+s+2 = 0 . (4.45)
Observe que se fizermos em (4.43) n = 0, o termo de menor expoente e´ xs e na˜o xs+2, como aparece
em (4.45). Portanto, fazemos n′ + 2 = n, ou n′ = n− 2 e enta˜o obte´m-se:
∞∑
n=0
cn
[
(n+ s) (n+ s)− ν2]xn+s + ∞∑
n=2
cn−2xn+s = 0 . (4.46)
Daqui, escrevendo-se explicitamente os termos para n = 1 e n = 2 na primeira parcela de (4.46),
obte´m-se:
c0
(
s2 − ν2)xs + c1 [(s+ 1)2 − ν2]xs+1 + ∞∑
n=2
{
cn
[
(n+ s)2 − ν2
]
+ cn−2
}
xn+s = 0 . (4.47)
Por hipo´tese, c0 "= 0; caso contra´rio, s na˜o sera´ o menor expoente de x em (4.43).
A se´rie (4.43) so´ sera´ soluc¸a˜o de (4.42) se (4.47) for identicamente nula e isto so´ ocorrera´ se cada
um de seus termos o for separadamente, isto e´, cada um de seus coeficientes devera´ ser nulo. Logo:
c0
(
s2 − ν2) = 0 =⇒ s = ±ν (4.48)
pois c0 "= 0, e
c1
[
(s+ 1)2 − ν2
]
= 0 =⇒ c1 = 0 , ∀s = ν "= ±1
2
, (4.49)
pois nesse caso, c1 "= 0. Realmente,
c1
[
(s+ 1)2 − ν2
]
= c1 [(s+ 1)− ν] [(s+ 1) + ν] = c1
{
(s+ 1− s) (s+ 1 + s) = 0
(s+ 1 + s) (s+ 1− s) = 0 ,
e daqui decorre (4.49). Ainda de (4.47), obteremos:
cn =
cn−2
(n+ s)2 − ν2 =
−cn−2
(n+ s+ ν) (n+ s− ν) (4.50)
Determinemos os coeficientes cn para s = ±ν:
cn =
−cn−2
n (n+ 2ν)
(4.51)
Como c1 = 0 exceto para ν = ± 12 e mesmo neste caso podemos negligencia´-lo, pois agora estamos
interessados somente na condic¸a˜o suficiente para a existeˆncia de soluc¸a˜o na˜o-trivial de (4.42) na forma
(4.43).
97
Tomando em (4.51) os valores ı´mpares de n, teremos:
c3 =
−c1
3 (3 + 2ν)
= 0
c5 =
−c3
5 (5 + 2ν)
= 0
c7 =
−c5
7 (7 + 2ν)
= 0
ou
c2n+1 =
−c2n−1
(2n+ 1) [(2n+ 1) + 2ν]
≡ 0 (4.52)
Tomando agora em (4.51) os valores pares de n, teremos:
c2 =
−c0
2 (2 + 2ν)
=
−c0
22 (ν + 1)
c4 =
−c2
4 (4 + 2ν)
=
c0
4 (4 + 2ν) 2 (2 + 2ν)
=
c0
242! (ν + 2) (ν + 1)
c6 =
−c4
6 (6 + 2ν)
=
−c4
22 · 3 (ν + 3) =
−c0
263! (ν + 3) (ν + 2) (ν + 1)
ou
c2m =
(−1)m c0
22mm! (ν +m) (ν +m− 1) . . . (ν + 2) (ν + 1) (4.53)
De (4.52) e (4.53), a expansa˜o (4.43), para ν > 0, tera´ a seguinte forma:
y(x) =
∞∑
m=0
c2mx
2m+ν (4.54)
Como aqui x possui expoente 2m + ν, seria deseja´vel que o denominador 22m em (4.53) tivesse o
mesmo expoente, isto e´, 22m+ν . Ainda mais, o produto que aparece no denominador em (4.54), isto
e´,
(ν +m) (ν +m− 1) . . . (ν + 2) (ν + 1) , (4.55)
sugere um fatorial. De fato, se ν fosse obrigatoriamente um inteiro, o fatorial de (ν +m) seria obtido
multiplicando-se (4.55) por ν!. No entanto, o ı´ndice ν na˜o e´ necessariamente um inteiro. Por isso
na˜o podemos usar ν!. Mas a generalizac¸a˜o do conceito de fatorial para nu´meros arbitra´rios existe e e´
representado atrave´s da chamada func¸a˜o Gama, isto e´, Γ (ν + 1). Se ν = n = inteiro, a func¸a˜o Gama
representa uma fatorial convencional. Assim, a func¸a˜o Gama se presta aos nossos propo´sitos e no´s a
usaremos em (4.53)-(4.54).
Como se veˆ a partir de seu gra´fico, a func¸a˜o Γ(ν) so´ na˜o e´ definida para os valores de ν iguais a
0, −1, −2, −3,. . . , mas para todos os outros valores de ν ela e´ bem definida. Estas considerac¸o˜es nos
levam a escrever os coeficientes de (4.54) na seguinte forma:
c2m =
(−1)m c0
2ν+2mm! (ν +m) (ν +m− 1) . . . (ν + 2) (ν + 1)Γ(ν + 1) 2
νΓ(ν + 1) (4.56)
A func¸a˜o Gama satsisfaz a` seguinte relac¸a˜o de recorreˆncia:
νΓ(ν) = Γ(ν + 1) (4.57)
98
Figura 4.1: A func¸a˜o Gama.
que podemos usar repetidas vezes no produto presente no denominador de (4.56), obtendo:
(ν +m) (ν +m− 1) (ν +m− 2) . . . (ν + 3) (ν + 2) (ν + 1)Γ(ν + 1) =
(ν +m) (ν +m− 1) (ν +m− 2) . . . (ν + 3) (ν + 2)Γ(ν + 2) =
(ν +m) (ν +m− 1) (ν +m− 2) . . . (ν + 3)Γ(ν + 3) =
(ν +m) (ν +m− 1) (ν +m− 2) . . . (ν + 3)Γ(ν + 3) =
(ν +m) (ν +m− 1) (ν +m− 2) . . .Γ(ν + 4) =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(ν +m)
(ν +m− 1) (ν +m− 2)Γ(ν +m− 2) =
(ν +m) (ν +m− 1)Γ(ν +m− 1) =
(ν +m)Γ(ν +m) =
Γ(ν +m+ 1) .
Assim, (4.56) com o aux´ılio de (4.57), fica:
c2m =
(−1)m
2ν+2mm!Γ(ν +m+ 1)
[2νΓ(ν + 1)] c0 (4.58)
Como c0 e´ arbitra´rio e estamos procurando uma soluc¸a˜o particular qualquer para (4.42), podemos
escolher o coeficiente c0 da seguinte forma:
c0 =
1
2νΓ(ν + 1)
(4.59)
de sorte que (4.58) toma a forma
c2m =
(−1)m
2ν+2mm!Γ(ν +m+ 1)
(4.60)
que e´ a forma final dos coeficientes a expansa˜o em se´rie de poteˆncias da equac¸a˜o de Bessel.
99
Desse modo, a soluc¸a˜o procurada, para a equac¸a˜o diferencial de Bessel do 1 tipo, pelo me´todo de
Frobenius, e´, para ν > 0:
y(x) =
∞∑
m=0
c2mx
2m+ν =
∞∑
m=0
(−1)m
m!Γ(ν +m+ 1)
(x
2
)ν+2m
= Jν(x) (4.61)
A func¸a˜o Jν(x) e´ a func¸a˜o de Bessel do 1 tipo e de ordem ν.
Vamos analisar (4.61) em relac¸a˜o a`s va´rias possibilidades de ν, notando que a se´rie converge para
qualquer valor de ν (" 0) (verifique com qualquer teste, o da raza˜o, por exemplo), pois de acordo com
o teorema 2 a func¸a˜o de Bessel de ordem ν na˜o possui outro ponto singular a na˜o ser a origem.
– Possibilidade I: ν = n > 0 (nu´mero inteiro)
Neste caso, Jν(x) e´ func¸a˜o un´ıvoca e a se´rie acima e´ do tipo se´rie de Taylor.
– Possibilidade II: ν "= n > 0 (na˜o-inteiro)
Neste caso, Jν(x) possuira´ um ponto de ramificac¸a˜o na origem e os ramos de Jν(x) sa˜o determi-
nados pelos ramos de xν e sua quantidade pode ser finita (ν racional) ou infinita (ν irracional).
– Possibilidade III: s = −ν , ν > 0 (demonstre!)
Usando o mesmo procedimento dos ca´lculos de cn para s = ±ν, notamos que surgem dificuldades
para:
a) ν = inteiro
b) ν = metade de nu´meros ı´mpares ,
pois a fo´rmula de recorreˆncia agora e´ da forma:
cn =
−1
n (n− 2ν) cn−2 (4.62)
Na˜o obstante as dificuldades assinaladas, encontraremos:
c2m+1 = 0 (4.63a)
e
c2m =
(−1)m
m!Γ(m− ν + 1)22m−ν (4.63b)
de sorte que
J−ν(x) =
∞∑
m=0
(−1)m
m!Γ(m− ν + 1)
(x
a
)2m−ν
(4.64)
Esta e´ a func¸a˜o de Bessel do 1 tipo e de ordem −ν. Demonstre que para s = −ν (ν > 0) na˜o e´
necessa´rio modificar a definic¸a˜o da func¸a˜o de Bessel, mostrando que (4.62)-(4.64) sa˜o va´lidas.
– Possibilidade IV: s = −n = −ν , ν > 0
Examinemos em (4.64) o caso em que ν = n, inteiro e positivo. Logo:
J−n(x) =
∞∑
m=0
(−1)m
m!Γ(m− n+ 1)
(x
a
)2m−n
. (4.65)
Observando o gra´fico da func¸a˜o Gama notamos que 1Γ(m−n+1) = 0 para m = 0, 1, 2, 3, . . . , n− 1,
de sorte que em (4.65) seus n primeiros termos sera˜o na˜o-nulos, ou seja, so´ sera˜o na˜o-nulos os
termos
J−n(x) =
∞∑
m=n
(−1)m
m!Γ(m− n+ 1)
(x
a
)2m−n
. (4.66)
100
Fac¸amos aqui, m = m′ + n, de sorte que:
J−n(x) =
∞∑
m′=0
(−1)n+m′
(m′ + n)!Γ(m′ + 1)
(x
a
)2m′+n
.
Mas de (4.57), vem:
(m′ + n)!Γ(m′ + 1) = (m′ + n) (m′ + n− 1) (m′ + n− 2) . . . (m′ + 2) (m′ + 1)m′!Γ(m′ + 1)
= m′!Γ(m′ + n+ 1) ,
apo´s n aplicac¸o˜es sucessivas de (4.57). Finalmente temos, enta˜o:
J−n(x) = (−1)n
∞∑
m′=0
(−1)m′
m′!Γ(m′ + n+ 1)
(x
a
)2m′+n
= (−1)n Jn(x) (4.67)
Como J−n(x) = (−1)n Jn(x), as func¸o˜es Jn e J−n sa˜o proporcionais e, consequ¨entemente, na˜o
representam soluc¸o˜es linearmente independentes da equac¸a˜o de Bessel do 1 tipo e de ordem
(+ν) e (−ν).
– Possibilidade V: s = 2n+12 = n+
1
2
Examinemos o caso em que ν e´ igual a` metade de um inteiro ı´mpar, isto e´: ν2 =
(
n+ 12
)2
.
Vamos inicialmente tomar ν = +
(
ν + 12
)
. A equac¸a˜o indicial nos fornece:
c0
(
s2 − ν2) = 0 ∴ s2 = ν2 ∴ s = ±ν e c0 "= 0
A equac¸a˜o em c1 (4.49) nos da´:
c1
[
(s+ 1)2 − ν2
]
= c1 [(s+ 1 + ν) (a+ 1− ν)] = 0 .
Seja s = +ν. Logo,
c1 [(2ν + 1) (() 1)] = 0 = c1
[
2
(
n+
1
2
)
+ 1
]
= c1 [(2n+ 1) + 1] ⇒ c1 = 0
e o coeficiente gene´rico sera´ obtido de modo ana´logo ao usado para se obter (4.51) ou (4.60),
resultando respectivamente:
cm = − cm−2
m (m+ 2ν)
∣∣∣∣
ν=n+ 12
, ou cm = − cm−2
m (m+ 2n+ 1)
(4.68a)
e
c2m =
(−1)m
22m+2n+1m!Γ(2n+ 2m+ 1)
(4.68b)
Estes resultados indicam que na˜o sa˜o necessa´rias modificac¸o˜es nas definic¸o˜es das func¸o˜es de
Bessel do 1 tipo e de ordem ν = n+ 12 > 0. Logo:
Jν(x)|ν=n+ 12 = Jn+ 12 (x) =
∞∑
m=0
(−1)m
22m+2n+1m!Γ(2n+ 2m+ 1)
(x
2
)2m+n+ 12
Vamos finalmente tomar ν = − (n+ 12), com n > 0. A equac¸a˜o de c1 nos fornece:
c1
[
(s+ 1)2 − ν2
]
= c1 (s+ 1 + ν) (s+ 1− ν) = 0 = c1 (2ν + 1) (1) = 0 ∴
c1 [− (2n+ 1) + 1] (+1) = c1 (−2n) = 0 ∴ c1 ≡ 0 , ∀n "= 0 .
101
Como antes, os coeficientes c1, c3, c5, . . . sa˜o nulos, mas para 2m = 2n+ 1, obtemos a equac¸a˜o
c2m = − c2m−2
2m [2m− (2n+ 1)] ∴ 2m [2m− (2n+ 1)] c2m + c2m−2 = 0 .
Se tomarmos aqui m = n+ 12 , teremos enta˜o:
2
(
n+
1
2
)[
2
(
n+
1
2
)
− (2n+ 1)
]
c2(n+ 12 )
+ c2(n+ 12 )−2 = 0 ,
ou c2n−1 = 0, identidade satisfeita para qualquer significado de c2n−1. Desse modo, para m < n,
os coeficientes c2n−1 sera˜o nulos, significando que os n primeiros termos da se´rie de Frobenius
sa˜o nulos.
Por abordagem semelhante a`quela utilizada na determinac¸a˜o dos coeficientes de J−n(x), obte´m-se
para ν = − (n+ 12) e m = (m′ + 12) uma fo´rmula de expansa˜o em se´rie de Frobenius semelhante a`
ja´ obtida.
Exerc´ıcio: Determine a expressa˜o para a expansa˜o de Frobenius para ν = − (n+ 12) e m =(
m′ + 12
)
e mostre que a definic¸a˜o da func¸a˜o de Bessel para este caso e´ ana´loga a` ja´ vistas.
(Fac¸a c0 =
1
2−n−
1
2 Γ(− 12−n)
)
Este resultado nos leva a concluir que para ν = ± ( 12 + n) na˜o se exige qualquer modificac¸a˜o na
definic¸a˜o de Jν(x). No entanto, a relac¸a˜o (4.67) estabelece a dependeˆncia linear entre Jn(x) e J−n(x)
para n na˜o-inteiro. Isto tambe´m significa que Jν(x) e J−ν(x) sa˜o linearmente independentes para
todos os valores de ν, exceto ν = n inteiro. Assim, a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o de Bessel do 1 tipo
sera´:
y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) = c1Jν(x) + c2J−ν(x) (∀ν "= n , inteiro) (4.69)
Para ν = n inteiro, devemos procurar uma segunda soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o de Bessel de
ordem n e do 1 tipo. Esta segunda soluc¸a˜o pode ser tanto uma func¸a˜o de Bessel do 2 tipo quanto do
3 tipo, como veremos mais adiante. Antes, pore´m, de determinarmos estas func¸o˜es, vamos examinar
as chamadas fo´rmulas de recorreˆncia da func¸a˜o de Bessel do 1 tipo e de ordem ν.
4.4.1 Fo´rmulas de Recorreˆncia de Jν(x)
Frequ¨entemente a equac¸a˜o de Bessel e´ escrita na˜o na forma (4.42), mas como segue:
x2y′′ + xy′ +
(
λ2x2 − ν2) y = 0 (4.70)
Esta e´ a equac¸a˜o de Bessel do 1 tipo, de ordem ν e paraˆmetro λ. Para se obter (4.42) a partir de
(4.70), fac¸amos a seguinte substituic¸a˜o:
z = λx e y(x) = u(z) .
Assim, obtemos:
dy
dx
=
du
dz
dz
dx
= u′λ
d2y
dx2
=
d
dx
(u′λ) = λ
du′
dz
dz
dx
= λ2u′′(z) = λ2
d2u
dz2
Logo:
λ−2z2λ2u′′ + λ−1zλu′ +
(
λ2λ−2z2 − ν2)u = 0 ,
ou
z2u′′(z) + zu′(z) +
(
z2 − ν2)u(z) = 0 (4.71)
102
As fo´rmulas de recorreˆncia que estudaremos se referem todas a` equac¸a˜o na forma (4.42) ou (4.70).
Fac¸amos na representac¸a˜o em se´rie de Jν(x), equac¸a˜o (4.61), a mudanc¸a de varia´veis
x2 = t (4.72)
e a teremos na forma
Jν(
√
t)
tν/2
=
∞∑
m=0
(−1)m tm
m!Γ(m+ ν + 1) 2ν+2m
(4.73)
Derivando-se esta expressa˜o n vezes em relac¸a˜o a t, obte´m-se:
dn
dtn
(
Jν(
√
t)
tν/2
)
=
∞∑
m=0
(−1)mm (m− 1) (m− 2) . . . (m− n+ 1) tm−n
m!Γ(m+ ν + 1) 2ν+2m
.
Seja aqui m = l + n e teremos:
dn
dtn
(
Jν(
√
t)
tν/2
)
=
∞∑
l=0
(−1)l+n (l + n) (l + n− 1) . . . (l + 1) tl
(l + n)!Γ(ν + l + n+ 1) 2ν+2l+2n
=
(−1)n
2nt
ν+n
2
∞∑
l=0
(−1)l tl+ ν+n2
l!Γ(ν + l + n+ 1) 2ν+n+2l
=
(−1)n
2nxν+n
∞∑
l=0
(−1)l
l!Γ((ν + n)
+ l + 1)
(x
2
)(ν+n)+2l
=
(−1)2
2n
Jν+n(x)
xν+n
,
ou seja:
dn
(dx2)n
[
Jν(x)
xν
]
=
(−1)2
2n
Jν+n(x)
xν+n
, (4.74)
ou ainda
dn
(x dx)n
[
Jν(x)
xν
]
= (−1)n Jν+n(x)
xν+n
(4.75)
Multipliquemos (4.61) por t
ν
2 (apo´s fazer x2 = t) e repitamos o procedimento acima para a expressa˜o
obtida. Encontraremos apo´s n derivac¸o˜es sucessivas e retorno a` varia´vel x (t→ x2):
dn
(dx2)n
(xνJν(x)) =
xν−nJν−n(x)
2n
(4.76)
ou
dn
(x dx)n
(xνJν(x)) = xν−nJν−n(x) (4.77)
Exerc´ıcio: Deduzir (4.76)-(4.77).
Fazendo-se n = 1 em (4.75) e em (4.77), obteremos, respectivamente, as seguintes expresso˜es:
1
x
d
dx
(
Jν(x)
xν
)
= −Jν+1(x)
ν + 1
1
x
d
dx
(xνJν(x)) = xν−1Jν−1(x)
. (4.78)
103
Efetuando-se aqui a derivac¸a˜o, obte´m-se, apo´s cancelar os fatores comuns:{
xJ ′ν(x)− νJν(x) = −xJν+1(x)
xJ ′ν(x) + νJν(x) = +xJν−1(x)
. (4.79)
Somando-se e subtraindo-se essas relac¸o˜es, obte´m-se:{
2J ′ν(x) = Jν−1(x)− Jν+1(x)
2νJν(x) = x [Jν−1(x) + Jν+1(x)]
. (4.80)
As expresso˜es em (4.79) e (4.80) sa˜o as fo´rmulas de recorreˆncia da func¸a˜o de Bessel do 1 tipo e de
ordem ν.
4.4.2 Ana´lise das Soluc¸o˜es da Func¸a˜o de Bessel
Usando-se o crite´rio da raza˜o de D’Alembert e´ fa´cil constatar que para qualquer valor finito de x e
para qualquer ν, as se´ries (4.61) e (4.64) convergem (em relac¸a˜o a x e ν). No entanto, se ν for inteiro
as fo´rmulas (4.61) e (4.64) sa˜o proporcionais e na˜o representam soluc¸o˜es linearmente independentes
como antes. Assim, devemos examinar estas duas soluc¸o˜es a` luz do determinante de Wronskii (o
wronskiano). Antes, pore´m, vamos lembrar algumas propriedades importantes do wronskiano.
Como vimos no in´ıcio do nosso estudo das func¸o˜es especiais, uma grande variedade de problemas
da F´ısica sa˜o descritos por equac¸o˜es diferenciais ordina´rias lineares ou sa˜o a elas reduzidos atrave´s do
me´todo de separac¸a˜o de varia´veis em EDP, cuja forma geral esta´ expressa pela equac¸a˜o
p0(x)
d2u(x)
dx2
+ p1(x)
du(x)
dx
+ p2(x)u(x) = f(x) ,
ou
d2u
dx2
+ P (x)
du
dx
+Q(x)u = R(x) , onde P =
p1
p0
, Q =
p2
p0
, R =
f
p0
.
Nestas equac¸o˜es, os pontos onde p0(x) se anula devem receber especial atenc¸a˜o, como ja´ vimos. Vamos
supor que P (x), Q(x) e R(x) ou sa˜o regulares ou sa˜o possuidoras de uma infinidade de pontos singulares
na regia˜o de interesse.
Vamos examinar a equac¸a˜o diferencial homogeˆnea (R ≡ 0)
u′′(x) + P (x)u′(x) +Q(x)u(x) = 0 (4.81)
e vamos admitir que determinamos duas soluc¸o˜es u1(x) e u2(x) particulares da equac¸a˜o acima. A sua
combinac¸a˜o linear tambe´m sera´ soluc¸a˜o de (4.81), isto e´:
u(x) = c1u1(x) + c2u2(x) . (4.82)
Evidentemente, se u1(x) "= u2(x) "= 0, estas soluc¸o˜es sa˜o linearmente independentes. Mas existe outra
maneira de se verificar se duas soluc¸o˜es sa˜o ou na˜o linearmente dependentes, atrave´s do conhecimento
de u1(x), u2(x), u′1(x) e u′2(x) em um ponto x0. Realmente, se{
u1(x0) = ku2(x0)
u′1(x0) = ku′2(x0)
,
enta˜o u1(x) e u2(x) sa˜o LD (linearmente dependentes). Daqui, k =
u1(x0)
u2(x0)
e k = u
′
1(x0)
u′2(x0)
e enta˜o:
– Se
u1(x0)
u2(x0)
=
u′1(x0)
u′2(x0)
: soluc¸o˜es linearmente dependentes
– Se
u1(x0)
u2(x0)
"= u
′
1(x0)
u′2(x0)
: soluc¸o˜es linearmente independentes
104
Estas duas possibilidades podem ser expressas por uma u´nica relac¸a˜o, definida como:
u1(x0)u
′
2(x0)− u2(x0)u′1(x0) =W(x0) =⇒
{
= 0 , LD
"= 0 , LI (4.83)
e recebe o nome de wronskiano das soluc¸o˜es u1 e u2 e que possui a seguinte caracter´ıstica:
O wronskiano das soluc¸o˜es particulares de uma equac¸a˜o diferencial linear homogeˆnea
de 2 ordem ou e´ identicamente nulo para todo u (soluc¸a˜o LD) ou nunca se anula,
qualquer que seja x ∈ D, onde D e´ o domı´nio de definic¸a˜o.
Realmente,
dW(x)
dx
=
d
dx
[u1u
′
2 − u2u′1] = [u′1u′2 + u1u′′2 − u′2u′1 − u2u′′1 ] . (4.84)
Por outro lado,{
u′′1(x) + P (x)u′1(x) +Q(x)u1(x) ≡ 0
u′′2(x) + P (x)u′2(x) +Q(x)u2(x) ≡ 0
e
{
u′′1(x) = −P (x)u′1(x)−Q(x)u1(x)
u′′2(x) = −P (x)u′2(x)−Q(x)u2(x)
,
que substitu´ıdos em (4.84), fornecem:
dW(x)
dx
= −P (x) [u1u′2 − u2u′1] = −P (x)W(x) ,
ou
dW
W = −P (x) dx ∴ lnW = −
ˆ
P (x) dx ∴
W(x) =W(x0) e−
´ x
x0
P (ξ) dξ . (4.85)
Se W(x0) for nulo em um u´nico ponto x0 ∈ D, enta˜o ele o sera´ ∀x ∈ D, mas se W(x0) na˜o se anular
em x0, ele nunca se anulara´ em nenhum ponto x ∈ D, como atestara´ a integral (4.85) e as soluc¸o˜es
sera˜o LI.
Voltemos a` equac¸a˜o de Bessel e admitamos que ja´ determinamos duas soluc¸o˜es ω1 e ω2. Queremos
determinar se elas sa˜o ou na˜o linearmente independentes (LI). Vamos escrever a equac¸a˜o de Bessel na
forma do operador de Sturm-Liouville:
z2ω′′ + zω′ +
(
z2 − ν2)ω = 0 ; p0 = z2 e p1 = z ; p′0 "= p1 . (4.86)
Devemos enta˜o procurar uma func¸a˜o f(z) tal que (4.86) multiplicada por f(z) nos permita representar
a equac¸a˜o de Bessel na forma de Sturm-Liouville:
f(x) =
1
x2
e
´ x x′
x′2 dx
′
=
1
x2
e
´ x
x0
dx′
x′ =
C
x2
eln x =
Cx
x2
=
C
x
.
Agora,
1
z
z2ω′′ +
z
z
ω′ +
(
z2 − ν2)
z
ω = zω′′ + ω′ +
(
z − ν
2
z
)
ω ,
ou
(zω′)′ + ω
(
z − ν
2
z
)
= 0 .
Como ω1(z) e ω2(z) sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o de Bessel, vem:
(zω′1)
′ + ω1
(
z − ν
2
z
)
= 0
(zω′2)
′ + ω2
(
z − ν
2
z
)
= 0
105
Multipliquemos a primeira equac¸a˜o por −ω2 e a segunda por ω1 e somemos:
ω1 (zω
′
2)
′ − ω2 (zω′1)′ = ω1 (zω′2)′ + ω′1 (zω′2)− ω′1 (zω′2)− ω2 (zω′1)− ω′2 (zω′1) + ω′2 (zω′1)
= [ω1 (zω
′
2)− ω2 (zω′1)]′ − zω′1ω′2 + zω′1ω′2
=
d
dz
[zω1ω
′
2 − zω′1ω2]
=
d
dz
[z (ω1ω
′
2 − ω′1ω2)] = 0 ,
ou
ω1ω
′
2 − ω′1ω2 =
C
z
=
∣∣∣∣∣ω1 ω2ω′1 ω′2
∣∣∣∣∣ =W(z) . (4.87)
A constante C e´ determinada pela condic¸a˜o C = lim
z→z0
[z (ω1ω
′
2 − ω′1ω2)], pois de acordo com (4.85),
ou o wronskiano e´ sempre nulo ou ele nunca se anula para um par de soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial
(4.81). Este fato vai nos permitir calcular C. Para isso, vamos tomar ω1(z) = Jν(z) e ω2(z) = J−ν(z),
que substitu´ıdas em (4.87) nos fornecem, para ν na˜o inteiro,
C = lim
z→ z0=0
[
z
(
JνJ
′
−ν − J ′νJ−ν
)]
= lim
z→ z0=0
{
z
∣∣∣∣∣Jν(z) J−ν(z)J ′ν(z) J ′−ν(z)
∣∣∣∣∣
}
= lim
z→ z0=0

z
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∞∑
k=0
(−1)k
k!Γ(ν + k + 1)
(z
2
)ν+2k ∞∑
l=0
(−1)l
l!Γ(−ν + l + 1)
(z
2
)−ν+2l
1
2
∞∑
k=0
(−1)k (ν + 2k)
k!Γ(ν + k + 1)
(z
2
)ν+2k−1 1
2
∞∑
l=0
(−1)l (−ν + 2l)
l!Γ(−ν + l + 1)
(z
2
)−ν+2l−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= lim
z→ z0=0
( ∞∑
k=0
∞∑
l=0
{
(−1)k+l (−ν + 2l)
k! l!Γ(ν + k + 1)Γ(−ν + l + 1) −
(−1)k+l (ν + 2k)
k! l!Γ(ν + k + 1)Γ(−ν + l + 1)
}(z
2
)2k+2l)
.
Como no limite para z → 0 na soma dupla restara˜o apenas os termos da se´rie correspondentes a
k = l = 0, enta˜o teremos:
C =
( −ν
0! 0!Γ(ν + 1)Γ(−ν + 1) −
+ν
0! 0!Γ(ν + 1)Γ(−ν + 1)
)
=
−2ν
Γ(ν + 1)Γ(−ν + 1) =
−2ν
νΓ(ν)Γ(1− ν) =
−2
Γ(ν)Γ(1− ν) .
Como das propriedades da func¸a˜o Gama se sabe que
Γ(ν)Γ(1− ν) = pi
sinpiν
,
segue-se enta˜o:
C = −2 sinpiν
pi
(4.88)
106
Este resultado significa que as soluc¸o˜es Jν e J−ν da equac¸a˜o de Bessel do 1 tipo sa˜o LI para qualquer
ν na˜o-inteiro, de sorte que sua soluc¸a˜o geral sera´:
ω(z) = c1Jν(z) + c2J−ν(z) , (4.89)
onde c1 e c2 sa˜o constantes arbitra´rias e ν "= n-inteiro.
As func¸o˜es Jν(z) e J−ν(z) podem ser expressas atrave´s de func¸o˜es elementares se ν for a metade
de um nu´mero inteiro ı´mpar, isto e´:
ν =
2m+ 1
2
= m+
1
2
, m = 0, 1, 2, 3, . . . (4.90)
Para m = 0, as se´ries (4.61) e (4.64)
sera˜o:
J 1
2
(z) =
∞∑
k=0
(−1)k
k!Γ(k + 32 )
(z
2
)2k+ 12
J− 12 (z) =
∞∑
k=0
(−1)k
k!Γ(k + 12 )
(z
2
)2k− 12
Das propriedades da func¸a˜o Gama, tem-se que:
22a−1Γ(a)Γ(a+
1
2
) =
√
pi Γ(2a) Fo´rmula de Legendre (4.91)
Fazendo-se em (4.91), a = k + 1 e a seguir a = k + 12 , teremos, respectivamente:
22k+1Γ(k + 1)Γ(k +
3
2
) =
√
pi Γ(2k + 2) = (2k + 1)!
√
pi , (4.92)
22kΓ(k + 1)Γ(k +
1
2
) =
√
pi Γ(2k + 1) = (2k)!
√
pi . (4.93)
Consequ¨entemente,
J 1
2
(z) =
√
2
piz
∞∑
k=0
(−1)k z2k+1
(2k + 1)!
=
√
2
piz
sin z (4.94)
e
J− 12 (z) =
√
2
piz
∞∑
k=0
(−1)k z2k
(2k)!
=
√
2
piz
cos z (4.95)
Pode-se estender esses resultados, (4.94) e (4.95), a ordens arbitra´rias do tipom+ 12 (m = 0,±1,±2, . . .)
da func¸a˜o de Bessel. Para isso utiliza-se (4.75) (fazendo-se a´ı ν = + 12 ) e tambe´m (4.77) (fazendo-se a´ı
ν = − 12 ). Obte´m-se respectivamente:
Jm+ 12 (z) = (−1)
m
√
2
pi
zm+
1
2
dm
(z dz)m
(
sin z
z
)
(4.96)
e
J−m− 12 (z) =
√
2
pi
z−(m+
1
2 ) d
m
(z dz)m
(cos z
z
)
(4.97)
107
Exerc´ıcios
1. Calcule J 3
2
(x) e J− 32 (x).
2. Realize as derivac¸o˜es em (4.96)e em (4.97) e obtenha explicitamente as func¸o˜es Jm+ 12 (z) e J−m− 12 (z).
Figura 4.2: Representac¸o˜es gra´ficas de J0(x), J1(x) e J2(x), todas func¸o˜es de Bessel do 1 tipo
e de ordem inteira.
As func¸o˜es de Bessel do 1 tipo e de ordem n inteira podem ser obtidas atrave´s de uma func¸a˜o
de t e paraˆmetro z – Φ(z, t) – expandida em se´rie de poteˆncias de t. Esta func¸a˜o recebe o nome de
func¸a˜o geradora.
4.4.3 Func¸a˜o Geradora
Determinemos a func¸a˜o de Bessel do 1 tipo e de ordem n inteira, a partir de outra abordagem –
a func¸a˜o geradora Φ(z, t):
Φ(z, t) = e
z
2 (t−t−1) = e
z
2 te−
z
2 t
−1
(4.98)
Vamos expandir Φ(z, t) em se´rie de poteˆncias de t, isto e´:
Φ(z, t) = e
z
2 te−
z
2 t
−1
=
[ ∞∑
m=0
zmtm
m! 2m
]
·
[ ∞∑
k=0
(−1)k zkt−k
k! 2k
]
=
∞∑
m=0
∞∑
k=0
(−1)k zm+ktm−k
m! k! 2m+k
. (4.99)
Fac¸amos aqui as mudanc¸as:
m− k = n , se m− k > 0
m− k = −n , se m− k < 0
Podemos agora determinar os coeficientes de tn e de t−n em (4.99). Vamos, inicialmente, examinar
somente os termos onde m− k = n > 0, isto e´:
Φ1(z, t) =
∞∑
m=0
∞∑
k=0
(−1)k zm+k
m! k! 2m+k
tm−k =
∞∑
n=0
∞∑
k=0
(−1)k
(n+ k)! k!
(z
2
)n+2k
tn =
∞∑
n=0
∞∑
k=0
(−1)k
k!Γ(k − n+ 1)
(z
2
)n+2k
tn =
∞∑
n=0
Jn(z) t
n . (4.100)
108
Vamos, finalmente, examinar os termos onde m− k = −n:
Φ2(z, t) =
∞∑
m=0
∞∑
k=0
(−1)k zm+k
m! k! 2m+k
tm−k =
∞∑
n=0
∞∑
k=0
(−1)k
k! (k − n)!
(z
2
)2k−n
t−n =
∞∑
n=0
∞∑
k=0
(−1)k
k!Γ(k − n+ 1)
(z
2
)2k−n
t−n =
∞∑
n=0
J−n(z) t−n . (4.101)
Observe que o coeficiente para t0 e´ obtido quando m− k = 0, tanto em (4.100) quanto em (4.101):
Φ0(z, t) =
∞∑
k=0
(−1)k
k! k!
(z
2
)2k
=
∞∑
k=0
(−1)k
k!Γ(k + 1)
(z
2
)2k
= J0(z) . (4.102)
Podemos resumir (4.98), (4.100), (4.101) e (4.102) em uma u´nica expressa˜o, isto e´:
Φ(z, t) = e
z
2 (t−t−1) =
∞∑
−∞
Jn(z) t
n (4.103)
Esta se´rie converge absolutamente para todos os valores de z e para todos os valores de t "= 0.
Teorema da Adic¸a˜o das Func¸o˜es de Bessel do 1 Tipo
Vamos utilizar os resultados acima, escrevendo:
z = z1 + z2 . (4.104)
Logo,
e
1
2 (z1+z2)(t−t−1) = e
z1
2 (t−t−1) · e z22 (t−t−1) . (4.105)
Agora,
∞∑
n=−∞
Jn(z1 + z2) t
n =
[ ∞∑
k=−∞
Jk(z1) t
k
]
·
[ ∞∑
l=−∞
Jl(z2) t
l
]
=
∞∑
k=−∞
∞∑
l=−∞
Jk(z1)Jl(z2) t
k+l
e fazendo k + l = n, vem:
∞∑
n=−∞
Jn(z1 + z2) t
n =
∞∑
n−l=−∞
∞∑
l=−∞
Jn−l(z1)Jl(z2) tn =
∞∑
n=−∞
∞∑
l=−∞
Jn−l(z1)Jl(z2) tn .
Reunindo os termos sublinhados, temos:
∞∑
n=−∞
{
Jn(z1 + z2)−
∞∑
l=−∞
Jn−l(z1)Jl(z2)
}
tn = 0
e da´ı o teorema da adic¸a˜o:
Jn(z1 + z2) =
∞∑
l=−∞
Jn−l(z1)Jl(z2) (4.106)
109
Comportamento no infinito
Nas aplicac¸o˜es das func¸o˜es de Bessel, e´ de grande interesse e importaˆncia o conhecimento de seu
comportamento para grandes valores da varia´vel independente. Uma ide´ia aproximada pode ser obtida
facilmente atrave´s do seguinte procedimento.
Dada a equac¸a˜o de Bessel
d2ω
dz2
+
1
z
dω
dz
+
(
1− ν
2
z2
)
ω = 0 , (4.107)
vamos procurar uma mudanc¸a da varia´vel independente na forma
ω(z) = u(z) · f(z) , (4.108)
onde u(z) sera´ a nova varia´vel independente e f(z) uma func¸a˜o particular a ser determinada de acordo
com a consequ¨eˆncia a ser explicitada. Substituindo (4.108) em (4.107), teremos:
(uf)′′ +
1
z
(uf)′ +
(
1− ν
2
z2
)
(uf) = u′′f + 2u′f +
1
z
u′f + f ′′u+
1
z
f ′u− ν
2
z2
fu
= u′′f +
(
2f ′ +
f
z
)
u′ +
(
f ′′ +
f ′
z
+ f − ν
2
z2
f
)
u = 0 . (4.109)
Impondo em (4.109) que o termo em derivada 1 seja nulo, isto e´
2f ′ +
f
z
= 0 , (4.110)
podemos calcular f(z), ou seja:
2f ′ +
f
z
= 0 ∴ f
′
f
+
1
2z
= 0 ∴ ln f + 1
2
ln z = C
ln
(√
z f(z)
)
= C ∴ f(z)
√
z = eC ∴ f(z) = A√
z
. (4.111)
Como o valor de A e´ irrelevante para a equac¸a˜o dada (4.107) e na mudanc¸a da varia´vel independente,
podemos escolheˆ-la igual a` unidade (A = 1). Finalmente, teremos:
f(z) =
1√
z
. (4.112)
Daqui vem:
f ′(z) = −1
2
z−1
(√
z
)−1
= −1
2
z−1f(z) e f ′′(z) = −3
4
z−2f(z) .
Assim:
f ′′ +
f ′
z
+
(
1− ν
2
z2
)
f =
[
1 +
(
1
4
− ν2
)
1
z2
]
f , (4.113)
o que da´ a forma final a (4.109), isto e´:
u′′f +
[
1 +
(
1
4
− ν2
)
1
z2
]
uf = 0 ,
ou, eliminando-se f ,
u′′ +
[
1 +
(
1
4
− ν2
)
1
z2
]
u = 0 . (4.114)
110
Impondo-se em (4.114) a hipo´tese de grandes valores de z, teremos
lim
z→ζ
{
u′′ +
[
1 +
(
1
4
− ν2
)
1
z2
]
u
}
= u′′ + u = 0 . (4.115)
A soluc¸a˜o de (4.115) ja´ nos e´ conhecida e pode ser escrita na forma
u(ζ) = A cos (ζ +B) .
Mas como ω(ζ) = u(ζ)/
√
ζ,
ω(ζ) =
A√
ζ
cos (ζ +B) . (4.116)
E´ de se esperar que a func¸a˜o Jν devera´ se comportar para grandes valores de z (→ ζ) semelhantemente
a (4.116) para valores particulares das constantes A e B.
Exerc´ıcio: Examine o comportamento de Jν(x) e de J−ν(x) nas vizinhanc¸as da origem, para
todos os valores poss´ıveis de ν.
A mudanc¸a de varia´vel (4.108) pode ser utilizada para qualquer equac¸a˜o diferencial de 2 ordem
e pode representar um importante instrumento de simplificac¸a˜o e/ou ana´lise de comportamento de
equac¸o˜es diferenciais. Considere a equac¸a˜o
ω′′(x) + P (x)ω′(x) +Q(x)ω(x) = R(x) . (4.117)
Seja enta˜o
ω(x) = u(x) f(x) ,
ω′(x) = u′(x) f(x) + u(x) f ′(x) ,
ω′′(x) = u′′(x) f(x) + 2u′(x) f ′(x) + u(x) f ′′(x) .
Finalmente,
u′′f + (2f ′ + Pf)u′ + (f ′′ + Pf ′ +Qf)u = R . (4.118)
Caso 1: Escolhamos f de sorte que o termo que contenha a primeira derivada em u – isto e´, u′
– seja nulo:
2f ′ + Pf = 0 ∴ f
′
f
+
P
2
= 0 ∴ ln f = −
ˆ z P (z)
2
dz ,
ou
f(z) = Ae−
´ z P (z)
2 dz (4.119)
Derivando (4.119), obtem-se:
f ′(z) = −P
2
f ,
f ′′(z) =
(
P 2
4
− 1
2
dP
dz
)
f .
Logo, (4.118) sera´:
u′′f +
(
Q− 1
2
dP
dz
− P
2
4
)
uf = R ,
ou
u′′(z) +
(
Q(z)− 1
2
dP (z)
dz
− P
2(z)
4
)
=
R(z)
A
e
1
2
´ z P (z) dz .
Caso 2: Escolhamos f(z) de sorte que o u´ltimo termo da equac¸a˜o diferencial (4.118) seja nulo,
isto e´: (f ′′ + Pf ′ +Qf)u = 0. Neste caso, f(z) sera´ uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o ho-
mogeˆnea (4.117), a`s vezes encontrada por inspec¸a˜o. Assim,
u′′ +
(
2f ′
f
+ P
)
u′ =
R
f
.
111
4.4.4 Func¸a˜o de Neumann ou Func¸a˜o de Bessel do Segundo Tipo, Nν(x)
A equac¸a˜o indicial forneceu as soluc¸o˜es Jν(x) e J−ν(x), ∀ ν "= n, para a equac¸a˜o de Bessel. Surge
da´ı a necessidade de se procurar uma segunda soluc¸a˜o que seja L.I. com Jν(x), ∀ ν, inclusive seus
valores inteiros. Uma possibilidade e´ a chamada func¸a˜o de Neumann, definida como
Nν(z) =
Jν(z) cos νpi − J−ν(z)
sin νpi
, (4.120)
que e´ regular para ν = n, isto e´,
Nn(z) = lim
ν→nNν(z) = limν→n
Jν(z) cos νpi − J−ν(z)
sin νpi
(
=
0
0
)
Usando L’Hopital para levantar a indeterminac¸a˜o, vem:
Nn(z) = lim
ν→n
∂
∂ν
[Jν(z) cos νpi − J−ν(z)]
∂
∂ν
(sin νpi)
= lim
ν→n
∂Jν
∂ν
cos νpi − piJν sin νpi − ∂J−ν
∂ν
pi cos νpi
=
1
pi
[(
∂Jν
∂ν
)
ν=n
− (−1)n
(
∂J−ν
∂ν
)
ν=n
]
. (4.121)
Exerc´ıcios
1. Mostre que se ν = m+ 12 , enta˜o Nm+ 12 (x) = (−1)m+1J−m− 12 (x).
2. Mostre que
lim
ν→n
1
cos νpi
(
∂J−ν
∂ν
)
= (−1)n
(
∂J−ν
∂ν
)
ν=n
.
Para mostrar que Nν(z) e´ linearmente independente de Jν(z), basta compor o wronskiano por elas
formado:
W(z) =
∣∣∣∣∣Jν(z) Nν(z)J ′ν(z) N ′ν(z)
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣
Jν
Jν cos νpi − J−ν
sin νpi
J ′ν
J ′ν cos νpi − J ′−ν
sin νpi
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
1
sin νpi
∣∣∣∣∣Jν Jν cos νpi − J−νJ ′ν J ′ν cos νpi − J ′−ν
∣∣∣∣∣
=
1
sin νpi
∣∣∣∣∣Jν −J−νJ ′ν −J ′−ν
∣∣∣∣∣ = − 1sin νpi (JνJ ′−ν − J ′νJ−ν) =
(
− 1
sin νpi
)(
−2 sin νpi
piz
)
=
2
piz
. (4.122)
Mais especificamente,
W(z) = ∆ [Jν , Nν ] = − 1
sin νpi
∆ [Jν , Nν ] =
2
pi
1
z
. (4.123)
112
Fo´rmulas de Recorreˆncia da Func¸a˜o de Neumann
ComoNν(z) e´ definida a partir de Jν e J−ν , segue-se que ela deve obedecer a fo´rmulas de recorreˆncia
ana´logas a`s que obedecem Jν e J−ν . Isto pode ser verificado reescrevendo os resultados (4.75) e (4.77),
para +ν e −ν, na definic¸a˜o (4.120) de Nν(z). Realmente, fazendo-se em (4.75) ν −→ −ν, e mantendo-
se ν −→ +ν em (4.77), vem:
dm
(z dz)m
[zνJ−ν(z)] = (−1)mzν−mJ−(ν−m)(z) , (4.124)
dm
(z dz)m
[zνJν(z)] = z
ν−mJν−m(z) . (4.125)
Multiplicando (4.120) por zν e aplicando ao resultado o operador dm/(z dz)m, temos:
dm
(z dz)m
[zνNν(z)] = cot νpi
dm
(z dz)m
[zνJν(z)]− 1
sin νpi
dm
(z dz)m
[zνJ−ν(z)]
= cot νpi
[
zν−mJν−m(z)
]− (−1)m
sin νpi
[
zν−mJ−(ν−m)(z)
]
= zν−m
[
cot νpi Jν−m(z)− (−1)
m
sin νpi
J−(ν−m)(z)
]
. (4.126)
Esta u´ltima relac¸a˜o nos lembra Nν−m(z), a menos das func¸o˜es cot νpi e sin νpi, que deveriam ter a
forma cot (ν −m)pi e sin (ν −m)pi, respectivamente. No entanto,
cot (ν ±m)pi = cos (ν ±m)pi
sin (ν ±m)pi =
cos νpi cosmpi ∓ sin νpi sinmpi
sin νpi cosmpi ± cos νpi sinmpi =
cos νpi
sin νpi
= cot νpi (4.127)
e
sin (ν −m)pi = sin νpi cosmpi − cos νpi sinmpi = (−1)m sin νpi . (4.128)
Desse modo, pode-se escrever, apo´s substituir (4.127) e (4.128) em (4.126),
dm
(z dz)m
[zνNν(z)] = zν−mNν−m(z) (4.129)
Semelhantemente, pode-se mostrar que
dm
(z dz)m
[z−νNν(z)] = (−1)mz−(ν+m)Nν+m(z) (4.130)
Fazendo-se m = 1 em (4.129) e (4.130) e efentuando-se pequenos ca´lculos, obte´m-se:
Nν−1(z) +Nν+1(z) =
2ν
z
Nν(z) , (4.131)
Nν−1(z)−Nν+1(z) = 2N ′ν(z) , (4.132)
4.4.5 Func¸o˜es de Hankel ou Func¸o˜es de Bessel do Terceiro Tipo
A soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o (4.42) na forma da func¸a˜o de Neumann (func¸a˜o do segundo tipo)
na˜o e´ u´nica. E´ poss´ıvel, todavia, definir-se uma terceira classe de soluc¸o˜es particulares desta equac¸a˜o,
chamadas de func¸o˜es de Hankel, ou de Bessel do 3 tipo, como segue:
H(1)ν (z) = i
e−iνpiJν(z)− J−ν(z)
sin νpi
(4.133)
113
e
H(2)ν (z) = −i
eiνpiJν(z)− J−ν(z)
sin νpi
. (4.134)
Novamente aqui as func¸o˜es de Hankel, definidas para qualquer ν, sa˜o L.I. com Jν e J−ν quando ν → n,
embora neste caso elas possuam tambe´m uma indeterminac¸a˜o que pode ser levantada com a regra de
L’Hopital exatamente do modo como foi feito para a func¸a˜o de Neumann. O teste da independeˆncia
linear se faz usando o wronskiano composto por Jν e H(1)ν , Jν e H(2)ν , J−ν e H(1)ν , J−ν e H(2)ν , etc.
E´ fa´cil verificar que:
a) ao somar H(1)ν e H(2)ν , obte´m-se
Jν(z) =
H(1)ν +H(2)ν
2
. (4.135)
b) ao se desdobrar (4.133) e (4.134), e aplicando a definic¸a˜o da func¸a˜o de Neumann, obte´m-se ,
respectivamente,
H(1)ν = Jν(z) + iNν(z) , (4.136)
H(2)ν = Jν(z)− iNν(z) . (4.137)
c) as func¸o˜es H(1)ν e H(2)ν se relacinam com H(1)−ν e H(2)−ν , respectivamente, como
H(1)−ν = eiνpiH(1)ν , (4.138)
H(2)−ν = e−iνpiH(2)ν . (4.139)
Exerc´ıcio: Demonstre que (4.135), (4.136), (4.137), (4.138) e (4.139) sa˜o verdadeiras.
Fo´rmulas de Recorreˆncia da Func¸a˜o de Hankel
Multiplicando-se (4.136) e (4.137) por zν , z−ν , derivando-se a sguirm vezes e usando-se as fo´rmulas
de recorreˆncia (4.77) e (4.129), (4.75) e (4.130), vem:
dm
(z dz)m
[
zν H(1)ν (z)
]
= zν−mH(1)ν−m(z) (4.140)
dm
(z dz)m
[
zν H(2)ν (z)
]
= zν−mH(2)ν−m(z) (4.141)
e ainda
dm
(z dz)m
[
H(1)ν (z)
zν
]
= (−1)m H
(1)
ν+m(z)
zν+m
(4.142)
dm
(z dz)m
[
H(2)ν (z)
zν
]
= (−1)m H
(2)
ν+m(z)
zν+m
(4.143)
Exerc´ıcios
1. Fac¸a m = 1 em (4.140), (4.141), (4.142) e (4.143) e determine todas as poss´ıveis fo´rmulas de
recorreˆncia para as func¸o˜es H(1)−ν e H(2)−ν .
2. Demonstre (4.140), (4.141), (4.142) e (4.143).
114
Comenta´rio
Introduzimos a func¸a˜o de Neumann e as func¸o˜es de Hankel de forma bastante artificial. No entanto,
existem outras abordagens onde as definic¸o˜es acontecem de modo menos artificial.
Uma maneira e´ procurar resolver a equac¸a˜o de Bessel pelo me´todo operacional (transformada de
Laplace), escolhendo na transformac¸a˜o inversa um contorno de integrac¸a˜o adequado. Esse processo
possibilita, a depender do contorno escolhido, definir as func¸o˜es de Bessel do 1 tipo.
Outra possibilidade e´ procurar a soluc¸a˜o ω(z) da equac¸a˜o de Bessel na forma de uma integral de
contorno
ω(z) =
ˆ
C
K(ξ, ζ) v(ξ) dξ ,
onde K(ξ, ζ) e´ um kernel conhecido (dado) e v(ξ) e´ uma func¸a˜o desconhecida. Por este processo,
mediante a escolha apropriada de C, define-se as func¸o˜es de Hankel K(1)−ν e K(2)−ν .
4.4.6 Func¸a˜o Modificada de Bessel
Existem equac¸o˜es que lembram de perto a equac¸a˜o de Bessel e a mais conhecida e´
u′′(x) +
1
x
u′(x)−
(
1 +
ν2
x2
)
u(x) = 0 , (4.144)
chamada de equac¸a˜o modificada de Bessel. Realmente, se fizermos o paraˆmetro λ = i na equac¸a˜o de
Bessel, enta˜o (4.144) passa a ter a forma
u′′(x) +
1
x
u′(x) +
(
i2 − ν
2
x2
)
u(x) = 0 . (4.145)
Neste aspecto, sua soluc¸a˜o sera´ (com x = λz = iz)
u(λz) = u(iz) = c1Jν(iz) + c2J−ν(iz) . (4.146)
Por outro lado, da expansa˜o em se´rie de J±ν ,
Jν(λz) = Jν(iz) =
∞∑
k=0
(−1)k (iz)2k+ν
22k+νk!Γ(k + ν + 1)
= iν
∞∑
k=0
(−1)k (−1)k
k!Γ(k + ν + 1)
(z
2
)2k+ν
= iν
∞∑
k=0
(z
2
)2k+ν
k!Γ(k + ν + 1)
. (4.147)
Daqui, definimos:
(i)−ν Jν(iz) =
∞∑
k=0
(z
2
)2k+ν
k!Γ(k + ν + 1)
= Iν(z) . (4.148)
Esta func¸a˜o sera´ real pura se z e´ real. Para ν na˜o-inteiro, a equac¸a˜o (4.144) fornece duas soluc¸o˜es
independentes: uma para s = ν > 0 e outra para s = −ν, ν > 0. Enta˜o, a soluc¸a˜o geral de (4.144)
sera´
u(z) = c1Iν(z) + c2I−ν(z) , (4.149)
onde
Iν(z) = i
−νJν(iz) (4.150)
I−ν(z) = i+νJν(iz) (4.151)
115
sa˜o as conhecidas func¸o˜es modificadas de Bessel.
Se o uso de Iν e I−ν na soluc¸a˜o geral for extendido aos valores inteiros de ν (ν = n), enta˜o (4.147)
perde sua validade, pois neste caso as soluc¸o˜es sa˜o linearmente dependentes, visto que
Jn(ix) = (−1)nJ−n(ix) .
Mas
In(x) = i
−nJn(ix) = i−nininJ−n(ix) = inJ−n(ix) = I−n(x) . (4.152)
Por essa raza˜o,
procura-se outra soluc¸ado para a equac¸a˜o modificada que seja satisfeita para ν = n.
Esta soluc¸a˜o e´ dada por
Kν(x) =
pi
2
I−ν(x)− Iν(x)
sin νpi
(4.153)
e e´ chamada de func¸a˜o modificada de Bessel do 2 tipo. A indeterminac¸a˜o em (4.153) que surge quando
ν → n pode ser removida pela regra de L’Hopital.
As func¸o˜es Jν , Iν e Kν podem ser tomadas duas a duas para compor a soluc¸a˜o final de (4.149).
Estas soluc¸o˜es podem ainda ser extendidas a equac¸o˜es de Bessel de ordem ν e paraˆmetro λ, isto e´
d2u
dx2
+
1
x
du
dx
−
(
λ2 +
ν2
x2
)
u = 0 =
d2u
dx2
+
1
x
du
dx
+
(
−λ2 − ν
2
x2
)
u ,
ou
d2u
dx2
+
1
x
du
dx
+
[
(iλ)2 − ν
2
x2
]
u = 0 . (4.154)
Neste caso a soluc¸a˜o obedecera´ a` mesma abordagem de (4.70)-(4.71) e tera´ a forma
u(ix) = c1Iν(ix) + c2Kν(ix) .
(a) 1 tipo, ondem n. (b) 2 tipo, ondem n.
Figura 4.3: Func¸o˜es de Bessel.
116
(a) 1 tipo, ondem n. (b) 2 tipo, ondem n.
Figura 4.4: Func¸o˜es Modificadas de Bessel.
4.4.7 Func¸o˜es Esfe´ricas de Bessel
As equac¸o˜es de derivadas parciais da onda e a equac¸a˜o de Helmholtz no sistema de coordenadas
esfe´ricas, nos fornecem a seguinte func¸a˜o radial:
d
dr
(
r2
dR
dr
)
+
(
k2r2 − λ2)R(r) = 0; λ2 = l(l + 1) , l = 0, 1, 2, . . . (4.155)
onde λ2 e´ a constante de separac¸a˜o entre as func¸o˜es radial R(r) e angular Θ(θ), e k2 vem da equac¸a˜o
de Helmholtz. A constante λ2 so´ admite soluc¸o˜es de se λ2 = l(l + 1) (l inteiro) e esta´ fisicamente
associada aos autovalores do operador momento angular.
Fazendo em (4.155) kr = x e R(r) = y(x), teremos:
x2
d2y(x)
dx2
+ 2x
dy(x)
dx
+
[
x2 − l(l + 1)] y(x) = 0 . (4.156)
A equac¸a˜o (4.156) pode ser escrita na forma anal´ıtica da equac¸a˜o (4.42), embora, para isso, tenhamos
que realizar uma mudanc¸a de varia´vel dependente, do seguinte modo:
y(x) = f(x)u(x) , (4.157)
onde u(x) sera´ a nova varia´vel dependente e f(x) uma func¸a˜o a ser determinada. Vamos substituir
(4.157) em (4.156), efetuando as derivac¸o˜es indicadas e agrupando os termos semelhantes na func¸a˜o
dependente:
k2fu′′ +
(
2x2f ′ + 2xf
)
u′ + {x2f ′′ + 2xf ′ + [x2 − l (l + 1)] f}u = 0 (4.158)
Para que esta equac¸a˜o (4.158) tenha a forma da equac¸a˜o de Bessel (4.42), vamos exigir quer o coeficiente
de u′ seja iguala a xf(x) e que o coeficiente de u seja igual a (x2 − (l + 1/2)2)f = (x2 − ν2)f ; da´ı,
2x2f ′ + 2xf = xf . (4.159)
117
A equac¸a˜o (4.159, em sua soluc¸a˜o, nos permite determinar a func¸a˜o desconhecida f(x):
2xf ′ + f = 0 ∴ df
f
+
1
2
dx
x
= 0 ∴ ln f(x) + 1
2
lnx = c ,
ou
f(x) = x−1/2 (4.160)
Verifica-se que f(x) de (4.160) leva o 3 termo de (4.158) (termo de derivada zero) a adquirir a seguinte
forma:
x2
[
x−1/2
]′′
+ 2x
[
x−1/2
]′
+
[
x2 − l (l + 1)]x−1/2 = x2(3
2
x−2
)
f + 2x
(
−1
2
)
f +
(
x2 − l2 − l) f
=
(
x2 − l2 − l − 1
4
)
f
=
[
x2 −
(
l2 + l +
1
4
)]
f
=
[
x2 −
(
l +
1
2
)2]
f .
Desse modo, temos que
y(x) =
u(x)√
x
(4.161)
e ainda que a equac¸a˜o (4.158) tera´ a forma, na varia´vel u(x), de uma equac¸a˜o de Bessel do 1 tipo e
de ordem (l + 1/2):
x2u′′(x) + xu′(x) +
[
x2 −
(
l +
1
2
)2]
u(x) = 0 (4.162)
onde o fator f , comum a todos os termos, foi cancelado.
As soluc¸o˜es de (4.162) sa˜o conhecidas e, por meio de (4.161), determina-se a soluc¸a˜o de (4.156),
ou seja:
u(x) = c1Jν(x) + c2J−ν(x) ,
com ν = l + 1/2 e
y(x) =
u(x)√
x
=
c1Jl+1/2(x)√
x
+
c2J−(l+1/2)(x)√
x
(4.163)
Se definirmos uma nova func¸a˜o, inspirados em (4.161), e que seja soluc¸a˜o de (4.156), enta˜o ela
devera´ ser proporcional a y(x), isto e´: jl(x) ∝ y(x) ∝ Jl+1/2(x)/
√
x. O coeficiente de proporcionalidade
e´ frequ¨entemente escolhido como
√
pi/2, de sorte que
jl(x) =
√
pi
2x
Jl+1/2(x) e j−l(x) =
√
pi
2x
J−(l+1/2)(x) (4.164)
conhecidas como func¸o˜es esfe´ricas de Bessel.
De maneira ana´loga se definem as func¸o˜es esfe´ricas de Neumann:
nl(x) =
√
pi
2x
Nl+1/2(x) e n−l(x) =
√
pi
2x
N−(l+1/2)(x) (4.165)
118
e tambe´m as func¸o˜es de Hankel
h(1)l (x) =
√
pi
2x
H(1)l+1/2(x) e h(2)l (x) =
√
pi
2x
H(2)−(l+1/2)(x) (4.166)
assim como as func¸o˜es modificadas de 1 e 2 tipos:
il(x) =
√
pi
2x
Il+1/2(x) e i−l(x) =
√
pi
2x
I−(l+1/2)(x) (4.167)
kl(x) =
√
pi
2x
Kl+1/2(x) e k−l(x) =
√
pi
2x
K−(l+1/2)(x) (4.168)
4.4.8 Ortogonalidade das Func¸o˜es de Bessel
Muitas sa˜o as classes de func¸o˜es que possuem a propriedade de ortogonalidade com peso ρ(x).
Dentre elas esta˜o tambe´m as func¸o˜es de Bessel. Examinaremos somente a func¸a˜o de Bessel do 1 tipo
e de ordem ν, e o resultado podera´ ser extendido aos outros tipos, com os devidos cuidados. O nosso
problemas e´, portanto, mostrar que as func¸o˜es de Bessel Jν(x) sa˜o ortogonais.
Se multiplicarmos a equac¸a˜o de Bessel de ordem ν e paraˆmetro λ por f(x) = 1/x, ela podera´ ser
representada na forma da equac¸a˜o de Sturm-Liouville e diz a teoria deste problema que, se o domı´nio
de definic¸a˜o da func¸a˜o procurada u(x)f(x) e´ limitado, enta˜o ela pode ser expandida numa se´rie de
func¸o˜es ortogonais. Estes fatos nos deixam na expectativa de que as func¸o˜es de Bessel sejam ortogonais,
sob condic¸o˜es apropriadas, pois que o seu domı´nio de definic¸a˜o 0 ≤ x ≤ ∞, ale´m de ilimitado, na˜o e´
regular na origem, para ν "= n inteiro. Vamos mostrar que:
As func¸o˜es de Bessel Jν(λx) e Jν(µx) gozam da propriedade de ortogonalidade com peso
ρ(x) = x, ou seja, ∀ν ≥ −1 e 0 ≤ x ≤ l, a integralˆ l
0
xJν(λx)Jν(µx) dx = 0 , onde λ =
α
l
e µ =
β
l
(α "= β) (4.169)
e ainda, ambos os nu´meros α e β sa˜o ra´ızes de uma das treˆs condic¸o˜es de fronteira:
Jν(γ) = 0 , J
′
ν(γ) = 0 , e γJ
′
ν(γ) + hJν(γ) = 0 . (4.170)
Aqui, γ pode assumir os valores γ = α, γ = β.
Demonstrac¸a˜o: Sejam Jν(λx) e Jν(µx) as soluc¸o˜es para λ "= µ as equac¸o˜es
x
d2
dx2
Jν(λx) +
d
dx
Jν(λx) +
(
λ2x− ν
2
x
)
Jν(λx) ≡ 0
x
d2
dx2
Jν(µx) +
d
dx
Jν(µx) +
(
µ2x− ν
2
x
)
Jν(µx) ≡ 0
(4.171)
Representemos estas equac¸o˜es na forma de Sturm-Liouville, isto e´:{
L [Jν(λx)] + λ2xJν(λx) ≡ 0
L [Jν(µx)] + µ2xJν(µx) ≡ 0
(4.172)
Multiplicando a 1 equac¸a˜o por Jν(µx) e a 2 por Jν(λx) em (4.172), subtraindo-se os resultados e, a
seguir, integrando-se em x no intervalo 0 ≤ x ≤ ∞, obte´m-se:
ˆ l
0
{Jν(µx)L [Jν(λx)] + λ2xJν(µx)Jν(λx)}dx−
ˆ l
0
{Jν(λx)L [Jν(µx)] + µ2xJν(λx)Jν(µx)}dx =
ˆ l
0
(Jν(µx)L [Jν(λx)]− Jν(λx)L [Jν(µx)]) dx+
ˆ l
0
(
λ2 − µ2) [xJν(µx)Jν(λx)] dx = 0 .
119
Logo,
ˆ l
0
d
dx
(
x
[
Jν(µx)
d
dx
Jν(λx)− Jν(λx) d
dx
Jν(µx)
])
dx =
(
λ2 − µ2)ˆ l
0
xJν(λx)Jν(µx) dx . (4.173)
Daqui, vem:
(
µ2 − λ2)ˆ l
0
xJν(λx)Jν(µx) dx = [x{λJν(µx)J ′ν(λx)− µJν(λx)J ′ν(µx)}]|l0 . (4.174)
Mostremos que o segundo membro de (4.174) e´ nulo para uma das treˆs condic¸o˜es na fronteira (4.170).
Fac¸amos para isto as substituic¸o˜es
λ =
α
l
e µ =
β
l
(4.175)
e teremos
β2 − α2
l2
ˆ l
0
xJν
(α
l
x
)
Jν
(
β
l
x
)
dx = [αJν(β)J
′
ν(α)− βJν(α)J ′ν(β)] . (4.176)
Se tivermos em (4.176) o problema de Dirichlet enta˜o, Jν(β) ≡ Jν(α) ≡ 0 e [. . .] sera´ nulo. Se tivermos
em (4.160) o problema de Neumann, enta˜o J ′ν(α) ≡ J ′ν(β) ≡ 0 e [. . .] sera´ nulo. Se tivermos em (4.160)
o problema misto, enta˜o αJ ′ν(α) = −hJν(α) e βJ ′ν(β) = −hJν(β) e da´ı decorre que [. . .] sera´ nulo.
Consequ¨entemente, (
µ2 − λ2)ˆ l
0
xJν(λx)Jν(µx) dx ≡ 0 . (4.177)
Desde que µ "= λ, tem-se ˆ l
0
xJν(λx)Jν(µx) dx = 0 ,
o que mostra ortogonalidade. Se em (4.176) α→ β, teremos:
lim
α→β
ˆ l
0
xJν
(α
l
x
)
Jν
(
β
l
x
)
dx = lim
α→β
l2
β2 − α2 [αJν(β)J
′
ν(α)− βJν(α)J ′ν(β)] . (4.178)
Seja
I =
ˆ l
0
xJν
(α
l
x
)
Jν
(α
l
x
)
dx .
Veˆ-se que I e´ uma indeterminac¸a˜o do tipo 0/0. Pela regra de L’Hopital,
I =
ˆ l
0
xJ2ν
(α
l
x
)
dx =
l2
2α
[αJ ′ν(α)J
′
ν(α)− J ′ν(α)Jν(α)− αJν(α)J ′′ν (α)] .
De
z2J ′′ν (z) + zJν(z) +
(
z2 − ν2) Jν(z) ≡ 0 ,
temos
−J ′′ν (α) =
1
α
J ′ν(α) +
(
1− ν
2
α2
)
Jν(α)
e encontramos ∣∣∣∣∣∣Jν (α
l
x
)∣∣∣∣∣∣2 = l2
2
{
[J ′ν(x)]
2
+
(
1− ν
2
x2
)
J2ν (x)
}
=
ˆ l
x=α
xJ2ν
(α
l
x
)
dx (4.179)
Analogamente se calcula a norma e se demonstra a ortogonalidade das outras func¸o˜es de Bessel.
120
4.4.9 Comportamento das Func¸o˜es de Bessel na Origem e no Infinito
A importaˆncia deste conhecimento tem cara´ter bastante pra´tico na soluc¸a˜o de problemas envol-
vendo as func¸o˜es de Bessel. Realmente, ao procurarmos a soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o de Bessal que
descreve um certo evento f´ısico devemos atentar para os seguintes aspectos:
a) Regularidade ou singularidade do evento na origem;
b) Regularidade ou singularidade do evento no infinito;
c) O evento representa ou na˜o uma onda e esta onda e´ progressiva, regressiva ou estaciona´ria?
As respostas a estas perguntas ajudara˜o na escolha adequada da(s) func¸a˜o(o˜es) de Bessel (soluc¸a˜o)
do evento estudado. Vejamos a tabela:
Func¸a˜o
Comportamento
na origem
Comportamento
no infinito
Varia´vel x
I´ndice ν
Jν(x)
xν
2νΓ(ν + 1)
√
2
pix
cos
(
x− νpi
2
− pi
4
) x ≥ 0
ν ≥ 0
Nν(x) −2
νΓ(ν)
npix
e N0(x) =
2
pi
log x
√
2
pix
sin
(
x− νpi
2
− pi
4
) x > 0
ν > 0
H(1)ν (x) −i
(
2
x
)ν Γ(ν)
pi
√
2
pix
ei(x−
νpi
2 −pi4 ) x > 0
ν > 0
H(2)ν (x) +i
(
2
x
)ν Γ(ν)
pi
√
2
pix
e−i(x−
νpi
2 −pi4 ) x > 0
ν > 0
Iν(x)
xν
2νΓ(ν + 1)
ex√
2pix
x > 0
ν > 0
Kν(x)
2ν−1Γ(ν)
xν
√
pi
2x
e−x x > 0
ν > 0
Tabela 4.1: Tabela das func¸o˜es de Bessel na Origem e no Infinito.
4.5 Se´ries de Fourier-Bessel e Transformadas de Fourier-Bessel
E´ muito frequ¨ente encontrarmos problemas de F´ısica Matema´tica cujas soluc¸o˜es dependam de
expanso˜es em se´rie de func¸o˜es dadas e/ou procuradas. Ao trabalharmos com as func¸o˜es cil´ındricas,
tal necessidade pode surgir e a natureza espec´ıfica do problema pode exigir que tais expanso˜es sejam
feitas em termos de func¸o˜es cil´ındricas. Pode tambe´m ocorrer que mesmo as se´ries na˜o sejam suficientes
para determinar a soluc¸a˜o do problema, exigindo-se que sejam introduzidas transformadas integrais ou
121
pares de transformadas envolvendo as func¸o˜es cil´ındricas. E´ deste assunto que nos ocuparemos agora
e vamos iniciar com as expanso˜es em se´rie.
4.5.1 Se´rie de Fourier-Bessel
A forma mais comum de expansa˜o envolvendo as func¸o˜es cil´ındricas e´ a se´rie de Fourier-Bessel
f(x) =
∑
CmJν(µνmx) , 0 < x < l , ν ≥ −1
2
(4.180)
onde f(x) e´ uma func¸a˜o real conhecida, definida em 0 < x < l, e Jν(µνmx) e´ uma func¸a˜o de Bessel do
1 tipo de ordem ν real e
0 < µν1 < µν2 < µν3 < . . . < µνm < . . . (4.181)
sa˜o as ra´ızes de Jν . A expansa˜o so´ tera´ sentido se os coeficientes Cm puderem ser determinados. A
exemplo de outras classes de func¸o˜es, as de Bessel Jν(λx) formam tambe´m um conjunto ortogonal.
Como acabamos de ver, a expansa˜o (4.176) sera´ nula se α "= β. Examinemos seu limite quando α→ β:
lim
α→β
ˆ l
0
xJν
(α
l
x
)
Jν
(
β
l
x
)
dx = lim
α→β
l2
β2 − α2 [αJν(β)J
′
ν(α)− βJν(α)J ′ν(β)] =
0
0
.
Vamos levantar essa indeterminac¸a˜o usando a regra de L’Hopital:
A = lim
α→β
−l2 d
dα
[αJν(β)J ′ν(α)− βJν(α)J ′ν(β)]
d
dα
[α2 − β2]
= lim
α→β
(−l2) [Jν(β)J ′ν(α) + αJν(β)J ′′ν (α)− βJ ′ν(α)J ′ν(β)]
2α
. (4.182)
Mas
J ′′ν (x) +
1
x
J ′ν(x) +
(
1− ν
2
x2
)
Jν(x) ≡ 0
e enta˜o
J ′′ν (β) = −
1
β
J ′ν(β)−
(
1− ν
2
β2
)
Jν(β) "= 0 ,
e portanto:
A = − l
2
2β
[
Jν(β)J
′
ν(β) + βJν(β)
(
− 1
β
J ′ν(β)−
(
1− ν
2
β2
)
Jν(β)
)
− βJ ′ν(β)J ′ν(β)
]
=
l2
2
[
J ′ν(β)J
′
ν(β) +
(
1− ν
2
β2
)
Jν(β)Jν(β)
]
.
Por outro lado, pela hipo´tese feita, a func¸a˜o de Bessel
Jν(µνm) ≡ 0 , ∀µνm ∈ {µν1, µν2, . . . , µνm, . . .}
de modo que: (
1− ν
2
β2
)
J2ν (β) ≡ 0 (β ≡ µνm)
e consequ¨entemente
A =
l2
2
J ′2ν(β) = lim
x→β
ˆ l
0
xJν
(α
l
x
)
Jν
(
β
l
x
)
dx = ‖Jν(β)‖2 . (4.183)
122
Mas de (4.79), onde faremos x→ β, obteremos:
βJ ′ν(β) = νJν(β)︸ ︷︷ ︸
∞
−βJν+1(β) ∴ J ′ν(β) = −Jν+1(β) (4.184)
e daqui, no limite quando α→ β, vem:
lim
α→β
ˆ l
0
xJν
(α
l
x
)
Jν
(
β
l
x
)
dx =
ˆ l
0
xJν
(
β
l
x
)
Jν
(
β
l
x
)
dx
=
ˆ l
0
xJ2ν
(
β
l
x
)
dx
=
l2
2
J2ν+1(β) . (4.185)
Agora podemos determinar os coeficientes Cm da expansa˜o (4.180), caso ela seja poss´ıvel. para
isso, e´ suficiente multiplica´-la por xJν(µνmx/l) e integrar termo a termo a se´rie obtida, desde 0 ate´ l.
Realmente,
ˆ l
0
xf(x)Jν
(
µνm
x
l
)
dx =
ˆ l
0
∞∑
n=1
Cn xJν
(
µνm
x
l
)
Jν
(
µνn
x
l
)
dx
=
∞∑
n=1
Cn
ˆ l
0
xJν
(
µνm
x
l
)
Jν
(
µνn
x
l
)
dx
=
l2
2
[ ∞∑
n=1
CnJ
2
ν+1(µνm) δmn
]
,
e temos os coeficientes da expansa˜o de Fourier-Bessel
Cm =
2
l ‖Jν+1(µνm)‖2
ˆ l
0
xf(x)J2ν
(
µνm
x
l
)
dx (4.186)
A se´rie (4.180), cujos coeficientes sa˜o determinados por (4.186), e´ conhecida por se´rie de Fourier-
Bessel da func¸a˜o f(x). A condic¸a˜o sob a qual a se´rie de Fourier-Bessel converge, e portanto representa
localmente f(x), e´ dada pelo seguinte teorema, cuja demonstrac¸a˜o na˜o estudaremos:
Teorema 4 Suponha que a func¸a˜o real f(x) seja seccionalmente cont´ınua em (0, l) e de variac¸a˜o
finita em qualquer intervalo [r1, r2], onde 0 < r1 < r2 < l. Assim, se a integralˆ l
0
|f(x)| dx <∞ (4.187)
for finita, enta˜o a se´rie acima converge.
Se as condic¸o˜es de contorno do problema forem do tipo
AJν(x) +BxJ
′
ν(x) = 0 ∴ J ′ν(x) + hJν(x) = 0 , (4.188)
os nu´meros 0 < xν1 < xν2 < xν3 < . . . < xνm < . . . sera˜o agora ra´ızes de (4.188), onde h = B/A.
ˆ l
0
xf(x)Jν
(
µνm
x
l
)
Jν
(
µνn
x
l
)
dx =

0 , se m "= n
l2
2
[
J ′2ν(µνn) +
(
1− ν
2
µ2νn
)
J2ν (µνn)
]
, se m = n
=
l2
2
[
J ′2ν(µνn) +
(
1− ν
2
µ2νn
)
J2ν (µνn)
]
δmn (4.189)
123
De sorte que os coeficientes Cn da expansa˜o em se´rie da func¸a˜o f(x), 0 ≤ x ≤ l, sa˜o calculados
por
Cm =
1
l2
[
J ′2ν(µνm) +
(
1− ν
2
m2
)
J2ν (µνm)
] ˆ l
0
xf(x)Jν
(
µνm
x
l
)
dx (4.190)
Se a se´rie (4.180) possui coeficientes calculados por (4.190), ela recebe o nome de se´rie de Deni e
na˜o mais se´rie de Fourier-Bessel.
4.5.2 Transformadas de Fourier-Bessel
Ao lado das se´ries vistas acima, existe tambe´m seu par de transformadas integrais que representam
a func¸a˜o de Bessel Jν(λρ) atrave´s de uma func¸a˜o imagem Fν(λ), quando λ for cont´ınuo, e sa˜o definidas
como:
Fν(λ) =
ˆ ∞
0
ρJν(λρ)f(ρ) dρ (4.191)
f(x) =
ˆ ∞
0
λFν(λ)Jν(λx) dλ (4.192)
f(x) =
ˆ ∞
0
λ
(ˆ ∞
0
ρJν(λρ)f(ρ) dρ
)
Jν(λx) dλ (4.193)
Este par de transformadas tem lugar se forem satisfeitas as seguintes condic¸o˜es:
I. A func¸a˜o f(x), definida em (0,∞) e´ seccionalmente cont´ınua e de variac¸a˜o limitada em quaisquer
subintervalos cont´ınuos, x1 < x < x2 ∈ (0,∞).
II. A integral ˆ ∞
0
√
x |f(x)| dx <∞ (e´ limitada) (4.194)
Ale´m destas transformadas envolvendo as func¸o˜es
de Bessel, existem outras2, como o par de trans-
formadas envolvendo as func¸o˜es de McDonald (func¸o˜es de Bessel modificadas com ı´ndice imagina´rio
puro).
4.5.3 Aplicac¸o˜es
I. Resfriamento de um cilindro infinito e homogeˆneo
Um cilindro infinito homogeˆneo de raio R, possui no instante inicial uma distribuic¸a˜o de tempe-
ratura ϕ(r). Sabendo-se que na sua superf´ıcie a temperatura e´ mantida constantemente igual a zero
graus, determine a temperatura do cilindro em qualquer ponto r e instante t.
Soluc¸a˜o: A formulac¸a˜o matema´tica do problema e´ a seguinte:
Encontrar a soluc¸a˜o u(r, t) da equac¸a˜o
∇2u(r, t) = 1
a2
ut(r, t) , (4.195)
para t > 0 e 0 ≤ r ≤ R, satisfazendo as seguintes condic¸o˜es:
2Nota: Sobre transformadas de func¸o˜es especiais, veja N.E. Watson - Treatese on the Theory of Bessel
Functions.
124
(a) de contorno:
u(R, t) ≡ 0 (4.196)
|u(0, t)| <∞ (4.197)
(b) iniciais:
u(r, 0) = ϕ(r) (4.198)
Separando as varia´veis, u(r, t) = Φ(r)Ψ(t), em (4.195), temos:
∇2 [Φ(r)Ψ(t)] = 1
a2
∂
∂t
[Φ(r)Ψ(t)] = Ψ∇2Φ = 1
a2
ΦΨ′ ,
ou
∇2Φ(r)
Φ(r)
=
1
a2
Ψ′(t)
Ψ(t)
= −λ . (4.199)
Mas no sistema cil´ındrico, temos
∇2Φ(r) =
[
1
r
∂
∂r
(
r
∂
∂r
)
+
1
r2
∂2
∂ϕ2
+
∂2
∂z2
]
Φ(r)
=
1
r
∂
∂r
(
r
∂Φ(r)
∂r
)
=
1
r
[
r
∂2Φ(r)
∂r2
+
∂Φ(r)
∂r
]
=
d2Φ(r)
dr2
+
1
r
dΦ(r)
dr
. (4.200)
Enta˜o,  Φ′′ +
1
r
Φ′ + λΦ = 0
Φ(R) = 0 e Φ(0) <∞
(4.201)
e {
Ψt(t) + a2λΨ(t) = 0
Ψ(t) = C e−λa
2t , λ > 0
. (4.202)
A soluc¸a˜o geral de (4.201), por se tratar de uma equac¸a˜o de Bessel de ordem ν = 0, do primeiro tipo
e paraˆmetro λ, e´
Φ(r) = AJ0(
√
λ r) +BN0(
√
λ r) . (4.203)
O comportamento de N0(
√
λ r) na origem e´ singular. Consequ¨entemente, o coeficiente B e´ identica-
mente nulo (B ≡ 0). Desse modo,
Φ(r) = AJ0(
√
λ r) . (4.204)
Pode-se aqui fazer A = 1 sem perda de generalidade.
As condic¸o˜es de contorno nos permitem determinar os autovalores do problema, isto e´:
Φ(R) = J0(
√
λR) = 0 = J0(µ) ∴ µ =
√
λR . (4.205)
Esta equac¸a˜o possui um nu´mero infinito de ra´ızes
µ01 < µ02 < µ03 < . . . < µ0n < . . . , (4.206)
125
atrave´s das quais determinamos os autovalores do problema, ou seja: µ0n =
√
λ0nR, e daqui
λ0n =
(µ0n
R
)2
. (4.207)
Agora podemos determinar o conjunto de autofunc¸o˜es associado a (4.206),
J0(
√
λ0n r) = J0
(µ0n
R
r
)
, (4.208)
e tambe´m
Ψn(t) = Cn e
−a2λ0nt = Cn e−(aµ0n/R)
2t . (4.209)
Finalmente, n-e´sima soluc¸a˜o particular e´
un(r, t) = CnJ0
(µ0n
R
r
)
e−(aµ0n/R)
2t
e a soluc¸a˜o geral sera´ a superposic¸a˜o de todas as soluc¸o˜es particulares:
u(r, t) =
∞∑
m=1
CmJ0
(µ0m
R
r
)
e−(aµ0m/R)
2t . (4.210)
Os coeficientes Cm sa˜o determinados usando a condic¸a˜o inicial (4.198) e os coeficientes da se´rie de
Fourier-Bessel (4.190) (pois Jν(β) ≡ 0) sera˜o
Cm =
2
R2‖J1(µ0m)‖2
ˆ R
0
rϕ(r)J0
(µ0m
R
r
)
dr , (4.211)
onde µ0m e´ a m-e´sima raiz de J0(β) ≡ 0. Desse modo, a soluc¸a˜o do problema esta´ completamente
determinada.
II. Temperatura de um cilindro finito
Determinar a temperatura no estado estaciona´rio de um tronco de cilindro circular, homogeˆneo,
de comprimento l e raio R, se as suas bases sa˜o sempre mantidas A` temperatura zero e sua superf´ıcie
lateral e´ mantida a` temperatura f(z).
Soluc¸a˜o: A formulac¸a˜o matema´tica do problema e´:
Encontrar a soluc¸a˜o u(r, z) da equac¸a˜o
∇2u(r, z) = 1
a2
∂u(r, z)
∂t
≡ 0 (estado estaciona´rio) , (4.212)
onde 0 ≤ r ≤ R e 0 ≤ z ≤ h, com as seguintes condic¸o˜es de contorno:
u(r, 0) = u(r, h) = 0 (4.213)
u(R, z) = f(z) e |u(0, z)| <∞ (4.214)
Procuremos a soluc¸a˜o do problema acima proposto pelo me´todo da separac¸a˜o de varia´veis, na
seguinte forma:
u(r, z) = Φ(r)Ψ(z) , (4.215)
que substitu´ıda em (4.212), fornece
∇2u(r, z) = ∇2 [Φ(r)Ψ(z)] = 1
r
∂
∂r
(
r
∂
∂r
[Φ(r)Ψ(z)]
)
+
1
r2
∂2
∂ϕ2
[Φ(r)Ψ(z)] +
∂2
∂z2
[Φ(r)Ψ(z)] = 0 ,
126
ou
Ψ(z)
r
d
dr
[
r
dΦ(r)
dr
]
+ Φ(r)
d2Ψ(r)
dz2
= 0 .
Dividindo por Φ(r)Ψ(z), vem
1
r
1
Φ(r)
d
dr
[
r
dΦ(r)
dr
]
= −Ψ
′
Ψ
= λ (positivo e real) . (4.216)
Logo
d2Φ(r)
dr2
+
1
r
dΦ(r)
dr
− λΦ(r) = 0 |Φ(0)| <∞ , (4.217)
que e´ uma equac¸a˜o de Bessel modificada, de ordem zero e paraˆmetro λ, e{
Ψ′′(z) + λΨ(z) = 0
Ψ(0) = Ψ(h) = 0
. (4.218)
A soluc¸a˜o de (4.218) ja´ e´ conhecida, isto e´,
Ψ(z) = A sin
√
λ z +B cos
√
λ z ,
e nas fronteiras temos:
z = 0 =⇒ A sin
√
λ · 0 +B cos
√
λ · 0 = Ψ(0) = 0 ∴ B = 0 ,
z = h =⇒ A sin
√
λ · h+B cos
√
λ · h = Ψ(l) = 0 ,
{
0 ·A+B · 1 = Ψ(0) = 0
A sin
√
λ · h+B cos√λ · h = Ψ(h) = 0
=⇒
{
A "= 0 e B = 0
A sin
√
λh = 0
. (4.219)
Enta˜o, sin
√
λh = 0 = sinnpi implica que
√
λ0n h = npi, e temos os autovalores do problema:
λ0n =
(npi
h
)2
. (4.220)
Logo, as autofunc¸o˜es em z sa˜o
Ψ(0)n = A sin
√
λ0n z = An sin
(npi
h
z
)
. (4.221)
Os mesmos autovalores devem satisfazer a`s equac¸o˜es nas varia´veis r e z, logo tem-se que a soluc¸a˜o
geral da equac¸a˜o modificada de Bessel sera´ da seguinte forma, para o n-e´simo autovalor
Φn(r) = CnI0
(npi
h
r
)
+DnK0
(npi
h
r
)
. (4.222)
Como a func¸a˜o K0(npir/h) tende a infinito para r → 0 (veja os gra´ficos das func¸o˜es de Bessel e o
comportamento das func¸o˜es de Bessel na origem e no infinito), enta˜o temos Dn = 0. Assim,
Φn(r) = CnI0
(npi
h
r
)
(4.223)
e finalmente,
u(r, z) =
∞∑
n=0
CnI0
(npi
h
r
)
sin
(npi
h
z
)
, (4.224)
com coeficientes dados por
Cn =
2
hΓ0
(npi
h
r
) ˆ h
0
f(z) sin
(npi
h
z
)
dz . (4.225)
As expresso˜es (4.224) e (4.225) fornecem a soluc¸a˜o geral do problema proposto.
127
III. Placa infinita de espessura h com orif´ıcio central
Uma placa de espessura h e dimenso˜es infinitamente grandes, possui um orif´ıcio circular de raio R,
longe das bordas. Determine, no regime estaciona´rio, a temperatura da placa, admitindo que a placa
seja homogeˆnea e que as faces inferior (z = 0) e superior (z = h) sejam mantidas em temperatura cons-
tante e igual a zero e as paredes laterais do orif´ıcio sa˜o mantidas pela distribuic¸a˜o de temperatura f(z).
Soluc¸a˜o: A formulac¸a˜o matema´tica do problema e´:
Encontrar a soluc¸a˜o u(r, z) do seguinte problema:
∇2u(r, z) = 1
a2
ut(r, t) = 0 , R ≤ r <∞ e 0 < z < l (4.226)
com condic¸o˜es {
u(r, 0) = u(r, h) = 0
|u(∞, z)| <∞ (4.227)
e
u(R, z) = f(z) . (4.228)
Figura 4.5: Placa infinita, de espessura h, com orif´ıcio de raio R.
Procuramos a soluc¸a˜o de (4.226)–(4.228) pelo me´todo de separac¸a˜o de varia´veis de Fourier, isto e´:
u(r, z) = Φ(r)Ψ(z) , (4.229)
que substitu´ıda no problema formulado fornece (veja exerc´ıcio anterior):{
Ψ(z) + λΨ(z) = 0
Ψ(0) = Ψ(h) = 0
, (4.230)
onde λ > 0. A soluc¸a˜o e´ a mesma que a do problema anterior, isto e´:
Ψn(z) = sin
√
λn z , (4.231)
onde
λn =
(npi
h
)2
. (4.232)
A equac¸a˜o para a func¸a˜o em r e´
Φ′′(r) +
1
r
Φ′(r)− λΦ(r) = 0 (|Φ(∞)| <∞) , (4.233)
cuja soluc¸a˜o, para λ = λn, e´:
Φn(r) = DnI0
(npi
h
r
)
+ CnK0
(npi
h
r
)
.
Como a soluc¸a˜o procurada deve ser limitada e a func¸a˜o I0 e´ singular para r →∞, segue-se que Dn = 0.
128
IV. Fluxo de calor em um cilindro infinito
Considere um cilindro macic¸o de raio R cujas paredes laterais sa˜o mantidas a` temperatura de zero
graus e a distribuic¸a˜o da temperatura inicial pode ser representada pelas coordenadas r, ϕ e z, isto e´:
u(r,ϕ, z, 0) = Ψ(r,ϕ, z) .
Determinar a temperatura do cilindro.
Soluc¸a˜o: A formulac¸a˜o matema´tica deste problema e´ a seguinte:
Encontrar
a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
∇2u(r,ϕ, z, t) = 1
a2
∂
∂t
u(r,ϕ, z, t) , (4.234)
com a condic¸a˜o de contorno
u(r,ϕ, z, t)|Σ = u(R,ϕ, z, t) = 0 (4.235)
e condic¸o˜es iniciais {
u(r,ϕ, z, 0) = Ψ(r,ϕ, z)
|u(0,ϕ, z, t)| <∞ . (4.236)
Vamos procurar a soluc¸a˜o u(r,ϕ, z, t) na forma
u(r,ϕ, z, t) = Ω(r)Φ(ϕ)Z(z)T (t) , (4.237)
que substitu´ıda em (4.234) fornece, apo´s divisa˜o por Ω(r)Φ(ϕ)Z(z)T (t),
T ′′(t)
a2T (t)
=
Ω′′(r) + 1rΩ
′(r)
Ω(r)
+
1
r2
Φ′′(ϕ)
Φ(ϕ)
+
Z ′′(z)
Z(z)
, (4.238)
de onde se obte´m
faltando (4.239)
faltando (4.240)
faltando (4.241)
faltando (4.242)
faltando (4.243)
faltando (4.244)
Como na˜o existem restric¸o˜es para a constante λ, podemos considera´-la totalmente arbitra´ria, assu-
mindo qualquer valor real (λ deve ser cont´ınuo, pois se considera o cilindro infinitamente longo). Por
essa raza˜o, devemos lembrar que C1 = C1(λ), C2 = C2(λ), C3 = C3(m), C4 = C4(m), C5 = C5(mi) e
C7 = C7(λm). Podemos agora compor a soluc¸a˜o parcial de nosso problema, isto e´:
umi(λ, r,ϕ, z, t) =
{
[Ami(λ) cosλz +Bmi(λ) sinλz] cosmϕ+
[Cmi(λ) cosλz +Dmi(λ) sinλz] sinmϕ
}
Jm(kmir) e
−a2(λ2+k2mi) t . (4.245)
129
A soluc¸a˜o geral sera´:
u(r,ϕ, z, t) =
∞∑
m=0
∞∑
i=1
ˆ ∞
−∞
umi(λ, r,ϕ, z, t) dλ =
∞∑
m=0
∞∑
i=1
ˆ ∞
−∞
{
[Ami(λ) cosλz +Bmi(λ) sinλz] cosmϕ+
[Cmi(λ) cosλz +Dmi(λ) sinλz] sinmϕ
}
Jm(kmir) e
−a2(λ2+k2mi) t dλ . (4.246)
Para determinar os coeficientes Ami(λ), Bmi(λ), Cmi(λ) e Dmi(λ), fac¸amos t = 0 em (4.246), obtendo
a expressa˜o
u(r,ϕ, z, 0) =
∞∑
m=0
∞∑
i=1
ˆ ∞
−∞
umi(λ, r,ϕ, z, t) dλ =
∞∑
m=0
∞∑
i=1
ˆ ∞
−∞
{
[Ami(λ) cosλz +Bmi(λ) sinλz] cosmϕ+
[Cmi(λ) cosλz +Dmi(λ) sinλz] sinmϕ
}
Jm(kmir) dλ = Ψ(r,ϕ, z) . (4.247)
Mas,
Ψ(r,ϕ, z) =
∞∑
i=1
ˆ ∞
−∞
[A0i(λ) cosλz +B0i(λ) sinλz] J0(k0ir) dλ
+
∞∑
m=1
{ ∞∑
i=1
Jm(kmir)
ˆ ∞
−∞
[Ami(λ) cosλz +Bmi(λ) sinλz] dλ
}
cosmϕ
+
∞∑
m=1
{ ∞∑
i=1
Jm(kmir)
ˆ ∞
−∞
[Cmi(λ) cosλz +Dmi(λ) sinλz] dλ
}
sinmϕ . (4.248)
Vamos agora comparar esta igualdade com a expansa˜o da func¸a˜o Ψ(r,ϕ, z) em uma se´rie em senos e
cossenos de ϕ no intervalo (0, 2pi), no qual ϕ e´ a varia´vel independente e r e z sera˜o tidos temporaria-
mente como paraˆmetros de Ψ. Assim, (4.248) pode ser considerada como uma expansa˜o de Ψ(r,ϕ, z)
em se´rie trigonome´trica de Fourier. Portanto,
1
2pi
ˆ 2pi
0
Ψ(r,ϕ, z) dϕ =
∞∑
i=0
J0(k0ir)
ˆ ∞
−∞
[A0i(λ) cosλz +B0i(λ) sinλz] dλ = a0 (4.249)
1
pi
ˆ 2pi
0
Ψ(r,ϕ, z) cosmϕ dϕ =
∞∑
i=1
Jm(kmir)
ˆ ∞
−∞
[Ami(λ) cosλz +Bmi(λ) sinλz] dλ = am (4.250)
1
pi
ˆ 2pi
0
Ψ(r,ϕ, z) sinmϕ dϕ =
∞∑
i=1
Jm(kmir)
ˆ ∞
−∞
[Cmi(λ) cosλz +Dmi(λ) sinλz] dλ = am (4.251)
Observe que cada uma das expresso˜es acima [(4.249), (4.250) e (4.251)] representa uma expansa˜o em
se´rie de Fourier-Bessel, isto e´:
f(r) =
∞∑
i=1
αiJm
(
µmi
r
R
)
, (4.252)
130
onde m e´ inteiro e o coeficiente αi corresponde a` integral em λ do termo entre colchetes nos segundos
membros das expresso˜es referidas. Estes coeficientes αi sa˜o calculados por (4.186) e representam os
coeficientes de Fourier-Bessel, ou seja:
αi =
2
R2J2m+1(µmi)
ˆ R
0
rf(r)Jm
(
µmi
r
R
)
dr (4.253)
Desse modo, teremos:
ˆ ∞
−∞
[A0i(λ) cosλz +B0i(λ) sinλz] dλ =
1
piR2J21 (µ0i)
ˆ R
0
ˆ 2pi
0
rΨJ0
(
µ0i
r
R
)
dr dϕ (4.254)
ˆ ∞
−∞
[Ami(λ) cosλz +Bmi(λ) sinλz] dλ =
2
ˆ R
0
ˆ 2pi
0
rΨJm
(
µmi
r
R
)
cosmϕ dr dϕ
piR2J2m+1
(
µmi
r
R
) (4.255)
ˆ ∞
−∞
[Cmi(λ) cosλz +Dmi(λ) sinλz] dλ =
2
ˆ R
0
ˆ 2pi
0
rΨJm
(
µmi
r
R
)
sinmϕ dr dϕ
piR2J2m+1
(
µmi
r
R
) (4.256)
Analisemos em (4.254), (4.255) e (4.256) as integrais em λ que compo˜em o primeiro membro. Sa˜o
todas integrais da forma
g(z) =
ˆ ∞
−∞
[a(λ) cosλz + b(λ) sinλz] dλ (4.257)
Vamos compara´-la agora com a integral de Fourier da func¸a˜o g(z), na forma real, ou seja:
g(z) =
1
2pi
ˆ ∞
−∞
dλ
ˆ ∞
−∞
g(ζ) cosλ(ζ − z) dζ (4.258)
ou enta˜o
g(z) =
(
1√
2pi
)2 ˆ ∞
−∞
[
cosλz
ˆ ∞
−∞
g(ζ) cosλζ dζ + sinλz
ˆ ∞
−∞
g(ζ) sinλζ dζ
]
dλ
=
(
1√
2pi
) ˆ ∞
−∞
[(
1√
2pi
ˆ ∞
−∞
g(ζ) cosλζ dζ
)
cosλz +
(
1√
2pi
ˆ ∞
−∞
g(ζ) sinλζ dζ
)
sinλz
]
dλ
=
(
1√
2pi
) ˆ ∞
−∞
a(λ) cosλz dλ+
(
1√
2pi
)ˆ ∞
−∞
b(λ) sinλz dλ , (4.259)
onde
a(λ) =
1√
2pi
ˆ ∞
−∞
g(ζ) cosλζ dζ (4.260)
e
b(λ) =
1√
2pi
ˆ ∞
−∞
g(ζ) sinλζ dζ (4.261)
Comparando (4.260) e (4.261) com (4.254) e (4.255) e com (4.256), determinaremos os coeficientes
dependentes de λ, isto e´:
A(λ)mi =
1
δ−1m Γ2mi
ˆ R
0
ˆ 2pi
0
ˆ ∞
−∞
r′Ψ(r′,ϕ′, ζ) Jm
(
µmir′
R
)
cosmϕ′ cosλζ dr′dϕ′dζ (4.262)
131
B(λ)mi =
1
δ−1m Γ2mi
ˆ R
0
ˆ 2pi
0
ˆ ∞
−∞
r′Ψ(r′,ϕ′, ζ) Jm
(
µmir′
R
)
cosmϕ′ sinλζ dr′dϕ′dζ (4.263)
C(λ)mi =
1
Γ2mi
ˆ R
0
ˆ 2pi
0
ˆ ∞
−∞
r′Ψ(r′,ϕ′, ζ) Jm
(
µmir′
R
)
sinmϕ′ cosλζ dr′dϕ′dζ (4.264)
D(λ)mi =
1
Γ2mi
ˆ R
0
ˆ 2pi
0
ˆ ∞
−∞
r′Ψ(r′,ϕ′, ζ) Jm
(
µmir′
R
)
sinmϕ′ sinλζ dr′dϕ′dζ (4.265)
onde
Γ2 =
1
pi2R2J2m+1(µmi)
(4.266)
e
δm =
{
2 , se m = 0
1 , se m "= 0 (4.267)
Substituindo (4.262), (4.263), (4.264) e (4.265) na soluc¸a˜o geral u(r,ϕ, z, t), (4.246), realizando
todas as integrac¸o˜es na varia´vel λ e reorganizando a forma da expressa˜o obtida, teremos, finalmente:
u(r,ϕ, z, t) =
pi√
pit
∞∑
m=0
∞∑
i=1
e−(aµmir/R)
2t
δmΓ2mi
Jm
(
µmi
r
R
)
×
ˆ R
0
ˆ 2pi
0
ˆ ∞
−∞
r′Ψ(r′,ϕ′, ζ) Jm
(
µmir′
R
)
e−(z−ζ)
2/(4a2t) cos [m (ϕ− ϕ′)] dr′dϕ′dζ , (4.268)
que e´ a soluc¸a˜o final do problema.
Observac¸a˜o: na integrac¸a˜o por λ utiliza-se as seguintes relac¸o˜es:
ˆ ∞
−∞
e−α
2λ2 cosβλ dλ =
√
pi
α
e−β
2/4α2 (4.269)
e ˆ ∞
−∞
e−α
2λ2 cosβλ dλ = 0 (4.270)
4.6 Polinoˆmio de Legendre
Uma das classes de func¸o˜es esfe´ricas mais simples e´ a dos polinoˆmios de Legendre da varia´vel
x = cos θ. Ja´ vimos que podem ser oriundos da soluc¸a˜o de determinada EDO de 2 ordem, onde se
utiliza o me´todo de Frobenius. No entanto, nosso procedimento sera´ mais direto e mais simples, isto
e´, determinaremos estes polinoˆmios atrave´s de uma func¸a˜o geradora.
4.6.1 Determinac¸a˜o dos Polinoˆmios de Legendre
A func¸a˜o geradora do polinoˆmio de Legendre e´ definida como
Ψ(x, t) =
(
1− 2xt+ t2)−1/2 . (4.271)
132
Vamos expandir (4.271) em uma se´rie de poteˆncias de t:
Ψ(x, t) =
∞∑
n=0
Pn(x) t
n = P0(x) + P1(x) t+ P2(x) t
2 + . . .+ Pn(x) t
n + . . . (4.272)
O nosso objetivo e´ mostrar que os coeficientes desta expansa˜o representam o polinoˆmio de Legendre.
Fac¸amos x = 1 em (4.272); teremos:
Ψ(1, t) =
1
1− t = 1 + t+ t
2 + . . .+ tn + . . .
Logo, Pn(1) = 1. Fac¸amos ainda em (4.272) x = −1 e teremos:
Ψ(−1, t) = 1
1 + t
= 1− t+ t2 − . . .+ (−1)n tn + . . .
Derivando (4.272) n vezes em relac¸a˜o a t e fazendo-se em seguida t = 0, tem-se
∂nΨ(x, t)
∂tn
∣∣∣∣
t=0
= (n!Pn(x) + n(n− 1) · . . . · 2 · Pn+1(x)t+ . . .)|t=0 = n!Pn(x) ,
ou enta˜o,
Pn(x) =
1
n!
(
∂nΨ
∂tn
)
t=0
. (4.273)
Por outro lado, a derivada de ordem n, ∂nΨ/∂tn, para t = 0, pode ser calculada pela fo´rmula de
Cauchy, isto e´: (
∂nΨ
∂tn
)
t=0
=
n!
2pii
˛
C
Ψ(x, τ)
τn+1
dτ , (4.274)
onde C deve ser um contorno fechado que delimita uma regia˜o a` qual pertence τ0 = 0. A varia´vel
τ = ξ + iη e´ complexa. Fac¸amos a seguinte mudanc¸a de varia´vel:√
1− 2xτ + τ2 = 1− τz
em (4.274), e obteremos
1− 2xτ + τ2 = 1− 2τz + τ2z2 ∴ τ = 2 (z − x)
z2 − 1
e ainda
dτ
(
z2 −
1)+ τ (2z dz) = 2 dz ∴ dτ = 2 (1− τz) dz
z2 − 1
e consequ¨entemente teremos
Ψ(x, τ) dτ =
2Ψ(x, τ) (1− τz) dz
z2 − 1 =
2 (1− τz) dz√
1− 2xτ + τ2 (z2 − 1) =
2 (1− τz) dz
(1− τz) (z2 − 1) =
2 dz
z2 − 1
Assim, o integrando de (4.274) fica igual a
(
∂nΨ
∂tn
)
t=0
=
n!
2pii
˛
C′1
2
z2 − 1[
2 (z − x)
z2 − 1
]n+1 dz = n!2pii
˛
C′1
(
z2 − 1)n
2n (z − x)n+1 dz . (4.275)
Aqui C′1 e´ um caminho fechado que circunda o ponto z = x. Utilizando em (4.275) a fo´rmula integral
de Cauchy, determinamos explicitamente o seu valor, isto e´:(
∂nΨ
∂tn
)
t=0
=
n!
2n
1
2pii
˛
C′1
(
z2 − 1)n dz
(z − x)n+1 =
1
2n
[
dn
(
z2 − 1)n
dzn
]
z=x
. (4.276)
133
Finalmente,
Pn(x) =
1
n!
(
∂nΨ(x, t)
∂tn
)
t=0
=
1
2nn!
dn
dxn
(
x2 − 1)n (4.277)
que e´ conhecida como fo´rmula de Rodrigues. Desse modo, Pn(x) realmente e´ um polinoˆmio de ordem
n, que sera´ par se n = 2k e ı´mpar se n = 2k + 1.
134
Podemos ainda usar (4.277) para determinar explicitamente alguns valores de Pn(x). Obviamente,
P0(x) ≡ 1. Temos tambe´m
P1(x) = x , P2(x) =
3
2
x2 − 1
2
, . . .
Figura 4.6: Polinoˆmios de Legendre.
Procuremos agora a equac¸a˜o diferencial cuja soluc¸a˜o seja Pn(x). Para isto examinaremos a func¸a˜o
ω(x) =
(
x2 − 1)n (4.278)
e enta˜o
Pn(x) =
1
2nn!
dnω(x)
dxn
. (4.279)
E´ evidente que
ω′(x) = n
(
x2 − 1)n−1 (2x) = 2xn
x2 − 1
(
x2 − 1)n = 2xnω
x2 − 1 ,
ou enta˜o (
x2 − 1)ω′ − 2nxω ≡ 0 (4.280)
Vamos derivar esta identidade n + 1 vezes consecutivas e teremos, apo´s reagrupar convenientemente
os seus coeficientes, (
x2 − 1)ω(2)(x)− 2x (n− 1)ω(1)(x)− 2nω(x) = 0 (4.281)
A equac¸a˜o (4.281) e´ um relac¸a˜o de refereˆncia. Prosseguindo, temos(
x2 − 1)ω(3)(x)− 2x (n− 2)ω(2)(x)− (4n− 2)ω(1)(x) = 0 , ou(
x2 − 1)ω(2+1)(x)− 2x (n− 1− 1)ω(1+1)(x)− [2n+ (2n− [1 + 1])]ω(1)(x) = 0 . (4.282)
(
x2 − 1)ω(4)(x)− 2x (n− 3)ω(3)(x)− (6n− 6)ω(2)(x) = 0 , ou(
x2 − 1)ω(2+2)(x)− 2x [(n− 1)− 2]ω(1+2)(x)− [2n+ 2 (2n− [2 + 1])]ω(2)(x) = 0 . (4.283)
(
x2 − 1)ω(5)(x)− 2x (n− 4)ω(4)(x)− (8n− 12)ω(3)(x) = 0 , ou(
x2 − 1)ω(2+3)(x)− 2x [(n− 1)− 3]ω(1+3)(x)− [2n+ 3 (2n− [3 + 1])]ω(3)(x) = 0 . (4.284)
135
(
x2 − 1)ω(6)(x)− 2x (n− 5)ω(5)(x)− (10n− 20)ω(4)(x) = 0 , ou(
x2 − 1)ω(2+4)(x)− 2x [(n− 1)− 4]ω(1+4)(x)− [2n+ 4 (2n− [4 + 1])]ω(4)(x) = 0 , (4.285)
e assim por diante, de sorte que a (k + 1)-e´sima derivada de (4.280) sera´ da forma:(
x2 − 1)ω(2+k)(x)− 2x [(n− 1)− k]ω(1+k)(x)− [2n+ k (2n− [k + 1])]ω(k)(x) = 0 (4.286)
Fazendo k ≡ n em (4.286), teremos:(
x2 − 1)ω(n+2)(x) + 2xω(n+1)(x)− n (n+ 1)ω(n)(x) = 0 (4.287)
ou ainda (
x2 − 1) [ω(n)(x)]′′ + 2x [ω(n)(x)]′ − n (n+ 1)ω(n)(x) = 0 (4.288)
e de acordo com (4.279), multiplicando-se (4.288) por 1/2nn! termo a termos, teremos(
x2 − 1)P ′′n (x) + 2xP ′n(x)− n (n+ 1)Pn(x) = 0 ,
ou (
1− x2)P ′′n (x)− 2xP ′n(x) + n (n+ 1)Pn(x) = 0 (4.289)
Desse modo,
Pn(x) =
1
2nn!
dnω(x)
dxn
satisfaz a uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria da forma(
1− x2) y′′(x)− 2xy′(x) + n (n+ 1) y(x) = 0 (4.290)
chamada de equac¸a˜o de Legendre, que pode ser escrita na forma de Sturm-Louville, isto e´:
d
dx
[(
1− x2) dy
dx
]
+ λy = 0 (4.291)
onde q(x) = 0 e λ = n (n+ 1).
Exerc´ıcio: Determine a expressa˜o (4.291).
4.6.2 Fo´rmulas de Recorreˆncia
Vamos derivar a expansa˜o (4.272) em relac¸a˜o a t e a x e obteremos duas identidades:
∂Ψ(x, t)
∂t
=
∂
∂t
(
1√
1− 2xt+ t2
)
=
(x− t)Ψ
1− 2xt+ t2 = P1 + 2P2t+ . . .+ nPnt
∂Ψ
∂x
=
tΨ
1− 2xt+ t2 = P
′
0 + P
′
1t+ . . .+ P
′
nt
n
ou
(x− t) (P0 + P1t+ . . .+ Pntn) =
(
1− 2xt+ t2) (P1 + 2P2t+ . . .+ nPnt)
e ainda
t (P0 + P1t+ . . .+ Pnt
n) =
(
1− 2xt+ t2) (P ′0 + P ′1t+ . . .+ P ′ntn) .
Comparando os termos de mesma poteˆncia em t na 1 e na 2 expresso˜es, obte´m-se, respectivamente
(n+ 1)Pn+1(x)− (2n+ 1)xP ′n(x) + nPn−1(x) = 0 (4.292)
136
que e´ a primeira relac¸a˜o de recorreˆncia, e
Pn(x) ≡ P ′n+1(x)− 2xP ′n(x) + Pn−1(x)
e daqui,
2xP ′n(x) = P ′n+1(x)− Pn(x) + Pn−1(x) (4.293)
Eliminando do resultado da derivac¸a˜o de (4.292) por x e de (4.293) o termo xP ′n(x), obtemos
(2n+ 1)Pn(x) = P ′n+1(x)− P ′n−1(x) (4.294)
que e´ a segunda relac¸a˜o de recorreˆncia.
4.6.3 Ortogonalidade de Pn(x)
Os polinoˆmios de Legendre definidos em −1 < x < 1 sa˜o ortogonais, com peso ρ(x) ≡ 1. Real-
mente, das equac¸o˜es de Legendre para Pn(x) e Pk(x), escrevemos as identidades
d
dx
[(
1− x2)P ′n(x)]+ n (n+ 1)Pn(x) ≡ 0 e
d
dx
[(
1− x2)P ′k(x)]+ k (k + 1)Pk(x) ≡ 0
Multipliquemos a 1 por Pk(x) e a 2 por Pn(x), subtraiamos os resultados e a diferenc¸a obtida inte-
gremos em relac¸a˜o a x, no intervalo [−1, 1]. Enta˜o,
ˆ 1
−1
{
Pk
d
dx
[(
1− x2) dPn
dx
]
− Pn d
dx
[(
1− x2) dPk
dx
]}
dx = [k (k + 1)− n (n+ 1)]
ˆ 1
−1
Pn(x)Pk(x) dx .
Desenvolvendo o membro esquerdo, temos:
ˆ 1
−1
Pk
[(
1− x2)P ′n]′ + P ′k [(1− x2)P ′n] dx− ˆ 1
−1
Pn
[(
1− x2)P ′k]′ + P ′n [(1− x2)P ′k] dx−
ˆ 1
−1
P ′k
[(
1− x2)P ′n] dx+ ˆ 1
−1
P ′n
[(
1− x2)P ′k] dx =
ˆ 1
−1
d
dx
{
Pk
[(
1− x2)P ′n]− Pn [(1− x2)P ′k]} dx =
ˆ 1
−1
d
{
Pk
[(
1− x2)P ′n]− Pn [(1− x2)P ′k]} ,
de forma que
[k (k + 1)− n (n+ 1)]
ˆ 1
−1
Pn(x)Pk(x) dx =
(
1− x2) [PkP ′n − PnP ′k]∣∣1−1 .
Daqui escrevemos:
ˆ 1
−1
Pn(x)Pk(x) dx =
1
[k (k + 1)− n (n+ 1)]
{(
1− x2) [PkP ′n − PnP ′k]∣∣1−1} = 0 (4.295)
para n "= k.
Determinemos o quadrado da norma de Pn(x):
‖Pn(x)‖2 =
ˆ 1
−1
P 2n(x) dx =
ˆ 1
−1
Pn(x)Pn(x) dx .
137
Substituindo aqui um dos fatores Pn(x) por seu valor dado em (4.292) e fazendo-se n→ n− 1, temos
nPn(x) = (2n− 1)xPn−1(x)− (n− 1)Pn−2(x)
de onde temos
Pn(x) =
2n− 1
x
xPn−1(x)− n− 1
n
Pn−2(x)
Agora,
‖Pn(x)‖2 =
ˆ 1
−1
Pn(x)
[
2n− 1
x
xPn−1(x)− n− 1
n
Pn−2(x)
]
dx
=
2n− 1
n
ˆ 1
−1
xPn(x)Pn−1(x) dx− n− 1
n
ˆ 1
−1
Pn(x)Pn−1(x) dx .
Mas ainda de (4.292), temos
xPn(x) =
n+ 1
2n+ 1
Pn+1(x) +
n
2n+ 1
Pn−1(x) ,
logo,
‖Pn(x)‖2 = 2n− 1
n
ˆ 1
−1
[
n+ 1
2n+ 1
Pn+1(x) +
n
2n+ 1
Pn−1(x)
]
Pn−1(x) dx
=
2n− 1
2n+ 1
ˆ 1
−1
Pn−1(x)Pn−1(x) dx ,
ou
‖Pn(x)‖2 = 2n− 1
2n+ 1
‖Pn−1(x)‖2 (4.296)
Se escrevermos para (4.296) as relac¸o˜es entre ‖Pn(x)‖2 e ‖Pn−1(x)‖2, para n = 2, 3, 4, . . ., e a
seguir multiplicarmos essas relac¸o˜es membro a membro, teremos
‖P2(x)‖2 = 3
5
‖P1(x)‖2
‖P3(x)‖2 = 5
7
‖P2(x)‖2
‖P4(x)‖2 = 7
9
‖P3(x)‖2
. . . . . . . . .
‖Pk(x)‖2 = 2k − 1
2k + 1
‖Pk−1(x)‖2
‖Pk(x)‖2 = 3
2k + 1
‖P1(x)‖2
Como ‖P1(x)‖2 = 2/3, segue-se que
‖Pk(x)‖2 = 2
2k + 1
(4.297)
de onde temos
‖Pk(x)‖ =
√
2
2k + 1
(4.298)
138
4.6.4 Se´rie de Legendre - Expansa˜o de Func¸o˜es
Dada a func¸a˜o f(x) definida no intervalo [−1, 1], onde f(x) e f ′(x) sejam seccionalmente cont´ınuas,
enta˜o f(x) pode ser expandida em uma se´rie dos polinoˆmios de Legendre, isto e´:
f(x) =
∞∑
n=0
CnPn(x) . (4.299)
Os coeficientes Cn podem ser calculados utilizando-se os conceitos de ortogonalidade e de norma de
Pn(x). Ou seja:
ˆ 1
−1
f(x)Pk(x) dx =
ˆ 1
−1
∞∑
n=0
CnPnPk dx =
∞∑
n=0
Cn
ˆ 1
−1
PnPk dx =
∞∑
n=0
Cn
2
2n+ 1
δnk =
2Ck
2k + 1
e finalmente
Cn =
(
2n+ 1
2
)ˆ 1
−1
f(ξ)Pn(ξ) dξ (4.300)
expressa˜o que da´ os coeficientes de Legendre.
4.6.5 Polinoˆmio Associado de Legendre
A equac¸a˜o de Legendre (4.289) ou (4.290) pode ser introduzida a partir do me´todo da separac¸a˜o
de varia´veis, da equac¸a˜o de Helmholtz no sistema esfe´rico como ja´ vimos anteriormente, bastando para
isso fazer m2 = 0, isto e´, admitindo simetria azimutal no problema estudado. A equac¸a˜o
que se obte´m
da separac¸a˜o de varia´veis e´ a seguinte
1
sin θ
d
dθ
[
sin θ
dv(θ)
dθ
]
+
(
λ− m
2
sin2 θ
)
v(θ) = 0 (4.301)
Fazendo-se x = cos θ, pode-se escrever (4.301) na forma
(
1− x2) v′′(x)− 2xv′ + (λ− m2
1− x2
)
= 0 (4.302)
de onde pode-se obter (4.290) fazendo-se em (4.302)
λ = n (n+ 1) e m2 = 0 . (4.303)
O nosso objetivo agora e´ resolver (4.302) preservando o valor λ = n (n+ 1) e ainda m2 "= 0. Temos
enta˜o a equac¸a˜o do polinoˆmio associado de Legendre:
(
1− x2) v′′(x)− 2xv′ + [n (n+ 1)− m2
1− x2
]
= 0 (4.304)
Para resolver a equac¸a˜o partiremos de (4.289), e na˜o de (4.304), objetivando resguardar os polinoˆmios
Pn(x) ja´ definidos. Vamos, portanto, derivar (4.289) m vezes, usando a fo´rmula de Leibniz para
derivac¸a˜o de produtos de duas func¸o˜es, isto e´:
dm
dxm
[f(x) g(x)] =
m∑
s=0
Csm
(
ds
dxs
f(x)
)(
dm−s
dxm−s
g(x)
)
, onde Csm =
m!
s! (m− s)! (4.305)
Exerc´ıcio: Deduzir a fo´rmula de Leibniz (4.305).
139
Desse modo, tem-se:
dm
dxm
[(
1− x2)P ′′n (x)]− 2 dmdxm [xP ′n(x)] + n (n+ 1) dmdxmPn(x) = 0 ,
ou
m∑
s=0
Csm
[
ds
dxs
(
1− x2)] [ dm−s
dxm−s
P ′′n (x)
]
− 2
m∑
s=0
Csm
[
dsx
dxs
] [
dm−s
dxm−s
P ′n(x)
]
+ n (n+ 1)
dmPn(x)
dxm
= 0 ,
o que nos da´
(
1− x2) d2
dx2
[
dmPn(x)
dxm
]
− 2 (m+ 1)x d
dx
[
dmPn(x)
dxm
]
+ (n−m) (n+m+ 1) d
mPn(x)
dxm
= 0 .
Finalmente, fazendo-se nesta u´ltima relac¸a˜o
u(x) =
dmPn(x)
dxm
, (4.306)
teremos: (
1− x2)u′′(x)− 2 (m+ 1)xu′(x) + (n−m) (n+m+ 1)u(x) = 0 (4.307)
Vamos realizar, em (4.307), uma mudanc¸a de varia´vel dependente u(x), de sorte a obtermos a
equac¸a˜o (4.304). Fac¸amos, para este fim,
u = vf , (4.308)
onde v e´ a nova varia´vel dependente e f uma func¸a˜o a se determinar. Substituindo (4.308) em (4.307),
obteremos:(
1− x2) v′′f + 2 [(1− x2) f ′ − (m+ 1)xf] v′+[(
1− x2) f ′′ − 2 (m+ 1)xf ′ + (n−m) (n+m+ 1)u] v = 0 . (4.309)
Devemos aqui exigir que o termo em v′ seja igual ao seu correspondente em (4.307), isto e´:
2
[(
1− x2) f ′ − (m+ 1)xf] v′ = −2xv′f , (4.310)
e ainda verificar se f(x) determinada em (4.310) faz
[(
1− x2) f ′′ − 2 (m+ 1)xf ′ + (n−m) (n+m+ 1)u] v ≡ [n (n+ 1)− m2
1− x2
]
vf . (4.311)
Desse modo, devemos resolver (4.310):
(
1− x2) f ′ −mxf − xf = −xf =⇒ f ′
f
=
mx
1− x2 =
(−m
2
) (
1− x2)′
(1− x2) ,
ou
df
f
= −m
2
d
(
1− x2)
(1− x2) ,
que implica em
f(x) =
(
1− x2)−m/2 (4.312)
Exerc´ıcio: Mostre que f(x) dada por (4.312) satisfaz A` identidade (4.311).
140
Do resultado do exerc´ıcio acima, obtemos finalmente que:
v = (f(x))−1 u = (f(x))−1
dmPn(x)
dxm
(4.313)
e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial (4.304) e assim podemos escrever, utilizando (4.312) em (4.131),
P (m)n (x)
def
= (f(x))−1
dmPn(x)
dxm
= v(x) =
(
1− x2)m/2 dmPn(x)
dxm
(4.314)
conhecido como polinoˆmio associado de Legendre.
Da definic¸a˜o do polinoˆmio associado de Legendre (4.314), aparentemente implica que m deva ser
positivamente definido, por que na˜o esta´ definida a derivac¸a˜o de dada func¸a˜o um nu´mero negativo de
vezes. No entanto, essa restric¸a˜o deixa de existir se representarmos Pn(x) pela fo´rmula de Rodrigues,
(4.277), isto e´:
P (m)n (x) =
(
1− x2)m/2 dmPn(x)
dxm
=
(
1− x2)m/2
2nn!
dn+m
dxn+m
(
x2 − 1)n (4.315)
com −n ≤ m ≤ n e n ≥ 0.
Embora tenhamos obtido P (m)n (x) a partir de Pn(x), ele pode ser obtido a partir de uma func¸a˜o
geradora cujo desenvolvimento em se´rie fornece P (m)n (x). Ela tem a forma:
(2m)!
(
1− x2)m/2
2mm! (1− 2xt+ t2)m+ 12
=
m∑
s=0
P (m)s+m(x) t
s (4.316)
Essa forma na˜o possui nenhuma correspondeˆncia com as grandezas f´ısicas usuais e por isso ela rara-
mente aparece nas aplicac¸o˜es f´ısicas, o que na˜o ocorre com a func¸a˜o geradora
Ψ(x, t) =
1√
1− 2xt+ t2 .
4.6.6 Relac¸o˜es de Recorreˆncia
Existe um grande nu´mero de relac¸o˜es de recorreˆncia para o polinoˆmio associado de Legendre,
devido a sua dependeˆncia dos ı´ndices m e n. No´s, no entanto, aqui na˜o os deduziremos, nos limitando
a` indicac¸a˜o dos mais usados3.
P−mn (x) = (−1)m
(n−m)!
(n+m)!
P (m)n (x) ; P
(0)
n (x) = Pn(x) (4.317)
P (m+1)n (x)−
2mx
(1− x2)1/2
P (m)n (x) + [n (n+ 1)−m (m− 1)]P (m−1)n (x) = 0 (4.318)
(2n+ 1)xP (m)n (x) = (n+m)P
(m)
n−1(x) + (n−m+ 1)P (m)n+1(x) (4.319)
(2n+ 1)
(
1− x2)1/2 P (m)n (x) = P (m+1)n+1 (x)− P (m+1)n−1 (x) (4.320)
P (m)n (x) =
(n+m) (n+m− 1)
(2n+ 1) (1− x2)1/2
P (m−1)n−1 (x)−
(n−m+ 1) (n−m+ 2)
(2n+ 1) (1− x2)1/2
P (m−1)n+1 (x) (4.321)
3A forma mais comum de expressar a fo´rmula (4.321) acima e´:
(2n+ 1)
(
1− x2)1/2 P (m)n (x) = (n+m) (n+m− 1)P (m−1)n−1 (x)− (n−m+ 1) (n−m+ 2)P (m−1)n+1 (x)
141
(
1− x2)1/2 P (m)n (x) = 12P (m+1)n (x)− 12 (n+m) (n−m+ 1)P (m−1)n (x) (4.322)
P (m)n (−x) = (−1)n+m P (m)n (x) (4.323)
4.6.7 Ortogonalidade de P (m)n (x)
Vamos mostrar que os polinoˆmios associados de Legendre P (m)n (x) e P
(k)
n (x) sa˜o ortogonais, no
intervalo [−1, 1], usando uma abordagem que nos da´ simultaneamente a sua norma. Para isso, na
relac¸a˜o integral da ortogonalidade de peso ρ(x) ≡ 1 usaremos a definic¸a˜o de P (m)n (x) dada pela
fo´rmula de Rodrigues, equac¸a˜o (4.315), isto e´:
Imnk =
ˆ +1
−1
P (m)n (x)P
(m)
k (x) dx
=
ˆ +1
−1
[(
1− x2)m/2
2nn!
dn+m
dxn+m
(
x2 − 1)n][(1− x2)m/2
2kk!
dk+m
dxk+m
(
x2 − 1)k] dx
=
(−1)m
2n+kn!k!
ˆ +1
−1
[(
x2 − 1)m dn+m (x2 − 1)n
dxn+m
][
dk+m
(
x2 − 1)k
dxk+m
]
dx . (4.324)
Sejam (
x2 − 1) = X (x) e (x2 − 1)∣∣+1−1 = X (x)|+1−1 ≡ 0 .
Temos
Imnk =
(−1)m
2n+kn!k!
ˆ +1
−1
(
Xm d
n+mXn
dxn+m
)(
dk+mX k
dxk+m
)
dx . (4.325)
Vamos integrar por partes, lembrando que X (x)|+1−1 ≡ 0 e ainda que n "= k e n < k. Desse modo, apo´s
m+ k integrac¸o˜es, com o integrando formado pelos fatores indicados pelos pareˆnteses, obteremos:
Imnk =
(−1)m
2n+kn!k!
ˆ +1
−1
(−1)m+k d
k+m
dxk+m
(
Xm d
n+mXn
dxn+m
)
X k dx . (4.326)
Expandindo o integrando pela fo´rmula de derivac¸a˜o do produto de func¸o˜es de Leibniz, dada em (4.305),
teremos:
X k d
k+m
dxk+m
(
Xm d
n+mXn
dxn+m
)
= X k
m+k∑
l=0
(m+ k)!
l! (m+ k − l)!
dm+k−lXm
dxm+k−l
dm+k+lXn
dxm+k+l
. (4.327)
Note-se que, na 1 derivac¸a˜o em (4.327), a maior poteˆncia de Xm = (x2 − 1)m e´ x2m, e que na
2 derivac¸a˜o a maior poteˆncia de Xn = (x2 − 1)n e´ x2n; enta˜o, tem-se as seguintes condic¸o˜es nos
ı´ndices para o 1 e o 2 fator, respectivamente:
m+ k − l ≤ 2m ∴ l ≥ k −m (4.328)
e tambe´m
n+m+ l ≤ 2n ∴ l ≤ n−m . (4.329)
Sendo n < k, por hipo´tese, a integral
Imnk =
(−1)2m+k
2n+kn!k!
ˆ +1
−1
X k
m+k∑
l=0
(m+ k)!
l! (m+ k − l)!
dm+k−lXm
dxm+k−l
dm+k+lXn
dxm+k+l
dx (4.330)
142
se anula, o mesmo acontecendo se n > k, porque a ordem mais elevada da func¸a˜o derivada e´ menor
que a ordem de sua pro´pria derivac¸a˜o.
Resta analisar o caso em que n ≡ k. Neste caso, existe uma possibilidade em que a ordem de
derivac¸a˜o e da func¸a˜o sa˜o iguais, de sorte que o integrando passa a ser uma constante, isto ocorrera´
em (4.330) quando n = k e ainda quando m + k − l = 2m, para o fator dm+k−lXm/dxm+k−l, pois
a maior poteˆncia de Xm e´ x2m. Esta imposic¸a˜o acarreta m + k + l = 2k, que e´ a maior poteˆncia de
Xn=k, isto e´, x2k. Desse modo, podemos escrever:
Imkk =
ˆ 1
−1
[Pmk (x)]
2 dx
=
(−1)k+2m
22kk!k!
ˆ 1
−1
X k (m+ k)!
(k −m)! (2m)!
d2mXm
dx2m
d2kX k
dx2k
dx
=
(−1)k+2m
22kk!k!
(m+ k)!
(k −m)! (2m)!
ˆ 1
−1
X k d
2mXm
dx2m
d2kX k
dx2k
dx
=
(−1)2m+k
22kk!k! (2m)! (k −m)!
ˆ 1
−1
X k (2m)! (2k)! dx , (4.331)
pois
d2mXm
dx2m
=
d2m
dx2m
(
x2 − 1)m = (2m)! e d2kX k
dx2k
=
d2k
dx2k
(
x2 − 1)k = (2k)! .
A integral de X k e´
ˆ 1
−1
X k dx =
ˆ 1
−1
(
x2 − 1)k dx = (−1)k ˆ 1
−1
(
1− x2)k dx .
Sendo x = cos θ, vem 1− x2 = 1− cos2 θ = sin2 θ e dx = − sin θ dθ. Enta˜o,
ˆ 1
−1
X k dx = −
ˆ 0
pi
sin2k θ sin θ dθ =
ˆ pi
0
sin2k+1 θ dθ =
(−1)k 22k+1k!k!
(2k + 1)!
. (4.332)
Finalmente, introduzindo este resultado em (4.331), teremos:
Imnk =
ˆ 1
−1
Pmn (x)P
m
k (x) dx =
2
2k + 1
(m+ k)!
(m− k)! δnk (4.333)
Note que nesta relac¸a˜o de ortogonalidade e na norma, os polinoˆmios associados sa˜o da mesma
ordem m, mas de graus (n e k) diferentes. No entanto, e´ poss´ıvel determinar a ortogonalidade destes
polinoˆmios mantendo-se os graus iguais e as ordens diferentes.
ˆ 1
−1
Pmn (x)P
m
k (x) dx =
2
2k + 1
(m+ k)!
(k −m)! δnk = ‖Pn‖
2 δnk (4.334)
e
‖P (m)n ‖ =
2
2n+ 1
(m+ n)!
(n−m)! (4.335)
4.7 Func¸o˜es Esfe´ricas
Se na separac¸a˜o de varia´veis da equac¸a˜o de Laplace em coordenadas esfe´ricas (r, θ,ϕ) optarmos
por manter em uma u´nica func¸a˜o as coordenadas angulares θ e ϕ, isto e´, se fizermos
∆u = ∆u(r, θ,ϕ) = 0 , (4.336)
143
onde u(r, θ,ϕ) = R(r)Y (θ,ϕ), obteremos:
d
dr
(
r2R(r)
)′ − λR(r) = 0 (4.337)
e
1
sin θ
∂
∂θ
(
sin θ
∂Y
∂θ
)
+
1
sin2 θ
∂2Y
∂ϕ2
+ λY = 0 , (4.338)
onde
Y = Y (θ,ϕ) = Y (θ,ϕ+ 2pi) , 0 ≤ θ ≤ pi , 0 ≤ ϕ ≤ 2pi (4.339)
sa˜o denominados harmoˆnicos esfe´ricos.
A equac¸a˜o (4.339) pode ainda ser separada nas varia´veis θ e ϕ, isto e´:
Y (θ,ϕ) = Θ(θ)Φ(ϕ) , (4.340)
fornecendo
1
sin θ
d
dθ
(Θ′ sin θ) +
(
λ− m
2
sin2 θ
)
(4.341)
e
Φ′′(ϕ) +m2Φ(ϕ) = 0 , m = ±1,±2, . . . (4.342)
As soluc¸o˜es de (4.341) e (4.342) ja´ nos sa˜o conhecidas e sa˜o representadas respectivamente pelo po-
linoˆmio associado de Legendre e pela func¸a˜o Φ(ϕ) = A cosmϕ + B sinmϕ. Por isto, muitos auto-
res costumam representar a soluc¸a˜o de (4.338) incorporando os resultados dessas soluc¸o˜es isoladas e
tambe´m todas as suas propriedades na definic¸a˜o de Y (θ,ϕ).
Assim, os harmoˆnicos esfe´ricos podem ser definidos como
Y mn (θ,ϕ) = P
(m)
n (cos θ)
{
cosmϕ
sinmϕ
}
, (4.343)
onde se usa o seno ou o cosseno, mas na˜o os dois simultaneamente. Esta definic¸a˜o e´ mais frequ¨entemente
usada nos problemas de F´ısicas Cla´ssica, ao passo que a definic¸a˜o
Y mn (θ,ϕ) = P
(m)
n (cos θ) e
imϕ (4.344)
e´ mais usada no tratamento de problemas quaˆnticos.
Sendo a norma dos harmoˆnicos esfe´ricos igual a
‖Y mn ‖2 =
ˆ 2pi
0
ˆ pi
0
[Y mn (θ,ϕ)]
2 d(− cos θ) dϕ
=
ˆ 2pi
0
cos2mϕ dϕ
ˆ pi
0
[Pmn ]
2 dθ
=
2pi
2n+ 1
(n+m)!
(n−m)! εn , εn =
{
1 , se n "= 0
2 , se n = 0
(4.345)
usa-se tambe´m definir harmoˆnicos esfe´ricos normalizados (ortonormalizados):
Ymn (θ,ϕ) =
√
2n+ 1
2pi
(n−m)!
(n+m)!εn
Y mn (θ,ϕ) (4.346)
O ca´lculo da norma (4.345) e´ direto.
Exerc´ıcio: Calcule a norma de Y mn (θ,ϕ).
144
Cap´ıtulo 5
O Me´todo da Func¸a˜o de Green e
Aplicac¸o˜es
O me´todo da func¸a˜o de Green e´ um dos mais eficazes me´todos de soluc¸a˜o de problemas da f´ısica
matema´tica, pois na˜o se exige a adaptac¸a˜o como no me´todo de Fourier entre sistemas de coordenadas
e simetrias geome´tricas dos problemas, isto e´, a coincideˆncia entre fronteiras geome´tricas do problema
e superf´ıcies geradas pelo sistema de coordenadas.
Ale´m disso, o me´todo representa uma das principais aplicac¸o˜es da func¸a˜o delta de Dirac na soluc¸a˜o
de equac¸o˜es diferenciais lineares com coeficientes constantes (na verdade, essa restric¸a˜o a`s equac¸o˜es
com coeficientes constantes pode ser supressa desde que consigamos compor a func¸a˜o delta a partir de
func¸o˜es ortonormais correspondentes aos autovalores λ).
5.1 A Func¸a˜o de Green em uma Dimensa˜o
Vamos examinar algumas equac¸o˜es diferenciais ordina´rias, construir suas soluc¸o˜es e definir as
respectivas func¸o˜es de Green.
145
	EDP's Lineares de 2ªOrdem e sua Classificação
	Equação Hiperbólica
	Equação Parabólica
	Equação Elíptica
	Problemas
	Problemas Elementares Descritos por EDP's
	Problemas Físicos Elementares Descritos por Equações Hiperbólicas
	Pequenas Oscilações Transversais de uma Corda Vibrante
	Equação das Pequenas Oscilações Longitudinais
	Equações da Hidrodinâmica e da Acústica
	Equações dos Campos Elétrico e Magnético (vácuo)
	Problemas Físicos Elementares Descritos por Equações Parabólicas
	Propagação Linear do Calor (Caso Unidimensional)
	Propagação do calor no espaço
	Equação da difusão
	Problemas Físicos Elementares Descritos por Equações Elípticas
	Processos Estacionários
	Processos Periódicos
	Fenômenos Físicos (dependentes ou não do tempo) Descritos por Equações do Tipo Poisson e Helmholtz
	Equação da Sondagem Elétrica
	Formulação ou Colocação Matemática de um Problema
	Métodos de Solução das Equações da Física Matemática
	Método da Separação de Variáveis (ou de Fourier)
	Problemas
	A Essência do Método de Separação de Variáveis (Método de Fourier)
	Separação de Variáveis Espaciais e Sistemas de Coordenadas
	Separação de Variáveis Espaciais
	Exemplos de Fixação
	Valores de Contorno - Formulação
	Funções Especiais
	Introdução
	Pontos Singulares em Equações Diferenciais
	Método de Frobenius
	Equação de Bessel do 1ºTipo
	Fórmulas de Recorrência de J(x)
	Análise das Soluções da Função de Bessel
	Função Geradora
	Função de Neumann ou Função de Bessel do Segundo Tipo, N(x)
	Funções de Hankel ou Funções de Bessel do Terceiro Tipo
	Função Modificada de Bessel
	Funções Esféricas de Bessel
	Ortogonalidade das Funções de Bessel
	Comportamento das Funções de Bessel na Origem e no Infinito
	Séries de Fourier-Bessel e Transformadas de Fourier-Bessel
	Série de Fourier-Bessel
	Transformadas de Fourier-Bessel
	Aplicações
	Polinômio de Legendre
	Determinação dos Polinômios de Legendre
	Fórmulas de Recorrência
	Ortogonalidade de Pn(x)
	Série de Legendre - Expansão de Funções
	Polinômio Associado de Legendre
	Relações de Recorrência
	Ortogonalidade de Pn(m)(x)
	Funções Esféricas
	O Método da Função de Green e Aplicações
	A Função de Green em uma Dimensão