L4 CÁLC 1 2013.2

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Atualizada em 16/10/13 
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CENTRO UNIVERSITÁRIO JORGE AMADO 
Curso: ________________________________________ 
Disciplina: Cálculo 1 
Professor: Carlos Gomes (carlos.bastosgomes@gmail.com) 
Aluno(a): ____________________________________ Turma: __________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4
a
 Lista de Exercícios 
 
Questão 1. Calcule os seguintes limites usando a Regra de L’Hôpital. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 2. Calcule a derivada das funções seguintes. 
 
(a) 
1xy 2 
 (b) 
 534 x2xy 
 
 
(c) 
 42xx3
1
y



 (d) 
3 3 8x
3x4
y



 
 534 x2xy 
 
(e) 
)x4(cosy 3 
 (f) 
 64 xtgy 
 
 
 
Questão 3. Pela ruptura de um navio-tanque, uma mancha de óleo espalha-se em forma de um círculo cuja área 
cresce uma taxa de 6 km
2
/h. Com que rapidez estará crescendo o raio da mancha quando a área for de 9 km
2
? 
 
 
Questão 4. Uma bola de neve esférica é formada de tal maneira que o seu volume aumenta à razão de 8 cm
3
/min. 
Qual a velocidade que o raio está crescendo no instante em que a bola tem 40 mm de diâmetro? E a medida que o 
raio aumenta, explique o que acontecerá com velocidade do raio. 
 
 
Questão 5. Um meteorito entra na atmosfera da Terra e queima a uma taxa que, em cada instante, é proporcional a 
área de sua superfície. Supondo que o meteorito é sempre esférico, mostre que o raio decresce a uma taxa 
constante. 
 
 
Questão 6. Está vazando água de um tanque cônico circular a uma taxa de 10000 
s/cm3
. Ao mesmo tempo, está 
sendo bombeada água para dentro do tanque a uma taxa constante. O tanque tem 6 m de altura e o diâmetro no topo 
é de 4 m. Se o nível da água estiver subindo a uma taxa de 20 
min/cm
 quando a altura da água for 2 m, encontre 
a vazão com que a água está sendo bombeada para dentro do tanque. 
 
 
(a) 
1x
7x5x2
lim
2
3
1x 


 (b) 
1x
1x
lim
21x 


 
 
(c) 
x8
2x
lim
3
8x 


 (d) 
4x4x
8x12x6x
lim
2
23
2x 


 
 
(e) 
2
x
)x(sen1
lim
2
x  


 (f) 
30x x
x)x(sen
lim


 
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2/3 
 
Questão 7. Cada lado de um quadrado está aumentando a uma taxa de 6 cm/s. Com que taxa, em 
ralação ao tempo, a área do quadrado estará aumentando quando a área do quadrado for de 16 
2cm
? 
 
 
Questão 8. Um tanque cilíndrico circular de raio 5 m está sendo cheio com água a uma taxa de 3 
min/m3
. Quão 
rápido está aumentando o nível da água? 
 
 
Questão 9. O comprimento de um retângulo está crescendo a uma taxa de 
s/cm8 
 e a sua largura está crescendo a 
uma taxa de 
s/cm3 
. Quando o comprimento for de 20 cm e a largura de 10 cm, quão rápido estará crescendo a 
área do retângulo? 
 
 
Questão 10. Determine a derivada indicada em cada caso a seguir. 
 
(a) 
''y
 se 
23 x5xy 
 
(b) 
'''y
 se 
2
x
x
20
x
y
2
3
5

 
 
(c) 
4
4
dx
yd
 se 
2
x
xy 2 
 (d) 
''y
 se 
5 3x
2
y 
 
 
(e) 
''y
 se 
)xcos(2y 3
. 
 
 
Questão 11. Mostre que 
2
2
dt
sd
a 
, onde s é a posição, a, aceleração e t, o tempo. 
 
 
Questão 12. Mostre que 
  ''fg'g'f2g''f''g.f 
 e 
  '''fg''g'f3'g''f3g'''f'''g.f 
. Estabeleça a 
  )n(fg
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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GABARITO 
 
 
Questão 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 3 
h/ km56,0
 Questão 4 
min cm/16,0
 
 
Questão 6 
510x89,2
 
s/cm3
 
 
Questão 7 
48
 
s/cm2
 
 
Questão 8 
038,0
 
min/m
 
 
Questão 9 
140 
s/cm2
 
 
Questão 10 
 
 
(e) 
)xcos(x18)x(xsen12''y 343 
 
(a) 
2
11
 (b) 
4
1
 
 
(c) 
12
1
 
(d) 
0
 
 
(e) 
0
 (f) 
6/1
 
 
(a) 
1x
x
'y
2 

 (b)    23437 x30x20x2x'y  
 
(c) 
 52xx3
x812
'y



 
(d)  
 23 3
3 23
23
3 3
8x
8x
x3x4
8x4
'y





 
 
 
 (e) 
)x4(sen)x4(cos12'y 2  
(f) 
    56263 xxsecxtg24y 
 
(a) 
10x6''y 
 (b) 
6x3'''y 2 
 
 
(c) 
0
dx
yd
4
4

 (d) 
5 13x25
48
''y
 
