BIOMETRIA

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BIOMETRIA
Relações Probabilísticas
Disciplina – Genética 
Profa. Vanessa. 
Biometria 
É a aplicação da estatística aos dados de natureza biológica a fim de que esses possam ser mais bem manuseados, isso porque a quase totalidade das ciências biológicas não é um simples acúmulo de observações.
Ramalho et al., 2004.
Na genética a aplicação da biometria foi bem estabelecida nas demonstrações de Gregor Mendel, nas proporções fenotípicas.
Probabilidade 
Probabilidade – é a possibilidade de ocorrer determinado evento, dada pelo número esperado de vezes que este evento ocorra em relação ao número total de eventos; 
Limites: 
	0.........1
	onde: 
	0 = impossibilidade 
	1 = certeza 
Probabilidade de ocorrer: 
eventos independentes
Qual a probabilidade de sair o número 3 ao se jogar um dado?
Qual a probabilidade de nascer um coelho com pêlos longos (ll), filho de progenitores heterozigotos (Ll)? 
Num outro dia, qual a probabilidade de jogar o dado e sair o número 3 outra vez? 
1/6 
1/4 
1/6 
Probabilidade de ocorrência para
eventos independentes:
Lei do produto das probabilidades – a probabilidade de ocorrência simultânea de dois ou mais eventos independentes é igual ao produto das probabilidades de suas ocorrências em separado. 
Qual a probabilidade de sair o número 3 em duas jogadas do dado ?
Qual a probabilidade de nascerem dois coelhos com pêlos longos em uma ninhada de progenitores heterozigotos para tal condição? 
X
Aplicação: 
Um rebanho bovino com cem vacas, onde cada uma delas apresentou dois descendentes, cuja distribuição dos sexos está apresentada abaixo: 
 
Distribuiçãodos dois descendentes de cada uma das 100 vacas de acordo com o sexo
Número de vacas
Sexo dos descendentes
24
Duas fêmeas
54
Uma fêmea e um macho
22
Dois machos
Probabilidade dos dois descendentes serem do mesmo sexo é igual a probabilidade de cada um ser de um sexo. 
ENTRETANTO...
Nota-se que os dois eventos são mutuamente exclusivos, ou alternativos, isto é, ocorrendo a primeira opção – fêmea / macho, a segunda – macho / fêmea, não ocorrerá. 
Assim, temos a Lei das Somas de probabilidades, que diz:
 ‘Quando dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade que eles ocorram é fornecida pela soma das probabilidades de que cada um deles ocorra em separado.’ 
+
Continuando com o exemplo anterior, temos: 
Distribuiçãoobservada e esperada dos dois descendentes de cada uma das 100 vacas de acordo com o sexo.
Número de vacas observadas
Sexo dos descendentes
Probabilidade de ocorrência do evento
Númeroesperado de vacas baseado na probabilidade de ocorrência
24
Duas fêmeas
1/4
25
54
Uma fêmea e um macho
1/2
50
22
Dois machos
1/4
25
100
100
Conclui-se que:
os resultados – observado e esperado – baseados nas leis de probabilidade são muito semelhantes .
Distribuição de Probabilidade
Binomial – identifica a probabilidade de que determinadas combinações para dois eventos possam ocorrer. 
	exemplo: macho/fêmea; cara/coroa; liso/enrugado...
	Considerando o rebanho anterior, porém com a possibilidade de cada vaca ter seis descendentes, podemos questionar:
	-Qual a P de que cada vaca tenha pelo menos quatro descendentes fêmeas?
	-A P de que pelo menos um descendente de cada vaca seja macho?
	...
Para dois descendentes as combinações possíveis são obtidas pela expressão:
Onde: 	
a= fêmea 
b= macho
2 = número de descendentes
P de ocorrência de a é dada por p 
P de ocorrência de b é dada por q
p = q = 1/2
Para n eventos independentes a expansão do binômio é fornecida por: 
Em que: 
Combinação de n eventos i a i, isto é, fazendo n-1= w e i=x, tem-se que: 
n= número de eventos 
w = evento a
x= evento b 
Probabilidade de cada evento é 
p e q
Considerando os seis descendentes...
Eventos mutuamente exclusivos 
Númerode fêmeas (w)
Númerode machos (x)
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
Ordemdos descendentes
Probabilidade de ocorrência
1º
M
F
F
F
F
F
2º
F
M
F
F
F
F
3º
F
F
M
F
F
F
4º
F
F
F
M
F
F
5º
F
F
F
F
M
F
6º
F
F
F
F
F
M
(1/2)6
(1/2)6
(1/2)6
(1/2)6
(1/2)6
(1/2)6
Por meio da expansão do binômio, podemos calcular a Probabilidade de 6 fêmeas, onde:
p=q=1/2, n= 6 descendentes; w= 6 fêmeas e x= 0 machos.
Distribuiçãode probabilidades dos seis descendentes de cada uma das cem vacas de acordo com o sexo.
Número de fêmeas
Número de machos
Probabilidade (P)
Frequênciaesperada entre 100 vacas
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
(1/2)6= 0,015625
6(1/2)6= 0,093750
15(1/2)6= 0,234375
20(1/2)6= 0,312500
15(1/2)6= 0,234375
6(1/2)6= 0,093750
(1/2)6= 0,015625
1,56
9,38
23,43
31,25
23,43
9,38
1,56
total
1,000000
100
Agora, respondendo a questão:
Qual a probabilidade de que pelo menos quatro descendentes de cada vaca sejam fêmeas?
P (4 fêmeas)+P(5 fêmeas)+P(6 fêmeas) =
= 0,234375 + 0,09375 + 0,015625 =
= 0,343750 ou 34,4 das cem vacas tenham
pelo menos quatro descendentes fêmeas.
 
Distribuição de Probabilidade
Polinomial – identifica a probabilidade de que determinadas combinações de eventos possam ocorrer. 
	Considerando a cor dos pêlos, brancos, vermelhos, vermelho-brancos (ruão), temos uma distribuição trinomial: (a+b+c)n , onde a, b e c, representam os genótipos para cada fenótipo. 
Probabilidades  p, q e r 
Do cruzamento entre um touro (ruão) com doze vacas (ruão):
B1 B2 x B1 B2
 ¼ B1 B1; ½ B1 B2; ¼ B2 B2. 
 
 
p
q
r
Qual a probabilidade de que entre os 12 descendentes, três sejam brancos, três ruões e os demais vermelhos? 
n= 12 descendentes;
w= 3 brancos..............................p= 1/4
x= 3 ruões.................................q= 1/2 
y= 6 vermelhos..........................r= 1/4 
Assim, temos: 
Qual a probabilidade de que entre os 12 descendentes, três sejam brancos, três ruões e os demais vermelhos? 
Probabilidade de se obter uma determinada combinação genotípica
Tamanho mínimo da população
Utilizada para a determinação do tamanho mínimo de uma população segregante para se obter pelo menos um organismo com o genótipo desejado. 
Seja:
 p= probabilidade do genótipo desejado; 
(1-p)= probabilidade para que não ocorra o genótipo desejado. 
Aplicação
Considerando o cruzamento de plantas de milho com sementes lisas e enrugadas. Qual o tamanho da população F2 para que se tenha pelo menos uma semente enrugada, considerando uma probabilidade de 99% de que esta planta ocorra. A probabilidade de que o fenótipo de interesse ocorra é p=1/4, a probabilidade de pelo menos um indivíduo é P=0,99 ou 99%. Assim, o tamanho mínimo da população será:
No teste de significância χ2 (qui-quadrado), os desvios são transformados num único valor, o qual é uma medida padronizada da magnitude dos desvio; 
Cada valor de χ2 está associado a uma probabilidade que corresponde a possibilidade de que os desvios tenham a mesma magnitude se o experimento for repetido;
Baseado no desvio da frequência esperada com a frequência observada;
Fórmula: 
Teste de significância χ2
Aplicação
 Suponha um estudo envolvendo a herança da cor e textura da semente de milho em que foram obtidas 480 sementes assim distribuídas:
268 amarelas e lisas; 86 amarelas e enrugadas; 97 brancas e lisas e 29 brancas e enrugadas. 
Admitindo-se que os dois genes apresentam distribuição independente, a proporção esperada para as duas características ao mesmo tempo é de:
(3 amarelas: 1 branca) (3 lisas: 1 enrugada) = 9:3:3:1
DISTRIBUIÇÃO INDEPENDENTE. 
Frequências observadas, esperadas e desvios de cada fenótipona geração F2, relativo ao estudo da herança da cor e textura da semente de milho.
Fenótipos
Frequênciaobservada (Fo)
Frequênciaesperada (Fe)*
Desvios (Fo – Fe)
Amarela lisa
Amarela enrugada
Branca lisa
Branca enrugada
268
86
97
29
270
90
90
30
-2
-4
+7
-1
*CONSIDERANDO A SEGREGAÇÃO DE
9:3:3:1
23
Frequências observadas, esperadas e desvios de cada fenótipona geração F2, relativo ao estudo da herança da cor e textura da semente de milho.
Fenótipos
Frequênciaobservada (Fo)
Frequênciaesperada (Fe)*
Desvios
(Fo – Fe)
(Fo – Fe)2
χ2=
(Fo – Fe)2/Fe
Amarela lisa
Amarela enrugada
Branca lisa
Branca enrugada
268
86
97
29
270
90
90
30
-2
-4
+7
-1
4
16
49
1
0,015
0,178
0,544
0,033
*CONSIDERANDO A SEGREGAÇÃO DE 9:3:3:1
χ2=0,770
Cuidados ao escolher o teste χ2: 
Aplicá-lo aos dados observados, nunca a porcentagens ou proporções; 
Verificar o tamanho da amostra; se a classe de menor frequência for inferior a 5, fazer a correção de Yates: 
Valores de χ2 tabelado
ν = graus de liberdade
Número de classes - 1
Tabela de qui quadrado para teste de significância em estudos genéticos...
Exercícios:
01) Suponhamos que um criador de suínos possua um cachaço com fenótipos favoráveis para várias características e esteja interessado em conhecer:
Qual a probabilidade de ele produzir um espermatozóide idêntico ao que lhe deu origem? 
Qual a probabilidade de que o espermatozóide tenha 50% dos cromossomos que vieram do genitor masculino?
Qual a probabilidade de se ter pelo menos 80% dos cromossomos que vieram do pai?
Para a resolução do problema, desconsidere a permuta
genética, e, lembre-se que nos suínos 2n = 40 cromossomos.
02) Em uma ninhada de oito coelhos, filhos de progenitores heterozigotos, qual a probabilidade de cinco serem de pêlos curtos (dominante) e três de pêlos longos (recessivo)? 
03) Na raça holandesa de bovinos, os animais podem ser preto e branco devido ao alelo dominante V, e vermelho e branco devido ao alelo recessivo v. Do cruzamento de um touro heterozigoto com uma vaca vermelha e branca, determine as seguintes probabilidades: 
De o primeiro descendente ser preto e branco;
De os dois primeiros serem preto e branco;
De os dois primeiros terem a mesma cor de pelagem;
De os dois tipos de pelagem ocorrerem nos dois primeiros descendentes. 
04) No galinheiro, um cruzamento entre galináceos resultou em uma ninhada com 12 pintinhos. Determine as seguintes probabilidades: 
De todos serem do sexo masculino; 
De 6 fêmeas; 
De pelo menos 6 fêmeas. 
05) Em ovelha, a ausência de orelhas é devida ao genótipo E1 E1, as orelhas curtas ocorrem devido ao genótipo E1 E2 e as orelhas longas são determinadas pelo genótipo E2 E2. Nesses animais, a cor da gordura pode ser branca devido ao alelo dominante F, e amarela devido ao alelo recessivo f. Determine os tamanhos das descendências, para se conseguir 12 animais sem orelhas e que produzam gordura amarela, com 95% e 99% de probabilidade, a partir dos seguintes cruzamentos: 
E1E2Ff x E1E2Ff
E1E2Ff x E1E1Ff
E1E1ff x E1E2Ff