ELETROMAG - CAP 6

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CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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Capítulo VI 
 
EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE 
 
6.1 – IMPORTÂNCIA DAS EQUAÇÕES DE POISSON E LAPLACE 
 
Veja no quadro abaixo uma comparação de 2 procedimentos usados para a determinação da 
capacitância de um capacitor. Os passos do primeiro são baseados nos conceitos teóricos dos 
capítulos 2 até 5, os quais dependem inicialmente do conhecimento da distribuição de carga, 
grandeza esta de difícil obtenção prática. Por outro lado, o segundo procedimento apresenta uma 
situação mais realística, a qual requer primeiramente a obtenção do potencial através das equações 
de Poisson ou Laplace. Estas equações e este novo procedimento são abordados neste capítulo. 
 
Quadro - Procedimentos para cálculo da Capacitância de um Capacitor 
Passo 
ou 
Etapa 
Procedimento I – Antigo Procedimento II – Novo 
Considera-se conhecida a (expressão da) densidade 
superficial de carga ρS de um dos condutores do 
capacitor (Nota: Se a carga deste condutor não for 
positiva, trabalhar com o módulo de ρS). 
Considera-se conhecida a expressão que fornece o 
potencial V em todos os pontos do capacitor, 
incluindo a diferença de potencial 0V entre os 2 
condutores. 
(i) 
Calcula-se a carga do condutor: 
dSQ SS ρ∫= 
Calcula-se o vetor E
�
 no dielétrico: 
VE ∇−=
��
 
(ii) Calcula-se o vetor D
�
 no dielétrico: 
QSdDS =∫ •
��
 (Gauss) 
Calcula-se o vetor D
�
 no dielétrico: 
ED
��
ε= 
(iii) 
Calcula-se o vetor E
�
 no dielétrico: 
ε= /DE
��
 
Calcula-se a densidade ρS em um condutor (de 
preferência o condutor positivo): 
condutora superfície naNS
DD
�
==ρ 
(iv) 
Calcula-se a ddp 0V entre os condutores: 
LdEVV
A
B
AB0
��
•∫−== 
Calcula-se a carga total no condutor escolhido: 
dSQ SS ρ∫= 
(v) 
Calcula-se, finalmente, a capacitância do capacitor: 
0V
QC = 
Calcula-se, finalmente, a capacitância do capacitor: 
0V
QC = 
 
6.1.1 – Equação de Poisson 
 






∇−=
ε=
ρ=∇ •
VE
ED
D v
��
��
��
 ⇒ ( )[ ] vV ρ=∇−ε∇ • �� ⇒ ( )[ ] vV ρ−=∇ε∇ • �� 
Se a permissividade ε for constante, obtemos: 
ε
ρ
−=∇∇ vV. ou 
ε
ρ
−=∇ v2V
 Poisson 
 
6.1.2 – Equação de Laplace 
Se ainda a densidade volumétrica ρv for nula (dielétrico perfeito), obtemos: 0V2 =∇ Laplace 
 
Nota: ∇∇=∇ .2 = divergência do gradiente = (div.)(grad.) = Laplaciano ou “nabla 2” 
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6.2 – TEOREMA DA UNICIDADE 
 
“Se uma resposta do potencial satisfaz a equação de Laplace ou a equação de Poisson e 
também satisfaz as condições de contorno, então esta é a única solução possível.” 
 
 
6.3 – EXEMPLOS DE SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE 
 
A seguir serão mostrados vários exemplos de solução da Equação de Laplace para problemas 
unidimensionais, isto é, onde V é função somente de uma única variável. Os tipos de exemplos 
possíveis são: 
1. V = f(x), sendo x coordenada cartesiana (válido também para V = f(y) e V = f(z)) 
2. V = f(ρ), sendo ρ coordenada cilíndrica 
3. V = f(φ), sendo φ coordenada cilíndrica (válido também se φ é coordenada esférica) 
4. V = f(r), sendo r coordenada esférica 
5. V = f(θ), sendo θ coordenada esférica 
 
Ex.1: Cálculo de V = f(x), sendo x coordenada cartesiana 
 
0V2 =∇ ⇒ 0
x
V
2
2
=
∂
∂
 ⇒ 0
dx
Vd
2
2
= 
Integrando 1a vez: A
dx
dV
= 
Integrando 2a vez: BAxV += 
 
onde A e B são as constantes de integração que são determinadas a partir de condições de 
contorno (ou de fronteira) estabelecidas para a região em análise. 
 
Condições de contorno: x = constante ⇒ superfície plana 
Sejam: 



==
==
22
11
xxemVV
xxemVV
 
 
Substituindo acima, obtemos A e B como: 
12
12
xx
VVA
−
−
= 
e 
12
1221
xx
xVxVB
−
−
= 
Logo: 
12
1221
12
12
xx
xVxV
x
xx
VVV
−
−
+
−
−
=
 
 
 
Suponha agora que as condições de contorno sejam estabelecidas da seguinte maneira: 
 



====
====
dxxemVVV
0xxem0VV
2o2
11
 
Assim, temos: 
d
VA o= e 0B = ⇒ x
d
VV o=
 (0 ≤ x ≤ d) 
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Etapas de cálculo da capacitância C do capacitor de placas // formado: 
(i) xo ad
VVE �
��
−=∇−= 
(ii) xo ad
V
ED �
�� ε
−=ε= 
(iii) 
d
V
DDD o
dx0xns
ε
====ρ
==
���
 
(iv) S
d
VSdSQ ossS
ε
=ρ=ρ∫= 
(v) 
o
o
o V
d/SV
V
QC ε== ⇒ 
d
SC ε=
 (Mesmo resultado obtido na seção 5.8) 
 
Ex.2: Cálculo de V = f(ρρρρ), sendo ρρρρ coordenada cilíndrica 
 
0
d
dV
d
d10V2 =





ρ
ρ
ρρ
⇒=∇ (ρ ≠ 0) 
 
Integrando 1a vez: A
d
dV
=
ρ
ρ 
 
Re-arrajando e integrando 2a vez: BlnAV +ρ= 
 
Condições de contorno: ρ = constante ⇒ superfície cilíndrica 



=ρ=
=ρ=
a em VV
(refer.)b em 0V
o
 (b > a) 
 
Daí, obtém-se A e B e substituindo acima: 
 
( )
( )a/bln
/blnVV o
ρ
=
 (a < ρ < b) 
 
 
Etapas de cálculo da capacitância C do 
capacitor coaxial formado: 
(i) ρρρ ρ=ρ
ρ−−
=
ρ∂
∂
−=∇−= a1)a/bln(
V
/b
/b
)a/bln(
aV
a
VVE o
2
o
 
(ii) ρρ
ε
=ε= a
1
)a/bln(
V
ED o 
(iii) )a/bln(a
V
D o
ans
ε
==ρ
=ρ (= densidade superficial no condutor interno c/ carga +Q) 
(iv) ∫ piε=ρ=ρ= s oss La2)a/bln(a
VSdSQ 
(v) )a/bln(
L2
V
QC
o
piε
==
 (Mesmo resultado obtido na seção 5.8, Ex. 2) 
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Ex. 3: Cálculo de V = f(φφφφ), sendo φφφφ coordenada cilíndrica 
 
0V2 =∇ ⇒ 0
d
Vd1
2
2
2 =φρ (ρ ≠ 0) 
Fazendo ρ ≠ 0 ⇒ 0
d
Vd
2
2
=
φ
 
 
Integrando 1a vez: A
d
dV
=φ 
 
Re-arrajando e integrando 2a vez: BAV +φ= 
 
Condições de contorno: φ = constante ⇒ superfície 
semi-plana radial nascendo em z 



α=φ=
=φ=
em VV
0 em0V
o
 
 
Daí, obtém-se A e B e substituindo acima: 
φ
α
=
oVV
 
 
Nota: Calcular a capacitância do capacitor formado por dois planos finitos definidos por: 
φ = 0, a < ρ < b, 0 < z < h (Adotar V = 0) 
φ = α, a < ρ < b, 0 < z < h (Adotar V = Vo) 
Desprezar os efeitos das bordas. (Resposta: 
a
bln
α
ε
=
hC
 ) 
 
 
Ex. 4: Cálculo de V = f(r), sendo r coordenada esférica 
 
0
dr
dV
r
dr
d
r
10V 22
2
=





⇒=∇ (r ≠ 0) 
 
Integrando 1a vez: A
dr
dV
r2 = 
 
Re-arranjando e integrando 2a vez: 
 
B
r
AV +−=
 
 
Condições de contorno: r = constante ⇒ superfície esférica 



==
==
ar em VV
(refer.) b r em0V
o
 (b > a) 
 
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Daí, obtém-se A e B e substituindo acima: 
b
1
a
1
b
1
r
1
VV o
−
−
=
 
 
Etapas de cálculo da capacitância C do capacitor esférico formado: 
(i) r2
o
r a
r
1
b
1
a
1
V
a
r
VVE 





−
−
−
=
∂
∂
−=∇−= 
(ii) r2
o a
r
1
b
1
a
1
V
ED
−
ε
=ε= 
(iii) ( ) 2oarns a
1
b
1
a
1
VD
−
ε
==ρ
=
 (= densidade superficial no condutor interno c/ carga +Q) 
(iv) ∫ pi
−
ε
=ρ= s
2
2
o
s a4
a
1
b
1
a
1
VdsQ 
(v) 
b
1
a
1
4
V
QC
o
−
piε
==
 (Mesmo resultado obtido na seção 5.8, Ex. 3) 
 
Ex. 5: Cálculo de V = f(θθθθ), sendo θθθθ coordenada esférica 
 
0V2 =∇ ⇒ 0
d
dV
sen
d
d
senr
1
2 =




θ
θ
θθ
 (r ≠ 0, θ ≠ 0, θ ≠ pi) 
 
Fazendo r ≠ 0, θ ≠ 0 e θ ≠ pi: 
0
d
dV
sen
d
d
=





θ
θ
θ
 
 
Integrando 1a vez: A
d
dV
sen =
θ
θ 
 
Re-arrajando e integrando 2a vez: ( )[ ] B2tglnAV +θ= 
 
Condições de contorno: θ = constante ⇒ superfície cônica 



α=θ=
pi=θ=
em VV
2 em0V
o
 (α < pi/2) 
 
Daí, obtém-se A e B e substituindo acima: 
 
( )[ ]
( )[ ]2/tgln
2/tglnVV o
α
θ
=
 
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Nota: Calcular a capacitância do capacitor formado por dois cones finitos definidos por: 
θ = pi/2, 0 < r < r1, 0 < φ < 2pi (Adotar V = 0) 
θ = α, 0 < r < r1, 0 < φ < 2pi (Adotar V = Vo) 
Desprezar os efeitos das bordas. (Resposta: ( )[ ]2tg
r2C 1
α
piε−
=
ln
 ) 
 
 
6.4 – EXEMPLO DE SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE POISSON 
 
Exemplo: A região entre dois cilindros condutores coaxiais com raios a e b, conforme mostrado na 
figura abaixo, contém uma densidade volumétrica de carga uniforme ρV . Se o campo 
elétrico E e o potencial V são ambos nulos no cilindro 
interno, determinar a expressão matemática que fornece o 
potencial V na região, entre os condutores assumindo que 
sua permissividade seja igual à do vácuo. 
 
Solução: 
 
 Equação de Poisson: 
o
v2 V1V
ε
ρ
ρ
ρ
ρρ
−=





∂
∂
∂
∂
⋅=∇ 
 
 Integrando pela 1a vez: 
 
ρ
ρ
ε
ρ
ρ
ρ
ε
ρ
ρ
ρ A
2
V
 A
2
V
o
v
2
o
v +⋅−=
∂
∂
⇒+⋅−=
∂
∂
 (01) 
 
 Porém, sabe-se que: EE −=
∂
∂
⇒
∂
∂
−==⇒
∂
∂
−=⇒∇−=
ρρρ ρ
V
 
V
 
VV EaEE (02) 
 
 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 
ρ
ρ
ε
ρ
ρ
A
2
V
 
o
v +⋅−=−=
∂
∂
E (03) 
 
 1a Condição de Contorno (Obtenção de A): 0 =E para ρ = a. (04) 
 
 Substituindo (04) em (03), temos: 
 
 
2
o
v
o
v
2
A A
2
0 a
a
a ⋅
ε
ρ
=⇒−⋅
ε
ρ
= (05) 
 
 Substituindo (05) em (01), temos: 
 
 
ρε
ρρ
ε
ρ
ρ
2
o
v
o
v
22
V
 
a
⋅+⋅−=
∂
∂
 (06) 
 
 Integrando pela 2a vez: 
 
 B
222
V 2
o
v
2
o
v +⋅+⋅−= ρ
ε
ρρ
ε
ρ
lna (07) 
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 2a Condição de Contorno (Obtenção de B): 0V = para ρ = a. (08) 
 
 Substituindo (08) em (07), temos: 
 
 aaaaa
a
lnln
2
o
v2
o
v2
o
v
2
o
v
24
B B
222
0 ⋅−⋅=⇒+⋅+⋅−=
ε
ρ
ε
ρ
ε
ρ
ε
ρ
 (09) 
 
 Substituindo (09) em (07), temos: 
 
aaaa ln
24
ln
24
V 2
o
v2
o
v2
o
v2
o
v
⋅
ε
ρ
−⋅
ε
ρ
+ρ⋅
ε
ρ
+ρ⋅
ε
ρ
−= 
 
( ) [ ]V ln
24
V 2
o
v22
o
v 




 ρ
⋅
ε
ρ
+ρ−⋅
ε
ρ
=
a
aa
 (10) 
 
 
6.5 – SOLUÇÃO PRODUTO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE 
 
Suponha o potencial seja função das variáveis x e y de acordo com a seguinte expressão: 
 
XY)y(f)x(fV == onde )x(fX = e )y(fY = (01) 
 
Aplicando a equação de Laplace, obtemos: 
0V2 =∇ ⇒ 0
y
V
x
V
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
 (02) 
 
(01) → (02): 
0
y
YX
x
XY 2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
 (03) 
 
Dividindo (03) por XY: 
0
y
Y
Y
1
x
X
X
1
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
 
 
Separando os termos somente dependentes de x dos termos somente dependentes de y, escrevemos: 
2
2
2
2
dy
Yd
Y
1
dx
Xd
X
1
−= (04) 
 
Como )x(fX = e )y(fY = , então para que a equação (04) seja verdadeira, cada um dos membros 
de (04) deve resultar em uma mesma constante. Chamando esta constante de α2, temos: 
 
2
2
2
dx
Xd
X
1
α= (05) 
2
2
2
dy
Yd
Y
1
α−= (06) 
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Re-escrevendo (05) e (06) temos: 
 
X
dx
Xd 2
2
2
α= (07) 
Y
dy
Yd 2
2
2
α−= (08) 
 
Solução da equação (07) pelo Método de Dedução Lógica: Basta responder a seguinte pergunta: 
“Qual é a função cuja segunda derivada é igual a própria função multiplicada por uma 
constante positiva?” 
 
Solução 1: Função trigonométrica hiperbólica em seno ou co-seno. Assim: 
xhBxhAX α+α= sencos (09) 
 
Solução 2: Função exponencial. Assim: 
x'x' eBeAX α−α += (10) 
 
Solução da equação (08) pelo Método de Dedução Lógica: Basta responder a seguinte pergunta: 
“Qual é a função cuja segunda derivada é igual a própria função multiplicada por uma 
constante negativa?” 
 
Solução 1: Função trigonométrica em seno ou co-seno. Assim: 
yDyCY α+α= sencos (11) 
 
Solução 2: Função exponencial complexa. Assim: 
yj'yj' eDeCY α−α += (12) 
 
Nota: Veja no Anexo I a solução da equação diferencial (07) por série infinita de potências. 
 
Solução final da equação (01): 
 
Substituindo (09) e (11) em (01), obtemos finalmente: 
 
( )( )yDyCxhBxhAXYV α+αα+α== sencossencos
 (13) 
 
sendo que as constantes A, B, C e D são determinadas pelas condições de contorno do problema. 
 
Exemplo: Calcule o potencial na região interna da calha 
retangular da figura. São conhecidos todos os 
potenciais nos contornos metálicos da calha. 
Observe que temos, neste caso, V = f(x) f(y). 
Partir da expressão (13) obtida acima. 
 
Solução: Pela figura temos as condições de contorno: 
(i) V = 0 em x = 0, 
(ii) V = 0 em y = 0, 
(iii) V = 0 em y = d, 0 < x < c 
(iv) V = Vo em x = c, 0 < y < d 
 
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Aplicando as condições (i) e (ii) em (13) obtemos A = C = 0 e chamando BD = V1, chegamos a: 
yxhVyxhBDXYV 1 αα=αα== sensensensen (14) 
 
e aplicando a condição (iii), V = 0 em y = d, temos: 
dxhV0 1 αα= sensen ⇒ ( )…,2,1,0nd
n
=
pi
=α (15) 
 
Substituindo α de (15) em (14): 
d
yn
d
xnhVV 1
pipi
= sensen (16) 
 
Para a condição (iv) é impossível escolher um n ou V1 de modo que V = Vo em x = c, para cada 0 
< y < d. Portanto, deve-se combinar um número infinito de campos de potenciais com valores 
diferentes de n e valores correspondentes de V1, isto é, V1n. Assim, genericamente devemos ter: 
 
d
yn
d
xnhVV n1
0n
pipi
=∑
∞
=
sensen 0 < y < d (17) 
 
Aplicando agora a última condição de contorno (iv), V = Vo em x = c, 0 < y < d, obtemos: 
 
d
yn
d
cnhVV n1
0n
o
pipi
=∑
∞
=
sensen 0 < y < d (18) 
ou 
d
ynbV n
0n
o
pi
=∑
∞
=
sen 0 < y < d (19) 
onde, 
d
cnhVb n1n
pi
= sen (20) 
 
A equação (19) pode representar uma série de Fourier em seno para f(y) = V(y) = Vo em 0 <
y < d 
(região de interesse) e f(y) = V(y) = –Vo em d < y < 2d, repetindo a cada período T = 2d. O gráfico 
desta função é mostrado na figura abaixo. 
 
Sendo a função ímpar, o coeficiente bn é dado por: 
 
dy
d
yn
sen)y(f
T
2b
T
0y
n
pi
∫=
=
 n=0,1,2,3,... 
ou 
( ) dy
d
yn
senV
d
1dy
d
yn
senV
d
1b o
d2
dy
o
d
0y
n
pi
−∫+
pi
∫=
==
 
 
 
Resolvendo as integrais, obtemos: 
ímparnpara
n
V4b on
pi
= (21) 
e 
parnpara0bn = 
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Substituindo bn de (21) em (20) e isolando V1n chegamos a: 
d
cnhn
V4V on1 pi
pi
=
sen
 (22) 
 
Finalmente, substituindo (22) em (17) obtemos a expressão para o potencial como: 
 
d
yn
d
xnh
d
cnhn
V4V o
ímpar
1n
pipi
pi
pi
∑=
∞
=
sensen
sen
 0 < x < c, 0 < y < d (23) 
 
ou, 
 
d
cnhn
d
yn
d
xnhV4V
ímpar
1n
o
pi
pipi
∑
pi
=
∞
= sen
sensen
 0 < x < c, 0 < y < d (24) 
 
 
6.6 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
6.1) Num meio uniforme de permissividade ε existe uma distribuição de cargas com densidade 
volumétrica ρv(r) = k, ocupando uma região esférica oca definida, em coordenadas esféricas, 
por a ≤ r ≤ b. Assumindo que o potencial seja zero em r = a, determinar pela equação de 
Laplace/Poisson, o campo elétrico ( )rE� e o potencial V(r) dentro das regiões: 
a) 0 ≤ r ≤ a; b) a ≤ r ≤ b; c) r ≥ b. 
Nota: Pode-se usar a Lei de Gauss para obter a segunda condição de contorno para E
�
. 
 
Respostas: a) ( ) 0r =E� e V(r) = 0; 
b) ( ) r2
3
 
r
r
3
k
r aE








−⋅=
a
ε
�
 e ( )








−+⋅
−
=
2
3
r2
r
3
k
rV
232 aa
ε
; 
c) ( ) r2
33
 
r3
k
r aE








−
⋅=
ab
ε
�
 e ( ) 






+−
−
⋅
ε
=
2
3
2r3
k
rV
2233 a3bab
. 
 
6.2) Na região interna entre os planos z = 0 e z = 2a foi colocada uma carga uniformemente 
distribuída com densidade volumétrica ρv. Na região externa aos planos, o meio é somente o 
vácuo. Determinar a distribuição de potenciais para: 
a) A região interna entre os planos definida por a2z0 ≤≤ ; 
Nota: A primeira condição de contorno é obtida fixando a referência de potencial zero em 
z = 0. A segunda condição de contorno é obtida verificando onde o campo elétrico 
é nulo, baseando-se na simetria da configuração de cargas. 
b) A região externa entre os planos definida por a2z ≥ . 
Nota: As condições de contorno devem ser obtidas partindo dos resultados do item 
anterior. 
Respostas: a) 





−⋅
−
= a
2
zzV
o
v
ε
ρ
; b) ( )aa 2zV
o
v
−⋅
−
=
ε
ρ
 
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6.3) Dados os campos de potencial ]V[yx3V −=′ e ( ) ]V[cos7r25V 2 θ−=′′ , pede-se: 
a) Verificar se estes campos de potencial satisfazem a Equação de Laplace; 
b) Determinar, para cada campo de potencial acima, a densidade volumétrica de carga no 
ponto P(0,5 ; 1,5 ; 1,0) no espaço livre. 
 
Respostas: a) V′ satisfaz (dielétrico perfeito) e V ′′ não satisfaz a Equação de Laplace; 
b) ρv = 0 (dielétrico perfeito) para V′ e ρv = –283,97 [pC/m3] para V ′′ . 
 
6.4) Seja ( )[ ] BA += 2tg θlnV a expressão algébrica para o cálculo do potencial elétrico no 
dielétrico entre dois cones condutores coaxiais, sendo θ o ângulo medido a partir do eixo dos 
cones e A e B duas constantes. Sejam estes cones condutores definidos por θ = 60o e θ = 
120o, separados por um espaço infinitesimal na origem. O potencial em P(r=1, θ = 
60o, φ= 90o) é 50 V e o campo elétrico em Q(r=2, θ = 90o, φ= 120o) é θa
�50 [V/m]. 
Determinar: 
a) O valor do potencial V no ponto Q; 
b) A diferença de potencial Vo entre os dois cones; 
c) O ângulo θ no qual o potencial elétrico é nulo. 
 
Respostas: a) VQ = – 4,93 [V]; b) Vo = 109,86 [V]; c) θ = 87,18o. 
 
6.5) Suponha que o espaço livre seja preenchido com uma carga distribuída com densidade 
volumétrica de carga ρV = kεox [C/m3]. Sejam os valores do quadro abaixo e 6106 k ⋅= . 
 Pede-se: 
a) Determinar as expressões matemáticas de 
V(x) e E(x); 
b) Completar os valores de V(x) e E(x) no 
quadro. 
 
Respostas: a) x1500
6
kx)x(V
3
+
−
= e 1500
2
kx)x(E
2
−= ; 
b) 
 
 
 
 
 
6.6) A figura mostra um capacitor de placas 
paralelas, com dois dielétricos (regiões) de 
permissividades relativas εR1 e εR2. 
Pede-se: 
a) Os valores das diferenças de potenciais 
V10 e V20, nas 2 regiões, em função da 
tensão da bateria Vo; 
b) As expressões matemáticas de V1(x) e 
V2(x) nas 2 regiões, determinadas a partir 
da equação de Laplace e condições de 
contorno apropriadas. 
 
Respostas: a) 
3
V
V o10 = e 3
V2
V o20 = ; b) x3
V
xV o1 d
=)( e )x2
3
V
xV o2 dd
−= ()( 
x [mm] V(x) [V] E(x) [V/m] 
0 0 
5 
10 – 1200 
15 
x [mm] V(x) [V] E(x) [V/m] 
0 0 –1500 
5 7,375 –1425 
10 14,0 –1200 
15 13,125 –825 
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6.7) Um capacitor é constituído de duas placas planas condutoras situadas em φ = 0 e φ = α. As 
placas são limitadas pelos cilindros ρ = a e ρ = b e pelos planos z = 0 e z = h. Se a diferença 
de potencial entre as placas condutoras for Vo, pede-se: 
a) Determinar a expressão matemática do potencial V na região, partindo da equaçao de 
Laplace; 
b) Determinar a expressão matemática da capacitância; 
c) Dizer se é possível obter a mesma expressão da capacitância do item anterior, partindo da 
Lei de Gauss empregando uma superfície gaussiana. Justificar sua resposta; 
d) Determinar a separação que conduz a mesma capacitância do item (b) quando as placas são 
colocadas numa posição paralela, com o mesmo dielétrico entre elas. 
Nota: Assumir a permissividade do dielétrico como sendo a do vácuo. 
Respostas: a) φ
α
oVV = ; b) 
a
bh
ln⋅=
α
ε oC ; 
c) Não é possível obter uma superfície gaussiana para a solução pela Lei de 
Gauss, pois em qualquer plano radial (φ = cte), D não é constante (D = f (ρ)), 
apesar de ser normal à estes planos; 
d) ( ) ( )[ ]ablnabd α−= 
 
6.8) Num dispositivo o potencial elétrico é função somente da variável z, possuindo uma região 
com densidade volumétrica de carga ρv = ρo(z/z1) e condições de fronteira dadas por E = 0 
em z = 0 e V = 0 em z = z1. Determinar para qualquer ponto nesta região: 
a) O potencial elétrico V, 
b) O campo elétrico E� . 
 
Respostas: a) ( )313
1
o zz
z6
V −
ε
ρ−
= ; b) z2
1
o az
z2
E
ε
ρ
= 
 
6.9) a) Desenvolver as equações de Poisson e Laplace para um meio linear, homogêneo e 
isotrópico. 
 b) Sendo v = campo vetorial qualquer e f = campo escalar qualquer, demostrar a seguinte 
identidade vetorial: ( ) ( ) ( )fvvfvf ••• ∇+∇=∇ 
Sugestão: Usar o sistema de coordenadas cartesianas para facilitar sua demonstração. 
c) De que maneira deve a permissividade elétrica (ε) variar em um meio não-homogêneo sem 
carga, de modo que a equação de Laplace continue válida? 
Sugestão: Iniciar pelo desenvolvimento do item (a), supondo ε variando espacialmente 
(com a distância). Usar também a identidade vetorial do item (b). 
 
Respostas: a) Equação de Poisson: ερ−=∇ /V v2 , Equação de
Laplace (ρv = 0): 0V2 =∇ ; 
b) Demonstração; 
c) Fazendo na identidade vetorial acima f = ε e Vv ∇= e tomando 0V2 =∇ 
(Laplace), obtém-se ( ) 0E =•ε∇ , logo E⊥ε∇ e a permissividade elétrica (ε) 
deve variar somente numa direção perpendicular ao campo elétrico ( )E . 
 
6.10) a) Demonstrar, partindo da equação de Laplace, que a capacitância C de um capacitor 
esférico formado por 2 superfícies condutoras esféricas de raios a e b (b > a), separadas 
por um dielétrico de permissividade elétrica ε, é dada por: 
ba
11
4C
−
piε
=
 
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b) Determinar a capacitância, CESFERA, de um capacitor esférico isolado formado por uma 
esfera de cobre de raio 9 cm, no vácuo. 
c) Se uma camada de um dielétrico uniforme (com εR = 3) de espessura d é colocada 
envolvendo a esfera de raio 9 cm do item (b), determinar d tal que a nova capacitância 
total equivalente seja 2 × CESFERA. 
Atenção: Note que a configuração final é de 2 capacitores esféricos dispostos em série. 
 
Respostas: a) Demonstração; b) CESFERA = 4piεoa = 10 pF (b → ∞); c) d = 27 cm. 
 
6.11) Dada a equação diferencial de segunda ordem 0X'xX2"X =−+ , considere uma solução na 
forma de série infinita de potências, e calcule os valores numéricos dos coeficientes a2 até a6 
desta série, sendo a0 = 1 e a1 = –2. 
Atenção: Como X é função somente de x, fazer ∑
∞
=
=
0n
n
n xX a . 
 
Respostas: a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = –1/8, a5 = –1/12, a6 = 7/240. 
 
6.12) Sabendo-se que uma solução produto para a Equação de Laplace em duas dimensões é dada 
por 111 YXV = , onde 1X e 1Y são funções somente de x e y, respectivamente, verificar se 
cada uma das 5 funções dadas a seguir satisfaz ou não à equação de Laplace, justificando sua 
resposta. 
a) 11a YXV −= ; 
b) 1b YV = ; 
c) yYXV 11c += ; 
d) 11d YX2V = ; 
e) 2211e yxYXV −+= 
 
Respostas: (a) e (b) não satisfazem a Equação de Laplace. Observe que 12X∇ e 12Y∇ não 
são solucionáveis, já que não se sabe suas expressões matemáticas. Assim, não se 
pode afirmar que ( ) 0YX 112 =−∇ para (a), e nem que 0Y12 =∇ para (b); 
(c), (d) e (e) satisfazem a Equação de Laplace, já que ( ) 0YX 112 =∇ (dado) e 
também ( ) 0y2 =∇ e ( ) 022yx 222 =−=−∇ . 
 
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Anotações do Capítulo VI