Apostila Parte 2

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Parte 2 
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12. Levantamentos Altimétricos 
Ou, simplesmente, nivelamento, é a operação que determina as diferenças de nível ou 
distâncias verticais entre pontos do terreno.
O nivelamento destes pontos pode inclui também o transporte da cota ou altitude de um 
ponto conhecido (RN – Referência de Nível) para os pontos nivelados. 
A altitude (H) de um ponto da superfície terrestre pode ser definida como a distância 
vertical deste ponto à superfície média dos mares (nível médio das águas do mar - no Geóide). 
A cota (C) de um ponto da superfície terrestre, por sua vez, pode ser definida como a 
distância vertical deste ponto à uma superfície qualquer de referência (que é fictícia e que, 
portanto, não é o Geóide). Esta superfície de referência pode estar situada abaixo ou acima da 
superfície determinada pelo nível médio dos mares. 
À altitude corresponde um nível verdadeiro, que é a superfície de referência para a 
obtenção da DV ou DN e que coincide com a superfície média dos mares, ou seja, o Geóide. 
Altitude Nível Verdadeiro
À cota corresponde um nível aparente (arbitrário), que é a superfície de referência para a 
obtenção da DV ou DN e que é paralela ao nível verdadeiro. 
Cota Nível Aparente
A figura a seguir ilustra a cota (C) e a altitude (H) tomados para um mesmo 
ponto da superfície terrestre (A). Torna-se evidente que os valores de C e H não são iguais pois 
os níveis de referência são distintos.
Figura 69 – Cota e Altitude
O desnível entre os extremos de um segmento – DNAB – é dado pela diferença 
entre a altitude (ou cota) do ponto final (B) do segmento e a altitude (ou cota) do ponto inicial 
(A). Portanto DNAB = –DNBA. 
Os métodos de nivelamento utilizados na determinação dos desníveis entre 
pontos e o posterior transporte da cota ou altitude são: 
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B’
’
12.1. Nivelamento Trigonométrico
Baseia-se na medida de distâncias horizontais e ângulos de inclinação para a 
determinação da cota ou altitude de um ponto através de relações trigonométricas. Os métodos 
que se utilizam de equipamentos que medem ângulos verticais para a determinação da altura de 
objetos ou da altitude de pontos são denominados Nivelamentos Trigonométricos, pois 
empregam a trigonometria para a solução dos problemas.
Portanto, obtém valores que podem estar relacionados ao nível verdadeiro ou ao 
nível aparente, dependendo do levantamento. 
Determinando-se a leitura de um ângulo vertical ( ) tomado de um ponto (onde está 
localizado o aparelho - A) até outro ponto qualquer - B, e, uma vez conhecida a distância 
horizontal entre estes dois pontos, é possível determinar a diferença de nível ou distância vertical
entre eles através da seguinte relação:
)(tg.DHDVDN 
Figura 70 – Determinação da diferença de nível 
Observar que foi utilizada a mesma altura (h) do aparelho e da leitura no ponto 
visado, o que faz DN = DV. 
Exemplo: A altura da árvore BB’ pode ser determinada por:
Figura 71– Exemplo de utilização de nivelamento trigonométrico 
onde:
])'(tg)(tg.[DH'DVDV'BB
 
 
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b) Com aparelhos (Teodolito ou Estação Total)
 DH AC ou DH BC
 CORTE A-C ou B-C
 
 PLANTA
Figura 72 – Exemplo de utilização de aparelhos
Como exemplo, na Figura anterior, a cota ou altitude do ponto C pode ser 
determinada a partir do nivelamento trigonométrico onde são conhecidos a Base AB (DHAB), os 
ângulos horizontais 1 e 2 e o(s) ângulo(s) de inclinação entre o ponto A ou B e o ponto C. 
As distâncias DHAC e DHBC podem ser calculadas:
1
BC
2
AC
21
AB
sen
DH
sen
DH
)180sen(
DH
As distâncias verticais DVAC e DVBC podem ser calculadas: 
)(tg.DHDV
 
As distâncias inclinadas DIAC e DIBC podem ser calculadas:
cos
DHDI
A cota ou altitude de C será então calculada por: 
CC ou HC = CA + IA + DVAC e CC ou HC= CB + IB + DVBC
onde CC = cota de C, HC = altitude de C e I = altura do aparelho (ou do “instrumento”)
12.2. Nivelamento Geométrico 
Este método diferencia-se dos demais, pois está baseado somente na leitura de 
réguas ou miras graduadas, não envolvendo ângulos.
O aparelho utilizado deve estar estacionado preferencialmente a meia distância entre 
os pontos (ré e vante), dentro ou fora do alinhamento a medir. Os comprimentos das visadas de 
ré e de vante devem ser aproximadamente iguais e, sendo o ideal, o comprimento máximo de 
60m. Para evitar os efeitos do fenômeno de reverberação, as visadas devem situar-se acima de 
50cm do solo.
C
A Base [DH] B
PLANTA
 1 2
DH AC DH BC
C
A ou B 
DV
DI
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Assim como para o método anterior, as medidas de DN ou DV podem estar 
relacionadas ao nível verdadeiro ou ao nível aparente, dependendo do levantamento.
12.2.1. Nivelamento Geométrico Simples 
Neste método, indicado pela figura a seguir, instala-se o nível uma única vez,
em ponto estratégico, situado ou não sobre a linha a nivelar e eqüidistante aos pontos de 
nivelamento. 
Deve-se tomar o cuidado para que o desnível entre os pontos não exceda o 
comprimento da régua graduada.
Figura 73 – Nivelamento Geométrico Simples 
Após proceder a leitura dos fios médios estadimétricos (FM) nos pontos de ré e 
vante, o desnível pode ser determinado pela relação: 
vantere FMFMDN 
Se DN + então o terreno está em aclive (de ré para vante). 
Se DN – então o terreno está em declive (de ré para a vante). 
Este tipo de nivelamento pode ser longitudinal, transversal ou radiante e é 
aplicado a terrenos relativamente planos. 
12.2.2. Nivelamento Geométrico Composto 
Este método, ilustrado pela figura a seguir, exige que se instale o nível mais de uma 
vez, por ser, o desnível do terreno entre os pontos a nivelar, superior ao comprimento da régua.
Figura 74 – Nivelamento Geométrico Composto
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Instala-se o nível eqüidistante aos pontos de ré e intermediário (primeiro de uma 
série de pontos necessários ao levantamento dos extremos). Procede-se a leitura dos fios médios 
estadimétricos (FM) nos pontos em questão e o desnível entre os dois primeiros pontos será dado 
pela relação: 
.ermintreP FMFMDN 
Assim, o desnível total entre os pontos extremos será dado pelo somatório dos 
desníveis parciais.
PDNDN ou .ermintre FMFMDN
Se DN+ então o terreno está em aclive.
Se DN- então o terreno está em declive. 
12.3. Precisão do Nivelamento
A precisão, tolerância ou erro médio de um nivelamento é função do perímetro 
percorrido com o nível (em km) e, segundo GARCIA e PIEDADE, classifica-se em: 
 alta ordem: o erro médio admitido é de 1,5mm/km percorrido. 
 primeira ordem: o erro médio admitido é de 2,5mm/km percorrido.
 segunda ordem: o erro médio admitido é de 1,0cm/km percorrido. 
 terceira ordem: o erro médio admitido é de 3,0cm/km percorrido. 
 quarta ordem: o erro médio admitido é de 10,0cm/km percorrido.
Onde o erro médio é avaliado da seguinte forma:
para poligonais fechadas: é a soma algébrica das diferenças de nível parciais (entre 
todos os pontos). 
para poligonais abertas: é a soma algébrica das diferenças de nível parciais (entre 
todos os pontos) no nivelamento (ida) e no contra-nivelamento (volta). 
Este erro, ao ser processado, poderá resultar em valores diferentes de zero, para mais 
ou para menos, e deverá ser distribuído proporcionalmente entre as estações da poligonal, caso 
esteja abaixo do erro médio total tolerável.
Segundo ESPARTEL, o erro médio total tolerável em um nivelamento para um 
perímetro P percorrido em quilômetros, deverá ser:
Pmm5m 
E o erro máximo admissível, segundo o mesmo
autor, deverá ser: 
m.5,2
13. Utilização de um Levantamento Altimétrico
13.1. Construção de Perfis
O perfil é a representação gráfica do nivelamento e a sua determinação tem por 
finalidade:
o estudo do relevo ou do seu modelado, através das curvas de nível;
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a locação de rampas de determinada declividade para projetos de engenharia e 
arquitetura: edificações, escadas, linhas de eletrificação rural, canais e 
encanamentos, estradas etc.;
o estudo dos serviços de terraplenagem (volumes de corte e aterro).
O perfil de uma linha do terreno pode ser de dois tipos: 
Longitudinal: determinado ao longo do perímetro de uma poligonal (aberta 
ou fechada), ou, ao longo do seu maior afastamento (somente poligonal 
fechada). 
Transversal: determinado ao longo de uma faixa do terreno e 
perpendicularmente ao longitudinal. São conhecidos como seção transversal.
O levantamento de um perfil é feito da seguinte forma: 
 Toma-se o maior afastamento (fechada) ou o perímetro (aberta) de uma poligonal 
e determina-se a linha principal a ser levantada para o levantamento do perfil 
longitudinal.
 Faz-se o estaqueamento desta linha em intervalos de 5m, 10m ou 20m.
 Faz-se o levantamento altimétrico desta linha e determinam-se todos os seus 
desníveis. 
 Determinam-se também as linhas transversais às estacas da linha principal para o 
levantamento do perfil transversal. Se a linha longitudinal for o perímetro da 
poligonal aberta, deve-se traçar, em cada estaca, a linha transversal segundo a 
bissetriz do ângulo horizontal naquele ponto.
 Faz-se o estaqueamento das linhas transversais com a mesma precisão da linha 
principal, ou seja, em intervalos de 5m, 10m ou 20m. 
 Faz-se o levantamento destas linhas transversais e determinam-se todos os seus 
desníveis. 
 Representam-se os valores dos desníveis obtidos e das distâncias horizontais entre 
as estacas em um sistema de eixos ortogonais da seguinte forma: 
a) No eixo x são lançadas todas as distâncias horizontais entre as estacas em escala 
apropriada. Ex.: 1:1.000.
b) No eixo y são lançados todos os valores de cota/altitude das estacas levantadas 
também em escala apropriada. 
Ex.: 1:100 (escala em y 10 vezes maior que a escala em x) perfil elevado.
1:1.000 (escala em y igual à escala em x) perfil natural.
1:2.000 (escala em y 2 vezes menor que a escala em x) perfil rebaixado. 
O desenho final do perfil deverá compor uma linha que une todos os seus pontos 
definidores.
13.2. Determinação da Declividade entre Pontos do Terreno 
A declividade ou gradiente entre pontos do terreno é a relação entre a distância 
vertical e a distância horizontal entre eles.
Em porcentagem, a declividade é dada por: 
100.
DH
DN(%)d
 
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Em valores angulares, a declividade é dada por:
DH
DNtg.arcd
Define-se linha de maior declive do terreno num ponto como sendo a linha que, 
apoiada no terreno e passando pelo ponto, apresenta em todos os seus pontos declive máximo.
Segundo GARCIA e PIEDADE, as declividades de terreno classificam-se em:
Classe Declividade (%) Declividade ( ) Interpretação
A 3 1,7 Fraca
B 3 a 6 1,7 a 3,4 Moderada
C 6 a 12 3,4 a 6,8 Moderada a Forte
D 12 a 20 6,8 a 11,3 Forte
E 20 a 40 11,3 a 21,8 Muito Forte
F 40 21,8 Extremamente Forte
13.3. Determinação da linha de greide ou linha de projeto 
A linha de greide (ou de projeto) é o que se pretende construir, e geralmente 
acompanha o perfil, dotada de uma certa declividade, chamada porcentagem de rampa (i%) e que 
vai indicar quanto de solo deve ser cortado ou aterrado (em projetos de estradas, por exemplo). 
Essa porcentagem de rampa pode ser positiva no sentido do estaqueamento 
(indicando ACLIVE) ou negativa no sentido do estaqueamento (indicando DECLIVE).
Assim como a declividade, a porcentagem de rampa é calculada pela relação entre a 
diferença de nível entre as estacas e a distâncias entre elas.
.100
DH
DN(%)i
 
 
 
 ACLIVE DECLIVE
Figura 75 – Declividades do projeto 
i = + 10% i = 10%
10m 10m
100m 100m
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Figura 76 – Exemplo Perfil Longitudinal - terreno natural e projeto
13.4. Exemplos
1. Determine a porcentagem de rampa entre dois pontos sabendo-se que a cota do 
primeiro ponto A é 471,37m e a cota do segundo ponto B é 476,77m. A distância horizontal 
entre eles é de 207,70m.
2,60%ou2,5999%100 .
70,207
40,5 .100
207,70
471,37 -476,77(%)i (positivo de A para B). 
2. Qual deve ser a diferença de nível de um ponto B, distante 250,00m de um ponto 
A, sabendo-se que o gradiente entre eles é de –3,5%.
DN = DH . i%/100 portanto DN = 250,00 x (– 0,035) = – 8,75m (declive de A para B) 
14. Geração de Curvas de Nível 
Como ilustrado na figura a seguir, as curvas de nível ou isolinhas são linhas curvas 
fechadas formadas a partir da interseção de vários planos horizontais com a superfície do terreno.
Cada uma destas linhas, pertencendo a um mesmo plano horizontal tem, 
evidentemente, todos os seus pontos situados na mesma cota altimétrica, ou seja, todos os pontos 
estão no mesmo nível.
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Figura 77 – Curvas de nível
Os planos horizontais de interseção são sempre paralelos e eqüidistantes e a distância 
entre um plano e outro denomina-se Eqüidistância Vertical.
A eqüidistância vertical das curvas de nível depende fundamentalmente de três 
fatores: o acidentado do terreno, a futura utilização da planta e a escala da planta. Recomendam-
se os valores de escalas da tabela a seguir.
Escala Eqüidistância Escala Eqüidistância Escala Eqüidistância
1:500 0,5m 1:25.000 10,0m 1:250.000 100,0m
1:1.000 1,0m 1:50.000 20,0m 1:500.000 200,0m
1:2.000 2,0m 1:100.000 50,0m 1:1.000.000 200,0m
1:10.000 10,0m 1:200.000 100,0m 1:10.000.000 500,0m
14.1. Características das Curvas de Nível
 As curvas de nível, segundo o seu traçado, são classificadas em: 
mestras: todas as curvas múltiplas de 5 ou 10 metros. 
intermediárias: todas as curvas múltiplas da eqüidistância vertical, excluindo-se as 
mestras. 
meia-eqüidistância: utilizadas na densificação de terrenos muito planos.
 
A figura a seguir ilustra parte de uma planta altimétrica com curvas de nível. 
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Figura 78 – Representação de uma planta altimétrica 
 As curvas mestras são representadas por traços mais espessos e são todas cotadas.
Como mostra a figura a seguir, curvas muito afastadas representam terrenos planos e 
curvas muito próximas representam terrenos acidentados. 
Figura 79 – Representação do relevo de um terreno 
* 102,50 
* 98,30 
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Figura 80 – Curvas de nível – terreno plano e terreno acidentado 
 A maior declividade (d%) do terreno ocorre no local onde as curvas de nível são mais 
próximas e vice-versa.
 Para o traçado das curvas de nível os pontos notáveis do terreno (aqueles que melhor 
caracterizam o relevo) devem ser levantados altimetricamente. É a partir destes pontos 
que se interpolam, gráfica ou numericamente, os pontos definidores das curvas.
OBS: Nos cumes e nas depressões o relevo é representado por pontos cotados (ver 
Figura e Figura ).
 Em terrenos naturais (não modificados pelo homem) as curvas tendem a um 
paralelismo e são isentas de ângulos vivos e quebras.
14.2. Normas para o Desenho das Curvas de Nível 
 Duas curvas de nível jamais devem se cruzar.
 
Figura 81 – Curvas de nível - ERRADO
 Duas ou mais curvas de nível jamais poderão
convergir para formar uma curva única, 
com exceção das paredes verticais de rocha.
Figura 82 – Curvas de nível - ERRADO
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Uma curva de nível inicia e termina no mesmo ponto, portanto, ela não pode surgir do 
nada e desaparecer repentinamente. 
Figura 83 – Curvas de nível - ERRADO
14.3. Obtenção das Curvas de Nível
Após o levantamento planimétrico do terreno pode-se empregar um dos três métodos 
abaixo para a obtenção das curvas de nível:
a) Quadriculação 
Consiste em quadricular o terreno (com piquetes) e nivelá-lo.
O valor do lado do quadrilátero é escolhido em função: da sinuosidade da 
superfície; das dimensões do terreno; da precisão requerida; e do comprimento da trena. 
No escritório, as quadrículas são lançadas em escala apropriada, os pontos de cota 
inteira são interpolados e as curvas de nível são traçadas.
b) Irradiação Taqueométrica 
Consiste em levantar poligonais maiores (principais) e menores (secundárias) 
interligadas.
Todas as poligonais devem ser niveladas.
Das poligonais (principal e secundárias) irradiam-se os pontos notáveis do terreno, 
nivelando-os e determinando a sua posição através de ângulos e de distâncias horizontais. 
No escritório, as poligonais são calculadas e desenhadas, os pontos irradiados são 
locados e interpolados e as curvas de nível são traçadas. 
c) Seções Transversais
Método utilizado na obtenção de curvas de nível em faixas, ou seja, em terrenos 
estreitos e longos. 
Consiste em implantar e levantar planialtimetricamente os pontos definidores das 
linhas transversais à linha longitudinal definida por uma poligonal aberta. 
No escritório, a poligonal aberta e as linhas transversais são determinadas e 
desenhadas, os pontos de cada seção são interpolados e as curvas de nível são traçadas. 
14.4. Interpolação 
A interpolação para obtenção das curvas de nível pode ser gráfica ou numérica. 
a) Interpolação Gráfica 
Consiste em determinar, entre dois pontos de cotas fracionárias, o ponto de cota 
cheia ou inteira e múltiplo da eqüidistância vertical.
Sejam, portanto, dois pontos A e B de cotas conhecidas e cuja distância horizontal 
também se conhece.
O método consiste em traçar perpendiculares ao alinhamento AB, pelo ponto A e 
pelo ponto B respectivamente. 
Topografia A 72
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Sobre estas perpendiculares lançam-se: o valor que excede a cota inteira (sentido 
positivo do eixo, pelo ponto A ou B, aquele de maior cota); e o valor que falta para completar a 
cota inteira (sentido negativo do eixo, pelo ponto A ou B, aquele de menor cota). Este 
lançamento pode ser feito em qualquer escala.
Os valores lançados sobre as perpendiculares por A e B resultam nos pontos C e 
D, que determinam uma linha. 
A interseção desta linha (CD) com o alinhamento (AB) é o ponto de cota inteira 
procurado.
Ex.: seja c(A) = 12,6m, c(B) = 13,7m e DHAB = 20,0m. Determine o ponto de 
cota inteira entre A e B e sua localização.
b) Interpolação Numérica
O método consiste em determinar os pontos de cota inteira e múltiplos da 
eqüidistância vertical por semelhança de triângulos: 
Pela figura abaixo pode-se deduzir que:
AE AB assim como AC (AC + BD) portanto AE
AC AB
AC BD
.
( )
 
Para o exemplo do método anterior, AE calculado pela relação acima corresponde 
a 7,27m. Isto equivale ao resultado obtido graficamente.
 
14.5. O Modelado Terrestre
O modelado terrestre (superfície do terreno), tal qual se apresenta atualmente, teve 
origem nos contínuos deslocamentos da crosta terrestre (devidos à ação de causas internas) e na 
influência dos diversos fenômenos externos (tais como chuvas, vento, calor solar, frio intenso) 
que com a sua ação mecânica e química, alteraram a superfície estrutural original 
transformando-a em uma superfície escultural. 
Para compreender melhor as feições (acidentes geográficos) que o terreno apresenta 
e, como as curvas de nível se comportam em relação às mesmas, algumas definições geográficas 
do terreno são necessárias. 
14.6. As Curvas de Nível e os Principais Acidentes Geográficos Naturais
Cume: cimo ou crista, é a ponto mais elevado de uma montanha.
Serra: cadeia de montanhas de forma muito alongada donde partem os contrafortes.
Vertente: flanco, encosta ou escarpa, é a superfície inclinada que vem do cimo até a 
base das montanhas. Pode ser à esquerda ou à direita de um vale, ou seja, a que fica à 
mão esquerda e direita respectivamente do observador colocado de frente para a foz do 
curso d’água. As vertentes, por sua vez, não são superfícies planas, mas sulcadas de 
depressões que formam os vales secundários. 
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Elevação e Depressão: são superfícies nas quais as curvas de nível de menor valor 
envolvem as de maior no caso das elevações e vice-versa para as depressões.
Figura 84 – Elevação e Depressão 
Espigão: constitui-se numa elevação alongada que tem sua origem em um contraforte.
Figura 85 – Espigão 
 
Talvegue: linha de encontro de duas vertentes opostas (pela base) e segundo a qual as 
águas tendem a se acumular formando os rios ou cursos d’água.
Figura 86 – Talvegue 
Topografia A 74
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Vale: superfície côncava formada pela reunião de duas vertentes opostas (pela base), e 
conforme figura, podem ser de fundo côncavo, de fundo de ravina ou de fundo chato.
 
Figura 87 – Vale 
Divisor de águas: é a linha formada pelo encontro de duas vertentes opostas (pelos 
cumes) e segundo a qual as águas se dividem para uma e outra destas vertentes.
 
Figura 88 – Divisor de águas
Dorso: superfície convexa formada pela reunião de duas vertentes opostas (pelos 
cumes), e conforme figura abaixo, podem ser alongados, planos ou arredondados. 
Neste, as curvas de nível de menor valor envolvem as de maior.
Topografia A 75
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Figura 89 – Dorso
O talvegue está associado ao vale enquanto o divisor de águas está associado ao dorso. 
Colo: ou garganta, é o ponto onde as linhas de talvegue (normalmente duas) e de 
divisores de águas (normalmente dois) se curvam fortemente, mudando de sentido. 
Figura 90 – Colo ou Garganta 
15. Automatização de trabalhos topográficos 
Um Modelo Numérico de Terreno (MNT) é uma representação matemática 
computacional da distribuição de um fenômeno espacial que ocorre dentro de uma região da 
superfície terrestre. Dados de relevo, informações geológicas, levantamentos de profundidades 
do mar ou de um rio, informação meteorológicas e dados geofísicos e geoquímicos são exemplos 
típicos de fenômenos representados por um MNT. 
Dentre alguns usos do MNT pode-se citar: 
Armazenamento de dados de altimetria para mapas topográficos; 
Análises de corte-aterro para projeto de estradas e barragens; 
Elaboração de mapas de declividade e exposição para apoio a análise de 
geomorfologia e erodibilidade; 
Análise de variáveis geofísicas e geoquímicas; 
Apresentação tridimensional (em combinação com outras variáveis). 
Topografia A 76
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Para a representação de uma superfície real no computador é indispensável a elaboração e 
criação de um modelo digital, que pode estar representado por equações analíticas ou uma rede 
(grade) de pontos regulares ou irregulares, de modo a transmitir ao usuário as características 
espaciais do terreno. A criação de um modelo numérico de terreno corresponde a uma nova 
maneira de enfocar o problema da elaboração e implantação de projetos. A partir dos modelos 
(grades) pode-se calcular diretamente volumes, áreas, desenhar perfis e seções transversais, gerar 
imagens sombreadas ou em níveis de cinza, gerar mapas de declividade e aspecto, gerar 
fatiamentos nos intervalos desejados e perspectivas tridimensionais. 
No processo
de modelagem numérica de terreno podemos distinguir três fases: aquisição 
dos dados, geração de grades e elaboração de produtos representando as informações obtidas que 
são as suas aplicações. 
A aquisição dos dados ou amostragem compreende a aquisição de um conjunto de 
amostras representativas do fenômeno de interesse. Geralmente essas amostras estão 
representadas por curvas de isovalores e pontos tridimensionais. A geração de grades ou 
interpolação envolve a criação de estruturas de dados e a definição de superfícies de ajuste com o 
objetivo de se obter uma representação contínua do fenômeno a partir das amostras. Essas 
estruturas são definidas de forma a possibilitar uma manipulação conveniente e eficiente dos 
modelos pelos algoritmos de análise. 
Um mapa 3D será assim, uma representação tridimensional de um mapa 2D sobre um 
modelo sólido de terreno, seguindo um processo que se pretende ilustrar.
Figura 91 – Ilustração esquemática da seqüência de imagens 
As estruturas de dados mais utilizadas são a grade regular e a malha triangular. 
 
Figura 92 – Exemplo de grade regular.
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A modelagem digital do terreno permite que os pontos levantados de um terreno possam 
definir um modelo tridimensional e, a partir dele, gerar seções transversais e perfis longitudinais,
além de calcular volumes entre terrenos e planos ou terrenos e medições.
Figura 93 – Modelo tridimensional de terreno
As aplicações são procedimentos de análise executados sobre os modelos digitais. As 
aplicações podem ser qualitativas, tais como a visualização do modelo usando-se projeções 
geométricas ou quantitativas tais como cálculos de volumes e geração de mapas de declividades. 
Figura 94 – Imagem temática gerada a partir do fatiamento de um modelo digital de terreno.
Topografia A 78
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Figura 95 – Imagem obtida do aplicativo Google Earth 
Observe a imagem acima e identifique o modelado do terreno. É possível delimitarmos as 
bacias de drenagem existentes. 
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16. Critério para delimitação dos limites da bacia hidrográfica: 
1) Inicia-se pela foz do curso d’água (rio, riacho, córrego etc.) ou por um ponto que se deseja 
determinar a bacia de acumulação até aquele ponto (rodovia, ferrovia etc.).
2) Critério da convexidade – o limite da bacia segue pela convexidade das curvas de nível (dorso).
 
 
 
 
 
 
3) Critério dos pontos altos – o limite da bacia passa pelos pontos altos mais próximos no terreno
(divisor de águas).
4) Critério do centro da curva de nível fechada – o limite da bacia passa pelo centro da curva de 
nível fechada. 
5) Observar que o sentido de escoamento das águas numa vertente é perpendicular às curvas de 
nível, que é a máxima declividade.
Topografia A 80
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Caderno de Exercícios 
Parte 2 
Topografia A 81
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Nome: _________________________________________ RA: _____________ PER: _____
 
10) Determine o desnível entre dois pontos a partir de um nivelamento 
trigonométrico onde foram obtidos os seguintes dados: 
I = 1,43m
DH = 47,30m 
 = 8 30’
FM = 1,43m 
 
 
 
 
11) Determine a altura aproximada de um poste sabendo-se que os ângulos de visada 
do topo do poste é de 15 40’ e do pé do poste é –2°10’, em relação ao horizonte, e a distância do 
observador ao poste é de 40,00m. 
 
 
 
 
 
 
 
12) Calcular a cota de um reservatório [R] por triangulação sendo dados que a base 
AB medida tem 455,20m; os ângulos horizontais são A = 71°00’48’’ e B = 85°34’09’’; o ângulo 
vertical em A para o Reservatório é 8°42’00’’; a altura do instrumento em A = 1,59m e a cota 
em A é 297,793m.
 
Topografia A 82
PUC-Campinas Engenharia Civil
Nome: _________________________________________ RA: _____________ PER: _____
 
13) Nivelamento geométrico simples
Dados:
EST Visada de Ré (mm) HI 
Visada de 
Vante (mm) Cotas (m) 
1 2855 100,000
2 2035 
3 0986 
4 0677 
5 0246 
6 1109 
7 0995 
 
Calcular a planilha e desenhar a configuração do terreno levantado (perfil do 
levantamento).
 
Topografia A 83
PUC-Campinas Engenharia Civil
14) Nivelamento geométrico composto
Dados:
EST Visada de Ré (mm) HI 
Visada de 
Vante (mm) Cotas (m) 
1 1845 100,000
2 0856 2335 
3 1788 1986 
4 2234 1677 
5 1278 0846 
6 2872 0545
7 1109 
 
Calcular a planilha e desenhar a configuração do terreno levantado (perfil do 
levantamento).
Topografia A 84
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15) Nivelamento geométrico composto com contra-nivelamento 
Dados do nivelamento: 
EST Visada de Ré(mm) HI
Visada de Vante 
Intermediária
(mm)
Visada de Vante 
de Mudança 
(mm)
Cotas (m)
1 3127 100,000
2 2606
3 2989 2164 
4 1886
5 1332 
 
Visada Ré – Visada Vante Mudança = Diferença de Nível no nivelamento 
Dados do contra-nivelamento: 
EST Visada de Ré (mm) HI 
Visada de Vante 
Intermediária 
(mm) 
Visada de Vante 
de Mudança
(mm)
5 1249 
4 
3 2081 2904 
2 
1 3042 
 
Visada Ré – Visada Vante Mudança = Diferença de Nível no contra-nivelamento
Erro = 
Compensação (nas visadas de ré): 
Calculo das cotas dos pontos nivelados após a compensação. 
EST
Visada de Ré
Compensada 
(mm) 
HI
Visada de Vante 
Intermediária
(mm) 
Visada de Vante 
de Mudança
(mm) 
Cotas (m) 
1 100,000
2 
3 
4 
5 
 
Topografia A 85
Topografia A 86
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Nome: _________________________________________ RA: _____________ PER: _____
16) Exercício Rede de esgoto – Estaqueamento de 20m em 20m.
Cotas do Terreno nas estacas:
ESTACA 0 1 2 3 4 5 6 7 
COTA (m) 108,50 106,60 105,30 104,20 105,20 106,80 108,30 108,90 
Cotas do Projeto da Rede de Esgoto (PI = Poço de Inspeção) nas estacas: 
EST. 0 = 107,00m EST. 3 = 102,80m EST. 7 = 107,60m
Desenhar na folha – padrão o perfil longitudinal do terreno da rede de esgoto, com escala H = 
1:1.000 e V = 1:100. 
Lançar as cotas de projeto (PIs) dadas.
Calcular as porcentagens de rampa entre as estacas 0/3 e 7/3. 
Calcular as cotas do projeto nas estacas intermediárias. 
Admitindo-se que a largura da vala será 1,0 metro, calcular o volume a ser escavado nesse
projeto. 
17) Exercício Trecho de Rua – Estaqueamento de 20m em 20m.
CROQUI DO TRECHO (sem escala) 
Cotas do Terreno nas estacas: 
ESTACA 0 1 2 3 4 5 6 7 8
COTA (m) 100,00 102,60 104,50 105,20 104,40 103,00 101,20 100,20 99,70
ESTACA 8+15m 9 9+5m 10 11 12 13 14 15
COTA (m) 99,60 97,90 99,70 99,80 101,00 102,30 103,90 105,20 106,00 
Nível d’água na estaca 9 (ribeirão) = 99,40m 
Cotas do Projeto da Rua (concordâncias) nas estacas: 
EST. 0 = 100,00m EST. 5 = 103,00m EST. 15 = 106,00m 
Desenhar na folha – padrão o perfil longitudinal do terreno da rua, com escala H = 1:2.000 e V = 
1:100. 
Lançar as cotas de projeto (concordâncias) dadas.
Calcular as porcentagens de rampa entre as estacas 0/5 e 5/15.
Calcular as cotas do projeto nas estacas intermediárias. 
Calcular as alturas de corte ou aterro nas estacas.
0 5 9 15
ribeirão
Topografia A 87
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Nome: _________________________________________ RA: _____________ PER: _____
 
18) Exercício alturas do terreno
Com os dados obtidos de um levantamento altimétrico em uma propriedade,
e pela 
figura abaixo, determine a diferença de nível entre os pontos ‘1’ a ‘12’ do terreno. Indique de 
onde devemos tirar e onde devemos colocar terra. A altura do ponto A deve ser tomada como 
referência para o cálculo dos desníveis, bem como, para a planificação do relevo.
Onde: 
Ponto FM Ponto FM 
1 2,60m 7 2,10m 
2 2,30m 8 2,40m 
3 0,90m 9 2,10m 
4 0,80m 10 1,60m 
5 0,90m 11 1,20m 
6 1,10m 12 1,10m 
A altura do instrumento no ponto A = 1,60 metros. 
Topografia A 88
PUC-Campinas Engenharia Civil
Nome: _________________________________________ RA: _____________ PER: _____
19) Determine as curvas de nível para o terreno da figura abaixo, a partir das cotas 
levantadas através do método da quadriculação (valores indicados em metros). Interpole e 
desenhe as curvas de nível com eqüidistância vertical de 1 metro. Os pontos estão posicionados 
em intervalos regulares de 20 m.
 1 2 3 4 5
2
3
4
5
1 17,9 16,3 15,7 14,5 12,3
19,1 17,4 18,5 15,5 12,6
20,2 18,5 21,4 16,7 13,8
21,3 19,5 21,2 17,5 15,2
22,2 21,3 20,5 18,8 16,5
6
23,1 22,7 21,6 20,2 17,8
Topografia A 89
PUC-Campinas Engenharia Civil
Nome: _________________________________________ RA: _____________ PER: _____
20) Na figura a seguir, obtida de um levantamento planialtimétrico, pede-se interpolar 
os pontos de cota inteira e múltiplos da eqüidistância vertical de 1 metro. 
 
 
 
72
76 
 74
78 
 77 
80
84
76 
81 78 82
84 
86 
Topografia A 90
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Nome: _________________________________________ RA: _____________ PER: _____
21) Seja uma porção de terreno correspondente a uma vertente isolada de um vale da 
qual foram determinadas, por nivelamento as cotas dos pontos A (42,0m), B (28,5m), C 
(26,6m), D (6,0m) e E (17,5m). As distâncias entre os pontos são dadas abaixo. Interpolar os 
pontos de cota inteira com eqüidistância vertical de 5 metros e traçar as curvas de nível 
correspondentes. 
 
B 
C
D
Alinhamentos Distância (m)
AB, AC 100,00
BD, CD 50,00
BE, CE 61,96
AE 50,00
DE 36,60
A 
E 
Topografia A 91
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Nome: _________________________________________ RA: _____________ PER: _____
22) A figura a seguir representa uma área a ser inundada após a construção da barragem 
‘ABCD’, cuja cota máxima é 738 m. Pede-se identificar a área que será inundada, supondo que a 
cota de inundação é 737 m. Pede-se também calcular essa área inundada. 
ESCALA: 1:500 
 
 
Curso d’água
Curso d’água
Curso d’água
Topografia A 92
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Nome: _________________________________________ RA: _____________ PER: _____
23) Determinar a cota dos pontos A, 1, 2, 3, 4, 5 e B indicados na figura com o [*].
Desenhar o perfil do alinhamento AB.
*A
*1
 *2
 *3 
 *4
*5 *B