Lista 1 Gabarito

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GEOMETRIA ANALÍTICA 
I Lista de Exercícios. 
 
(a) Converta as coordenadas polares 
 
 
 para coordenadas retangulares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Suponha que , com . Encontre o valor exato de 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Suponha que , com . Encontre o valor exato de . 
 
 
 
 
 
(c) Encontre todas as soluções da equação no intervalo . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(e) Suponha que um cabo suporte liga, a partir do topo, uma antena de 25 metros a 
um ponto no chão a 20 metros a partir da base da antena. Qual é o ângulo entre 
o cabo e o chão. 
Neste caso a altura é 25 e a base é 20 de um triângulo retângulo. 
Então a hipotenusa é: 
 
 
para achar 0 àngulo considerando a altura o cateto oposto ao àngulo desejado: 
 
 
 
 
 
 
 
(f) Com respeito ao diagrama abaixo, encontre o valor exato de . 
 
 
 
 
 
 
Sabemos que: 
 
 
Então vamos calcular r primeiro r e usando a segunda equação achamos senθ: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No que segue estaremos usando as identidades trigonométricas abaixo: 
cos2 θ+sen2θ=1 (relação Fundamental) 
sen(A+B)=senA.cosB+senB.cosA 
sen(A-B)=senA.cosB-senB.cosA 
cos(A+B)=cosAcosB-senAsenB 
cos(A-B)=cosAcosB+senAsenB 
 
(g) Suponha que , com 
 
 
 . Encontre o valor exato de . 
sen(2θ)=sen(θ+θ)= senθ.cosθ+senθ.cosθ 
 =2 senθ.cosθ 
 =2.(1/3)cosθ = 2/3 cosθ 
Para descobrir o valor de cosθ temos vários recursos, por exemplo utilizando as 
relações trigonométricas acima temos 
cos2 θ+sen2 θ =1 
cos2 θ=1- sen2 θ=1-1/3=2/3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ocorre que se 
 
 
 , então , e portanto na verdade o valor do sen2θ 
será negativo, portanto: 
 
 
 
 
 
(h) Suponha que 
 
 
, com 
 
 
 e 
 
 
, com 
 
 
 
Encontre o valor exato de . 
Aplicando novamente as identidades acima: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Devemos novamente analisar o quadrante do ângulo em questão: 
 
 
 
 
 
 
Então 
 
 
 
 
 
 logo é negativo ou seja: 
 
 
 
 
(i) Se 
 
 
 e , encontre o valor exato de t . 
Como , ou seja é negativa , a tangente também será.Temos 
então que 
 
 
 e portanto 
 
 
 
 
 
 
 
(j) Converta a equação r = 2 para uma equação em coordenadas retangulares. 
 
 
Como θ não aparece com nenhum valor especificado então consideramos que θ pode 
assumir qualquer valor real. Portanto está equação descreve pontos que distam de 2 
unidades em relação à origem do sistema cartesiano e portanto descreve 
genericamente aos pontos de uma circunferência de raio 2 centrada na origem do 
nosso sistema cartesiano. 
(k) Converta a equação r = -2cos(θ) para uma equação em coordenadas retangulares. 
 
 
Aplicando as identidades trigonométricas encontramos: 
 
 
Logo 
Então: 
 
Ainda: 
 
 
(l) Em um certo momento do dia, um monumento produz uma sombra de 790 metros. 
A partir do extremo da sombra, o ângulo que é formado entre a horizontal e o 
topo do monumento é de 35º. Use esta informação para encontrar a altura do 
monumento. 
Altura h=d.sen35º onde d é a distância do topo do prédio ao extremo da sombra (a 
hipotenusa no caso). 
790 metros é o tamanho da sombra ou seja 790=d.cos35º 
Então: