Lista de exercícios 1

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Lista de Exercícios 01 de Cálculo Diferencial e Integral IV(2011.1) 
Esta lista de exercícios e todas as que se seguirem visam oferecer material 
complementar para a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral IV. Alguns problemas foram 
extraídos de diversos livros e outros sugeridos pelo próprio monitor que esta lista redige. Ela é 
especialmente interessante para o estudante que não conseguiu adquirir o livro-texto do 
curso, e é do desejo do redator que elas juntamente com as notas de aula do professor 
contribuam com o aprendizado do assunto, que é de suma importância na área de exatas. 
1-(Próprio) Podemos ver a derivação como uma transformação linear? Prove caso esta 
afirmativa seja verdadeira. 
2-(Piskunov vol. II) Demonstre que as funções indicadas, dependentes de constantes 
arbitrárias indicadas pela letra C, satisfazem as equações diferenciais correspondentes: 
a) 
 
 
 
 
 
 . 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3-(Kaplan vol. II) Ache os fatores integrantes de cada uma das seguintes equações diferenciais 
e obtenhas as soluções gerais: 
a) 
 
 
 
 
 
 . 
b) 
c) 
 
 
 
 
 
 
4-(Piskunov vol. II) Ache as soluções das seguintes equações diferenciais lineares: 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
g) 
 
 
 
 
 
 
h) 
i) 
 
 
 
 
 
 
5-(Piskunov vol. II) Resolver os seguintes problemas geométricos, parte integral do problema é 
traduzi-lo para a linguagem das equações diferenciais. 
a) Demonstrar que a curva cujo coeficiente angular de suas retas tangentes em cada 
ponto é proporcional a abcissa do ponto de tangência é uma parábola. 
b) Achar uma curva que passe pelo ponto (0,-2), de tal modo que o coeficiente angular 
das retas tangentes desta curva sejam igual a ordenada correspondente deste ponto 
aumentada de três unidades. 
c) Achar uma curva que passe pelo ponto (1,1) de tal maneira que o coeficiente angular 
de suas retas tangentes em cada ponto seja proporcional ao quadrado da ordenada 
neste ponto. 
d) Demonstrar que a curva cuja propriedade consiste em que todas suas normais passem 
por um ponto fixo é uma circunferência. 
6-(Próprio) Se uma equação puder ser escrita como 
 
 
 
 
 
 , mostre, com cálculos, que a 
substituição 
 
 
 transforma esta equação numa equação linear de primeira ordem. 
Questões de Provas Antigas: 
1-(2008.1) Em cada item abaixo encontre a solução geral da equação diferencial. 
 
a) 
 
 
 
 
 
. (Valia 2,0 pontos) 
b) . (Valia 1,5 pontos) 
c) (Valia 2,0 pontos) 
 
2-(2002.2) Resolve com a substituição 
 
 
 o problema de Cauchy abaixo. (Valia 1,0 pontos) 
 
a) 
 
3-(2002.2) Considere a equação diferencial 
 
a) Encontre a solução geral desta equação. (Valia 1,5 pontos) 
b) Existem soluções da equação acima tais que ? Esta solução pode ser 
única? (Valia 1,0 pontos) 
4-(2006.1) Resolvas as equações diferenciais abaixo: (Valor da questão não informado) 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 .