Algebra Linear_Transformacoes Lineares

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Álgebra Linear 
TRANSFORMAÇÃO LINEAR, 
AUTOVALORES, 
AUTOVETORES, 
FORMAS BILINEARES E 
QUADRÁTICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.: José Fernando Santiago Prates 
Universidade de Franca – UNIFRAN 
Franca - 2013 
 
 
 
 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 2 
 
Conteúdo 
1. Transformações Lineares ...................................................................................................... 4 
1.1. Definição (Transformações Lineares) .................................................................................................. 4 
1.2. Ilustração .............................................................................................................................................. 4 
1.2.1. Exemplos ................................................................................................................................................ 5 
1.3. Núcleo de Transformações Lineares ............................................................................................. 8 
1.3.1. Exemplos ................................................................................................................................................ 8 
1.4. Imagem de Transformações Lineares ........................................................................................ 10 
1.4.1. Exemplos .............................................................................................................................................. 10 
1.5. Teorema ................................................................................................................................................ 11 
1.6. Operações com Transformações Lineares ................................................................................ 13 
1.6.1. Adição ................................................................................................................................................... 13 
1.6.2. Multiplicação de número real por uma transformação linear ................................................... 13 
1.6.3. Exemplos .............................................................................................................................................. 13 
1.7. Composição entre Transformações Lineares ............................................................................ 14 
1.7.1. Exemplos .............................................................................................................................................. 14 
1.8. Matriz de uma Transformação Linear ........................................................................................ 15 
1.8.1. Exemplos .............................................................................................................................................. 16 
2. Operadores Lineares ............................................................................................................. 18 
2.1. Operadores Lineares no Plano ....................................................................................................... 18 
2.1.1. Reflexão em torno do eixo x. .................................................................................................... 18 
2.1.2. Reflexão em torno do eixo y. ..................................................................................................... 18 
2.1.3. Reflexão em torno da origem. ................................................................................................... 18 
2.1.4. Dilatação ou contração ................................................................................................................ 18 
2.1.5. Dilatação ou contração na direção do eixo x ........................................................................ 19 
2.1.6. Dilatação ou contração na direção do eixo y ........................................................................ 19 
2.1.7. Cisalhamento na direção do eixo x .......................................................................................... 20 
2.1.8. Cisalhamento na direção do eixo y .......................................................................................... 20 
2.1.9. Rotação ............................................................................................................................................ 20 
2.2. Operadores Lineares no Espaço ................................................................................................... 21 
2.2.1. Reflexão em torno do plano xy. ................................................................................................ 21 
2.2.2. Reflexão em torno do plano xz. ................................................................................................ 21 
2.2.3. Reflexão em torno do plano yz. ................................................................................................. 21 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
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2.2.4. Reflexão em torno do eixo x. ................................................................................................... 22 
2.2.5. Reflexão em torno do eixo y. .................................................................................................... 22 
2.2.6. Reflexão em torno do eixo z..................................................................................................... 22 
2.2.7. Reflexão em torno da origem. .................................................................................................. 22 
2.2.8. Rotação em torno do eixo z. ..................................................................................................... 23 
2.3. Operador Linear Inversíveis ......................................................................................................... 24 
3. Autovalores e Autovetores ................................................................................................. 25 
3.1. Definição ............................................................................................................................................. 25 
3.1.1. Exemplos ............................................................................................................................................. 26 
4. Formas Lineares, Bilineares e Quadráticas. ................................................................... 30 
4.1. Formas Lineares ............................................................................................................................... 30 
4.1.1. Exemplos ............................................................................................................................................. 30 
4.2. Formas Bilineares ............................................................................................................................. 30 
4.2.1. Exemplos ............................................................................................................................................. 30 
5. Matriz de uma Forma Bilinear .......................................................................................................... 33 
5.1.1. Exemplos ............................................................................................................................................. 33 
5.2. Forma Bilinear Simétrica ............................................................................................................... 36 
5.2.1. Exemplos ............................................................................................................................................. 36 
5.3. Formas Quadráticas ........................................................................................................................
39 
5.3.1. Exemplos ............................................................................................................................................. 39 
5.4. Exercícios Resolvidos ...................................................................................................................... 40 
5.5. Exercícios ........................................................................................................................................... 45 
 
 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
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1. Transformações Lineares 
 
1.1. Definição (Transformações Lineares) 
 
Sejam E1 e E2 dois espaços vetoriais sobre os reais. Uma aplicação T: E1 E2 é uma 
transformação linear de E1 em E2 se, e somente se, T(v) satisfaz as seguintes condições: 
 ( i ) T (u + v) = T (u) + T (v);  u, v  E1 
 ( ii ) T (k v) = k T (v)  v  E1 e  k  R 
 
1.2. Ilustração 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
u1 
u2 
u=(u1, u2, u3) 
u3 
u1 
u2 
u=(u1, u2) 
R3 
R2 
u=(u1, u2, u3) 
 
u=(u1, u2) 
 
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1.2.1. Exemplos 
 
1) Verificar se F: R2  R3 tal que F(x, y) = ( x, x - y, x + y) é uma transformação Linear 
Solução: 
 Devemos mostrar que: 
(a) F(u + v) ? F(u) + F(v)  u = (u1, u2) e v = (v1 , v2)  R
2 
 F(u + v) = F((u1, u2) + (v1, v2)) 
= F(u1 + v1, u2 + v2) 
 = (u1 + v1, (u1 + v1)-(u2 + v2), (u1 + v1) + (u2 + v2 ) 
 = (u1 + v1, u1 + v1 - u2 - v2 , u1 + v1 + u2 + v2 ) 
 
 F(u) + F(v) = F(u1, u2) + F(v1, v2) 
= (u1, u1 – u2, u1 + u2) + (v1, v1 – v2, v1 + v2) 
 = (u1 + v1, u1 – u2 + v1 – v2, u1 + u2 + v1 + v2) 
 
Portanto, F(u + v) = F(u) + F(v) 
 
(b) F(au) ? aF(u)  u = (u1, u2)  R
2 
e  a  R 
 F(au) = F(a(u1, u2)) = F(au1 , au2 ) 
= (au1, au1 - au2, au1 + au2 ) 
 
 aF(u) = aF(u1, u2) = a(u1, u1 - u2, u1 + u2 ) 
= (au1, au1 - au2, au1 + au2 ) 
Portanto, aF(u) = F(au) 
 
Logo F é uma transformação Linear 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
Ilustração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
z 
x 
y 
x 
0 1 2 3 4 
-1 
-2 
1 
2 
3 
4 
-1 -2 -3 -4 
5 
F(3, 2) = (3, 1, 5) 
(3, 2)  (3, 3-2, 3+2) = (3, 1, 
5) 
Iguais 
Iguais 
V
e
r
if
ic
a
r
 
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2) Verificar se F: R2  R3 tal que F(x, y) = ( 2x, 0, x + y) é uma transformação Linear 
 Solução: 
 Devemos mostrar que: 
(c) F(u + v) = F(u) + F(v)  u = (u1, u2) e v = (v1 , v2)  R
2 
F(u + v) = F( (u1, u2) + (v1, v2) ) 
 = F( u1 + v1, u2 + v2 ) 
 = ( 2(u1 + v1), 0 , u1 + v1 + u2 + v2 ) 
 = ( 2u1 + 2v1, 0 , u1 + v1 + u2 + v2 ) 
 = ( 2u1 , 0 , u1 + u2 ) + (2v1 , 0 , v1 + v2 ) 
 = F(u) + F(v) 
 
(d) F(au) = aF(u)  u = (u1, u2)  R
2 
e  a  R 
F(au) = F( a(u1, u2) ) 
 = F( au1 , au2 ) 
 = ( 2(au1), 0 , au1 + au2 ) 
 = ( 2au1 , 0 , au1 + au2 ) 
 = a( 2u1 , 0 , u1 + u2 ) 
 = aF(u) 
 
Logo F é uma transformação Linear 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
3) Sabendo que T: R2  R2 é uma transformação Linear e que T(1, 2) = (3, 1) e T(0, 1) = 
(1, 2). Determine T(x, y). 
 Solução: 
Admitindo que B={(1, 2), (0, 1)} seja uma base de R2, então gera qualquer 
elemento do R2. Determinando as coordenadas de (x, y) em relação a essa base 
temos: 
 
(x, y) = a(1, 2) + b(0, 1) temos que a = x e b = y – 2x. 
 
(x, y) = (x)(1, 2) + (y – 2x)(0, 1) 
 
Aplicando a transformação linear temos: 
 
T(x, y) = (x)T(1, 2) + (y – 2x)T(0, 1) 
T(x, y) = (x)(3, 1) + (y – 2x)(1, 2) 
T(x, y) = (3x, 1x) + (y – 2x, 2y – 4x) 
T(x, y) = (x + y, 2y – 3x) 
 
Logo, T(x, y) = (x + y, 2y – 3x) 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
V
e
r
if
ic
a
r
 
O
b
te
r
 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
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4) Sabendo que T: R3  R2 é uma transformação Linear e que T(1, 0, 0) = (2, 3) e T(0, 1, 0) 
= (-1, 4) e T(0, 0, 1) = (5, -3). Determine T(3, -4, 5). 
 Solução: 
O vetor (3, – 4, 5) pode ser escrito como combinação linear dos vetores 
(1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1), assim: 
 
(3, – 4, 5) = 3(1, 0, 0) + (– 4)(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1). 
 
Então, Aplicando a transformação linear temos: 
 
T(3, – 4, 5) = (3) T(1, 0, 0) + (– 4) T(0, 1, 0) + (5) T(0, 0, 1) 
= (3) (2, 3) + (– 4) (– 1, 4) + (5) (5, – 3) 
= (6, 9) + (4, – 16) + (25, – 15) 
= (35, – 22) 
 
Logo, T(3, – 4, 5) = (35, – 22) 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
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1.3. Núcleo de Transformações Lineares 
 
Sejam E1 e E2 dois espaços vetoriais sobre os reais e T: E1 E2 uma transformação 
linear de E1 em E2. 
Denominamos núcleo da Transformação T ao conjunto Ker(T)={u  E1 tal que T(u) = 0} 
 
1.3.1. Exemplos 
 
1) Obter o núcleo de T: R2  R3 tal que T(x, y) = ( 2x, 0 ). 
Solução: 
Pela definição, Ker(T) = {u = (x, y)  R2 tq T(u) = 0}, ou seja; 
T(u) = (x, y) = 0 
T(u) = ( 2x, 0 ) = (0, 0)  x = 0 e y qualquer. 
 
 Ker(T) = { (0, y) tq y  R }, 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
2) Obter o núcleo de T: R3  R3 tal que T(x, y, z) = ( 2x, 0, y - z ). 
Solução: 
Pela definição, Ker(T) = {u = (x, y, z)  R2 tq T(u) = 0}, ou seja; 
T(u) = T(x, y, z) = 0 
T(x, y, z) = ( 2x, 0, y - z ) = (0, 0, 0)  x = 0 e y = z. 
 
 Ker(T) = { (0, y, y) tq y  R }, 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
3) Obter o núcleo de T: R3  R2 tal que T(x, y, z) = ( x + y, 2x - y + z ). 
Solução: 
Pela definição, Ker(T) = {u = (x, y, z)  R2 tal que T(u) = 0}, ou seja; 
T(u) = T(x, y, z) = 0 
T(x, y, z) = ( x + y, 2x - y + z ) = (0, 0)  x = -y e z = 3y. 
 
 Ker(T) = {(-y, y, 3y) tq y  R }, 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
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4) Obter o núcleo de T: R5  R4 tal que T(a, b, c, d, e) = ( 2a - b, c, d, 3d + e ). 
Solução: 
Pela definição, Ker(T) = {u = (u1, u2, u3, u4, u5)  R
5 tal que T(u) = 0}, ou seja; 
T(u) = T(u1, u2, u3, u4, u5) = 0 
T(u1, u2, u3, u4, u5) = (2u1 - u2, u3, u4, 3u4 + u5) = (0, 0, 0, 0) 
 u3 = 0, u4 = 0, u2 = 2u1 , u5 = - 2u4 
 
 Ker(T) ={(u1, 2u1, 0, 0, u4, -2u4) tq y  R }, 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
5) Obter o núcleo de T: R2x2  R2x2 tal que 














db
ca
T
= 














R d c, b, a, tq 
dc0
0ba
 Solução: 
Pela definição, Ker(T) = {u = 






db
ca  R
2x2 tq T(u) = 0}, ou seja; 
T(u) = 0 
 
00
00
 
dc0
0ba













  a = b e c = -d. 
 
 Ker(T) = {u = 





 
db
db  R
2x2 tq b, d  R} 
 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.4. Imagem de Transformações Lineares 
 
Sejam E1 e E2 dois espaços vetoriais sobre os reais e T: E1 E2 uma transformação 
linear de E1 em E2. 
Denominamos Imagem da Transformação T ao conjunto Im(T) = { T(u) tal que u E1} 
 
1.4.1. Exemplos 
 
1) Obter a Imagem de T: R2  R3 tal que T(x, y) = ( 2x, 0 ). 
 Solução: 
Pela definição, Im(T) = { T(u) tal que u E1}, ou seja; 
 Im(T) = { (2x, 0) tq x  R }, 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
2) Obter a Imagem de T: R3  R3 tal que T(x, y, z) = ( 2x, 0, y - z ). 
 Solução: 
Pela definição, Im(T) = { T(u) tal que u E1}, ou seja; 
 Im(T) = { ( 2x, 0, y - z ).tq x, y, z  R }, 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
3) Obter a Imagem de T: R3  R2 tal que T(x, y, z) = ( x + y, 2x - y + z ). 
 Solução: 
Pela definição, Im(T) = { T(u) tal que u E1}, ou seja; 
  Im(T) = { ( x + y, 2x - y + z ) tq x, y, z  R }, 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
4) Obter a Imagem de T: R2x2  R2x2 tal que 














db
ca
T
= 














R d c, b, a, tq 
dc0
0ba Solução: 
Pela definição, Im(T) = { T(u) tal que u E1}, ou seja; 
 Im(T) = 














R d c, b, a, tq 
dc0
0ba 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
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1.5. Teorema 
 
Sejam E1 e E2 dois espaços vetoriais sobre os reais. Seja B={u1, u2, u3,...,un} uma base de E1 
e v1, v2, v3,...,vn elementos arbitrários de E2. Então existe uma aplicação linear T: E1 E2 
tal que T(u1)= v1, T(u2)= v2, T(u3)= v3,...,T(un)= vn. Esta aplicação é determinada se, e 
somente se: 
i) v = a1.u1 + a2.u2 + a3.u3 +...+ an.un (v é uma combinação linear de B) 
ii) T(v) = a1.T(u1) + a2.T(u2) + a3.T(u3) +...+ an.T(un) 
 
1.5.1. Exemplos 
 
1. Obter a transformação linear T: R2 R3 tal que T(1, 0)= (2, 1, 3) e T(0, 1)= (0, 0, 1). 
 
Solução: 
Temos neste caso B={(1, 0), (0, 1)} base de R2 e v1 = (2, 1, 0) e v2 = (0, 0, 1), 
então existe uma aplicação linear T: R2 R3 tal que, dado v = (x, y) arbitrário, 
v = (x, y) = a1.u1 + a2.u2 
v = (x, y) = a1.(1, 0) + a2. (0, 1)  a1 = x e a2 = y 
(x, y) = [x].(1, 0) + [y].(0, 1) 
Aplicando a transformação linear em ambos os lados da igualdade temos; 
T(x, y) = T( [x].(1, 0) + [y].(0, 1) ) 
T(x, y) = T( [x].(1, 0) ) + T( [y].(0, 1) ) 
T(x, y) = [x]T(1, 0) + [y]T(0, 1) 
T(x, y) = [x](2, 1, 0) + [y](0, 0, 1) 
T(x, y) = (2x, x, 0) + (0, 0, y) 
T(x, y) = (2x, x, y) 
 
2) Sabendo que T: R3  R2 é uma transformação Linear e que T(1, 0, 0) = (2, 3) e T(0, 1, 
0) = (-1, 4) e T(0, 0, 1) = (5, -3). Determine Im(T). 
 Solução: 
O vetor (x, y, z) pode ser escrito como combinação linear dos vetores. 
(1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1), assim: 
(x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1). 
Então, 
T(x, y, z) = (x) T(1, 0, 0) + (y) T(0, 1, 0) + (z) T(0, 0, 1) 
= (x) (2, 3) + (y) (– 1, 4) + (z) (5, – 3) 
= (2x, 3x) + (– y, 4y) + (5z, – 3z) 
= (2x – y + 5z, 3x + 4y – 3z) 
ou seja, a transformação linear T é dada por: 
T:R3 R2 onde T(x, y, z) = (2x – y + 5x, 3x + 4y – 3z). 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
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3) Sabendo que T: R2  R3 é uma transformação Linear e que T(1, 0) = (1, 2, 0) e T(0, 1) = 
(0, 2, 0) Determine Im(T). 
 Solução: 
O vetor (x, y) pode ser escrito como combinação linear dos vetores. 
(1, 0) e (0, 1), assim: 
(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1). 
Então, 
 
T(x, y) = (x) T(1, 0) + (y) T(0, 1) 
 = (x) (1, 2, 0) + (y) (0 1, 1) 
 = (x, 2x, 0) + (0, y, y) 
 = (x, 2x + y, y) 
 
ou seja, a transformação linear T é dada por: 
 
T:R2 R3 onde T(x, y) = (x, 2x + y, y) 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
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1.6. Operações com Transformações Lineares 
 
1.6.1. Adição 
 
Sejam E1 e E2 dois espaços vetoriais sobre os reais e sejam T1: E1 E2 e T2: E1 E2 
transformações lineares de E1 em E2. 
A adição de T1 com T2, representada por T1 + T2 : E1 E2 é definida por (T1 + T2)(u) = 
T1(u) + T2(u),  u  E1 
 
1.6.2. Multiplicação de número real por uma transformação linear 
 
Sejam E1 e E2 dois espaços vetoriais sobre os reais e T : E1 E2 transformação linear 
de E1 em E2. 
A multiplicação de T com k  R, representada por kT : E1 E2 é definida por (kT)(u) = 
kT(u),  u  E1 e  k  R. 
 
1.6.3. Exemplos 
 
1) Sejam T1: R
3  R2 tq T1(x, y, z) = (x, y + z) e T2: R
3  R2 tq T2(x, y, z) = (x + y, 
z). Determine: 
a). T1 + T2 
 Solução: 
(T1 + T2)(u) = T1(u) + T2(u) 
= (x, y + z) + (x + y, z) 
= (2x + y, y + 2z) 
 (T1 + T2)(u) = (2x + y, y + 2z) 
b). 2T1 + 3T2 
 Solução: 
(2T1 + 3T2)(u) = (2)T1(u) + (3)T2(u) 
= (2)(x, y + z) + (3)(x + y, z) 
= (2x, 2y + 2z) + (3x + 3y, 3z) 
= (5x + 3y, 2y + 5z) 
 (2T1 + 3T2)(u) = (5x + 3y, 2y + 2z) 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 14 
 
1.7. Composição entre Transformações Lineares 
 
Sejam E1, E2 e E3 espaços vetoriais sobre os reais e sejam F: E1 E2 e G: E2 E3 
transformações lineares. A composição de F e G, representada por (G 0 F)(u): E1 E3 é 
definida por (G 0 F)(u) = G( F(u) )  u  E1 
 
1.7.1. Exemplos 
 
1. Sejam F: R3 R2 tq F(x, y, z) = (x, y + z) e G: R2 R2 tq G(x, y) = (x + y, y). 
Determine; 
a) (G 0 F)(u) 
Solução: (G 0 F)(u) = G( F(u1, u2, u3 ) ) 
 = G(u1 + u2, u3) 
= (u1 + u2 + u3, u3) 
 (G 0 F)(u) = (u1 + u2 + u3, u3) 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
2. Sejam F: R3 R3 tq F(x, y, z) = (x, 0, y + z) e G: R3 R3 tq G(x, y, z) = (0, x + y + z, 0). 
Determine: 
a) (G 0 F)(u). 
Solução: (G 0 F)(u) = G( F(u1, u2, u3 ) ) = G(u1, 0, u2 + u3) 
= (0, u1 + 0 + u2 + u3, 0) 
 (G 0 F)(u) = (0, u1 + u2 + u3, 0) 
b) (F 0 G)(u). 
Solução: (F 0 G)(u) = F( G(u1, u2, u3 ) ) = F(0, u1 + u2 + u3, 0) 
= (0, 0, u1 + u2 + u3) 
 (G 0 F)(u) = (0, 0, u1 + u2 + u3) 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
3. Sejam F: R2 R3 tq F(x, y) = (x, x + y, y) e G: R3 R4 tq G(x, y, z) = (x + y, x, y, z + y). 
Determine (G 0 F)(u). 
Solução: (G 0 F)(u) = G( F(u1, u2) ) = G(u1, u1 + u2, u2) 
= (2u1 + u2, u1, u1 + u2, u1 + 2u2) 
 (G 0 F)(u) = (2u1 + u2, u1, u1 + u2, u1 + 2u2) 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 15 
 
1.8. Matriz de uma Transformação
Linear 
 
Sejam E1 e E2 dois espaços vetoriais sobre os reais com Dim(E1) = n e Dim(E2) = m 
respectivamente. Consideremos T: E1 E2 a transformação linear de E1 em E2. 
Dada as bases B = {u1, u2, u3,....,un) de E1 e C = {v1, v2, v3,....,vm) de E2, então cada 
transformação T(u1), T(u2), T(u3),....., T(un) pode ser escrito como uma combinação linear dos 
elementos da base C, ou seja; 
T(u1) = a11 v1 + a21 v2 + a31 v3 + a41 v4 +......+ am1 vm 
T(u2) = a12 v1 + a22 v2 + a32 v3 + a42 v4 +......+ am2 vm 
T(u3) = a13 v1 + a23 v2 + a33 v3 + a43 v4 +......+ am3 vm 
T(u4) = a14 v1 + a24 v2 + a34 v3 + a44 v4 +......+ am4 vm 
: : : : : : : 
T(un) = a1n v1 + a2n v2 + a3n v3 + a4n v4 +......+ amn vm 
 
A matriz A = (aij) é chamada de matriz da transformação linear de E1 em E2 em relação 
às bases B e C. 
 
Observação: 
A matriz da transformação linear de E1 em E2 em relação às bases canônicas pode ser 
obtida pelos coeficientes dos componentes do vetor. 
Exemplos: 
1) T(x, y, z) = ( 2z –x + 2y, 6y -2x + 4z, y + z) 
T(x, y, z) = 






















z
y
x
110
462
221
  A =












110
462
221
 
 
2) T(x, y, z) = ( x + y, 2y, y - z) 
T(x, y, z) = 




















 z
y
x
110
010
011
 
  A =










 110
010
011
 
 
3) T(x, y, z) = ( x + 3y, 2y - 5z) 
T(x, y, z) = 

















z
y
x
520
031  A =






520
031 
 
4) T(x, y) = ( 2x - 3y, x + 2y, 7x - 5z) 
T(x, y) = 


















y
x
57
21
32
  A =












57
21
32
 
A = 
















mn3m2m1m
n3333231
n2232221
n1131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa





 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 16 
 
1.8.1. Exemplos 
 
1) Seja T: R3 R2 tq T(x, y, z) = (z, x + y). Determine a matriz da transformação linear de T 
em relação às bases B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} e C = {(1,0), (0, 1)}. 
Solução: Devemos encontrar A = 






232221
131211
aaa
aaa tq 
T(u1) = a11 v1 + a21 v2 
T(1, 1, 1) = a11 (1, 0) + a21 (0, 1)  (1, 2) = a11 (1, 0) + a21 (0, 1) 
  a11 = 1 e a21 = 2 
A = 






??2
??1 
T(u2) = a12 v1 + a22 v2 
T(1, 1, 0) = a12 (1, 0) + a22 (0, 1)  (0, 2) = a12 (1, 0) + a22 (0, 1) 
 a12 = 0 e a22 = 2 
A = 






?22
?01 
T(u1) = a13 v1 + a23 v2 
T(1, 0, 0) = a13 (1, 0) + a23 (0, 1)  (0, 1) = a13 (1, 0) + a23 (0, 1) 
 a13 = 0 e a23 = 1 
 
A = 






122
001 . 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
2) Seja T: R3 R3 tq T(x, y, z) = (2y, x + z, 2y). Determine a matriz da transformação linear 
de T em relação às bases B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} e C = {(1, 0, 0), (0, 1, 
0), (0, 0, 1)} 
Solução: Devemos encontrar A = 










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 tq 
T(u1) = a11 v1 + a21 v2 + a31 v3 
T(1, 1, 1) = a11 (1, 0, 0) + a21 (0, 1, 0) + a31 (0, 0, 1) 
(2, 2, 2) = a11 (1, 0, 0) + a21 (0, 1, 0) + a31 (0, 0, 1)  a11 = 2, a21 = 2, a31 = 2 
A = 










??2
??2
??2
 
T(u2) = a12 v1 + a22 v2 + a32 v3 
T(1, 1, 0) = a12 (1, 0, 0) + a22 (0, 1, 0) + a32 (0, 0, 1) 
(2, 1, 2) = a12 (1, 0, 0) + a22 (0, 1, 0) + a32 (0, 0, 1)  a12 = 2, a22 = 1, a32 = 2 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 17 
 
A = 










?22
?12
?22
 
T(u3) = a13 v1 + a23 v2 + a33 v3 
T(1, 0, 0) = a13 (1, 0, 0) + a23 (0, 1, 0) + a33 (0, 0, 1) 
(2, 0, 2) = a13 (1, 0, 0) + a23 (0, 1, 0) + a33 (0, 0, 1)  a13 = 2, a23 = 0, a33 = 2 
A = 










222
012
222
. 
 
Portanto, a matriz da transformação linear é A = 










222
012
222
. 
 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
3) Seja T: R2 R3 tq T(x, y) = (y, x + y, y). Determine a matriz da transformação linear de T 
em relação às bases B = {(1, 1), (1, 0)} e C = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} 
 Solução: Devemos encontrar A = 










3231
2221
1211
aa
aa
aa
 tq 
T(u1) = a11 v1 + a21 v2  T(1, 1) = a11 (1, 1, 1) + a21 (1, 1, 0) + a31 (1, 0, 0) 
(1, 2, 1) = a11 (1, 1, 1) + a21 (1, 1, 0) + a31 (1, 0, 0)  a11 = 1, a21 = 1, a31 = -1 
 
T(u2) = a12 v1 + a22 v2  T(1, 0) = a12 (1, 1, 1) + a22 (1, 1, 0) + a32 (1, 0, 0) 
(1, 1, 0) = a12 (1, 1, 1) + a22 (1, 1, 0) + a32 (1, 0, 0) a12 = 1, a22 = 0, a32 = 0 
 
Ou seja, A = 










01-
01
11
. 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
 
 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 18 
 
2. Operadores Lineares 
 
2.1. Operadores Lineares no Plano 
 
Seja T: R2  R2 uma transformação linear. 
 
2.1.1. Reflexão em torno do eixo x. 
 
)y,x()y,x(T 
. Essa transformação linear leva 
cada ponto (x, y) para sua imagem (x, -y), simétrica em 
relação ao eixo dos x. 
)y,x(
y
x
10
01
)y,x(T 













 
 
 
2.1.2. Reflexão em torno do eixo y. 
 
)y,x()y,x(T 
. Essa transformação linear leva 
cada ponto (x, y) para sua imagem (-x, y), simétrica em 
relação ao eixo dos y. 
)y,x(
y
x
10
01
)y,x(T 












 
 
 
2.1.3. Reflexão em torno da origem. 
 
)y,x()y,x(T 
. Essa transformação linear 
leva cada ponto (x, y) para sua imagem (-x, -y), simétrica 
em relação origem. 
)y,x(
y
x
10
01
)y,x(T 














 
 
2.1.4. Dilatação ou contração 
 
)ky,kx()y,x(T 
. Essa transformação linear leva cada 
ponto (x, y) para sua imagem (x, -y). 
)ky,kx(
y
x
k0
0k
)y,x(T 












 
 
 
x 
y 
 (x, -y) 
 (x, y) 
-y 
-x x 
y 
(-x, y)   (x, y) 
x 
y 
-x 
(-x, -y)  
 (x, y) 
-y 
 (kx, ky) ky 
y 
kx x 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 19 
 
OBS.: 
Se 
1k 
 T dilata o vetor; 
Se 
1k 
 T contrai o vetor; 
Se 
1k 
 T é a identidade I; 
Se 
0k 
 T troca o sentido do vetor. 
 
2.1.5. Dilatação ou contração na direção do eixo x 
 
)y,kx()y,x(T 
. 
Essa transformação linear leva 
cada ponto (x, y) para sua imagem 
(kx, y), k >0. 
)y,kx(
y
x
10
0k
)y,x(T 












 
 
 
Essa transformação é também 
chamada dilatação ou contração na direção 0x (ou horizontal) de um fator . 
OBS.: 
Se 
1k 
 T dilata o vetor; 
Se 
1k0 
 T contrai o vetor; 
 
2.1.6. Dilatação ou contração na direção do eixo y 
 
)y,kx()y,x(T 
. Essa transformação linear
leva cada ponto 
(x, y) para sua imagem (x, ky), k >0. 
)ky,x(
y
x
k0
01
)y,x(T 












 
 
 
OBS.: Se, nesse caso, fizermos 
0
, teríamos 
)0,x()y,x(T 
 e 
T seria a projeção ortogonal do plano sobre o eixo dos x. 
 
 
 
 
 
 
(
2
1
x, y) 
0 
y 
x 
2
x
 2x 3x 
(x, y) (2x, y) (3x, y) 
(x, 
2
1
y) 
0 
y 
x 
2
y 
2y 
(x, y) 
(x, 2y) 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 20 
 
2.1.7. Cisalhamento na direção do eixo x 
 
Essa transformação particular é 22 RR:T  tal que 
)y,ykx()y,x(T 
. 
)y,kyx(
y
x
10
k1
)y,x(T 












 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1.8. Cisalhamento na direção do eixo y 
 
Essa transformação particular é 22 RR:T  tal que 
)ykx,x()y,x(T 
. 
)ykx,x(
y
x
1k
01
)y,x(T 












 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1.9. Rotação 
 
A rotação do plano em torno da origem (Figura abaixo), 
que faz cada ponto descrever um ângulo , determina uma 
transformação linear 
22: RRT 
 cuja matriz canônica é 








 cossen
sencos
]T[
 
As imagens dos vetores 
)0,1(1 e
 e 
)1,0(2 e
. 
Exemplo: Obtenha a imagem do vetor 
)2,4(v

 pela rotação 
2/ 
. 
Solução: 

















 















4
2
2
4
01
10
2
4
2/cos2/sen
2/sen2/cos
)]2,4(T[
 
 
(x, y) 
x 
y 
x+ky x 
y 
(x+ky, y) 
(x, y) 
x 
y 
kx+ y 
(x, y) 
x 
y 
(x, kx+ y) 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 21 
 
2.2. Operadores Lineares no Espaço 
 
Seja T: R3  R3 uma transformação linear. 
 
2.2.1. Reflexão em torno do plano xy. 
 
)z,y,x()z,y,x(T 
. 
)z,y,x(
z
y
x
100
010
001
)z,y,x(T 






















 
 
 
 
 
 
 
2.2.2. Reflexão em torno do plano xz. 
 
)z,y,x()z,y,x(T 
. 
)z,y,x(
z
y
x
100
010
001
)z,y,x(T 





















 
 
 
 
2.2.3. Reflexão em torno do plano yz. 
 
)z,y,x()z,y,x(T 
. 
)z,y,x(
z
y
x
100
010
001
)z,y,x(T 





















 
 
 
z 
x 
y 
y 
z 
x 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 22 
 
2.2.4. Reflexão em torno do eixo x. 
 
)z,y,x()z,y,x(T 
. 
)z,y,x(
z
y
x
100
010
001
)z,y,x(T 






















 
 
 
 
 
 
2.2.5. Reflexão em torno do eixo y. 
 
)z,y,x()z,y,x(T 
. 
)z,y,x(
z
y
x
100
010
001
)z,y,x(T 























 
 
2.2.6. Reflexão em torno do eixo z. 
 
)z,y,x()z,y,x(T 
. 
)z,y,x(
z
y
x
100
010
001
)z,y,x(T 























 
 
2.2.7. Reflexão em torno da origem. 
 
)z,y,x()z,y,x(T 
. 
)z,y,x(
z
y
x
100
010
001
)z,y,x(T 
























 
 
 
 
z 
y 
x 
z 
y 
x 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 23 
 
2.2.8. Rotação em torno do eixo z. 
 
)z,cosyxsen,ysencosx()z,y,x(T 
. 























z
y
x
100
0cossen
0sencos
)z,y,x(T
 
OBS: 
: é o ângulo corresponde de rotação em torno do eixo z, 
formando a circunferência de centro 
O
. 
: é o ângulo formado pelos vetores 
).v(Tev
 
Exemplos: 
1) Dado o vetor 
)3,0,3(v 
obter: 
a) O vetor resultante da rotação com ângulo 
 180
. 
b) O ângulo entre o vetor dado e o vetor resultante. 
Solução: 
a) 



















 

3
0
3
100
0180cos180sen
0180sen180cos
)3,0,3(T)v(T )3,0,3( 
b) 
23|v| 
 
23|)v(T| 
 
0)v(Tv 
 
90)
)v(T|.|v|
)v(Tv
(cos 1 

 
 
2) Dado o vetor 
)3,2,1(v 
obter: 
a) O vetor resultante da rotação com ângulo 
 90
. 
b) O ângulo entre o vetor dado e o vetor resultante. 
Solução: 
a) 



















 

3
2
1
100
090cos90sen
090sen90cos
)3,2,1(T)v(T )3,1,2( 
b) 
14|v| 
 
14|)v(T| 
 
9)v(Tv 
 
º98,49)
)v(T|.|v|
)v(Tv
(cos 1 

 
 
 
 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 24 
 
2.3. Operador Linear Inversíveis 
 
Um operador T: V  V associa a cada vetor 
Vv 
 um vetor 
V)v(T 
. Se por meio de 
outro operador S: V  V for possível inverter essa correspondência, de tal modo que a cada vetor 
transformado 
)v(T
 se associe o vetor de partida 
v
, diz-se que 
)v(S
é operador inverso de T, e se 
indica por 1T  . 
Se 
]T[
é uma matriz da transformação linear (com relação a base canônica) admitir inversa 
(Determinante de 
]T[
 diferente de zero), então a transformação linear inversa é dada por 
v]T[)v(T 11  
 
7.1.2.1 Propriedades dos Operadores Inversíveis 
Seja T: V  V um operador linear. 
I) Se T é inversível e 1T  é seu inverso, então: 
).identidade(ITTTT 11   
 
II) T é inversível se, e somente se, 
}0{)T(N


. 
III) Se T é inversível, T transforma base em base, isto é, se B é uma base de V, T(B) também é 
base de V. 
IV) Se T é inversível e B uma base de V, então 
VV:T 1 
 é linear e: 
1
BB
1 )]T([]T[  
, isto é, a matriz do operador linear inverso numa certa base B é a inversa 
da matriz do operador T nessa mesma base. 
 
Exemplo 
Seja o operador linear em 2R definido por: T(x, y) = (4x - 3y, -2x + 2y). 
a) Mostrar que T é inversível . 
b) Encontrar uma regra para 1T  como a que define T. 
Solução: 
a) A matriz canônica de T é 









22
34
]T[
. Como det [T] = 2  0, T é inversível. 
b) 

















21
1
22
34
]T[]T[ 2
31
11
 
Logo: 


























 
y2x
yx
y
x
21
1
y
x
]T[)]y,x(T[ 2
3
2
3
11
 ou 
)y2x,yx()y,x(T
2
31 
 
 
 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 25 
 
3. Autovalores e Autovetores 
 
3.1. Definição 
 
Sejam E1 e E2 dois espaços vetoriais sobre os reais e T: E1 E2 uma transformação 
linear especial de E1 em E2. 
T(v) = v (I) 
Onde,  é o autovalor (escalar) e v é autovetor (se v 

 0). 
Como toda transformação linear pode ser escrita pela multiplicação de uma matriz por um 
vetor então: 
T(v) = Av, ou seja; 

















































nnnnnn
n
n
n
n x
x
x
x
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
x
x
x
x
T







3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
3
2
1
 (II) 
Igualando (I) e (II), tem-se Av = v ou Av – v = 0 que resulta no sistema homogêneo: 
 
(A – I)v = 0 
 


















































































0
0
0
0
1100
0100
0010
0001
3
2
1
321
3333231
2232221
1131211











nnnnnn
n
n
n
x
x
x
x
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
 (III) 
 
Onde A é uma matriz de ordem n, v = 0 é sempre solução (trivial). 
 Os vetores v 

 0 para os quais existe um  que resolve a equação (III) são chamados de 
autovetores da matriz A e os valores de , que conjuntamente com v resolvem à equação são 
chamados de autovalores da matriz A associados aos respectivos auto vetores. 
 Para que a equação (III) tenha solução além da trivial é necessário que o determinante da 
matriz dos coeficientes seja zero, ou seja, Det(A – I) = 0, o que resulta em um polinômio de grau 
n em , conhecido como polinômio característico. As raízes do polinômio característico são os 
autovalores da matriz A. 
 Para se encontrar os autovetores basta substituir o valor do autovalor na equação original 
e encontrar o autovetor. O autovalor será, então, associado ao autovetor encontrado. 
 Na verdade, o autovetor encontrado forma uma base para o espaço de solução da equação 
(III), dado o respectivo autovalor. Logo, qualquer múltiplo do autovetor também é um autovetor. 
 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 26 
 
3.1.1. Exemplos 
 
1) Considere a transformação linear T : R2 

 R2 tal que T(x, y) = (5x + y, 2x + 4y) e o 
vetor v = (1, 1), então temos; 
T(1, 1) = (5(1) + (1), 2(1) + 4(1)) 
T(1, 1) = (6, 6) 
T(1, 1) = 6(1, 1) 
Logo,  = 6 é um auto valor e v = (1, 1) um auto vetor associado. 
 
2) Considere a transformação linear T : R2 

 R2 tal que 














y
x
.
12
14
y)T(x,
 
e o vetor v 
= (-1, 2), então temos; 
)4,2(
2
1-
.
12
14
T(-1,2) 













 
T(-1, 2) = 2(-1, 2) 
Logo,  = 2 é um autovalor e v = (-1, 2) um autovetor associado. 
 
3) Considere a transformação linear T : R3 

 R3 tal que 


































z
y
x
.
311
151
113
z
y
x
T
 
e o 
vetor v = (1, -1, 1), então temos; 
)5,5,5(
1
1-
1
.
311
151
113
T(1,-1,1) 
























 
T(1, -1, 1) = 5(1, -1, 1) 
 
Logo,  = 5 é um autovalor e v = (1, -1, 1) um auto vetor associado. 
 
4) Determinar os auto valores e auto vetores da transformação linear T : R3 

 R3 tal que 
T(x, y, z) = (3x + y + z, x + 5y + z, x + y + 3z) 
Solução: 
 Para escrevermos a transformação linear na forma matricial faremos: 































z
y
x
.
311
151
113
z
y
x
T
 
Onde; 
(3x + y + z, x + 5y + z, x + y + 3z) = (3x, x, x) + (y, 5y, y) + (z, z, 3z) 
 = x(3, 1, 1) + y(1, 5, 1) + z(1, 1, 3) 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 27 
 




-311
1-51
11-3
I]-det[A
 = -3 + 112 - 36 + 36 = 0 
Como não temos uma regra para calcular as raízes de -3 + 112 - 36 + 36 = 0, vamos colocar 
valores para calcular as raízes, ou seja; 
 
 = 0  -(0)3 + 11(0) 2 – 36(0) + 36 = 36  36 > 0 
 = 1  -(1)3 + 11(1) 2 – 36(1) + 36 = -10  -10 < 0 
 = 2  -(2)3 + 11(2) 2 – 36(2) + 36 = 0  0 = 0  logo 1 = 2 (achei !) 
 
Dividindo -3 + 112 - 36 + 36 = 0 por ( – 2) temos; 
-3 + 112 - 36 + 36 = ( – 2) (2 - 9 + 18) = 0  1 = 2, 2 = 6 e 3 = 3 
 
Portanto, os autovalores são 1 = 2, 2 = 6 e 3 = 3. 
 
Para o cálculo dos auto vetores basta substituir cada um dos autovalores na equação (A – I) v 
= 0 


































0
0
0
z
y
x
-311
1-51
11-3
 
Para 1 = 2: 































0
0
0
z
y
x
111
131
111
  








0zyx
0zy3x
0zyx
 
Que resulta em y = 0 e: 
a) z = - x. Logo, v1 = (x, 0, -x) = x(1, 0, -1) 
a) x = - z. Logo, v1 = (-z, 0, z) = z(-1, 0, 1) 
 
Assim, qualquer múltiplo do vetor (1, 0, -1) é um auto vetor que tem como autovalor 
associado 1 = 2, v1 = (1, 0, -1) 
 
Para 2 = 3: 































0
0
0
z
y
x
011
121
110
  








0yx
0zy2x
0zy
 
 
Que resulta em x = -y e z = -y. Logo, v2 = (-y, y, -y) = y(-1, 1, -1) 
Assim, qualquer múltiplo do vetor (-1, 1, -1) é um autovetor que tem como autovalor 
associado 2 = 3, v2 = (-1, 1, -1) 
 
 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 28 
 
Para 3 = 6: 































0
0
0
z
y
x
3-11
11-1
113-
  








0z3yx
0zyx
0zyx3
 
Que resulta em x = z e y = x + z. Logo, v3 = (z, 2z, z) = z(1, 2, 1) 
 
Assim, qualquer múltiplo do vetor (1, 2, 1) é um autovetor que tem como autovalor 
associado 3 = 6, v3 = (1, 2, 1) 
 
Observações: 
 Se  é um autovalor de A, o conjunto S de todos os vetores v  V, inclusive v nulo, 
associados a , é um subespaço vetorial (próprio) de V. 
 A matriz dos auto vetores é chamada MATRIZ MODAL. 
 
5) Determinar os auto valores e auto vetores da transformação linear T: R2 

 R2 tal que 
T(x, y) = (x + 3y, x - y) 
Solução: 
 Para escrevermos a transformação linear na forma matricial faremos: 



















y
x
.
y
x
T
11
31 
Onde (x + 3y, x - y) = (x, x) + (3y, - y) 
 = x(1, 1) + y(3, - 1) 


11
31 = (1 - )(-1 - ) - 3 = 0  
2 - 4 = 0  1 = -2, 2 = 2 
Portanto, os autovalores são 1 = -2, 2 = 2 
Para o cálculo dos autovetores, basta substituir cada um dos autovalores na equação (A – I) v 
= 0 




















0
0
11
31
y
x
.
 
Para 1 = -2: 


















0
0
11
33
y
x
.
 
Que resulta em x = - y. Logo, v1 = (- y, y) = y(-1, 1) 
Assim, qualquer múltiplo do
vetor (-1, 1) é um autovetor que tem como autovalor 
associado 1 = -2 , v1 = (-1, 1) 
 
Para 2 = 2: 




















0
0
31
31
y
x
.
 
Que resulta em x = 3y. Logo, v1 = (3y, y) = y(3, 1) 
Assim, qualquer múltiplo do vetor (3, 1) é um autovetor que tem como autovalor 
associado 2 = 2 , v1 = (3, 1) 
 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 29 
 
6) Determinar os auto valores e auto vetores da transformação linear T: R2 

 R2 tal que 
T(x, y) = (y, x) 
Solução: 
 Para escrevermos a transformação linear na forma matricial faremos: 


















y
x
.
01
10
y
x
T
 
 
Onde (y, x) = (0, x) + (y, 0) = x(0, 1) + y(1, 0) 
 


01
10 = 
2 - 1 = 0  1 = -1, 2 = 1 
 
Portanto, os autovalores são 1 = -1, 2 = 1 
 
Para o cálculo dos autovetores, basta substituir cada um dos autovalores na equação (A – I) v 
= 0 




















0
0
y
x
.
1
0 
Para 1 = -1: 


















0
0
y
x
.
10
01 
Que resulta em x = 0, y = 0. Logo, v1 = (0, 0) 
Para 2 = 1: 




















0
0
y
x
.
10
01 
 Que resulta em x = 0, y = 0. Logo, v2 = (0, 0) 
 
 Neste caso, o único autovetor associado é dada por v = (0, 0). 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
7) Determinar os valores e vetores próprios das transformação linear abaixo; 
a) T: R2 

 R2 tal que T(x, y) = (4x + y, 3x + 2y) 
b) T: R2 

 R2 tal que T(x, y) = (4x + y, 3x - 2y) 
c) T: R2 

 R2 tal que T(x, y) = (3x + 3y, 2x + 4y) 
d) T: R2 

 R2 tal que T(x, y) = (8x - y, 5x + 2y) 
e) T: R3 

 R3 tal que T(x, y, z) = (3x + z, 2x + 2y + 2z, 4x + 2y + 5z) 
f) T: R3 

 R3 tal que T(x, y, z) = (3x, -x + 2y - z, -y + 2z) 
g) T: R3 

 R3 tal que T(x, y, z) = (4x – 2y, x + y, -y + 2z) 
 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 30 
 
4. Formas Lineares, Bilineares e Quadráticas. 
 
4.1. Formas Lineares 
 
 Seja V um espaço vetorial sobre R. 
Uma Forma Linear é uma transformação linear L: V  R. 
 
4.1.1. Exemplos 
 
1: L: R R tal que L(x) = 2x. 
2: L: R2 R tal que L(x, y) = x + y. 
3: L: R3 R tal que L(x, y, z) = 2x + y – z. 
4: L: R2x2 R tal que 














db
ca
L
 = ab + c – d. 
 
4.2. Formas Bilineares 
 
 Sejam U e V espaços vetoriais sobre R. 
Uma aplicação B: UxVR onde (v, w)  B(v, w), para u  U e w  V é uma Forma 
Bilinear se, e somente se, 
a). B(v1 + v2, w) = B(v1, w) + B(v2, w) 
b). B(v, w) = B(v, w) 
c). B(v, w1 + w2 ) = B(v, w1) + B(v + w2) 
d). B(v, w) = B(v, w) 
 
4.2.1. Exemplos 
 
1) B: RxR  R tal que (u, v)  B(u, v) = u.v 
Solução 
 x, y, z  R. 
a). B(x + y, z) = (x + y)z = x.z + y.z = B(x, z) + B(y, z) 
b). B(.x, y) = .x.y = .B(x, y) 
c). B(x, y + z) = x.(y + z) = x.y + x.z = B(x, y) + B(x, z) 
d). B(x, y) = .x.y = .B(x, y) 
 
Portanto, B(x, y) = x.y é uma forma Bilinear. 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 31 
 
2) B: R2xR2  R tal que ((u1, u2), (v1, v2))  B((u1, u2), (v1, v2)) = u1.v1 – 2u2.v2 
Solução 
x = (x1, x2), y = (y1, y2) e z = (z1, z2)  R
2,   R 
a). B( x + y, z ) = B( (x1, x2) + (y1, y2), (z1, z2) ) 
= B( (x1 + y1, x2 + y2), (z1, z2) ) 
= (x1 + y1)z1 - 2(x2 + y2)z2 
= x1z1 + y1z1 - 2x2z2 - 2y2z2 
= x1z1 - 2x2z2 + y1z1 - 2y2z2 
= B((x1, x2), (z1, z2)) + B((y1, y2), (z1, z2)) 
= B(x, z) + B(y, z) 
 
b). B(.x, y) = B( .(x1, x2), (y1, y2) ) 
 = B( (.x1, .x2), (y1, y2) ) 
= .x1.y1 - 2.x2.y2 
= ( x1.y1 - 2x2.y2 ) 
=  B( (x1, x2), (y1, y2) ) 
= .B(x, y) 
 
c). B( x, y + z ) = B( (x1, x2), (y1, y2) + (z1, z2) ) 
= B( (x1, x2), (y1 + z1, y2 + z2) ) 
= x1.(y1 + z1) - 2x2.(y2 + z2) 
= x1.y1 - 2x2.y2 + x1.z1 - 2x2.z2 
= B((x1, x2), (y1, y2)) + B((x1, x2), (z1, z2)) 
= B( x, y) + B(x, z) 
 
d). B(x, .y) = B( (x1, x2), .(y1, y2) ) 
 = B( (x1, x2), (.y1, .y2) ) 
= .x1.y1 - 2.x2.y2 
= ( x1.y1 - 2x2.y2 ) 
= .B( (x1, x2), (y1, y2) ) 
= .B(x, y) 
 
Portanto, B(x, y) é uma forma Bilinear. 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 32 
 
3) B: R2xR  R tal que ((u1, u2), k)  B((u1, u2), k) = ku1 + ku2 
Solução 
x = (x1, x2), y = (y1, y2)  R
2, a, b,   R 
a). B( x + y, a ) = B( (x1, x2) + (y1, y2), a ) 
= B( (x1 + y1, x2 + y2), a ) 
= a(x1 + y1) + a(x2 + y2) 
= ax1 + ay1 + ax2 + ay2 
= ax1 + ax2 + ay1 + ay2 
= ax1 + ax2 + ay1 + ay2 
= B( (x1, x2), a) + B((y1, y2), a ) 
= B( x, a) + B( y, a) 
 
b). B(.x, a) = B( .(x1, x2), a ) 
 = B( (.x1, .x2), a ) 
= .x1.a - .x2.a 
= .(x1.a - x2.a) 
= .B( (x1, x2), a) 
= .B( x, a) 
 
c). B( x, a + b ) = B( (x1, x2), a + b ) 
= x1.(a + b) + x2(a + b) 
= x1.a + x1.b + x2.a + x2.b 
= x1.a + x2.a + x1.b + x2.b 
= B( (x1, x2), a) + B((x1, x2, b) 
= B( x, a) + B(x, b) 
 
d). B(x, .a) = B( (x1, x2), .a ) 
= .x1.a - .x2.a 
= .(x1.a - x2.a) 
= .B( (x1, x2), a) 
= .B( x, a) 
 
Portanto, B(x, y) é uma forma Bilinear. 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 33 
 
5. Matriz de uma Forma Bilinear 
 
 Sejam U e V espaços vetoriais sobre R, B: UxVR uma forma bilinear. 
Sejam CU = (u1, u2,..., um) e CV = (v1, v2,..., vn) bases de U e V respectivamente. 
A matriz 
 
CB
, chamada matriz da forma bilinear em relação às bases U e V. 
 

















)v,B(u)v,B(u)v,B(u)v,B(u
)v,B(u)v,B(u)v,B(u)v,B(u
)v,B(u)v,B(u)v,B(u)v,B(u
)v,B(u)v,B(u)v,B(u)v,B(u
B
nm3m2m1m
n3332313
n2322212
n1312111
C





 
Se x e y podem ser escritos como uma combinação linear das bases CU = (u1, u2,..., um) e 
CV = (v1, v2,..., vn) respectivamente, então; 
v = x1u1 + x2u2 + ... + xnun e w = y1v1 + y2v2 + ... + ynvn 
Onde x = (x1, x2,..., xn) e y = (y1, y2,..., yn) são respectivamente as coordenadas de v e w 
em relação à base C, então a forma bilinear pode ser escrita como: 
  yBxy)B(x, C 
T
 
5.1.1. Exemplos 
 
1. Obter a matriz da forma bilinear B: R2 x R2  R para B( (x1, x2), (y1, y2) ) = - 
x1y1 + 2y1x2 + 5x2y2, em relação à base C = {(1, 0), (0, 1)} do R
2. 
Solução: B(v1, v1) = B( (1, 0), (1, 0) ) = -1 
B(v1, v2) = B( (1, 0), (0, 1) ) = 0 
B(v2, v1) = B( (0, 1), (1, 0) ) = 2 
B(v2, v2) = B( (0, 1), (0, 1) ) = 5 
  






)v,B(v)v,B(v
)v,B(v)v,B(v
B
2212
2111
C
, 
  












52
01
(0,1))B((0,1),(1,0))B((0,1),
(0,1))B((1,0),(1,0))B((1,0),
B C
 
Então, B(x, y) = 
  











2
1
21 y
y
.
52
01
.xx
 = - x1y1 + 2y1x2 + 5x2y2, 
 ---------------------------------------------------------------------------------------------
F i m  
 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 34 
 
2. Obter a matriz da forma bilinear B: R3 x R3  R para B( (x1, x2, x3), (y1, y2, y3) ) 
= x1.y1 + x2.y2 + x3.y3 em relação à base Canônica C3 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 
1)}. 
Solução: B(v1, v1) = B((1, 0, 0), (1, 0, 0)) = 1 
B(v1, v2) = B((1, 0, 0), (0, 1, 0)) = 0 
B(v1, v3) = B((1, 0, 0), (0, 0, 1)) = 0 
B(v2, v1) = B((0, 1, 0), (1, 0, 0)) = 0 
B(v2, v2) = B((0, 1, 0), (0, 1, 0)) = 1 
B(v2, v3) = B((0, 1, 0), (0, 0, 1)) = 0 
B(v3, v1) = B((0, 0, 1), (1, 0, 0)) = 0 
B(v3, v2) = B((0, 0, 1), (0, 1, 0)) = 0 
B(v3, v3) = B((0, 0, 1), (0, 0, 1)) = 1 
 
 











)v,B(v)v,B(v)v,B(v
)v,B(v)v,B(v)v,B(v
)v,B(v)v,B(v)v,B(v
B
332313
322212
312111
C
  











100
010
001
B C
 
 
Então, B(x, y) =  




















3
2
1
T
321
y
y
y
.
100
010
001
. x ,x ,x
 = x1.y1 + x2.y2 + x3.y3 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
3. Obter a matriz de B:R3xR2R para B((x1, x2, x3),(y1, y2))= x1y1 + y1x2 + x2y2 + 
x3y2, em relação à base C3 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e C2 = {(1, 0), (0, 1)} 
Solução: B(u1, v1) = B((1, 0, 0), (1, 0)) = 1 
B(u1, v2) = B((1, 0, 0), (0, 1)) = 0 
B(u2, v1) = B((0, 1, 0), (1, 0)) = 1 
B(u2, v2) = B((0, 1, 0), (0, 1)) = 1 
B(u3, v1) = B((0, 0, 1), (1, 0)) = 0 
B(u3, v2) = B((0, 0, 1), (0, 1)) = 1 
 











)v,B(u)v,B(u
)v,B(u)v,B(u
)v,B(u)v,B(u
B
2313
2212
2111
C
,  











10
11
01
B C
 
Então, B(x, y) =   















2
1T
321 y
y
.. x ,x ,x
10
11
01
 = x1y1 + y1x2 + x2y2 + x3y2, 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 35 
 
4. Obter a matriz da forma bilinear B: R3 x R3  R para B(x, y) = B( (x1, x2, x3), (y1, 
y2, y3) ) = 3x1.y2 - 2x2.y3 + 5x3.y2 + x2.y1 em relação à base C3 = {(1, 0, 0), (0, 1, 
0), (0, 0, 1)} 
Solução: B(v1, v1) = 0, B(v1, v2) = 3, B(v1, v3) = 0, B(v2, v1) = 1, B(v2, v2) = 0 
B(v2, v3) =-2, B(v3, v1) = 0, B(v3, v2) = 5, B(v3, v3) = 0 
 
 











)v,B(v)v,B(v)v,B(v
)v,B(v)v,B(v)v,B(v
)v,B(v)v,B(v)v,B(v
B
332313
322212
312111
C
  











050
201
030
B C
 
 
Então, B(x, y) =  





















3
2
1
T
321
y
y
y
.
050
201
030
. x ,x ,x
 = 3x1.y2 - 2x2.y3 + 5x3.y2 + x2.y1 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 36 
 
5.2. Forma Bilinear Simétrica 
 
 Seja V espaço vetorial sobre R, 
Uma aplicação B: VxVR onde (v, v)  B(v, v), para v  V é uma Forma Bilinear 
simétrica se, e somente se B(x, y) = B(y, x),  x, y  V. 
 
Teorema 
Forma Bilinear B: VxVR onde (v, v)  B(v, v), para v  V é simétrica se e 
somente se a matriz 
 
CB
 é uma matriz simétrica em relação a base V. 
 
5.2.1. Exemplos 
 
1. Verificar se B: R2 x R2  R para B( (x1, x2), (y1, y2) ) = x1y1 + 2x2y1 + 2x1y2 + x2y2, 
é uma forma bilinear simétrica usando a propriedade B(x, y) = B(y, x),  x, y  V 
Solução: 
Para  u, v  R2, temos u = (u1, u2) e v = (v1, v2). 
 
B(u, v) = B( (u1, u2), (v1, v2) ) = - u1v1 + 2u2v1 + 2u1v2 + u2v2, 
 
B(v, u) = B( (v1, v2), (u1, u2) ) = - v1u1 + 2v2u1 + 2v1u2 + v2u2, 
 
 B: R2 x R2  R é uma forma bilinear simétrica 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
2. Verificar se forma bilinear B: R2 x R2  R para B( (x1, x2), (y1, y2) ) = - x1y1 + 
3x2y1 + 3x1y2 + 2x2y2, é uma forma bilinear simétrica. 
Solução: 
 1ª Maneira de provar (através da álgebra); 
Pela igualdade B(u, v) = B(v, u),  u, v  R2. Se u = (u1, u2) e v = (v1, v2) 
 
B(u, v) = B( (u1, u2), (v1, v2) ) = - u1v1 + 3u2v1 + 3u1v2 + 2u2v2, 
 
B(v, u) = B( (v1, v2), (u1, u2) ) = - v1u1 + 3v2u1 + 3v1u2 + 2v2u2, 
 
 B: R2 x R2  R é uma forma bilinear simétrica 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 37 
 
2ª Maneira de provar (através da matriz); 
Podemos provar pela matriz de B( (x1, x2), (y1, y2) ) = - x1y1 + 3x2y1 + 3x1y2 + 2x2y2, em 
relação à base C = {(1, 0), (0, 1)} do R2. 
B(v1, v1) = -1, 
B(v1, v2) = 3, 
B(v2, v1) = 3, 
B(v2, v2) = 2 
Então, 
  












2
1
21 y
y
.
23
31
.xxy)B(x,
 = - x1y1 + 3x2y1 + 3x1y2 + 2x2y2, 
 
 B: R2 x R2  R é uma forma bilinear simétrica 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
3. Obter a matriz da forma bilinear B: R3 x R3  R para B(x, y) = x1y1 + 2x2y2 + 
3x3y3 + x2y1 + x1y2, em relação à base Canônica. 
Solução: 
B(v1, v1) = 1, 
B(v1, v2) = 1, 
B(v1, v3) = 0, 
B(v2, v1) = 1 
B(v2, v2) = 2, 
B(v2, v3) = 0, 
B(v3, v1) = 0, 
B(v3, v2) = 0 
B(v3, v3) = 3 
Então, 
B(x, y) =  




















3
2
1
T
321
y
y
y
.
300
021
011
. x ,x ,x
 = x1y1 + 2x2y2 + 3x3y3 + x2y1 + x1y2 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 38 
 
4. Obter a matriz da forma bilinear B: R3 x R3  R para B(x, y) = 2x1y1 - x2y2 + 
2x3y3 + 3x2y1 + 3x1y2 - 3x1y3 - 3x3y1, em relação à base Canônica. 
Solução: 
B(v1, v1) = 2, 
B(v1, v2) = 3, 
B(v1, v3) = -3, 
B(v2, v1) = 3 
B(v2, v2) = -1, 
B(v2, v3) = 0, 
B(v3, v1) = -3, 
B(v3, v2) = 0 
B(v3, v3) = 2 
Então, B(x, y) =  




















3
2
1
T
321
y
y
y
.
203-
01-3
3-32
. x ,x ,x
 = 2x1y1 - x2y2 + 2x3y3 + 3x2y1 
+ 3x1y2 - 3x1y3 - 3x3y1 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 39 
 
5.3. Formas Quadráticas 
 
Seja V um espaço vetorial real. 
Dada uma forma bilinear simétrica B: VxVR, definimos uma função Q: V  R, 
por Q(v) = B(v, v), chamada de forma quadrática associada à forma bilinear B. 
  vBvQ(v) AA
T
 
5.3.1. Exemplos 
 
1. Obter a matriz da forma quadrática Q: R2  R onde Q(x) = x2 – 10xy + y2. 
Solução: 
Sabendo que a forma quadrática para R2 é dada pela matriz 







cb
ba
QC
, 
Então, Q(x) = 
  











y
x
.
cb
ba
.yx
 = ax2 + 2bxy + y2, logo, a = 1, b = -5 e c = 1 







15-
5-1
QC
 
Tirando a prova Q(x) = 
  











y
x
.
15-
5
.yx
1 = x
2 – 10xy + y2 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
2. Obter a matriz da forma quadrática Q: R3  R onde Q(x) = 3x2 + 2xy + 5yz + 
4y2. 
Solução: 
Sabendo que a forma quadrática para R2 é dada pela matriz 











fec
edb
cba
QC
, 
Então, Q(x) =  




















z
y
x
.
fec
edb
cba
.z y,x, T
 = ax2 + dy2 + fz2 + 2bxy + 2cxz + 2eyz 
logo, a = 3, b = 1, c = 0, d = 4, e = 2,5, f = 0 











02,50
2,541
013
QC
 
Tirando a prova 
Q(x) =  




















z
y
x
.
02,50
2,541
013
.z y,x, T
= ax2 + dy2 + fz2 + 2bxy + 2cxz + 2eyz 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 40 
 
5.4. Exercícios Resolvidos 
 
1) Verificar se T: R2  R3 tal que T(x, y) = (x, x - y, 3y) é uma transformação Linear. 
Solução: 
(a) F(u + v) = F(u) + F(v)  u = (u1, u2) e v = (v1 , v2)  R
2 
F(u + v) = F( (u1, u2) + (v1, v2) ) 
= F( u1 + v1, u2 + v2 ) 
= ( u1 + v1, u1 + v1 – u2 - v2 , 3u2 + 3v2) 
F(u) + F(v) = F(u1, u2) + F(v1, v2) 
= ( u1, u1 – u2, 3u2 ) + ( v1, v1 – v2, 3v2 ) 
 = ( u1 + v1, u1 + v1 – u2 - v2 , 3u2 + 3v2) 
F(u + v) = F(u) + F(v) 
 
(b) F(ku) = kF(u)  u = (u1, u2)  R
2 e k  R2 
F(ku) = F( k(u1, u2) ) 
= F( ku1 , ku2 ) 
= ( ku1 , ku1 – ku2, 3ku2) 
kF(u) = kF( (u1, u2) ) 
= k(u1 , u1 – u2, 3u2) 
= ( ku1 , ku1 – ku2, 3ku2) 
F(ku) = kF(u) 
Logo F é uma transformação Linear 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
2) Sabendo que T: R3  R3 é uma transformação Linear e que T(1, 2, 1) = (3, 4, 1) e 
T(0, 2, 1) = (2, 4, 1) e T(0, 1, 0) = (1, 2, 1). Determine T(x, y, z). 
 
Solução: 
T(1, 2, 1) = (3, 4, 1) 
T(0, 2, 1) = (2, 4, 1) 
T(0, 1, 0) = (1, 2, 1) 
(x, y, z) = a(1, 2, 1) + b(0, 2, 1) + c(0, 1, 0) a = x, b = z - x, c = y - 2z 
 
(x, y, z) = [ x ](1, 2, 1) + [ z – x](0, 2, 1) + [y – 2z](0, 1, 0) 
 
Aplicando a Transformação temos: 
 
T(x, y, z) = [ x ] T(1, 2, 1) + [ z – x] T(0, 2, 1) + [y – 2z] T(0, 1, 0) 
T(x, y, z) = [ x ] (3, 4, 1) + [ z – x] (2, 4, 1) + [y – 2z] (1, 2, 1) 
T(x, y, z) = ( x + y, 2y, y - z) 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 41 
 
3) Obter a Imagem de T: R3  R4 tal que T(x, y, z) = (2x, z - y, y – z, 3x). 
Solução 
Imagem = {(2x, z - y, y – z, 3x) tq x, y, z  R } 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
4) Obter o núcleo de T: R3  R4 tal que T(x, y, z) = (2x, z - y, y – z, 3x). 
Solução 
Núcleo = {( 0, y, y ) tq y  R } 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
5) Sejam T1: R
2  R2 tq T1(x, y) = (x, x + y) e T2: R
2  R2 tq T2(x, y) = (y, x - y). 
Determine a operação 2T1 + 3T2 
Solução 
(2T1 + 3T2)(u) = (2)T1(u) + (3)T2(u) 
= (2)(x, x + y) + (3)(y, x - y) 
= (2x + 3y, 5x - y) 
 
 (2T1 + 3T2)(u) = (2x + 3y, 5x - y) 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
6) Sejam G: R3  R3 tq G(x, y, z) = (2x, 0, y) e F: R3  R3 tq F(x, y, z) = (y, x, z). 
Determine a composição (G 0 F)(u). 
Solução: 
(G 0 F)(u) = G( F(u1, u2, u3 ) ) 
= G(u2, u1, u3) 
= ( 2u2, 0, u1) 
 
 (G 0 F)(u) = ( 2u2, 0, u1) 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
7) Seja T: R2 R2 tq T(x, y) = (3x, x + 2y). Determine a matriz da transformação 
linear de T em relação às bases B = {(1, 2), (0, 1)} e C = {(1, 0), (0, 1)} 
 
 Solução: Devemos encontrar A = 






2221
1211
aa
aa tq 
T(1, 2) = a11 (1, 0) + a21 (0, 1) 
(3, 5) = a11 (1, 0) + a21 (0, 1)  a11 = 3 e a21 = 5 
 
T(0, 1) = a12 (1, 0) + a22 (0, 1) 
(0, 2) = a12 (1, 0) + a22 (0, 1)  a12 = 0 e a22 = 2 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 






25
03 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 42 
 
8) Verificar se B: R2xR2  R tal que ((u1, u2), (v1, v2))  B((u1, u2), (v1, v2)) = u1.v1 – 
2u2.v2 é uma Forma Bilinear. 
Solução x = (x1, x2), y = (y1, y2) e z = (z1, z2)  R
2,   R 
a). B( x + y, z ) = B( (x1, x2) + (y1, y2), (z1, z2) ) 
= B( (x1 + y1, x2 + y2), (z1, z2) ) 
= (x1 + y1)z1 - 2(x2 + y2)z2 = x1z1 + y1z1 - 2x2z2 - 2y2z2 
 
B(x, z) + B(y, z) = B((x1, x2), (z1, z2)) + B((y1, y2), (z1, z2)) 
= x1z1 - 2x2z2 + y1z1 - 2y2z2 
 
Logo, B( x + y, z ) = B(x, z) + B(y, z) 
 
b). B(.x, y) = B( .(x1, x2), (y1, y2) ) 
= B( (.x1, .x2), (y1, y2) ) 
= .x1.y1 - 2.x2.y2 
 
.B(x, y) = B( (x1, x2), (y1, y2) ) 
= ( x1.y1 - 2x2.y2 ) 
 = .x1.y1 - 2.x2.y2 
 
Logo, B(.x, y) = .B(x, y) 
 
c). B( x, y + z ) = B( (x1, x2), (y1, y2) + (z1, z2) ) 
= B( (x1, x2), (y1 + z1, y2 + z2) ) 
= x1.(y1 + z1) - 2x2.(y2 + z2) 
= x1.y1 - 2x2.y2 + x1.z1 - 2x2.z2 
 
B( x, y) + B(x, z) = B((x1, x2), (y1, y2)) + B((x1, x2), (z1, z2)) 
 = x1.y1 - 2x2.y2 + x1.z1 - 2x2.z2 
 
Logo, B( x, y + z ) = B( x, y) + B(x, z) 
 
d). B(x, .y) = B( (x1, x2), .(y1, y2) ) 
= B( (x1, x2), (.y1, .y2) ) 
= .x1.y1 - 2.x2.y2 .B(x, y) 
= .B( (x1, x2), (y1, y2) ) 
= ( x1.y1 - 2x2.y2 ) 
= .x1.y1 - 2.x2.y2 
Logo, B(x, .y) = .B(x, y) 
 
Portanto, B(x, y) = x.y é uma forma Bilinear 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 43 
 
9) Verificar se T: R2  R3 tal que T(x, y) = (x, x - y, y + 1) é uma transformação 
Linear. 
Solução: 
F(u + v) = F(u) + F(v)  u = (u1, u2) e v = (v1 , v2)  R
2 
 = F( (u1, u2) + (v1, v2) ) = F( u1 + v1, u2 + v2 ) 
= ( u1 + v1, u1 + v1 – u2 - v2 , u2 + v2 + 1 ) 
 
F(u) + F(v) = F(u1, u2) + F(v1, v2) 
= ( u1, u1 – u2, u2 + 1 ) + ( v1, v1 – v2, v2 + 1 ) 
 = ( u1 + v1, u1 + v1 – u2 - v2 , u2 + v2 + 2 ) 
 
F(u + v)  F(u) + F(v) 
Logo F não é uma transformação Linear 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
10) Sabendo que T: R3  R3 é uma transformação Linear e que T(1, 1, 0) = (0, 4, 1) e 
T(0, 0, 1) = (2, 4, 1) e T(1, 0, 1) = (1, 2, 1). Determine transformação T(x, y, z). 
Solução: 
T(1, 1, 0) = (0, 4, 1) 
T(0, 0, 1) = (2, 4, 1) 
T(1, 0, 1) = (1, 2, 1). 
(x, y, z) = a(1, 1, 0) + b(1, 0, 1) + c(1, 0, 1) 
a = y, b = z – x + y, c = x – y 
(x, y, z) = [ y ](1, 1, 0) + [ z –x + y](1, 0, 1) + [x – y](1, 0, 1) 
T(x, y, z) = [ y ]T(1, 1, 0) + [ z –x + y]T(1, 0, 1) + [x – y]T(1, 0, 1) 
T(x, y, z) = [ y ](0, 4, 1) + [ z –x + y](2, 4, 1) + [x – y](1, 2, 1) 
T(x, y, z) = ( y + 2z –2x + 2y + x – y, 4y + 4z – 4x + 4y + 2x – 2y, y + z – x + y + x – y) 
T(x, y, z) = ( 2z –x + 2y, 6y -2x + 4z, y + z) 
 ---------------------------------------------------------------------------------------------
F i m  
 
11) Sabendo que T: R3  R3 é uma transformação Linear e que T(1, 2, 1) = (3, 4, 1) e 
T(0, 2, 1) = (2, 4, 1) e T(0, 1, 0) = (1, 2, 1). Determine a Imagem de T(x, y, z). 
Solução: 
T(1, 2, 1) = (3, 4, 1) 
T(0, 2, 1) = (2, 4, 1) 
T(0, 1, 0) = (1, 2, 1). 
(x, y, z) = a(1, 2, 0) + b(0, 2, 1) + c(0, 0, 1) 
a = x, b = z – x, c = y – 2z 
(x, y, z) = [ x ](1, 2, 0) + [ z – x](0, 2, 1) + [y – 2z](0, 1, 0) 
T(x, y, z) = [ x ]T(1, 2, 0) + [ z – x]T(0, 2, 1) + [y – 2z]T(0, 1, 0) 
T(x, y, z) = [ x ](3, 4, 1) + [ z – x](2, 4, 1) + [y – 2z](1, 2, 1) 
T(x, y, z) = (3x, 4x, x) + (2z – 2x, 4z – 4x, z - x) + (y – 2z, 2y – 4z, y – 2z) 
T(x, y, z) = (3x + 2z – 2x + y, 4x + 4z – 4x + 2y – 4z, x + z - x + y – 2z) 
Imagem = {(x + 2z + y, 2y , y – z), tq x, y, z  R } 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 44 
 
12) Obter a Imagem de T: R3  R2 tal que T(x, y, z) = ( x + y, 2x - y + z ). 
Solução 
Imagem = {( x + y, 2x - y + z ) tq x, y, z  R } 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
13) Obter o Núcleo de T: R3  R2 tal que T(x, y, z) = ( x + y, 2x - y + z ). 
Solução 
Núcleo = {( - y, y, 3y ) tq y  R } 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
14) Sejam T1: R
2  R2 tq T1(x, y) = (x, x + y) e T2: R
2  R2 tq T2(x, y) = (y, x - y). 
Determine a operação 2T1 + 3T2 
Solução 
(2T1 + 3T2)(u) = (2)T1(u) + (3)T2(u) = (2)(x, x + y) + (3)(y, x - y) 
= (2x + 3y, 5x - y) 
 (2T1 + 3T2)(u) = (2x + 3y, 5x - y) 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
15) Obter o Núcleo de T: R3  R2 tal que T(x, y, z) = ( x + y, 2x - y + z ). 
Solução 
Núcleo = {( - y, y, 3y ) tq y  R } 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
16) Sejam G: R3  R3 tq G(x, y, z) = (2x, 0, y) e F: R3  R3 tq F(x, y, z) = (y, x, z). 
Determine a composição (G 0 F)(u). 
Solução: 
(G 0 F)(u) = G( F(u1, u2, u3 ) ) = G(u2, u1, u3) 
= ( 2u2, 0, u1) 
 (G 0 F)(u) = ( 2u2, 0, u1) 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
 
17) Seja T: R2 R2 tq T(x, y) = (2y, x + 3y). Determine a matriz da transformação 
linear de T em relação às bases B = {(1, 1), (1, 0)} e C = {(1, 0), (0, 1)} 
 Solução: Devemos encontrar A = 






2221
1211
aa
aa tq 
T(1, 1) = a11 (1, 0) + a21 (0, 1) 
(2, 4) = a11 (1, 0) + a21 (0, 1) 
 a11 = 2 e a21 = 4 
 
T(1, 0) = a12 (1, 0) + a22 (0, 1) 
(0, 1) = a12 (1, 0) + a22 (0, 1) 
 a12 = 0 e a22 = 1 
 --------------------------------------------------------------------------------------------- F i m  
A = 






14
02 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 45 
 
5.5. Exercícios 
 
1) Verificar se F: R2  R3 tal que F(x, y) = (x, y, 1) é uma transformação Linear. 
2) Verificar se F: R2  R3 tal que F(x, y) = (x2, y, xy) é uma transformação Linear. 
3) Verificar se F: R2  R3 tal que F(x, y) = (x, x - y, y) é uma transformação Linear. 
4) Verificar se F: R2  R3 tal que F(x, y) = (x, x - y, y) é uma transformação Linear. 
5) Verificar se T: R2  R3 tal que T(x, y) = (x, x + y, y) é uma transformação Linear. 
6) Verificar se T: R2  R3 tal que T(x, y) = (2x, x + y, 3y) é uma transformação Linear. 
7) Verificar se F: R3  R2 tal que F(x, y, z) = (x + y, x - y) é uma transformação Linear. 
8) Verificar se F: R3  R3 tal que F(x, y, z) = (xy, 2x, 3y) é uma transformação Linear. 
9) Verificar se T: R4  R2 tal que T(x, y, z, r) = ( x + y, z + r) é uma transformação Linear. 
10) Verificar se T: R2  R4 tal que T(x, y) = (2x, x + y, x – y, 3y) é uma transformação Linear. 
11) Verificar se T: R2x2  R2x2 tal que 














db
ca
T
=








dc0
0ba é uma transformação 
Linear. 
12) Verificar se T: R2x2  R2x2 tal que 














db
ca
T
=






 d1b
0a é uma transformação Linear. 
13) Verificar se 














db
ca
T
=








cbdba
0caa é uma transformação Linear. 
 
14) Sabendo que T: R2  R2 é uma transformação Linear e que T(3, 2)=(3, 1) e T(2, 1)=(1, 2). 
Determine T(x, y). 
15) Sabendo que T: R2  R é uma transformação Linear e que T(1, 1) = 3 e T(0, 1) = -2. 
Determine T(x, y). 
16) Sabendo que T: R3  R3 é uma transformação Linear e que T(1, 0, 0) = (2, 0) e T(0, 0, 2) = 
(0, 2) e T(0, 1, 0) = (1, 2). Determine T(x, y, z). 
17) Sabendo que T: R3  R3 é uma transformação Linear e que T(1, 2, 1) = (3, 4, 1) e T(0, 2, 1) 
= (2, 4, 1) e T(0, 1, 0) = (1, 2, 1). Determine T(x, y, z). 
18) Sabendo que T: R3  R3 é uma transformação Linear e que T(1, 1, 1) = (3, 1, 1) e T(0, 1, 1) 
= (2, 2, 1) e T(0, 1, 0) = (2, 1, 1). Determine T(x, y, z). 
19) Sabendo que T: R3  R3 é uma transformação Linear e que T(1, 0, 0) = (2, 3, 1) e T(0, 1, 0) 
= (5, 2, 7) e T(0, 0, 1) = (-2, 0, 7). Determine T(x, y, z). 
20) Sabendo que T: R3  R3 é uma transformação Linear e que T(1, 0, 0) = (2, 0) e T(0, 0, 2) = 
(0, 2) e T(0, 1, 0) = (1, 2). Determine T(2, 1, -1). 
21) Sabendo que T: R3  R3 é uma transformação Linear e que T(1, 2, 1) = (3, 4, 1) e T(0, 2, 1) 
= (2, 4, 1) e T(0, 1, 0) = (1, 2, 1). Determine T(1, -2, 3). 
Álgebra Linear Transformações Lineares. 
 
 
 
José Fernando Santiago Prates 46 
 
22) Sabendo que T: R3  R3 é uma transformação Linear e que T(1, 1, 1) = (3, 1, 1) e T(0, 1, 1) 
= (2, 2, 1) e T(0, 1, 0) = (2, 1, 1). Determine T(3, -1, 2). 
23) Obter o núcleo de F: R2  R3 tal que F(x, y) = (x, y, x + 2y). 
24) Obter o núcleo de F: R2  R3 tal que F(x, y) = (x, x - y, y) 
25) Obter o núcleo de F: R2  R3 tal que F(x, y) = (3x, 2x - y, y) 
26) Obter o núcleo de T: R2  R3 tal que T(x, y) = (x, x + y, y) 
27) Obter o núcleo de T: R2  R3 tal que T(x, y) = (2x, x + y, 3y). 
28) Obter o núcleo de F: R3  R2 tal que F(x, y, z) = (x + y, x - y) . 
29) Obter o núcleo de T: R4  R2 tal que T(x, y, z, r) = ( x + y, z + r). 
30) Obter o núcleo de T: R4  R2 tal que T(x, y, z, r) = ( 2x + y, z + r). 
31) Obter o núcleo de T: R2  R4 tal que T(x, y) = (2x, x + y, x – y, 3y). 
32) Obter o núcleo de T: R4  R3 tal que T(x, y, z, r) = ( 2x + y, z, 2y + r). 
33) Obter o núcleo de T: R3  R4 tal que T(x, y, z) = (2x + y, y, z, z + 3y). 
34) Obter o núcleo de T: R2x2  R2x2 tal que 














db
ca
T
=








dc0
0ba . 
35) Obter o núcleo de T: R2x2  R2x2 tal que 














db
ca
T
=






 d1b
0a . 
36) Obter o núcleo de 














db
ca
T
=








cbdba
0caa . 
37) Obter os valores e vetores próprios de T(x, y) = (4x + y, 3x + 2y) 
38) Obter os valores e vetores próprios de T(x, y) = (4x + y, -2x + y) 
39) Obter os valores e vetores próprios de T(x, y) = (3x + 3y, 2x + 4y) 
40) Obter os valores e vetores próprios de T(x, y) = (5x + y, 2x + 4y) 
41) Obter os valores e vetores próprios de T(x, y) = (10x - y, 15x + 2y)