exemplo

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Analisando uma função de duas variáveis:
Vamos analisar a função f Hx, yL = -x + x
3
3
+ x y2
 Primeiro precisamos definir a função (o tracinho em baixo de x 
e y é para avisar o Mathematica que x e y são variáveis). 
Produto : x*y
expoente: x^2
fração: 2/3
 
In[9]:= f@x_, y_D = x*y^2 + x^33 - x
Out[9]= -x +
x3
3
+ x y2
 Encontrando as derivadas parciais (aqui não usa mais o 
tracinho, pois a função já foi definida)
 
 Em relação a x
In[10]:= D@f@x, yD, xD
Out[10]= -1 + x2 + y2
 Em relação a y
In[11]:=
D@f@x, yD, yD
Out[11]= 2 x y
 Encontrando os pontos críticos
 Encontrando os pontos críticos
In[12]:=
Solve@D@f@x, yD, xD Š 0 && D @f@x, yD, yD Š 0D
Out[12]= 88x ® -1, y ® 0<, 8x ® 1, y ® 0<, 8y ® -1, x ® 0<, 8y ® 1, x ® 0<<
Assim, os pontos críticos são : (-1, 0), (1, 0), (0, -1) e (0, 1)
Traçando as curvas de nível e o gráfico da função numa região 
que contenha os pontos críticos, por exemplo o retângulo 
[-2,2]X[-2,2]
Curvas de nível:
In[13]:=
ContourPlot @f@x, yD, 8x, -2, 2<, 8y, -2, 2<D
Out[13]=
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
2 trabalho de maximo e minimo.nb
 Traçando novamente as curvas de nível com outra opção:
In[14]:=
G1 = ContourPlot @f@x, yD, 8x, -2, 2<, 8y, -2, 2<,
Contours ® 30, PlotPoints ® 50, ContourShading ® FalseD
Out[14]=
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
trabalho de maximo e minimo.nb 3
 
 Gráfico da função no domínio escolhido:
 
In[15]:= G2 = Plot3D@f@x, yD, 8x, -2, 2<,
8y, -2, 2<, PlotRange ® All, BoxRatios ® 81, 1, 1<D
Out[15]=
-2
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
2
-5
0
5
4 trabalho de maximo e minimo.nb
 Classificação dos pontos 
críticos :
 Calculando as derivadas segundas e o determinante da 
matriz hessiana. 
In[16]:= f11@x_, y_D = D@f@x, yD, x, xD
Out[16]= 2 x
In[17]:= f12@x_, y_D = D@D@f@x, yDD, x, yD
Out[17]= 2 y
In[18]:= f22@x_, y_D = D@D@f@x, yDD, y, yD
Out[18]= 2 x
In[19]:= DetHessf@x_, y_D =
Det@88f11@x, yD, f12@x, yD<, 8f12@x, yD, f22@x, yD<<D
Out[19]= 4 x2 - 4 y2
trabalho de maximo e minimo.nb 5
 Obs: Um vetor é representado no Mathematica por 
elementos separados por virgulas e entre chaves, uma matriz é 
representada por vetores em cada linha.
 Classificando o ponto crítico (-1, 0)
In[20]:=
DetHessf@-1, 0D
Out[20]= 4
In[21]:=
f11@-1, 0D
Out[21]= -2
Portanto o ponto (-1, 0) é de máximo local, o que é compatível 
com as curvas de nível.
 Classificando o ponto crítico (1, 0)
In[22]:=
DetHessf@1, 0D
Out[22]= 4
In[23]:=
f11@1, 0D
Out[23]= 2
Portanto o ponto (-1, 0) é de mínimo local, o que é compatível 
com as curvas de nível.
 
6 trabalho de maximo e minimo.nb
Portanto o ponto (-1, 0) é de mínimo local, o que é compatível 
com as curvas de nível.
 
 Classificando o ponto crítico (0, 1)
In[24]:=
DetHessf@0, -1D
Out[24]= -4
trabalho de maximo e minimo.nb 7
Portanto o ponto (0, -1) é ponto de sela, o que é compatível com 
as curvas de nivel.
 Determinando máximos e 
mínimos absolutos desta 
função na região retangular - 2 
<= x <= 2 e - 2 <= y <= 2
Como já determinamos os pontos críticos no interior deste 
retângulo, falta analisarmos o comportamento da função na 
fronteira.
Analisando f (x, y) na parte do bordo dada por y = 2 e - 2 <= x <= 
2
In[25]:=
g1@x_D := f@x, 2D
g1@xD
Out[26]= 3 x +
x3
3
8 trabalho de maximo e minimo.nb
In[27]:=
Plot@g1@xD, 8x, -2, 2<D
Out[27]=
-2 -1 1 2
-5
5
Associe este gráfico a um corte da superfície - gráfico de f (x, y) 
dada acima em y=2.
Procurando o máximo e o mínimo de g1:
 Eles estarão entre os pontos críticos da função g neste 
intervalo e os extremos do intervalo 
In[28]:=
D@g1@xD, xD
Out[28]= 3 + x2
Vemos portanto que a derivada de g1 não se anula, ou seja, g1 
não tem pontos críticos. Se não tivéssemos percebido isso, 
faríamos:
In[29]:=
Solve@D@g1@xD, xD Š 0D
Out[29]= ::x ® -ä 3 >, :x ® ä 3 >>
Ou seja, não temos soluções reais. Logo os valores de máximo 
e mínimo de g1 serão assumidos nos extremos do intervalo, 
isto é, em x=2 e x=-2. Comparando os valores:
trabalho de maximo e minimo.nb 9
Ou seja, não temos soluções reais. Logo os valores de máximo 
e mínimo de g1 serão assumidos nos extremos do intervalo, 
isto é, em x=2 e x=-2. Comparando os valores:
In[30]:=
g1@-2D
Out[30]= -
26
3
In[31]:=
g1@2D
Out[31]=
26
3
10 trabalho de maximo e minimo.nb
Assim o valor máximo da função neste trecho da fronteira é g1 
(2) = f[2, 2] = 26/3 e o mínimo é
g1(-2) = f (-2, 2) =26/3 . 
Compare com o gráfico da função f (x, y) .
 Os valores máximo e 
mínimo absolutos da função f 
serão obtidos depois da 
comparação dos quatro 
trechos da fronteira com o 
valor da função no interior do 
retângulo. Os pontos 
candidatos serão portanto :
 
 i) os críticos do interior já 
determinados (Neste caso, 
como já classificamos podem 
entrar só os de máx. e 
min.locais); 
 
 ii) os críticos das restrições 
aos trechos da fronteira e 
 
 iii) os quatro cantos do 
retângulo (que correspondem 
aos extremos de intervalos dos 
trechos da fronteira).
 
 Analisando os demais trechos 
da fronteira da mesma forma 
feita para o trecho y = 2 
encontramos pontos críticos 
apenas para as funções de uma 
variável que descrevem os 
trechos x = -2 e x = 2. Estes 
correponderão 
respectivamente aos pontos 
(-2, 0) e (2, 0). Comparando o 
valor da função f (x, y) em 
todos os candidatos :
trabalho de maximo e minimo.nb 11
 Os valores máximo e 
mínimo absolutos da função f 
serão obtidos depois da 
comparação dos quatro 
trechos da fronteira com o 
valor da função no interior do 
retângulo. Os pontos 
candidatos serão portanto :
 
 i) os críticos do interior já 
determinados (Neste caso, 
como já classificamos podem 
entrar só os de máx. e 
min.locais); 
 
 ii) os críticos das restrições 
aos trechos da fronteira e 
 
 iii) os quatro cantos do 
retângulo (que correspondem 
aos extremos de intervalos dos 
trechos da fronteira).
 
 Analisando os demais trechos 
da fronteira da mesma forma 
feita para o trecho y = 2 
encontramos pontos críticos 
apenas para as funções de uma 
variável que descrevem os 
trechos x = -2 e x = 2. Estes 
correponderão 
respectivamente aos pontos 
(-2, 0) e (2, 0). Comparando o 
valor da função f (x, y) em 
todos os candidatos :
12 trabalho de maximo e minimo.nb
In[32]:= f@-1, 0D
Out[32]=
2
3
In[33]:= f@1, 0D
Out[33]= -
2
3
In[34]:= f@-2, 0D
Out[34]= -
2
3
In[35]:= f@2, 0D
Out[35]=
2
3
In[36]:= f@2, 2D
Out[36]=
26
3
In[37]:= f@2, -2D
Out[37]=
26
3
In[38]:= f@-2, -2D
Out[38]= -
26
3
In[39]:= f@-2, 2D
Out[39]= -
26
3
trabalho de maximo e minimo.nb 13
Obtemos f[1, 0] = -2/3, f[1,0]=2/3, f[-2, 0] = -2/3, f[2, 0] = 2/3, f[2, 
2] = f[2, -2] = 26/3 e f[-2, 2] = f[-2, -2] = -26/3
Conclusão : O valor máximo (absoluto) de f (x, y) na região 
retangular - 2 <= x <= 2 e
2 <= y <= 2 é 26/3, que é assumido nos pontos (2, 2) e (2, -2). O 
valor mínimo de f(x,y) nesta região é -26/3, assumido em (-2, 2) 
e (-2, -2).
Multiplicadore
s de Lagrange.
Aqui estão diferentes formas de visualizar os extremos da 
função f com a condição x^2+y^2=(1,5)^2.
Vamos primeiro olhar a sobreposição deste círculo à curvas de 
nível e campo gradiente da função, depois os pontos da 
superfície - gráfico que correspondem a este círculo e 
finalmente o gráfico da função composta com uma 
parametrização do círculo, 
h (t) = f (1.5 Cos[t], 1.5 Sin[t]) (t é o ângulo com o eixo x)
In[40]:= L1 = ParametricPlot@81.5 Cos@tD, 1.5 Sin@tD<, 8t, 0, 2 Pi<,
PlotStyle ® 88Thickness@0.012D,
RGBColor@1, 0, 0D<<D
14 trabalho de maximo e minimo.nb
Out[40]=
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
In[77]:=
Needs@"VectorFieldPlots`"D
L2 = GradientFieldPlot@f@x, yD, 8x, -2, 2<, 8y, -2, 2<D
Out[78]=
trabalho de maximo e minimo.nb 15
In[79]:= Show@G1, L1, L2D
Out[79]=
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
16 trabalho de maximo e minimo.nb