2ª Prova de GAAL - SOLUÇÃO - 2012_2

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GAAL - Segunda Prova - 10/novembro/2012
SOLUC¸O˜ES
Questa˜o 1: Considere os pontos A = (1,−1, 0), B = (9, 3, 4) e C = (4, 1,−2).
(a) Determine o ponto H da reta AB que esta´ mais pro´ximo de C.
(b) Determine o ponto D da reta AB tal que o triaˆngulo ADC seja iso´sceles de base AD.
SOLUC¸A˜O:
(a) Um vetor diretor da reta r pode ser
−→
AB = B − A = (8, 4, 4) = 4(2, 1, 1). Vamos
considerar Vr = (2, 1, 1) o vetor diretor da reta r. Assim a equac¸a˜o parame´trica de r
pode ser escrita como P = A+ tVr:
(x, y, z) = (1,−1, 0) + t(2, 1, 1).
Um ponto gene´rico da reta r e´ P = (1 + 2t,−1 + t, t). Ligando P ao ponto C obtemos o
vetor
−→
CP = (−3 + 2t,−2 + t, 2 + t). Para determinar o ponto H, queremos que o vetor−→
CP seja ortogonal a reta r, ou seja, 〈−→CP, Vr〉 = 0. Isto nos da´ a equac¸a˜o
2(−3 + 2t) + (−2 + t) + (2 + t) = 0
cuja soluc¸a˜o e´ t = 1. Portanto para t = 1 obtemos P = H = (3, 0, 1).
(b) Observe que o segmento CH e´ uma altura do triaˆngulo iso´sceles ADC. Da´ı H e´ ponto
me´dio do segmento AD. Em coordenadas, o ponto me´dio e´ a me´dia aritme´tica dos
extremos do segmento e portanto H =
A+D
2
. Isto implica que
D = 2H − A = 2(3, 0, 1)− (1,−1, 0) = (5, 1, 2).
De modo alternativo, vamos utilizar a equac¸a˜o parame´trica
(x, y, z) = (1,−1, 0) + t(2, 1, 1)
da reta AB deduzida no item anterior. Nesta parametrizac¸a˜o, para t = 0 estamos no
ponto A e para t = 1 estamos no ponto H. Da´ı, como H e´ o ponto me´dio do segmento
AD, podemos concluir que para t = 2 estamos no ponto D = (1,−1, 0) + 2(2, 1, 1) =
(5, 1, 2).
Questa˜o 2: Considere os planos α e β de equac¸o˜es gerais
α : x− 2y − 2z = 1 β : −2x+ 5y + z = 0.
(a) Determine a equac¸a˜o parame´trica da reta r = α ∩ β.
(b) Detemine a equac¸a˜o de uma reta s contida em α e que seja perpendicular a r.
(c) Calcule o cosseno do aˆngulo entre os planos α e β.
SOLUC¸A˜O:
(a) Para calcular a reta r = α∩β precisamos determinar o conjunto soluc¸a˜o do sistema linear
dado pelas equac¸o˜es dos planos α e β. Para resolver este sistema, vamos considerar a
matriz aumentada [
1 −2 −2 1
−2 5 1 0
]
Efetuando a operac¸a˜o elementar L2 ← L2 + 2L1 obtemos:[
1 −2 −2 1
0 1 −3 2
]
Efetuando agora a operac¸a˜o elementar L1 ← L1 + 2L2 obtemos:[
1 0 −8 5
0 1 −3 2
]
Vemos enta˜o que z e´ uma varia´vel livre e que x = 5 + 8z e y = 2 + 3z. Portanto, uma
equac¸a˜o parame´trica da reta r = α ∩ β pode ser dada por
r :

x = 5 + 8t
y = 2 + 3t
z = 0 + t
(b) Um vetor normal ao plano α e´ Nα = (1,−2,−2). Um vetor diretor da reta r e´
Vr = (8, 3, 1). Como estes dois vetores sa˜o ortogonais a reta s procurada, vemos que um
vetor diretor da reta s pode ser calculado como o produto vetorial
Vs = Nα × Vr = det
 ~i ~j ~k1 −2 −2
8 3 1
 = (4,−17, 19)
Considerando t = 0 na equac¸a˜o parame´trica de r, obtemos o ponto A = (5, 2, 0) de
r. Da´ı podemos considerar a reta s como a reta que passa por A e tem vetor diretor
Vs = (4,−17, 19). Esta reta tem equac¸a˜o parame´trica
(x, y, z) = (5, 2, 0) + s(4,−17, 19).
(c) Vetores normais aos planos α e β sa˜o Nα = (1,−2,−2) e Nβ = (−2, 5, 1). Se θ e´ o
aˆngulo entre estes planos, sabemos que
cos(θ) =
|〈Nα, Nβ〉|
‖ Nα ‖ ‖ Nβ ‖ .
Substituindo os dados do problema obtemos
cos(θ) =
| − 2− 10− 2|√
1 + 4 + 4
√
4 + 25 + 1
=
14
3
√
30
=
7
√
30
45
.
Questa˜o 3: Na figura vemos um cubo de aresta 2 e quatro pontos marcados:
A e D sa˜o ve´rtices; B e C sa˜o pontos me´dios de arestas do cubo.
(a) Reproduza a figura na sua folha de respostas, introduza um sistema de coordenadas xyz
e calcule as coordenadas dos pontos A, B e C neste sistema de coordenadas.
(b) Determine a equac¸a˜o do plano α que passa por A, B e C.
(c) Mostre que o ponto D pertence a este plano α.
(d) Calcule a a´rea do quadrila´tero ABDC.
SOLUC¸A˜O:
(a) Existem va´rios sistemas de coordenadas que podem ser introduzidos na figura dada.
Um delas e´ o seguinte.
Neste sistema de coordenadas A = (2, 2, 0), B = (2, 0, 1), C = (0, 2, 1) e D = (0, 0, 2).
(b) Considerando os vetores
−→
AB = (0,−2, 1) e −→AC = (−2, 0, 1), vemos que um vetor normal
ao plano α procurado e´
N =
−→
AB ×−→AC = det
 ~i ~j ~k0 −2 1
−2 0 1
 = (−2,−2,−4).
Da´ı a equac¸a˜o do plano α e´ da forma −2x − 2y − 4z = d. Substituindo por exemplo
as coordenadas de A = (2, 2, 0) conclu´ımos que d = −8. Portanto a equac¸a˜o de α e´
−2x− 2y − 4z = −8, que pode ser simplificada para x+ y + 2z = 4.
(c) Por uma simples substituic¸a˜o pode-se verificar que as coordenadas de D = (0, 0, 2)
satisfazem a equac¸a˜o x+ y + 2z = 4 do plano α. Isto significa que D ∈ α.
(d) Como o quadrila´tero ABDC e´ um paralelogramo de lados paralelos ao vetores
−→
AB e−→
AC sabemos que
a´rea(ABDC) = ‖ −→AB ×−→AC ‖ = ‖ (−2,−2,−4) ‖ = √4 + 4 + 16 =
√
24.