aula7_hidrogenio_estruturaatomica

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Clique para editar o estilo do título mestre
Clique para editar o estilo do subtítulo mestre
*
*
*
Equação de Schrödinger — Átomos hidrogenóides
Joaquim Delphino Da Motta Neto
Departamento de Química, Cx. Postal 19081
Centro Politécnico, Universidade Federal do Paraná (UFPR)
Curitiba, PR 81531-990, Brasil
CQ167, Aula #6
*
*
*
Nas últimas aulas vimos que a quantização resolveu vários problemas sérios no começo 
do Século XX. 
No entanto, ela não havia 
sido incluída formalmente 
na estrutura atômica...
CQ167, Aula #6
*
*
*
Resumo
Hilbert e os espaços de dimensão infinita
Equação de Schrödinger (1925)
O problema do potencial central (1926)
O átomo hidrogenóide
Valores médios
Tabela Periódica
conclusões
CQ167, Aula #6
*
*
*
No século XIX, as contradições da Revolução Industrial fizeram vários filósofos (principalmente alemães) trabalharem na procura de descrições alternativas do Universo...
CQ167, Aula #6
*
*
*
David Hilbert 
(1862-1943)
Em 1888, provou seu famoso Teorema das Bases Finitas, uma generalização do teorema de Gordan.
Em 1897 publicou seu Zahlbericht sobre teoria de números em Álgebra. Seu trabalho sobre equações integrais (1909) levaria diretamente ao estudo de espaços de dimensão infinita.
CQ167, Aula #6
*
*
*
Espaços de Hilbert (1912)
Wir müssen wissen, wir werden wissen
São espaços com produto interno, completos com respeito a norma definida pelo produto interno. Ou seja, qualquer seqüência de Cauchy dos elementos do espaço converge para um elemento deste espaço. 
CQ167, Aula #6
*
*
*
CQ167, Aula #6
*
*
*
As aplicações mais importantes dos espaços de Hilbert são:
Teoria de representações de grupo unitário;
Teoria de processos estocásticos de quadrado integrável;
3) Formulações do problema de Dirichlet; e
4) Formulação matemática da Mecânica Quântica.
CQ167, Aula #6
*
*
*
Este grupo em particular se beneficiou enormemente destes avanços...
CQ167, Aula #6
*
*
*
Como qualquer teoria, a Mecânica Quântica é montada com base num conjunto finito de axiomas (postulados). 
Aqui é particularmente interessante examinarmos o quarto postulado...
CQ167, Aula #6
*
*
*
Quarto Postulado
A função de onda (  ) de qualquer sistema físico obedece à equação de Schrödinger dependente do tempo,
Não se assuste! Esta equação freqüentemente 
pode ser simplificada se o operador Hamiltoniano 
não contem explicitamente o tempo.
CQ167, Aula #6
*
*
*
Erwin Schrödinger (1887-1961)
Em 1910 recebeu seu doutorado pela Universidade de Viena. Foi bastante interessado em Filosofia.
Em 1921 foi para Zurich, onde trabalhou com a mecânica estatística dos gases, teoria da cor e teoria atômica. Sempre esteve a par dos avanços na área, principalmente de Bohr e De Broglie. 
CQ167, Aula #6
*
*
*
No Natal de 1925, inventou sua equação de onda esquiando nos Alpes suiços. 
Erwin Schrödinger estava interessado em achar uma equação única e definitiva, cujas soluções descrevessem a onda de De Broglie independentemente das circunstâncias...
CQ167, Aula #6
*
*
*
A equação de Schrödinger pode ser resolvida para qualquer sistema físico se o operador Hamiltoniano for especificado.
Para nós um problema é particularmente interessante...
CQ167, Aula #6
*
*
*
Potencial central
A energia potencial é apenas a atração Coulombiana 
Os estados que descrevem este sistema devem ser obtidos simplesmente introduzindo este potencial na equação de Schrödinger, e resolvendo a equação diferencial resultante. 
CQ167, Aula #6
*
*
*
CQ167, Aula #6
*
*
*
O operador Hamiltoniano
O operador Hamiltoniano tem a forma 
e inclui o operador de momento angular ao quadrado, 
CQ167, Aula #6
*
*
*
Supomos a solução como sendo o produto 
e a equação diferencial parcial é então facilmente separada em três equações ordinárias. Duas delas combinadas dão a solução do rotor rígido. São os harmônicos esféricos
CQ167, Aula #6
*
*
*
Autovalores
 aqui não nos preocuparemos com os detalhes da solução, que já era conhecida nos anos 20... 
Para um átomo de um elétron apenas, as energias permissíveis são dadas pelos autovalores 
CQ167, Aula #6
*
*
*
Observe que a energia En depende apenas do número quântico n, ou seja, para cada n há... n2 funções degeneradas com a mesma energia. 
Para se quebrar a degene- rescência em  aplica-se um campo elétrico, e para se quebrar a degenerescência em m aplica-se um campo magnético. 
CQ167, Aula #6
*
*
*
Já que sabemos os autovalores, podemos repetir o que fizemos para os outros problemas e 
tentar explicar o espectro 
em termos das diferenças 
entre estes autovalores...
Será que funciona?
CQ167, Aula #6
*
*
*
Explicação das Séries Espectrais
O espectro também surge naturalmente: todas as mudanças em n são permitidas durante emissão ou absorção de luz, logo é fácil recuperar a fórmula de Rydberg
com a constante 
CQ167, Aula #6
*
*
*
Linha H : o elétron passa de n=2 para n=3
Linha H : o elétron passa de n=2 para n=4
Linha H : o elétron passa de n=2 para n=5
CQ167, Aula #6
*
*
*
Esta formulação não explica apenas o espectro do hidrogênio, mas de todos os elementos!
CQ167, Aula #6
*
*
*
E as autofunções ?...
As soluções são os polinômios de Laguerre associados, cuja fórmula de Rodrigues é 
E as constantes de normalização dadas por
CQ167, Aula #6
*
*
*
Polinômios de Laguerre
CQ167, Aula #6
*
*
*
A solução da equação radial (já normalizada) é 
Finalmente, multiplicando a solução radial pelos harmônicos esféricos obtemos as autofunções completas do átomo de hidrogênio: 
CQ167, Aula #6
*
*
*
A expressão assusta
 à primeira vista. 
Que forma espacial 
podemos esperar?... 
Qual será o aspecto tridimensional 
destes “orbitais” ?
CQ167, Aula #6
*
*
*
Orbitais hidrogenóides
Por exemplo, no estado fundamental ( 2S )
do hidrogênio temos um elétron ocupando 
um orbital 1s, o qual é descrito pela 
função esfericamente simétrica:
CQ167, Aula #6
*
*
*
CQ167, Aula #6
*
*
*
CQ167, Aula #6
*
*
*
CQ167, Aula #6
*
*
*
CQ167, Aula #6
*
*
*
Orbital 3d
CQ167, Aula #6
*
*
*
Densidades de probabilidade
Para cada orbital, podemos definir uma densidade radial de probabilidade em coordenadas esféricas,
a qual exprime a probabilidade de encontrar o elétron numa casca esférica de espessura dr, a uma distância r do núcleo.
CQ167, Aula #6
*
*
*
CQ167, Aula #6
*
*
*
CQ167, Aula #6
*
*
*
CQ167, Aula #6
*
*
*
Valores médios
Como fizemos anteriormente para outros sistemas, com estas autofunções podemos calcular qualquer valor médio. Alguns são dados a seguir:
CQ167, Aula #6
*
*
*
Claro que o hidrogênio tem
 apenas um elétron.
Será que este sistema fornece algum modelo que seja útil para estudarmos estrutura atômica?
CQ167, Aula #6
*
*
*
Sim! 
A periodicidade das propriedades dos átomos e seus compostos agora aparece naturalmente!
CQ167, Aula #6
*
*
*
Átomos multi-eletrônicos
Assume-se como primeira aproximação que, uma vez que o potencial ainda é central, as autofunções (orbitais atômicos) sejam muito parecidas com as do hidrogênio (talvez mais compactas pois Z é maior). 
Se o átomo está neutro, então os Z elétrons seriam distribuídos de acordo com o princípio do Aufbau 
e a função de onda de ordem zero seria apenas
(1s)2 (2s)2 (2p)6 (3s)2 ...
Obviamente sabemos que não é só isso !
CQ167, Aula #6
*
*
*
Relação com a estrutura:
As propriedades de todos os elementos dependem apenas da ocupação (0, 1 ou 2) de seus níveis de energia,
 já que supomos suas autofunções serem iguais ao do hidrogênio.
CQ167, Aula #6
*
*
*
Periodicidade
Cada elemento tem um número único de prótons
( Z ), logo a distribuição eletrônica do átomo determina todas as suas propriedades químicas.
Isto fornece a explicação completa e consistente para a estrutura da Tabela Periódica.
CQ167, Aula #6
*
*
*
Elementos do grupo I: sua configuração eletrônica é 
Logo todos eles têm a tendência de perder um elétron para assumir a configuração do gás nobre mais próximo,
Por isso na Natureza só são encontrados na forma X+.
[caroço] (ns)1 
CQ167, Aula #6
*
*
*
Elementos do grupo II: sua configuração eletrônica é 
Logo todos eles têm a tendência de perder dois elétrons para assumir a configuração do gás nobre mais próximo.
Por isso na Natureza quase só são encontrados na forma X++.
[caroço] (ns)2 
CQ167, Aula #6
*
*
*
Elementos do grupo VII: sua configuração eletrônica é 
Logo todos eles têm a tendência de ganhar um elétron para assumir a configuração do gás nobre mais próximo,
Por isso na Natureza quase só são encontrados na forma X–.
[caroço] (ns)2 (np)5 
CQ167, Aula #6
*
*
*
Observe que as cargas formais 
não existem! Elas apenas foram boladas para mapear corretamente o comportamento dos elementos em diferentes compostos...
Você pode dizer agora por que 
a água tem fórmula H2O ?...
CQ167, Aula #6
*
*
*
CQ167, Aula #6
*
*
*
Vamos tentar outro exemplo:
Qual deve ser a fórmula de 
um composto de cálcio ( Ca ) e cloro ( Cl ) ?...
CQ167, Aula #6
*
*
*
CQ167, Aula #6
*
*
*
Claro que às vezes pode acontecer de o elétron estar “muito preso” no átomo...
Por isso é interessante saber se é fácil ou difícil arrancar o elétron de um átomo.
CQ167, Aula #6
*
*
*
Potencial de ionização
CQ167, Aula #6
*
*
*
CQ167, Aula #6
*
*
*
Bom, aparentemente para 
compostos binários é fácil.
Será que para compostos de mais de dois elementos pode 
ser feito do mesmo jeito?...
CQ167, Aula #6
*
*
*
Conclusões: 
A Mecânica Quântica, e a equação de Schrödinger em particular, explica completamente as raias dos espectros atômicos, inclusive do hidrogênio.
O bacana é que isto pode ser generalizado para descrever qualquer elemento químico.
CQ167, Aula #6
*
*
*
Próximas aulas:
Exercícios sobre periodicidade
Ligações químicas
Regra do octeto
Estruturas de Lewis
E mais !...
CQ167, Aula #6