Eletrotecnica_Geral_Capacitancia_Indutancia_2012_1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO 
CURSO: Engenharia Química 
Disciplina: Eletrotécnica Geral 
 
Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo 
 
 
Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo 
 
 
 
 
 
ELETROTÉCNICA GERAL 
 
 
 
 
 
 
CAPACITÂNCIA E INDUTÂNCIA 
 
 
 
 
Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo. 
 
 
 
 
 
2012 
UNIFESP – Campus Diadema
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO 
CURSO: Engenharia Química 
Disciplina: Eletrotécnica Geral 
 
Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo 
 
 
Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo 
 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
 
 
Este material aborda o tema “Capacitância e Indutância”. Trata-se apenas de um 
material de referência que visa facilitar o acesso a informação e com uso exclusivo 
para a disciplina de graduação “Eletrotécnica Geral” do curso de Engenharia 
Química da Universidade Federal de São Paulo (UNIFESP) – Campus Diadema. 
Alguns trechos dos textos ou ilustrações aqui apresentadas, não são originais e não 
se faz citação de autoria específica das frases ou fontes das ilustrações, por se 
tratar de notas compiladas e por ser um material com o intuito de auxiliar no 
suporte aos estudos da disciplina de Eletrotécnica Geral, e não uma publicação com 
intenções de divulgação. 
 A relação das obras consultadas encontra-se nas referências bibliográficas e 
sugere-se que sejam consultadas para um estudo mais aprofundado do tema. 
 
 
 
 
 
 
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Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo 
 
 
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Sumário 
 
1. INTRODUÇÃO .................................................................. 1 
2. CAPACITORES ................................................................ 2 
2.1.CAPACITÂNCIA E CARGA DO CAPACITOR ....... 5 
2.2.CORRENTE E TENSÃO NO CAPACITOR ............ 6 
2.3.POTÊNCIA E ENERGIA NO CAPACITOR ............ 8 
2.4.APLICAÇÃO DE CAPACITORES............................ 9 
2.5.COMPORTAMENTO DO CAPACITOR EM 
CIRCUITO CC .......................................................... 10 
3. INDUTORES.................................................................... 11 
3.1.CORRENTE EM UM INDUTOR EM TERMOS 
DA TENSÃO NO INDUTOR ............................. 12 
3.2.POTÊNCIA E ENERGIA NO INDUTOR .............. 13 
3.3.APLICAÇÃO DE INDUTORES .............................. 15 
3.3.1.INCOVENIENTES ...................................... 16 
3.4.COMPORTAMENTO DO INDUTOR EM 
CIRCUITO CC ......................................................... 17 
4. COMBINAÇÕES DE INDUTÂNCIA E 
CAPACITÂNCA EM SÉRIE E EM PARALELO ..... 18 
4.1.INDUTORES EM SÉRIE E EM PARALELO ...... 18 
4.2.CAPACITORES EM SÉRIE E EM PARALELO .. 21 
5. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ........................................ 30 
 
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Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo 
 
 
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CAPACITÂNCIA E INDUTÂNCIA 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 Iremos introduzir dois novos componentes dos circuitos, o capacitor e o 
indutor. As relações constitutivas desses componentes envolvem integrais ou 
derivadas. Em conseqüência: 
 Os circuitos elétricos que contêm capacitores e/ou indutores são 
representados por equações diferenciais. Os circuitos que não 
contêm capacitores e indutores são representados por equações 
algébricas. Dizemos que os circuitos que contêm capacitores e 
/ou indutores são circuitos dinâmicos, enquanto os circuitos que 
não contêm capacitores e indutores são circuitos estáticos. 
 Os circuitos que contêm capacitores e/ou indutores são capazes 
de armazenar energia. 
 Os circuitos que contêm capacitores e/ou indutores possuem 
memória. As tensões e correntes em um dado instante 
dependem, não só de outras tensões e correntes no mesmo 
instante de tempo, mas também de valores anteriores dessas 
tensões correntes. 
 Além disso, vamos ver: 
 Na ausência de correntes e tensões infinitas, as tensões nos 
capacitores e as correntes nos indutores são funções contínuas 
do tempo. 
 Nos circuitos de corrente contínua, os capacitores se comportam 
como circuitos abertos e os indutores se comportam como curto-
circuitos. 
 Capacitores ligados em série ou em paralelo podem ser 
substituídos por um capacitor equivalente. Indutores ligados em 
série ou em paralelo podem ser substituídos por um indutor 
equivalente. Estas substituições não mudam os valores das 
correntes e tensões nos outros componentes do circuito. 
 
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Profa. Rosimeire Aparecida Jerônimo 
 
 
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 As tensões e correntes nos componentes de um circuito que 
contém capacitores e indutores podem ser funções complicadas 
no tempo. 
 
2. CAPACITORES 
 
 Um capacitor consiste em dois condutores separados por um isolante. A 
principal característica de um capacitor é a de armazenar cargas nesses dois 
condutores. Acompanhando essa carga está a energia que o capacitor pode 
fornecer. A Figura 1 mostra o símbolo usado para capacitores. 
 
Figura 1 – Símbolo do capacitor. 
 O capacitor é um componente de dois terminais usado para modelar um 
dispositivo constituído por duas placas condutoras separadas por um material 
isolante. 
 
 
 
 
 Portanto, capacitor é um dispositivo utilizado para armazenar energia na 
forma de campo elétrico. Os capacitores se apresentam numa grande 
variedade de tamanhos e formas, conforme a Figura dada a seguir: 
 
 
 
 
Um capacitor é um bipolo capaz de armazenar cargas elétricas, de modo 
que a carga 
)(tq
 armazenada no instante 
t
 (tempo) depende apenas da 
tensão 
 tv
 aplicada aos terminais do bipolo. 
 
 
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Figura 2 – Tipos e formas de capacitores. 
 Os capacitores possuem como elementos básicos dois condutores 
separados por um material isolante. Os condutores são chamados de placas, 
qualquer que seja a sua geometria. 
 
Figura 3 – Condutores separados por um material isolante. 
 
 
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 Ao ligarmos um capacitor a uma fonte de tensão, suas placas adquirem 
cargas iguais, mas de sinais opostos. Quando a diferença de potencial entre as 
placas for a mesma da fonte, dizemos que o capacitor está carregado. 
 
Figura 4 – Esquema de ligação de capacitor a uma fonte de tensão. 
 
 O capacitor quando carregado possui um campo elétrico uniforme na 
região entre suas placas. Este campo permanece mesmo desligando o 
capacitor da fonte. 
 O capacitor quando carregado possui um campo elétrico uniforme na 
região entre suas placas. Este campo permanece mesmo desligando o 
capacitor da fonte. 
 
Figura 5 – Representação do campo elétrico no capacitor. 
 
5 
 
 
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Ao ligarmos um condutor entre as duas placas do capacitor, uma 
corrente elétrica se estabelece, descarregando o capacitor e liberando a 
energia que estava armazenada na forma de campo elétrico. 
 
Figura 6 – Representação da ligação de um condutor entre as duas placas do 
capacitor. 
2.1. CAPACITÂNCIA E CARGA DO CAPACITOR 
 
 A carga 
q
 do capacitor é proporcional à tensão 
v
 usada para carregá-
lo. Assim, podemos escrever: 
 
vCq 
 (1) 
 
v
q
C 
 (2) 
sendo que 
C
 é a constante de proporcionalidade, que recebe o nome de 
capacitância. A unidade de capacitância tem dimensões de Coulomb por volt e 
é chamada de farad (F) em homenagem a Michael Faraday. Mas o farad é uma 
unidade muito grande para aplicações práticas, sendo o microfarad (
F
) e o 
picofarad (
pF
) mais comumente utilizados. 
 
 
 
Capacitância é uma medida da capacidade de um dispositivo de 
armazenar energia na forma de cargas separadas ou de um campo elétrico. 
6 
 
 
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O valor da capacitância é diretamente proporcional à área das placas e 
inversamente proporcional à distância ente elas. No caso em que a distância 
entre as placas é muita pequena em comparação com suas dimensões, a 
capacitância 
C
 é dada por: 
 
d
A
C


 (3) 
sendo que 

 é uma constante de proporcionalidade conhecida como constante 
dielétrica, 
A
 é a área das placas, 
d
 é a distância entre as placas. A constante 
dielétrica é um parâmetro que descreve a quantidade de energia que um 
material isolante é capaz de armazenar por unidade de volume e por unidade 
de diferença de potencial. A constante dielétrica também é chamada de 
permissividade elétrica. 
 O símbolo gráfico para um capacitor nos lembra que a capacitância 
ocorre sempre que condutores elétricos estiverem separados por um material 
dielétrico ou isolante. Essa condição implica que a carga elétrica não seja 
transportada pelo capacitor. Embora a aplicação de uma tensão aos terminais 
do capacitor não possa movimentar uma carga pelo dielétrico, ela pode 
deslocar uma carga dentro dele. À medida que a tensão varia com o tempo, o 
deslocamento de carga também varia com o tempo, provocando a denominada 
corrente de deslocamento. 
 Resumindo, podemos definir o capacitor como um componente de dois 
terminais cuja função principal é introduzir a capacitância nos circuitos 
elétricos. Capacitância é definida como a razão entre a carga armazenada em 
um capacitor e a diferença entre as tensões das placas condutoras: 
v
q
C 
. 
2.2. CORRENTE E TENSÃO NO CAPACITOR 
 
 Nos terminais, a corrente de deslocamento é indistinguível de uma 
corrente de condução. A corrente é proporcional à taxa de variação temporal 
da tensão no capacitor ou, em termos matemáticos. 
 A corrente associada ao movimento das cargas, conforme já foi 
apresentado em estudos anteriores é: 
 
7 
 
 
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dt
dq
i 
 (4) 
 Derivando a equação (1) e substituindo em (4), temos: 
 
dt
dv
Ci 
 (5) 
sendo que 
i
 é medida em ampères, 
C
, em farads, 
v
, em volts e 
t
, em 
segundos. 
 A equação (5) reflete a convenção passiva mostrada na Figura 7; isto é 
a referência de corrente está na direção da queda de tensão no capacitor. Se a 
referência de corrente estiver na direção da elevação de tensão, a equação (5) 
é escrita com um sinal negativo. 
 
Figura 7 – Atribuição de tensão e corrente de referência ao capacitor conforme a 
convenção passiva. 
 Duas importantes observações decorrem da equação (5). A primeira é 
que a tensão não pode variar instantaneamente nos terminais de um capacitor. 
A equação (5) indica que tal variação produziria uma corrente infinita, o que é 
uma impossibilidade física. A segunda é que, se a tensão nos terminais for 
constante, a corrente no capacitor é zero. A razão é que uma corrente de 
condução não pode ser estabelecida no material dielétrico do capacitor. 
Somente uma tensão que varie com o tempo pode produzir uma corrente de 
deslocamento. Assim, o capacitor se comporta como uma malha aberta na 
presença de uma tensão constante. 
 A equação (5) expressa a corrente do capacitor em função da tensão em 
seus terminais. Expressar a tensão em função da corrente também é útil. Para 
fazer isso, multiplicamos ambos os lados da equação (5) por um tempo 
diferencial 
dt
 e, então, integramos as diferenciais resultantes: 
 
8 
 
 
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dvCdti 
 ou  
t
ot
tv
otv
di
C
dv 
1)(
)(
 (6) 
 Executando a integração do lado esquerdo da segunda equação, temos: 
 
)(
1
)(  
t
ot o
tvd
C
tv 
 (7) 
 Em muitas aplicações práticas da equação (7), o tempo inicial é zero; 
isto é, 
0ot
. Assim, a equação (7) torna-se: 
 
 
t
vid
C
tv
0
)0(
1
)(  (8) 
 O símbolo de capacitor usado nos esquemas dos circuitos aparece na 
Figura 8. De acordo com a convenção passiva, a corrente entra em um terminal 
positivo do capacitor, como mostra a Figura 8. 
 
Figura 8 – Representação de circuito 
iv 
 do capacitor 
 
2.3. POTÊNCIA E ENERGIA NO CAPACITOR 
 
 Podemos deduzir com facilidade as relações entre potência e energia 
para o capacitor. Pela definição de potência: 
9 
 
 
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dt
dv
Cvivp 
 (9) 
ou 
 




  )(
1 t
ot o
tvid
C
ip  (10) 
 Combinando a definição de energia com a equação (9), obtemos: 
 
dvCvdw 
 (11) 
pela qual 
 
  
w
v
dyyCdx
0 0
 (12) 
ou 
 2
2
1
Cvw 
 (13) 
sendo que 
w
 é em joules, 
C
 em farads e 
v
em volts. Observe que essa 
energia armazenada não depende da corrente no capacitor. Na derivação da 
equação (13), a referência para
energia zero corresponde à tensão zero. 
 
 Análogo Mecânico: Constante de Mola 
A energia é armazenada no capacitor de modo semelhante ao que 
se tem em uma mola comprimida ou distendida. 
2.4. APLICAÇÃO DE CAPACITORES 
 
 Uma importante aplicação dos capacitores é em circuitos para 
contagem de tempo (temporizadores). Um simples temporizador consiste em 
uma chave, um capacitor, um resistor e uma fonte CC, todos em série. No 
 
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início do intervalo de tempo a ser contado, a chave é fechada para dar início à 
carga do capacitor. No final desse intervalo de tempo, a chave é aberta para 
interromper a carga do capacitor. A tensão medida nos terminais do capacitor 
fornece o intervalo de tempo. Um voltímetro conectado ao capacitor pode ter 
uma escala de tempo calibrada, de forma a fornecer uma leitura direta. 
 Para tempos bem menores que uma constante de tempo, a tensão no 
capacitor varia quase linearmente. Essa aproximação linear é válida se o 
intervalo de tempo a ser medido é um décimo da constante de tempo, ou, o 
que resulta na mesma coisa, se a variação de tensão nesse intervalo de tempo 
é 
10
1

 da diferença entre os valores inicial e final de tensão. 
 Um circuito temporizador pode ser usado com um tubo a gás para fazer 
um oscilador – um circuito que produz uma forma de onda repetitiva. Um tubo a 
gás possui uma resistência muito elevada – aproximadamente um circuito 
aberto – para pequenas tensões. Mas um determinado valor de tensão fará 
com que o tubo a gás passe a conduzir, apresentando uma resistência muito 
pequena – aproximadamente um curto-circuito. Após iniciar a condução ela irá 
se manter enquanto houver a tensão necessária. Abaixo de um determinado 
valor a válvula retorna à condição de circuito aberto. 
 Outra utilização de capacitores é em circuitos utilizados na correção do 
fator de potência em sistema de potência. 
2.5. COMPORTAMENTO DO CAPACITOR EM CIRCUITO CC 
 
 Se a tensão no capacitor é constante, então a tensão não está variando 
e, portanto 
dt
dv é zero, fazendo com que a corrente no capacitor seja zero. É 
claro que, a partir de considerações físicas, se a tensão em um capacitor é 
constante, não existem cargas em movimento, o que significa que a corrente é 
zero. Com uma tensão sobre ele e uma corrente zero, o capacitor é um circuito 
aberto para circuitos CC. Lembre-se, entretanto, de que somente após a 
tensão em um capacitor se tornar constante é que ele passa a se comportar 
 
 
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como um circuito aberto. Capacitores são sempre usados em circuitos para 
bloquear correntes e tensões CC. 
 Outro dado importante a partir da equação 
dt
dv
Ci 
 ou 
t
v
i



 é que 
a tensão em um capacitor não pode mudar de um valor a outro 
instantaneamente. Se, por exemplo, a tensão em um capacitor passar de 3 V 
para 5 V em um tempo zero, então 
v
 será 2 e 
t
 será zero, o que resultará 
em uma corrente infinita. Uma corrente infinita é impossível, porque nenhuma 
fonte pode fornecer essa corrente. Além do mais, uma corrente infinita 
produziria uma potência infinita em um resistor, e não existem fontes de 
potência infinita nem resistores capazes de absorver tal potência. A corrente 
em um capacitor não possui restrição similar – ela pode variar 
instantaneamente em ambas as direções. Dizer que a tensão em um capacitor 
não varia instantaneamente significa dizer que a tensão nesse capacitor antes 
de uma operação de chaveamento é exatamente igual após o chaveamento. 
Este é um fato importante na análise de circuitos RC (resistor e capacitor). 
 
3. INDUTORES 
 
 A indutância é o parâmetro de circuito utilizado para descrever um 
indutor. Ela é simbolizada pela letra L , é medida em henrys (H) e é 
representada graficamente como uma espiral – para lembrar que a indutância é 
uma conseqüência de um condutor imerso em um campo magnético. A Figura 
9(a) mostra um indutor. Atribuir a direção de referência da corrente na direção 
da queda de tensão nos terminais do indutor, como mostra a Figura 9(b), 
resulta em: 
 
dt
di
Lv 
 (14) 
 
 
 
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Figura 9 – (a) Símbolo gráfico para um indutor com uma indutância de L henrys. (b) 
Atribuição de tensão e corrente de referência ao indutor conforme a convenção 
passiva. 
 
 
 
 
3.1. CORRENTE EM UM INDUTOR EM TERMOS DA TENSÃO NO 
INDUTOR 
 
 A equação (14) expressa a tensão nos terminais de um indutor em 
função da corrente no indutor. É também desejável ser capaz de expressar a 
corrente em função da tensão. Para determinar 
i
 em função de 
v
, 
começamos multiplicando ambos os lados da equação (14) por um tempo 
diferencial 
dt
: 
 
dt
dt
di
Ldtv 






 (15) 
 Multiplicar a taxa de variação de 
i
 em relação a 
t
 por uma variação 
diferencial no tempo gera uma variação diferencial em 
i
, portanto escrevemos 
a equação (16) como: 
 
diLdtv 
 (16) 
Um indutor é um bipolo que pode armazenar energia magnética, 
transportada pela corrente que o atravessa. 
 
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 Em seguida, integramos ambos os lados da equação (16). Por 
conveniência, trocamos os dois lados da equação e escrevemos: 
 
  
)(
)(
ti
oti
t
ot
dvdxL  (17) 
 Observe que usamos 
x
e 

 como as variáveis de integração, ao passo 
que 
i
 e 
t
 tornam-se limites nas integrais. 
 Então, pela equação (17): 
 
)(
1
)(  
t
ot o
tidv
L
ti  (18) 
sendo 
)(ti
 é a corrente correspondente a 
t
 e 
)( oti
 é o valor da corrente do 
indutor quando iniciamos a integração, a saber, 
ot
 . Em muitas aplicações 
práticas, 
ot
 é zero, e a equação (18) se torna: 
 
 
t
idv
L
ti
0
)0(
1
)(  (19) 
 Ambas as equações (14) e (19) representam a relação entre a tensão e 
a corrente nos terminais de um indutor. A equação (14) expressa a tensão em 
função da corrente, ao passo que a equação (18) expressa a corrente em 
função da tensão. Em ambas as equações, a direção de referência para a 
corrente está na direção da queda de tensão nos terminais. Observe que 
)( oti
 
tem o próprio sinal algébrico. Se a direção da corrente inicial for a mesma da 
direção de referência para 
i
, ela é uma quantidade positiva. Se a corrente 
inicial estiver na direção
oposta, ela é uma quantidade negativa. 
3.2. POTÊNCIA E ENERGIA NO INDUTOR 
 
 As relações entre potência e energia para um indutor podem ser 
deduzidas diretamente das relações entre corrente e tensão. Se a referência de 
 
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corrente estiver na direção da queda de tensão nos terminais do indutor, a 
potência é: 
 
ivp 
 (20) 
 Lembre-se de que a potência está em watts, a tensão, em volts e a 
corrente, em ampères. Se expressarmos a tensão do indutor em função da 
corrente do indutor, a equação (20) torna-se: 
 
dt
di
Lip 
 (21) 
 Também podemos expressar a corrente em termos da tensão: 
 






 
t
ot o
tidv
L
vp )(
1  (22) 
 A equação (21) é útil para expressar a energia armazenada no indutor. 
Potência é a taxa de variação da energia em relação ao tempo, portanto: 
 
dt
di
Li
dt
dw
p 
 (23) 
 Multiplicando ambos os lados da equação (23) por um tempo 
diferencial, obtemos a relação diferencial: 
 
diLidw 
 (24) 
 Ambos os lados da equação (24) são integrados, subentendo-se que a 
referência para energia zero corresponde a uma corrente zero no indutor. 
Assim: 
dyyLdx
iw
  00
, 
 2
2
1
Liw 
 (25) 
 Como antes, usamos símbolos diferentes para as variáveis de 
integração a fim de evitar confusão com os limites das integrais. Na equação 
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(25), a energia está em joules, a indutância, em henrys e a corrente, em 
ampères. 
 
 Análogo Mecânico: Massa ou Inércia 
Diferente da energia resistiva, que é perdida em forma de calor, a 
energia indutiva é armazenada do mesmo modo que a energia 
cinética é armazenada numa massa em movimento. 
3.3. APLICAÇÃO DE INDUTORES 
 
 Os indutores, ou bobinas, podem ser definidos como componentes que 
armazenam energia na forma de um campo eletromagnético. Podem também 
ser definidos como componentes que se opõem a qualquer mudança na 
corrente que passa através dos mesmos. Estas definições esclarecem a 
finalidade para a qual os indutores são usados em circuitos isto é, para 
armazenar energia ou opor-se a uma mudança na corrente. Podem também 
ser usados para deixar passar freqüências baixas, rejeitando, ao mesmo 
tempo, altas freqüências. 
 
 A Figura a seguir mostra como um indutor é usado num circuito para 
deixar passar freqüências baixas, rejeitando altas freqüências. Nesta aplicação, 
o indutor é, freqüentemente, chamado “choque”. O circuito completo na Figura 
é chamado filtro passa-baixa. As baixas freqüências podem passar através da 
bobina, porém as altas freqüências são levadas à Terra através dos 
capacitores, porém as baixas freqüências encontram forte oposição no 
caminho. O resultado global é que somente as baixas freqüências podem 
passar no circuito de “a” até “b”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 10 – Exemplo de circuito com aplicação de indutores. 
 
 Indutores são utilizados em diversas aplicações. Entre estas se pode 
citar sua utilização na partida de lâmpadas fluorescentes, onde os indutores têm 
como função provocar uma sobre-tensão devido a uma abertura no circuito. 
Como a corrente não pode variar rapidamente, quem varia é a tensão. 
 
3.3.1. INCOVENIENTES 
 
 Devido à semelhança entre as equações dos circuitos RC (resistivo – 
capacitivo) e RL (resistivo – indutivo) , é possível se fazer contadores de tempo 
utilizando circuitos RL, mas, na prática, temporizadores RC são preferíveis. 
Uma das razões é que os indutores não estão próximos dos ideais como, os 
capacitores, porque as bobinas possuem resistências raramente desprezíveis. 
Além disso, os indutores são relativamente grandes, pesados e de difícil 
fabricação, e o campo magnético externo ao indutor pode induzir indesejáveis 
tensões em outros componentes do circuito. Os problemas com indutores são 
insuficientes para que os projetistas sempre evitem usá-los em seus projetos. 
Portanto, os indutores apresentam os seguintes inconvenientes: 
- Pesados e volumosos; 
- Resistência não é desprezível; 
 
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- Indução de tensões indesejáveis em outros elementos. 
 
3.4. COMPORTAMENTO DO INDUTOR EM CIRCUITO CC 
 Sabendo-se que a tensão no indutor é, 
dt
di
Lv 
. Observamos que, em 
qualquer instante, a tensão depende da taxa de variação da corrente do 
indutor nesse instante, mas não do valor da corrente. 
 Um fato importante a partir de 
dt
di
Lv 
 é que, se a corrente é 
constante em um indutor, então a tensão no indutor é zero, porque 
0
dt
di . 
Com uma corrente circulando sobre L (indutor), mas com uma tensão zero, 
um indutor se comportará como um circuito fechado: um indutor é um curto-
circuito em CC. Lembre-se, entretanto, de que apenas após a corrente no 
indutor se tornar constante é que ele passa a se comportar como um curto-
circuito. 
 A relação 
t
i
L
dt
di
Lv



 significa também que a corrente em um 
indutor não pode variar instantaneamente. Para que isso ocorresse, 
i
teria 
de ser diferente de zero enquanto 
t
 fosse zero o que resultaria em um valor 
infinito para 
t
i

 , fazendo com que a tensão no indutor fosse infinita. Em 
outras palavras, uma variação instantânea de corrente em um indutor requer 
uma tensão infinita, mas, é claro, não existem fontes de tensão infinita. A 
tensão no indutor não possui tal restrição, podendo sofrer variações 
instantâneas. Dizer que a corrente em um indutor não varia instantaneamente 
significa dizer que a corrente imediatamente após uma operação de 
chaveamento é exatamente a mesma de antes dessa operação. Isto é um fato 
importante na análise de circuitos RL (resistivo – indutivo). 
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4. COMBINAÇÕES DE INDUTÂNCIA E CAPACITÂNCA EM 
SÉRIE E EM PARALELO 
 
 Exatamente como combinações de resistores em série e em paralelo 
podem ser reduzidas a um único resistor equivalente, as combinações de 
indutores ou capacitores em série e em paralelo podem ser reduzidas a um 
único indutor ou capacitor. 
4.1. INDUTORES EM SÉRIE E EM PARALELO 
 
 Indutores em Série:
A Figura 11 mostra indutores em série. Nesse caso, os indutores são 
forçados a conduzir a mesma corrente; assim, definimos somente uma corrente 
para a combinação em série. 
 
Figura 11 – Indutores em série. 
 As quedas de tensão nos indutores individuais são: 
dt
di
Lv  11
, 
dt
di
Lv  22
 e 
dt
di
Lv  33
 
 A tensão nos terminais da ligação em série é: 
dt
di
LLLvvvv  )( 321321
, 
 
 
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do que deve ficar evidente que a indutância equivalente de indutores ligados 
em série é a soma das indutâncias individuais. Para 
n
 indutores em série: 
 
 
neq LLLLL  321
 (26) 
 Se os indutores originais conduzirem uma corrente inicial de 
)( oti
, o 
indutor equivalente conduzirá a mesma corrente inicial. A Figura 12 mostra o 
circuito equivalente para indutores em série que conduzem uma corrente inicial. 
 
Figura 12 – Circuito equivalente para indutores em série que transportam uma 
corrente inicial 
)( oti
. 
 
 Indutores em Paralelo: 
 
 Indutores em paralelo têm a mesma tensão terminal, conforme 
representação na Figura 13. 
 
 
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Figura 13 – Três indutores em paralelo. 
 No circuito equivalente, a corrente em cada indutor é função da tensão 
terminal e da corrente inicial no indutor. Para os três indutores em paralelo 
mostrados na Figura 13, as correntes para os indutores individuais são: 
)(
1
1
1
1 o
t
t
tidv
L
i
o
  
, 
)(
1
2
2
2 o
t
t
tidv
L
i
o
  
, 
 
)(
1
3
3
3 o
t
t
tidv
L
i
o
  
 (27) 
 A corrente nos terminais dos três indutores em paralelo é a soma das 
correntes dos indutores: 
 
321 iiii 
 (28) 
 Substituindo a equação (27) na equação (28) obtemos: 
 
)()()(
111
321
321
ooo
t
ot
tititidv
LLL
i 





   (29) 
 Agora, podemos interpretar a equação (29) em termos de um único 
indutor; isto é: 
 
)(
1
 
t
ot o
eq
tidv
L
i  (30) 
21 
 
 
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 Comparando a equação (30) com (29) obtemos: 
 
 
321
1111
LLLLeq

 (31) 
 
)()()()( 321 oooo titititi 
 (32) 
 A Figura 14 mostra o circuito equivalente para os três indutores em 
paralelo na Figura 13. 
 
Figura 14 – Circuito equivalente para os três indutores em paralelo. 
 
 Os resultados das equações (31) e (32) podem ser ampliados para 
n
 
indutores em paralelo: 
 
neq LLLL
1111
21
 
 (33) 
 
)()()()()( 321 onoooo tititititi  
 (34) 
4.2. CAPACITORES EM SÉRIE E EM PARALELO 
 
 Capacitores em Série: 
 
 Capacitores ligados em série podem ser reduzidos a um único capacitor 
equivalente. A recíproca da capacitância equivalente é igual à soma das 
22 
 
 
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recíprocas das capacitâncias individuais. Se cada capacitor apresentar a 
própria tensão inicial, a tensão inicia l no capacitor equivalente será a soma 
algébrica das tensões iniciais nos capacitores individuais. A Figura 15 e as 
seguintes equações resumem essas observações: 
 
neq CCCC
1111
21
 
 (35) 
 
)()()()( 21 onooo tvtvtvtv  
 (36) 
 
Figura 15 – Circuito equivalente para capacitores ligados em série. (a) Capacitores em 
série. (b) Circuito equivalente. 
 A capacitância equivalente de capacitores ligados em paralelo é 
simplesmente a soma das capacitâncias dos capacitores individuais como 
mostra a Figura 16 e a seguinte equação: 
 
neq CCCC  21
 (37) 
 
 
 
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Figura 16 – Circuito equivalente para capacitores ligados em paralelo. (a) Capacitores 
em paralelo. (b) Circuito equivalente. 
 
 EXEMPLO 1: 
 A partir do circuito dado a seguir, obter o circuito simplificado. 
 
Figura 17 – Circuito do exemplo 1. 
 SOLUÇÃO: 
 Os indutores 
2L
e 
3L
 são iguais em valores e eles estão em paralelo, 
resultando em um valor paralelo equivalente de: 
 
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H
HL
LT 6,0
2
2,1
2
 
 O indutor resultante de H6,0 está em paralelo com o indutor de H8,1 , 
e portanto:    
HL
HH
HH
LL
LL
L
T
T
T
T
45,0
8,16,0
8,16,0
4
4























 
 O indutor 
1L
 fica em série com o indutor equivalente paralelo, sendo: 
HL
HHL
TT
T
T
LLL
01,1
45,056,0
1


 
 O circuito reduzido equivalente é ilustrado na Figura a seguir: 
 
Figura 18 – Circuito equivalente da Figura 17. 
 
 
 
 
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 EXEMPLO 2: 
 Achar a corrente 
LI
 e a tensão 
CV
 para o circuito dado a seguir: 
 
Figura 19 – Circuito do exemplo 2. 
 SOLUÇÃO: 
 O circuito pode ser representado conforme a seguir: 
 
Figura 20 – Modo de representação do circuito da Figura 19. 
 
 Cálculo de 
LI
: 




5
10
21
V
I
RR
E
I
L
L
 
 
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AIL 2
 
 
 Cálculo de 
CV
: 
Utilizando-se divisor de tensão, temos: 






23
)10()3(
12
2
V
V
RR
ER
V
C
C
 
VVC 6
 
 EXEMPLO 3: 
 
Encontrar a energia
armazenada pelo indutor no circuito dado a seguir 
quando a corrente por ele atingir o seu valor final. 
 
Figura 21 – Circuito do exemplo 3. 
SOLUÇÃO: 
Representando o circuito da Figura 21, temos: 
 
 
27 
 
 
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Figura 22 – Modo de representação do circuito da Figura 21. 
 Cálculo da corrente 
mI
: 
21
RR
E
Im


 


23
15 V
Im
 


5
15 V
Im
 
AIm 3
 
 Cálculo da energia armazenada: 
JW
AHW
ILW
armazenada
armazenada
marmazenada
3
23
2
10
2
54
)3(106
2
1
2
1














 
mJWarmazenada 27
 
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 EXEMPLO 4: 
Encontre a tensão e a carga em cada capacitor do circuito dado a seguir 
após cada carga ter atingido deu valor final. 
 
Figura 23 – Circuito do exemplo 4. 
SOLUÇÃO 
O circuito da Figura 23 pode ser representado como: 
 
Figura 24 – Modo de representação do circuito da Figura 23. 
 Calculando as tensões sobre cada capacitor, temos: 
 
 
 
 
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VV
V
V
C
C
16
72
)72()2(
1
1




 
 
VV
V
V
C
C
56
27
)72()7(
2
2




 
 
 Cálculo das cargas: 
CQ
VFQ
VCQ C
32
)16()102(
1
6
1
11 1




 
 
CQ
VFQ
VCQ C
168
)56()103(
2
6
2
22 2




 
 
 
 
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5. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
 
1. Análise de Circuitos. O’Maley, John. Coleção: Schaum, Editora Makron 
Books, 2ª. Edição, 1994, ISBN: 8534601194. 
2. Introdução aos Circuitos Elétricos. Dorf, Richard C.; Svoboda, James A. 
Editora LTC, 7ª. Edição, 2008, ISBN: 8521615825. 
3. Curso de Circuitos Elétricos. Orsini, L. Q.; Consonni, Denise. Editora 
Edgard Blücher Ltda, 2ª. Edição, Vol. 1, 2002, ISBN: 852120308x. 
4. Curso de Circuitos Elétricos. Orsini, L. Q.; Consonni, Denise. Editora 
Edgard Blücher Ltda, 2ª. Edição, Vol. 2, 2004, ISBN: 8521203322. 
5. Eletronics – Introductory Circuit Analysis. Boylestad, R. L. Prentice Hall, 
2002. 
6. Circuitos Elétricos. Nilsson, J. W.; Riedel, S. A. Prentice Hall Brasil, 8a. 
edição, 2008.