LIsta_4

Prévia do material em texto

Pontifícia Universidade Católica de Campinas
Engenharia Civil
Cálculo B - 04379
Técnicas de Integração
1
(ATENÇÃO: os exercícios marcados com �*� são sugestões para serem entregues!)
1*) Avalie a integral usando integração por partes com as escolhas de u e dv indicadas:
a)
´
x lnx dx; u = lnx, dv = x dx
b)
´
θ sec2 θ dθ; u = θ, dv = sec2 θ dθ
2) Avalie a integral:
a)
´
rer/2dr
b)
´
x2 cos(mx) dx
c)
´ 1
0
y
e2y
dy
d)
´ t
0
essen(t− s) ds
3*) Uma partícula que se move ao longo de uma linha reta tem velocidade igual a v(t) = t2e−t
metros por segundo após t segundos. Qual a distância que essa partícula percorrerá durante
os primeiros t segundos?
4) Primeiro faça uma substituição e então use a integração por partes para avaliar a integral:
a)
´
sen(
√
x) dx
b)
´ 4
1
e
√
xdx
5) Avalie as seguintes integrais trigonométricas:
a)
´
cos3 x dx
b*)
´ pi
0
sen
2x dx
c)
´
tg
6x sec4 x dx
d*)
´
sen(4x) cos(5x) dx
6) Uma partícula se move em uma linha reta com a função velocidade v(t) = sen(ωt) cos2(ωt).
Encontre sua função de posição s = f(t) se f(0) = 0.
7) Avalie a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e rotule o triângulo
retângulo associado.
a)
´
1
x3
√
x2−9dx; x = 3 sec θ
1
Exercícios retirados/adaptados de Stewart, J., Cálculo, v. 1, 5
a
ed.; e Anton, H., Cálculo: um novo horizonte, v. 1, 6
a
ed..
1
b)
´
x3
√
9− x2 dx; x = 3 sen θ
c*)
´
x3√
x2+9
dx; x = 3 tg θ
8*) Avalie
´
dx√
x2+a2
usando:
a) substituição trigonométrica, x = a tg θ.
b) substituição hiperbólica, x = a senh t
9) Calcule as seguintes integrais usando uma substituição apropriada.
a)
´
x√
x2+4
dx
b*)
´
dx√
x2+a2
c)
´ 3√3/2
0
x3
(4x2+9)3/2
dx
d)
´
x√
3−2x−x2dx
10*) Calcule a área limitada pela elipse
x2
a2
+ y
2
b2
= 1.
11) Encontre a área da região em forma de lua crescente limitada pelos arcos dos círculos de raios
r e R, como ilustra a figura abaixo.
12) Escreva as formas de decomposição em frações parciais da função. Não é preciso determinar
os valores numéricos dos coeficientes.
a)
2x
(x+3)(3x+1)
b)
1
x3+2x2+x
c)
2
x2+3x−4
d)
x2
(x−1)(x2+x+1)
13) Encontre a área da região sob a curva dada de a até b:
a*) y = 1
x2−6x+8 , a = 5, b = 10
b) y = x+1
x−1 , a = 2, b = 3
2
14) Avalie as seguintes integrais:
a*)
´
x−9
(x+5)(x−2)dx
b*)
´ 1
0
x−1
x2+3x+2
dx
c)
´
ax
x2−bxdx
d)
´
5x2+3x−2
x3+2x2
dx
e)
´
10
(x−1)(x2+9)dx
f)
´ 5
2
x2+2x
x3+3x2+4
dx
15*) Fatore x4+1 como uma diferença de quadrados adicionando e subtraindo a mesma quantidade.
Use a fatoração para avaliar
´
1
(x4+1)
dx.
16) Se f é uma função quadrática tal que f(0) = 1 e
´
f(x)
x2(x+1)3
dx é uma função racional, encontre
o valor de f ′(0).
3
Respostas
1)
a)
1
2x
2 lnx− 14x2 + C
b) θ tg θ − ln | sec θ|+ C
2)
a) 2rer/2 − 4er/2 + C
b)
1
mx
2
senmx+ 2m2x cosmx− 2m3 senmx+C
c)
1
4 − 34e−2
d)
1
2 (e
t − cos t− sen t)
3) 2− e−t (t2 + 2t+ 2) metros
4)
a) 2 (sen
√
x−√x cos√x) + C
b) 2e2
5)
a)
1
5 cos
5 x+ 13 cos
3 x+ C
b) − 11384
c)
1
5 sen
5x− 27 sen7x+ 19 sen9x+ C
d)
3pi
8
6)
1
3ω
(
1− cos3 ωt)
7)
a)
1
9
√
x2−9
x + C
b)
1
5
(
9− x2)5/2 − 3 (9− x2)3/2 + C ou
− 15
(
x2 + 6
)
(9− x)3/2 + C
c)
1
3
(
x2 + 9
)3/2 − 9√x2 + 9 + C ou
1
3
(
x2 − 18)√x2 + 9 + C
8)
a) ln
(
x+
√
x2 + a2
)
+ C
b) senh
−1 (x
a
)
+ C
9)
a)
√
xx + 4 + C
b) ln |x+√x2 − a2| − ln a+ C ou
cosh−1
(
x
a
)
+ C
c)
3
32
d) −√3− 2x− x2 − senh−1 (x+12 )+ C
10) piab
11) r
√
R2 − r2 + pi2 r2 −R2sen−1
(
r
R
)
12)
a)
A
(x+3) +
B
(3x+1)
b)
A
x +
B
x+1 +
C
(x+1)2
c)
A
x+4 +
B
x−1
d)
A
x−1 +
Bx+C
x2+x+1
13)
a) ln
(
3
2
)
b) 1 + 2 ln 2
14)
a) 2 ln |x+ 5| − ln |x− 2|+ C
b) 3 ln 3− 5 ln 2
c) a ln |x− b|+ C
d) 2 ln |x|+ 1x + 3 ln |x+ 2|+ C
e) ln |x− 1| − 12 ln
(
x2 + 9
)− 13 tg−1 (x3 )+C
f)
1
3 ln
(
17
2
)
15)
√
2
8 ln
(
x2+
√
2x+1
x2−√2x+1
)
+
√
2
4
[
tg
−1 (√2x+ 1)+ tg−1 (√2x− 1)]+ C
16) f ′(0) = 3
4