Vetorial

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Produto Vetorial
Prof. Rogério Toniolo
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 No Produto Vetorial : o resultado será um vetor.
PRODUTO VETORIAL:
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 A  B 
=
Embora o determinante possa ser resolvido pelo método de Sarrus, 
o método de Laplace se mostra mais direto:
=
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 A  B 
=
Embora o determinante possa ser resolvido pelo método de Sarrus, 
o método de Laplace se mostra mais direto:
=
2o Passo: Resolve-se o determinante 22 que sobrou
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 A  B 
=
Embora o determinante possa ser resolvido pelo método de Sarrus, 
o método de Laplace se mostra mais direto:
=
 AyBz
 ( - ) i 
^
AzBy
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 A  B 
=
Embora o determinante possa ser resolvido pelo método de Sarrus, 
o método de Laplace se mostra mais direto:
=
 AyBz
 ( - ) i 
^
4o Passo: Resolve-se o determinante 22 que sobrou 
AzBy
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 A  B 
=
Embora o determinante possa ser resolvido pelo método de Sarrus, 
o método de Laplace se mostra mais direto:
=
 AyBz
 ( - ) i 
^
AzBy
AzBx
 AxBz
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 A  B 
=
Embora o determinante possa ser resolvido pelo método de Sarrus, 
o método de Laplace se mostra mais direto:
=
 AyBz
 ( - ) i 
^
AzBy
AyBx
 AxBy
6o Passo: Resolve-se o determinante 22 que sobrou 
AzBx
 AxBz
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*
 A  B 
=
Embora o determinante possa ser resolvido pelo método de Sarrus, 
o método de Laplace se mostra mais direto:
=
 AyBz
 ( - ) i 
^
AzBy
AyBx
 AxBy
AzBx
 AxBz
*
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*
 A  B 
=
Embora o determinante possa ser resolvido pelo método de Sarrus, 
o método de Laplace se mostra mais direto:
=
 AyBz
 ( - ) i 
^
AzBy
AyBx
 AxBy
AzBx
 AxBz
*
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*
 A  B 
=
Embora o determinante possa ser resolvido pelo método de Sarrus, 
o método de Laplace se mostra mais direto:
=
 AyBz
 ( - ) i 
^
AzBy
AyBx
 AxBy
AzBx
 AxBz
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Visualização do Produto Vetorial:
Seu sentido é definido pela “regra da mão esquerda”.
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Visualização do Produto Vetorial:
Uma outra forma de determinar o sentido do resultado de um produto vetorial é através da “regra da mão direita” como ilustra-se:
Dobra-se os dedos na direção do 1o para o 2o vetor pelo menor ângulo.
Exemplos:
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Visualização do Produto Vetorial:
Note que ao invertemos a ordem do produto vetorial, obtemos o vetor oposto. 
Esta é uma das primeiras propriedades do produto vetorial:
 A  B 
=
Ao mudar a ordem da multiplicação, duas linhas são trocas de lugar no determinante. Com isso o valor do determinante troca de sinal (reveja propriedades dos determinantes).
 B  A 
=
L2 e L3 foram 
trocas de posição
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Outras Propriedades:
IV) u  v = 0 
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Outras Propriedades:
IV) u  v = 0 
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Outras Propriedades:
IV) u  v = 0 
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Outras Propriedades:
IV) u  v = 0 
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Outras Propriedades:
IV) u  v = 0 
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Outras Propriedades:
IV) u  v = 0 
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Outras Propriedades:
IV) u  v = 0 
Produto vetorial não é, em geral, associativo.
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Módulo do Produto Vetorial:
onde
 : é o ângulo entre os dois vetores 
B = (para simplificar a notação) 
O ângulo entre dois vetores está relacionado com o módulo do produto 
vetorial da seguinte maneira:
 | A  B | 
=
A·B·sen
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Módulo do Produto Vetorial:
onde
 : é o ângulo entre os dois vetores 
B = (para simplificar a notação) 
O ângulo entre dois vetores está relacionado com o módulo do produto 
vetorial da seguinte maneira:
 | A  B | 
=
A·B·sen
Mas, da figura, vemos que: 
h = A·sen (triângulo retângulo)
Assim: 
área = B·A·sen = A·B·sen 
Interpretação Geométrica:
A área do paralelogramo é determinada 
por: área = B·h 
Considere um paralelogramo definido por dois vetores: 

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Exercícios: (Problemas Propostos 3.16, a partir da página 92)
Tente resolver antes de ver a resolução.
58) Calcular a área do paralelogramo que tem um vértice no ponto A (3,2,1) e uma 
diagonal de extremidades B(1,1,-1) e C(0,1,2)
VER RESOLUÇÃO
VER RESOLUÇÃO
VER RESOLUÇÃO
VER RESOLUÇÃO
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Resolução:
VOLTAR
Obs:
Na resposta do livro o vetor (3, 7, 1) 
é um múltiplo (para k = 1/3) do vetor 
obtido aqui.
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Resolução:
VOLTAR
(1, 2, m) = (1, 2, -5)
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Resolução:
VOLTAR
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58) Calcular a área do paralelogramo que tem um vértice no ponto A (3,2,1) e uma 
diagonal de extremidades B(1,1,-1) e C(0,1,2)
Resolução:
VOLTAR