Apostila Francisco e Jorge

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MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I
GEOMETRIA ANALÍTICA
•Coordenadas de pontos no plano cartesiano. 
•Distâncias entre pontos.
Sejam e dois pontos no plano cartesiano. A distância 
entre e é dada pela expressão . 
•Equação da circunferência. 
Por definição, um ponto está na circunferência de centro 
e raio se, e somente se, , ou seja, . 
Desenvolvendo essa equação, percebe-se que uma circunferência sempre tem 
uma equação do tipo Isso sugere o seguinte exemplo: 
determine o centro e o raio da circunferência de equação 
.
•Exemplos: determine a expressão de uma função que representa a parte 
superior da circunferência E para a parte inferior?
•Retas no plano cartesiano:
 retas horizontais (paralelas ao eixo ) possuem equação do tipo 
.
 Retas verticais (paralelas do eixo ) possuem equação do tipo 
.
 De modo geral, uma reta não vertical possui equação do tipo . O 
número é o coeficiente angular e o número é o coeficiente linear.
 Dados os pontos e , com , a reta que passa por 
 e tem equação . Dessa equação observa-se 
que o coeficiente angular é igual a tangente do ângulo que a 
reta faz com o semi-eixo positivo .
 Retas paralelas: duas retas de equações e são 
paralelas se elas possuem o mesmo coeficiente angular, ou seja, se .
 Retas perpendiculares: demonstrar que duas retas de equações 
e são perpendiculares se .
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Exemplo: determine a equação da reta que passa pelos pontos 
e . Agora determine a reta que passa pelo ponto e que é 
perpendicular a essa que você acabou de encontrar.
Exemplo: determine de modo que a distância entre os pontos 
e seja igual a 5. Interprete geometricamente esse problema.
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
•Num triângulo retângulo como o da figura abaixo, define-se o seno, o 
cosseno e a tangente do ângulo do seguinte modo:
 
.
•Comentar que essa definição depende apenas do ângulo e não do 
triângulo e listar as identidades: 
.
•Exemplos:
30o 45o 60o
seno
cosseno
tangente 1
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MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
•O círculo trigonométrico e arcos orientados. 
Num plano cartesiano, considere a circunferência de centro na origem e 
raio igual a uma unidade de medida. Essa circunferência é chamada de círculo 
trigonométrico. O ponto será a origem dos arcos orientados que 
serão construídos sobre essa circunferência. 
 Seja um número real entre 0 e . Imagine um ponto móvel 
deslocando-se no sentido anti-horário sobre o círculo trigonométrico, 
iniciando seu percurso no ponto , e percorrendo uma distância igual a 
unidades de comprimento. Ao final desse percurso ele pára num ponto 
do círculo trigonométrico. A trajetória descrita por é o arco orientado 
de medida . Nesse caso, dizemos o ângulo central , que subtende o 
arco , tem medida radianos. 
 
 Relembrar a relação entre graus e radianos: .
 O seno, o cosseno e a tangente de :
Continuando com entre 0 e , sejam e as 
extremidades do arco orientado de medida radianos. Definimos e 
representamos o seno, o cosseno e a tangente de da seguinte maneira:
 , e , se e 
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Desse modo, pontos sobre o círculo trigonométrico podem ser escritos na 
forma . 
Exemplos:
0
seno 0 1 0 -1 0
cosseno 1 0 -1 0 1
tangente 0 0 0
•As funções trigonométricas reais: 
Seja um número real qualquer. Existem únicos e tais que 
. Definimos o , e como sendo, 
respectivamente, o seno, o cosseno e a tangente de radianos. No caso da 
tangente, devemos ter , .
Os gráficos das funções: , e estão 
representados a seguir.
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Observação: cada uma dessas funções é periódica, de período . Isso 
significa que para todo real:
 
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
•Para todo número real valem as igualdades:
 
 
 
•Cosseno da soma: vamos mostrar que para quaisquer números reais e 
é válida a identidade 
Para isso, considere os pontos e sobre o 
círculo trigonométrico. Observe que o raio faz ângulo com o eixo 
positivo. Agora, faça uma rotação no triângulo de modo que ele fique na 
posição do triângulo (observe as figuras a seguir).
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Pela definição das funções seno e cosseno, vemos que as coordenadas dos 
pontos e são: e . Uma vez que os 
segmentos e possuem o mesmo comprimento, pela fórmula da 
distância entre dois pontos, vemos que implica: 
Desenvolvendo essa igualdade e simplificando obtemos a identidade desejada
.
•Outras identidades trigonométricas semelhantes: 
 
 Arco duplo e arco metade: para todo número real 
 
 
 Lei dos cossenos:
em qualquer triângulo como o da 
figura, temos: 
 
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MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I
FUNÇÃO EXPONENCIAL: DEFINIÇÃO
No que segue, apresentamos uma definição formal para a exponenciação , para 
quaisquer real e .
Se , por definição coloca-se , e assim por diante. Ou 
seja, para todo define-se como o produto de fatores iguais ao 
número . Nesta definição não podemos incorporar o caso , pois para 
calcularmos utilizamos um produto, e para isto é necessário a existência de 
dois ou mais fatores. Entretanto, por analogia aos casos e , 
parece ser natural definirmos . Entretanto existe uma outra explicação para 
essa definição. A potenciação que acabamos de definir possui a seguinte 
propriedade:
 (*)
para quaisquer . Assim, para definirmos coerentemente, 
devemos escolher o valor de de modo que a igualdade (*) também seja 
verdadeira para o caso em que ou sejam iguais a 1. Se este é o nosso 
desejo, em particular, devemos ter: . Logo . 
Desta igualdade, também surge a definição natural de .
O caso é análogo (ainda estamos supondo ). Para definir esse número é 
interessante que ele também obedeça a propriedade (*). Desta propriedade, em 
particular devemos ter: . Esta última igualdade implica que 
. Portanto as igualdade e são definidas de maneira a garantir 
que a i gua ldade (*) se ja ve rdade i ra para todos os va lo res de 
.
A respeito da potenciação, pode-se também perguntar sobre a definição do número 
 para e . Esse número também é definido de modo a 
garantir que a igualdade (*) seja verdadeira para quaisquer inteiros e 
positivos ou negativos. Para isto ser verdade, em particular devemos ter 
. Daqui segue que para todo inteiro positivo n.
Antes de continuar, devemos responder o que acontece nestas definições se 
tentamos colocar . Ora, para inteiro positivo, não existe problema algum 
. Por outro lado, se então não está definido pois deveríamos ter 
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 que não existe. Mas ainda, também não está definido pois, por 
exemplo, neste caso existe o seguinte problema: , e a divisão 
por zero não existe.
Até o momento temos uma definição para para todo expoente inteiro. Agora 
queremos definir para expoentes racionais. Esta definição também será dada 
de modo a garantir que a igualdade (*) seja verdadeira para todos os expoentes 
 e racionais. Vejamos: se então: . 
Portanto é um número positivo que elevado a potência resulta o número 
. Daqui segue que .
Neste caso, o número , para racional diferente de zero e não-inteiro, está 
definido apenas para . Caso contrário teremos, no conjunto dos números 
reais, impossibilidades como por exemplo: . Por esse motivo, a 
função exponencial está definida apenas para bases .
Observação: a definição de para irracional é dada por limites: se é 
uma seqüência de números racionais convergindo para , definimos como o 
limite da seqüência . 
Propriedades: para quaisquer números reais e , e todo , temos:
(1) 
(2) ,
(3) 
(4) 
FUNÇÃO EXPONENCIAL: GRÁFICOS
•Se o gráfico da função
tem o aspecto da figura abaixo. Nesse 
caso, essa função possui as seguintes 
propriedades:
 a função é crescente.
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 .

•Se o gráfico da função tem o aspecto da figura abaixo. Nesse 
caso, essa função possui as seguintes propriedades:
 a função é decrescente.
 .

O NÚMERO DE NAPIER: e 
Dentre as várias bases para a função exponencial, existe uma que é mais adequada 
para o cálculo diferencial e integral. Essa base é o número neperiano , que pode 
ser interpretado da seguinte maneira. 
Vamos analisar a inclinação da reta tangente ao gráfico da função exponencial 
 ( ) no ponto . As figuras a seguir sugerem que essa inclinação 
varia continuamente com o número e que ela aumenta conforme aumentamos o 
valor de . Nessas figuras estão representados os gráficos das funções 
exponenciais de bases , , e além das retas tangentes a 
esses gráficos no ponto e o coeficiente angular de cada uma dessas 
retas.
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Esse raciocínio sugere que deve existir um valor de tal que o coeficiente angular 
da reta tangente ao gráfico da função exponencial no ponto seja 
exatamente igual a 1. Esse número realmente existe: ele é o número de Napier, 
representado pela letra . Pode-se mostrar que esse número é irracional e vale 
aproximadamente .
Na figura abaixo temos o gráfico da função exponencial de base além de sua reta 
tangente no ponto .
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FUNÇÃO LOGARÍTIMICA
Seja e . Uma vez que a função exponencial é crescente ou 
decrescente vemos que para qualquer número existe um, e somente um, 
número real tal que . Tal número é o logaritmo de na base . Ele é 
representado por . Isso define a função logarítmica de base : 
Como vimos, tal função é caracterizada pela equivalência:
 .
Propriedades operacionais do logaritmo: 
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) . 
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O LOGARITMO NATURAL OU NEPERIANO
Dentre todas as funções logarítmicas, a de base (o número de Napier) é a 
mais importante para o cálculo diferencial e integral. Nesse caso, essa função 
logarítmica é chamada de “o logaritmo natural” e é denotada por . 
Uma vez que a função é a inversa da função , vemos que os 
gráficos dessas duas funções são simétricos em relação a reta . No plano 
cartesiano da figura a seguir, estão representados os gráficos dessas duas funções, 
além da reta .
Exemplo: Um objeto à 80o C foi colocado em um ambiente cuja temperatura é 
mantida constante em 24o C. Sabe-se que, ao passar do tempo, a temperatura do 
objeto decresce e tende a temperatura do meio ambiente. Além disso, sabe-se que 
a temperatura do objeto no instante de tempo é dada pela expressão 
, sendo e constantes que dependem do meio e do objeto. 
Entretanto, passados 30 minutos, verificou-se que a temperatura do objeto é de 
50o C. Determine em que instante a temperatura do objeto será igual a 30o C.
Observação: chamar a atenção dos alunos para o fato da primeira lista de 
exercícios conter algumas aplicações importantes de exponencial e logaritmo, tais 
como: desintegração radioativa e lei de resfriamento de Newton. 
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MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I
MOTIVAÇÃO PARA A DEFINIÇÃO DE LIMITES
Para motivar a idéia de limites de funções, vamos definir o conceito de reta tangente ao 
gráfico de uma função no ponto .
Então seja um ponto sobre o gráfico da função . Agora considere 
um outro ponto sobre o gráfico dessa função. A reta que passa pelos 
pontos e é chamada de reta secante ao gráfico de (veja ilustração na figura 
abaixo).
Observe que, intuitivamente , quando mantemos o ponto fixo e aproximamos de 
, parece que a reta secante tende a uma certa posição, que é a da reta tangente 
ao gráfico de no ponto . Desse modo, ao fazermos tender ao número vemos 
que o coeficiente angular da reta secante tende ao coeficiente 
angular da reta tangente ao gráfico de no ponto . Assim, se existir o limite da 
expressão quando tende ao número , representamos esse limite 
por e dizemos que a reta tangente ao gráfico de no ponto é aquela que 
passa por e tem coeficiente angular . Portanto essa reta tem equação
.
Dessa motivação vem a necessidade de entender o significado da expressão: 
“o limite de uma função quando tende a um número previamente fixado”.
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LIMITES DE FUNÇÕES: DEFINIÇÃO E 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
• Definição de limite: dizemos que uma função tem limite quando 
tende a um número se, dado existir tal que para 
todo tal que . Se esse é o caso escrevemos .
• Definir limites laterais: a direita e a esquerda .
• Exploração do conceito de limite através de gráficos. Exemplo: em cada um dos 
gráficos abaixo identificar, caso estejam definidos, , , 
 e .
 
 
Aproveitar os exemplos acima para interpretar geometricamente o conceito de 
função contínua. A definição formal desse conceito será apresentada na próxima 
aula.
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PROPRIEDADES DOS LIMITES
(1)Se existe o estão o valor desse limite é único.
(2)Para quaisquer números e , .
(3)Para qualquer número , . 
(4)Para as propriedades de (a) a (h) abaixo, suponhamos que existam e 
. 
a) . b) 
c) . d) 
e) . f) , f > 0 e p real.
g) h) 
• Conseqüência da propriedade (h): se é uma função limitada, isto é, 
para alguma constante e todo de seu domínio e se , então 
.
• Exemplos. Caso exista, calcule cada um dos seguintes limites:
a) . b) . 
c) . d) .
e) e) .
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MAT001 Cálculo Diferencial e Integral I
LIMITES NO INFINITO:
assíntotas horizontais
• Dizemos que uma função tem limite quando tende a mais infinito se 
dado existir tal que para todo . Se esse é o 
caso escrevemos .
• Analogamente dizemos que uma função tem limite quando tende a 
menos infinito se dado existir tal que para todo 
. Se esse é o caso escrevemos .
Obs: em qualquer um dos casos acima, diz-se que a reta é uma assíntota 
horizontal ao gráfico de .
Exemplos: (a) . (b) .
(c) . (d) .
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LIMITES INFINITOS:
assíntotas verticais
• Dizemos que uma função tem limite infinito quando tende a um 
número se para qualquer existir tal que para todo 
com . Se esse é o caso escrevemos .
• Analogamente dizemos que uma função tem limite menos infinito quando 
 tende a um número se para qualquer existir tal que 
para todo com . Se esse é o caso escrevemos .
Obs: em qualquer um dos dois casos acima, diz-se que a reta é uma assíntota 
vertical ao gráfico de .
• Observar que podemos definir limites laterais infinitos. Exemplos: 
 e 
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CONTINUIDADE
• Dizemos que uma função é contínua no ponto se:
(1) estiver definida em , ou seja, existe ;
(2) existir ;
(3) .
• Também dizemos que uma função é contínua em um intervalo aberto se ela for 
contínua em todos os pontos desse intervalo. Comentar como isso deve ser 
interpretado no caso de intervalos fechados .
 
• Apresentar gráficos de funções contínuas e descontínuas para enriquecer o 
entendimento desse conceito.
Exemplo 1: verifique se a função definida a seguir é contínua em .
Exemplo 2: determine constantes e para que a função definida a seguir seja 
contínua em .
Propriedades das funções contínuas
(1) Suponhamos que as funções e são contínuas em um intervalo . Então cada 
uma das funções listadas no quadro a seguir também é contínua em .
a) isto é, b) , isto é, 
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c) , isto é, d) , isto é, 
e) , isto é, f) , isto é, , 
 e real.
(2) Cada uma das funções listadas a seguir é contínua em todos os pontos do seu 
domínio: as funções polinomiais, as funções racionais, o seno, o cosseno, a 
exponencial e o logaritmo.
TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO
Teorema: Seja uma função contínua no intervalo fechado . Se é 
um
número entre e então existe entre e tal que .
Observação: esse teorema implica o seguinte fato: se é uma função contínua 
em um intervalo , e se e possuem sinais diferentes, então existe 
entre e tal que .
Exemplo: aplicar o resultado da observação anterior para obter uma aproximação, com 
três casas decimais, para uma raiz da equação .
Observação: o próximo tópico poderá ser tratado nas aulas sobre máximos e mínimos e 
problemas de otimização (aulas teóricas 12 e 13).
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MÁXIMOS E MÍNIMOS ABSOLUTOS
• O máximo absoluto de uma função em um intervalo é o maior valor possível 
de quando variamos em . Analogamente, o mínimo absoluto de uma 
função em um intervalo é o menor valor de quando variamos em 
. 
Teorema: Toda função contínua em um intervalo fechado possui máximo e mínimo 
absolutos.
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