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AULA 1
TEORIA CONJUNTOS
TEORIA CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto cujos elementos nº guardam entre si característica comum, costumam ser indicados letras
maiúsculas. Conjunto nº naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais.
SÍMBOLOS
SÍMBOLOS OPERAÇÕES
NOÇÕES CONJUNTOS
CONJUNTO VAZIO
Não possui elementos Ø ou { }
SUBCONJUNTOS
Quando todos elementos
conjunto A pertence outro
conjunto B, A B.
UNIÃO
Todos elementos
pertencentes A ou B, A B.
INTERSEÇÃO
Todos elemento pertencentes
A B, simultaneamente, A B.
DISJUNTOS
Dois conjuntos nenhum
elemento comum, { }.
DIFERENÇA
Todos elementos pertence A
não pertence B, A - B.
CONJUNTO Nº NATURAIS ( )
Representado geometricamente meio reta numerada. Escolhemos ponto origem (correspondente nº zero),
medida unitária, orientação (geralmente direita).
Estão definidas 2 operações: adição/multiplicação. Soma/produto pertence igualmente .
CONJUNTO Nº INTEIROS ( )
Todos elementos pertencem , subconjunto .
CONJUNTO Nº RACIONAIS ( )
Conjunto quocientes dois nº inteiros, dízima periódica, podem ser colocados forma fração
(numerador/denominador ), (-/+).
CONJUNTO Nº IRRACIONAIS ( )
Decimais infinitas não podem ser escritos forma fração, dízima não periódica.
CONJUNTO Nº REAIS ( )
Portanto, , , , todos . Como subconjunto temos:
AULA 2
POTENCIALIZAÇÃO, RADICIAÇÃO, INTERVALOS NUMÉRICOS, FATORAÇÃO
POTENCIAÇÃO/RADICIAÇÃO Nº FRACIONÁRIOS
Potenciação, elevando nº fracionário determinado expoente, elevamos numerador/denominador.
Base negativa
Expoente par= Potência positiva;
Expoente negativo= Potência negativa.
PROPRIEDADES POTENCIAÇÃO
Produto potência mesma base: repetir base soma expoentes;
22.23 = 22+3 = 25 = 32
Quociente potência mesma base: repetir base diminuir expoentes;
128:126 = 128-6 = 122 = 144
Potência potência: multiplicamos expoentes;
(32)3 = 32.3 = 36 = 729
Multiplicação potências mesmo expoente: multiplicar bases repetir expoente;
24.34 = (2.3) 4 =64 =1296
Divisão potências mesmo expoente: dividir bases repetir expoente.
103:23 = (10:2)3= 53= 5.5.5= 125
813)3).(3).(3).(3()3( 44
8
1
2
1
2
1
.
2
1
.
2
1
2
1
33
Radiciação, aplicamos raiz quadrada nº fracionário, aplicando raiz numerador/denominador.
RADICIAÇÃO
POTENCIAÇÃO RADICAIS
Elevar radical dado expoente, basta elevar radicando àquele expoente.
( )3= 3 => ( )3= 3
DIVISÃO RADICAIS
Divisão radicais mesmo índice, mantemos índice dividimos radicais:
Divisão radicais diferentes, reduzi-los mesmo índice depois efetuar operação:
*Só podemos somar/subtrair radicais semelhantes!
RACIONALIZAÇÃO DENOMINADORES
Racionalizar denominador fração devemos multiplicar termos fração expressão radical, denominado fator
racionalizante, modo obter nova fração equivalente denominador sem radical.
3 3 3 3
7 2 4 2 7 4 2 11 2
7 2 4 2 7 4 2 3 2
8 5 3 5 6 5 8 3 6 5
POTENCIA EXPOENTE RACIONAL
PROPRIEDADE POTÊNCIAS EXPOENTE RADICAIS
São mesmas expoentes inteiros. Sendo A B números reais/positivos expoentes números racionais.
INTERVALOS
FATORAÇÃO
DECOMPOSIÇÃO FATORES PRIMOS
Todo número natural, maior 1, pode ser decomposto produto dois/mais fatores.
24=4.6 24=2.2.6 24=2.2.2.3=2³.3
Fatoração número 24 corresponde decomposição produto fatores primos. Então, fatoração 24=2³.3.
Regra fatoração
1º) Dividimos número menor divisor primo;
2º) Dividimos quociente menor divisor primo desse quociente assim sucessivamente até quociente 1.
DETERMINAÇÃO DIVISORES
FATORAÇÃO EXPRESSÃO MATEMÁTICA
Casos fatoração
FATOR COMUM
Termo comum
DIFERENÇA DOIS QUADRADOS
Forma fatorada será (3 – 9).(3 + 9).
baaba 2224
.2a
QUADRADO SOMA DOIS TERMOS
é forma fatorada expressão
QUADRADO DIFERENÇA DOIS TERMOS
é a forma fatorada da expressão
TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
Expressão algébrica composta três termos.
Quadrado perfeito resultado multiplicação dois fatores iguais.
AULA 3
EQUAÇÕES/INEQUAÇÕES 1º GRAU
EQUAÇÕES 1º GRAU (uma variável)
É toda sentença matemática aberta exprime relação igualdade.
EQUAÇÃO GERAL 1º GRAU
A +B = 0
Onde A B são números conhecidos A > 0. Solução é simples:
Subtraindo B dois lados, obtemos: A = -B
Dividindo por A (dos dois lados), temos:
Considere equação 2 - 8 = 3 -10
Letra é incógnita (desconhecida) equação.
Sentença antecede sinal igualdade denomina-se 1º membro, sucede 2º
membro.
222 2 bbaaba
2ba 22 2 baba
222 2 bbaaba
2ba 22 2 bbaa
96933333 222 xxxxxxxx
RAÍZES EQUAÇÃO
Elementos conjunto verdade equação chamados raízes equação.
Substituir incógnita número;
Determinar valor cada membro equação;
Verificar igualdade, sentença verdadeira,
número considerado raiz equação.
-5=0, sendo A={0,1,2,3,4,5,6}
=5=>5-5=0
2 -5=1, sendo A={-1,0,1,2}
=2=>2.2-5=1=>4-5=1=>-1=1
RESOLUÇÃO EQUAÇÃO
Determinar conjunto verdade, dentro dado conjunto.
SISTEMA EQUAÇÃO 1º GRAU
São todas incógnitas estão elevadas potência 1. Poderá ter mais uma incógnita.
Sistema equações 1º grau tem duas incógnitas, y; formado duas equações 1º grau duas incógnitas.
{
Temos obter valores y satisfazem simultaneamente ambas equações.
MÉTODO SUBSTITUIÇÃO
2 +3y=24 Primeira equação 2 =24-3y Passamos 3y
segundo membro
x = 12 - (3y/2) Valor função y
Substituímos valor segunda equação 3 -2y=23:
3 - 2y = 23 Segunda
equação
3(12 - (3y/2)) - 2y = 23 Após
substituir , eliminamos
parênteses
36 - 9y/2 - 2y = 23
Multiplicamos termos por 2
72 - 9y - 4y = 46 Reduzimos
termos semelhantes
72 - 13y = 46 Separamos
variáveis/números
72 - 46 = 13y Simplificamos
equação
26 = 13y Mudamos posição
dois membros
13 y = 26 Dividimos ambos
membros por 6
y = 2 Valor obtido y
Substituindo y = 2 equação = 12 - (3y/2), obtemos:
= 12 - (3 2/2) = 12 - 6/2 = 12 - 3 = 9
MÉTODO ADIÇÃO
{
+ = =
20+6=26 =13
+y=20=> 13+y=20=>y=20-13=>y=7 S= (13; 7)
INEQUAÇÕES
É sentença matemática uma/mais incógnitas expressas desigualdade.
4( +1)–5≤2( +3)
Desenvolvemos parênteses
4 +4-5≤2 +6 ...4 -1≤2 +6
Passamos todos termos contêm para 1° membro e constantes para 2° membro:
4 –2 ≤1+6...2 ≤ 7
Dividimos todos termos coeficiente :
1≤2 +3< +5 (são duas inequações simultâneas)
(I) 1≤2 +3 (II) 2 +3< +5
Resolvendo (I): 1≤2 +3
Temos: -2 ≤3–1... -2 ≤2 ...2 ≥ -2 ... ≥ -1
*Dividirmos ambos membros por número negativo, sinal desigualdade inverte.
Resolvendo (II): 2 + 3 < + 5
2 – < 5 – 3 ... < 2
Logo: -1 ≤ < 2
AULA 4
RAZÃO/PROPORÇÃO, GRANDEZAS DIRETA-INVERSAMENTE PROPORCIONAIS, OPERAÇÕES
PORCENTAGEM
RAZÃO
Chama-se razão A B.
PROPORÇÃO
Igualdade duas razões.
A D são chamados extremos, B C são chamados meios.
A.D=B.C
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
São diretamente proporcionais quando, aumentando uma, outra aumenta mesma proporção primeira.
GRANDEZAS
INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
São inversamente proporcionais quando, aumentando uma, outra diminui mesma razão primeira.
PROPORÇÃO CONTÍNUA
É toda proporção apresenta meios iguais.
A/B=B/C
PROPORÇÃO MÚLTIPLA
É série razões iguais: A/B=C/D=E/F
PORCENTAGEM
Razão, cujo denominador é 100:
20/100=20%
AULA 5
FUNÇÃO CUSTO: FIXO, VARIÁVEL, GRÁFICO
CUSTOS
Soma valores bens/serviços consumidos/aplicados obter novo produto.
COMPONENTES BÁSICOS CUSTO
Valor matérias-primas/mercadorias
adquiridas;
Valor serviços prestados pessoas físicas
(empresários/empregados);
Valor serviços prestados outras empresas
como, transporte, fornecedoras força/luz,
seguro, bancos, etc.
Acordo natureza, classificam CUSTOS FIXOS/VARIÁVEIS.
CUSTOS FIXOS
Ocorrem função manutenção produção, independente quantidade produzida (aluguel, salário, etc.).
CUSTO FIXO UNITÁRIO=
CUSTOS VARIÁVEIS
Aumentam/diminuem, conforme volume produção.
CUSTO TOTAL
CUSTO TOTAL=CUSTO FIXO+CUSTO VARIÁVEL
FUNÇÃO CUSTO
Relacionada gastos efetuados produção/aquisição algum produto.
FUNÇÃO RECEITA
Está ligada FATURAMENTO bruto entidade, dependendo nº vendas determinado produto.
FUNÇÃO LUCRO
Oriundo subtração FUNÇÃO RECEITA, CUSTO.
