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CÁLCULO
Volume I
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do livro, SP, Brasil)
~~~~-,
Stewart, James
Cálculo, volume I f James Stewart. ~5. ed. -
São Paulo: Pioneira Thomson Learníng, 2006.
Titulo original: Cakulus.
Vários tradutores.
Bibliografia.
ISBN 85-221-0479-4
1. Cálculo I. Título
I 05-5022
Índices para catálogo sistemático:
1. Cálculo : Matemática 515
Austrália
"' CALCUL
Volume I
Sª EDIÇÃO
]AMES STEWART
McMaster University
Tradução Técnica
Antonio Carlos Moretti
Doutor em Engenharia Industrial pela Georgia Insti e of Technology
e Professor Livre-Docente do Imeec - nicamp
Antonio Carlos Gilli Marti
Doutor em Matemática pela Unicamp e Professo autor do Imeec- Unicamp
IVISON
Brasil Canadá Cingapura Espanha
Editora de Desenvolvimento:
Ada Santos Seles
Supervisora de Produção
Editorial:
Patricia La Rosa
Produtora Editorial:
Ligia Cosmo Cantarei li
COPYRIGHT © 2003 Thomson
Learning, Inc. Thomson
Learning™- Brooks/Cole
COPYRIGHT © 2005 de Pioneira
Thomson Learning Ltda., uma
divisão da Thomson learning,
Inc. Thomson Learning™ é uma
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sob licença.
Impresso no Brasil.
Printed in Brazil.
56 7 8 08 07 06
Setembro de 2005.
Rua Traipu, 114-39 andar
Perdizes - CEP O 1235-000
São Paulo- SP
Tel.: (11) 3665-9900
Fax: (11) 3665-9901
sac@thomsonlearning.com.br
www.thomsonlearning.com.br
THOIVISON
Produtora Gráfica:
Fabiana Alencar Albuquerque
Tradução Técnica:
Antonio Carlos Moretti
Antonio Carlos Gilli Martins
Copidesque:
Maria Alice da Costa
Todos os direitos reservados.
Nenhuma parte deste livro
poderá ser reproduzida sejam
quais forem os meios empregados
sem a permissão, por escrito, da
Editora.
Aos infratores aplicam-se as
sanções previstas nos artigos 102,
104, 106 e 107 da Lei nº 9.610, de
19 de fevereiro de 1998.
Esta editora empenhou-se
em contatar os responsáveis
pelos direitos autorais de
todas as imagens e de outros
materiais utilizados neste livro.
Se porventura for constatada
a omissão involuntária na
identificação de algum deles,
dispomo~nos a efetuar,
futuramente, os possíveis acertos.
Revisão:
Silvana Gouveia
A!essandra Miranda de Sá
Composição:
Marco Zero
Capa:
FZ. Dàblio Design Studio
Título, Edição e ISBN do Original:
Calculus, 5th, ISBN : 0-534-39-
321-7
Dados Internacionais de
Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do livro. SP.
Brasil)
Stewart, James
Cálculo, volume I I James Stewart.
~ 5. ed. ~São Paulo: Pioneira
Thomson Learning, 2006.
Título original: Calculus.
Vários tradutores. Bibliografia.
ISBN 85-221-0479-4
1. Cálculo. L Título.
05-5022 CDD-515
Índices para catálogo
sistemático:
1. Cálculo : Matemática 515
Aos meus alunos, antigos e presentes.
Prefácio
Uma grande descoberta envolve a solução de um gr.:mde problema.
mas há uma semente de descoberta na solução de qualquer
problema. Seu problema poJc ser modesto; porém. se ele desafiar
sua curiosidade c fizer funcionar sua capacidade inventiva, e caso
você o resolva sozinho. então poderá experimentar a tensão c o
prazer do triunfo da descoberta.
George Polya
A arte de ensinar, segundo Mark van Doren. é a de tomar parte em descobertas. Tentei escre-
ver um livro que tome parte na descoberta do cálculo pelos estudantes ~ por seu aspecto
prático bem como por sua surpreendente heleza. Nesta edição. como nas anteriores, pre-
tendi transmitir aos estudantes um sentido de utilidade do cálculo e desenvolver competên-
cia técnica, como também me empenhei em dar uma avaliação da beleza intrínseca do
assunto. Ne\:vton, sem dúvida, experimentou uma sensação de triunfo no momento de suas
grandes descobertas. Eu gostaria que os estudantes partilhassem dessa emoção.
A ênfase cst~í na compreensão dos conceitos. Penso que todos concordam que esta deve
ser a meta principal no ensino do cálculo. De f.ato, o ímpeto para o atual movimento de
reforma do cálculo vem da Conferência de Tulane, de !986, que formulou como recomen-
dação fundamental:
Focalizar na compreensiio conceitual.
Tentei implementar essa meta pela Regra de Três: ''Tópicos devem ser apresentados de
forma geométrica. numérica c algebricamente"'. Visualização, experimentação numérica e
gráfica e outras abordagens mudaram radicalmente a forma de ensinar o raciocínio con-
ceitual. Mais recentemente, a Regra de Três foi expandida. tornando-se a Regra de Quatro,
com o acréscimo do ponto de vista verbal ou descritivo.
Ao preparar esta edição parti da premissa de que é possível alcançar a compreensão
conceitual e ainda manter as melhores tradições do cálculo tradicional. O livro contém ele-
mentos de reforma. mas dentro de um contexto de um currículo tradicional.
O Que f: Novo Nesta Edição
Enquanto preparava a quinta edição deste livro, passei um ano na Universidade de
Toronto ensinando Cálculo utilizando a edição anterior. Eu ouvia atentamente as per-
guntas de meus alunos c as sugestões de meus colegas. E, cada vez que preparava uma
aula, ficava pensando se algum exercício a mais era necessário ou se uma frase deveria
ser melhorada ou, ainda, se uma seção deveria ter mais exercícios de um certo tipo.
Além disso, prestei muita atenção às sugestões enviadas por vários leitores e aos comen-
tários dos meus revisores.
Uma fonte não muito comum de problemas novos foi um telefonema de um amigo,
Richard Armstrong. Richard é sócio de uma finna de consultotia em engenharia e vrienta
os clientes que constroem hospitais c hotéis. Ele me disse que, em certas partes do mundo,
vi i
CÁlCULO Editnra Thomson
os sister:nas Je 5j;rinklcrs de prédios gr~mUes '>ão abasíccidos de água por compartimento:-,
localizados nos-tetos desses prédios. Naturalmente ele sabia que a pressão da água diminui
quando o nível de água decresce. mas queria quantJJ-icar esse decréscimo de maneira yuc
seus clientes pudessem garantir uma certa pressão durante um dado período.
Eu lhe disse que poderia resolver este problema usando as equaçôes diferenciais sepa-
ráveis, porém ocorreu-me que esse problema poderia gerar um bom projeto de pesquisa
quando combinado com outras idéias.
A estrutura desta edição permanece praticamente a mesma da anterior, no entanto, há
vários melhoramentos, pequenos e grandes:
• A revisão de funções trigonométricas inversas foi mudada elo Apêndice para a
Seção L6.
• Novas frases e notas de rodapé foram inseridas no texto para dar mais clareza à
exposição.
Vários trabalhos de arte foram redesenhados.
• Os dados em exemplos e os exercícios foram atualizados no tempo.
Exemplos foram adicionados. Por exemplo, foi adicionado um novo Exemplo I
na Seção 5.3 (página 394) porque alguns alunos tiveram uma certa dificuldade em
entender a noção de uma função definida por uma integral com um limite de integra-
ção variável. Eu acho que seria interessante dar uma olhada no Teorema Fundamen-
tal do Cálculo antes de ler o Exemplo 1 .
Foram incluídos determinados itens em alguns dos exemplos já existentes.
• Cerca de 25% dos exercícios em cada capítulo são novos. Aqui estão alguns dos
meus favoritos:
Exercício Página Exercício Página Exercício Página
2.8.34 164 3.9.55 254 4.4.74 315
5.4.52 410 7.7.36 524
Foram adicionados novos problemas nas seções Problemas Quentes. Veja, por exem-
plo, os Problemas 20 e 21 na página 277, os Problemas 9 e lO na página 585.
Cinco novos projetos foram incluídos. O projeto na página 242 pede ao aluno para
desenvolver um projeto de montanha-russa de maneira que os trilhos sejam suaves
nos pontos de transição. O projeto da página 550, o qual agradeço a Larry Riddle
pela idéia. é na verdade uma competição na qual a curva vencedora
tem o menor
comprimento de arco (dentro de certas classes de curvas).
Características
Exercícios Conceituais A maneira mais importante de encorajar a compreensão conceitual é através dos prohlc
mas que prescrevemos. Com essa flnalidade delineei vários tipos de novos problemas
Alguns conjuntos de exercícios começam com questões exigindo a explicação do signih
cado do conceito básico da seção. (Veja, por exemplo, os primeiros exercícios, nas Scçõe:
2.2. 2.5, 2.7) Analogamente, todas as seções de revisão começam por uma verificação con
ceitual e um teste do tipo vcrdadeiro~falso. Outros exercícios testam a compreensão con
ceitual por gráficos e tabelas (veja os Exercícios 2.8.1-3, 2.9.35-38 e 3.7.1 -4. Outro tipo d{
exercício usa a descrição vcrhal para testar a compreensão conceitual (veja os Exercício~
2.5.8, 2.9.4R, 4.3.59-60 e 7.8.67). Eu particularmente valoriz:f) os problemas que com·
binam e comparam as abordagens gráficas, numéricas e algébricas (veja os Exercícim
2.6.35-36 e 3.3.23).
Conjuntos de Exercícios Graduados Cada conjunto de exercícios é cuidadosamente graduado, progredindo desde os exercícim
conceituais básicos e problemas destinados a desenvolvimento de habilidades até proble-
mas mais desafiadores envolvendo as aplicações c provas.
Dados do Mundo Real Meu assistente e eu despendemos um bom tempo em bibliotecas, contatando companhias
e agências governamentais e procurando na Internet por dados do mundo real para intro-
duzir, motivar e ilustrar os conceitos do cálculo. Como resultado, muitos de nossos exem-
plos e exercícios tratam de funções definidas por esses dados numéricos ou gráficos. Veja.
por exemplo, as Figuras 1, 11 e 12 na Seção 1.1 (sismogramas do terremoto de
Northridge), Exercício 2.9.36 (porcentagem da população com idade inferior a 18 anos).
Ex<:.!:cfcio 5.1.14 (velocidade do ônibus espacial Endea-../OUr) e Figura 4 da Seção 5.4 (con-
sumo de energia em São Francisco).
Projetos Uma maneira de envolver os estudantes e então tomá-los aprendizes ativos é fazê-los tra-
balhar (talvez em grupos) em projetos de extensão, que dão um grande sentimento de rea-
lização quando finalizados. Isso inclui quatro tipos de projetos. Projetos Aplicados, que
envolvem as aplicações destinadas a apelar para a imaginação dos estudantes. Prr~jetos
Escritos, que pedem aos estudantes que comparem os métodos atuais com aqueles usados
pelos fundadores do cálculo (por exemplo, o método de Fermat para encontrar tangentes).
São sugeridas algumas referências. Projetos Descobertas, que antecipam os resultados que
serão discutidos posteriorn1ente ou encorajam a descoberta por meio do reconhecimento
do padrão (veja a Seção 7 .6).
Tecnologia A disponibilidade de tecnologia torna ainda mais importante compreender claramente os
conceitos que fundamentam as imagens na tela. Quando usados adequadamente, calcu-
ladoras gráficas e computadores são ferramentas valiosas na descoberta e compreensão
desses conceitos. Este livro pode ser usado com ou sem tecnologia. e usei dois símbolos
especiais para indicar quando um tipo especial de máquina é necessário. O ícone~~ indi-
ca um exemplo ou exercício que requer o uso dessa tecnologia, mas isso não significa
que ela não possa ser usada também em outros exercícios. O símbolo é reservado
para os problemas em que é requerida toda a capacidade de um sistema algébrico com-
putacional (como Derive, Maple, Mathematica ou TI89/92). Todavia, a tecnologia não
torna obsoletos o lápis e o papel. Os cálculos à mão e esboços são freqüentemente
preferíveis à tecnologia para ilustrar e reforçar alguns conceitos. Professores c estu-
dantes precisam desenvolver a habilidade para decidir quando é mais apropriada a
máquina ou a mão.
I
l'
Editora Thomson
Resolução de Problemas Os estudantes geralmente têm dificuldades com os problemas para os quais ndo há um
único procedimento hem-definido para obter a resposta. Penso que ninguém us~1 adc~
quadamente a estratégia das quatro etapas para a solução dos problema;.; proposta por
George Polya e, por isso, incluf uma versão de seus princípios no fim do Capítulo 1. Esses
conceitos são aplicáveis. explícita c implicitamente, em todo o livro. ,\pós os outros capí-
tulos coloquei seções denominadas Problema:·; Quentes, que apresentam como atração
principal os exemplos de como atacar os problemas desafiadores do cálculo. Ao selecionar
os variados problemas para essas seções tive em mente seguir os conselhos de David
Hilbert: "Um problema matemático deve ser diffcil para nos seduzir. mas não inacessível
de fonna a zombar de nossos esforços". Quando coloquei esses problemas desafiadores
como tarefas de testes. graduei-os de diferentes maneiras. Aqui_ eu recompensei signiüca~
tivamcnte o estudante por idéias na direção de uma solução c por reconhecer quais princí~
pios da solução de problemas são relevantes.
James Stewart PRHAC!D
Uma Apresentação O livro começa com uma visão geral do assunto. incluindo uma lista de yucstõcs pm
do Cálculo motivar o estudo do cúlculo.
Capítulo 1 Desde o início estão enfatizadas as representações múltiplas de funçôcs: verbal, numéric
Funções e Modelos__ visual e algébrica. Uma discussão de modelos matcmúticos leva a uma revisão das funçõe~
padrão, incluindo a função exponencial e logarítmica, sob esses quatro pontos de vista.
Capítulo 2 O material sobre limites está motivado por uma discussão anterior dos problemas datar
limites e Derivadas gente eatla velocidade. Os limltes são tratados sob os pontos de vista descritivo, gráfic(
numérico e algébrico. A Seção 2.4, sobre a definição precisa de um limite em termos d
E-Ô, é opcional. ,As Seções 2.8 e 2.9 tratam de derivadas (especialmente de funções definich:
gráfica c numericamente) antes das regras de diferenciação, cobertas no Capítulo 3. Aqui c
exemplos e exercícios exploram os significados das derivadas em vários contextos.
Capítulo 3 Todas as funções büsicas são diferenciadas aqui, incluindo a exponenciaL logarítmica
Regras de Diferenciação inversa das funções trigonométricas. Quando as derivadas são computadas em aplicaçõe:
os estudantes são questionados a explicar seus significados.
Capítulo 4 As seções sobre as funções monótonas e concavidade foram combinadas em uma únic;
Aplicações da Diferenciação que explica como as derivadas afetam o aspecto do gráfJco. Fazer gráficos com tecnologi
enfatiza a interação entre cálculo, calculadoras e análise de famílias de curvas. São Jade
problemas substanciais de otimização, inclusive uma explicação de por que você dever
elevar sua cabeça 42° para ver o topo de um arco-íris.
Capítulo 5 Os problemas de área e distância servem para motivar a integral definida, com a notaçã
Integrais somatória introduzida conforme necessário. (Uma cobertura completa da notaçã
somatória é dada no Apêndice E.) A ênfase está colocada na explicação do significado d
integral em vários contextos, bem como na estimativa dos valores dela a partir de gráfko
e tabelas.
Capítulo 6 Apresentei aqui as aplicações da integração~ área, vo]ume, trabalho, valor médio-. que poder
Aplicações de Integração ser feitas razoavelmente sem técnicas especializadas de integração. São enfatizados os método
genéricos. A meta é tomar os estudantes capazes de dividir uma quantidade em partes pequcnm
estimar com somas de Riemann c reconhecer o limite como uma integral.
Capítulo 7 Todos os métodos tradicionais são estudados neste capítulo, mas o desafio é reconhece
Técnicas de Integração qua] técnica é melhor em determinada situação. Da mesma forma, na Seção 7 .5, apresen
tei a estratégia para a integração. O uso de sistemas algébricos computacionais está discu
tido na Seção 7 .6.
Capítulo 8 Expomos aqui as aplicações de integração - comprimento do arco e área da superfície·
Mais Aplicações de Integração para as quais é útil ter
disponível todas as técnicas de integração, bem como aplicações:
biologia, economia e física (força hidrostática e centro de massa). Uma nova seção sobr,
probabilidade foi também incluída. Há aqui mais aplicações do que realisticamente poden
ser cobertas em um dado curso. Cabe aos professores selecionar aquelas adequadas a seu
alunos e pelas quais têm mais entusiasmo.
xii CÁLCUiJJ Editora Thomson
Agradecimentos
A preparação desta edição e das anteriores envolveu várias horas na leitura dos con~elhos
"algumas vezes contraditórios" de um grande número de bons revísorcs. Agradeço
enormemente o tempo despendido por eles para compreender os motivos pelos quais segui
em uma determinada direção. Aprendi um pouco com cada um deles.
Revisores desta edição
Martina Bode (Northwestem University), Gary \V. Harrison (Col1ege of Charleston), Hus-
sain S. Nur (Califomia State University, Frcsno). Philip L Bowers (Florida State Universi-
ty), Randall R. Holmes (Aubum Univcrsity). Scott Chapman (Trinity University), ]ames F.
Hurley (University of Connecticut), Mike Penna (Indiana University-Purdue. University of
Indianapolis), Char]es N. Curtis (Missouri Southem State College), Matthew A. !som (Ari-
zona State University), John Ringland (State University of New York em BuffaJo), John 'vV.
Davenport (Georgia Southem University), Zsuzsanna M. Kadas (St. Michael's Collcge), E.
Arthur Robinson Jr. (The George Washington University), Elias Decba (University of Hous-
ton-Downtown), Frederick W. Keene (Pasadena City College), Rob Root (Lafayette Col-
lege), Greg Dresden (Washington and Lee University), Robert L Kelley (University of
Miami), John C. Lawlor (University of Vermont), Teresa Morgan Smith (Biinn College),
Martin Erickson (Truman State University), Cristopher C. Leary (State University of New
York em Geneseo)_ Donald W. Solomon (University of Wisconsin-Milwaukee), Laurene V
Fausett (Georgia Southem University), William O. Martin (North Dakota State University),
Kristin Stoley (Biinn College), Norman Feldman (Sonoma State University), Gerald Y.l\lat-
sumoto (American River College), Paul Xavier Uhlig (SL Mary's University, San Antonio),
José D. Flores (The University of South Dakota), Gordon Melrose (Oid Dominion Univer-
sity), Dennis H. Wmtman (University of MassachusettsL Kevin A. Orasse (The University
of Oklahoma), Michael Montafio (Riverside Community College), Howard B. Hamilton
(Califomia State University, Sacramento), Xian Wu (University of South Carolina).
Gostaria de agradecer, ainda, a George Bergman, Stuart Goldenberg, Emi1e LeBlanc, Gerald
Leibmvitz, Charles Pugh, Marina Ratner, Peter Roscnthal e Alan Weinstein por suas
opiniões; Dan Clegg por suas pesquisas em bibliotecas e na Internet; Arnold Good por sua
ajuda nos probJemas de otimização com diferenciação implícita; AI Shenk e Dennis Zi11 pela
permissão do uso de seus projetos; George Bergman, David Bleecker, Dan Clegg, Victor
Kaftal,Anthony Lam,Jamie Lawson, Ira Rosenholtz, Lowell Smylie e Larry Wallen por suas
idéias em exercícios; Dan Drucker pelo projeto da montanha-russa; Tom Farmer, Fred Gass,
John Ramsay, Larry Riddle e Philip Straffin por suas idéias de projetos; Dan Anderson e Dan
Drucker pela resolução dos novos exercícios; e Jeff Cole e Dan Clegg por suas cuidadosas
leituras do manuscrito original. Sou muito grato a Jeff Cole por suas sugestões para melho-
rar os exercícios. Dan Clegg atuou como meu assistente do começo ao fim deste trabalho;
ele leu, corrigiu, fez inúmeras sugestões e contribuiu em muitos dos novos exercícios.
Fui muito afortunado por ter trabalhado com alguns dos melhores editores de livros de
matemática das duas últimas décadas: Ron J\1unro, Harry Campbell, Craig Barth, Jeremy
Hayhurst e Gary Ostedt, e, por último, Bob Pirtle. Bob continua a tradição dos editores. os
quais, enquanto oferecem amplo apoio e sólidos conselhos, confiaram em meus instintos
c me permitiram produzir os livros que eu queria escrever.
James Stewart
Sumário
Uma Apresentação do Cálculo 2
Funções e Modelos 10
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Quatro Maneiras de Representar uma Função 11
lvlodelos Matemáticos: uma Relação de Funções Essenciais
Novas Funções a partir de Antigas 38
Calculadoras Gráficas e Computadores 50
Funções Exponenciais 56 /
Funções Inversas e Logaritmos 64
Revisão 77
Princípios para a Solução de Problemas 80
'~ Limites e Derivadas 86
2.1 Os Problemas da Tangente e da Velocidade 87
2.2 O Limite de uma Função 92 J
2.3 Cálculos dos Limites Usando suas Leis 104
2.4 A Definição Precisa de Limite 114
2.5 Continuidade 124
2.6 Limites no Infinito; Assíntotas Horizontais 135
2. 7 Tangentes, Velocidades e Outras Taxas de Variação 149
2.8 Derivadas 158
25
Projeto Escrito Métodos Iniciais para Encontrar as Tangentes 16'
2. 9 A Derivada como uma Função 165
Revisão 176
Problemas Quentes 180
Regras de Diferenciação 182
3.1 Derivadas de Funções Polinomiais e Exponenciais 183
3.2 As Regras do Produto e do Quociente 192
3.3 Taxa de Variação nas Ciências Naturais e Sociais 198
3.4 Derivadas de Funções Trigonométricas 210
3.5 Regra da Cadeia 217
xJv CÁLCULO Editora Tlwmson
3.6 Diferenciação hnplícita 226
3.7 Derivadas Superiores 235
Projeto Aplicado Onde um Piloto Deve Começar a Descida? 241
Construindo uma Montanha~russa melhor 242
3.8 Derivadas de Funções Logarítmicas 242
3.9 Funções Hiperbólicas 248
3.10 Taxas Relacionadas 255
3.11 Aproximações Lineares e Diferenciais 261
Projeto de Laboratório Polinômios de Taylor 268
Revisão 269
Problemas Quentes 273
.• ~ Aplicações da Diferenciação 278
4.1 Valores Máximo e l'vlínirno 279
Projeto Aplicado O Cálculo do Arco-íris 288
4.2 Teorema do Valor Médio 290
4.3 Como as Derivadas Afetam a Forma do Gráfico 296
4.4 Formas Indeterminadas e a Regra de L"Hôspital 307
Projeto Escrito As Origens da Regra de L"Hôspital 315
4.5 Resumo dos Esboços de Curvas 316
4.6._ Fazendo Gráficos com o Cálculo e Calculadoras 324
4. 7 Problemas de Otimização 331
Projeto Aplicado A Forma da Lata 341
4.8 Aplicações em Economia 342
4.9 O Jv!étodo de Newton 348
4.10 Antiderivadas 353
Revisão 361
Problemas Quentes 365
Integrais 368
5.1 Areas e Distâncias 369
5.2 A Integral Definida 380
Projeto Descoberta Funções Arcas 392
5.3 O Teorema Fundamental do Cálculo 393
5.4 Integrais Indefinidas e o Teorema da Variação Total 403
Projeto Escrito Newton, Leibniz e a Inven~-ão do Cá !cuJo 411
5.5 Regra da Substituição 412
5.6 Logaritmo Definido como uma Integral 420
Revisão 427
Problemas Quentes 431
•
Aplicaçi)es dç l!jtegração 434
6.1 Areas entre as Curvas 435
6.2 Volumes 442
6.3 Cálculo de Volumes por CJscas Cilindricas 453
6.4 Trabalho 458
6.5 Valor Médio de uma Função 462
Projeto Aplicado
Revisão 465
Onde Sentar nos Cinemas 465
Problemas Quentes 467
7.1 Integração por Partes 471
7.2 Integrais Trigonométricas 478
7.3 Substituição Trigonométrica 485
7.4 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais 492
7.5 Estratégias de Integração 501
7.6 Integração Usando Tabelas e Sistemas Algébricos Computacionais 507
Projeto Descoberta Padrões em Integrais 513
7.7 Integração Aproximada SI4
7.8 Integrais Impróprias 525
Revisão 536
Problemas Quentes 539
_Mais Aplicaçõ~s cle~It:tteg_ras-ão
8. I Comprimento de Arco 543
542
Projeto Descoberta Torneio de Comprimento de Arcos 550
8.2 Área de uma Superfície de Revolução 550
Projeto Descoberta Rotação ao Redor de uma Reta Inclinada 556
8.3 Aplicaçôes à Física e à Engenharia 55 7
8.4 Aplicações à Economia e à Biologia 566
8.5 Probabilidade 571
Revisão 578
XV
xvi
.. Problemas Quentes 580
Apêndices
A Números, Desigualdades e Valores Absolutos AZ
H Coordenadas Gemnétricas e Retas
AJO
c Gráficos das Equações de Segundo Grau i\16
D Trigonometria A24
E Notação Somatória (ou Notação Sigma) A34
F Provas'"dos Teoremas A39
G Números Complexos A47
H Respostas dos Exercícios de Números Ímpares ASS
Índice Analítico A89
Volume II
Capítulo 9 Equações Diferenciais
Capítulo 10 Equações Paramétricas e Coordenadas Polares
Capítulo 11 Seqüências Infinitas e Séries
Capítulo 12 Vetores e a Geometria do Espaço
Capítulo 13 Funções Vetoriais
Capítulo 14 Derivadas Parciais
Capítulo 15 Integrais Múltiplas
Capítulo 16 Cálculo Vetorial
Capítulo 17 Equações Diferenciais de Segunda Ordem
Apêndices
Índice Analítico
/
CALCULO
Volume I
Ao Estudante
Há uma diferença entre ler um texto de cálculo c um jornal ou um romance ou, até
mesmo, um lhTo de física. Assim. não de~anime se tiver de ler uma passagem mais de uma
vez para poder entendê-la. Você deve ter lápis, papel e uma calculadora à mão para esboçar
um diagrama ou fazer um cálculo.
Alguns estudantes começam a fazer suas tarefas de casa e lêem o texto somente quan-
do empacam em algum exercício. Sugiro que leia e tente compreender uma seção do texto
antes de começar os exercícios. Em particular, você deve examinar as dcünições para
entender o significado exato dos termos. E, antes de ler cada exemplo. sugiro que você
cubra a solução e tente resolver o problema por seus próprios meios. Fazendo isto, apren-
derá muito mais do que simplesmente olhando para a solução.
Parte da meta deste curso é treJná-lo a pensar logicamente. Aprender a escrever a
solução dos exercícios de uma forma conexa. passo a passo e com sentenças explicativas~
e não uma fileira de equações desconexas ou fórmulas.
As respostas dos exercícios de número ímpar estão no fmal Jo livro. no Apêndice H.
Alguns deles pedem uma explicação verhaL uma interpretação ou uma descrição. Nesses
casos. não existe urna maneira única de dar a resposta; logo. não se preocupe em obter a
resposta definitiva. Além disso. há várias formas de expressar uma resposta numérJca ou
algébrica; assim, se sua resposta for díferente da minha, não conclua imediatamente que a
sua esteja errada. Por exemplo. se a resposta dada no Hnal do livro for "/i - I e você
ohtiver 1/(1 + vf2), então você está certo, e racionaliz[mdo o denominador veremos que a">
respostas são iguais.
O ícone indica que definitivamente um exercício requer o uso de uma calculadora
científica ou um computador com .voftH·are gráfico. (A Seção 1.4 discute o uso desses
recursos e de algumas falhas que você poderá encontrar.) Porém, isso não significa que os
recursos gráficos não possam ser usados para verificar seu trabalho em outros exercícios.
O símbolo está reservado para problemas em que se faz necessário o uso de um sis-
tema algébrico computacional (como Derive, Maple, Mathematica ou TI89/92). Você vai
encontrar também o símbolo r~. que o adverte sobre a possibilidade de cometer um erro.
Esse símbolo aparece em situações nas quais observei que um grande númer~) de estu-
dantes tende a cometer o mesmo erro.
O cálculo ·- muito justamente ·- é considerado um dos maiores feitos do intelecto
humano. Espero que você descubra que ele não é somente útiL mas também intrinseca-
mente belo.
J ames Stewart
James Stevia;t Ao Estudante
Erros de Aprm;ímaçiio*
Se _r' for uma aproximação para x. então:
E= lx-x
O número E é chamado de erro absolwo na aproximação.
Se I x - x' I ;;:::; 1 o-I', então x' aproxima x com mn erro de no máximo 1 o--".
• Se I _r- x' I ;;:::; 5.10-~', então x' aproxima x até a (p + 1)-ésima casa decimaL
ou até o 1}( I O f'· 1 mais próximo.
Exemplos:
• Se l x- x' I ;;:::; 0,5,""Cntão x' aproxima x até o inteíro mais próximo.
• Se I x- x' I;;:::; 0,005, então x' aproxima x até a segunda casa decimal, ou até o
centésimo mais próximo.
Além disso, se x' aproxima x até a (p + 1)-ésima casa decimaL dizemos
que a aproximação x' é correta até a (p + l)-ésima casa decimal, ou que a
aproximação x' tem (p + 1) casas decimais de precisão.
Arredondamento*
Dado um número racional a 1a2 a3a4 .• am h 1b2b3 .. b,bm+h então arredondamos para
m casas decimais de acordo com a regra:
• Se 5 :S bm+l ;;:::; 9, então o número fica a 1n2a3 .. am h1b2b;, .. t(b",) + lj.
Se O :5 bm+l ;;:::; 4, então o número fica a 1a 2a3 .. an, h 1b2b3 .. hm.
A expressão "usado correto até determinada casa decimal" implica que, se a
correção for, por exemplo, até a décima casa decimal, o erro começará na décima
primeira casa decJmaJ.
Exemplos:
1 ,41 < /i< 1 ,42; I A correta com uma casa decimaL
• 1,414 < ./2 < 1,415; 1,41 correta com duas casas decimais.
* Observações da tradução para a edição brasileira.
f !l;
r
I
í ;
/
CALCULO
Volume I
Uma Apresentação
do Cálculo
Quando você terminar este curso, será
capaz de explicar a formação e a
localização de um arco-íris, calcular a
força exercida pela água em uma
represa, analisar os ciclos
demográficos dos predadores e das
presas, e calcular a velocidade de
vazão de uma pedra.
FIGUR.6. 1
FIGURA 2
(1.
A
FIGUR/\ 3
F-IGUR,-"1. 4 4 2
,Jsrnes Si:-ewart
O cálculo é fundamentalmente diferente da matemática que você já estuLiou. O
cáiculo é menos estático e mais dinâmico. Ele trata de variação e de movimento,
bem como de quantidades que tendem a outras quantidades. Por essa razi3o, pode
ser útil ter uma visão geral do assunto antes de começar um estudo mais intensivo
Vamos dar aqui uma olhada em algumas das principais idéias do cálculo
mostrando como surgem os !imites quando tentamos resolver uma varied>Jde de
problemas.
O Problema da Área
As origens do cálculo remontam à Grécia antiga, pelo menos 2.500 anos atrá~. quan(f<
foram encontradas as <ire as usando o chamado "método da exaustão". Naquela época o~
gregos já sabiam encontrar a área de qualquer polígono dividindo-o em triângulos. com(
na Figura I e. em seguida, somando-se as áreas obtidas.
í:: muito mais diffcil achar a área de uma figura curva. O método da exaustão dos anti
gos gregos consistia em inscrever e circunscrever a f1gura com polígonos e então aumen
tar o número de lados deles. A Figura 2 ilustra esse procedimento no caso especial de un
círculo com polígonos regulares inscritos.
Seja Ar a área do po1ígono inscrito com n lados. A medida que aumentamos n, fica eví
dente que An ficará cada vez mais próxima da área do círculo. Dizemos então que a áre;:
do círculo é o limite das áreas dos polígonos inscritos, e escrevemos
Os gregos. porém. não usavam explicitamente os limites. Todavia, por um raciocínío indi
reto, Eudoxo (século V a.C.) usou a exaustão para provar a conhecíúa fórmula da área <h
círculo~_A = Hr 2. ~--
Usaremos uma idéia similar no Capítulo 5 para encontrar a área de regiões do tipc
mostrado na Figura 3. Vamos aproximar a área de se jatla A por áreas de retângulos (com<
na Figura 4), fazendo decrescer a largun~ dos retfmgulos, e então calculando A como o Ji.
mite dessas somas de áreas de retângulos.
j) l.l
X
CÃl...-CUlO Editora Thomson
" I
I
I
í
I
tj
r
/ Y=f(x)
'
/1
-+ -~---
FIGURA 5
Uma retn tangente em P
FIGURA 6
Uma reta da secante PQ
I
I(;~
:::.f/'
:4 / ()i ·----·
I
FIGURA 7
Uma reta secante aproxímando-se
de uma reta tangente
X
O problema da área é central no ramo do cálculo chaniado (_"úlndo inkgrol. ,\:) técni-
cas que vamos desenvolver no Capítulo 5 para encontrar áreas também possibilitarüo o
cálculo de volumes de um sólido, o comprimento de um arco. a força da água sobre um
dique, a massa e o centro de gravidade de uma barra. e o trabalho realizado ao se homhear
a água para fora de um tanque.
O Problema da Tangente
Considere o problema de tentar detenninar a reta tangente t a uma curva
com equação
y = f(x) em um dado ponto P. (Daremos uma definição precisa de uma reta tangente no
Capítulo 2. Por ora, você poderá pensá-la como uma reta que toca a curva em P como na
Figura 5.) Uma vez que sabemoo ser P um ponto sobre a reta tangente, podemos encontrar
a equação de t se conhecermos sua inclinação m. O problema está no fato de que para com-
putar a inclinação é necessário o conhecimento de dois pontos e sobre t temos somente o
ponto P. Para contornar esse problema determinamos primeiro uma aproximação param.
tomando sobre a curva um ponto próximo Q e computando a inclinação mpç da reta
secante PQ. Da Figura 6 vemos que
f(x)- f(a)
lllPQ =
x-a
Imagine agora o ponto Q movendo-se ao longo da curva em direção a P. como na
Figura 7. Você pode ver que a reta secante gira e aproxima-se Ja reta tangente como sua
posição-limite. Isso significa que a inclinação mpç da reta secante fica cada vez mais pró-
xima da inclinação m da reta tangente. Isso é denotado por
m = lim mpç
Q.._,_P
e dizemos quem é o limite de mrQ quando Q tende ao ponto P ao longo da curva. Uma vez
que x tende a a quando Q tende a P, também podemos usar a Equação 1 para escrever
Exemplos específicos desse procedimento serão dados no Capítulo 2.
O problema da tangente deu origem ao ramo do cálculo chamado cálculo d{f'ercncial, que
foi inventado mais de 2 mil anos após o cálculo integral. As principais idéias subjacentes ao
cálcu]o diferencial devem-se ao matemático francês Pierre Fem1at ( 1601 -1665) e foram
desenvolvidas pelos matemáticos ingleses John Wallis (1616-1703), lsaac Barrow (1630-
1677) e Isaac Newton (1642-1727) e pelo matemático alemão Gottfried Leibniz (1646-1716).
Os dois IdiDOS do cálculo e seus problemas principais, da área e da tangente, apesar de pare-
cerem completamente diferentes, têm uma estreita conexão. Tanto o problema da área como o da
tangente são considerados problemas inversos em um sentido que será descrito no Capítulo 5.
Velocidade
Quando olhamos no velocímetro de um carro e vemos que ele está a 48 milh, o que essa
informação indica? Sabemos que, se a velocidade permanecer constante, após uma hora o
carro terá percorrido 48 milhas. Porém, se a velocidade do carro variar, qual o signiikado de
a velocidade ser, em um dado momento, 48 mi/h?
d
FiGUR.4 8
James Stewart
Para analisar es~a questão, vamos examinar o movimento de um carro percorrendo um<
estrada reta e supondo que possamos medir a distfmcia coberta por ele (em pés) em inter
valos de 1 segundo. como na tabela a seguir: -
Como primeiro passo para encontrar a velocidade após 2 segundos de movimento vamo
calcular qual a velocidade média no intervalo de tempo 2 ~ t :S 4:
velocidade média = dist{incia percorrida
tempo decorrido
43- 10
4- 2
16.5 pésls
Analogamente, a velocidade média no intervalo 2 ~ t ~ 3 é
velocidade média ~ ·2··c.5 _ _:_l 0:c. 15 ' 1
-
3 2
~ .pess
Nosso pressentimento é de que a veloci~ade no instante t = 2 não pode ser muito diferen
te da velocidade média durante um pequeno intervalo de tempo que começa em t = ~
Assim, vamos imaginar que a distância percorrida foi medida em intervalos de O,
segundo, como na tabela a seguir:
ft+ l_= __ t_l -+-'-(. !····· o ' ' '
d : !0.00 11.02 LU6 13_..:+5
····! ----
i J .96 l6.SO
Computando então a velocidade média no intervalo de tempo [2, 2,5]:
velocidade média ~ 16 .SO - 10 DO ' 1 c--e--- ~ 13 .6 pes s
2.5- 2
Os resultados desses cálculos estão mostrados na tabela:
i---
As velocidades médias em intervalos cada vez menores parecem ficar cada vez mai
próximas de 1 O; dessa forma, esperamos que exatamente em 1 = 2 a velocidade seja d
cerca de 10 pés/s. No Capitulo 2 definiremos a velocidade instantânea de um objeto er
movimento como o limite das velocidades médias em intervalos de tempo cada ve
menores.
Na Figura 8 mostramos uma representação gráfica do movimento de um carro rede
senhando a distância percorrida corno uma função do tempo. Se escrevennos d = /((
então f(t) é o número de pés percorridos após t segundos. A velocidade média no interval
de tempo [2. t] é
C.-itCULO
FIGURA 9
a, a, 0 2
(a)
12345678 n
(b)
FIGURA 1 O
-velocidade média '"'""
dí~tància ncrurn 2)
lempo decorrido
c é a mesma coisa que a inclinação da reta secante PQ da Figura 8. A velocidade u quando
t 2 é o valor-limite da velocidade média quando I aproxima-se de 2: isto é.
. ((!) /(2)
v ~= hm __:_____----~- -----
J---;.2 t ~ 2
e da Equação 2 vemos que isso é igual à inclinação ela reta tangente à curva em P.
Dessa forma, ao rc\olver o problema da tangente em cálculo diferenciaL também esta-
mos resolvendo os problemas relativos à velocidade. A mesma técnica se aphca a proble-
mas relativos à taxa de variação nas ciências naturais c sociais.
O Limite de uma Seqüência
No século V a.C., o filósofo grego Zenon propôs quatro problemas, hoje conhecidos como
Paradoxos de Zcnon. com o intento de desafiar algumas das idéias correntes em sua época
sobre espaço e tempo. O segundo paradoxo de Zenon diz respeito a uma conida entre o
herói grego Aquiles e uma tartaruga para a qual foi dada uma vantagem iniciaL Zenon
argumentava que Aquiles jamais ultrapassaria a tartaruga, pois se ele começasse em uma
posú;ão a 1 c a tartaruga em t 1 (veja a Figura 9), quando ele atingisse o ponto a:= !1 atar-
taruga estaria adiante, em uma posição f> No momento em que Aquiles atingisse a3 = t2,
a tartaruga estaria em k Esse processo contlnuaria indefinidamente, e, dessa forma. parece
que a tartaruga estaria sempre à frente! Todavia. isso desafia o senso comum.
Aquiles
a, a, (/-, a," as
"""''-------- ---~-
tm1aruga
""_, ______ _,.
,, ,, t} r,
Uma forma de explicar esse paradoxo usa a idéia de seqüência. As posições sucessivas
de Aqui1es e da tartaruga são respectivamente (o 1• a~, a:; ... _) c (1 1, t2 , f:;, ... ), conhecidas
como seqüências.
Em geraL uma seqüência {a,} é um conjunto de números escritos em urna ordem
definida. Por exemplo, a seqüência
{l.i,_:-.i-~, .. .}
pode ser descrita como sendo dada pela seguinte fórmula para o n-ésimo tenno:
a,=-
n
Podemos visualízar essa seqüência redcsenhando seus termos sobre uma reta na qual est<l.o
dcterrninados um ponto zero, uma unidade de medida c um sentido crescente, corno na Figura
lO( a), ou desenhando seu gráílco,como na Figura JO(b). Observe em ambt:LS as fit,ruras que os ter-
mos da seqüência a, = 1/ n tomam-se cada vez mais pn:Sximos de O à medida que n cresce. De
fato, podemos encontrar tennos tão ~quenos quanto descjam10s, bastando para isso tornarmos n
suficientemente grande. Dizemos então que o limite da seqüência é O, e indicamos isso por
1 hm -~o
Em geral, a notação
lim a,.= L
FIGURA 11
James Stewart
será usada se os termos u,, tendem a um nún1Cfrl L t.mando n torna~ se _:2randC. bso _-;ignitica
que podemos tomar os números antão próximo\ de "L quanto quisenn~)S escolhendo 11 :.;u!l~
cientemente grande.
O conceito de limite de uma seqüêncía ocon:-e sernpre que usamos a rcprc::.cntação de~
cima! de um número reaL Por exemplo. se
a.;= 3J<t-l,.')
a,~ 3,14I59
Clt, = 3J4I592
(17 ~ 3.!4I5926
então lim an = 1T
Os termos nessa seqüência são aproximações racionais de rr.
Vamos voltar ao paradoxo de Zenon. As posições sucessivas de Aquiles e da tartaruga
formam as seqüências {an} e {tn}. onde an < t, para todo n. Podemos mostrar que ambas
as seqüências têm o mesmo limite:
lim an = p = lim tn
É precisamente nesse ponto p que Aquiles ultrapassa a tartaruga.
A Soma de uma Série
Outro paradoxo de Zenon, conforme nos foi passado por Aristóteles, é o seguinte: "Uma
pessoa em um certo ponto de uma sala não pode caminhar até a parede. Para tanto ela de-
veria percorrer metade
da distância, depois a metade da distância restante. e então nova-
mente a metade da distância que restou c assim por diante, de fom1a que o processo pode
ser sempre continuado e não terá um fim". (Veja a Figura 11.)
Como. naturalmente. sabemos que de fato a pessoa pode chegar até a parede, isso su-
gere que a distância total possa ser expressa como a soma de infinitas distâncias cada vez
menores, como a seguir:
I I I I
=-+-+-+ ~+
2 4 8 16
I
+-+
2"
CALCULO Ed1tora Thomsnn
Zenon argumentava que não fazia sentido somar um número infinito de núrneros. Porém
há situações em que fazemos implicitamente somas infinitas. Por exemplo. na notação de-
cimaL o símbolo. o;-3 = 0.3333 ... slgnitka
3 3 3 '
-'
-+--+--
10 JOO J.OOO
---+
10.000
dessa forma, Je algum jeito, deve ser verdade que
3 3 3 3
-+--+--+~~~+···=~
lO JOO l.OOO 10.000 3
Mais genericamente. se d, denotar o n-ésimo dígito na representação decimal de um
número, então
d, d, d,
Odddd --~-+--+~--+
' l 2 } '. ]() JO' 103
Portanto, algumas somas infinitas, ou, como são chamadas, séries infinitas. têm um signifi~
cado. Todavia, é necess~'irío definir cuidadosamente o que é a soma de uma série.
Retornando à série da Equação 3, denotamos por s, a soma dos n primeiros termos da
série. Assim
Sz = l + l = 0,75
S3 =i + 1 + ~ = 0,875
S4 = ~ + ! + § + ·l6 = 0,9375
-_I .! l .l. ...t.. }. -s,- 2 + 3 + 8 + 16 • 32 - 0,96875
S7 = ~ +! + fu + jt +A + ~ + "]}g = 0,9921875
sw = ~ + j + · · · + ,,6, = o ,99902344
1 J . J
S16 = ~ +- +
2 4 + '2"' = 0,99998474
Observe que à medida que somamos mais e mais termos, as somas parciais ficam cada vez
mais próximas de 1. De fato, pode ser mostrado que tomando n suficientemente grande
(isto é, adicionando um número grande de termos da série), podemos tornar a soma par-
cial s, tão próxima de ] quanto quisermos. Parece então razoável dizer que a soma da série
infinita é I e escrever
J J J
-+-+-+
2 4 8
I
+-+
2"
raios do Sol
-~--~-~
raios do Sol
/
observador
FIGURA 12
Ja;nes Stewart
Em outras palavras. a raz~o de -a soma da série ser 1 é que
lim s, =!
No Capítulo 11 do Volume li discutiremos mais essas idéias.
Resumo
Vimos que o conceito de limite surge de problemas tais como encontrar a área de uma
região, a tangente a uma curva, a velocidade de um carro ou a soma de uma série infinita
Em cada um dos casos, o tema comum é o cálculo de uma quantidade como o limite de
outras quantidades mais facilmente calculáveis. É essa idéia básica que coloca o cálculo f:
parte das demais áreas da matemática. Na realidade, poderíamos definir o cálculo come
aquele ramo da matemática que trata de limites.
Sir Isaac Newton inventou sua versão do cálculo a 11m de explicar o movimento dm
planetas em torno do Sol. Hoje o cálculo é usado na determinação de órbitas de satélites c
naves espaciais, na predição do tamanho de uma população, na estimativa de come
aumenta o preço do café, na previsão do tempo, na medida do Huxo sangüíneo de saída de
coração, no cálculo dos prêmios dos seguros de vida e em uma grande variedade de ou·
tras áreas. Vamos explorar neste livro algumas dessas aplicações do cálculo.
Para transmitir uma noção da potência dessa matéria, vamos finalizar esta apresentaçãc
com uma lista de perguntas que você será capaz de responder usando o cáJculo:
1. Como você explicaria o fato, ílustrado na Figura 12, de que o ângulo de elevação d~
um observador até o ponto mais alto em um arco-íris é 42°? (Veja a página 288.)
2. Como você poderia explicar as formas da.;; latas na<; prateleiras de um supermercado?
(Veja a página 341.)
3. Qual o melhor lugar para se sentar em um cinema? (Veja a página 468.)
4, A qual distância de um aeroporto um piloto deve começar a descida? (Veja a
página 241.)
Horas
1
Funções e
Modelos
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
()
Mar. Abr. Maio JuJL JuL Ago. Set. Out. Nov. Dez.
Uma representação gráfica de uma
função- aqui o número de horas de
luz solar como uma função da época
do ano em várias latitudes- é sempre
20"N
30° N
4fl"N
50"N
60"N
o modo mais conveniente e natural de
representá-la.
FIGlJRf\ 1
Ace!eraç5P Yertical do solo
duranle o terremoto de Nmthridgc
O objeto funJanwntal do cálculn -,fio as hmçôes. Este capitulo abre n caminho para n
cálculo discutindo as idéias bísicas concernentes üs funcõcs c seus gráficos, hem
como as formas de comhinú-Jos c tran'.Jormá-Jos. Enfattzamos que ~ma funs:ão pode
ser rcprc:>cntada de d.rias maneiras: por uma equação, por uma tabela, por um grá!ko
ou mesmo por meio de pala nas. Vamos obscnar os principais tipos de funções que
ocorrem no cálculo e descrever como usü-las corno modelos matemáticos de
fenômenos do mundo reaL Também discutiremos o uso de calculadoras o-ráficas e
b -
de software gráJico para computadon.:s.
As funções surgem qu;mdo uma quantidade depende de outra. Consideremos as
seguintes situações:
A. A área A de um círculo depende de seu raio r. A lei que conecta r e A é dada pela
equação A = 1rr 2. A cada número r positivo existe associado um único valor de ;-L
e dizemos que A é uma jlmçüo de r.
B. A população humana mundial P depende do tempo t. A tabela ao lado fornece esti-
mativas da população mundial P(t) no instante t, para determinados anos. Por exemplo,
P(l950)" 2560.000Jl00
Porém para cada valor do tempo t existe um valor de P correspondente. e dizemos
que Pé uma função de t.
C. O custo C de enviar uma carta pelo correio depende de seu peso w. Embora não haja
uma fórmula simples conectando w c C, o correio tem uma fórmula que permite cal-
cular C quando é dado w.
O. A aceleração vertical a do solo registrada por um sismógrafo durante um terre-
moto é uma função do tempo t decorrido. A Figura 1 mostra o gráfico gerado pela
atividade sísmica durante o terremoto de Northridge, que abalou Los Angeles em
1994. Para um dado valor de t. o gráfico fornece um valor correspondente de a.
100
50
-50
Fome: D<:panamento de l\'linas e
Gcologi~1 da Califôrnin.
Cada um dos exemplos anteriores descreve uma lei segundo a qual, dado o número
(r, t, w ou t), fica detenninado outro número (A, P. C ou a). Em cada caso dizemos que o
segundo número é uma função do primeiro.
11
CÁtC:UUJ
x-(input)
FIGURA 2
f
Editore Thomson
~f(x)
(ourput)
Diagmma de máquina p:ua uma função f
x~\
a~•f(a) }
! -;
~_/
f
__,.. B
FiGURA 3
Diagrama de flechas para f
Uma função f é uma lei a qual para cada elemento .r em um conjunto A Tú. corrc<;:pon-
der exatamente um elemento chamado f(.;;:)_ em um conjunto B.
Em geral consideramos as funções para as quais A e B são conjuntos de números reais.
O conjunto A é chamado domínio da função. O número f(x) é o valor de f em x e deve
ser lido como "f de .:r". A imagem de f é o conjunto de todos os valores possíveis de f(x)
quando x varia por todo o domínlo. () símbolo que representa um número arbitrário no
donzfnio de uma função f é denominado variável independente. c o que representa um
número qualquer na imagem de f é chamado de variável dependente. No Exemplo A, a
variável r é independente, enquanto A é dependente.
É muito proveitoso considerar uma função coíbo uma máquina (veja a Figura 2). Se x
estiver no domínio da função f, quando x entrar na máquina, ele será aceito como input.
e a máquina produzirá um output f(x) de acordo com a lei que define a função. Assim,
podemos pensar o domínio como o conjunto de todos os inputs, enquanto a imagem é o
conjunto de todos os outputs possíveis.
As funções pré-programadas de sua calculadora são exemplos de funções corno uma
máquina. Por exemplo, a tecla de raiz quadmda em seu computador
é urna dessas funções.
Você pressiona a tecJa .,;--(ou~) e dá o input x. Se .r< O, então x não está no domínio
dessa função; isto é, x não é um input aceitável, e a calculadora indicará um erro. Se x ~ O,
então uma aproximação de -• ./X aparecerá. Assim, a tecla )X de sua calculadora não é
exatamente a mesma coisa que a função matemática f definida por f(x) = v1'";;.
Outra fOrma de ver a função é corno um diagrama de flechas, como na Figura 3. Cada
Hecha conecta um elemento de A com um elemento de B. A flecha indica que f(x) está
associado a x, f( a) a a etc.
O método mais comum de visualizar uma função consiste em fazer seu gráfico. Se f for
uma função com domínio A, então seu gráfico será o conjunto de pares ordenados
{(x,J(x)) lx E A)
(Observe que eles são os pares input-output.) Em outras palavras, o gráfico de f consiste em
todos os pontos (x, y) do plano coordenado tais que y = f(x) ex está no domínio de f.
O gráfico de uma função f nos dá uma imagem proveitosa do comportamento ou da
"história de vida" de uma função. Uma vez que a coordenada y de qualquer ponto (x, y)
sobre o gráfíco é y = f(x), podemos entender o valor f(x) como a altura do ponto no grá-
fico acima de x (veja a Figura 4). O gráfico de f também nos permite visualizar o domínio
sobre o eixo x e a imagem sobre o eixo y, como na Figura 5.
y
X
FIGURA 4
imagem
,_;1}1,"\.
FIGURA 5
_v f(x)
X
domínio
A notação para intervalos é dada no
/~.péncke ,L,
y
y = 2x--I
X
F!GURA 7
o
(a) Encontre os valores de f(l) e /(5).
(h) Como são o domínio c a imagem de f?
FiGURA 6
SOLUÇÃO
Y-+-
v~.
ÍÍj I -~T~
! v
(a) Vemos da Figura 6 que o ponto (1. 3) está sobre o gráfico de f, assim, o valor de f em
I é f(l) = 3. (Em outras palavras, o ponto sobre o gráfico correspondente a x = I está
três unidades acima do eixo x.)
Quando x = 5, o ponto sobre o gráfico que corresponde a esse valor está 0.7 unidade
abaixo do eixo x e estimamos que f(5):::::: -0,7.
(b) Vemos que f(x) está definida quando O"" x"" 7, logo, o domínio de fé o intervalo
fechado [0, 7]. Observe que os valores de f variam de -2 até 4; assim, a imagem de fé
{yl-2 ""y"" 4} ~ [ -2,4]
EXEMPlO 2 Esboce o gráfico e encontre o domínio e a imagem de cada função.
(a) f(x) ~ 2x - l (b) y(x) ~ x'
SOLUÇÃO
(a) O gráfico tem equação)'= 2x- 1, que reconhecemos ser a equação de uma reta
com inclinação 2 e intercepto y igual a - 1. (Lembre-se da equação da reta em sua forma
inclinação---intercepto: y = mx + h. Veja o Apêndice B.) Isso nos possibilita esboçar o
gráfico de [na Figura 7. A expressão 2x - 1 está definida para todos os números reais:
logo, seu domínio é todo esse conjunto denotado por !R. O gráfico mostra ainda que a
imagem também é !R.
(b) Comog(2) ~ 2' ~ 4eg(-l) ~ (-!)' ~ Lpodemosdesenharospontos(2,4)e
(~1, 1) junto com alguns outros (sobre o gráfico), e ligá-los para produzir o gráfico da
Figura 8. A equação do gráfico é y = x 2 , que representa uma parábola (veja o Apêndice
C). O domínio de g é [Ft A imagem de g consiste em todos os valores de g(x), isto é,
todos os números da forma x 2• 1v1as x 2 ?c O para todos os números reais x e todo número
positivó y é um quadrado. Assim, a imagem de g é {y I y ? O} ~ [O, oc) (veja a Figura 8).
y
(~ 1 ~ I)
FIGURA 8
14 cAtcm.o
6 X Hf
+-------- ··+--.-
!920 19-lü
FiGURA 9
Representações de Funções
í: possível representar uma funçiJo de quatro maneiras;
m verbalmente
a numericamente
a visualmente
• algebricamente
( dcscrcvcndo~a com palavras)
(por meio de tahchb de valores}
(através de gráücos)
(utilizando-se uma fórmula explícita)
Se uma função puder c;cr representada das quatro maneiras, então é pnrvcitoso ir de uma
representação para a outra, a ílm de ganhar um insight adícional sobre a llnwão. (I\n caso
do Exemplo 2. panimos de fórmulas algébrica\ para obter os gráHcos.) Porém. certas
funções silo descritas mais naturalmente por um método que por outro. Tendo isso em
mente. vamos reexaminar as quatro situações consideradas no começo desta seção.
A. A mais útíl ckntre as representações da área de um círculo em função de seu raio é
provavelmente a fórmula A(r) ~"" Trr 2 , apesar de ser possível elaborar uma tabela de
valores. bem como esboçar um gráf1co (meia parábola)_ Como o raio do círculo deve
ser positivo, o domínio da função é {r I r> O} co-=: (O. x)_ c a imagern é (O, :c)_
~--·---·~--- -- -·------···-·----
B. Seja dada a seguinte descrição em palavras de uma função: P(t) é a população
humana mundía1 no instante t. A tabela de valores da população mundial da página
1 I nos fornece uma representação conveniente dessa função. Se desenharmos esses
valores, vamos obter o gráfico da Fígura 9 (charnado de rnopa de dispersüo). Ela é
também uma representação útiL já que nos possibilita absorver todos os dados de
uma vez. E o que dizer sobre uma fórmula para ela? Naturalmente é impossível
dar uma fórmula exata para a população humana P(t) em qualquer momento L
Porém, é possível encontrar uma expressão aproximada para ela. Usando métodos
explicados na Seção 1.5 obtemos a aproximação
PU)"' f(t) ~ (0,008079266) ·<I Jl13731Y
e a Figura 10 mostra que o "ajuste" é bem razoáveL A função fé chamada modelo
matemático para o crescimento populacional. Em outras palavras, é uma função com
uma fórmula explícita, que aproxima o comportamento da função dada. Vamos ver
que podemos aplicar as idéias do cálculo a tabelas de Ya]orcs; não é necessária uma
fórmula explícita.
fJ X 10''
~-4---+-- ---------+-- ·>
-+-------+--- -- -·+ ----- >
1960 1980 2000 1920 1940 1960 1080 2000 t
FIGURA 10
I
I I
Uma L;nçao deftnida pela tabe!a de
valores S estr1belecida como urna
iunc~m tnbular
I
I ~
I L_
.. 1-(J()
200
-200
,j_
5
I
I j
James Stewart
:\. função P é um exemplo tfpíco das funções que aparecem ~cmprc qu
kntamo:-. aplicar o cúkulo ao mundo reaL Comct;amos por uma descrição vçrhal d
uma função. Então é possível que a pal1ír de dados experimentais. possamos constru
as tabelas de valores da função. Mesmo que não tenhamos um conhecimento cem
plcto dos valores da função. veremos por toda a parte neste livro ser possfvd realiz[
operações de cálculo nessas funções.
C. Novamente a função é descrita em palavras: C(w) é o custo de se enviar pel
correio uma carta com um peso w. Nos Estados UnidOs, em 2002. o serviço post<
seguia o seguinte regulamento: até uma onça (l onça= 28,349523 gramas), o cust
era de 37 centavos de dólar. e mais 23 centavos para cada onça sucessiva até l
onças. A tabela de valores mostrada ao lado é a representação mais conveniente par
essa funçfto. embora seja possível esboçar seu gráfico (veja o E;emplo lO).
D. O gráfico na Figura 1 é a representação mais natural de uma aceleração vertic::
a(t). Na realidade é possível compilar uma tabela de valores e até mesmo deline::
uma fórmula aproximada. Porém tudo o que um geólogo precisa saber ~ amplitud
e padrões -~· pode facilmente ser obtido do gráfko. (0 mesmo é válido tanto para c
padrões de um eletrocardiograma como para o caso de um detector de mentiras
As Figuras 1l e 12 mostram os grúficos das aceleracões do terremoto de Northridg
nas direções norte~sul c leste-oeste, e quando usadas em conjunção com a Figura
elas nos dão uma hoa idéia do terremoto .
30
(segundos)
, I 00
5
Fome: lkp:lrt:unento de Minas
e (J,~oh_t~ia J;_; Califórnia. --200
Fonte: Dep;ll1:uncntu de ;\1ina~
c Geo!oria da Cdifórnía
FIGURA 11 :\ccleraçJo norte-sul do terrcmnto de Northridg:e FiGURA 12 Acclcraçilo lcste .. oes!e do terremoto de Northridge
,,
o
FiGURA 13
No próximo exemplo vamos esboçar o gráfico de uma funçüo dcflnida verbalmente.
EXEMPlO 3 Ao abrir uma torneira de água quente,
a temperatura T da água depende
do tempo decorrido desde a ahertura. Esboce um gráfico de T como uma função do
tempo t decorrido desde a abertura.
SOLUÇÃO A temperatura da água no começo está próxima da temperatura ambiente.
pois ela estava nos canos. Quando começa a sair a água quente da caixa-d'água. T
~l!_!Ilenta rapi~~nentc. C na próxima fase fica C~ até a caixa se S;:'>Vaziar. ·~ ..
partir daí T <;!.~cresce até a temperatura em que a água é fornecida. Isso nos possibilita
esboçar o gráfico de T como uma função de t na Figura 13.
2w
FIGURA 16
Um gráfico mais preciso da função do Exemplo 3 pode ser obtido usando-se um
termômetro para medír a temperatura da água em intervalos de 10 segundos. Em geraL
os cientistas coletam os dados e os usam para esboçar os grátlcos de funções. como no
exemplo a seguir.
4- Os dados na margem vêm de um experimento sobre a lactonização do
ácido hidroxivalérico a 25 °C. É dada a concentração C(t) desse ácido (em mols por
litro) após t minutos. Use esses dados para esboçar um gráfico aproximado da função
concentração e o gráfico para estimar a concentração após 5 minutos.
SOLUÇÃO Primeiro vamos desenhar os cinco pontos correspondentes aos dados da tabela
na Figura 14. Os métodos de ajustamento de curvas da Seção 1.2 poderão então ser
utilizados para escolher um modelo e fazer um gráfico dele. Os dados da Figura 14,
porém, parecem muito bem-comportados; assim, simplesmente traçamos à mão uma
curva suave passando por eles. como na Figura 15.
O.Clk
0.06
0.04
0.02
()
FIGURA 14
2 3 4 5 6 7 8
CU)t
O,Ok 'I
0,06 T
0,04 -t
_ll:O~t-;--2 3 -~-t-~ ;-~ ;
FIGURA 15
Entflo usamos o gráfico para estimar que a concentração após 5 minutos é
C(5) = oms moi/litro
No exemplo a seguir começamos por uma descrição verbal de uma função em uma
situação física e depois obtemos uma fórmula algébrica explícita. A habilidade nessa transição
é muito útil na solução de problemas de cálculo envolvendo a detelTilÍnação de valores
máximo ou mínimo de quantidades.
EXEMPlO 5 Uma caixa aberta em cima tem um volume de 10m3 . O comprimento da
base é o dobro da largura. O material da base custa$ 10 por metro quadrado, ao passo
que o material das laterais custa $ 6 por metro quadrado. Expresse o custo total do
material em função do tamanho da base.
SOLUÇÃO Fazemos um diagrama corno o da Fígura 16, com uma notação onde w e 2w
são. respectivamente. o comprimento e a largura da base, e h é a altura.
A área da base é (2w)w = 2w2 ; assim, o custo, em dólares, é de 'l0(2W2). Quanto aos
lados, dois têm área wh e os outros dois, 2wh. Portanto o custo total dos lados é
6[2(wh) + 2(2wh)], E o custo total é
C= l0(2w1) + 6[2(wh) + 2(2wh)J = 20w2 + 36wh
Para expressar C como uma função somente de w, precisamos eliminar h, o que é feito
usando-se o fato de o volume ser 1 O m3 • Dessa forma,
w(2w)h = 10
o que fornece lO 5 h=
w'
.D.o estabelecer as funções como as
do Exemplo 5, pode ser proveitoso
r-emeter~se aos princioios de resoiução
de problemas, conforme apresentado
na página 80, em particular o passo
Entendendo o problema.
Se uma função for dada por uma
fórmula sem que seu domínio seja
explicitado, presume~se que este se1a
o conjunto de todos os números para
os quais a fórmula tem sentido e
define um número reai.
FIGURA 17
~ames Slewa_rt ~ CA P ÍTUU) J
Substituindo-se essa expre;-;São na f<)rmula de C. terno:-,
I ') \
C :::: 20ur' + 36w \ ____::__,_ ) :::: 20w: + _129
'ur ·
Logo, a equa<;ão
C(w) = 20w2 + 180
w
expressa C como uma função de w.
Encontre o Uomínío de cada função.
(a) f(xl ~, x + (b) g(x)
SOLUÇÃO
w
w>O
\
(a) Como a raiz quadrada de um número negativo não está definida (como um númerj
real). o domínio de f consiste em todos os valores de x tais que x + 2 :-?: O. Isso é cquiva
lente a x ?-':: ~ 2; assim, o domínio é o intervalo [ --2, x).
(b) Uma vez que
l I g(x) = ~,~~ = --:--~-
x' x x(x - I)
e a divisão por O não é pern1itida, vemos que g(x) não está definida no caso de .:~: ::-= O 01
x = I. Dessa forma, o domínio de g é
{x[x"'O,x"' I}
que também pode ser dado na notação de intervalo como
a \v~
'(-x,O) U (0, I) U (l,x)
O gráfico de uma função é uma curva no plano XJ'. De imediato surge uma pergunta: Quai
curvas no plano xy são gráficos de funções? Essa pergunta será respondida por meio d(
teste a seguir.
Teste da Reta Vertical Uma curva no plano xy é o gráfico de uma função de x se e
somente se nenhuma reta vertical corta a curva mais de uma vez.
A razão da veracidade do Teste da Reta Vertical pode ser vista na Figura 17. Se cad;
reta vertical x =a interceptar a curva somente uma vez, em (a,b), então exatamente un
valor funcional está definido por f{ a) =h. Mas se a reta x = a interceptar a curva em doi:
pontos, em (a.b) e (a, c), nesse caso, a curva não pode representar uma função, pois um<
função não pode fazer corresponder dois valores diferentes para a.
y
x=a
(a. c)
a x
CÁLCUUJ
FIGURA 18
X
FiGURA. 19
Por exemplo, a parábola x = y-'- - 2 na Fípm1 1 8(aJ nfi(J é o de uma de
x.pois. como você pode ver. existem retas \'Crticais que interceptam a parábola duas
vezes. A parábola, no entanto. contém os gráficos de duas funçôes de x. Ohser>d.'
que x =- y 2 -- 2 implica _-r 2 = x + 2,e y = :± .. Jx + 2. Dessa forma. a metade superior
e a inferior da parábola são os grútkos de f(x) \'x + -2 [do Exemplo 6(a)] c
g(x) = x + [veja as Figuras I8(b) c {c)j. I\otc que se inn~rtennos os papéís de x e
y, então a equação x = h(y) = y 2 - 2 ddlne x como uma função de .'~-'(com :v como
variável independente ex como variável dependente). e a parábola agora é o gráf1co da
função h.
(a)x y ··-2 (b)y ./_t+2
Funções Definidas por Partes
As funções nos quatro exemplos a seguir são definidas por fórmulas diversas em diferentes
panes ele seus domínios.
EXEMPUJ 1 Seja f a função definida pelas fórmulas
x se x ~s
se .1: >
Calcule f(O),f(l) c f(2) e esboce o gráfíco.
SOLUÇÃO Lembre-se de que toda função é uma regra. Para essa função em particular a regra é
a seguinte: olhe primeiro o valor do input x. Se tívennos que x ~ I, então o valor Jc f(x)
será 1 - x. Por outro lado, se o valor for :r> I, então o valor de fCr) será x-~
Uma vez que O ~ I. temos /(0) ~. I o~ I.
Uma vez que loS I , temos f(l) ~ I I ~O.
Uma vez que 2> I. temos }(2) ~ 2' ~ 4.
Como fazer o gráfico de f? Observamos que se x ~.; I, então f(x) = I - x, assim, a
parte do gráfico f à esquerda da reta vertical x = I deve coincidir com a reta y = 1 -r.
essa última com inclinação -l e intercepto y igual a I. Se x > I. daí f(x) = x 2• e, dessa
fonna, a parte do gráfico f à direita da reta x = 1 deve coincidir com o gráfico de
y = x 2 , que é uma parábola. Tudo isso nos permite esboçar o gráüco da Figura 19.
O pontinho cheio indica que o ponto ( 1, O) está incluso no gráüco; o vazio indica que o
ponto ( I.l) está excluído do grálico.
Para urn:=J n-:'-/isi1o rnars arnpia deva-
lorns al:-:oc lutos. vHJd o Apênd!ce A
v= lx
X
FIGUR.A 20
FIGURA 21
A. forma ponto--inclinação da
equação da reta:
v·-· ~" 1 -·"" m(x - x1)
James Stewart
O próximo exernpb de ddlnida por partes é a funçG.o valor absoluto. Lemhn.>sc de qm:
o ·valor absoluto de um ntímcro a. denotado por : (~· , é a djqáncia de a até O sobre o eixr
real. Como distâncias são sempre positivas ou nulas. temos
I " I ~,~, o para todo mhncro o
Por exemplo.
l-3 I 3 -I
Em geral. temos
lO I - (/ se a _;,:: o
la I -~a se (/ <C< ()
(Lembre-se de que se a for negativo. então -·a será positiYo.)
Esboce o gráfico da função valor absoluto f(x) = I x I·
SOLUÇÃO Da discussão precedente sabemos que
{' lx ~ . X se x ?: O se x <O
Usando o mesmo
método empregado no Exemplo 7, vemos que o gráflco de f coincid(
com a reta y = x à direita do eJxo .v c com a reta y = -x à esquerda do eixo y (veja<
Figura 20).
EXEMPlO 9 Encontre uma fórmula para a função f cujo gráfico está na Figura 21.
SOLUÇÃO A reta que passa pelos pontos (0. O) e ( 1, I) tem inclinação m = I, e o intercepte
y. h= 0: assim, sua equação é y .:r. Logo, para a parte do grállco de f que líga os pon.
tos (OJl) c O~!)~ temos
jÜ) ~X
A reta que passa pelos pontos (1, I) e (2,0) tem uma inclinação de m
maneira, a forma ponto~ inclinação será
,, o l)(x 2) ou y=2--x
Logo temos
f(x) ~ 2 X se l<x:=.S2
--I: dess<:
20
o
FIGURA 22
FIGURA 23
l 1ma função par
FIGURA 24
2
Uma função ímpar
Editora Thomscn
3 4 5 w
Vemos também que o gráfico de f coincide com o eixo _y para x > ' Juntando toda::; a:,
informações, temos a seguinte fôrmula em três partes para
{' I!x) ~· ~ ·· x seo~x::S scl<x--,:,:;z
se x > 2
EXEMPlO 'HJ No Exemplo C, no início desta seção, consideramos o custo C(w) do
envio pelo correio de uma carta com pesow. Na realidade. trata-se de uma função
definida por partes. pois a pm1ir da tabela de valores ternos
{
0.37 se O< w oS I
'.( ) 0.60 se I < w oS 2 c w ~
· 0,83 se 2 < w ::s 3
IJJ6 se 3<woS4
O gráfico é mostrado na Figura 22. Você pode entender então por que as funções similares
a esta são chamadas funções escada - elas pulam de um valor para o próximo. Essas
funções serão estudadas no Capítulo 2.
Simetrias
Se uma função f satisfizer f(- x) = f(x) para todo x em seu domínio. então f é chamada
função par. Por exemplo. a função I(x) ~ x' é par, pois
f( -x) ~ ( -x)' ~ x 2 ~ f(x)
O significado geométrico de uma função ser par é que seu gníflco é simétrico em relação
ao eixo y (veja a Figura 23). Isso significa que se fizermos o gráfico de f para x ?: O, então,
para obter o gráfico inteiro, basta refletir o que temos em torno do eixo)'.
Se I satisfizer f( -x) ~ -I(x) para todo número x em seu domínio, dizemos que I é
uma função ímpar. Por exemplo, a função f(x) = x 3 é ímpar, pois
f( -x) ~ ( -x)' ~ -x' ~ -f(x)
O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem (veja a Figura 24). Se
tivermos o gráfico de f para x?: O, poderemos obter o restante do gráfico girando 180°, o
que já temos, em torno da origem.
EXEMPLO Detern1ine se a função é par. ímpar ou nenhum desses dois.
(a) I(x) ~ x 5 + x (b) q(x) ~ I x 4 (c) h(x) ~ 2x r
SOLUÇÃO
(a) /( -x) ~ ( -x)5 + ( -x) ~ ( -1)5x 5 + (-x)
Logo, f é uma função ímpar.
(b) q(-x) ~I (--x)4 ~ 1 x 4 ~ g(x)
Assim g é par.
FIGURA 25
FIGURA 26
X
F1GUR;\ 27
21
(c) h(-x) c-:~ 2( x)- ( ·-- 2_\_. ~c
Como h(-x) 0 h( :r) e h( -x) 0 -~h(x). concluímos que h não é par nem ímpar.
Os gráficos das funções do Exemplo ll estão na Figura 25. Observe que o grático de h
não é sjmétrico em rclação ao eixo)' nem em relação à origem.
l
·,·r / ! !f f
1/ 71··--~-·-> -j I X I -1 f
I I
(a) ( b)
Funções Crescentes e Decrescentes
)
X X
(c)
O gráfico da Figura 26 se eleva de A para B, cai de B para C, e sobe novamente de C para
D. Dizemos que a função f é crescente no intervalo [a, h], decrescente em [h, c], e nova~
mente crescente em [c, d]. Observe que se x 1 e x 2 forem dois números quaisquer entre a e
b com x1 < x 2 , então f(x 1 ) < f(x2 ). Vainos usar isso como a propriedade que de tine uma
função crescente.
yl
A,
--l-i OI a ~--_i X
f(x)
I
I
I
I
1 f(x)
B
'(
I
I
I
I i
I I
I I
----L·--··- .. _L ___ _
h
c
i
..... 1 ............. .
Uma função f é chamada crescente em um intervalo 1 se
sempre que x1 < x2 em I
Ela é denominada decrescente em I se
J(x 1) > j(x2 ) sempre que x1 < x2 em 1
D
Na definição de função crescente é importante compreender que a desigualdade
f(x 1) < f(xz) deve estar satisfeita para todo par de números x1 e x2 em l com x 1 < x2 •
Você pode ver que na Figura 27 a função f(x) = x 2 é decrescente no intervalo (-êXl. O) e
crescente no intervalo [0, co).
22 CÁLCUUJ Editora ThomsD!l
1. f: dado o grútlco de uma função{.
(a) Obtenha o Yalor de f(---1).
(b) Estime o Yalor de f{2).
(c) f(x) = 2 para quais valores de x?
(d) Estime o:-. valores de x para os quais f(x.) =O.
(c) Ohh:nha o domínio e a imagem de f
(f) Em quais íntcrvalosfé crescente?
y
2. São dados os gráficos de f e g.
(a) Obtenha os valores de f( -4) c gO). i( 11 )
(b) f(x) y(x) para quaís valores de .:r?- i.," ""
(c) Estime a solução da equação f{x) = -L f),(:
! J) Ern quais intcn·aJos f é decrescente?
i c) Estabeleça o domínio c a imagem de f.
(f) Obtenha o domínio e a imagem de g.
f
3. As Figuras l, 11 c 12 foram registradas por um instrumento
monitorado pelo Departamento de Minas c Geologia da
Califórnia pertencente ao Hospital Universitário do Sul
da Califórnia. Usc~as para estimar as imagens das funçôcs
accleraçüo do solo na ver9caL na direção nortc-~sul, na
leste--oeste. na l!SC durante o terremoto de Northridge.
4. Nesta seção discutimos os exemplos de funções do di~hH.iia.
como: a população é uma função do tempo; o custo da
franquia postaL uma função do peso; a temperatura da água. do
tempo. Dê três novos exemplos de funções cotidianas que
possam ser descritas verbalmente. O que você pode dizer sobre
o domínio c a imagem de cada uma dessas funçôes? Se
possíveL esboce um gráfico de cada uma delas.
Dctenninc se d cun-<1 dada é P ;rcíf)c(l !k um;! fmH;itP de
Se for P caso. obtenha o domínio e a imagem da Cun\·iio.
6.
7. 8.
9. O grátlco mostra o peso de uma certa pessoa como uma funçãn
da idade. Descreva em palavras como o peso dessa pessoa
varia com o tempo. O que você acha que está acontecendo aos
30 anos'?
200
Peso l50
(!i bras)
~·
!O 20 30 ciO 50 60 70 ldade
{ano:-)
10. O gráfico mostra a distftncia que um caixeiro-viajante cst:í de sua
casa em um certo dia cnmo uma função do tempo. Descreva em
palavras o que o grMico indica sobre suas andanças nes:-;e dia.
Distilncia
de casa
(milhas)
~·-·~·
,r. t(>·dt" 2
-~-~->~----· -·
6 ítankl Tcmpn {horas)
11. Ponha cubo~ de gelo em um copo. encha-o com 0gua g'-+_tda e
tk·ixe-o sobre urna mesa. Descreva como vai variar no tempo a
temperatura da água. Esboce então um gniílco da temperatura
da 3gua como uma função do tempo decorrído.
12. E~hoce um gniJko do número de horas diárias com a luz do
sol como uma função do tempo no decorrer de um ;:mo.
13. Esboce um gníflco da temperatura extema como uma fun\;ão
do tempo durante um dia típico de primavera na zona
temperada do Hemisfério Norte.
14. Coloque uma torta gelada em um fomo e asse-a por uma hora.
Então tire-a do forno e deix<>a esfriar antes de comê.- la.
Descreva como varia no tempo a temperatura da torta. Esboce
um gráüco da temperatura da torta como uma função Jo tempo.
15. Um homem apara seu gramado toda quarta-feira à tarde.
Esboce o grátko da altura da grama como uma função do
tempo no decorrer de um pcríndo de quatro semanas.
16. Um avião vai de um aeroporto a outro em uma hora. c a
distância entre eles é de 400 milhas. Se t representa o tempo
em minutos desde a partida do avião, seja x(l) a distância
horizontal percorrida e y(t) a altura do avião.
ta) Esboce um possível gráfico de .dt).
(h) Esboce um possível gráfko de y(t).
(c) Esboce um posc;.íwl grüfico da velocidade no chão.
( d) Esboce um possível gráfico da velocidade na vcnical.
17. Uma estimativa anual do número N (em milhares) de assinantes
de telefones celulares na Iv1alásia é mostrado na tabela
(a) Use os dados da tabela para esboçar o gráfico de N como
uma função t.
(b) Use seu gráíko para estimar o número de assinantes de
telefones celulares na Malásia
nos anos de ! 994 e 1996.
18. Os registros de temperatura T (em "F) foram tomados de duas
em duas horas a partir da meia-noite até as 14 horas. em
Dallas. em 2 de junho de 2001. O tempo foi medido em horas
19.
20.
após a meia-noítc.
i~l
---"'-J
(a) Use os registros para esboçar um grMico de T como uma
funçüo de t.
(h) Use seu grálko para estimar a temperatura às 11 horas da
manhã.
Se j(x) = 3x2 - .:r+ 2. cncontref(2),f(-2),.f(a),f(--a) f( a+ 1).
2f(a).,f(2a),f(a'). [f(a)J' c f( a+ h).
Um haláo esférico com raio de r polegadas tem o volume
F(r) -= ~ 1rr'. Encontre uma função que represente a
quantidade de ar necessária para inflar o balão de um raio
r até um raio r+ I polegadas.
Jarnes Sl:ew.art GAPtTUUJ 1
l_ri r~ncon1re f\2 + h).f(:;: -~- /1) e ·--'•'--.:~---········
onde h --* O. h
21. (Ld 22. X
'"+ 1
Encontre o domínio da função.
23.
X
f"{x) -
3x 24. f(x)
----~-
x·' +3x-+-2
25. f(i) - !i ,, + -\11 26. y(uf '--= )";; + ~
27. h Lt) -
- Sx
23
28. Encontre o domínio e a imagem e esboce 0 gráJico d<t função
h(x) ""' v/4 -- x 2•
29 -'W Encontre o domínio e esboce o grüfko da função.
1 29. f(x) '' 5 30. Fr.x) ~ -(x+3l
2 '
31. f(t) ~ r' - 61
35. G{x) = 3x + x
X
_ 37. f(x) se-:r~'f0
se x >O
·r .. {2-:r + 3 se x < -1 38. I xl ~
" 3-xsex~-1
{
x+2 sex:os.:-1
39. Ih)~ ,
.c se x > -1
40. ((\)-{~] 2
7- 2x
scx~---1
se !xl <
se x? l
4- ,.
32. H(t) ~
2 -t
34. F(x) ~ 12x+ !I
36.
4J--45 Encontre uma express5.o para a função cujo gráfico é a
curva dada.
41. O segmento de reta unindo os ponto:-, ( --2. l) c (4, -6).
42. O segmento de reta unindo os pomos (- 3. - 2) e (6. 3).
43. A pm1e de baixo da panibo!a x + {_y -- J )"=O.
44. A parte de cima do círculo (x -- 1 }2 A- y 1.
45. 46.
X
24
Encontre uma f()rmulá para a função des(:rita c obtenha :-cu
domínio.
47. Um retângulo tem um perímetro de 20 metros. Expresse a área
do retângulo como uma função do comprimento de um de seus
lados.
48. Um retângulo tem uma área de 16m2 . Expresse o perímetro
do retângulo como uma função do comprimento de um de seus
lados.
49. Expresse a {rrea de um triângulo eqüilátero como uma função do
comprimento de um lado.
50. Expresse a área superficíal de um cubo como uma funç:lo de
seu volume.
51. Uma caixa retangular aberta com volume de 2 m 1 tem uma
base quadrada. Expresse a área superficial da caixa como uma
função do comprimento de um lado da base.
52. Uma janela normanda tem um formato de um retângulo em
cima do qual se coloca um semicírculo. Se o perímetro de uma
janela for de 30 pés, expresse a área A da janela como uma
função de sua largura x.
53. Uma caixa sem a tampa deve ser construída de um pedaço
retangular de papelão com dimensões 12 por 20 polegadas.
Devem-se cortar os quadrados de lados x de cada canto e
depois dobrar. conforme mostra a figura. Expresse o volume
V da caixa como uma funçao de x.
1-------- 20 .,
X X'
___ J
X X
12
-"' 'X
X
L X
54. Uma companhia de táxi\cobra $ 2 pela primeira milha (ou
fração dela) e 20 centavos a cada décimo de milha adicional (ou
fração). Expresse o custo C (em $)de uma corrida como
uma função da distância x percorrida ·(em milhas) para
O < x < 2 c esboce o gráfico.
55. Em um certo país, o imposto de renda é cobrado da seguinte
forma. São isentos os que têm rendimento até$ 10.000. Para
qualquer renda acima de$ 10.000 é cobrado um imposto de
109'c, até$ 20.000. E acima de$ 20.000 o imposto é de 15%.
(;_;) Esbix:c o gótico do imposto de renda R umm uma funçfio da
renda I.
(b) Qual o imposto cobrado sobre um rendimento de$ l4.0C~f'
E sobreS 26.000?
(c) Esboce o gráfico do impo~to total cobrado T como uma
função da renda I.
56. As funções no Exemplo lO e nos Exercícios 54 e 55( a) são
chamadasfimçôes escada. em virtude do aspecto de seus
grátlcos. Dê dois outros exemplos de funções escada que
aparecem no dia-a-dia.
Os gráflcos de f e de g são mostrados a seguir. Verifique se
cada função é par. ímpar ou nem par nem ímpar. Justifique seu
raciocínio.
57. 58.
y
59. (a) Se o ponto (5, 3) estiver no gr<.üico de uma função par, que
outro ponto também deverá estar no gráfico?
(b) Se o ponto (5. 3) estiver no gráfico de uma função ímpar.
que outro ponto deverá também estar no gráfico?
60. Uma função f tem o domínio [~5, 5] e é mostrada uma parte do
seu gráfico.
(a) Complete o gráfico de f sabendo que ela é uma função par.
(b) Complete o gráfico de f sabendo que ela é uma função ímpar.
---+-----~~
-5
'I
I J I~
v +------+---·;1>-
0 5 X
61~55 Determine se f é par, ímpar ou nenhum dos dois. Se f for
par ou ímpar. use a simetria para esboçar seu gráfico.
61. f(x) ~ x -2 62. f(x) ~ x·'
63. f(x) ~ x' + x 64. f(x) x 4 ~ 4x 2
65. f(x) ~ x 2 ~ x 66. f(x) ~ 3x 2 + 2x' + 1
.James Stewart
Modelos Matemáticos: Urna Relação de Funções Essenciais
.~-,%C0''>-~EW'='~~=r,=,-x==•~''"''"'"''•'="''"""•--~-~.-,,_"~"''•'•""•~·-~---•,•p_•C<''«"""''"'"''C",• -,--c~"''"'""'""~''"~'•"•-=~m.-,.-,-,.-e_-.---;-,•.-~•·=--,-'""'·'•'•'•""'"'~''" '''''e"'''"'""~ '
A ccnrdenada geométrica das
retas é revista no _A_pêndice 8.
llm modelo matemático é nma descrição matemática (freqüentemente por mcío de uma
função ou de uma equação) de um fenômeno do mundo real, como o tamanho de uma popu-
lação, a demanda por um produto. a velocidade de um objeto caindo. a concentração de um
produto em uma reação química, a expectativa de vida de uma pessoa ao nascer ou o custo da
redução dos poluentes. O propósito do modelo é entender o fenômeno e talvez fazer
predições sobre um comportamento futuro.
A Figura 1 ilustra o processo de modelagem matemática. Dado um problema do mundo
real, nossa primeira tarefa é formular um modelo matemático por meio da identificação e
especificação das variáveis dependentes e independentes c da realização de hipóteses que sim-
pliüquem o fenômeno o suficiente para "'tomá-lo matematicamente tratável. Usamos nosso
conhecimento da situação física e nossa destreza matemática para obter as equações que rela-
cionam as variáveis. Em situações em que não existe uma lei física para nos guiar, pode ser
necessário coletar dados (de uma biblioteca, da Internet ou conduzindo nossos próprios expe-
rimentos) e examiná-los na forma de uma tabela. a fim de perceber os padrões. Dessa repre-
sentação numérica de uma função podemos obter uma representação gráfica desenhando os
dados. Esse gráfico pode até sugerir uma fómmla algébrica apropriada em alguns casos.
FIGURA 1
r·~~----
ProbJcma do j Formular j Modelo
mundo real li-_ _:__::.;._:__:_::_ _ _.; matemático !
Tesi"' · "::.:r·
,- '
I Predições sobre !i••o--------i Conclusões I , o mundo reaJ Interpretar matemáticas L. ____ _,
Processo de modelagem
O segundo estágio é aplicar a matemática que sabemos (tal como o cá1culo a ser desen-
volvido neste livro) ao modelo matemático que formulamos, a fim de tirar as conclusões.
Então, em um terceiro estágio, interpretamos as conclusões matemáticas como infor-
mações sobre o fenômeno original e oferecemos explicações ou fazemos predições. A
etapa final é testar nossas predições com o que acontece de novo no mundo reaL Se as
predições não se ajustam bem à realidade, precisamos reünar nosso modelo ou formular
um novo modelo e começar novamente o ciclo.
Um modelo matemático nunca é uma representação completamente precisa de uma
situação física ~ é uma idealizaçtio. Um bom modelo simplifica a realidade o bastante
para permitir cálculos matemáticos, mantendo, porém, uma precisão suficiente para con-
clusões apreciáveis. É importante entender as limitações do modelo. A palavra final está
com a Mãe Natureza.
Existem vários tipos diferentes
de funções, as quais podem ser usadas para modelar as
relações observada<; no mundo real. A seguir, discutiremos o comportamento e os grátkos des-
sas funções, e daremos exemplos de situações modeladas apropriadamente por elas.
Modelos Lineares
Quando dizemos que y é uma função afim de x. queremos dizer que o gráfico da função é
uma reta; assim, podemos usar a forma inclinação--intercepto Ja equação de uma reta para
escrever uma fórmula para a função, ou seja
CÁLCULO
FIGURA 2
--!011+20
-+~- --l>-
h
FIGURA 3
~~' = '-'-= mx +h
onde m 0 o coeficiente angular da reta c h é o intercepto~'"·
Uma cmteterística pcculíar das funções allns é que das variam a uma taxa constante. Por
exemplo. a Figura 2 mostra o grátlco da funç·ão aílrn fLr) 3x 2 c uma tahda Llc Ya]orc"
amostrais. Note que yuando x sofre um aumento em 0,1. o valor de f(_r) se deva em OJ. De:-.sa
forma . .flr) cresce três vezes mais rápido que x. Assim. a inclinação do gnííico de y ~~ 3x '~
isto é, 3. pode ser interpretada como a taxa de v~u'iação de)" em relação a x.
Y= 3x 2
-------- -->-
X
(a) A medida que o ar seco move-se para cima ele se expande e esfria. Se a temperJtura
do solo for de 20 :oc c a temperatura a uma altura de ! km for de JO "C, expresse a tem-
peratura T (em °C) como uma função da altura h (em km). supondo que um modelo
linear seja apropriado.
(b) Faça um gráfko da fun\ão na parte (a). O que rcpre~cnta a incJinação?
{c) Qual é a temperatura a 2,5 km de altura?
SOLUÇÃO
(a) Como estamos supondo que T é uma função linear de h. podemos escrever
T= mh +h
Nos é dado que T c::.~ 20 quando h = O, assim,
20~m·O+b~b
Em outras palavras, o intercepto _v é b c-~ 20.
Também nos é dado que T = 10 quando h = j. dessa forma,
10 ~ m · I + 20
A inclinação da reta é. portanto. m = 10- 20 -= --lO c a função afim procurada é
T~-JOh+20
(b) O gráfico está esboçado na Figura 3. A inclinação é igual a m = -lO oC/km, e re-
presenta a taxa de variação da temperatura em relação à altura.
(c) A uma altura de h = 25 km, a temperatura é
T ~ -10(2.5) + 20 ~ 5 oc
Se não existir uma lei física ou princípio que nos ajude a formular o modelo, construí-
mos um modelo empírico, inteiramente baseado em dados coletados. Procuramos uma
curva que se ajuste aos dados no sentido de que ela capte a tendência dos pontos dados.
TA.BELA 1
,~--~-~----~--- -----~-~l
i '
CAPiTULO 1
-:;;, ;:_:iy; ;J; - A Tabela l fomccc uma li;.;ta de nfn:is n1édios de cliô:x.idn de carbono na
atmosfera_ meJídos em jXuil~S por milhUo no Observatório de I\'Iauna Loa. de l9RO a 20C~l.
Use os dado:; da Tabela 1 para encontrar um modelo para o níYcl de dióxido de carbono.
SOLUÇÃO Vamos usar os dados da tah:la para faze-r um mapa de dispcrsJ.o na Figura --L
onde t representa o tempo (em anos) e C o nível de COe (crn pprn).
_170 :
350
340
-c.' i
FIGURA 4
:V1apa de díspersl:io para
O llÍYc! médio de ('()2
l4XO 1985
-·-+'"- --J>-
1 o/Xl 1 o/)5 2000 t
Observe que os pontos estão muito próximos de uma linha reta; dessa fom1a, é natural esco-
lher um ffi(Xiclo linear nesse caso. Porém, há inúmeras possibilidades de retas para aproximar
esses pontos. Qual deveríamos usar'? Do _s-rráfico, vemos que uma possibilidade é a reta que passa
pelo primeiro e o último pontos dados. A inclinação dessa reta é
369.4-338.7
2(10() ~ 1980
e sua equação é
C- 338.7 ~ 1535 (I- 1980)
ou
C = I ,535t ~ 2.70(t6
A Equação 1 fornece um modelo linear possível para o nível de dióxido de carbono:
seu gráfico está mostrado na Figura 5.
FIGURA 5
l\inddo linenr por meio do
primeiro e do último pontos dados
370
360
350
19?10
-'---?
1985 1990 1495 2000 t
Embora nosso modelo se ajuste razoavelmente aos dados, ele dá valores mais altos
que a maior parte dos níveis reais de C02• Um modelo linear melhor é obtido por meio de um
28 CÁLCULO Editora Th.omsnn
Um computador ou uma
calculadora gráfica encontra a
reta de regressão peio Método
dos Mínimos Ouadrát'1cos, que é
minimizar a soma dos quadrados
das dis1âncias verticais entre os
pontos dados e a reta_ Os
detalhes serão esclarecidos na
Seção 14.7 do Volume 2.
FiGURA 6
Reta de regrcs~ão
procedimento da estatística chamado regrcssào linear. Se utilizarmos uma cakulmiora
fica, inserimos os dados da Tabela l, c a calculadora escolhe o comando de regressão linear.
(Com o ;\1aple usamos o comando fitfleastsquare}: com o Mathonatica empregamos o
comando Fit .) A máquina dá a inclinação e o intercepto y da reta Je regressão como
rn = 1.53818 b ~ -2.707.25
Assim, nosso modelo de mínimos quadrados para o nível de C02 é
c ~ L53818t- 2.707.25
Na Figura 6 fizemos o gráfico da reta de regressão e marcamos os pontos dados.
Comparando~a com a Figura 5 vemos que ela fornece um ajuste melhor que o anterior para
nosso modelo linear.
350 +
EXEMPlO 3 Use o modelo linear pela Equação 2 para estimar o nível médio de COz
em 1987 e predizer o nível do ano em 2010. De acordo com esse modelo, quando o nível
de C02 excederá 400 ppm''
SOLUÇÃO Usando a Equação 2 com t = 1987, estimamos que o nível médio de C02 será
C(l987) ~ (153818)(1987) 2.70725" 349.11
Esse é um exemplo de interpolaçüo, pois estimamos um valor entre os valores observa-
dos. (De fato, o Observatório de Mauna Loa registrou em 1987 um nível médio de C02
de 348,93 ppm; assim, nossa estimativa é bem precisa.)
Com t = 2010, obtemos
C(2010) ~ (!,53818)(2010)- 2.707,25" 384.49
Predizemos então que o nível médio de C02 no ano de 2010 será de 384,...1 ppm. Esse é
um exemplo de extrapolação, pois predizemos um valor fora da região de observações.
Conseqüentemente, estamos muito menos seguros sobre a precisão dessa nossa predição.
Usando a Equação 2, vemos que o nível de C02 excederá 400 ppm quando
1538181 2.707.25 > 400
Resolvendo essa desigualdade, obtemos
3.10725
t > 2.020,08
1.53818
F!GURA 7
Os gráficos de funções
quadráticas são parábolas
FIGURA 8
Portanto estamos predizendo que o nível de C02 vai exceder 400 ppm no ano 2020. Essa
predição é um pouco arriscada. pois envolve um tempo bem distante de nossas observaçf"leS.
Polinômios
Uma função Pé denominada polinômio se
onde n é um inteiro não negativo. e os números ao, a J. a 2 , •••• a, são constantes chamadas
coeficientes do polinômio. O domínio de qualquer polinômio é iH:= (-:r.:·, x). Se o coefi-
ciente Jominante a, ~O, então o grau do polínômio é n. Por exemplo, a função
P(x) = 2x6 x 4 + ~x 3 + /2
é um polinômio de grau 6.
Um polinômio de grau 1 é da forma P(x) = nLt + b e, portanto, é uma função afim. Um
polinômio de grau 2 é da forma P(x) = ax 2 + bx + c e é chamado função quadrática.
O gráfico de P é sempre uma parábola obtida por translações da parábo1a y = (V?, con-
fonne veremos na próxima seção. A parábola abre-se para cima se a > O e para baixo quando
a < O. (Veja a Figura 7 .)
o X
Yt
I
21 ~ 1/ \
\
\x
\
(b)y = -2x:·+ 3x+ 1
Um polinômio de grau 3 tem a forma
P(x) ~ ax 3 + bx2 + ex + d
e é chamado função cúbica. A Figura 8 mostra o gráfico de uma função cúbica na parte
(a) e os gráficos dos polinômios de grau 4 e 5 nas partes (b) e (c). Vamos ver mais adiante
por que os gráficos têm esses aspectos.
" I I . /~ / I
-I --+-----+~ í O! I X
(a)y=x'~x+l (b)y = x' -3.:0 +x (c) y = 3x-'- 251 + 60x
Etll!Drfl ThornstHi
TABELA 2
T __ ';npo /\ltura
i:<:guulv-, \mctPY.;
'
f) 450
405
--1-3 !
3 -+OS
j_ :ns
5 JJ2
h 279
I
2 j(,
u l-ü
I n
I 9 h]
L-
Os polinômios ;.;ão usados comumente para modelar Y;írias que ocnrrcn; çm
clêncÍ<L<; sociais c naturais. Por exemplo. na Seção 3.3 cxplicarcr'nos pm quC r1s CL'\momi.<:tas i"rc-
qüentemente usam um polinômio P(x)
para representar o cu:-:to na produçi.1o de x unidadé\ dL'
um produto. No exemplo a seguir vamos usar uma função quadn:ítíca para modelar a queda de
uma bola.
EXEMPlO 4 Uma bola é deixada cair desde o topo da Tone CN, 450 m acima do chão. c
sua altura h acima do solo é registrada em intervalos de 1 segundo na Tabela 2. Encontre um
modelo para ajustar os dados e use-o para predizer o kmpo após o qual a bola atínge o chão.
SOLUÇÃO Vamos fazer um gráfico de dispersão na Figura 9 e ohservar que um modelo
linear não é apropriado. Parece que os pontos podem estar sobre uma parábola: assim.
vamos tentar um modelo quadrático. Usando uma calculadora gráfica ou um CAS (que
usa o método dos mínimos quadrados). obtemos o seguinte modelo quadrático:
(metros)~
400 +
I
200 f
FIGURD, 9
2 4 6
h = 449.36 + 0.96! -- 4.90(
h
.. mo
200
8 2 4 6 (sezundos)
FiGURA 10
;'\'lapa de dispersão para uma bola caindo i\-1odelo quadr:ítil.:o para uma hnla caindo
Na Figura 10 fizemos um gráüco da Equação 3 junto com os pontos dados c vimos
que o modelo quadrático fornece um ajuste muito bom.
A hola atinge o chão quando h =O, asslm resolvemos a equação quadrática
---4,90t 2 + 0.961 + 449.36 ~ o
A fórmula quadrática fornece
-0,96 :': ,t(0.96)2 - 4( -4,90)(449,36)
t~
2( -4,90)
A raiz positiva é t = 9,67; dessa forrna, predizemos que a bola vai atingir o chão após
9,7 segundos.
Funções Potências
Uma função da forma f(x) = x", onde a é uma constante. é chamada função potência.
Vamos considerar vários casos.
m a = n onde n é um inteiro positivo
Os gráficos de f(x) = X 11 para n = 1, 2, 3, 4 e 5 estão na Figura 11. (Esses são polinômios
com um só tenno.) Já conhecíamos os gráficos de y = x (uma reta passando pela origem
com inclinação 1) e y = x 2 [uma paráhoJa veja o Exemplo 2(b) da Seção l.ll.
o
FIGURA 11
CAPÍTUUJ i
\'A
" I
31
OrMkosdcfC'J ,-''paran l.2.3.4c5
FIGURA 12
Famílias de funções potência~
FIGURA 13
Gráfiu1s das funçôes raízes
A forma geral do gráí1co de fLr) = x" depende de n ser par ou ímpar. Se 11 for par, então
j(x) = xn será uma função par e seu gráfico é similar ao da parábola y = x 2• Se n for ímpar,
então f(x) = x" será uma função ímpar e seu gráfico é s.imilar ao de y = x~. Observe na
Figura 12, porém. que à medida que n cresce. o gráhco de y = x'1 torna-se mais achatado
próximo de zero e mais inclinado quando \ x I ~ I. (Se x for pequeno. então x 2 é menor; x 3
será ainda menor: e x 4 será muito. mas muito menor, e assim por diante.)
)'
)'
• ( 1. 1)
-y=x
(i i) a = 1/n, onde n é um inteiro positivo
A função fi):)= x:·" = if;: é uma função raiz. Para n = 2, ela é a função raiz quadrada
f(x) = ,JX, cujo domínio é [O. x) e cujo gráfico é a parte superior da parábola x =
[veja a Figura 13(a)j. Para outros valores pares de n. o gr<Hko de y =i~ é similar ao de
y = v:X. Para n = 3, temos a função raiz cúbica f(x) = cujo domínio é lR (lembre-se
de que todo número real tem uma raiz cúbica) e cujo gráfico está na Figura l3(b). O
gráfico de y = if;: para n ímpar (n > 3) é similar ao de}' =
X
(a)f(x) ,-- ~ (b)f(x) CC :;x
-+
X
32
y=
I I ~~~-~~-L ------)>-
Oi X
I
FIGURA 14
A função recíproca
a~ ~~I
O gráfico da função recíproca f(x) = x 1 = l/x estú na Figura J 4. Seu gráíko tem a
equação _Y = 1/c ou .xy = 1, e é uma hipérbole com eixos coordenados como suas
assíntotas.
Essa função surge em física e química em conexão com a Lei de Boyle. que
estabelece que, sendo constante a temperatura. o volume de um gús é inversamente
proporcional à pressão:
c v~ p
onde C é uma constante. Assim, o gráfico de V como uma função de P (veja a Figura 15)
tem o mesmo aspecto geral da metade à direita da Figura 14.
i
FIGURA 15
Volume como uma funçilo da
pressão à temperatura constante -J.~
Vi
I
20 l
---,~~-~ ( OI \2 X
I i
I
FIGURA 16
f(x) = 21:"- x 1 __ -:-__ !_
X:- 4
Outro exemplo do uso da função potência na modelagem de um fenômeno físico é
discutido no Exercício 22.
Funções Racionais
Uma função racional f é a razão de dois polinômios:
P(x)
f(x) ~ -(-) Qx
onde P e Q são polinômios. O domínio consiste em todos os valores de x tais que
Q(x) #o O. Um simples exemplo de uma função racional é a função f(x) ~ 1/x, cujo
domínio é {xl x #O}; esta é a função recíproca cujo gráfico está na Figura 14. A
função
é uma função racional com domínio {x I x :F :±:2}. Seu gráfico está na Figura 16.
Funções Algébricas
Uma função f é chamada função algébrica se puder ser construída usando~se opera-
ções algébricas (como adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes)
começando com os polinômios. Toda função racional é automaticamente uma função
algébrica. A seguir estão mais alguns exemplos:
f(x) ~ -)x2 + l x" ~ 16x
2 ~ g(x)~ +(x-2)~x+J
x+
FIGURA 17
(a)f(x) = sen x
FIGURe, 18
James Stewart CAPÍTULO 1 3
Quando esboçarmos as funções algébricas no Capítulo 4 veremos que ~cu,s_ gráficos poder
assumir uma variedade de formas. A Figura 17 ilustra algumas dessas pos.sibilidades.
X
o 5
(a) f(x) = x ·-/X + 3 (b) g(x) ~ <' 25
-~
X
(c) h{xj = x' (x- 2f
Um exemplo de função algébrica ocorre na Teoria da Relatividade. A massa de um
partícula com urna velocidade v é
onde mo é a massa da partícula no repouso e c= 3,0 X 105 km/s é a velocidade d
luz no vácuo.
Funções Trigonométricas
Há uma revisão de trigonometria e de funções trigonométricas no Apêndice D. Em cálcul
Convencionamos usar sempre a medida de ângulos em radianos (exceto quando explicit<::
mente mencionado). Por exemplo, quando utilizamos a função f(x) = senx, deve se
entendido que sen x significa o seno de um ângulo cuja medida em radianos é x. Assim, o
gráficos das funções seno e cosseno estão na Figura 18.
X
(b) q(x) = cos x
Observe que tanto para a função seno quanto para a função cosseno o domínio é (-co, ex
e a imagem é o intervalo fechado [ ~ 1, 1]. Dessa forma. para todos os valores de x temos
ou, em termos de valores absolutos,
!senxl ~
1~cosx~1
icosxl ~ 1
Editora Thomson
FIGURA 19
y tgx
FIGURA 20
Da mesma forma. os zeros da funçUo ~;c no ocorrem nos
scnx=()
.\- ~:::. Jl JT n é um inteiw
Urna propriedade impmtantc das funçücs seno e cosseno é que das :-;ão pcriódie<1s com
um período 2rr. Isso signiJka que. para todos os valores de x.
sen(x -+- 271) = sen x cos(x -+- 271) = cos x
A natureza periódica dessas funçôes torna-as adequadas à modelagem de fenômenos repe-
titivos, tais como marés. cordas vibrantes c ondas sonoras. Por exemplo. no Exemplo 4 da
Seção l.J veremos que o modelo razo;_hel para o número de horas com a luz solar na
Filadélfla t dias após F de janeiro é dado pela funç5o
[
2r.
L(t) cc 12 + 2.8 sen · --(1
365
80)]
A função tangente relaciona-se com as funções seno e cosseno pela equação
senx
tg X
COS X
c seu gdflco está na Figura 19. Ela não cstú deílnida quando cos x =O. isto é. quando
x = ~: n/2 . . -t:3n/2 ..... Sua imagem é xJ_
Observe que a função tangente tem período n:
tg (x + 1r) = tg x para todo x
As três funções trigonométricas remanescentes, cossecante, sccante e cotangente. são
as recíprocas das funções seno, cosseno c tangente. Seus grátkos estão no Apêndice D.
Funções Exponenciais
As funções exponenciais são da forma f(x) = a-'. onde a base a é uma constante positiva.
Os gráficos de y = 2-~ c y = (0.5)' estão na Figura 20. Em ambos os casos o domínio é
( -x, :r) c a imagem é (0. x).
(b) v~ (0.5)'
As funções exponenciais serão estudadas em detalhes na Seção 1.5, e veremos que elas
são úteis na modelagem de muitos fenômenos naturais, como crescimento populacional
(se a> .l) e decaimento
radioativo (se a< 1).
FI GURi\ 21
'41f2 Exercícios
jsmes Stewart
Funções Logarítmicas
As funções logarítmicas süo fix) = log,,x. onde a base a é uma constante poslt!Y~L Elas
sao im-ersas das funt;õcs exponenciais e serflo estudadas na Seção l.ó. A Figura 21 mostra
os grúllcos de quatro funt;fK'S logarítmicas com Yárlas bases. Em cada caso o domínio é
{0. x). a imagem é {-x. x) e as funç{ks crescem Yagarosamcntc quando x > 1.
Jng.x
log -r
(I
\' =-' log.
r= Jog,,x
Funções Transcendentais
São as funções não algébricas. O conjunto das funções transcendentais inclui as funções
trigonométricas. trigonométricas inversas. exponencial e logarítmica. mas também inclui um
vasto número de outras funções que nunca tiveran1 um nome. No Capítulo li. no Volume lL
estudaremos as funções transcendentais, que são definidas como soma de séries infinitas.
EXEMPUl5 Classiflque as funções a seguir como um dos tipos discutidos.
(a) f(x) ~ Y
I + X (c) h(x) ~ ~~cc
I-
SOLUÇÃO
(b) q(x) ~ x'
(d) u(t) ~ I - t + 5t4
(a) f(x) =5-1 é uma função exponencial. (x é o expoente.)
(b) g(x) = x 5 é a função potência. (x é a hase.) Podemos também considcrá~Ia um poli-
nômio de grau 5.
} +X {c) h(x) o:=------;=::- é uma função algébrica. 1 ~~ \iX
(d) u(t) = I t + 5t_. é um polinômio de grau 4.
i-~2 Classillque cada função como uma função potê-ncia. função (e) s(x) - (n 2x c (f) t(x) = log 10 x
raíz. polinomial (es.tabeleça seu grau). função racional, função
algébrica, função trigonométrica, função exponencial ou função
logarítmica.
1, (a) (b) Ç/(.t)
(c) h(.x) x" '- xJ
2. (a)
(c)
(c)
X
X
X
y \0'
y -- 2t'
6 xz
,. 6 (b) )'=X+ -;t,;~- J
(d) .r ,w
+ t' -
"
(f) y = cos (j +senO
CÁLClH.V
3--4 Associe cada equação a seu gráfico. Explique sua escolha.
(Não use computador ou calculadora gráfica._)
3. (a) r ~ x'
4. (a) y 3x
(c) v= x
(b) y- x-
v
f
(C))·=-x
I i
g I : 1/ h
/
/j
(b) y
(d) y
l'
y t 1
, I
I I
c'x
!
i
' ! Gl
F
g
5. (a) Encontre uma equação para uma família de funções
lineares com inclinação 2 e esboce os gráficos de vários
membros da família.
(b) Encontre uma equação para a família de funções lineares
tais que f(2) = I e esboce os gráficos de vários membros
da familia.
(c) Quais funções pertencem a ambas as famílias?
6. O que todos os membros da famílía de funções lineares
f(x) = 1 + m (x + 3) têm em comum? Esboce o gráfico de
vários membros da família.
7. O que todos os membros da família de funções lineares
J(x) = c~ x têm em comum? Esboce os gráficos de vários
membros da família.
8. Um administrador de mercado de pulgas sabe por experiência
que se cobrar x dólares pelo aluguel de um espaço. então o
número y de espaços que ele pode alugar é o dado pela
equação y = 200 ~ 4x.
(a) Esboce o gráfico dessa função linear. (Lembre-se de que o
aluguel cobrado pelo espaço e o número de espaços
alugados não podem ser quantidades negativas.)
(b) O que representam a inclinação. o intercepto y e o intercepto x?
9. r\ rcla\·;:io entre a:; escola~ de temperatura Fahrcnhcit !F';~· Cv1
siu:-. (C) é dada pela fun~ão linear F= ~C--:-- 32.
(n) Esboce o gráfico dcs-;a função.
(b) O que n:-prcsen!a nesse gráfico a inclinaçfio'? O que repre-
senta n intercepto F do gnitlco?
10. José deixa Dctroit às 2 horas da tarde c guia a uma velocidade
constante em direção a oeste pela rodovia 1-96. Ele passa por
Ann Arbor. a 40 milhas de Detroit. às 2h50 da tarde.
(a) Expresse a distância percnnida em tennos do tempo deconído.
(b) Esboce um gráfico da equação da parte (a).
(c) Qual é a inclinação dessa reta? O que ela representa?
1l Biólogos notaram que a taxa de cantos de uma certa espécie de
grilo está relacionada com a temperatura de uma maneira que
aparenta ser linear. Um grilo canta 113 vezes por minuto a
70 "F c 173 por minuto a RO °F.
(a) Encontre uma equação linear que modele a temperatura T
como uma função do número de cantos por minuto N.
(b) Qual é a inclinação do gráfico? O que ele representa?
(c) Se os grilos estivere-m cantamlo 150 vezes por minuto,
estime a temperatura.
12. Um administrador de uma fábrica de móveis descobre que
custa$ 2.200 para fabricar 100 cadeiras em um dia e$ 4.800
para produzir 300 cadeiras em um dia.
(a) Expresse o custo como uma função do número de cadeiras pro-
duzidas, supondo que da seja linear. Então esboce o gráfico.
(b) Qual a inclinação do gráfico e o que ela representa?
(c) Qual o intercepto y do gráfico e o que ele representa'?
13. Na superfície do oceano, a pressão da água é igual à do ar
acima da água, 15lb/poF. Abaixo da superfície. a pressão da
água cresce em 4.34 lb/poF para cada 10 pés de descida.
(a) Expresse a pressão da água como uma função da
profundidade abaixo da superfície do oceano.
(b) A que profundidade a pressão é de 100 lbipoF
(] Jb/poF ~ 0.068046 atm ~ 703.07 kgf/m')
14. O custo mensal do uso de um carro depende do número de
milhas rodadas. Lia descobriu que em maio ela gastou$ 380 e
guiou 480 milhas e, em junho, gastou .S 460 e guiou 800 milhas.
(a) Expresse o custo mensal C como uma função da distância
percorrida d, supondo que a relação línear forneça um m(xlelo
apropriado.
(b) Use a parte (a) para predizer o custo quando 1.5(X) milhas
foram pcrconidas por rnês.
(c) Esboce o grMico da função. O que a inclinação representa?
( d) O que representa o intercepto .v?
(e) Por que uma função é um m<xlelo apropriado nessa situação?
15-16 Para cada marca de dispersão, decida qual tipo de função você
escolheria como um mOOelo para os dados. Explique sua escolha.
15. (a)
L
..
..
16, (a)
'' I'
J-
X
X
(b) o
__ _L __
OI ·--~* X
17. A tabela mostra as taxas de úlcera péptica (medida no decurso
de toda vida) (a cada 100 habitantes),para várias rendas
familiares, confonne reportado em 1989 peJo National Health
Intcrview Survey.
la)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
s -4.000 1----l.i
S S.OOO
s !2.000
s 16.000
s 20.000
S Jü.OUO
) -i-5.000
s 60.000
1 ) -+
Faça um mapa de dispersão desses dados t: decida se um
modelo JJnear é apropriado.
Faça um gráfico de modelo linear usando o primeiro e o
último pontos.
Encontre e faça um gráfico da reta de regressão de
mínimos quadrados.
Use o modelo linear de (c) para estimar a taxa de úlcera
correspondente a uma renda de $ 25.000.
De acordo com o modelo, qual a chance de alguém com
uma renda de$ 80.000 sofrer de úlcera péptica?
Você acha razoável aplicar o modelo a alguém com uma
renda de $ 200 .000?
'.:>p,5cic: ~rparcntemcnte cqá re~Jcion:.H.b com a temperatura .·\ tah-.;b
;·;-;u:--tr;; :1:-. l;_t\i.b de cmto paru ;,:ária~ ren;pçratum:;.
(a) Faça um mapa de dispersão dos dados.
(b) Encontre e fuça um gráfico da reta de regressão.
(c) Use o modelo linear da parte (b) para estimar a taxa de
canto a 100 oF.
19. A tabela dá as alturas dos vencedores do salto com vara nas
Olimpíadas durante o século XX.
20,
/\nn Altura '-pé;.,) .-\no Altura (fh;~j
j\1(\f) I ·un t956 1-L9{:
!f\!4 AX r 960
' ' ' '
)\)!_))< !..;._ 19()-1- l (, ,,
llJ ' j ê ')(; I i..JóX
'
I 9:?{) I
'
'X JU""'f I XJ
"'
i924 1:2.96 1976 lhD-+
llJ20 I 3,77 1980 1S.9h
I 9.~2 !4.15 !9g4 I B.B5
l l)_\6 i-L27 !%R l')_l/
l94K I +.10 1992
]IJ:o;2 l-1-.iJ2 !996 i'J.-12
(a) Faça um mapa de dispersão e decida se um modelo linear
é apropriado.
(b) Encontre e faça um gráfico da reta de regressão.
(c) Use o modelo línear para predizer qual a altura do
vencedor nas Olimpíadas de 2000 e compare com a altura
do vencedor de 19,36 pés.
(d) É razoável usar o modelo para predizer a altura do
"Vencedor para as Olimpíadas
de 21 00?
Um estudo doU. S. Office of Science and Technology em
1972 estimou o custo para reduzir em certas porcentagens a
emissão de poluentes pelos automóveis:
:)(1
--+5
55 ))
60 62
(,S :o
71} BO
38 CÁlCULO
Encontre um modelo que capte a tendência ck '"n:-ndimcntos
decrescentes" Jcsc>cs dados.
Terra ;_:o Sol! c seu:-; pcrfoch~-s T !tempo Lk rc,·olL;(;io-
éill'_l'-, J.
21. Use o~ Jatlos da tabela para moddar a população mundial no
século XX por uma funç;âo cúbica. Então utilize seu modelo
para eqimar a popula~::to no ano de 1925.
f\!!()
1 '-)li\
<J20
i Cb()
i'-}00
\950
féJ(Jil
I
I c;;o
i'-JSO
I
!99()
2l!(!()
L
h~('
)O:,fj
: (h('
::: .0/!l
2 __ \(!('>
.')(11'
:;_()J.(l
" i(!
--L-1-:'0
_"_2g(l
{1 OX!!
----~----~
I
___ I
(a) Ajuc-,tc um modelo de funçfio potência aos dados.
(b) r\. Tere;;; ira Lei de Kcpler para o Mo\·imento PlanetC!rio
estahelece que ·'O quaJrado do período da rcYolução de
um planeta é proporcional ao cubo de sua dístôncia média
ao Sol". Seu modelo confirma a Tcn:círa Lei de Keplcr?
22. A tahela mostra a média das distâncias d dos planetas ao
Sol (tomando a unidade de medida para ser a distância da
~'~'·~:::_:~;3~~N~o~v~a~mções a partir de Antigas
Nesta scçãü partimos das fum;ões definidas na Seção I .2 e obtemos novas funçücs por
deslocamento, csticamento e reflexão de seus gdhcos. Vamos mostrar também como com~
hinar pares de funções por melo de operações aritméticas ordinárias e por composição.
Transformação de funções
Aplicando certas transformações aos gráficos de uma função dada obtemos o gráfico de
funçôes corrclacíonadas. o que nos capacita fazer o esboço de muitas funções à mão.
Vamos considerar inicialmente as translações. Se c for um número positivo, então o gní-
fico de y = f(x) + c é precisamente o gráfico de y = f(x) deslocado para cima em c
unidades (uma vez que cada coordenada :r üca acrescida pelo mesmo número c). Da
mesma forma. se fizermos g(x) = f(x - c). onde c >O, então o valor de g em x é igual
ao valor de f em x - c (c unidades à esquerda de x). Portanto o gráfico de y -= f(x -- d
é precisamente o de y = fCr) deslocado de c unidades para a direita (veja a Figura 1).
y f{x) + c. desloque o gráfico de y
y .fCr) c. desloque o grátko de .r
_Y = f(x -~ c). desloque o gráfico de y
Suponha c > O. Para obter o gráfico de
f(x) em c unidades para cima
f(x) em c unidades para baixo
.f(:r) em c unidades para a direita
y ---= f(x +r), deslo4uc o gráüco de y ~-"" f(x) em c unidades para a esquerda
Vamos considerar agora as transformações de esticamento e reflexão. Se c > 1, então
o gráfico de y = (j(x) é o gráfico de y = f(x) esticado por um fator c na direção Yertical
(pois cada coordenada}' fka muJtiplicada pelo mesmo número c). O gráfico de ~r= -fLr)
y {(x +c) (' I y = f(x)
-----i
o
FIGURA 1
Translações do gráflco de f
F!GURA 3
f(x) +c
y~=f(x--c)
y = f(x) -c
- ->
'
James Stewart CAPÍTULO 1
yo=J(-Y)
FiGURA 2
Esticamentos e ret1exões do gráfico de f
(c> l)
y f(x)
" '"""' J f(x)
'
y = -f{x)
é o gráfico de y = f(x) em torno do eixo :r, pois o ponto (x.y) será substituído pelo ponu
(x. -y). (Veja a Figura 2 e a tahela a seguir. onde estão os resultados de várias transfor
mações de esticamentos. compressão e reflexão.)
ReHexõas B Esticamentns rlmizuntais e Verticais Suponha c > l. Para ob~r o
gráfico de
y = cf(x), estique o gráfico de y = f(x) verticalmente por um fator de c
y = (1/c) f(x), comprima o gráflco de y = f(x) verticalmente por um fator de c
y = f( ex), comprima o gráfico de y = f(x) horizontalmente por um fator de c
y = f(x/c). estique o gráfico de y = f(x) horizontalmente por um fator de c
y = - f(x), reJ1ita o gráfico de y = .f(x) em tomo do eixo x
y = f(-x), reflita o gráfico de Y = f(x) em tomo do eixo 1'
A Figura 3 ilustra essas transformações de esticamento quando aplicadas à funçãj
cosseno com c = 2. Por exemplo, para obter o gráfko .\' = 2 c os x. multiplicamos as coor
denadas y de cada ponto do gráfico de y = cos x por 2. Isso significa que o gráfico d
y = cos x tka esticado verticalmente por um fator de 2.
y y = 2cosx Y(
2
X
COS X
2
)' = cosx
""""'cos 2.::r
'I
X --(t--·
(a)y = y~: (h)y = ,h,--2
FIGURA 4
FIGURA 5
FIGURA 6
Dado o gráflco de y ~-,;;; ,_ Use as transforma~~t::" para obter os """" '"
dcy= x-2,y=_,_/~2.y=-vX,)'=2 .r,c_r=y x.
SOLUÇÃO O gráfico da função raiz quadrada}' = x. obtldo da Figura 13
na Seção 1 .2, está mostrado na Figura 4(a). Nas outras partes da figura esboçamos
y = ",./--;; -- 2 deslocando 2 unidades para baixo; y = ,./x -- 2 deslocando 2 unidades para
a direita; y = - .. JX refletindo em torno de eixo x; y = 2 v~ esticando verticalmente por
um fator de 2; e y = reHetindo em torno do eixo y.
l ~~· ··------·-~ y) i y
'
Oi 2 X X ()
(d)y=-YX (e)y=2•(~
EXEMPLO 2 Esboce o gráfico da função f(x) ~ x 2 + 6x + 10~
SOLUÇÃO Completando o quadrado, escrevemos a equação do gráfico como
y ~ x 2 + 6x + 10 ~ (x + 3)' + I
() X
Isso significa que obtemos o gráfico desejado começando com a parábola y = x 2 e deslo~
cando-a 3 unidades para a esquerda e então 1 unidade para cima (veja a Figura 5).
\ I
--------------·----*
o X
(-3. 1)
________ )__
--3
H
. i
i
1 ~
I
(b)>' (x+3J' +I
EXEMPlO 3 Esboce os gráficos das seguintes funções.
(a) y~sen2x (b) y~ 1-senx
SOLUÇÃO
(a) Obtemos o gráfico y = sen 2x a partir de y sen x comprimindo horizontalmente
esse último por um fator de 2 (veja as Figuras 6 c 7). Assim, enquanto o período de
y = sen x é 211, o periodo de y = sen 2x é 2TI/2 = 1T.
sen 2x
4 2
FIGURA 7
X
FIGURA 8
FIGURA 9
Gníllco da extensão da luz solar
durante o dia, de 21 de março a 21 de
dezembro em várias latitudes.
James S!ewart
(b) Para obter o gráfico de y - scn x_ começamos novamente com v= sen x. Rei1e~
ti mos em tomo do eixo x para obter o gráfko de ~v = -sen x e então de~iocamos uma
unidade para cima para obter y = 1 ~" sen x (veja a Figura 8).
2
TI y;r 2n
2
X
EXEfv1PUJ A Figura 9 mostra vários números de hora_.;; de luz solar como uma função da
época em diversas latitudes. Dado que a Filadélfia está localizada a aproxímadarnente 40 oN
latitude, encontre uma função que modele a duração da luz solar durante os dias nessa cidade.
20
18 -
16
14
12
Horas ]().
8
6
4
2·
().
Mar. Abr. :víaio Jun. JuL Ago. Sct. Out. Nov. Dez.
2
3
4
;5
Fome: Lacia C Harrison. Day/i,:lu. Twiiigh1. Darkn.ess mui Time (Nnva York: Sílver. Burdett_ !935. P- 4(1._1
SOLUÇÃO Observe que cada curva assemelha-se à função seno deslocada e esticada.
Olhando a curva número 3 notamos que, na latitude de Filadélfia à luz do dia, dura cerca
de 14,8 horas em 21 de junho e 9,2 horas em 21 de dezembro: assim, a amplitude da
curva (o fator pelo qual esticamos verticalmente a curva do seno) é j (14,8- 9,2) ~ 2,8.
Por qual fator deveremos esticar horizontalmente a curva do seno se a medida do
tempo t for em dias? Como temos cerca de 365 dias em um ano, o período de nosso
modelo deve ser de 365 dias. Mas o período de y = sen t é 211; dessa forma, o fator de
esticamento horizontal é c= 2n/365.
Notamos também que a curva começa seu ciclo em 21 de março, 801! dia do ano, e
então devemos deslocar a curva em 80 unidades para a direita. Além disso, deslocamos
em 12 unidades para cima. Assim sendo, modelamos o comprimento dos dias na
Filadélfia no t-ésimo dia do ano pela função
L(t) ~ 12 + 2,8sen[ 2 7T (r
365
Outra transformação de algum interesse é tomar o valor absoluto de uma função. S1
y ~ !f(x)l, então, de acordo com a definição de valor absoluto, y ~ f(x)
quando f(x) ""' (
FIGURA 10
c v=-~ quando < O. Isso nos mo.\tra cor:nn ohter o g:ráiico de y = <t p:1r-
tir do grúilco de)' = f(xl: a pane do grüfico que está acima do eixo_~_- permanece a mc;,m;:;:
enquanto a parte que está abaixo do eixo x é rdklida em wmo do eixo x.
Esboce o gráfico da função y -=-~ I J_· 2 -- 1 l-
SOLUÇÃO Primeiro ützcmos o gráíko da parábola y = x~ -~ j como na Figura lO( a)
deslocando para baixo em uma unidade a parábola y x 2 . Vemos que o gráíko está
abaixo do eixo x quando 1 < x < 1; assim. refletimos essa p~rrte do grúílco crn tomo do
eixo x para obter o gráJico de _Y ;;;:::: I x 2 - 1[ na Figura JO(b).
-1 o
Combinações de Funçôes
>
'
_Y .1.
()
(h)_r ,~, :.:c
_____ ,..
'
Duas funções f c g podem ser combinadas para formar novas funções f+ q, f·- g, fq c
f/q de forma similar àquela pela qual somamos. subtraímos. rnultiplicamos c dividimos
números reais.
Deílnimos a soma f+ g pela equação
(f+ g)(x) ~ f(x) + g(x)
então o lado direíto da Equação 1 faz sentido se /Cd e q(x) estiverem definidas. isto é. se
x pertencer ao domínio de f e também de g. Se o domínio de f é A e o de g é B, então o
domínio f+ g será a interseção desses domínios. isto é, A n B.
Observe que o sinal -+ do lado esquerdo da Equação 1 significa a operação de adição
de funçtfes, mas o sinal + do lado direito da equação significa a operação de adição dos
números f{x) e g(x).
Da mesma forma. definimos a diferença f- q c o produto .fq, e seus domínios são também
A n B. Mas ao definir o quociente f/q devemos lembrar que não é possível dividir por zero.
Hxqq'x!E de Sejam f e g funções com domínios A e B. Então as funções
f+ g. f~ g. j{j e f/gestão definidas da seguinte forma:
(f+ g) (x) f(x) + g(x)
(f- g) (x) ~ flx) - g(x)
(/g) (x) ~ f(x)g(x)
(.f }x) ... j_(x) g. glx)
domínio -= A n B
domínio = A n B
domínio = A n B
domínio ~ {x E A n B I g(x) "' O}
Outra nnne1r2 de resolver -1- - 0:
12- >:) (2 r} ;_:-c o
+
-· 2 2
5 y = if+q)(x)
4
3
j(o)
y=
"
FIGURA 11
Se f(x) = x c
-, cnc_oÍltre as fuúçõc_..:. f + 9, = \ (1. ('
J/y.
SOLUÇÃO O domínio de f(x) =\-X é [0. x). O dornínio de a\x) '\---1- -- J_-~ consiste em
todos os números x taís que 4 - ;~" O. isto é .. Y~ ~;~;_--+.Tomando as raízes quadradas em
ambos os lados. obtemos I x I -<:,·,· 2 ou ---2 ~ x %;: 2. assim. o domínio de q é o intcn·alo
[ -~ 2. 2]. A interseção dos domínios de f c y é
[O.xl n [ -2. 2] ~[o. 2]
Dessa forma, de acordo com as deflnições temos
(/- y)(x) ~ vx- )4- x 2
(j{j)(x) ~ vc;: )4 ·· x 2 ~ ,j4x x 3
(f) .y ·~:;: ·- (x) ~ ~
,g v4-x 2
I X
\j 4- x 2
O""x""2
Observe que o domínio de f/g é o intervalo [0, 2), pois precisamos excluir x 2. uma
vez que y(2) ~ O.
O grátko da função f+ y é obtido a partir dos de f e g por adição gráfica. Isso sig:-
nltka que somamos as coordenadas y como na Figura ll. A Figura 12 mostra o resultado
desse procedimento para fazer o gráfico da função f+ g do Exemplo 6.
(j+
g(x) ~ v4·
J.S
f( a)+ y(a)
g(a)
O,."i
f(x) =V_\~
2 -I
FIGURA 12
Composição de !'unções
Há outra maneira de combinar duas funções para obter urna nova. Por exemplo, suponha
que)'= f(u) = ,/U eu = g(x) = x 2 + 1. Uma vez que y é uma função deu que é uma
função de .:r, segue que em última análise y é uma função de .-r. Calculamos isso por
substituição:
y ~ f(u) ~ f(g(x)) = f(x' + l) = v'x' + l
CÁLLtH.ü
FIGURA 13
A máquina f o g é composta de
duas outras. a de q e a de f.
FIGURA 14
Diagrama de flecha~ para f D g
O procedímento denomina-se composiçüo. pois a nova função é composw de duas
dadas f e g.
Em geral, dadas duas funções f c g, começamos com um número x no domínio de 9 c cncnn-
tramos sua imagem g(x). Se esse número g(x) estiver no domínio de f, então podemos calcular
o valor de f(g(x)). O resultado é uma nova função h(x) = f(g(x)) obtida pela substituição de
g em f. Ela é denominada composiçâo (ou composta) de f e g e é denotada por f" g
(']bola g '').
Def;nlção Dadas duas funções f c g, a função composta f o g (também chamada
composição de f e g) é definida por
(f o g)(x) = f(g(x))
O domínio de f o g é o conjunto de todos os x no domínio de g tal que g(x) está no
domínio de f. Ou seja, (f o g)(x) está definida sempre que g(x) e f(g(x)) estiverem
dellnidas. A melhor maneira de ver f o g é por intermédio de um diagrama de máquina
(Figura 13) ou de um diagrama de flechas (Figura 14).
X ~~">
(input)
X
9 ~-~-? g(x)
g(x)
f
f(g(x))
(ourput)
f(g(x))
Se f(x) = x 2 e g(x) = x ~ 3. encontre a função composta f o g c tam-
bémgof.
SOLUÇÃO Temos
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x- 3) = (x- ))'
(g "f)(x) = g(f(x)) = g(x 2 ) = x 2 ~ 3
NOTA u Você pode ver no Exemplo 7 que, em geral, f o g =;;!=- g o f. Lembre-se de que ;'i
nomcnc ; :-- q que a é {_No Exemplo 7, f o g
é a função que primeiro subtrai 3 e então se eleva ao quadrado; g "f é a função que
primeiro se eleva ao quadrado e então subtrai 3.
EXEMPlO 8 Se f(x) = JX e g(x) = y2 - x.encontre cada uma das funções e seu domínio.
(a)jog (b)gof (c)fof (d)gog
SOLUÇÃO
(a) (f o g)(x) ~ f(g(x)) = f(v2- x) ~ //2- x -x
Se O -c~ a b. então a-' Oé-: b-
James S\ewart CAPÍTULO 1
Odomíniodefogé{xi2 x;ccO} =-~{xj:r;S2}=(---/:.
(h) (fi ofl(x) ~ g(f(x)) ~o ukx) CC' X
Para "\:X estar dcflnida, devemos ter x?: O. Para\ -- "'x ser estabt~kcida. devemos ter
2 - v<~? O. isto é. y-~ ;S 2 ou x %- 4. Assim. temos O ;S x "'~ -L c o cl.omínio de g a f é
o intervalo fechado [0, 4],
(c)
O domínio de f o f é [O, x),
(d)
Essa expressão está definida quando 2 ~ x? O, isto é, x ~ 2 c 2 -- v'2 - x? O. Essa
última desigualdade é equiYalcnte a v~ ~ 2. ou 2 - x ~ 4, isto é, x ? -2. Assim,
-2 ~ X~ 2; logo. O domínio de g o g é O intervalo fechado r -2. 2].
É possível fazer a composição de três ou mais funções. Por exemplo, a função com-
posta fogo h pode ser encontrada calculando-se primeiro h, então g. e depois f como a
segmr:
(f o g c h)(x) ~ f(g(h(x)))
EXEMPlO 9 Encontre f o g' h se f(x) ~ x/(x + l),g(x) ~ x 10 e lzlx) ~ x + 3,
SOLUÇÃO
(f o g c h)(x) ~ f(g(h(x))) ~ f(g(x + 3)1
~ f((x + 3)10) ~ (x + 3)w
(x + 3) 10 +
Até aqui usamos a composição para construir as funções complicadas a partir das mais
simples. Mas em cálculo é freqüentemente proveitoso ser capaz de decompor uma função
complicada em funções mais simples, como no exemplo a seguir.
EXEMPUl10 Dada F(x) ~ cos'(x + 9), encontre as funções f, g e h tais que
F~jogoh,
SOLUÇÃO Uma vez que F(x) ~ [ cos(x + 9)]2 , a fórmula para F estabelece que: primeiro
adicionamos 9, e então tomamos o cosseno do resultado e, finalmente. o quadrado.
Assim. fazemos
Então
h(x) ~ x + 9 g(x) ~ cos x f(x) ~
(fogo h)(x) ~ f(y(h(x))) ~ f(g(x + 9)) ~ ficos(x + 9))
~ [cos(x + 9)] 2 ~ F(x)
46 GÁLCULD Edlíor-a Thomson
Exercícios
1. Suponha que :>eja dado o g:rútico de f Escn::\-a as cquaçôcs
para os gráficos obtidos a partir do gráfico de f da
seguinte forma.
(a) Desloque 3 unidades para cima.
(b) Desloque 3 unidades para baixo.
{c) Desloque 3 unidades para a direita.
(d) Desloque 3 unidades para a esquerda.
(e) Faça uma reílcx~to em torno do eixo x.
(f) Faça uma reflexão em tomo do eixo _v.
(g) Estique verticalmente por um fator de 3.
(h) Encolha verticalmente por um fator de 3.
2. Explique como obter, a partir do gráfico de y = f(x). os
gráficos a seguir:
(a) " ~ Sf(x)
ih) y ~ f(x - 5)
(c) y ~f(x)
{d) y - Sf(x)
(cl y = /(5.1-)
(f) Y ~ Sf(x) 3
3. O gnífico y = j(x) é dado. Associe cada equação com seu grá-
fico e dê razões para suas escolhas..
la) Y ~ f(x- 4)
(b) Y ~f(x) + 3
(c) Y ~ \f(x)
(d) Y ~ - f(x + 4)
(e) y ""' 2f(x ~ 6)
6
3
-3
f
6 X
4. O grú!kn de f é dado. E<.,hocc o~ ~níílws d:1:> sct:nink'S
funç('íts.
(a) Y = f!x + ..J.)
(c) r 2fLd
td) '.thl T 3
5. O grátko de f é dado. Use-o para fazer o grdtico das seguintes
funçõc:-:.
5-7
(a) r ~ f(2x)
(b) 3 ,~, /( ix)
(c) y f( x)
(d) y ~ ~j( -x)
O grMico de y = é dado. Use as transformações
para criar uma função cujo gráfico é mostrado.
6.
>
5 X
7.
-I o
-]
-2.5
8. fa) Como estão relacionados o grátlco de}" = 2 senx e o de
sen :(.) Use sua resposta c a Figura 6 para esboçar o
gráfico de y = 2senx.
(b) Como está relacionado ao gráfico de y = 1 + o gráfico
de y """ Utilize sua resposta e a Figura 4(a) para
esboçar o gráfko de y = l +
9-24 Faça o gnífJco de cada função, sem desenhar os pontos. mas
começando com o gráfico de uma das funções básicas dadas na
Seção 1 L c então aplicando as transfonnações apropliadas.
9. )' ·-X
10. \' = J -·X:
James S!ewart 47
12. y :::::. x- 4x + 3
13. y ::: 1 + 2 co~ x
14. y ::: 4 sen 3x
15. y:;;; sen (x/2)
16. J y=
x-4
17. Y ~ .Jn 3
18. y = (x + 2}' + 3
J •
+ 8x) 19. _Y=-(f
2
20. y =I+ -]
)
21. _v=
X+l
22. Y~_!_tg(~-~)
. 4 ~ 4
23. y=lsenxl
24. y= ix'- 2,1
25. A cidade de New Orleans está localizada a uma latitude de
30 "N. Use a Figura 9 para encontrar uma função que modele o
número de horas do dia nessa cidade como uma função da
época do ano. Use o fato de que nessa cidade em 31 de março
o Sol surge às 5h5 1 da manhã e se põe às 6h 18 da tarde p::~ra
verificar a precisão de seu modelo.
26. Uma estrela variável é aquela cujo brilho alternadamente
cresce e decresce. Para a estrela variável mais visível, Delta
Cephei. o período de tempo entre os brilhos máximos é de 5.4
dias, o brilho médio (ou grandeza da estrela) é 4,0. e seu brilho
varia de :::1:::0.35 em grandeza. Encontre uma função que modele
o brilho de Delta Cephei como uma função do tempo.
27. (a) Como o gráfico de)'= J(lx!) está relacionado com o
gráfico de f?
(b) Esboce o gráfico de y ·= sen I x 1.
(c) Esboce o gráfico de y = víN.
28. Use o gráfico dado de f para esboçar o gráfico y = 1/.fCr).
Quais aspectos de f são os mais importantes no esboço de
y = 1/f{x)? Explique como eles são usados.
CÁLCUUJ Editora Thomsun
·:9-31} Use a adíção gráfica para esboçar o gráfico de f+ q.
29.
X
30.
3i-32 Encontre f+ g, f g, fq e f/q, c estabeleça os domínios.
32. f(x) - JJ+X. g(x) ~ .fi='X
33-34 Use os gráficos de f e g e o método da adição gráfica para
esboçar os gráficos de f+ g.
33. f(x) ~ x. g(x) - 1/x 34. f(x)- x'. g(x) = -x'
35-4\1 Encontre as funções Jo g, g o f. f"" f ego g; e seus
domínios.
35. j(x) = 2r -x. g(x) = 3x + 2
36. f(x) = 1 - x', g(x) = 1/x
37. f(x) ~ sen x, g(x) = 1- -Jx
38. f(x) = 1 ~ 3x, g(x) = 5x' + 3x + 2
I 39. f(x)~ x+-,
X
x+l g(x) ~
x+2
,f2x+3. g(xl = x- + l
:~)-4.c:1 Encontre fogo h.
41. J\x) = x + 1. g(x) = 2:r, h(x) = x
42. f(x) ~ 2x-l, g(x) ~ x'. h(x) = J -x
43. j(x)""'EJ, Y(x)""'x2 +2, h(x)=x+3
. 2 44. j(x)~~-. g(x)~cosx, h(x)~.Jx+3
x+l
45-50 Expresse na forma as funções f o g.
45. F(x) Cf + I)"' 46. F(x) -sen( j:;)
47. G(x) ~
x2
48. • 1 G(x) ~-~
+4 X + 3
49. u(t) = -.Jcos t 50. u(t) ~
1 +tgt
51-53 Expresse na forma as funções f o y o h.
51. H(x) ~ I 52. H(x) ~ ;jj:; I
53. H(x) sec'{j~)
54. Use a tabela para determinar o valor de cada expressão.
(a) f(g(l))
(d) g(g(l))
(b) g(f(l)J
(c) (g • /)(3)
(c) f (f (I))
(f) (f• g)(6)
55. Use os gráficos dados de f e g para determinar o valor de cada uma
das expressões ou explique por que elas não estão definidas.
(a) f(g(2))
(d) (g. f)(6)
(b) y(f(O))
(e) (g•g)(-2)
yh!~
~12 / +
Oli ""-.,_,_,,""- 2//
v
X
i
(c) (f• g)(O)
(f) (f• f)(4)
56. Use os gráficos dados de f e g para estimar o valor de f( g\x))
para x = -5, -4, -3
7
•••• 5. Use essas estimativas para
esbrn;ar o gráfico de f o g.
57. A queda de uma pedra em um lago cria ondas circulares que se
espalham a uma velocidade de 60 cm/s.
(a) Expresse o raio desse círculo como uma função do tempo t
(em segundos).
(b) Se A é a área do círculo como uma função do raio,
encontre A o r e interprete-a.
58. Um avião está voando a uma velocidade de 350 miih, a uma
altitude de 1 milha, e passa diretamente sobre uma estação de
radar no instante t =O.
(a) Expresse a distância horizontal de vôo d (em milhas) como
urna função de t.
(b) Expresse a distâncias entre o avião e a estação de radar
como uma função de d.
(c) Use a composição para expressar s como uma função de t.
59. A função de Heaviside H é definida por
( {o se r< o H t) ~ 1 se t? O
Essa função é usada no estudo de circuitos elétricos para
representar o surgimento repentino de corrente elétrica, ou
voltagem, quando uma chave é instantaneamente ligada.
(a) Esboce o gráfico da f:-mção de Heaviside.
(b) Esboce o gráfico da voltagem V(t) no circuito se urna
chave for ligada no instante t = O e 120 volts forem
aplicados instantaneamente no circuito. Escreva uma
fórmula para \l(t) em termos de H(t).
(c) Esboce o gráfico da voltagem V(t) em um circuito quando
é ligada uma chave em t = 5 segundos e 240 volts são
aplicados instantaneamente no circuito. Escreva uma
fórmula para V(t) em termos de H(t). (Note que começar
em t = 5 corresponde a uma translação.)
James Stewan
60. A função Je }{eaviside detinjda no Exercício 59 pode
também s.er U\ada para definir uma função rampa
)' = ctH(t), Ytte representa um crescimento gradual na
voltagem ou c()ffCnte no circuito.
(a) Esboce o gráfico da função rampa .v tH(t).
(b) Esboce o {Sráfico da voltagem F( r) no circuito se uma
chave for ligada no instante t =O e a voltagem crescer
gradualmente até 120 volts em um intervalo de 60
segundos. Escreva uma fónnula para V(t) em tennos de
H(t) para t .,s; 60.
(c) Esboce o gráfico da voltagem V(t) em um circuito se
em t = 7 ~for ligada uma chave e a voltagem crescer
gradualmente até 100 volts em um períod; de 25
segundos. Escreva uma fórmula para V(t) em tennos
de ll(t) para t '% 32.
61. (a) Seg(x) = 2x + 1 eh(x) = 4x 2 + 4x + 7,encontre
urna função f tal que f o g =h. (Pense sobre quais
operações deveriam ser feitas em g para chegar em
h.)
(b) Se f(x) = 3x + 5 e h(x) = 3x 2 + 3x + 2, encontre
uma função g tal que .f o g =h.
62. Se f(:t") = x + 4 e h(x) = 4x ~ 1, encontre uma função
g tal que g o f= h.
63. Suponha g uma função par e seja h =f o g. A função h é
sempre uma função par'?
64. ?uponha g ttma função ímpar e seja h =f o g. A função h
e sempre uma função par? E se f for ímpar? E se f for
par?
CÁ!..CUW
1'"'-d
a
'i'!
FiGURA 1
A janela retangular [a, b] por [{. d]
2
'
~-2 ---~-r~-
-2
{a) [-2, 2] por! -2. 2]
4
!
l
-4 ~~
t
-4
(b) [- 4, 4] por [ -4,41
FIGURA 2
Grüficos de f(x) x' + 3
X'""- b
2
--- 4
Calculadoras Gráficas e
Nesta seção vamos supor que você tenha ace;.;so a uma calculadora ou a um computador
com um sqfta·are gráfico. Vamos -ver como o uso desses Jispositivos nos possibilita
fazer o gráfico de funções complicadas c resolver problemas complexos. que de outra
forma não poderiam ser resolvidos. Vamos apontar também alguns dos perigos ocul-
tos nessas máquinas.
As calculadoras gn:íflcas c os computadores podem fazer gráficos bem precisos de
funções. Mas, como será vísto no Capítulo 4, só por meio do cálculo podemos estar
seguros de ter coberto todos os aspectos íntcressantes dos gráficos.
Tanto calculadoras quanto computadores exibem uma parte retangular do griífico de
uma função em uma janela de exposição ou tela de inspeção, que será chamada aqui de
janela
retangular. A \'Ísão-padrão sempre nos fornece uma ímagem incompleta ou
enganadora, assim é importante escolher com cuidado a janela retangular. Se escolhermos
a variação de x de Xmfn = a até Xmâx o--= h e os valores de",_. de Yrnfn = c até Ymúx ~=-- d.
então a parte do gráfico que está no retângulo é
[a, h] X [c,d] ~ {(x.Y) I a~ x~ b,c ~ .\' ~ d)
mostrada na Figura 1. Vamos nos referir a ela como janela retangular [a, h] por [c, d].
A máquina faz o gráfico da função f da mesma forma que você faria. Ela desenha
pontos da forma (x,.f(x)) para um certo número de valores igualmente espaçados de x
entre a c b. Se determinado valor de x não estiver no domínio de f, ou se f(x) estiver
fora da janela retangular, ela vai para o próximo valor de x. A máquina conecta cada
ponto com o precedente, formando assim urna representação do gráfico de f.
EXEMPlO 1
f(x) ~
Em cada urna das janelas retangulares que se seguem faça o gráíko de
+ 3.
(a) [-2,2]por[-2,2] (b) [-4,4]por[--4,4]
(c) [-10, JO]por[-5,30] (d) [-50, 50] por [-JOO, 1.000]
SOLUÇÃO Para a parte (a) escolhemos Xmfn "-2, Xmâx = 2, Ymln :::= ,_2 c Ynuix = 2.
O gráfico resultante está na Figura 2(a). /\.janela está em branco~ Um instante de
reflexão nos dá a explícação: observe que J: 2 ?o O para todo .:r, logo x 2 + 3 ?:= 3 para todo
x. Assim a imagem da função fCr) ~= x 2 + 3 é [3, x).lsso signítica que o gráfico de f
cstj inteiramente fora da janela retangular [ -~ 2, 2] por [- 2, 2].
Os gráfkos para as janeJas retangulares das partes (b), (c) c (d) estão na Figura 2.
Note que em (c) e (d) a visão está mais completa, porém em (d) não fica claro que o
intercepto y é 3.
30 1.000
-;o lO 50
-s ""100
(c) [ -10. 101 pnr 1 5. 30j (d) 1- 51UOJ por f- 100, 1.000)
4
-_1- 3
FIGURA 3
5
~5
-5
ciGUR.I\ 4
20
-20
-20
F!GURI\ 5
f(x) ,_- x
-- 15üx (a)
-Jsmes Stewart CAPiTULO í
A partir do Excm.plo 1 vemos que a escolha da janela retangular faZ urna grande dife-
rença no aspecto do grüíico. /\lgumas vezes. para obter uma vísfi.o rnais compk4:a (m rnaís
global do gráflco. é necessário ampliar a janela. No exemplo a seguir vcr.:1110S que urn co-
nhecimento prévío do Jomínio c da imagem da funç5.o dá pistas de cnr)1o selecionar a
janela retangular.
Y -'0 ,-:; _: Determine uma janela apropriada para a função fCr) = , '8~ c use-a
para fazer o gráfico de f.
SOLUÇÃO A expressão para f{x) está-dcfmida quando
8 - 2x 2 :;:-~ O <:::>
ixi ~2
Portanto. o domínío de f é o intervalo [-2. 2]. Também.
logo a imagem de f é o intervalo [0. 2ví2].
Escolhemos a janela retangular de forma que o intervalo sobre o eixo x fosse um
pouco maior que o domínio c o intervalo sobre o eixo y fosse um pouco maior que a
imagem. Fazendo a janela retangular ser [- 3, 3] por [ ~ 1, 4], obtemos o gráfico da
Figura 3.
EXHv1PUJ 3 Faça o gráfico da função y = x-'- l50x.
SOLUÇÃO Aqui o domínio é !R;, o conjunto de todos os números reais. Isso não ajuda na
escolha da janela. Vamos fazer algumas experiências. Se iniciarmos com a janela
retangular [ ·- 5. 5] por [- 5. 5], obteremos o gráfico da Figura 4. Ele aparenta estar vazio.
mas, na verdade, o gráfico está tão próximo de ser vertical que chega a se confundir com
o eixo _y.
Usando o recurso z..oom da calculadora gráfica para mudar a janela retangular para
[-20, 20] por [-20, 20], obtemos a imagem da Figura 5(a). O gráfico aparenta ser for-
mado por retas verticais, mas sabemos que isso não está correto. Observando cuidadosa~
mente enquanto o gráfico está sendo feito, vemos que o processo se interrompe para depois
reaparecer. Isso indica que é necessário olhar com mais detalhes na direção vertical, dessa
fomu, mudamos a janela retangular para r-~20. 20j por [-500. 500}. O gráfico resultante está
na Figura 5(b). Todavia, ainda não temos revelados todos os aspectos principais da função:
dessa fonna. tentamos a janela [~20, 20] por[~ LOOO. l .000] na Figura 5(c). Tudo indica que
finalmente chegamos a uma janela apropriada. No Capítulo 4 veremos que realmente o
gráfico da Figura 5( c) revela todos os principais aspectos da função.
sm LO(){)
~ 20 --20 20 20
~-500
--1.000
(b) (c)
CÁLCJJUJ
,/', aparência do grafíco na Figura 6
depende da máquina usada_ Os
gráficos que você obtiver em sua
máquina podem não ser parecidos
com os destas figuras, mas com
certeza são igualmente imprecisos.
FIGURA 6
Gráficos de j'(x) = scn 50x
em quatro janel~as rctangulare~
FIGURA. 7
f(x) = sen SOx
15
-1.5
Faça o gráfico da funçáo = sen SOx em. urnL! janela aprnjln<lllei
SOLUÇÃO A Figura 6(a) mostra o gráflco de f produzido por uma calculadora gní!ica
usando uma janela retangular de [- 12, 12) por [- J ,5, 1 ,5]. A prímeira vista o gráfico
aparenta ser razoável. Porém_ se mudarmos para as outras janelas da 1--::igura 6. n gníiico
mudará completamente. Algo estranho está acontecendo.
- J 2 -
1.5
-1.5
(a)
1,5
-15
(c)
9
1.5
-lO
-1,5
(b)
1,5
-1,5
(d)
A fim de explicar a grande diferença no aspecto desses gráficos e achar uma jane1a
apropriada, é necessário encontrar o período da função y co-. sen 50x. Sabemos que o
período da função y ~-= sen x é de 2 n; assim, o período de y = sen 50x é
2n n
-~-=0126 50 25 '
Isso sugere que devemos trabalhar com os valores pequenos de x para mostrar somente
algumas oscilações do gráfico. Se escolhermos a jancJa [-0,25, O ,25] por [- 1.5, 1 .5].
obteremos o gráfico da Figura 7.
Vemos agora o erro que cometemos na Figura 6. As oscilações de)-' = sen 50x são tão
rápidas que quando a calculadora desenha pontos e os une, perde o ponto máximo c o
mínimo. dando assim uma impressão errada sobre o gráfico.
Vimos que a escolha de uma janela não apropriada pode levar a uma visão errônea do
gráfico de uma função. Nos Exemplos 1 e 3 resolvemos o problema ampliando a janela, ao
passo que no Exemplo 4 a reduzimos. No próximo exemplo examinaremos uma função para
a qual não existe uma única janela satisfatória, que revele a verdadeira forma do gráfico.
EXEMPlO 5 Faça o gráfico da função f(x) = scnx + )(~ cos IOOx.
SOLUÇÃO A Figura 8 mostra o gráfico de f produzido por uma calculadora gráfica com uma
janela retangular de [-6,5, 6,5] por [-1 ,5, I ,5]. Ele se parece com o gráfico de y ~ sen x,
talvez acrescido de algumas oscilações. Se dermos um znom na janela [-0,1, 0,1 J por
[-0,1, 0.1] poderemos ver mais claramente a fonna das oscilações acrescidas na Figura 9.
:_ Para evitar a reta estranha podemos
mudar a maneira de fazer o gráfico na
calculadora de tal forma que os pontos
não sejam conectados.
FIGUR.f\ 1 O
I
y~--
1-x
James S\ewart CAPÍTULO 1 c•.;;
A razão para eSse comportamento está no fato de que o setundo termo. cos 100x. é
muito pequeno em c-ompa.ração com o primeiro, sen x. Assim. realmente precisamos de
dois gráflcos para ver a natureza verdadeira dessa função.
1.5 OJ
-6.5 -.--·--
FIGURA 8 FIGURf\ 9
I
EXEMPlO 6 Faça o gráfico da função y = ---.
1-x
SOLUÇÃO A Figura lO( a) mostra o gráfico produzido por uma calculadora com uma
janela [ -9, 9] por [ -9, 9]. Ao conectar os pontos sucessivos sobre o gráfico, a
calculadora produz um segmento de reta íngreme do topo até a base da tela. Esse seg-
mento de reta realmente não faz parte do gráfico. Observe que o domínio da função
y ~ 1/(1 - x) é {x I x,; 1}. Podemos eliminar a reta quase vertical fazendo experiências
com uma mudança de escala. Quando mudamos para uma janela menor !-4,7. 4,71 por
[-4,7, 4,7], obtemos um gráfico muito melhor. como mostrado na Figura lO(b).
9 4,7
ti.: ; ~g ~·===t-1-+='i;~"
l ~
9
(a) (b)
EXEMPUl 7 Faça o gráfico da função y = ;{X.
SOLUÇÃO Alguns recursos gráficos dispõem a imagem como na Figura 11, enquanto
outros produzem
uma imagem como a da Figura 12. Sabemos da Seção 1.2 (Figura 13)
que o gráfico na Figura 12 está correto; assim, o que aconteceu na Figura 11? A
explicação disso é que, em algumas máquinas, J_.l/} é computado como e 0 / 3)lnx e lnx não
está definida para x < O. Logo, somente a metade à direita do gráfico é produzida.
2
3 ~]
FIGURf\ 11 ~2 FiGURA 12
54 CÁLCULD Editoril Thomscn
Você deve experimentar com sua rnáquína para .,:cr dcs~c:-: dui_;., ~~..~Ll
produzido. Se obtiver o gráfico da Fígura 11. podcrú ohtcr a imagem correu f~m.::ndn o
gráfico da função
X
ftx) = · !x! 1 ixl
Observe que essa função é igual a (exceto quando x = 0).
Para entender como a expressão para uma função relaciona~sc com seu gnifico. é
proveitoso fazer o gráfico de uma família de funções, isto é, uma coleção de funções
cujas cyuaçücs estão relacionadas. No exemplo a seguir faremos os gráficos de mcmhros
de uma família de polinômios cúhicos.
EXEMPlO 8 Faça o gráfico da função y + ex para vários valores ele c. Como
mudará o gráfico quando fizermos c variar?
SOLUÇÂO A Figura 13 mostra os gráJicos da função _v x ~ + ex para c = 2, l. O, -1 c
--2. Vemos que. para os valores po:-,itivos de c. o grátlco é crescente da esquerda para a
direita sem ponto de máximo ou de mínimo (picos ou vales). Quando c= O. a curva é
achatada na origem. Quando c é negativo, a curva tem um ponto de rnáximo e um ponto
de mínimo. A medida que c decresce, o ponto de máximo fica cada vez mais alto. e o
ponto de mínimo. cada vei mais baixo.
(a) y = x' + 2x (b)y=_-..-'+x (c) y t' (d) y "" x-'- X (e)y = x'- 2x
FIGURA 13
Vários membros da famílía de funções
y x' +ex têm sem gráficos na janela
j-2. 21 por r--25. 2..5)
--5
FIGURA 14
1.5
--1.5
EXEMPlO 9 Encomre as soluções da equação cos ::r = x com duas casas decimais de precisão.
SOLUÇÃO As soluções da equação c os x = x são as coordenadas x dos pontos de interseção
das curvas _y = cosx e y = x. Da Figura 14(a) vemos que há uma única solução e ela está
entre O e 1. Dando um zoom na janela [0. 1] por r o. 1]. vemos, da Figura 14(b ). que a
solução estú entre 0.7 e 0,8. Damos mais um zoom para a janela l0.7. 0.8 J por [0.7, 0.8] na
Figura l4(c). Movendo o cursor para o ponto de interseção das duas CUlTas, ou por
inspeção c pelo fato de que a escala em x é O,Ol, vemos que a solução da equação é cerca
de 0.74. (Muitas calculadoras possuem dispositivos que fomecem pontos de interseção.)
0.8
5
y =X
y = cosx
11 0,7
o,x
Localização das soluçôcs
decosx=x
(a) !-5. 5] por!- 1.5. 1,5]
escala x = J
(b) [0, I] poc [0, ll
escala x = 0.1
(c) [11,7. 0,8] por [0,7, 0.81
C\~cala x -::= 0.01
Exercícios
1. Use uma calculadora gníílca ou um computador para dctcnni-
nar qual das janelas retangulares dadas produz o grú!ico mais
apropriado da função fl.x) x 1 + !
(a) 2] por [-2. 2]
(b) [O. 4] por[O. 4]
(c) r --4.41 por [ --4. 4]
(d) [--8.8]porl-4.411]
(c) [--40.40]por[-·80.8001
2. U:,c uma calculad1)ra gráfica ou um computador para dctcnni~
nar qual das janelas retangulares Jadas produz o gráfico mais
apropriado da função /(x) xc + 7x + 6.
(a) [-5,5]por]·5.5]
(b) lO. 10] por r- 20. 100]
(c) ]--15.8]por[--20.!00]
(d) I --!0. 3] por !00. 201
3. Use uma calculadora grüfica ou um computador para determi-
nar qual das janelas retangulares dadas produz o gráfico mais
apropriado da função j(x) = lO + 25x - x-'
(a) [-4. 4] por I -4. 4]
(b) l-!0.!0] por [-10.10]
(c) [-20.20]por[--!OO.IOO]
(d) [ ··· 100. 100[ por [-200. 200]
4. Use uma calculadora gráfica ou um computador para determi-
nar qual das janelas retangulares dadas produz o gráfico mais
apropriado da função J(x) = v'8x - x 2 •
(a) [ -4. 4] por[-4.4]
(b) [-5.5]por[O. !00]
(c) f· !O. !O] por I 10,40]
(d) r--2.!0]por[-2.6]
5-18 Determine uma janela retangular apropriada para a função
dada c use~a para fazer o gráfico da função.
5. f(x) = 5 ·+- 20x ~- _:c.'
7. f(x) :-= O.Olx'- x-- + 5
9. f(x) = ~RI- x~
11. f(x) =
13. f(x) = cos IOOx
15. l(x) c.:: scn (x/40)
6. f(x) = x' + 30x~ + 200x
8. f(x) ~ r(x + 6)(x 9)
10. j(x)" )O.Inl(l
12. j(x) ~
x' + 100
X
14. f(x) = 3 scn I20x
16. y = tg 25x
18. y = :0 + 0.02 scn 50x
5E
19. Faça o grático Ja clip~e 4x~ 1 por meio dos ~rátlcos
das funções que sâo a metade superior e inferior da elipse.
20. Faça o gráfico da hipérbole y 2 -- 9x" = l por meio dos gráfi-
cos das funçôcs que são a metade superior e inferior dos ramo~
da hipérbole.
Encontre todas as soluçücs da equação com dua:-; casas
decimais de precis5o.
21. .. 9x' - 4 ~ O
22 . .r'-=:4x-l
23. r- scn J.-
24. Vimos no Exemplo 9 que a equação cos x = x tem exatamente
uma solução.
{a) Use um gráfko para mo Arar que a equação c os x = O Jx
tem três soluções e encontre-as com duas casas decimais
de precisão.
(b) Encontre um Yalor aproxímado m tal que a equação
cos x = mx tenha exatnmen!e duas soluções.
25. Use os gráflcos para detem1inar qual das funções fLd = Hh:
e g(x) = _:c'/10 é, em última anülise, maior (isto é. maior
quando x for muito grande).
26. Use os gráficos para determinar qual dentre as funções
JCr) = x 4 - l00x 3 c g(x) = x' é, em última amíli;;:c, maior.
27. Para quaís valores de x é váhdo que I SL'11 x x I < 0.1?
28. Faça o gráfico dos polinômios P(x) = ::tr 5 - Sx 3 + 2.r e
Q(r) = 3x~ na mesma tela, usando prímeiro a janela retangulm
[ -2. 2] por [- 2. 2] e então mudando para 10. IOJ por
[-10-000, lOJlOOJ. O que você pode ohscrvar a panir desses
grállcos?
29. Neste exercício consideramos a família de funçõesf(.r) = ::[;
onde n é um inteiro positivo.
(a) Faça o gráfico da função raiz y =~ y =~.·_r c
(b)
y = na mesma tela usando a janela retangular
[-1.4] por l-1.3].
Faça o gráfico das funções y ,= x. y =
mesma tela usando a janda retangular [
(Veja o Exemplo 7 .)
e y = na
- 3. 31 por 1--· 2. 2].
(c) Façaog:ráficodasfunçõcsy y= y e
y = -V~ na mesma tela usando a janela retangular [ -1 3]
por[- I, 2].
(d) Que conclusões você pode tirar desses gráficos?
cAu::uto ttiitora Thomsnn
30. Neste exercício consideramos a fumíba de funções 37. A,., figuras a C>eguir mo\tram O\ grMico:-- de Y.;:;; '-Cl1 9D:r c
de y;:;; scn 2x. conforme :--ão exibidas por urna cakubdora
grúfica T1-B3.
onde n é um inteiro positivo.
(a) Faça o gráfico das funçõe:.: y = 1/x c _Y = l/x 3 na mesma
tela usando a janela retangular r- 3. 3 J por r·~ 3. 3].
(b) Faça o gráfico das funções y = !/x" e y ~-_, 1/x 4 na nksma
tela usando a janela retangular dada na parte (a).
(c) Faça o gráfico de todas as funções das partes (a) c (b) na
mesma tela usando a janela retangular [- I, 3 J por [ -1, 3].
(d) Que conclusões você pode tirar desses gráficos?
31. faça o gráfico da função f(x) x~ + c.:r" + x para vários y = sen 96x --- scn 2x
32.
33.
34.
35.
36.
valores de c. Como mudará o gráfico quando c variar?
Faça o gr<'ifico da função f(x) = vil + cx 2 para vários valores
de c. Descreva como a variação de c afeta o gráfico.
Faça o gráfico da função)' o~" x''2 '.x? O. para nf(x) = L 2. 3.
4, 5 e 6. Como varia o gráfico com o crescimento de n?
As curvas com equações
lxl
r= ,_/c- x2
sào chamadas curvas ponta de bala. Faça o gráüco de
algumas dessa~ curvas para entender o porquê de seu nome.
O que acontece quando c cresce?
O que acontece com o gráfico da equação y 2 = c.-:r-1 + x 2 com
a variação de c?
Este exercício explora o efeito da função interior g sobre a
função composta y = f(g(x)).
(a) Façà o e:r<~flco da função>= sCn(.._/~;) usando a janela
[0.400 J por [ -1 ,5. 1 ,5]. Qual a diferença entre esse
gráfico c o da função senn?
(b) Faça o gráíko da função)-' =-~n(x 2 ) usando a janela
[ -5, 5] por [--1 j, I 5].
Qual a diferença com esse gráfico
e o da função seno?
38.
o
O primeiro gráfico é inexato. Explique por que os dois
gráficos aparentam ser idênticos. [Dica: A janela gráfica
da TI-R3 é de 95 pixels."'Quais pontos cspecí!icos a
calculadora desenha?]
O primeiro gráfico da tlgura a seguir é aquele que uma
calculadora gráfica TI-83 exibe como função y = sen 45x. Ele é
incorreto e, portanto, para ajudar a explicar sua aparência.
desenhamos a curYa em questão no modo pontual da calculadora
obtendo o segundo gráfico.
[.····. ··. ··.1
() t-f -.-.. -. ___::,-_:;'---!. 2-rr
I ....
·.··
-...
Que duas curvas senoidais a calculadora aparenta estar
desenhando? Mostre que cada ponto do gráfico de
)' = sen 45x que a TI-83 escolhe para desenhar está. de fato.
em uma dessas duas curvas. (A janela gráfica da TI-83 é
de 95 pixels.)
Funções Exponenciais
A função f(x) = 2-" é chamadajlmção exponencial, pois a variáveL x, é o expoente. Ela
não deve ser confundida com a função potência g(x) = x 2 , na qual a variável é a base.
Em geral, uma função exponencial é uma função da forma
f(x) ~ a"
onde a é uma constante positiva. Vamos recordar o que isso significa.
Se x = n, um inteiro positivo. então
an = a · a · · · · · a
Se x =O. então d' l,e se x = ~n, onde n é um inteiro positivo, então
a··n =
a"
Se x for um número racional, x = plq. onde p e q são inteiros e q >O, então
FIGURA 1
Representação de y ~'""' 2', x racional
Uma prova dessa afirmação é dada
em J. Marsden e A. Weinstein,
Cafculus Unlimited (Menlo Park, CA
Benjamin/Cummings, 1980).
FIGURA 2
y=2',xreal
Mas. qual :? significado de a, se x for um número inacionaP Por exemplo. qual o sig:niti~
cado de 2" 3 ou 5"'"?
Para ajudá-lo a responder a essa questão olhamos primeiro o gráüco da função y = 2'.
no qual x é racionaL Uma representação desse gráfico encontra-se na Figura J _Queremos
aiargar o domínio de y = 2' para incluir os números racionais e irracionais.
}
(1
No gráfico da Figura 1 existem buracos correspondentes aos valores irracionais de x.
Queremos preencher os buracos definindo f(x) = 2", onde x E !Ri., de modo que f seja uma
função crescente. Em particular, uma vez que o número irracional -/3 satisfaz
1.7 < J3 < 1,8
devemos ter
e sabemos que 21 ~e 21.s têm um significado, pois I ,7 e I ,8 são números racionais. Da mesma
forma, usando as melhores aproximações para ,/3, obtemos melhores aproximações para 2 .. 5:
1,73 < J3 < 1,74
1 ,732 < J3 < 1 ,733
J .7320 < ,.J3 < I .7321 ~
2!,73 < 2'.:'3 < 21.74
21]32 < 2-.-·3 < 2I;m
2 1 ;~20 < 2,-'3 < 2 1 ;r\21
1 ,73205 < y] < 1 ,73206 =*' 2 l .73205 < 2' 3 < 2 1.~.~206
Pode ser mostrado que há exatamente um número maior que todos os números
e menor que todos os números
21.73'21, 21J3206.
Definimos 2v'3 como sendo esse número. Usando o processo de aproximação precedente
podemos computá-lo corretamente com seis casas decimais:
2'3 = 3,321997
Da mesma forma, podemos definir 2x (ou a-', se a >O) onde x é um número irracional
qualquer. A Figura 2 mostra como os buracos da Figura I foram preenchidos para com-
pletar o gráfico da função f(x) ~ 2', x E [fL
Se O < a ,- J, então{/ aprox1ma-se
de O a medida que x cresce. Se a > L
então a' tende a O conforme x
decresce por valores negativos. Em
<.1mbos os casos o e:xo x é unm
assíntota horizontal. Esses assuntos
se1·ao discutidos na Seção 2.6
FIGURA 3
()
(a)_..--~- a', O< a< I
FIGURA 4
Na Seção 5.6 apresentaremos uma
definição para a função exponencial
que vai nos capacitar a dar
demonstrações s1rnpies para as Leis
dos Expoentes
Os gráficos dos mefnhrOs ·dà Lnnília de funções y =:~ ,·· '.':-tfío !1<1 -~ rmr~; YC\lT.':'
valores da base a. Not-:: que Hxlos esses gráílcos passam pelo mesmo ponto i O. l l_
a
11
= l para a r O. Observe LJUC a função exponencial cresce mais rupidanll'ntc :t mcd!d:1
que a tlca cada vez maior (para :r--- 0}.
C) lO
o
Você pode ver na Figura 3 que basicamente existem três tipos de função exponencial
v= (J'". Se O <a < 1, a função exponencial decresce: se a = I, ela é uma constante; e se
a > 1, ela cresce. Esses três casos estão na Figura 4. Observe que se a r J. então a função
exponencial y =a' tem o domínio [h(: c a imagem (0. x)_ Além disso. uma vez que
(l/a)'= I/a' ~'C:: n ·'.o gráfico de y C0'-7 (l/a)' é a reflexão do gnífko de y =a' em tomo
do eixo y.
!0. 1 )
o
(b) _\' = I' fc)_y u'.a>-1
Uma razão para a importância da função exponencial está nas propriedades a seguir. Se
x e y forem números racionais, então essas propriedades são bem conhecidas da álgebra
elementar. Pode-se provar que elas permanecem verdadeiras para números reais arbitrários
x ey.
lei dos ExiJOentB"
quer. então
Se a c b forem números positivos ex c :r. números reais quais-
2. ax
a'
a'
4. (ab)-' = (l''h'
Para urna rev<são sobre as
retlexóes '=' deslocamentos de
gráficos, veja a Seção 1_3
FIGURA 5
O Exernplo 2 mostra que ) 2-'
aumenta n1a1s rapidamente que y .,._,
Para verif1car quão rapidamente
f(:d 2' cresce, vamos fazer o
seguinte experimento mental.
Começaremos com um pedaço de
pape! com uma espessura de 1
rniiésirno Je polegada e vamos
dobrá-lo pela metade 50 vezes_ Cada
vez que dob1-amos o papel pela
metade, a sua espessura se duplica;
assim, a sua espessura resultante seria
de 2"'!1.000 polegadas. Que espessura
você acha que isso representa? De
fato, isso é mais que 17 milhões
de mi!hasl
James Stewart
Esboce o gráfico da função \' -= 3 -- 2' e dckmcinc seu domínio c
imagem.
SOLUÇÃO Primeiro refletimos o gráfico de\' o-=; F (mostrmJo na Figura 2) em torno dP
eixo x para obter o gráfico de y = ---2' na Figura S(b ). ;\ seguír deslocamos o gn:ítlco de
y = ~- 2" 3 unidades para cima. para obter o gráflco de ,. =: .) 2' na Figura :'{c L O
domínio é u:R c a imagem, ( -x. 3). - '--
X
(a)y =i (h) r (c)y=3--2'
EXEMPlO 2 Use um recurso g:rúflco para comparar a função exponencial f(x) = 2-' e
a função potência g(x) = x 2. Qual função crescerá mais rapidamente quando x for
grande?
SQ_LUÇÃO A Figura 6 mostra os gráficos das duas funções na janela retangular [- 2. 6]
por [0. 40J. Vemos que os gráficos se interceptam três vezes. mas, para x > 4, o gráfico
de f(x) = 2-' fica acima do gráfico de g(x) = x 2 . A Figura 7 dá uma visão mais
abrangente c mostra que. para grandes valores de x, a função exponcncial_r = 2x cresce
muito mais rapidamente que a função potência y = x 2•
40 250
o o
FIGURA 6 FIGURA 7
Aplicações das funções Exponenciais
A função exponencial ocorre freqüentemente em modelos matemáticos da natureza e da
sociedade. Vamos indicar brevemente aqui como eles surgem na descrição do crescimento po-
pulacíonal e decaimento radioativo. Em capítulos posteriores daremos essas e outras aplicações
com mais detalhes.
Vamos considerar primeiro uma população de bactérias em um meio nutriente homogêneo.
Suponhamos que fazendo amostras da população em certos intervalos fique determinado que a
população dobra a cada hora. Se o número de bactérias no instante t for p(t), onde t é med1do
~\nu
l()()()
j 0 lO
j Q20
'
9."'0
'
040
0Sn
(){1{)
1970
900
990
2000
TABELA 1
'J~:ilhlw\)
'
6:"0
i .750
I S60
2.fi70
2JOO
5h()
_; _( ) .. j.()
I ()
'
-1:'0
~.2KO
6.080
FIGURA 9
Modelo exponencial para o
crescimento populacional
em horas. c a população inicial for = l .OOtL ent3o
p( I) .•• 2p(0) ~ 2 X 1.000
p(2) ~ 2p( l) •• 2' X !.000
p(3) ~ 2p(2) 2' X 1.000
Desse padrão parece que, em geral,
p(t) ~ 2' X I .000 = (1.()00)2'
A função população é um múltiplo constante da função exponencial y = 21: logo. ela exibe
o rápido crescimento
que observamos nas Figuras 2 e 7. Sob condições ideais (espaço c
alimentos ilimitados e ausência de doenças) esse crescimento exponencial é típíco do que
ocorre realmente na natureza.
O que pode ser dito sobre a população? A Tabela I mostra os dados da população
mundial do século XX. c a Figura 8 mostra o correspondente mapa de dispersão.
Pt
9 i
6 X 10 1
I
f
t
---+ , ......... +.... --o---+- ......... ~--
11900 !920 1940 19fi0 19BO 2000 t
FIGURA 8 Mapa de dispersão para o crescimento populacíonal mundial
O padrão dos dados da Figura 8 sugere um crescimento exponencial; assim, se usarmos
uma calculadora gráfica com capacidade para uma regressão exponencial por mínimos
quadrados. obteremos o seguinte modelo exponencial:
P = (0,008079266) • (l ,O 13731)'
A Figura 9 mostra o gráfico dessa função exponencial junto com os pontos originais.
Podemos ver que a curva exponencial se ajusta razoavelmente aos dados. Os períodos de
lento crescimento populacional podem ser explicados pelas duas guerras mundiais c pela
depressão dos anos 30.
j
T
··········· tl~JO -----+--·--+-----~: -- --~
1920 1940 1960 l9RO 2000 t
30
m -c.c 5
() 100
FIGURA 10
Jam~s S:tewârt
EXEMPUJ 3 A vida média do estrôncio-90: :nsr, é -de 25 anos.lsso significa que a
d d l ·1 d 1 ~s · · -meta e e qua quer quant1c a e<. o '-r vm se desmtegrar em 25 anos.
(a) Se uma amostra de 90Sr tiver uma massa de 24 Ing. encontre uma expressão para a
massa m(t) que sobrará após t anos.
S'l
(b) Encontre a massa remanescente após 40 anos, correta até o miligrama mais próximo.
(c) Use um recurso gráfico para fazer o gráfico de ln(t) c use esse gráfico para estimar 0
tempo necessário para que a massa fique reduzida a 5 mg.
SOLUÇÃO
(a) A massa inicial de 24 mg é dividida ao meio a cada período de 25 anos. assim
m(O) ~ 24
I l l
m(_50)_ ~ ~ · ~(24) ~ -(_24)
2 2 . 22
I l I
m(75) ~ ~ · -(24) ~ -(24) 2 22 - 23
l 1 I
m(IOO) ~ ~ · --o:-(24) = ~(24)
2 2' 2"
Desse padrão estipulamos que a massa remanescente após t anos é
() 1.) ···-m t = í,~~J24 = 24 · 2 1' ~-L>"'~'~~ --t ;; I'~-,.<-,;,_ :::o-
Trate-se de uma função exponencial com a base a= 2- 1, 25 = 1/2 1-<:'s_
{ b) A massa remanescente após 40 anos é
m(40) ~ 24 · 2-""125 = 7,9 mg
(c) Usamos uma calculadora gráfica ou um computador para fazer o gráfico da função
m(t) = 24 · 2·'/25 que está na Figura 10. Nele está Uunbém a reta m = 5. e usando o cursor
podemos estimar que m(t) = 5 quando t = 57. Dessa forma. a massa da amostra ficará
reduzida a 5 mg após cerca de 57 anos.
O Número e
Dentre todas as bases possíveis para uma função exponencial, há uma que é mais conveniente
para os propósitos do cálculo. Na escolha de uma base a pesa muito a forma como a função
y = a" cruza o eixo y. As Figura.'> li e 12 mostram as retas tangentes ao gráfico de y = 2-' e
"'I )' 3'
I / m= LI
>>4"'":
FIGURA 11 FIGURA 12
Edftnra Tbomsrm
m
FIGURl\ 13
_.\ funç:lo exponencial natural cruza
o eixo y com uma inclinaçâo 1
FIGURA 14
X
(a)_y=e·
FIGURA 15
,'-" = 3' no ponto (0. 1 J. (As retas tangentes -'lTilo definidas na . por
ora vamos pensar a reta tangente ao i:T<lfico da exponencial em um ponto como a rctd lJUL'
!Oca o gr<:ifico em um único ponto.) Se medirmos as indin<u;ôcs das retas tangentes em
(O. l). encontraremos m :::::: 0,7 para y ~~o 2' c m '-~ l J para y = 3'
Conforme será visto no Capítulo 3. as fórmulas do cálculo ficam muito simplificadas
quando escolhemos para a base u aquela para a qual resulta uma reta tangente~"~-" a· em
(O, I) com uma inclinação de cxmwnente 1 (veja a Figura 13). Esse número existe {como
veremos na Seção 5.6) realmente e é denotado pela letra e. (Essa notação foi escolhída
pelo matemático suíço Leonhard Euler em 1727, provavelmente por ser a primeira letra da
palavra exponencial) Vendo as Figuras 11 e 12, não nos surpreende que o número e esteja
entre 2 e 3 e o gráfico de y ~=c'. entre y ~.=c 2' c _v=~ 3-' (veja a Figura 14). No Capitulo 3
veremos que o valor de c. correto até a quinta casa decímaL é
e" 2.71828
<
,j;/ r
~
-·-·-·-·---·--··-----. " .... J
------------>
'
EXEMPlO 4 Faça o gráfico de _~.- = i e 1 e estabeleça qual o domínio e a imagem.
SOLUÇÃO Começamos com o gráfico de y = ex das Figuras 13 c 1 5(a) c o refletimos em
torno do eixo y para obter o grátlco de y = e--x ilustrado na Figura 15(b). (Note que essa
curva cruza o eixo y com uma inclinação de -I.) Então comprimimos verticalmente o gráfico
por um fator de 2 para obter o gráfico de y = ~e __ , mostrado na Figura 15(c). Finalmente
deslocamos o gráfico parJ baixo uma unidade, para obter o que foi pedido na Figura 15(d). O
domínio é [R;: e a imagem é ( --1. x).
(b) y = e (c) y ~e ' (dJ _.. 1 e
A que distância à direita da origem você estará quando o gráfko de y = ex ultrapassar
milhão? O próximo exemplo mostra a rapidez do crescimento dessa função dando uma
resposta a essa pergunta que poderá surpreendê-lo.
James Stewart
l)se um recurso g:ráí]uJ para encontrar os valores de x
SOLUÇÃO Na Figura 16 fiLemos os gráficos de)' c-' c da reta]
Vemos que essas curYas se íntcrceptam quando .t:::::: 13.8. Assim
x > 13.8. Í: realmente surpreendente que a função exponencial já'
quando J_· é somente 14.
FIGURA 16
Exercícios
1. (a) Escreva uma equação que defina a função exponencial com
base a> O.
(b) Qual é o domínio dessa função?
(c) Se a c/, 1. qual a imagem dessa função?
(d) Esboce a forma geral do grátlco da função exponencial nos
seguintes casos.
(i) a :> 1 (ii)a=1 (íii) o <: (1 <" l
2. (a) Como é definido o número e?
(b) Qual o valor aproximado de e?
(c) Qual a função exponencial natural?
3~6 Faça em urna mesma tela os gráficos das funções dadas.
Como estão relacionados esses gráflcos?
3. -v=2-'. y=r'. y=S', y=2o-'
4. r
5. y
6.
'
e-'.
3'.
0.9'.
y = e -', y = 8-'. y -= 8 ___ ,
r~IO', v~(;)'. v~(,',)'
)'c·-= 0.6', J = 03-', Y = ()J'
7- P Faça um esboço do gráfico de cada função. Não use calcu~
!adora. Utilize somente os gráficos dados nas Figuras 3 e 14 c. se
necessário. as transformações da Seção j .3.
7. y = 4• -
·'
8. y - 4'
9. y --2--' 10. y ... I + 2e'
11. v - 3 - c• 12. y ~ 2 + 5(1 e·')
13. Começando com o gráfico de y = e-'. escreva as equações
correspondentes aos gráficos que resultam Je
(a) deslocar 2 unidades para baixo
(b) deslocar 2 unidades para a direita
(c) rdlctir em torno do eixo x
(d) refletir em tomo do eixo y
{e) refictir em torno do eixo x c, depois, em torno do eixo _v
1ft Começando com o gráfico de y = e", encontre as equações dos
gráficos que resultam de
15 X lO~
n
y -_ I({'
!5
(a) refletir em torno da reta y = 4
(b) rd1ctír em torno da reta x = 2
Encontre o domínio de cada função
I 15. (a! j\1) ·~
1 +e'
(b) ((11 ~
!~e
16. (a) f(t) '--""" sen(e ')
(b) /(1) ~
17-\8 Encontre a função exponencial f(x) = C a' cujo gráfico é dado
17. y 18. ,_)-'
(3.24)
2
(I.
X
19. Sej{x) = 5', mostre que
j(x+_ll) ~ f(x)
h
~ s(s',;l)
20. Suponha que você receba uma oferta para trabalhar por apenas
um mês. Qual das seguintes fonnas de pagamento você prefere'?
L Um rhilhão de dólares no 11m do mês.
li. Um centavo de dólar no primeiro dia do mês. dois centavos
no segundo dia, quatro centavos no terceiro dia, e. em
geral. 2'' 1 centavos de dólar no n-ésirno dia.
21. l'viostre que os gráficos de f(x) = x 2 e g(x) = 2x foram traçados
sobre uma malha coordenada com 1 polegada; então, a urna dis-
CÁLCU!JJ Et!iíora Thoms@
tância de 2 pés à düeíta da origem a altura do gráfico de f é de
48 pés. enquanto a altura do gráfico de g é cerca de 265 milhas.
22. Compare as funções f(x) = ~r" e g(x)
= Y por meio de seus
gráficos em várias janelas retangulares. Encontre todas as
interseções dos gráficos corretas até uma casa decimal. Para
grandes valores de x. qual função cresce mais rapidamente?
23. Compare as funções f(x) = x 10 e g(x) = e·' por meio dos
gráficos .f e g em várias janelas retangulares. Quando o gráfico
de g ultrapassa o de f?
24. Use um gráfico para estimar os valores de x tais que
e'> 1.000.000.000.
25. Sob condições ideais sabe-se que uma certa populaçiío de
bactérias dobra a cada 3 horas. Supondo que inicialmente
existam 100 bactérias
(a) Qual o tamanho da população após 15 horas?
(b) Qual o tamanho da população após t horas?
(c) Qual o tamanho da população após 20 horas?
(d) Faça o gráflco da função população c estime o tempo para
a população atingir 50.000 bactérias.
26. llm isótopo do sódio, 24Na, tem uma vida média de 15 horas.
Uma amostra desse isótopo tem massa de 2 g.
(a) Encontre a quantidade remanescente após 60 horas
íb) Encontre a quantidade remanc;,ccnk apô~; horas.
\c) Estime a quantidade remanescente após 4 dius..
(d) lJ>e um gráfico para estimar'-' tempo nccc"ário para que a
massa fique reduzida a O .O I g.
27. Utilíze uma calculadora gráfica com capacidade para n:g:ress5o
exponencial para modelar a população mundíal com os dados de
!950 a 2000 da Tabela 1 da página 60. Use o modelo pma estimar
a população em 1993 e para predizer a populaçfto em 201 O.
28, A tabela fornece a população dos Estados Unidos, em milhões.
para os anos 1900 a 2000. -
Use uma calculadora gráJica com capacidade para regressão
exponencial para modelar a população do país desde 1900.
Utilize o modelo para estimar a população em 1925 e para
predizer a população em 2010 e 2020.
Funções Inversas e Logaritmos
4•
3·
2•
1.
f
A
4•
3.
2.
].
g
A
FIGURA 1
~-~~
.]0
'7
•4
\
•2
B
I •lO \
r
I •4
\
\
.2 I -~
B
A Tabela 1 fornece os dados de um experimento no qual uma cultura começou com 100
bactérias em um meio llrnitado em nutrientes; o tamanho da população foi registrado em
intervalos de horãS. O número N de bactérias é urna função do tempo t: N = f(t).
Suponha, todavia, que o biólogo mude de idéia e passe a se interessar pelo tempo
necessário para a população alcançar vários níveis. Em outras pa1avras, ele está pensando
em t como uma função de N. Essa função, chamada função inversa de 1: é denotada por
f·· 1, e deve ser Jida assim: ''inversa de f", Assim. t = .f- 1(N) é o tempo necessário para o
nível da população atingir N. Os valores de f- 1 podem ser encontrados olhando a Tabela 1
ao reverso ou consultando a Tabela 2. Por exemplo, f r(550) ~ 6, pois J(6) ~ 550.
TABELA 1 N como uma função de t TABELA 2 tcomoumafunçãodcN
I I
'
'
,'-,(;!'] l<.c\·:h ~i , ..
i('ii'·
' lh I
I I --:::.;> r
I
-"-,'" I
' J.-+5 I
I ~ .. :"\19 I "''"'[l ~'"'3 I :"~;6
Nem todas as funções possuem inversas. Vamos comparar as funções f e g cujo dia-
grama de flechas está na Figura 1.
Observe que f nunca assume duas vezes o mesmo valor (dois inputs quaisquer em A
têm outputs diferentes), embora g adquira o mesmo valor duas vezes (2 e 3 têm o mesmo
'i
l
I
I
Na linguagem de inputs e outputs.
essa definição diz que f é um a um se
cada output corresponde a um Uni co
mput
FIGURA 2
Esta função não é um a um.
pois j(x1):::::: j(x2)
H
. I
I
y = x1
o
FIGURA3
f(x) = x' é um a um
X
\ 'l /,~, --~ ;
FIGURA 4
g(_x) =r não é um a um
output. 4). Em símbolos.
g(2) ~ g131
mas f(x,) *fixe) sempre que x! 7'=- .x2
Funções que tenham essa última propriedade são chamadas.fimç6es um a um.
çfi:1 c· e c Uma função f é chamada função um a um se ela nunca assume o
mesmo valor duas vezes; isto é.
f(x,) r' f(x,) sempre que x1 ::T x2
05
Se uma reta horizontal intercepta o gráfico de f em mais de um ponto. então vemos da
Figura 2 que existem números x1 e Xz tais que J(x 1) = f(x 2). Isso significa que f não é
uma função um a um. Portanto, temos o seguinte método geométrico para determinar se a
função é um a um.
Uma função é um a um se e somente se toda reta
ho•ri2!0n!tal interc:eptr seu gráfico em apenas um ponto.
EXEMPLO 1 A função f(x) = x 3 é um a um''
SOLUÇÃO 1 Se x 1 # x2 , então xf # x~ (dois números diferentes não podem ter- o mesmo
cubo). Portanto, pela Definição 1, f(x) = x 3 é um a um.
SOLUÇÃO 2 Da Figura 3 vemos que toda reta horizontal intercepta o gráfico de f(x) ~ x 3
em apenas um ponto. Logo, pelo Teste da Reta Horizontal, f é um a um.
EXEMPLO 2 A função g(x) = x 2 é um a um?
SOLUÇÃO 1 A função não é um a um, pois. por exemplo.
q(l) = 1 ~ q(-1)
c, portanto, I e -1 têm o mesmo output.
SOLUÇÃO 2 Da Figura 4 vemos que existem retas horizontais que interceptam o gráfico
de g mais de uma Vez. Assim, pelo Teste da Reta Horizontal, g não é um a um.
As funções um a um são importantes, pois, precisamente, são as que possuem funções
inversas de acordo com a seguinte definição.
Seja f uma função um a um com domínio A e imagem B. Então
sua função inversa f. 1 tem domínio B e imagem A. sendo definida por
F'(y) = x = f(x) ~ y
Editora Thomson
A --- ---'>--
f f
B
FIGUR.A 5
;\ B
A B
FIGURA 6
A hmçâo inversa reverte inputs e outputs
Essa dcfinis:ão estabelece que se f trm1sforma r_ "C'lTl r, Ln\~o ' 1rcm."fz,rnu dz.' -,-ol!c;
em _:r. íSc f não fo~se um a um, então j 'nJú seria Jeiinida d'--' furma única_l Ou"'~'""'"
de Hcchas da Figura 5 indica que f 1 ren:rtc o efeito de f. \:otc qut-'
domínio de f --- imagem de f
imagem de f 1 -= domínio de f
Por exemplo, a fun<;~üo inversa de f(x)
f '(r) ~f '(x') ~ (x')' ' x
O recíproco 1/f(x) pode, todavia, ser escrito como [f(x)] ·
Sef( I) ~ 5,fi3) 7 e fl8) -- 10, encontre f 1(7)./ \::;)c
F' H O).
SOLUÇÃO Da dclíníção de f ' temos
f '(7) ~ 3 porque f(3) ~ 7
1'(5) ~ 1 porque f(l)-'5
I '(~JO) ~ B porque f(B) ~ --]()
O diagrama na Figura 6 torna claro que f 1 reverte o efeito de f nesse caso.
A letra x é usada tradicionalmente como a variável independente; logo, quando nos con-
centrarmos em f 'em vez de f. geralmente reverteremos os papéis de x e y na Dcflnição
2 e escreveremos
.z r'lx) ~r = f( r)
Substituindo y na Definição 2 ex na (3), obtemos as seguintes equações de
cancelamento:
FIGUR.A 7
No Exemplo 4, note como f ·I reverte
o efeito de f- A funçáo f estabelece que
"eieve ao cubo e entáo adicione 2"
f 1 estabelece que "subtraia 2 e então
tome a raiz cúbica"
James S\ewart CAPÍTUUJ '! 67
) = r para todo x em A.
f( f 1{x)) = x para todo x em B
A primeira lei do cancelamento diz que ;)C começannos em x, aplicando f e, em seguida,
./"·
1
• obteremos de volta x, de onde começamos (veja o diagrama de m:lquina na Figura 7).
Assim, f 1 desfaz o que f faz. A segunda equação diz que f de:-;faz o que f--l faz-.
X f (\X)
Por exemplo. se f(x) = x 5• então f 1Cr) =c x l_- _l c a equação de cancelamento ílca
F'lflx)) ~ (x') 1 ' x
J(f 1(x)) ~ (x 1 ')' x
Essas equações simplesmente dizem que a função cubo e a função raiz cúbica cancelam-
se de modo recíproco quando aplicadas sucessivamente.
Vamos ver agora como computar as funções inversas. Se tivermos uma função y = f(x)
e formos capazes de resolver essa equação para .-:r em termos de y, então. de acordo com a
Definição 2. devemos ter X= r- 1(;;). Se quisermos chamar a variúvcl independente de x,
trocamos x por _y e chegamos à equação y =f·· 1 Cr).
f5l Coma Achar a Função imttrrsa de uma função f Um a Um
Passo 1 Escreva y ~ f(x).
Passo 2 Resolva essa equação para x em termos de :r (se possível).
Passo 3 Para expressar f~ 1 como uma função de .:r, troque x por y.
A equação resultante é y = r··ltr:).
EXEMPLO 4 Encontre a função inversa de f(x) X + 2.
SOLUÇÃO De acordo com (5) escrevemos
)-' .\ + 2
Então resolvemos essa ·equação para :r:
x·' = y- 2
x=
Finalmente. trocando x por y:
)' =
Portanto. a função inversa é f- 1(x) =
O princípio de trocar x por y para encontrar a função inversa também nos dá um método
de obter o gráflco de f 1 a partir de f. Uma vez que f(a) = b se e somente se f- 1(b) = a.
~ÁLCUUJ
y~J(x) '] ~~--
(-1,0) !(0.-1)
FIGURA 10
y=x
-· X
Y =f \:r)
ó ponto (a. b) está no gráfico de f se e somente ~c o ponto (b, u) estiver sobre o grá-
fico de f 1• Mas obtemos o ponto (b.a) de (u.h! rcfletlndtH) em torno da reta y = _:,:
(veja a Figura 8).
{/;,a)
y X
FIGURA 8
'i
_...---'j (a, h)
~ !
Portanto, conforme ílustrado na Figura 9:
o
y=x I
FIGURA 9
é obtido refletindo-se o gráfico de f em tomo da reta y = x.
EXEMPlO 5 Esboce os gráficos de f(x) = "/ -1 - x e de sua função inversa usando o
mesmo sistema de coordenadas.
SOLUÇÃO Esboçamos primeiro a curva :v - -v I - x (a metade superior da parábola
y 2 = -I - x ou x = - 1), e então retletindo em tomo da rela y = x obtemos o
gráfico de _r- 1 (veja a Figura lO). Conforme pode ser verificado em nosso gráfico,
observe que a expressão para .f- 1 é f" 1(x) = - x 2 - 1, x ~ O. Assim, o gráfico de f -l é
a metade à direita da parábola y = x 2 - 1, e isso parece razoável pela Figura 10.
l'unções Logarítmicas
Se a > O e a -:;i; 1, a função exponencial f(x) = !r' é crescente ou decrescente, e, portanto.
um a um pelo Teste da Reta Horizontal. Assim. existe uma função inversa _r- 1, chamada
função logarítmica com base a denotada por Ioga. Se usarmos a formulação de função
inversa dada por (3)
f'(x)~y = f(y)~x
teremos
Dessa forma, se x > O, então log" x é o expoente ao qual deve se elevar a base a para se
ohterx.Porexemplo,logwO,OOI = -3porque 10"3 0.001.
As equações de cancelamento (4), quando aplicadas a f(x) ~a' e f 1(x) ~ log,x,
ficam assim: j i log,(a') ~ x para todo x E !Rl L a 10g~x = x para toJo X > O
_YA
y;-;;;;x
,-"~a' a > 1
o X
lo<>_ Y a >· l C'ú. '
FIGURA 11
FIGURA 12
Notação para Logaritmos
Na maioria dos livros de cálculo e
ciências, bem como nas calculadoras,
a notação usada para os logaritmos
naturais é In x. enquanto a de log x é
utilizada para "logaritmos comuns"
JogH1x_ Em textos mais avançados de
matemática e literatura científica, e em
linguagens de computação, porém, a
notação bg x geralmente denota o
logaritmo natural.
A função logarítmica log" tem o domínio (O. x) e a imageni ~"2- Seu gráfico é a refiexãc
do gráfico de )' = ax em torno da reta }' = x.
A Figura l 1 mostra o caso em que a > 1. (As funções logarítmicas mais importantes têrr
base a > I.) O fato de que _r =' a). é uma função que cresce muito rapidamente p::u-a x > O est<
refletido no fato de que y = log" x é uma função de crescimento muito lento p<rra x > I.
A Figura 12 mostra os gráflcos de y = logo x com vários valores da base a. Uma ve;
que Ioga 1 = O, os gráficos de todas as funções logarítmicas passam pelo ponto (L O).
As seguintes propriedades das funções logarítmicas resultam das propriedades cor
respondentes das funções exponenciais dadas na Seção 1 .5.
Se x e y forerp números positivos, então
1. log"(xy) = Ioga X + Ioga y
(onde r é qualquer número real)
EXEMPLO 6 Use as leis dos logaritmos para calcular log2 80 - log2 5.
SOLUÇÃO Usando a Lei 2. temos
log 2 80 log2 5 ""log2 (
8~) ~ log 2 ló ~ 4
porque 2' ~ 16.
Logaritmos Naturais
De todas as possíveis bases a para os logaritmos, veremos no Capítulo 3 que a escolh
mais conveniente para uma base é e, definido na Seção 1.5. Os logaritmos na base e sã
chamados logaritmos naturais e têm uma notação especial:
logex =In x
Se fizermos a =e e substituirmos loge por '·In'' em (6) e (7), então as propriedades qu
definem a função logaritmo natural ficam
lnx=y -Ç:> e-x
In( e') ~ x xEG;\;
x>O
Em particular, se fizermos x = 1, obteremos
In e~ I
70 CÁl..-ClJUJ Editora Thomson
Encontre x sendo ln .<: 5.
SOLUÇÃO 1 De (8) vemos que
Portanto. x ' e
lnx significa
(Se você tiver problemas com a notação ''In". substitua-a por log, .. Então a equação
torna-se log, x = 5: portanto. pela definição de logaritmo. c' "'"' x.)
SOLUÇÃO 2 Comece com a equação
ln x c:::.~ 5
e então aplique a função exponencial a ambos os lados da equação:
eh'-'- = c5
Mas a segunda equação do cancelamento em (9) estabelece que c In' = x. Portanto. x -~~ e~
EXEMPlO 3 Resolva a equação e 5 - 3-' 10.
SOLUÇÃO Tomando-se o logaritmo natural de ambos os lados da equação e usando (9):
5 3x ~ In 10
3x = 5 In 10
x ~ 11 (5 ~ In 10)
Uma vez que o logaritmo natural é encontrado em calculadoras cicntí1kas, podemos
aproximar a solu.;;ão para quatro casas decimais: x = O ,8991 .
Expresse In a + i In b como um único logarítmo.
SOLUÇÃO Usando as Leis 3 e 1 dos logaritmos_ temos
In a + ; In b = In a + ln b 1
= In a + ln -v1h
~ ln(a ,h)
A fórmula a seguir mostra que os logaritmos com qualquer hase podem ser expressos
em termos dos logaritmos naturais.
temos
rle Base Para todos os números positivos a (a r+ I}_
lnx lou t = ~·-
b"· ln a
)
:V= e'
y=x
y = ln x
X
FIGURA 13
James Ste\Nart CAPÍTULO 1 71
Seja·y = log 0 x. Então. de (6). temos a-= _:c TPmando~~e os logarítmo.s naturais
de ambos os lados da equação. obtemos y 1n a = 1n .\-. Ponanto
ln .~.
ln a
As calculadoras científicas têm uma tecla para os logaritmos naturais: assim. a Fórmula 10
nos capacita a usm· a calculadora para computar o logaritmo em yualquer base (confonnc mostra
o próximo exemplo). Do mesmo modo. a Fórmula lO nos pem1ite fazer o gráfico de qualquer
função logarítmica em calculadoras e computadores (veja os Exercícios 43 c 44).
Calcule logE 5 correta até a sexta casa decimal.
SOLUÇÃO A Fórmula lO nos dá
logx 5
Jn 5 ~ ~ = 0,773976
In 8
f<<EJ;;1PLD 11 No Exemplo 3 da Seção 1.5 mostramos que a massa do 0"Sr que per-
manece após t anos de uma amostra com 24 mg é m = j(t) = 24 · 2 r' 25 . Encontre a
função inversa e intcrprcte~a.
SOLUÇÃO Precisamos resolver a equação m = 24 · 2-,,-- 25 para t. Vamos começar
tomando os logaritmos naturais de ambos os lados:
m
24
~~In 2 = In m ~ In 24
25
25 -~(lnm -In 24) =
In 2
25 ~ (ln24~ lnm]
In 2
Logo, a função inversa é
r '(m) 25 ·~(In 24 - In m)
ln2
Essa função dá o tempo necessário para a massa decair param miligramas. Em particu-
lar, o tempo requerido para a massa ficar reduzida a 5 mg é
1 25
t ~f (5) ~··-(In 24 - In 5) = 5658 anos
In 2
Essa resposta está de acordo com o gráfico estimado feito no Exemplo 3 da Seção 1.5.
Os gráficos da função exponencial}' '= e' c de sua função inversa, o logaritmo naturaL
estão na Figura 13. Uma vez que a curva y = e" cruza o eixo y com uma inclinação de 1.
segue que a curva y ~= ln x cruza o eixo x com uma inclinação de 1.
= ln x
FiGURA 14
X
Assim como todas as outras funcõe-s logarítmicas com base maior que 1. o in·"a;·itl11C
natura] é urna função crescente defi~ida em~ (O, ::x:) e com o eixo .-r como-assíntota vertical.
(Ou seja. os valores de in x ficam negativamente muito grandes quando x tende a 0.)
EXEMPLO 12 Esboce o gráfico da função"\' = ln(x - 2) L
SOLUÇÃO Começamos pelo gráfico y = ln x dado na Figura 13. Usando as
transformações da Seção L3, o deslocamos duas unidades para a direita, obtendo o
grátko de y = ln(x - 2) e então o deslocamos uma unidade para cima, para obter
o gráfico de y ~ ln(x- 2) - I (veja a Figura 14),
:x 2 I X= 2
!n(x 2) !n(x- 2)- l
o O) o 2
(3." 1)
Embora In x seja uma função crescente, seu crescimento é muito
lento quando x > 1.
De fato, In x cresce mais lentamente que qualquer potência de x. Para ilustrar esse fato,
vamos comparar os valores aproximados das funções y = lnx e y = x 1n =/X na tabela
a seguir, bem como em seus gráficos nas Figuras 15 e 16. Você pode ver que inicialmente
os gráficos de y = ·v-'X e y = lnx crescem a,__.taxas comparáveis, mas. Hnalmente, a função
raiz ultrapassa muito o logaritmo.
tou.uon
1 L5
0.04
y=
20
X 1.000 X
FIGURA 15 FIGURA 16
Funções Inversas Trigonométricas
Quando tentamos encontrar as funções inversas trigonométricas, temos uma dificuldade
sem muita importância. Como as funções trigonométricas não são funções um a um, eles
não têm funções inversas. A dificuldade é superada restringindo-se os domínios dessas
funções de forma a tomá-las um a um.
FIGURA 19
2 "i'2
'i
d
FIGURA 17
- ---+- ··j! {!;.-·- ;
I -
I '
•
FIGURA 20
y = sen·-l x arc<;en x
FiGURA 21
y = cosx, O o%_-..- o% íT
--+ . - ~------+
X
Jan1es Stewart CAPÍTULO 1
_ '/CDt:LOS
Você pode ver da Figura 17 que a função seno y = sen x não é um a um (use o Teste da
Reta Horizontal). Mas a funç{io f(x) = scn x. -Tr/2 ,.-,; x ~ 'Tí/2 (veja a Figura 18) é um a um.
A função inversa dessa função seno restrita f existe e é denotada por sen-J, ou arcsen. Ela
é chamada inversa da função seno. ou função arcsen.
y=senx
X
Uma vez que a dellnição de urna função inversa diz que
f '(x) = )' Ç.=;) f(y) =X
temos
Assim, se
EXEMPlO 13
SOLUÇÃO
(a) Temos
seu-· 1 x = y <==> sen y x e
o%; x o%; 1, sen-·1 x é o número entre 7T/2 e 7T/2 cujo seno é x.
Calcule (a) sen-'(j) e (b) tg(arcsen j).
sen·i 0)= 1T
~ 6
porque sen( 7r/6) = l e 7r/6 situa-se entre -7r/2 e 7r/2.
(b) Seja O = arcsen j, logo sen O ~ . Então podemos desenhar um triângulo retângulo
com o ângulo O. como na Figura 19 c deduzir do Teorema de Pitágoras que o terceiro 1ado
tem comprimento v·tg=l = 2-/2. Isso nos possibilita interpreta.r a partir do triângulo que
tg( arcsen +) tg o = _l_
2vÍZ
O cancelamento de equações para as funções inversas torna-se, nesse caso,
7r 7r
sen-1(sen x) = x para -~o%; x o%;-
2 2
sen(sen--1 x) = x -Jo%;xo%;1
A função inversa do seno, sen '.tem domínio [ -1, I] e imagem [ -1r/2. 7r/2], e seu
gráfico, mostrado na Figura 20, é obtido daquela restrição da função seno (Figura 18)
por reHcxão sobre a reta y = x.
A função inversa do cosseno é tratada de modo similar. A função cosseno restrita
f(x) = cos x, O ::::;: x o%; 1T, é um a um (veja a Figura 2 I); logo, ela tem uma função inversa
denotada por cos -- 1 ou arccos.
<=-==? cosy=x e o-os: o%;-rr
As equações de cancelamento são
------· . --~---~
cos""" 1(cos x) = x para O::::;: x o%; 1T 1
• cos(cos~- 1x) = x pa~a~l ~-~~--~-~--_j
74 ED!t.nrs TTiomsnn
FIGURA 22
X
FIGURA 24
FIGURA 25
y tg-· 1x=arctgx
I X
I
I
'
FIGURA 26 )' -- SCC X
i\ funyão inversa do cosseno. cos :. tem domínio [ --- l. l_] J ;.:: im"'''''m Seu
ílco está mostrado na f-;igura 22.
A fun~'ÜO tangente pode se tornar um a um restringindo-se ao intervalo í
Assim, a função inversa da tangente é deflnída como a inversa da função /Ct) tg .r.
-n/2 < x < Ti/2 (veja a Fígura 23). f:Ja é denotada por tg '.ou arctg.
7T 7r
x e <_y < 2 2
{)
' I
I
i
y=cos" 1 x~o:arcosx
FIGURA 23 y=-tgx. -} < _,- < -~
Simplifique a expressão cos(tg 'x).
SOLUÇÃO 1 Seja y = tg-- 1 x. Então tg _v= x c -n/2 < y < Tr/2. Queremos determinar
cos _y, mas, uma vez que tg y é conhecida, é mais fácil determinar scc y primeiro:
Assim
sedy = 1 + tg)
sec_v = ,/1 + x 2
I +x'
cos(tg.- 1x) = cos y
sec y
SOLUÇÃO 2 Em vez de usar as identidades trigonométricas como na Solução l, talvez seja mais
fácil usar um diagrama. Se y = tg-1 x. então tg y x. c podemos concluir da Figura 24 (que
ilustra o caso y > 0) que
cos (tg -- 1.-r) = cos \' = ~~~~
·'"' - " .. ·I 'x 2
A função inversa da tangente. tg- 1 = arctg, tem domínio !R. e imagem ( ~-7Tj2, H/2). O
gráfico está mostrado na Figura 25,
Sabemos que as retas x = 2:. H/2 são assíntotas verticais do grátko da tangente. Uma vez
que o gráfico da tg- 1 é obtido refletindo-se o gr-átko da funçào tangente restrita em tomo da reta
y = x, segue que as retas y = n/2 e y = 7T/2 são assíntotas horizontais do gráfico de tg·'
As funções inversas trigonométricas restantes não são usadas com freqüência c estão
resumidas aqui.
y cossec- 1 x (j xl :?- I) = cossec y ~ X e x E (0,,/2] U (rr,3n;/2]
y ~ sec" 1x Uxl ? I) <=-:.> secy = X e
~ (x E ff;!) =
~ X e
y E [O, n/2) U [ 7T, h/2)
y E (O, 7r)
'-~~-····················---·--~~···-~ -·--··········-··
y cotg 1x cotg y
A escolha dos inter\:a]os para _Y nas Jdini~ües ele cossec! e sec não são de accita\Jo uni~
versal. Por exemplo. alguns autores usam y E [O. U f rr-l na deflniçao de scc -~,
(Você pode ver do gráílco da ftmç~lo sccante da f\~ura 26 que amhas as escolhas vão funcionaL)
1. ia)
(b)
2. (al
(b)
I c)
Exercícios
O que(: uma função um a um?
/~partir do gráflco. como dizer se uma função é um a um'?
Seja fuma função um a um com domínío A e imagem H.
Como é definida a função inversa .f- 1? Qual o domínio de
r- l '? Qual a imagem de r J '!
Se for dada uma fómmla para f. cnmo Yocê encontrará
uma fórmula para f --I'?
Se for dado o grátlco de f. como Yocê encontrará o gráhco
de f 1 ?
3~í4 Uma função f pode ser dada por uma tabela de YJ.lorcs. um
gráflco. uma fórmula ou por meio de descrição verbal. Detcnninc
se fé um a um.
3.
4.
5. 6.
7. 8.
9. f(x) = 1 (x+5) 10. f(x) ~ I + 4x x'
11. g(x) = I x I 12. g(x) = v,..X
13< f(t) C a altura de uma bola r segundos após ser chutada.
14. f(t) é sua altura no tempo t.
15-16 Use um gráfico para decidir se fé um a um.
15. J(x) ~ x' - x 16. f(x) ~ x' + x
17. Se f for uma função um a um tal que f(2) = 9.quanto é f 1(9)?
18. Se j'í_r) = 3 + t 2 -+- tg(-;;-x/2Londe -1 <x< 1.
(a) Encontre f 1UJ. (b) Encontre/(/ 1(5)).
19. Se yl,) ~ ~ + x + c'. ache y 'í4).
20. É dado o gnifico de f
(aJ Porque.féum a um?
(h) Determine o domínio e a imagem de f- 1
(c) Estimeovalordcf JL
-.l 2 X
-1
-2
21. ,\ f{5rmula C= ;u· - 32), onde F~ -459,67, expressa
a temperatura C em graus Celsius como uma função da
temperatura F em graus Fahrenheit. Encontre uma fómmla p<
a função inversa e interprete-a. QuaJ o domínío da função invers
22. Na teoria da relatividade. a massa de uma partícula com uma
velocidade v é
onde m,; é a massa da partícula no rcpoue'o e c é a velocidade ,
luz no vácuo, Encontre a função inversa de f c explique seu
significado.
Encontre uma fórmula para a função inversa.
24. /íx)
25. fLr) :::: e'' 26. y=
27. )' ln(x + 3) 28. y
4x~ l
-
2x+3
2x' +3
I+ e'
I- e'
29--30 Encontre uma fórmula explícita de f 1 e use-a para faze
na mesma tela os grátlcos de f 1,fc da reta y = x. Para veriücar
seu trahalho, veja se seus gráficos de f c f -! são reflexões em ton
da reta.
29. f(x) = 1 - 2/x 2• x >O
30. f(x) '·= .._ ·x 2 + 2x, x >O
75 GÁLCIJU./
31. U<.e o gniflco dado de f para esboçar o de
32. Use o grático daJo de f para esboçar os gráficos de f 1 e 1/f,
---•-~--'--~------>
33. (a) Como está definida a função logarítmica y = log~x?
(b) Qual o domínio dessa função?
(c) Qual a imagem dessa função?
( d) Esboce a forma geral do gráfico da função
:v = log" x se a > I.
34. (a) O que é o logaritmo natural?
(b) O que é o logaritmo comum?
(c) Esboce os gráficos no mesmo conjunto de eixos das
funções logariuno natural e exponencial naturaL
35-38 Encontre o valor exato de cada expressão.
35. (a) log2 64
36. (a) log, 2
37. (a) log w 1.25 + log 10 80
(b) log6 ~~
(b) lne•'
(b)
log5 10 + log 5 20 31og~ 2
38. (a) il<>g 2 ~' log2 'i> (b) e-'in2
Expresse a quantidade dada como um único logaritmo.
39. 2ln4 ~ ln2 40. In x + a In y- b In z
41. ln(l+x2 )+ !Inx-lnsenx
42. Use a Fórmula !O para computar cada logarítmo correto até a
sexta casa decimal.
(a) log12 10 (b) Jog2 8,4
Use a Fórmula lO para fazer o gráfico das funções dadas
em uma mesma tela. Como estão relacionados esses gráficos?
43. y:::: logux, y = ln x, y = log:ox. y = logsoX
44. y = lnx, y = logwx. y =e". y = 10"
45. Suponha que o gráfico de y = log 2 x é feito sobre uma malha
coordenada onde a unidade de comprimento é de 1 polegada.
Quanta-: milhas i1 direita da origem de;;cmo:--. ptTL'OlT<'r ante·: de
a altura da curvu atingir 3 pés'?
46. Compare as funçf>es fi.r) - ~;f!( X! -~ ln .\por 'lH.:io de _\~'u'
gráficos f t: y em várias janelas retangulares. Quando
llnalmcntc () g:niíico de f ultrapassa o de f('
Faça o esboço do gráfico de cada fum;ao. Nüo use a
calculadora. Use somente os gnHkos dados nas Figuras 12 e !3 e.
se necess;:í.rio, as transformações da Seção 1.3.
47. (a) \'=log:nLr+5) {b)y=-Jnx
48. (a) v ~ In( -x) (b) y =-ln lxi
Resoh·a cada equw,;ilo em x_
49. (:.tl 2 ln x (b) e· - 5
50. {a) (-'2''' 7 ~o (b) ln(5 -- 2x) ·= -3
51. (a) 2' _, '"'' 3 (b) In x + ln(x I)
52. (a) ln(ln x) ~ (h) e"-' ~ C'ei"'. onde a~ b
53-54 ResolYa as equaçfx:s em x.
53. (a) c-'< 10 (b) lnJ:· > -1
54. (a) 2 < Jnx< 9 (b) e'''> 4
55-56 Detcmline (a) o domínio de f e (blf"' e seu domínio.
r---~,
55. f(.--..:) = V3- e·-' 56. f(x) "" !n(2 + hn)
57. Faça o gráfico da função f(x) = e explique
por que ela é um a um. Use então um CAS para encontrar
uma expressão explícita para f 1(x). (Seu CAS vai produzír três
expressões possíveis. Explique por que duas delas são
irrelevantes neste contexto.)
58. (a) Se g(x) xt. + x''. x ? O, use um sistema algébrico
computacional para encontrar uma expressão para g- 1(:r).
(b) Use a e,xpressão da parte (a) para fazer um gráfico na
mesma tela de y = g(x),y = x e y = g 1(xi.
59. Se a população de bactérias começa com 100 e dobra a cada
três horas. então o número de bactérias após t horas é
n = f(t) = 100 · 2 1/3 (veja o Exercícío 25 na Seção 1.5).
(a) Encontre a função inversa e explique seu significado.
(b) Quando a população atingirá 50.000 bactérias?
60. Após acionado o flash de uma c-âmera. a bateria imediatamente
começa a recatTegar o capacitor do flash. o qual armazena uma
carga elétrica dada por
Q(t) ~ Q0(1- e'")
(A capacidade máxima de carga é Q0 , e t é medido em segundos.)
(a) Encontre a função inversa e explique seu signíficado.
(b) Quanto tempo levará para o capacitor recarregar 90% da
capacidade se a = 2?
61. Começando pelo gráfico de y = lnx. encontre a equação do
gráfico que resulta de
(a) deslocar 3 unidades para cima
(b) deslocar 3 unidades para a esquerda
(c) fazer a reflexão em torno do eixo x
( d) fazer a reflexão em torno do eixo _-r
( e) fazer a reflexão em tomo da reta y = x
(f) fazer a ret1exão em torno do eixo x e então em
torno da reta y = x
(g) fazer a reflexão em torno do eixo y c então em torno da
reta _Y = x
(h) deslocar 3 unídades para a esquerda e então fazer a
reflexão em torno da reta y = x
62. (a) Se deslocarmos uma curva para a esquerda, o que aconte-
cerá com sua reflexão em torno da reta y = x? Em vista
desse princípio geométrico. encontre uma expressão para a
inversa de g(x) = f(x + c). onde f é uma função um a um.
(b) Encontre uma expressão para a inversa de h\x) "'"~f (ex).
onde c~ O.
63~55 Encontre o valor exato de cada expressão_
63. (a) sen- 1 (-J312) (b) cos 1(-1)
64. (a) arctg{-1) (b) esc: 2
65. (a) tg- 1-J3 (b) arcsen(-l!J2)
66. (a) (b) arcscn 1
CAPÍTUUJ 1
67. ia) scn tscn 0.7! (b) ,( -4TI"i tg . (t!!, =----=--\ ~ 3 f
68. (a J scc { arctg 2) (h) sen 1(
I ;-----~-
69. Prove que cos (scn- x) = ~! - _-r"
70---'J! Simplifique a expressão.
70. tg (:-:en-! x) 71. sen (tg- 1 x)
12. scn (2 cos ' J:)
Obtenha os grMicos das funções dadas em uma mesma
tela. Como esses gráficos estão relacionados?
73. y ·"""' scn x: ~-rr/2 -s x ,c:; TIÍ2. y c;;;-; sen·' x.y = x
74. y = tg x: ~TII2 <X < TII2. y = tg 'X, y =X
7
75. Determine o domínio e a imagem da função g(x) = sen·-l (3x +
?li (a) Faça o gnifico da função j(x) = sen (sen- 1x) e explíque sm
aparência.
(b) Faça o gráflco da função g(x) = sen--1 (senx). Como você
pode explicar a aparência desse gráfico?
VERIFICAÇÃO DE CONCEITOS
1. (a) O que é uma função? O que são domínio e imagem da função?
(b) O que é o gráfico de uma função?
(c) Como. a partir de uma curYa dada. sabemos tratar-se de
um gráflco de uma função?
2. Discuta as quatro maneiras de representar uma função. Ilustre
com exemplos.
3. (a) O que é uma função par? Como saber a partir do gráfico se
uma função é par ou não?
(b) O que é urna função ímpar? Como saber a partir do gráfico
se uma função é ímpar ou não?
4. O que é uma função crescente?
5. O que é um modelo matemático?
6. Dê um exemplo de cada tipo de função.
(a) Função linear (b) Função potência
(c) Função exponencial (d) Função quadrática
(e) Função polinomial de grau 5 (f) Função racional
1. Esboce à mão no mesmo conjunto de eixos os gráficos das
seguintes funções.
(a) j(x) ~ x
(c) h(x) ~ x'
(b)
(d)
8. Esboce à mão o gráfico de cada função.
g(x) ~ x'
j(x) = x'1
(a) y = scnx (b) )" = tgx
(c)y=e' (d)y=lnx
(e) y~ Vx (f) v~ Jxl
{g) y = --.jx (h) y = tg,·lx
9. Suponha que os domínios de f e g sejam A e B,
respectivamente.
{a) Qual o domínio de f+ g'?
(b) Qual o domínio de f g?
(c) Qual o domínio de J/g?
10. Como está definida a função composta f o g'? Qual seu
domínio?
11. Suponha que seja dado o gráfico de f Escreva uma equação para ca.
um dos gráficos obtidos a partir do gráfico de f da seguinte forma.
(a) Deslocando 2 unidades para cima.
12.
13.
(b) Deslocando 2 unidades para baixo.
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
( í)
(j)
(a)
(b)
(a)
(b)
(c)
Deslocando 2 unidades para a direita.
Deslocando 2 unidades para a esquerda.
Refletindo em tomo do eixo x.
Refletindo em torno do eixo y.
Esticando verticalmente por um fator de 2.
Encolhendo verticalmente por um fator de 2.
Esticando horizontalmente por um fator de 2.
Encolhendo horizontalmente por um fator de 2.
O que é uma função um a um? Como decidir pelo gráfic<
se uma função é um a um?
Seja fuma função um a um. Como está definida sua funçã(
inversa F' 1? Como obter o gráfico der-la partir do dej
Como a inversa da função seno j(x) = sen-! x é definida?
O que é o seu dominio e o que é a sua imagem?
Como a jnversa da função cosseno j(x) = cos--1 x é definid
O que é o seu domínio c o que é a sua imagem?
Como a inversa da função seno.f(x) = tg-1 x é definida?
O que é o seu dorrúnio e o que é a sua imagem?
78
TESTES F/\LSC--VERQ,úDEiRO
Determine se a atirmat:va (; ta:srt ou vercladet:a
por qué: caso contrário, também explique ou dS um exer:p!r
aft'rnal:va n;lo hmcíona
1. Se t' for uma funç:io. cnt:Jo f!S r) fLÚ t· /U).
2. Se .f(sl = f\J). então s = r.
3. Se f for uma função. entào f(3x) = 3fLr).
4. Se xi < x2 c f for uma fum;ão decrcsctntc. cntfio f(x 1 )-> fLr::_).
5. t:ma rda Ycrtical in1crccptu o ~;rúfic(l de umct fulh,-;-;;1 no rmíx.imn
uma \·ez.
li Se f c 9 sào funçôcs. cntflo j ' y --- q f
. I
8. É sempre possível JiYidir por e·'.
9. Se O < a < h. então In a < ln h.
10. Se x :> O. então (Jn x)'' '"-= 6ln x.
ln x 11. Se x :> O c a> l. então In:~-.
ln a a
EXERCÍCIOS
1. Seja fuma funçilo cujo grMico é dado.
(a) Estime o Yalor de .fT1).
(b) Estime os valores de x tais que f(_r) 3.
(c) Estabeleça o domínio de f.
(d) btabcle~-a a imagem de f.
(c) Sobre que intervalo a função f está crescendo?
(f) f!: um a um? Explique.
(g) fé par. ímpar ou nenhum dos dois? Explique.
Yt
i ...--~
1/ \
~ Jl' ---
2. É dado o gráfico de g.
(a) Estabeleça o valor de g(1L
(b) Por que g é um a um?
(c) Estime o valor de g-- 1(2).
(d) Estime o domínio de y- 1•
(e) Esboce o gráfico de (} 1
'
X
3. A distância percorrida por um ClliTO é dada pelos valores na tabela.
(a) Use os dados para esboçar o gráfico de d como uma
função de t.
(h) Use o gnífico para estimar a distúncia percorrida depois de
45 segundos.
4. Esboce o gráüco do rendimento de uma colheita corno uma
função da quantidade de fertilizante usado.
5-8 Determine o domínío e a imagem da fun~·ão.
5. f(x) ~ ,'4 ~~ 3xc 6. g(x) = Ij(x + 1)
7. y = 1 + sen x 8.y=lnx
9. Suponha que seja dado o g:nítko de f. DcscreYa como os gn\íicos
das seguintes funções podem ser obtidos a partir do grúflco de f
(a) y -"'""f(x) + 8 (b) '"=f(x + 8)
(c) y = 1 + 2f(x) (d) y = f(x- 2) - 2
(e) y ~ -f(x) (f) Y ~f 'lx)
10. Dado o grúfico de .f. desenhe os gráficos das seguíntes funções.
(a) y f(x ~~ 8) (b) y ~ -jü)
(c) y ~ 2- f(x) (d) y "' \r(xl- I
(c) y ~f '(x) (f) y ~ r'r.r + ~)
)
()
11-15 Use as transformações para esboçar o grátlco da função.
11. y = - sen 2-:r
13. y -~ (l + c')/2
I
15. f(x)"
x+2
12. y = 3 lnlx- :2)
14.y~o-2..J-x
16. j(x) = j-X {e'--
17. Determine se .f é par. ímpar ou nenhum dos dois.
SCX < Ü
Sl: X j ()
(a) f(x) = 2x 5 - 3x: + 2 (b) .f(x) x' - -r
(c) f(x) e (d) fCr) ~-o: 1 + scn x
18. Encontre uma expressão para a funçilo cujo grDfko consiste no
segmento de reta ligando o ponto (-2. 2) ao ponto (-1, 0) junto
com a pane de clma do círculo com centro na origem e raio i.
19. Se f(x) = lnxef)(x) = x''- 9.cncontrc as funções f c y.g' f.
f c f, g "'g, e seus domínios.
2fl Expresse a função F(x) = 1/y'x + ,ix como uma composição
de três funçf)Cs.
21. A expectativa de vida aumeiítou significativamente no século
X>;:" A tabela mostra a expectativa de vida no nascimento (em
anos) de homens nascidos nos Estatlos Unidos.
]{)()()
2C;()()
51
67.1
70.0
7Ui
73.0
Utilize um mapa de dispersão para escolher um tipo apropriado
de modelo. Use seu modelo para predizer a duração de vida de
um homem nascido no ano 2010.
22. Um pequeno fabricante descobre que custa $ 9.000 para
produzir 1.000 torradeiras elétricas em uma semana e $ 12.000
para produzir 1.500 torradeiras em uma semana.
(a) Expresse o custo como uma função do número de
torradeiras produzidas. supondo que ele é linear. Então
esboce o gráfico.
(b) Qual a inclinação do gráfico c o que ela representa?
(c) Qual o intercepto y do gráfico e o que ele representa?
23. Se f(x} = 2x + In x. encontre f 1(2).
:r+ 1
24. Encontre a função inversa de J(x) = ~x + 1 .
Jâmes Srowart CAPÍTULO 1 FUNÇÓES E MODELOS 79
25. EnContre o \·cdor exato de cada expressão.
(a) c>n' (b) log 1,1 25 + log 10 4
(c) lf! (arcscn iJ (J) ~cn icos: 3)
26. Resolva cada cquaç~to para x.
27.
(a) e~=S (b) lnx=2
(c) =2 (d)tg 1 x= 1
A meia-vida Jo pa!ádio-100, 1wPd. é de quatro dias. (Assim. a
metade de qualquer quantidade de 1n°Pd vai se desintegrar em
4 d!as.) A massa inicial de uma amostra é 1 grama.
(a) Encontre a massa restante após 16 dias.
(h) Encontre a massa m(t) restante após t dias.
(c) Encontre a função inversa de m(t) c explique seu
significado.
(d) Quando a massa ficará reduzida a 0.01 g?
28. A população de uma certa espécie em um ambiente limitatlo.
com a população inicial igual a 100 e capacidade para
suportar 1.000 indivíduos. é
P(t) ~ ~()()()___
· · 100 + 900e·-r
onde t é medido em anos.
(a) Faça o gráfico dessa função e estime quanto tempo levará
para a população atingir 900 indivíduos.
(b) Encontre a inversa dessa função e explique seu significado.
(c) Use a função inversa para encontrar o tempo necessário
para a população atingir 900 indivíduos. Compare o
resultado com o da parte (a).
~i 29. Faça o gráfico dos membros da família de funções
f(x) o..""' ln(x 2 - c) para vários valores de c. Como o gráhco se
modificará quando c variar?
30. Faça o gráfico de três funções y = x". y = a' c y = log, x e
sobre a mesma tela para dois ou três valores de a > 1. Para os
grandes valores de x. quais dessas funções ter5o valores
maiores e quais terão valores menores?
Pla
80
Não existem regras rígidas que garantam sucesso na solução de problemas. Ponh11. é pos-
sível esboçar alguns passos gerais no processo de problema-solução c fornecer alguns
princípios que poderão ser úteis na solução de certos problemas. Esses passos e princípios
são tão-somente o senso comum tornado explícito. Eles foram adaptados do lino de
George Polya, Hmv to Solve It.
O primeiro passo é ler o problema c assegurar-se de que o entendeu claramente. Faça a si
mesmo as seguintes perguntas:
O que é desconhecido?
Quaís sâo as quantidades dadas?
Quais sâo as condições dadas?
Para muitos problemas é proveíto.so
fa::er um diagrama
e identificar no diagrama as quantidades dadas e pedidas.
Geralmente é necessário
íntrodu::ir uma notaçüo apropriada
Ao escolher os simbolos para as quantidades desconhecidas freqüentemente utilizamos as
letras tais como a, h. c. ni. n, .:r c y, mas. em aJguns casos, ajuda usar as iniciais como sím-
bo]os sugestivos; por exemplo, V para o volume ou t para-o tempo.
Encontre uma conexão entre a informação dada e a pedida que o ajudará a encontrar a
desconhecida. Em geral ajuda perguntar-se explicitamente: "Como posso relacionar o que
foi dado com o que foi pedido?". Se não for possível visualizar a conexão imediatamente,
as idéias que se seguem podem ser úteis para delinear um plano.
Tente Reconhecer Algo Familiar Relacione a situação dada com seu conheci-
mento anterior. Focalize na incógnita e tente se lembrar de um problema mais familiar que
a envolva.
Tente Reconhecer os Padrões Alguns problemas são resolvidos reconhecendo-se
o tipo de padrão no qual ocorrem. O padrão pode ser geométrico, numérico ou algébrico.
·Você pode ver a regularidade ou a repetição em um problema ou ser capaz de conjecturar
sobre o padrão de seu desenvolvimento para depois prov<l-lo.
Use Analogias Tente pensar sobre os problemas análogos, isto é, um problema simi-
lar, um problema relacionado, mas que seja mais simples que o problema originaL Se você
puder resolver o problema similar mais simples, isso poderá lhe dar pístas para a solllí_;ão
do problema original, mais difícil. Por exemplo, se um problema envolver números muito
grandes, você poderá primeiro tentar um problema similar com números menores. Caso o
problema envolva a geometria tridimensional, você poderá tentar primeiro um problema
similar bidimensional. Se seu problema for genérico, tente primeiro um caso especial.
Introduzindo Alguma Coisa Extra Às vezes pode ser necessário introduzir algo
novo, um auxího extra, para que você faça a conexão entre o que foi dado e o que foi
o Plano
LIIJ Revendo
pedido. Por exemplo. em um problema no qual o diagrarna é fundarnental, a ajuda extra
pode ser o trar.;ado de uma nova reta nele. Em proble:mas mais algébricos pode ser a intro-
dução de uma nova incógnita relacionada com a originaL
Dividindo em Casos Algumas vezes temos de dividir o problema em vários casos
e usar para cada um deles um argumento diferente. Por exemplo. empregamos essa estraté-
gia quando tratamos com os valores absolutos.
Trabalhando Retroativamente As vezes é proveitoso ímaginar que seu problema
foi resolvido e trabalhar passo a passo retroativamente até chegar ao que foi dado. E então
você poderá ser capaz de reverter seus passos e. portanto, construir uma solução para o
problema original. Esse procedimento
é usado freqüentemente na solução de equações.
Por exemplo, ao resolver a equação 3x - 5 = 7. supomos que x seja um número que satis-
faça 3x 5 = 7 e trabalhamos retroativamente. Adicionamos 5 a ambos os lados da
equação e então dividimos cada lado por 3 para obter x = 4. Como cada um desses pas-
sos pode ser revertido. resolvemos o problema.
Estabelecendo Submetas Em um problema complexo é freqüentemente proveitoso
estabelecer submetas (nas quais a situação desejada está apenas parcialmente satisfeita).
Você pode atingir primeiro essas submetas e, depois, a partir delas, chegar à meta final.
Raciocínio Indireto Algumas vezes é apropriado atacar o problema indiretamente.
Para provar, por contradição, que P implica Q, supomos quePe Q são falsos e tentamos
mostrar por que isso não pode acontecer. De certa forma temos de usar essa informação e
chegar a uma contradição do que sabemos perfeitan1ente ser verdadeiro.
Indução Matemática Para provar as afirmações que envolvem um número inteiro
positivo n, é freqüentemente útíl usar o princípio que se segue.
p,;m,inin da Indução Matemática Seja Sn uma afirmação sobre o número inteiro n.
Suponha que
1. S1 seja verdadeira.
2. sk. J seja verdadeira sempre que sk for verdadeira.
Então 5,1 é verdadeira para todo n inteiro positivo.
Isso é razoável, pois uma vez que S1 é verdadeira. segue, da condição 2 (com k = 1),
que 52 é verdadeira. Então, utilizando a condição 2 com k = 2, vemos que S3 é verdadeira.
E novamente usando a condição 2 e, dessa vez, com k = 3, temos St como verdadeira.
Esse procedimento pode ser seguido indefinidamente.
Na etapa 2 um plano foi delineado. Para cumpri-lo devemos verificar cada etapa do
plano e escrever os detalhes que provam a correção de cada etapa.
Tendo completado nossa solução, é prudente revisá-la, em parte, para ver se foram
cometidos erros c, em parte, para ver se podemos descobrir uma forma mais fácil de
resolver um problema. Outra razão para a revisão é que ela nos familiarizará com o
método de solução que poderá ser útil na solução de futuros problemas. Descartes disse:
"Todo problema que resolvi acabou se tomando uma regra que serviu posteriormente
para resolver outros problemas".
Esses princípios da solução de problemas estão ilustrados nos exemplos a seguir.
Antes de ver as soluções, tente resolvê-los usando os princípios estudados anteriormente.
82
Entendendo o problema
Desenhando unt diagrama
FIGURA 1
m Ligando os dados com a incógnita
ª Introduzindo alguma coisa extra
Reladonando com algo fam'tliar
Pode ser proveitoso consultar de tempos em tempos esta
vendo os exercícios nos Uemais capítulos do livro.
-~ Expresse a hipotenusa h do triângulo retângulo com uma <Írca de 25 m:
como uma fun(jãO do seu perímetro P.
Solução Classiflque primeiro as informações ídentllicando a quantidade desconhecida e
os dados:
lncôgnita: hipotenusa h
Quantidades dadas: perímetro P. área 25m2
É útil fazer um diagrama; assim. fizemos isto na Figura 1.
A fim de conectar o que foi dado à incógnita, introduzimos duas variáveis extras, a c b,
que são os comprimentos dos outros dois lados do triângulo. Isso nos possibilitará expres-
sar a condição dada, de o triângulo ser retângulo, pelo Teorema de Pitú.goras:
h2=a2+b2
As outras conexões entre as variáveis surgem escrevendo-se as expressões para a área c
o__perímetro:
25 ~ sab
Uma vez que Pé dado, observe que temos agora três equações em três incógnitas a, h e h:
h2=a2+b:.
25 ~ lab
P=a+h+h
Embora tenhamos um número correto de equações, elas não são fáceis de ser resolvidas
diretamente. Porém, se usarmos as estratégias de problema-solução para tentar reco-
nhecer algo familiar, então poderemos resolver essas equações de forma mais fácil.
Olhando os segundos membros das Equações 1, 2 c 3, eles não lhe lembram algo fami-
liar? Observe que eles contêm os ingredientes de uma fórmula familiar:
(a + b)' ~ a 2 + 2ah + h'
Usando essa idéia, vamos expressar (a + b)2 de duas maneiras. Das Equações 1 e 2
temos
(a + b)' ~ (a' + b 2 ) + 2ab ~ h' + 4(25)
Da Equação 3 temos
(a + h)'~ (P - h)'~ P2 - 2Ph + h 2
oo Dividindo em casos
Assim
2Ph c~ P' - I 00
2P
Essa é a expressão requerida para h como uma função de P.
Corno no exemplo ilustrado a seguir. é freqüentemente necessário usar o princípio de
diridir em casos quando tratamos com valores absolutos.
cx.cnilp!!C 2 Resolva a desigualdade I x - 3 i + I x + 2 j < 11.
Solução Lembre-se da definição de valor absoluto:
Segue-se que
Analogamente
lxl = {·~. sex ~ 0
J: SCX·-....Ü
scx-3?0 I I {X- 3 '(- ~ =
· ~ -(x - 3) se x-3<0
{
X- 3
= -x + 3
I I {X+. 2 X+ 21 = (x + 2)
{X+ 2 = ··x- 2
se t?)
se x < 3
scx+2?0
se _r+ 2 <O
scx?:-2
se ::r< -2
Essas expressões mostram que devemos considerar três casos:
X< -2 X? 3
CASO l Se x < ·-2. temos
lx-3l+lx+21<11
-x + 3 - x - 2 < li
-2x < 10
X> -5
CASO !i Se ~2 ~ x < 3. a desigualdade dada torna-se
-x + 3 + x + 2 < li
5 <li
CASO m :; Se X ? 3. a desigualdade torna-se
x 3+x+2<1l
2x < 12
x<6
- f\naiogia: Vamos tentar um problema
mais simples
Procurando por um padrão
Combinando os cas.os L H c vemos yue a desigualdade cstú sati.c.Jcit:t
5 < x < 6. Logo a solução é o intervalo ( --- 5. 6).
No exemplo a seguir tentaremos configurar a resposta examinando os casos especiais c
reconhecendo um padrão. A seguir vamos prová-!o por indw;Jo matcm:ítica.
Ao usar o Princípio da Indução Matemática. vamos seguir as três etapas:
Passo 1 Prove que S,1 é verdadeira quando n -:_= 1 .
Passo 2 Presuma que S, é verdadeira quando n = k e deduza que Sn é verdadeira quando
n~k+J.
Passo 3 Conclua que Sn é verdadeira para todo n pelo Princípio da Indução Matemática.
3 Se j 0(x) ~ x/lx + I) e
fórmula para f,(x).
1 = .fo o f,, para n =O, 1, 2, .. . , encontre uma
Solução Começamos por encontrar fórmulas para.J;,(x) nos casos especiais n = 1. 2 e 3.
X X
X + I X + l X
X 2x -'- I 2x +
~·-- + ---~·
X + I X -r I
X X
2x + 2x +
' ~--
X 3x + 3x + I
+ 2x+l 2x+l
J;(x) ~ (j0 "/})(.r) ~ j0(f,(x)) ~ ./(.( 3x ·~ l)
X X
3x + 3x + X
---
X 4x + 4x + I
+ ---~
3x + 3x + I
Observamos um padrão: o cocflciente de .:r no denominador de f,,(x) é n + 1 nos três
casos calculados. Assim sendo, fazemos a seguinte conjectura. no caso geraL
~-_:ex __
f,(x) ~ (n + I )x + I
Para provar. usamos o Princípio da Indução Matemática. Já vimos que (4) é vcrdadeíra
para n = 1. Suponha que ela é verdadeira para n = k, isto é,
X
r;(x) ~ ~. -~-~
. (k + llx + I
Então j( ,(d
X X
-~----~~~-
ík + llx + (k + l)x + I X
X (k + 2)x + I (k + 2)x +
+ (k + J)x + I (k + l)x + I
Essa expressão mostra que (4) é verdadeira para n = k + I, Portanto, por indução
matemática. é verdadeira para todo n inteiro positivo.
1. Um dos lados de um tríângulo retângulo tem 4 em de comprimento. Expresse o comprimento
da altura perpendicular à hipotenusa como uma função do comprimento da hipotenusa.
2. i\ altura perpendicular ela hípotenusa ele um triângulo retângulo mede 12 em. Expresse o
comprimento da hipotenusa como uma função do perímetro.
3, Reso}Ya a equação /2x - 1 I ·- lx + 5 I = 3.
4. Resolva a desigualdade I J: - I I I x - 3J ~ 5.
5. Esboce o gráfico da função J(x) = I x 2 ~ 4jx I + 31.
6. Esboceográficodafunçãog(x) = jx 2 - Ij-Jx 2 - 4J.
7. Faça o gráfico da cquaçãox + lxl = y + lyl.
8. Faça o gr~fico da equação x' ~ 4x~- x1y2 + 4/ = O.
9. Esboce a rcgiãQ_do phmo que consi.<>tc em todos os pontos (x,y) tal que I x I + I y I ::os: 1.
10. Esboce a região do plano que consiste em todos os pontos (x, y) tal que
lx-xl+lxi-1Yi"'2
11. Compute (log 2 3) (log 3 4) (log4 5) · · · Oog 3 1 32).
12. (a) J\.-1ostrequeafunção
f(x)=ln(x+R +l) é ímpar.
(b) Encontre a função inversa de f
13. Resolva a desigualdade ln (x: ~ 2x 2) ::os: O.
14. Use de um raciocínio inverso para provar que log~ 5 é um número irracional.
15. Uma pessoa inicia uma viagem. Na primeira metade do percurso ela Yiaja sossegadamente a
30 miih; na segunda. ela vai a 60 mi/h. Qual sua velocidade média na viagem'?
16. É verdadeiro que Jo (g +h)= Jo g + Jo h?
17. Prove que. se n for um inteiro posítívo. então 7" - l é divisível por 6.
18. Prove que 1 + 3 + 5 +
19. Se ;;,(x) ~ x' e f,.,lx) ~ fo(f.(x)) para n ~ O. J. 2 .. encontre uma fónnula para .f;,(x).
J
20. (a) Se fi~(x) = -2~~ e}~~ 1 oo~ };J o j~ para n """ O. I. 2 ....• encontre uma expressão para -x
fn(x) e use a indução matemática para prm·á-la.
~i (b) Faça os gráficos na mesma tela de Jõ,f1J 2 .j; e descreva os efeitos da composição repetida.
2
Limites e
Derivadas
A idéia de um Htnite é
ilustrada por retas secantes
tendendo a uma reta tangente.
FIGURA 1
FIGURA 2
Em Uma Apresentação do Cálcuío vimos- como a idéia dé !imite está subentendída
em vários ramos do cálculo. Por isso, é apropriado começar nosso estudo de cálculo
pesquisando os limites e suas propriedades. O tipo especial de limite usado para
encontrar as tangentes e as velocidades dá origem à idéia central do cálculo diferen-
cia! - a derivada.
Os Problemas da e da Velocidade
Nesta seção vamos ver como surgem o~ limites quando tentamos encontrar a tangente :
uma curva ou a uma velocidade de um ohjcto.
O Problema da Tangente
A palavra tangente vem do latim tangens. que signifka "tocando''. Assim, uma tangente:
uma curva é uma reta que toca a curva. Ou seja, uma reta tangente deve ter a mesm:
direção e sentido que a curva no ponto de contato. Como tornar precisa essa idéia?
Para um círculo poderíamos simplesmente seguir Euclides e dizer que a tangente é um,
reta que intercepta o círculo uma única vez, conforme a Figura I (a). Para as curvas mai
complicadas essa definição é inadequada. A Figura I (b) mostra duas retas, I e t, passand(
por um ponto P sobre uma curva C. A reta I intercepta C somente uma vez. mas ccrtament1
não aparenta o que pensamos ser uma reta tangente. A reta t. por outro lado, aparenta se
uma tangente, mas intercepta C duas vezes.
o Í\~ I\
(a) (bl
Para sermos objetivos, vamos examinar no exemplo a seguir o problema de encontra
urna reta tangente t à parábola y = x 2•
Encontre uma equação ela reta tangente à parábola y x 2 no ponto
P(L 1).
SOLUÇÃO Se soubermos como encontrar a inclinação m seremos capazes de achar uma
equação da reta tangente 1. A difJculdade está em termos somente um ponto P, sobre t, <-H
passo que para calcular a inclinação são necessários dois pontos. Ohserve, porém. que
podemos calcular uma aproximação de m escolhendo um ponto próximo Q(x, x') sobre<~
parábola (como na Figura 2) e computando a inclinação mro da reta secante PQ.
Vamos escolher .r ;F I de fonna que Q oF P. Então
Por exemplo, para o ponto Q(l,5, 2,25), temos
2.25 - l
fnpQ =
1.5- I
1.25
~ --= 2,5
05
s·
8!!
\
Q
FIGURA 3
\!.99
EdHnra Thomson
i .99
ºI ;J
I!
/1
P/
;I
~
v
o
----~--~-)>
X
As tabelas mostram os valores de mrç para vário~ valore:-. de _,_- próximos de- l.
Quanto mais próximo Q estiver de P, mais próximo .x estará de 1, c íica evidente que mpu
estará mais próximo de 2. Isso sugere que a inclinação da reta tangente í deva ser m --,, 1
Dizemos que a inclinação da reta tangente é o limite das inclinações das retas
sccantes. e expressamos isso simbolicamente escrevendo que
x 2 I lirn mpº = m e Jim --- = 2
Q...,.P x-;.1 X~ }
Supondo que a inclinação da reta tangente seja realmente 2, podemos usar a forma
ponto-inclinação da equação de uma reta (veja o Apêndice B) para escrever a equação
da tangente no ponto ( J , I) como
y- I = 2(x- I) ou y=2x--1
A Figura 3 ilustra o processo de limite que ocorre neste exemplo. A medida que Q
tende a P ao longo da parábola, as retas secantes correspondentes giram em torno de P e
tendem à reta tangente t.
Q tende a P pela direita
\
Q tende a P pela esquerda
'
!Q
' ·--·---9-J-
/1 /!
>
'
----····--··-----· ·····-···)>
X
Em ciências. muitas funções não são descritas por equações explícitas; elas são
definidas por dados experimentais. O exemplo a seguir mostra como estimar a inclinação
da reta tangente ao gráfico de uma dessas funções.
FIGURA4
R
O significado físico da resposta no
Exemplo 2 é que a corrente que flui do
capacitar para o flash após 0,04 sé
cerca de -670 microampêres.
James Stewart
E::<f:M':::cLn Oflosh de uma câmera opera annazenando carga em um capacitor c
Hberando-a instantaneamente quando o flash é disparado. Os dados à esquerda
descrevem a carga Q armazenada no capacitor (medida em microcoulombs) no in~tantc i
(medido em segundos após o flash ter ~ido disparado). Use os dados para fazer o gráflco
dessa função e estime a incllnação da reta tangente no ponto onde 1 = 0,04. [Nota: A
inclinação da reta tangente representa um fluxo de corrente elétrica do capacitor para o
flash (medido em microamphes).J
SOLUÇÃO Na Figura 4 desenhamos os dados usados para esboçar uma curva que aproxi-
ma o gráfico da função.
º'
100 r
90 1
ROi
!
70 1 p
0.02 0.04
c
·-~·~-~-~·----·
0.06 0,08 0.1
Dados os pontos P(0.04. 67 ,03) e RIO.OO. 100.00) sobre o gráfico. descobrimos que a
inclinação da reta secante PRé
A tabela à esquerda mostra os resultados de cálculos semelhantes para as inclinações de
outras retas secantes. A partir dela podemos prever que a inclinação da reta tangente en
t = 0.04 está em algum ponto entre -742 e -607,5. De fato, a média das inclinações d2
duas retas secantes mais próximas é
j(-742- 607,5) ~ -674.75
Logo, por esse método estimamos que a inclinação da reta tangente é -675.
Outro método é traçar uma aproximação da reta tangente em P e medir os lados do
triângulo ABC, como na Figura 4. Isso dá uma estimativa da inclinação da reta t~ngente
como
I AB I 80,4 - 53,6
- I BCI = 0,06- 0,02 -670
O Problema da Velocidade
Se você observar o velocímetro de um carro no tráfego urbano, verá que o ponteiro nã
fica parado por muito tempo; isto é, a velocidade do carro não é constante (não estam(
considerando os congestionamentos). Podemos supor da observação do velocímetro que
carro tenha uma velocidade definida em cada momento. Mas como está definida ess
velocidade "instantânea"? Vamos esmiuçar o exemplo da bola caindo.
f_t-:fi\lPi Suponha que uma bola~ solta a partir do punto dt: nn alto da
Torre CN em Toronto. 450 m acima do solo. Encontre a velocidade da bola após :'1
segundos.
SOLUÇÃO Por meio de experimentos feitos séculos atrás. Ga!ílcu descobriu que a distfmcia
percorrida por qualquer objeto em queda livre é proporcional ao quadrado do tempo em
que de esteve caindo (esse modelo para a queda livre despreza a resistência do ar). Se a
distância percorrida após t segundos for chamada s(t) c medida em metros. então a Lei
de Galilcu pode ser expressa pela equação
s(t) ~ 4,9t'
A dillculdade em encontrar a velocidade após 5 segundos está em trat<lfl110S de um único
instante de tempo(!= 5). ou seja. não temos um intervalo de tempo. Porém.""'"podcmos
aproximar a quantidade desejada computando a velocidade média sobre o hrevc interYalo
de tempo de um décimo de segundo. de t = 5 até t = 5.1:
distância percorrida
velocidade média = ----'~---
tempo decorrido
s(5J) s(S)
0,1
4,9(5, I )2 - 4,9(5)2 ,
~ ____ ,, ___ ~ 49,49 m;s
O,!
A tabela a seguir mostra os resultados de cálculos similares da velocidade mt:dia em
perÍo(Jos de tempo cada vez menores.
..li) i J
Fica evidente que, à medida que encurtamos
o período do tempo, a vc1ocidade média
fica cada vez mais próxima de 49 m/s. A velocidade instantânea quando t = 5 é definida
como o valor limite dessas velocidades médias em períodos de tempo cada vez menores.
começando em t = 5. Assim. a velocidade (instantânea) após 5 segundos é
v'~ 49m/s
Você deve ter visto que os cálculos usados na solução desse problema são muito seme-
lhantes àqueles usados anteriormente nesta seção para encontrar as tangentes. Na reali-
dade. há uma estreita relação entre os problemas da tangente e do cálculo de velocidades.
Se traçarmos o gráfico da função distância percorrida pela bola (como na Figura 5) e consi-
deram10s os pontos P(a, 4,9a~) c Q(a + h. 4,9(a + h)2 ) sobre o gráfico, então a incli-
nação da reta secante PQ é
-James S'l:ewart
~uc é igual à vdo~i~adc média no i~tervalo de tempo [a. a + h]. Logo, a velocidade ll~'
mstantc t :::- a \O llmltC dcs\as Yc]oCidades médias quando h tendt: a O) deve ser a
inclinação da reta tangente em P (u limite da:-. inclinações das retas secantés).
Q
p
FIGURA_ 5 {a)
lnclinaç5o da reta s:ecante
'-""' velocidade média
>
I
_,,."
s"" 4.9r'
I ~.
()~-a
Inclinação da tangente
= velocidade instant5nea
'
(b)
Os Exemplos J e 3 mostram que para resolver os prohlemas da vc1ocidade e da tangente
devemos ser capazes de encontrar os Jimites. Após estudannos os métodos para o cálculo
de limites nas próximas quatro seções, vamos retornar aos prohlcmas de encontrar tan-
gentes e velocidades na Seção 2.7.
1. Um tanque com capacidade para 1.000 galões de água é
drenado pela base em meia hora. Os valores na tabela mostram
o volume V de água remanescente no tanque (em galões) após
t minutos.
(a) Se P for o ponto ( 15, 250) sobre o gráfico de V. encontre
as inclinações das retas secantes PQ, onde Q é o ponto
sobre o gráf-Ico correspondente a t = 5. 10. 20. 25 e 30.
(b) Estime a inclinação da reta tangente em P pela média das
inclinações de duas retas secantes.
(c) Use o gráf-Ico da função para estimar a inclinação da reta
tangente em P. (Essa inclinação representa a taxa segundo
a qual a água t1ui do tanque após 15 minutos.)
2. Um monitor é usado para medir os batimentos cardíacos de um
paciente após uma cirurgia. Ele fornece um número de
batimentos cardíacos após t minutos. Quando os dados na
tabela são colocados em um gráfico. a inclinação da reta
tangente representa a taxa de batimentos cardíacos por minuto.
--.--~-
-toj 1 (minJ 36 3k --+2 ~.1
Batimcnl!i"
::'.530 2.661 2.806 I 2.9-4-:-) :..oso 1 ~'ardútn.1s
O monitor estima esse valor calculando a inclinação de uma
reta secante. Use os dados para estimar a taxa de batimentos
~
cardíacos após 42 minutos utilizando a reta secante entre os
pontos com os valores de r dados.
(a) t ~ 36 e t ~ 42 (b) t 38 e t ~ 42
(c) t~40 e t~42 (d) t~42 e t~44
Quaís são suas conclusões?
3. O ponto P(l.!) pertence à curva)" =~- x/(l +_-r).
(a) Se Q é o ponto (x,_t/(1 + x)), use a calculadora para
determinar o coeficiente da reta secante PQ, com
precisão de seis casas decimais. para os seguintes
valores de x:
(b)
(c)
(i) 0,5
(v) I ,5
(ii) 0.9
(vi) LI
(iii) 0,99
(vii) LO!
liv) 0,999
(viii) !,001
Usando os resultados da parte (a L estime o valor da
inclinação da reta tangente fi curva no ponto P( l. 5 ).
Utilize a inclinação obtida na parte (b} para achar uma
equação da reta tangente à curva em P(l, 1).
4. O ponto P(2, In 2) pertencente à cuna y = ln x.
(a) Se Q é o ponto (x.ln J_-), use sua calculadora para
determinar o coeficiente angular da reta secante PQ.
com precisão de seis casas decimais. para os seguintes
valores de x:
(i) 1.5
(ii) 1,9
(iii) 1 ,99
(iv) 1,999
(\) 2,5
(vi) 2,1
(vii) 2,01
(viii) 2.001
(b) Usando os resultados da parte (a), estime o valor da incli-
nação da reta tangente à curva no ponto P(2, Jn 2).
cAtcuu;
(c) Use a inclinação obtida na parte fh) para achar uma
equaçào da reta tangente à cun a çm P(2.ln 2)
(tO Fuça uma figura utili;;ando duas dcsc:as retas sccan!es c a
reta tangente.
5. Lma bola é atirada no ar com uma Yc!ocidad..: de ..J-0 pés/s. c
sua altura em pés apóc: i segundos é dada por _-v ·-·"' 401 -- 16r;
(a) Encontre a velocidade média para o período de tempo que
começa quando t = 2 e Jura de
(í) 0.5 s (i i) OJ s
(iii) 0,05 s (iv) 0.0! s
(b) Encontre a vdocidade instantânea quando t = 2.
6. Uma f1echa é lançada para cima com uma velocidade de 58 mis.
c sua altura em metros após t segundos ~ dada por
h = 58t - (LX3r'.
(a) Encontre a \Tlocidadc média durante os intervalos de
tempo dados:
li) [L 21
(iv) [L LO I]
(ii) [L !jj
(v) [I, LOOI]
(iii) I L UI
(b) Encontre a velocidade instantânea após 1 segundo.
7. O deslocamento (em pés) de uma certa partícula mnvendo~se
em linha reta é dado por s = t ;/6. onde r é medido em
segundos.
(a) Encontre a velocidade média durante os períodos de
tempo a seguir:
(i) [1,3]
(iii) ! L 1.51
liil [L 21
liv) [L IJ]
<,;~~2 O Limite de uma
hl Encontre u V•él<Xld-1\'k insta!lt!nca quando r c:c:
1 c! Faça um gr<ífi,::o de -' como uma fnnçG.<) de 1 ~, tmcc rcu~
sccantcs l.:om indina-;6~..·s iguais ü" \'clncidmk'- rn0dia~
cnconrratlas na parte la).
(d) Tr:.1cc a reta tangente cuja inc!ínaçiío 0 a \clocid tdc
instanünea da parte {h).
8. A po . ..:.ição de um carro é dada pdos valores mostrados na
tabela.
(a) Encontre a wlocidadc média par3 o período de tempo
começando quando t ;o::_ 2 e durando
(i)3s (ii)2s (iii)Js
(b) Use o gráfico de s como uma função de t para estimar a
velocidade instantúnea quando t '-""' 2.
9. O ponto P(l. O) está sobre a curva y scn(IO-;r/x).
(a) Se Q for o ponto (x. sen( l01T/xl). encontre a ínclimt~·ão da
reta sccante PQ (correta até a quarta casa decimal) para
x = 2, 1 ,5. I .4. L3. I L 1 ,1. 0.5. 0.6. 0,7. 0.8 c 0.9. Fica C\'Í-
dente ou não que as inclinações tendem a um limite'?
(b) Use um grátlco da curYa para explicar por que as
inclinações das retas sccantes da parte (a) não estão
próximas da inclinação da reta tangente em P.
(c) Escolhendo as retas sccantes apropriadas. estime a
inclinação da reta tangente em P.
Tendo visto na seção anterior como surgem os limites quando queremos encontrar as tan-
gentes a uma curva ou a uma velocidade de um objeto, vamos voltar nossa atenção para
os limites em geral e para os métodos de computá-los.
j(x)
ícnde a
4.0
--71
-r
i
-~•-+· Oi ~-+---~
'
X
.. 2----·
Quando x tende a 2.0
FIGUR.<\ 1
Vamos investigar o comportamento da função f definida por f(x) = x 2 - x -t- 2 para
valores de x próximos de 2. A tabela a seguir fornece os valores de f(x) para valores de x
próximos de 2, mas não iguais a 2.
,-~-,------~--~--------.
,f
I
f
li
>-:JYJIYifl(;
,~.:)1 ;;<' i
..;_z;, ,_:-nu; J
Da tabela e do gráfico de f( uma parábola) mostrado na Figura I vemos que quando x
estiver próximo de 2 (de qualquer lado de 2),f(x) estar;í próximo de 4. De fato, é evidente
que podemos tornar os valores de f (x) tão próximos de 4 quanto quisermos tornando x
suficientemente próximo de 2. Expressamos lsso dizendo que "o limite da função
f(x) ~ x 2 - x + 2 quando x tende a 2 é igual a 4".
L
a X
(a)
FiGURA 2
lim f(x) = L nos três casos
X--'>1!
Jsmes Stewart CAPÍTULO 2 83
A notação para isso é
lim -- X + 2) ~" 4
Em geraL usamos a seguinte notação.
-- -------- -- ---------
Escrevemos
limf(x) -L
r-->a
e dizemos "o limite de J(x), quando x tende a a. é igual a C'
se pudermos tomar os valores de f(x) arbitrariamente próximos Qe L (tão próximos de L
quanto quísennos), tornando ,-:r suficientemente próximo de a (p()r ambos os lados de a)
mas não igual a a.
Grosso
modo, isso significa que os valores de _f{:t-) ficam cada vez mais próximos do
número L à medida que x tende ao número a (por qualquer lado de a), mas x ;F a. Uma
definição mais precisa será dada na Seção 2.4.
Uma notação alternativa para
lim f(x) ~L
x ~>a
é j(x) ~L quando
que deve ser lida assim: "f(x) tende a L quando x tende a a''.
Preste atenção na frase ·'mas x # a" na definição de limite. Isso significa que ao procu-
rar o limite de f(x) quando x tende a a-nunca consideramos x =a. Na realidade, f(x) não
precisa sequer estar definida quando x = a. A única coisa que importa é como f está
definida próximo de a.
A Figura 2 mostra os gráficos de três funções. Note que, na parte (c), fia) não está
definida e. na parte (b), f( a) #L. Mas em cada caso, não importando o que acontece em
a_lim,_"fix) =L.
Oj -----~
(b)
X - 1
Encontre o valor de Jim
x-->l
-'
L
a X
(c)
SOLUÇÃO Observe que a função f(x) ~ (x - l )/(x 2 - J) não está definida quando x ~ 1.
Mas isso não importa, pois a definição de lim_,...,.aj{x) diz que devemos considerar
valores de x que estão próximos de a, mas que não são iguais a a. As tabelas dão os
94
~~(). 1()05
"O OOUJ
-~~~ OOO{i)
n nuoo 1
0.00000
c.' ;{){)(!(' J
váiores de
O Exemplo i está ilustrado pelo gráüco de f na Figura 3. Vamos agora mudar ligcíra-
mcnte f definindo seu valor como 2 quando x ::::: 1 c chamando a função re\ultantc de y:
se x
se x CC I
Essa função g tem o mesmo limite quando x tende a J (ver f·'igura 4).
(I
FIGUR.~ 3
EXEMPLO 2
2
X (I
FIGURA 4
-/ti + 9 3
Encontre Jim ----,---.
~~·o t""
y """ y(x)
>]-ti
SOLUÇÃO A tabela fornece uma lista de valores da função para vários valores de t próxi-
mos de O.
-------1
I_,_·-------'-~
A medida que t tende a O. os valores da função dão a impressão de que eles aproxi-
mam~sc de 0.1666666 ... Assim. deprcendcmos que
6
O que aconteceria no Exemplo 2 se tivéssemos tomado os valores ainda menores para
t'? A tabela mostra os resultados obtidos em uma calculadora: você pode notar que algo
estranho está acontecendo.
r;;aiores esclarecimentos do
porquê de as calculadoras darem
resultados eventualmente falsos.
veja a p8gina na web
www.stewartcalcuius.corn
C!ique em Addítional Topics e depois
em Les Mv Calcuíator and Compute r
Told iV1e. Ern particular, veja a seção
chamada The Perfis of Subtraction
0.2
0.1
(a) i 5. 5} por [--0.1. 0.3]
FIGURA 5
Jarnes Stewart
Se \-TK'ê tentar fazer esses cálculos em :-ua C<-tlculadora, podCrá ohter os valore . ..;
diferentes, mas finalmente vai obter o valor O se í-lzer r ;.;ulkiememente pequeno. Isso
signiJicu que a resposta é realmente O e não~''? Não, o valPr do limite é~, conforme veremos
na próxima seçào. O problema é que pois .... /t2 + 9 é muito
próxjmo de J quando t é pequeno. (Na realidade, quando 1 é suficientemente pequeno, um
valor obtido na calculadora para ,_:'t 2 + 9 é 3,000 ... com tantas casas decimais exatas
quanto for capaz de computar a calculadora.)
Algo muito parecido acogtece quando tentamos fazer o gráfico da função
.. .}t 2 -+ 9- 3 }lt) ~ --~.~--
1-
do Exemplo 2 em uma calculadora grifica ou computador. As partes (a) c (b) da Figura 5
mostram gráficos hem precisos de I e, quando usamos trace mode (se disponível),
podemos facilmente estimar que o limite é cerca de:,. Porém. se dennos um zoom, como
nas partes (c) e (d). obteremos gráficos imprecisos. novamente em virtude de problemas
com a subtração.
0,2
O, I
(b) l-O. L OJ] por I O. L 0.3] (c) I lO'', lO ''i por I O. L 0,3[
EXEMPLO 3 senx Encontre lim ~-.
-' ~>D X
(d)jlO. 10-]porl-0,1,0.3[
SOLUÇÃO Novamente a funçãof(x) = (sen x)/x não está definida quando x =O. Usando
uma ca1cu1adora (c lembrando que se x E ~. sen x significa o seno de um ângulo cuja
medida é x radianos), construímos a tabela a seguir para os valores corretos até a oitava
casa decimal. Da tabela e do gráfico da Figura 6 temos que
senx lim-- ~
-''""O X
Essa conjectura é de fato correta, como será provado no Capítulo 3 usando argumentos
geométricos.
scn x
-I o X
F!GUR.~ 6
'CAS
Os sístemas algébricos computacionats
(CAS Computer A.!gebra Systems)
têm comandos para computar os
limites_ A fim de evttar falhas como as
demonstradas nos Exemplos 2, 4 e 5.
eles não encontram os lim1tes por
experimentação numérica. Em vez
disso, usam técnicas mais sofisticadas,
como o cálculo por séries infmitas. Se
você tiver acesso a um C.b,S use o
comando de limite para computar os
!im1tes nos exempios desta seção e
veriftcar suas respostas aos exercícios
deste capítulo
FIGURA 7
.nOJOS8
7T Encontre lim sen --.
,~n x
SOLUÇÃO !1/lais uma vez a funçãof(l!n) scn(n/x) não está dctlnida em O. Obtendo a
função para alguns valores pequenos de x, temos
f(l) ~scn rr~ O
f(l} = sen 3rr ~ O
f(O.I) =sen IOr. =O
j(;) c~ scn 2 r. ~ ()
f(;} ~ sen 4rr = O
fiO.O I) = scn IOOrr = O
Da mesma forma f(O.OOI) = f(O.(XlOI) =O. Com base nessa informação poderíamos
~er tentados a conjecturar que
lim sen "=O
, ... o X
Dessa vez. no entanto,''""'~;' c'>LÍ c1 -;:z_h. Observe que embora .f( 1/n) = sen n1r =O
para todo número inteiro n, é também verdadeiro que f(x') = l para infinitos valores de x
que tendem a O. [De fato. sen(1r/.:r) = 1 quando
7T 7T
+ 2nrr
X 2
e, resolvendo para x. obtemos x = 2/(4n + 1).} O grá!ko de fé dado na Figura 7.
X
As curvas tracejadas indicam que os valores de sen(iT/x) oscilam entre 1 c ~ 1
infinitas vezes quando x tende a O (veja o Exercício 37). Uma vez que os valores de f(x)
não tendem a um número fixo quando x tende a O,
7T
limsen ~não existe
x->IJ X
( ~ cos5x) Encontre lim x·' + --~ . ,~o 10.000
SOLUÇÃO Como antes, construímos uma tabela de valores. Da tabela parece que
. (' , + cos Sx ) ~ 0 I;~ X 10.000 ~
FIGURA 8
_ J.ames Stewart
Mas se contÜÚJannós com os -valores ainda menores de x. a sqw'"'" :ahcla sugere que
( , cos Sx ) I hfl1,,
1
x- + -
111
,~11-111 ~ o.ooo wo ,~ ___ _
· - --·' " iO.OOO
Mais tarde veremos que lim, __ n cos S:r ::: 1 , c então segue gue o limite é {LOOO 1 .
Os Exemplos 4 e 5 ilustram algumas das ~c1 i;;·:.:
É fácil concluír pelo valor falso se usannos os valores não apropriados de x. mas é difícil
saber quando parar de calcular esses valores. Assim, como mostra a discussão após o
Exemplo 2, algumas vezes as calculadoras e computadores dão valores falsos. Nas duas
próximas seções, porém. vamos desenvolver métodos inh1lívcis no cálculo de limites.
A função de Heaviside. H. é definida por
{
O se 1 <O H(l) ~
1 ser~ O
[Essa função. cujo nome homenageia o engenheiro elétrico Oliver Heaviside (ISS0-
1925), pode ser usada para descrever uma corrente elétrica que é estabelecida em t =O.]
Seu gràfico está na Figura 8.
Quando 1 tende a O pela esquerda, H( I) tende a O, Quando 1 tende a O pela direita, H(t)
tende a I. Não há um número único para o qual H(t) tende quando t tende a O. Portanto,
lim1""o H(t) não existe.
Limites Laterais
Vimos no Exemplo 6 que J/(1) tende a O quando 1 tende a O pela esquerda, e tende a I
quando t tende a O pela direita. Indicamos essa situação simbolicamente escrevendo
lim H(l) ~O
/--'> n-
e lim H(l) ~ I
/-7 o+
O símbolo "t~O--" indica que estamos considerando somente valores de t menores que O.
Da mesma forma, "t ~o~" indica que estamos considerando somente valores de r maiores
que O,
Escrevemos
lim f(x) ~L
e dizemos que o limite esquerdo de f(x) quando x tende a a [ou o limite de f(x)
quando x tende a a pela esquerda 1 é igual a L se pudermos tornar os valores de
f(x) arbitrariamente próximos de L. tomando-se x suficientemente próximo de a e
x menor que a.
Observe que a Definição 2 difere da Definição 1 pelo falo de exigirmos que x seja
menor que a. Analogamente, se for exigido que x seja maior que a, obteremos "o limite
direito de /(x) quando x tende a a como igual a L", e escrevemos
FIGURA 9
)
y q(x)
2 3 4 5
FIGURA 10
Dessa forma, o símbolo "x _____, <-( ·indica que estamos con\idcnmclo _..;orncntc - --- c; E:.::<:s
definições estão ilustradas na Figura 9.
L
(a) llm jú) L (b) Jim fix) eco L
.,.>
Comparando a Deflnição 1 com a de limites laterais, vemos ser verdadeiro o que está a
scgutr.
limf(x) ~L
-'""'11
se e somente se lim f(x) ~ L e lim flx) ~ L
,_, "-- t-4- fi"'
O gráfico de uma função g está na Figura 10. Use-o para cstabclecer
{caso existam) os seguintes limites:
(a) lim y(x) (b) lim g(x) (c) lim q(x)
'---'> :- < ,____,_ 2-'-, '_. 2 .
(d) lim g(x) (e) lim g(x) (f) lim g(x)
_,_, 5
''"'" 5"' ,_,_s
SOLUÇÃO A partir do gráfJco vemos que os :~dores de g(x) tendem a 3 à medida que os de
x tendem a 2 pela esquerda. mas se aproximam de I quando x tende a 2 pela direita. Logo
(a) lim g(x) ~ 3
x---- 2··
e (b) lim q(x) ~ I
X-7 2_+,
{c) Uma vez que são diferentes os limites esquerdo e direito, conc1uímos de (3) que o
lim, .... 2 g(x) não existe.
O gráfico mostra também que
(d) lim g(x) ~ 2
_,_, 'i e (c) lim g(x) ~ 2
,____,. 5 +
(f) Agora o limite esquerdo c o direito são iguais; assim. de (3) segue--se que
lim g(x) ~ 2
<-•~
Apesar desse fato. observe que q(5) ~ 2.
Limites Infinitos
EXEM?UJ 8 Encontre se existir o lim
-'~>()
SOlUÇÃO À medida que x se aproxima de O, x 2 também se aproxima de O. c 1/x 2 fica
muito grande (veja a tabela na página a seguir). De fato, evidencia-se do grátko da
Figura 11 que a função f(x) = 1/x 2 pode se tornar arbitrariamente grande ao tomarmos
FIGURA 12
limfCr) J~
-"""'"
"
FIGUR.A 11
James Stsvvart CAPÍTULO 2 ss
os vahxes de ~:r próximos de O. Assim. os valores de
cxi::-;te lim ,~n ( l .
_v""
Para indicar o comportamento de uma função análogo ao da função do Exemplo ~
usamos a notação
lim = x
Isso não significa considerar x como um número. Tampouco significa. que o limite exista
É simplesmente uma maneira de expressar uma forma particular da não-existência do li·
míte: 1/:r= pode assumir valores tão grandes quanto quisermos. bastando para isso csco·
lhermos os valores de x adequadamente próximos de O.
Em geral, simbolicamente, escrevemos
l}:;~f(x) ~ x
para indicar que os valores de f(x) tornam-se cada vez maiores (ou "crescem sem li·
mites"). quando x torna-se maior, quanto mais próximos estivermos de a [ou que os valo-
res de.f(x) "crescem sem limitação"].
Seja f uma função deflnida em ambos os lados de a, exceto pos-
sivelmente em a. Então
~~~f(x) ~c x
significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes
(tão grandes quanto quisermos) tomandox suficientemente próximo de a, mas não
igual a a.
. ... --- ----~~~~~ ----- -- ------------~---------- ........... -
Outra notação para lim '"""" f(x) = x é
f(x)- x quando x ........ a
.f(x) Novamente o símbolo ·x não é um número. mas a expressão lim 1 _," f(x) = x normal
mente é lida como
"o limite Je]1x), quando x tende a a, é inílnito"
ou ·j(,r) torna~se inílnita quando x tende a a''
ou ainda ':f(x) cresce sem limitação quando x tende a a'·
Essa dellnição está ilustrada na Figura l L
VA
, I
I
FIGURA 13
limf(x) ~ -x
x~"
a
(a) lim)Cr) x
FIGURA 14
X
j f(x)
Um tipo análogo de limite, qnc ocorre nnrmdn a
luto, porém é ncgatÍ\'a quando_\ se ac,roúma
ilu:-:trado na Figura ] 3.
Seja fuma função definida em ambos os lados de a, exceto po~siYci
mcnte em n. Então
limf(x) ·~ '-x
<->o
signiflca que os valores de f(x) podem ser arbitrariamente grandes. porém nega-
tivos. escolhendo-se os valores de x próximos de a, mas diferentes do próprio a.
O símbolo lim,_." f(x) = -x pode ser lido L<las seguintes formas: ··o limite dcf(x) é
menos infinito quando x tende a a·', ou 'j'(x) decresce sem limitação quando x se
aproxima de a". Por exemplo, temos
lim (-~) ~ -x
>->0 X~
Definições similares podem ser dadas no caso de llmites laterais
lim f(x) ~ x
,_,.(/- lim f(x) ~ x \->a+
lim f(x) = -x
lembrando-se de que "x _, lr" signitica considerar somente os valores de x menores que a.
ao passo que "x-a··· significa considerar somente valores de x >a (veja as ílustrações pma
os quatro casos na Figura 14).
'1
,, ___ J
X O i a I !
!
(b) limjlx) o= -x
.,,•
(c) limj(x) -= -X (d) Jímj(x) -x
,_,, ..
1Je-finic:i-i:' A reta x = a é chamada assíntota vertical da curva y = f(;r) se
pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita:
limf(x) = x limf(x) ~ x
,t---->o x~a
lim f(x) = w
t->a-
limJ(x) ~ -x
-<->a
Por exemplo, o ei_xo _r é uma assíntota vertical da curva y = 1/ r, pois limx_._.n( 1/x!-) = x.
Na Figura 14 a reta x =a é uma assíntota vertical em cada um dos quatro casos
considerados. Em geral o conhecimento de assíntotas verticais é muito útil no esboço de
gráficos.
o
FIGURA 15
2x
3
---)>-
'
Yt !J
h J i /1
fi I fi
i 1 I i I
I I I I J I j I I I ~-;~~;,~r~~~-~-----I"-~r-r:
I 1 I
11 l1 + J{ I
li d li I
FIGURA 16
y ~ tgx
FIGURA 17
O eixo y é uma assíntota vertical da funç~o
logaritmo natural.
Exercícios
James Stewart GAPÍT!JUJ 2
Encontre lirn
2x 2x
e lim 3 ,~•-; X - 3
SOLUÇÃO Se x está próximo a 3 mas é maior que 3. então o denominador x- 3 é um
número positivo pe4ueno c 2x está próximo a 6. Portanto. o quociente ~ 3) é um
número positivo grande. Então. intuitivamente. vemos que
lim
2x
-~~-~x
x-3
Analogamente. se x está próximo a 3 mas é menor que 3. então .x- 3 é um número nega-
tivo pequeno. mas 2x ainda é um número positivo (próximo a 6). Portanto. 2x!(x- 3) é
um número negativo numericamente grande. Então
2r
3
O grátko da curva y = 2x/(x - 3) está dado na Figura 15. A reta x = 3 é uma assíntota
vertical.
EXEMPlO 10
SOLUÇÃO Como
Encontre as assíntotas verticais de j(x)
sen x
tgx=--
cosx
tg X.
exístem assíntotas verticais potenciais em que c os x = O. De fato. como cos x---o+ quandc
x--'"( TI/2)- ecos x--o- quando _:r---"(TI/2)+, considerand.Q que sen x é positivo quando x esti
próximo de TI/2, temos
lim tg x
x-+icrrt2i
e lim tg x = -co
t---;o(r./2)+
Isso mostra que a reta x = ;r/2 é uma assíntota vertical. Por raciocínio análogo mostra
que as retas x = (2n + l)n/2. onde n é um ínteiro, são todas assíntotas verticais de
f(x) = tg x. O gráfico da Figura 16 confirma isso.
Outro exemplo de uma função cujo gráfico tem uma assíntota vertical é a função Joga-
ritmo natural y = lnx. Da Figura 17 vemos que
lim 1nx = -x
J.~>o+
e assim a reta x = O (o eixo y) é uma assíntota vertical. Na realidade. isso é válido par2
y = log" x desde que a > 1 . (Veja as Figuras 11 e 12 na Seção I .6.)
1. Explique com suas palanas o significado da equação 2. Explique o que signit!ca para você dizer que
limf(x) ~ 5
x_,.l lim f(x) = 3
H)
c
É possí-veL díante da equação anterior, que f(2)::::: 3? Explique. Nessa situação é possível que lim,"" 1 J(x) exista? Explique.
Exj}Iique o significado de cJÓl uma das m~ta~'Õ_cs a sc"gtiir.
(a) lim f(x) = x (b) Emj'(_tl co--= --I-
x...,.--3- - - ,_,_;
4. Para a função f cujo grütico é dado. determine o valor da quan~
tidadc indicada. c-.c ela existir. Se niio existír. t·xplique por quê.
(a) lim {(.r) (h) lirn nx)
'~(f . ~'
(c} ,1~~11,_/(xi
(c) f(3)
2
(d) lim lfxi
'-;o}. -
2 4
5. Use o gnilico dado da função f para detcrmínar o valor de cada
quantidade. se elu existir. Se não existir. explique por quê.
(a) limf(x) (h) 1in0 f(x)
, ·I _,--~I
(c) limf(x) (d) limf(x)
•I , .•
(e) ((5)
6. Para a função y cujo gráfico é dado, detenninc o valor de cada
quantidade. se ela cxisrir. Se não existir, explique por quê.
-·3 '"2 2 3 4 X
-1
(a) lim g(x) (b) lim g(x) (c) lím g(x)
.t->--2
_, _, 2 t
X-> -2 (d) g( -2) (c) lim g(x) (f) lim y(x)
t->2 ,_,.z+
1!; Jm_1 ql __ \) !!'1 linJ<"jl_l]
--·''
7. Para a fuw,;Jo q cujo gr:ííico '-' dudo. dckrrnin,__· o nlnr d:: cadd
quamidadc se ela existir. Se nào existir. expliquç rwr quê.
ia) !it;,1g(r) íbl li:n);(t) {cl lim q{!)
i--+v 1->\)- 1-•ll
(d) limoU) (e) !im gU) (f) Jim g(t)
r~2- '~>2_,. '-•2
(g) y{2) (h) lim g{t)
r~--:
8. Para a função R cujo gráfico é mostrado a seguir. determine.
(a) lim R(x) (b) lim R(x)
.t~>2 <--<--'
(c) lim R(xl (d) lim RC\)
(c) A.s equações das assíntotas n::rticais.
9. Para a funç5:ofcujo gráfico é mostrado a seguir. determine.
ia) lim /(x) (b) lim /(x) (c) lirn f(x)
/----;o--7 ,_, __ '-' ,_,_il
(d) lim f(x) (e) lim /(x)
.l-->6 t~ú+'
(f) As equações das assíntotas \'Crticals.
10. Um paciente recebe uma ir.jeçào de 150 mg: de uma Jroga a
cad<J :t hora~. O gníflco mostra a quantidade f(!) da droga na
corrcme ~angüínea ap6~ t horas. (Posteriormente seremos
capazc.<: (_k~ computar a dosagem c intervalos de tempo que
garantam que a concentração da dwga nfm atinja ní-veis
perigosos ) Encontre
!im /(i)
1-12'-· -'
c
c explique o significado desses limites laterais.
/(I)
300
150
12 16
~ 11. Use o gráfico da função f(x) = l/O +e L-') para estabelecer o
valor de cada limite. se existir. Se nâo existir, cxplíque por quê.
(a) lim fix) (b) lim flx) (c) limflx)
_,___,_() x_,.o+ x-0
12. Esboce o gráfico da função a seguir e use-o para determinar os
Yalores de a para os quais lim, ..... ,,f(:r) existe:
r~x se X < ···1-f(x) - X se ~-I :s X <
(x- 1)2 se X ?o- I
Esboce o gráhco de um exemplo de uma função f que sa-
tisíaça todas as condições dadas.
13. lirn fíx) ~ 4. lim f(x) ~ 2. lim flx) ~ 2.
,____,._:;~ .t--J.Y 1~--2
fl})-3. f(-2)~1
14. }iW- f(x) = I. ,~~~ f(x) = -~ 1. _,~!~ f(x) = O
lim f(;r) = 1. f(2) = I. f(O) não está definida
_,__,.2+
15~'Hi Estime o Yalor do limite (se ele existir) por meio dos
valores Ja funçào nos números dados (com precisão de seis casas dcci~
mais).
15. lim
~X·- 2
X =-c 2,5. 2,J, 2,05, 2.0}, 2.()05. 2,{)()],
16.
L9. 1.95. 1.99. 1.995. 1.999
lim
x' ~2x
~x~2
X --~ 0, --0.5 ~-0.9, ---0.95, -0.99.
0.999. - I .5, -1,1. -I ,OI. -I.IXJI
.James Stewan: CAPÍTULO 2
17. !tm
18. lim xln{_\-+x-'). x -'"'" 1.0.5.0.1.0Jl5.0Jll.OJl05.0JlOJ
i3 ·22 Use uma tabela de valores para estimar o valor do limite.
Se você tiver algum mecanismo que faça g:rúflcos. use-o r)ara
conflrmar seu resultado.
19. lim
+4~2
-------
X
20. lim
3x
_,---n tg 5x
21. lim
x6 ~ 1
,~]
22. lim
9' ~5'
1 -~() X
Determine os limites infinitos.
6 6 23. lim 24. !ím
_,____,.:;+ X 5 _,__,.y X - 5
25. 2-x X lim 26. lim
>--•) (x-1)' x~o x 2(x + 2)
X ·- I 27. lim
x 2(x 28. lim cossec x x~-2+ + 2)
29. lim sccx 30. lim ln(x 5)
_,.___,.( --rr/2}"' ,_,
31. Detemline lim c !im •
,_.J- _,-___.J+ x-' ~ I
(a) estimando j(.r) = J/ix·' ~ 1) para os valores de x que
tendem a I pela esquerda c direita.
(b) raciocinando como no Exemplo 9. e
(c) a partir do gnífico de f
32. (a) Encontre as a:--síntotas verticais da função
X
Y --- -c~--'-'----
(b)
33. (a)
(b)
-x 2
Conlim1e sua resposta da parte (a) fazendo o gráfico da
função.
Estime o valor do limite limH0 { l + .x) 1·' com cinco casas
decimais. Esse número lhe ptrrece familiar?
Ilustre a parte (a) fazendo o gráhco da função .v = ( 1 + _tY -',
34. A inclinação da reta tangente ao gráfico da função exponencial
y = 2·' no ponto (0. I) é limx-o (2-" - 1)/x. Estime a
inclinação até três casas decimais.
GÁLC!JUJ Editore Thomscn
35, Úl) Esti:me a função f(x) = ~T' (2'i1 ,000) para _:r CC"-'- L O ,8, O .6. O .4.
0,2, O .I e 0.05 e faça uma conjectura sobre o valor de
Jim (ex' - 2_ ')
~ --~tl ' 1 .000 f
(b) Estime f(x) para X ,c_ ()J)4c OJJ2c ().()!c ()_()()5c 0.003 C
0,001. Faça novamente uma conjectura.
36. (a) Estime h(x) (tg x- x)/x' para x = . 0.5. OJ, 0.05.
0.01 c 0.005.
d I. tg X X (b) Conjecture qual o valor c nn --~;-.
. r-~<l X
(c) Estime h(x) para os valores sucessivamente menores
de x até finalmente atingir os valores O para h(x). Você
ainda é capaz de sugerir que o resultado de (b) est<l
correto'? Explique por que -você acaba obtendo os
valores O. (Na Seção 4.4 veremos um método para calcular
esse limite.)
(d) Faça o gráfico da função h na janela de inspeção f --1. 1]
por [0. 1]. Dê então um zoom na direção do ponto
onde o gráfico corta o eixo y para estimar o limite de h(x)
quando x tende a O. Continue dando ::_oom até observar dis-
torções no gráfico de h. Compare com os resultados da
parte (c).
37. Faça o gráílco da função .f(x) = sen( ~;jx) do Exemplo 4 na
janela de inspeção [- 1. I] por f ~-J. 1 _l. Então dê um zoom em
direção à origem por várias vezes. Comente o comportamento
dessa função.
Cálculos dos Limites Usando suas Leis
33, !'·b k::oria da rclatiYidade, a nJJs<,a de uma pankuL1 '-·um
\·clocidudc tJ é
rtlt>
ltl'·=--==
"'/! - v-íc-
em que mu é a massa da partícula no repouso e L, a Yclocidad~
da luz. O que acontece se v_,. c?
39. Use um gráfico para estimar as equações de todas as
assíntotas verticais da curva
y = tg(2 sen J.-)
Encontre. então. as equações exatas dessas assíntotas.
40. (a) Use as evidências numéricas c gráfkas para fazer uma
conjectura sobre o valor do limite
(b) A que distância de 1 deverá estar x para garantir que a
função da parte (a) esteja a uma distâncía de 0,5 de seu
limite?
Na Seção 22 empregamos gráficos e calculadoras para fazer uma conjectura sobre o valor
de limites, mas vimos que esses métodos nem sempre levam a uma resposta correta. Nesta
seção usaremos as seguintes propriedades dos limites, chamadas Leis do Limite, para cal-
culá-los.
leis do Limite Seja c uma constante e suponha que existam os limites
!i~f(x) c
Então
1. !im [f(x) + g(x)] ~ lim f(x) + lim g(x)
,_," x--~a x--•a
2. !i~ [f(x) - g(x)] ~ ;~ f(x) lim g(x)
3. !i~ [cf(x)] ~c U~f(x)
4. lim [f(x)g(x)] ~ lim f(x) • lim g(x)
•·•a x-o x-a •
I
. f(x) 5. Jm~--
.• , g(x)
!";; f(x)
lim g(x) se ;u;; g(x) 5" O
\":; g(x)
}t f
I :::::::---o~.11 T ~ ~ 1 r-;
"~ i
FIGURA 1
James Stewarf
Essas cinco leis podem serenunciadas da seguinte forma:
1. O limite de uma soma é a soma dos limites.
2. O limite da diferença é a dífercnça dos limites.
3. O limite de uma constante vezes uma função é a constante vezes o Emite da
função.
4. O limite de um produto é o produto dos limites.
5. O limite de um quociente é o quociente dos limites (desd~.: que o limite do
denominador não seja zero).
É fácil acreditar que essas propriedades são verdadeiras. Por exemplo. se }tx) estiver pró~
ximo de J- e g(x) próximo de M, é razoável concluir que f(x) + qCt) cst<i próximo de L+ .t..1.
Isso nos dá uma base intuitiva para acreditar que a Lei nl! 1 é verdadeira. Na Seção 2A
daremos uma definição precisa de limite e a usaremos para provar essa lei. As provns das
leis remanescentes encontram-se no Apêndice F.
EXHvH'lO 1 Use as Leis do Limite e o gráfico de f e g na Figura I para calcular os
seguintes limites, se eles existirem.
(a) !~m, [j(x) + 5g(x)]
SOLUÇÃO
(b) I}~ [f(x)g(x)] (c) I. f(x) 1m~~
,., g(x)
(a) Dos gráficos de f e g vemos que
lim f(x) ~ I
'-~--:
e lim a(x) ~ ~1
x~--2"
Portanto, temos
}í~,[f(x) + Sg(x)] ~ }'~J(x) + Jí;n,
[Sg(x)] "", 1
lím f(x) + 5 límg(x)
x-~-2 x--~
(b) Vemos que lim, .. , f(x) ~ 2. Mas lim ,~, g(x) não existe, pois os limites à esquerda e
à direita são diferentes:
lim g(x) ~ ~ 2
x-~l- '
lírn g(x) ~ ~ l
x--~1
Assim, não podemos usar a Lei níl 4. O limite dado não existe, pois o limite esquerdo
não é igual ao direito.
(c) Os gráficos mostram que
límf(x) =I ,4
x-~2
e lím glx) ~O
'-~2
Como o limite do denominador é O, não podemos usar a Leí n~ 5. O limíte dado não
existe, pois o denominador tende a O, enquanto o numerador tende a um número
diferente de O.
Usamos a Lei do Produto repetidamente com g(x)::;:;. j(x) para obter a seguinte lei.
onde n é um inteiro positivo
Ao aplicar essas seis ki~. vamo<.; pn'cssar u~<Jr doi:-.: lin-,iws cspccÍJlÍ.s
7. Em C o= C 8. lim x il
Esses limites são óbvios do ponto de vista intuitivo (faça um enunciado para eles e
esboce os gráficos de y '= c e y = x), mas as provas baseadas na definição precisa serão
pedidas nos exercícios da Seção 2.4.
Se pusermos agora.f{r) = x nas Leis 1F 6 c 8. vamos obter outro útil limite especial.
9. lim x" =a" onde n é um inteiro positivo
Um limite similar pode ser verificado para as raízes da forma a seguir. (Para as raízes
quadradas a prova está esboçada no Exercício 37 da Seção 2.4.)
1 O. lim if;: ~~ ifQ onde n é um inteiro positivo
(Se n for par, supomos que a > 0.)
Com mais generalidade, temos a seguinte lei, que é demonstrada como urna conse-
qüência da Lei n-' lO da Seção 2.5.
(Se n for par, supomos que ~i!!~ f(x) > 0.]
C:X_Ef\/h2 l.!J Z Calcule os limites a seguir justificando cada passagem.
(a) lim (2x 1 -- 3x + 4)
,~s
(b)
x; + 2x: ~ 1
lim -------
7 5- 3x
SOLUÇÃO
(a) lim (2x 2 - 3x +- 4) = lim (2x 7 ) - lim Ox) + lim 4
-·~5 '~5 , ..• < -' ,,
="' 2 lim.:r 2 - 3 limx + lim4
3(5) + 4
(b) Começamos pela Lei J1Q 5, mas seu uso só será completamente justificado na passa-
gem final, quando virmos que os limites do numerador e do denominador existem e o do
denominador não é O.
N~w-o:on i' -:<3 cr.utss
!saac Newton nasceu no dia de Nata!
de 1642, ano da morte de Gahleu
Quando entrou para a Universtdade ele
Carrbridge, em ! 661, Newton n{1o
sabta n10:ta :naternática, ma:; aprenoeu
rapidamente !endo Euciides e
Descartes e assistindo às auias de
!saac Barr:Jvv_ Cambridge esteve
fechada por causa da peste em 1665 e
-1666, quando Newton retornou a sua
casa para refietir sobre o que hav:a
aprendido_ Esses dois anos foram de
incrível produti\ndade. Foi nesse
per!odo que Nevvton tez quatro dentre
suas maiores descobertas: (1) sua
representaç8o de funçües corno somas
de séries infinitas, inclustve o teorema
binomia!; !2) seu trabalho sobre o cá!cuio
integral e d1ferenctal; \3) suas !e1s do
movimento e da gravitaç§o urnversai e
(4) seus expenmentos com pnsrnas
sobre a natureza da luz e da cor
Receando controvérsias e críticas,
Newton relutou quanto a publicar suas
descobertas, e não o fez até 1687,
quando, pressionado pelo astrônomo
Haliey, publicou os Pnncípta
Mathematica_ Nesse trabalho. o ma1or
tratado cientiiico feito até então,
Newton tornou pública sua versão do
cálculo e usou~a para pesqutsar
mecân1ca, dinâmica dos fluidos e
movimentos das ondas, e para expl'icar
o movimento dos planetas e cometas.
Os princípios do cálculo são
encontrados na forma de achar as
áreas e os volumes por eruditos da
Gréc1a antiga, como Eudóxio e
Arquimedes_ Embora os aspectos da
idéia de l:mites estejam implicitos em
seu Método de Exaust3o, Eudóxio e
Arquimedes nunca formularam
explicitamente o conceito de limite. Da
mesmn forma, matemáticos como
Cavalieri, Fermat e Barrow, precursores
imediatos de Newton no
desenvolvimento do cálculo, reairnente
não usaram os limites. Foi isaac
Newton o primeiro a falar
explicitamente sobre eies_ Eie explicou
que a 1déia principal por trás dos limites
é que as quantidades "ficam mais
próximas do que qualquer diferença
dada" Newton estabeleceu que o
limite era o conceito básico no cálculo,
mas fo1 deixado para os matemáticos
posteriores, corno Cauchy, tomar
claras suas idéias sobre os limites
lim
3x
2x~ 1 .l
{5 -- 3x\
lim x' 7 lim x-
lim 5 3 lim x
(- 2í' +
s
I I
2(-2)2 - l
3( ~ 2)
lim l
NOTA Se tomarmos f(x) = 2x~ - 3x + .:J., então f(5) = 39. Em outras palavras.
teríamos obtido a resposta correta no Exemplo 2(a) suhstituimlo 5 em x. Analogamente,
a substituição direta fornece a resposta correta na pane (b). As funções no Exemplo 2
são polinomial e racíonaL rcspectívamcnte, e o uso sin1ilar das Leis do Limite prova que a
substi-tuição díreta sempre é possível para essas fum;ões (veja os Exercícios 53 c 54).
Enunciamos esse fato a seguir.
Dfn:Ha Se f for uma função polinomial ou racional e a
e~tivcr no domínio de f então
lim f(x) ~ f(a)
As funções com essa propriedade de substituição direta, chamadas de contínuas em a.
serão estudadas na Seção 2.5. Entretanto. nem todos os limites podem ser calculados
pela substituição direta, como é mostrado nos exemplos a seguir.
Encontre
x 2 - I
lim -----.
X I
SOLUÇÃO Seja f(x) ~ (x 2 1)/(x - I). Não podemos encontrar o limite substituindo
x = I, pois f( 1) não está definida. Nem poden:1os aplicar a Lei do Quociente porque o
limite do denominador é O. De fato. precisamos fazer inicialmente algumas operações
algébricas. Fatoramos o numerador como uma diferença de quadrados:
x· -· I
x-1
(x - I) (x + I)
X- J
O numerador c o denominador têm um fator comum. x ~ 1. Ao tomarmos o limite
quando x tende a I, temos x # 1 e. assim, .x ~ I #- O. Portanto, podemos cancelar o
fator comum c computar o limite como se segue:
lim
- I
. (x- l)(x+ I) hm --------- --'--'---'-
x~J -'_1 X~ J
lim (x + J)
_,-]
O limite. nesse caso, apareceu na Seção 2.1 quando estávamos tentando encontrar a
tangente à parábola y = no ponto ( 1. l ).
tdíto.ra Thomson
3
...
. I
I
Y = f(x)
-+--+- -+--~
2 3
FIGURA 2
Gráficos das funções f( do
Exemplo 3) c g(do Exemplo 4).
'
NüTA No exemplo 3 fomos capazes de cakulirr u limite ;.,uh~titulndo a dada
(x2- 1)/(x- 1) por outra mais simples. gfx) x + 1. que tem o mesmo llrnite. isso é Yálido -porque
f(x) = g(x), exceto quando x = l. e no cômputo de um limite qw:mdo x tende a J_ nüo considera-
mos o que acontece quando x é exat:unente iguol a I_ Em geraL se j{x) "'-~ g(x) quando x :t a. então
\i:';f(x) cc limg(x)
EXHv1PUJ 4 Encontre l,i_:~ g(x) onde
{' ~ g(x) ~ . 7T sex=1 ~ex oj:- j
SOLUÇÃO Aqui g está definido em x '--~ I e g( I) 7T. mas o valor do limítc quando x tende a 1
não depende dos valores da função em 1. Um<1 vez que g(x) = x + 1 para x -* 1 temos
l}1~; g(x) = 1}!~ (x + 1 j = 2 'p
Observe que os valores das funções nos Exemplos 3 e 4 são idênticos, exceto quando
x = 1 (veja a Figura 2), e assim eles têm o mesmo limite quando x tende a I.
EXEMPLO 5
SOLUÇÃO Se definirmos
(3 + h)' - 9
F( h) = -'--~"-~
h
então. como no Exemplo 3, não podemos computar Iim h-·ü F( h) fazendo h =O, uma vez
que F(O) não está definida. Mas. se simplificannos algebricamente F(h). encontraremos que
(. (9+6h+h
2)-9 6h+h 2
F h)= = = 6 +h
h h
(Lembre-se de que consideramos apenas h r= O quando fazemos h tender a O.) Assim
ll·m (3 + h)
2
- 9 1. ) ,, __ , = ,.'~ ( 6 + h_ ~ 6
h
.. ,/f2 + 9 - 3 Encontre Fr:;; ..:_:__c..__.c._
t'
SOLUÇÃO Não podemos aplicar a Lei do Quociente de imediato, uma vez que o limite
do denominador é O. Aqui as operações algébricas preliminares consistem em
racionalizar o numerador:
Jt2+9 + 3
,/i2 + 9 + 3
3 + 3
Esse cálculo confirma a conjectura que fizemos no Exemplo 2 da Seção 2.2.
I
6
Para alguns limites é melhor calcular primeiro
os limites laterais (à esquerda e à di-
reita). O seguinte teorema é uma lembrança do que descobrimos na Seção 2.2. Dizemos
que o limite bilateral existe se e somente se os limites laterais (à esquerda e à direita) existirem
e forem iguais.
O resultado do Exemplo 7 parece
plausível na Figura 3
FIGURA 3
lxl
y=--= t
FIGURA 4
Está mostrado no Exemplo 3 da
Seção 2.4 que lim_, .,,. --O
X
.Jarnes Stewart CAPfTULO 2
lim L se c somente se lim =L= lim
Quando computamos os limites laterais. usamos o fato de que <ts Leis do Limite sao vá-
lidas também para eles.
EXEMPlO 7 Mostre que lim I x I ~ O.
;--•0
SOLUÇÃO Lembre-se de que
lxl ~ {
X
~x
se x?: O
se_:r<O
Uma vez que I x 15 x para x > O. temos
lim lx I
_, --w
lim x =O
,--•{/
Para x <O, temos I x I 5 ~ x, e assim
lim lxl ~ lim (-x) ~O
t-4 (JT .<-"' (_)
Pmtanto, pelo Teorema 1,
iimlxl ~O
t-~(l
EXEMPLO 8
ixl
Prove que lim - 1- não existe
>-•0 X
SOLUÇÃO X lim X lim lim
'-~w ,-w X
-x
lim -- ~ lim (- I) ~ - I
_,-~o- x <--·o-
Uma vez que os limites laterais à esquerda e à direita são diferentes, segue do Teorema I
que lim <-4 n I x 1/x não existe. O gráfico da função .f(x) = I x 1/x é mostrado na Figura 4 e
sustenta o limite que encontramos.
EXEMPLO 9 Se
() {~ f X ~ 8- 2x
determine selim, .. ~ f(x) existe.
se x > 4
se x < 4
SOLUÇÃO Uma vez que f(x) ~ ~para x > 4. temos
lim J(x) ~ lim ~ ~ y4 - 4 ~O
_,-4 ,---·4·
Uma vez que J(x) ~ 8 - 2x para x < 4, temos
lim f(x) ~ lim (8 - 2x) ~ 8 - 2 · 4 ~ O
,~~J "-·--4-
YA
o
FiGURA 5
Outras notaçóes para ~.\TI são[_.,] e lxJ.
2 3 ~ 5 X
Função maior Jnt<:iro
h
q
()
FI GURI'. 7
lim O
O gráüco de f está mo;.;trado na Figura 5.
EXEMPlO Hí A função maior inteiro é definida por ~~o. o maior inteiro, que é
menor que ou igual a x. (Por exemplo, [4ll ~ 4.[4.81 co 4. [ 1rj 3, [ j ~ I.
[-in= --I.) Mostre que lim, fi.x] não existe.
SOLUÇAO O gráfko da função maior inteiro estú mostrado na Figura 6. Uma vez que
ITxE = 3 para 3 ~ x <: 4, temos
lim [.r] = lim 3 .-.~ 3
.. ,.,,
Uma vez que [xfl -=:c 2 para 2 "',: x < 3, temos
lim[xTI
X ·•'
lim 2 = 2
, .. ;
Como esses limites latcraís não são iguais, lim .. -·:< !íxfl não existe pelo Teorema 1.
Os próximos dois teoremas dão duas propriedades adicionais de limites. Suas provas
podem ser encontradas no i\pêndice F.
Teon;;ma Se f(x) :ó.:; g(x) quando x está próximo de a (excdo possivelmente
em a) c os limítes de f c g existem quando x tende a a, então
Temerr:a dn Co~fn:n;tv Se f(:r) s q(x) s h(x) quando x est<.Í próximo de o
(exceto possivelmente em a) e
lim f(x) ~ lim h(x) ~ L
então
O Teorema do Confronto. algumas vezes chamado Teorema do Sanduíche ou 'Teorema
da Espremedura, est<.Í ilustrado na Figura 7. Ele diz que se ytr) ficar espremido entre .fC"r)
c h(x) nas proximidades de a. e se f e h tiverem o mesmo limite L em a, então g será
forçado a ter o mesmo limite L em (1.
FIGURA 8
Exercícios
1. Dado que
l,i";f(x) ~ ~3 ~i':; g(x) ~O
J.çmes Stewart
·, l Mostre que lim J_-~ :;.en -~ ~_:::c; O.
SOLUÇÃO Note primeiro que mlo podemos us<tr
I. , I Jmx-sen- =
·i! X
CAPÍTULO 2
porque Jim,_ 11 scn(l/-t) não existe (vt'ja o Exemplo 4 da Seção 2.2). Pofêm, como
- l l ~ scn- ~-
x
vamos ter. conforme está ilustrado na Figura 8,
Sabemos que
l
sen- ~ x-
x
y =--x-e
-·-X
!imx2 =O , __ () e lim(~x') ~O
x--•0
Tomando-se no Teorema de Contfonto f(x) ~ ~x2 , g(x) ~ x' sen (1 / x). e h(x) ~ x 2
obtém-se
' l Jim x~scn- = O
o(' X
(c) 11m (Ít(x)
lim h(x) = 8
. I (d) hm -~
' '' f(x)
cncon!re. se existir, o limite. Caso não exista. explique por quê.
I
. f(x) (e) 1m---
hLr) I
. g(x) (f) 1m~~
' '' f(x)
(a) :i_l!,; [f(x) + h(x)J (b) !in; [f(x)]' f(x) (g) lim g(x)
. 2f(x) (h) h m -;-c__c_~:;--;
_,., h(x) f(x)
. . . .
de f e g s}io dadoS. Use.-"os para calcular cada
Caso não. exista n limltc, explique por quê.
(ai lim [ /lx) + q(xlj
X •7 • •
(c) lim [f(x)ylx)]
·' -~ü
( d) I" }Ü) Jm--
·--·--1 g(x)
X
3-9 Calcule os limites justíllcando cada passagem pdas Leis do
Limite que forem usadas.
3. }~r:_J2 ( 3x4 + 2x2 - x + 1)
5. !in;( x' - 4)( x' + 5x- 2)
~ )'
9.
'•--4
4. lim -· 2x: + 1
, __ , 2 x~+óx-4
10. (a) O que há de errado com a equação a seguir·:
x 2 + x- 6
:r+ )
x~2
(b) Em vista de (a), explique por que a equação
lim{x+3)
X- 2 _,-2
está correta.
Calcule o limite. se existir.
11. lim
• \"2 +x-6 12. lim
X~ + Sx+4
-~---
'
~2 X+ 2 ,~
'
X ' + 3x-4
X ' -x+6
- 4x u lim 14, lim x· ------
------
l--•2 x-2 , ... <) x-e
- 3x- 4
t'
-9 x- 4x
15. lim ------~ 16. lím -------~----2t' + 7r + 3 ~ -•. I X~ - 3x- 4
(4+!J)' -_!(> ' -I X
17. lim h 18. lim o -I ;, -•0 _, ... , X
+ -I {~~h)' -R
19. lim h 20. lim h h -•0 h-•0
9- I +h -I
21. lim 3- .fi 22. !im 1--9 h--{) h
. -· j 6
+ 2-3
23. lim 24.
25.
x-7
+
lim 4 .. :;
4+x
. ! l 1
26. lnn [---' I
' •\J • l f: + l /
27. Jim ::r~ -81
31. (a) Estime o \'<:dor de
lim· ~~~'~
v 1 + 3.t-
fazendo o grútlco da função J(.x) = x/( v_,.IT 3x - 1).
(b) fa\-·a uma tabela dos valores de j(x) para x próximo de O e
conjecture qual será o valor do limite.
(c) Use as Leis do Limite para mostrar que sua conjectura está
correta.
32. (a) Use o grMico de
f(x)
X
para estimar o valor de limx-n f(x) com duas casas
decimais.
(b) Utilize uma tabela de v3}ores def(x) para estimar o limite
com quatro casas decimais.
(c) Use as Leis do Limite para encontrar o Yalor exato do
limite.
33. Use o Teorema do Confronto para mostrar que
lim , __ •0 x 2 cos 201Tx = O. Ilustre fazendo os gráficos na mesma
tela das funções.fix) = -x2 , g(x) = x2 cos 2 7rX e h(x) = .:t--2.
34. Empregue o Teorema do Confronto para mostrar que
~-- " lim -v'.t 3 + x 2 sen ~ = O
,--•'-' X
Ilustre fazendo na mesma tela os gráficos de f. q e h (como no
Teorema do Confronto).
35. Se 1 .:::; f(x) ~ x 2 + 2x + 2 para todo x. encontre lim ,.4_; f(x) .
36. Se 3x.:::; f(x).:::; x-' + 2 para O.:::; x :s:: 2. encontre lim, ... 1 f(x).
" ' 2 37. Prove que hm x cos- = O.
x-•0 X
38. Prove que lim '\-/;e '0"'"/<~ =O.
, ... w
39--44 Encontre. quando existir. o limite. Caso não exista.
explique por quê.
lim jx + 4j
.<·•-4
39. 40. lim /x + 4J
.:r+ 4
2x 2 - 3x
42, lim--~ x~J.~ j2x - 31
44.
xj
45. A jimçiio sina i. denotada por sg:n. está dellnida por
{
-l sex<O
sgn x = O se x ·.= O
1 sex>O
(a) Esboce o gráfico dessa função.
(b) Encontre ou explique por que não existe cada um dos
limites que se seguem.
(Í) lim sgn J.- (ii) lim sgnx
.(, ~ ,--{\
(iii) lim sg:n x
,,,,,
(iv) lim I sgn x i
x- •(J '-' '
46. Seja
f(x) f4 -x' lx -1
sex< 2
se x>2
(a) Encontre lím, ~r fíx) c lim.--r f(x).
(h) Existe lim, .. 2 f(x)"?
(c) Esboce o grátlco de f.
x 2 -- I
47. Seja F(x) ~ ~~- . lx ~li
(a) Encontre
(i) li~ F(x) (ii) lim F(x)
,-4! _,~~~-
th) Existe lim, __ 1 F(x)?
(c) Esboce o gráfico de F.
48. Seja
h(x) ~ {:.'
8-x
se x <O
seO<x~2
se x > 2
(a) Calcule. se existirem. os limites.
(i) lim h(x) (ii) lím h(x)
,-(l+ ~-o
(iv) lim h(x) (v) lim h(x)
,, •2'
(b) Esboce o gráfico de h.
(iii) l,it!/ h(x)
(vi) 1,~~ h(x)
49. (a) Se o símbolo [ ll denota a função maior inteiro do
Exemplo lO. calcule
(i) lrm fixll (ii) lim lxll (iii) lirn [xll
_c-> __ ()+ , X •~2 X-> <:'_4
(b) Se n for um inteiro, calcule
(i) lrm H
'.-;-n"
(ii) lim !xl
r-n-
(c) Para quais valores de a existe lim, __ .,, ffxll?
50. Seja f(x) ~ x ~
lxJ.
(a) Esboce o gráfico de f.
(h) Se n for um inteiro, calcule
(i) lim/(x)
(c) Para quais valores de a existe lim,..,, f(x)?
2
5l S""f'i_l,·) n'lo:;trc que li
é igual ~:.!'!2:1.
52 . .:\a Tu1ria da Relatividade. a Fórmula d<.J Contração Lk Lorcm;
L"-" L\
expressa o comprimento L de um objeto como uma função de
sua velocidade v em relação a um observador, onde Li é o
comprimento do objeto no repou~o e c é a velocidade da luz.
Encontre lim ,~, L c interprete o re':>ultado. Por que é
necessário o limite à esquerda?
53. Se p for um polinômio. mostre que liin, . , p{x) = p(a)_
54. Se r for uma função racionaL use o Exercício 53 para mostrar
que lirn , .. " dx) "'"' r( a) para todo número a no domínio de r.
55. Se
{
x' flx) ~
. . o
prove que lim ,_.0 f(x) = O.
se x é racional
se x é irracional
56. Mostre por meio de um exemplo que lim_,-·a [f(x) + y(x)]
pode existir mesmo que nem lim_,->af(x) nem lím -,, y\x)
existam.
57. Mostre por meio de um exemplo que lim,-~" [f(x)y(x)] pode
existir mesmo que nem lim, -· .. f(x) nem lim ,-~,, y\x) existam.
58. Calcule lim .::-.;~~~·-"-
,<--•2
59. Existe um número a tal que
3x 2 + ax +a+ 3 lim .::::~:_:::::.,.:....:c:_:_::._
r--•-2 +X- 2
exista? Caso afirmativo. encontre a e o valor do limite.
60. A figura mostra um círculo fixo C1 com equação (x 1 Y + y
e um círculo C> a ser encolhido, com raio r e centro na
origem. Pé o ponto (0, r). Q é o ponto de interseção superior
dos dois círculos, e R é o ponto de interseção da reta PQ com
eixo x. O que acontecerá com R quando C~ encolher, isto é.
quando r._.___., o~?
c;
R X
É tradicional usar-se a letra grega O
(delta) nessa situação
Precisa de Limite
A definição intuitiva de limite dada na Seção 2.2 é inadequada para algml'. propô:; i tos. po1s
as frases como "x está próximo de ::z-· e ':f(r) aproxima-se cada yez mais Jc L" só.o Yag:as.
Para sermos capazes de pro-var conclu~ivamentc que
(
. c os 5x) lim x· + ~~- ~ 0.()()01
• ·• 10.000
ou
scn .r lim ------ = 1
_, <J X
devemos dar a definição precisa de limite.
Para motivar a definição precisa de limite. vamos considerar a fum;ão
{
2x ·- I f(x) ~
6
se x 7: 3
scx = 3
Isso é intuitivamente claro quando x está próximo de 3, mas x oi- 3. cntãofLY) está próxi-
mo de 5, e sendo assim, lim, ~,f(x) = 5.
Para obter informa~·õcs mais detalhadas sobre como f(x) varia quando x está próximo
de 3, fazemos a seguinte pergunta:
Quão próximo de 3 deverá estar J: para que f(x) difira de 5 por menos que CU?
A distância de x a 3 é I x - 31, e a distância de f(x) a 5 é I /(.r)- 51. logo. nosso
problema é achar um número O tal que
I f(x) -- Si < OJ se I J: - 3 I < O mas x =F- _..,
Se I x 31 >O. então x 7: 3. portanto, uma formulação equivalente de nosso problema
é achar um número O tal que
I f(x) Si< 0,1 se O<lx 31<8
Note que se O< I x - 31 < (OJ)/2 = 0,05, então
I f(x) - s I = I (2x I) - Si = l2x- 61 = 21 x ~- 3! < 0.1
isto é. I f(xl - 5 I < 0.1 se o < I X - 3 I < 0.()5
Assím, uma resposta para o problema é dada por ô = 0,05; isto é. se x estiver a uma dis~
t:lncia de no máximo 0,05 de 3, cntão.J\x) estará a uma distância de no máximo O,l de 5.
Se mudarmos o número 0,1 em nosso problema para o número menor 0.01, então
usando o mesmo método achamos quej\x) diferirá de 5 por menos que ODl. desde que x
difira de 3 por menos que (0,01)/2 = 0,005:
! f(x) - 51 < 0.01 se o < I X ·- 3 I < 0,005
Analogamente,
I f(x) - 51 < 0,001 se () < I X - 3 I < o .0005
Os números 0,1, 0.01 e 0,001, anteriormente considerados, são chamados erros de tole~
rância (ou simplesmente tolerância) que podemos admitir. Para que o número 5 seja prc~
cisamente o limite de f(x), quando x tende a 3. devemos não apenas ser capazes de tornar
a diferença entre f(x) c o 5 menor que cada um desses três números; devemos ser capazes
de tomar a diferença menor que qualquer número positivo. E, por analogia ao procedi-
mento adotado, nós podemos! Se chamarmos c (a letra grega épsilon) a um número posi-
tivo arbitrário. então encontramos, como anteriormente, que
.fp:)
está
aqui
FiGUR.l\ 1
\"A
()
,-----
.1 ·-o 3+0
quando x está aqui
(X of.· 3)
James Stewart
5: ·< 1:-: ü / :x E 3i<8~-::::
2
Esta é urna maneira precisa de diz"'T quef(x) est~í próximo de 5 quando x está pn:i\illw de
3. pois (J! diz que podemos fa;rer os valores de fLr) dentro de uma distúncia arbitrária E
de 5 tomando os \'alores de x dentro de uma diqfmcia de 3 (mas x =F 3).
Note que ( 1) pode ser reescrito como
5 " < f(x) < 5 + to sempre que 3~b<x<3+ô
c isso está ilustrado na Figura l. Tomando os valores de x ( ± 3) para dentro do inft:rvalo
(3- b. 3 + 0), podemos ohter os valores def(x) dentro do intervalo (5 -~ B, 5 + !';).
Usando (1) como um modelo. vamos dar uma deünit.;'ão precisa de limite.
Seja fuma função definida sobre algum intervalo aberto que contéJn
o número a, exceto possívelmente no próprio a. Então Jizcmos que o limite de
j(x) quando x tende a a é L. c escrevemos
~nn, j(x) ~ L
se para todo número E > O há um número correspondente O > O tal que
lf(x)- LI< c sempre que () < I X ai< o
Outra maneira de escrever a última linha dessa dcllnição é
se O<lx-al<li então lf(x)- LI<"
Uma vez que I x ~ a I é a distância de x a a e I .f(x) - L I é a distância dej\x) a L, e come
E pode ser arbitrariamente pequeno, a definição de um limite pode ser expressa err
palavras da seguinte forma:
lim, ... " .f(x) o·- L significa que a distáncia entre .f(x) c L pode ser arhitrariamentc pequem
tomando~sc a distância de x a a suficientemente pçquena (mas não 0).
Alternativamente.
lim, .,, f{x) =L significa que os va\orc:c: dcfCr) podem ser tornados tão próximos de L quantc
desejarmos tomando-se x suficientemente próximo de a (mas não igual a a).
Podemos também reformular a Deflnição 2 em termos de intervalos observando que ~
desigualdade I x a! < O é equivalente a -· ô < x ~ a < l.i. que pode ser escrita come
a .. - b < x <a+ O. Também O< jx ~ aj é válida se c somente se x ~a ::f:: O. isto é
x ?'..~_c; a. Analogamente, a desigualdade lf(x) LI< B é equivalente ao par de desigual
dades L - e< f(x) <L + E. Portanto. em termos de intervalos, a Dcflnição 2 pode se1
enuncíada corno a seguir:
lim, ,, ffx) = L significa que para todo t: > O (não importa quão pequeno for t:) podemo~ acha·
8 >O tal que. se x cstiwr no intervalo aberto (a - O, a + O) ex oF a. entàof(x) estará no inter·
valoabcrto(L ~e. L+ e).
- ~----
a
FIGURA 4
Editora Thomson
FIGURA 2
FIGURA 3
Vamo:; íntcrprct;_:r ~comclricamcmc c-;:;a
grama de flecha~. cnmo na :?:. ondcflc\T um
junlü de ~q_
f
---· j(o) /fx)
A de11n!ção de !imíte afirma que, se for dado qualquer intervalo pequ~:no (L -~ E. L +- B)
em torno de L. então podemos achar um intcrYalo {a - 8. a + O) em torno de a tal que f
leva todos os pontos de <a 8. a -+- m (exceto possivelmente em a) para dentro do íntCr-
valo (L -- (-;.L + E). (Veja a Figura 3.)
r
X (lx)
-----------~
L-r L L+F
Outra interpretação geométrica de limite pode ser dada em termos do gráfico de uma
função. Se for dado c. >O. então traçamos as retas horizontais y ~;c_: L + r: e .r= L- ~:;e
o gráfico de f (veja a Figura 4). Se lim, ._, f(_x) =L. então podemos achar um número
8 > O tal que. se limitarmos x ao intervalo (a - 8, a + ()) e tomannos x =F a, a curva
y = /Lt) ficad entre as retas y =L E c y =L --f-- E (veja a Figura 5). Você pode ver que
se 8 tiver sido encontrado. então qualquer O menor também funcionará.
É importante compreender que o processo ilustrado nas Figuras 4 e 5 deve funcionar
para todo número positivo F: independentemente de quão pequeno ele seja. A Figura ó
mostra que se um t; me-nor for escolhido. então
será necessário um S menor.
(lx)
está
aqui
' t
úi•L,,,,J ,,,,, ..... ------·······
!
a--;) a+&
quando x está aqui
(X of a)
FIGURA 5
>
'
()
a-h
FIGURA 6
a
o+&
EXEMPlO 1 Use um gráfico para achar um número S tal que
Í (x'- 5x+6) 21 < 0,2 sempre que [x - !f< o
Em outras palavras, encontre um número O que concsponda a E = 0.2 na ddlnição de limi-
te de uma função j(x) = .-r-'·- S.x + 6 com a = J c L = 2.
-3
FIGURA 7
2.3
0.8
1.7
"\" = 1,8
FIGURA 8
l5
y=x·-5x+6
IL
!.2
James Stewart
SOLUÇÃO tim gráf]co de f é mo~trado na Figura 7. e estamos interessados na rcgiilo
do ponto (i. 2). ;\otc que podemos rcc:;.crevcr a desigualdade
- Sx + 6) 2/ < 0.2
como l ,8 < :c' - 5.r + 6 < 22
Assim. precisamos determinar os valores de x para os quais a curva y = x' _ Sx + 6 está
entre as retas horizontais y = 1.8 e y = 2.2. Portanto. vamos fazer o gráfico das curvas
y = x·;- 5.r + 6. )":::::: 1,8 e y = 2,2 próximo do ponto (I. 2) na Figura 8. Então usamos o
cursor para estímar que a coordenada x do ponto de interseção da reta y = 2,2 com a
curva y := x'- Sx + 6 está em torno Je 0.911. Analogamente,)' = x·'- Sx + 6 intersecta a
reta Y = I ,8 quando x:::::: 1.124. Logo, arredondando-se. por segurança. podemos afirmar
que
1 ,8 < x; ·-- Sx + 6 < 22 sempre que 0.92<x< 1,12
Esse intervalo (0.92. I J 2) não é simétrico em torno de x = 1. A distância de x = 1 até o
ponto extremo à esquerda é I -0,92 = 0,08. e a distância até o ponto do extremo direito
é 0.12. Podemos escolher 8 como o menor desses números, isto é, 8 = 0.08. Então
podemos reescrever nossas desigualdades em termos de distâncias da seguinte forma:
/ (x' - Sx + 6) - 2/ < 0.2 sempre que /x- I/< 0,08
Isso somente nos diz que. mantendo x dentro de uma distância de 0.08 de l, somos capazes
de obter f(x) dentro de uma distância de. 0,2 de 2.
Embora tenhamos escolhido O = 0.08. qualquer valor menor positivo de 8 poderia também
ter funcionado.
O procedimento gráfico do Exemplo 1 dá uma ilustração da definição para c = 0.2, mas
não prova que o limite é igual a 2. Uma prova deve fornecer um O para cada c.
Ao provar as questões sobre os limites, pode ser proveitoso imaginar a definição de li-
mite como um desafio. Primeiro ele o desafia com um número e. Então você deve ser
capaz de obter um 8 adequado. Você deve ser capaz de fazer isso para todo E: > O. e não
somente para um particular valor de e.
Imagine uma competição entre duas pessoas, A e B, e suponha que você seja B. A pes-
soa A estipula que o número fixo L deverá ser aproximado por valores de f(x) dentro de
um grau de precisão e (digamos 0,01). O indivíduo B então responde encontrando um
número o tal que/ f(x) - L I < e sempre que O < / x - a/ < à. Nesse caso, A pode tornar-
se mais exigente c desafiar B com um valor menor de E (digamos, 0,0001). Novamente. B
deve responder encontrando um O correspondente. Em geral. quanto menor for o valor de
E, menor será o correspondente valor de· O. Se B vencer sempre, não importando quão
menor A faça e, então lim, ,,J(x) =L.
EXEMPlO 2 Prove que lim (4x- S) = 7.
x··•l
SOLUÇÃO
1. Uma análise preliminar do problema (conjecturando um valor para ô). Seja E um
número positivo dado. Devemos achar um número O tal que
/ (4x- 5) - 7/ < e sempre que 0</x-3/<8
Mas/ (4x- 5)- 71 = /4x- 121 = /4(x- 3) / ~ 4lx- 31. Portanto, queremos
4/x 3/ <e sempre que O<ix-3/<8
7 + B
7
7-E:
FIGURA 9
3+0
>
'
isto é, !x E 3! <
4
3 <."_ 8
Isso sugere que poderíamos escolher b ""-""'
2. Prova (mostrando que a c.vcolha de 0 funciona). Dado 1; --,O, escolha B c_·cc ~-+.
Se O <~ I x - 3j < b. então
[(4x~·))~·7j
Assim
i (4< ~ 51 7j <E sempre que O • ix 3! < ó
Portanto. pela deflnição de limite,
lim (4x 5) ~ 7
Este exemplo está ilustrado na Figura 9.
Observe que na solução do Exemplo 2 havia dois estágios- conjecturando c provando.
Fizemos uma análise preliminar que nos capacitou conjecturar um valor para 8. Então em
um segundo estágio tivemos de voltar e provar cuidadosamente de forma lógica que fize~
mos uma conjectura correta. Esse procedimento é típico da hoa parte da matemática. Por
vezes é necessário primeiro Ützer uma conjectura inteligente sobre a resposta de um pro-
blema e então provar que a conjectura é correta.
As definições intuitivas de limites laterais dadas na Seção 22 podem ser rcformu!adas
precisamente da seguinte forma.
hm f(x) ~L
se para todo E > O houver um número correspondente 8 > O tal que
I /h) .. L I < E sempre que a 8<x<a
lim f(x) ~L
se para todo f: > O houver um número correspondente i) :> O tal 4ue
[Jfx) LI< E sempre que a·<.:r<~a+8
Note que a Ddinição 3 é igual à Deflnjção 2, exceto que x está restrito a ficar na metade
esquerda (a -· 8. a) do intervalo (a -- 8, a + FJ). Na Definição -1-, x está restrito a ficar na
metade direita (a. a + 8) do intervalo (a -- 8, a + 8).
EXEMPLO 3 Use a Definição 4 para provar que lim x = O.
'-·O"
Após a invençao do cáiculo, no século
XVII. seguiu-se um período de livre
desenvolvimento do assunto, no
século XVIII. Matemáticos corno os
irrnaos Bernoulli e Euler estavam
ansiosos por explorar o poder do
cálculo, e expioraram audaciosamente
as conseqliências dessa encantadora e
nova teoria matemática sem grandes
preoc'-lpações com a veracidade e
correção de suas provas
O século XIK ao contrário, foi a
tpoca do Rigor na matemática_ Houve
um mov1mento de volta aos
fundamentos do assunto~ para
fornecer definições cuidadosas e provas
rigorosas_ Na linha de frente desse
movimento estava o matemático
francês Augustin-Louis Cauchy (1789-
1857), que começou como engenheiro
militar antes de se tornar professor de
matemática em Paris. Cauchy pegou a
idéia de limite de Newton, mantida
viva no sécuio XVIII pelo matemático
francês Jean d'Aiembert, e tornou~a
mais precisa. Sua definiçao de iimíte
tem a seguinte forma: "Quando os
valores sucessivos atribu!dos a uma
variável aproximam-se indefinidamente
de um valor fixo de forma que no fina!
diferem dele por tão pouco quanto se
queira, esse último é chamado limite de
todos os outros". Mas quando Cauchy
usava essa definição em exemplos e
provas. ele freqUentemente empregava
as desigualdades delta-épsilon
similares às desta seção_ Uma
demonstração típica de Cauchy começa
com: ·'Designando por O e c dois
números muito pequenos Ele usou
c em virtude de uma correspondência
entre épsilon e a palavra francesa
erreur_ Mais tarde o matemático
alemão Kari Weierstrass O 815~ 1897)
estabeleceu a definição de limite
exatamente como nossa Definição 2.
Jarnes Stewan: 119
SOLUÇÃO
1, Conjecturando um wfor paru ti Seja E un1 número positivo dado. ;\LJUÍ u =:O c- r=: 0:
logo, queremos achar um número t) tal que
X - Oj <: E sempre que o < _<: D
isto é. X < E sempre que () <: X < D
ou, elevando ao quadrado ambos os lados da desigualdade x < L obtemos
X< f:~ sempre que O<x<8
Isso sugere que deYcmos escolher r) "~- E~.
2. A1oslrando que esse SJirncimw. Dado E:> O. seja<'> -::.-o; r Se O< .-r< B. então
logo 10-0/<c
Conseqüentemente, peJa Definição 4. isso mostra que Jim ,.-. 1~' \.iX =O.
Prove que lim x" = 9.
,_,,
SOLUÇÃO
1. Conjecturando um valor para S. Dado 1:: >O. Temos de achar um número 8 >O
tal que
lx'-91<" sempre que 0</x-3/<8
Para conectar j x 2 - 91 com j x 3 escrevemos I x 2 9/ ~ /(x + 3)(x- 3)/.Nesse
caso, queremos
/x + 3//x 3/ <e sempre que 0</x-3/<8
Note que se pudermos achar uma constante positiva C tal que I x + 3 I < C, então
/x+3jlx-3/<ejx 3/
e podemos fazer cj x ·~ 3/ < e tomando I x 3/ < E/C~ 8.
Podemos achar esse número C se restringirmos .:r a algum intervalo centrado em 3. De
fato, uma vez
que estamos interessados apenas em valores de x que estão próximos de 3,
é razoável supor que x está dentro de uma distância I de 3, isto é.l x 3j < 1. Então
2 < x < 4, logo 5 < x + 3 < 7. Assim, temos I x + 31 < 7: logo, C= 7 é uma escolha
conveniente para a constante.
Mas agora há duas restrições sobre !.r - 3j, isto é
3j <I e
Para ter certeza de que ambas as desigualdades estão satisfeitas, tomemos O como o
menor dos dois números I c s/7. i\ notação para isso é t) = min { l, .s/7}.
2. Afostrando que esse {j funciona. Dado s > O. seja O min { 1 . E/7}. Se
O < I x - 3j < O, então I x 31 < 1 -=> 2 < x < 4 -=> I x + 31 < 7 (como na parte 1).
Ternos também I x -~ 31 < f;/7, logo
" I x' - 9 i ~ I x + 3// x ~~ 3/ < 7 · ~ ~ >:
7
Isso mostra que Iim, .~, x 2 = 9.
Desigualdade triangular:
la+bls:!af+lbl
(Veja o t'\pêndice /l.,_)
·o Exemplo 4 mo;;.tra que nem sempre é f:ícll pn)'.:ar que s::ín Ycniadeira~ d:; mT,n,,,;
r,;õeS com limite usando a dchnir,;ão de;-;, ó. De fato, se nos fos:,c dada uma função mais
complicada. comof(x) = (ftr' -- Kr + 9)/(2x·'- 1). isso iria requerer uma grande dose de
cngenhosidade. Felizmente isso é desnecessário, pois as Leis do Limite dadas na Ser,;fto 23
podem ser provadas usando-se a Dclinição 2, c então os limites das funções complica-
das podem ser encontrados rigorosamente a partir das Leis do Limite sem recorrer direta-
mente à definição.
Por exemplo, provamos a Lei da Soma: Se lim, '" f(x) = L c !im" _,,, g(x) "= }.1 exis~
tem. então
Jur,; [f!x) + y(x)] ~ L + M
As leis restantes estão provadas nos exercícios e no Apêndice F
Peove ds lei da SmnB Dado<:~ > O. Devemos encontrar um 8 >O tal que
I f(x) + y(x) - (L + M) I < e sempre que O<lx-al<o
Usando a desigualdade triangular podemos escrever
I f(x) + y(x) - (L + M) i ~ I (f(x) - L) + (g(x) - M) I
"'lf(x) LI+ ly!x)- Ml
Podemos fazer lf(x) + g(x) - (L + Af) I menor que e tomando cada um dos termos
lf(x) - L I c I g(x) - /141 menor que t:/2.
Uma vez que c/2 > O c lim , -·" f(x) = L. existe um número 81 > O tal que
I ( . ' E f x)- Li< 2 sempre que O<lx··al<o,
Analogamente, uma vez que lim , __ ," g(x) = i\1, existe um número b2 >O tal que
F
ly!x)- Ml < ~ sempre que O<lx-al<b,
Seja 8 ~ min{o,. 82 ). Note que
se O< !x-a I< o então O< lx a I< 8, e O< lx-a I< Oz
logo
e I f(x) - L I < 2 e F ly(x)- Ml <i
Conseqüentemente, por (5).
lf(x) + y(x)- (L+ M)l"' lf(x) ·· LI+ l9!x) ·· Ml
e e
<~+~=;--;
2 2
Resumindo,
I f(x) + g(x) - (L + I>!) I < E sempre que O<lx-al<li
Assim, pela definição de limite,
lim [f(x) + g(x)] ~ L + M
FIGURA. 10
James Stewart CAPÍTULO 2
Limites Infinitos
Os limites inf-initos podem também ser definidos de uma maneira precisa. A seguir apn::-
senta-sc uma versão precisa da Definição 4 da Se<.;-ão 2.2.
5 Seja fuma função definida em algum intcn:~do ahcrto que contenha
o número a. exceto possivelmente no próprio (L Então
lim f(x) = x
significa que para todo número positivo M hà um número pf)sitivo correspondente
h tal que
f(x) > M sempre que
Isso diz que o valor dcf(x) pode ser arbitrariamente grande (maior que qualquer número
dado jtf) tomando-se x suficientemente próximo de a (dentro de urna distância 8. onde O
depende de M, mas com x 1= a). Uma ilustração geométrica está na Figura 10.
Dada qualquer reta horizontal y = i\1, podemos achar um número O> O tal que, se
restringirmos x a ficar no intervalo (a - 8, a + 0), mas x ::f:: a, então a curva .v = .f(x)
ficará acima da reta y = !VI. Você pode ver que se um 11..1 muito grande for escolhido, então
um 8 muito pequeno poderá ser necessário.
EXEMPLO 5 Use a Definição 6 para provar que lim = :f).
,--o
SOLUÇÃO
1. Conjecturando sobre um valor para ô. Dado M >O, queremos achar um O> O tal
que
isto é,
ou
1
---c: > M
X~
' 1 XL<~
M
I ·I I IX<~
, ,;M
sempre que O<lx-01<8
sempre que O<lxl<o
sempre que O<lxi<o
Isso sugere que devemos tomar 8 = 1/ -.JM.
2. l11ostrando que esse O funciona. Se Af >O for dado, seja O= 1//M. Se
O < I x ~ O I < 8, então
Assim >M
Portanto, pela Definição 6
I x I < 8 = x 2 < 82
I I
= ->-=i\4
x 2 f/
sempre que
. 1 hm-,., =~..r:
r---u x-
O<jx-Oj<o
ErlHora Thomson
Analogamente, a seguir é apresentada urna versão pn::cisa da Definição 5 Ja
-ilustrada pc1a Figura 11 .
Seja fuma função dcflnida em um intervalo aberto que contenha o
número a, exceto possíve!mentc no próprio a. Então
lirn f(x) ~ - x
FIGURA 11
signilka que para todo número negativo N há um número positivo correspondente
o tal que
Exercícios
1. Quão próximo de 2 dcYcmos tomar x para que Sx + 3 esteja a
uma distância de 13 mt:nor que (a) OJ e (b) O .OI?
2. Quão próximo de 5 devemos tomar x para que 6x- l esteja a
uma distância de 29 menor que (a) 0,01. (b) 0.001 e (c)
O.OOOP
3. Use o gráflco dado def(x):;;; 1/x pam encontrar um número ó
tJ.l que
- 0.5 < 0.2
X
sempre que ix--2[<8
X
0.7
05
··-~-----)o-
lU 2 10 X
4. Use o gr{!fico dado de f para encontrar um número 8 tal que
lf(x) 3[ 0.6 sempre que O < I x - 5! < r5
3.6
3
'.•
.c./+
-:J-- ---- ··-----····---~- +--. --
0 4 5 5.7
f(x) < N sempre que O< ix ai< o
5. Use o gráfico dado de f(x) = ,'X para encontrar um número O
tal que
I /X - 21 < 0.4 sempre que ! x - 41 < O
" • !
2~L ___ _
1.6
y CO--- -/_'(
4 X
6. Use o gráfico dado dcfCr) = x: para encontrar um número 8 tal que
I x 2 1 I < ~ Si?mpre que I x · 1 I -< ó
,.
1.5
7. Use um gráfico para encontrar um número 8 tal que
I ,/4x + I - 31 < 0,5 sempre que I x -- 2) < 8
8. Use um gráJico para encontrar um número O tal que
I
lsenx- i!<O,l sempre que x- :1 < r5
9. Para o lirníte
lím (4-+- x
.t~i
ilustn.~ a UdiniçJo encontrando O'> v:dorcs Ue ô que cor
ncspondam a r: '---=- l e r = Wl .
111 Para o limite
ex- 1
Jím~~~=
,~11 X
ilustn~ a dcfini~·ão encontrando os valores de fi que cor-
respondam a r: = Oj e f = O,l.
11. Use p gráfko para encontrar um númern 8 tal que
' -,~--~-~--~ >· I 00 sempre que O < I x -- l I <_ fi
h::'+IJ(x 1):
12. Para o limite
ilustre a ddinição encontrando os valores de 8 que cor-
respondam a (a) lv! = !00 e (b) Af ""- l .000.
13. Um torneiro mecânico é nece:;:sário para fabricar um
disco de metal circular com área de 1.000 cm1.
(a) Qual o raio do disco produzido?
(h) Se fof permitido ao torneiro uma tolerância de erro
de ±5 em" na área do disco. quão próximo do raío
ideal da parte (a) o torneiro precisa controlar o raio?
(c) Em termos da detlnição de r:. 3 de lim""'""fC:r) =L
o que é x? O que é f(x)? O que é a? O que é L? Qual
o valor de r: dado'? Qual o valor correspondente de 3?
14. Uma fornalha para a produção de cristais é usada em
uma pesquisa para determinar a melhor maneira de
manufaturar os cristais utilizados em componentes
eletrônicos para os n~ículos espaciais. Para a produção
perfeita do cristal, a temper:.~tura deve ser controlada
precisamente, ajustando-se à entrada da potência.
Suponha que a relação seja dada por
T(w) = O.lw 2 + 2.155w + 20
onde T é a temperatura em graus Celsíus e H', a potência
de entrada em \Vatts.
(a) Qual a potência necessária p<m.l m<mter a temperatura a
200 °C?
(b) Se for permitida uma variação de .2:: I GC a partir dos
200 oc. qual será a imagem da potência permitida
para a entrada'?
(c) Em termos da deünição c, O de limx4-" f(x) =L, o
que é x'? O que éf(x)'? O que é a? O que é L? Qual o
valor de t: dado? Qual o valor correspondente de 3?
Prove cada proposição usando a definição e, fi de
limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9.
15. lim
X-">J
(2x+3)~5 16. lim ( j_ X +)) ;7-
,..,. ___ 2, 2 ~ • 2
11, lim (1-4x)~13
18. lim (7-3x)~-5
-' ____,_ -~ ,.,..j
'i:::--32 Prove cada proposição usando a definição e. O de límite.
Jamas Stewart CAPÍTULO 2
3 ( _"[ \ (j 19. lim- ·- ,_ 20. + 3 ,~_1.::; 5 4
'
lim (4 :h x- ~ ' 12 21. 22. lim ----------\---5 5
->'
'
~ 3
23. lim X ~ u 24. lim c - c
25. !imx 2 -- o 26. limx 3 - o
,__,(! , ... ('
27. lim lxl - o 28. lim X - ()
,__,.n
_, ... ,}"-
29. lim '--L r + 5) 30. lim lx' ~ X ~ 4) ~ 8
,___,;
31. lim I) = 3 32. lim x" - 8 ,_,
'
l->:
33. Verifique que 8 = mín{2. eí8} é outra e~colha possível de
& para mostrar que lim_,~.' x" 9 no Exemplo 4.
34. Verifú-JUC. usando argumentos geométricos. que a maior
escolha possível para o O para que se possa mostrar que
hm x 2 ,_., 9 é & = ,,/ 9 + c <t
35. -(~)'-Para o limite Jim,__. 1 {x' + J_- +]) = 3, use um gráfico para
determinar o valor do õ correspondente a c = 0,4.
(b) Usando um sistema algébrico computacional para resolver
a equação cúbica x' + x +I = 3 + t:. determine o valor possível
para & que corresponde a qualquer~:; >O daUo.
(c) Tome c _ _::::_ 0.4 na sua resposta da parte (b) e compare com a
sua resposta da parte (a).
1 1
36, Prove que lim ~ = -.
.t~2 X 2
37, Prove que lím vx =-..:a se a> O.
[ Sugcstâo: Use! - -v ;JI ~ I x a I .]
-.... x + ,·a
38. Se H for a função de HeaYisíde definida no Exemplo 6 da Seção 2.2,
prove. usando a Definição 2. que lim ,___,_ 0 ff(t) nào existe. [Dica:
Use urna prova indireta. Suponha que o limite seja L Tome E- = i
na definição de limite e tente chegar em uma contradição.]
39. Se a funÍ;·ão f for definida por
{
() ."C X é racional
f(x) ~ , , ,
· 1 se x e IrraciOnal
prove que lím,~o f(x) não existe.
40, Comparando as Definíçf"JCS 2. 3 e 4, prove o Teorema l da Seção 2.3.
41. Quão próximo de ~3 devemos tomar x para que
I -~--), > 10.000 X+ 3,
I
42. Prove. usando a Definição 6. que lim ~--- -x:.
!X 3)--\
43. Prove que lim In x ---= - x.
,~n+
44. Suponha que limx->o f(x) = x c limx__,_" g(x) =c, onde c é um
número reaL Prove cada proposição
(a) 1im r /(X) + g(x)] ~ X
/ 4-(1
(b) lnn [f(x)g(x)] = x se O
'->/)
(c) lim [fLt)y(x)] = -·:c se c< O
'-4(1
Como ilustrado na Figura 1, se f for
contínua. entao, sobre o gráfico de f
os pontos (x,f(x)) tendem ao ponto
(a,j(a)) sobre o gráfico Logo não há
buraco na curva
Y•
/(x)
aprox1ma~se
dcf(a)_
Üi
I
FiGURA 1
FiGURA 2
f( a)
A
----+--
#(14.
Quandox tende a a.
4 5 X
X
Continuidade
Notamos na Seção 2.3 que o liml!e de uma função quando _-r tende a a pode muitas n·zes
ser encontrado simplesmente calculando-se o valor da função em a. As funçücs com essa
propriedade são chamadas contínuas em (1. Veremos que a definição matemútica de con-
tinuidade corresponde estreitamente ao signiflcado da palavra continuidade na linguagem
do dia-a-dia. (0 processo contínuo é aquele que ocorre gradualmente, sem interrupções ou
mudanças abruptas.)
Uma função f é contínua em um número a se
lím f(x) ''f( a)
.\_(,
Obsen'e que a Definição implicitamente requer três coisas para a continuidade de f
ema:
1. f( a) está deílnida (isto é. a está no domínio de f)
2.. Iímf(x) existe
l límf(x) ~f( a)
x-a
A definição díz que fé contínua em a sef(x) tender a f( a) quando x aproxima-se de a.
Assim, uma função contínua f tem a propriedade que uma pequena variação em x produza
apenas uma pequena modificação cmf(x). De fato, a alteração emf(x) pode ser mantida
tão pequena quanto desejarrnos mantendo a variação em x suficientemente pequena.
Se f está definida próximo de a (em outras palavras. f está deflnida em um intervaJo
aberto contendo a, exceto possivelmente em a), dizemos que fé descontínua em a, ou que
f tem uma descontinuidade em a, se f não é cõhtínua em a.
Os fenômenos físicos-t-são geralmente contínuos. Por exemplo, o deslocamento ou a veloci-
dade de um veículo varia continuamente com o tempo, como a altura das pessoas. Mas a descon-
tinuidade ocorre em situação tal como a corrente elétrica. [Veja o Exemplo 6 da Seção 2.2, onde
a função de Heaviside é descontínua em O, pois lim 1...,.0 H(t) não existe.]
Geometricamente, você pode pensar em uma função contínua em todo número de um
intervalo como sendo uma função cujo gráfico não se quebra. O gràfico pode ser desenhado
sem remover sua caneta do papel.
EXEMPLO A Figura 2 mostra o gráfico de uma função f Em quais números fé
descontínua? Por quê?
SOLUÇÃO Parece haver uma descontinuidade quando a = I, pois aí o gráfico tem um
buraco. A razão reconhecida para f ser descontínua em I é que f( l) não está definida.
O gráfico também tem uma quebra em a = 3, mas a razão para a descontinuidade é
diferente. Aquifi3) está definida, mas limx .... :d\x) não existe (pois o limite esquerdo e o
direito são diferentes). Logo fé descontínua em 3.
E sobre á= 5? Aquif(5) est<Í definida, c lim_,.__,_,Jtx) existe (pois o limite esquerdo e o
direito são iguais). Mas
Iimf(x) ct f(5)
x->5
Logo f é descontínua em 5.
Agora vamos ver como detectar as descontinuidades quando uma função está definida
por uma fónnula,
(a)f(x)
James Stewart CAPÍTULO 2 _
Onde cada uma da~ seguintes funçõe::.: é descontínua?
(a) (ix) i:- -x 2
(c)
!x' -x-2
f(x)~ 11 x-2
SOlUÇÃO
(b) /(x) se x 'te O
se x >O
SC X cf-o 2 (d) f(x) ~
se x = 2
'125
(a) Note que /(2) não está definida; logo,f é descontínua em 2. Mais à frente veremos
por que fé contínua em todos os demais números.
(b) Aquif(O) - I está detlnida. mas
lim ((x)
~ -~ll·
. I hm-
-' -~o XJ
não existe (veja o Exemplo 8 da Seção 2.2). Logo fé descontínua em O.
(c) Aqui f(2) ~ I está definida e
I. 1.( 1. x' -x-2 1. (x-2)(x+l) 1m x)""' 1m----= nn-
, .• "· _,--~2 x-2 , ... z x-2 lim(x+l)-3 -t~2
existe. Porém
lim f(x)* /(2)
x-.:· .
logo,fnão é contínua em 2.
(d) A função maior inteirof(x) = [xD tem descontinuidades em todos os inteiros,
pois limx~n [x] não existe se n for um inteiro (veja o Exemplo 10 e o Exercício 49 da
Seção 2.3).
A Figura 3 mostra o gráfico das funções no Exemplo 2. Em cada caso o gráfico não
pode ser feito sem levantar a caneta do papel, pois um buraco, uma quebra ou pulo ocor~
rem no gráfico. As descontinuidades ilustradas nas partes (a) e (c) são chamadas removíYeis.
pois podemos removê-las redefinindo f somente no número 2. [A função g(x) = x + I é
contínua._! A descontinuidade da parte (b) é denominada descontinuidade infinita. As
descontinuidades da parte (d) são ditas pulos de descontinuidades, porque a função
"pula'' de um valor para outro.
2 () 2 3
{
llx'
(b)J(x)~
1 L se x *O sex * 2 (d)j(x)" [xll (c)f(x) se x =O sex;::::: 2
FIGURA 3 GrMlcos das funções do Exemplo 2
FIGURA 4
~-------------------
1
Uma é contínua à direita de um número a :;c-
lim f(x) f (a)
e f é contínua à esquerda de a se
lim f(x) =f( a)
Em cada inteiro n. a função f(x) "'"- l lveja a Figura 3(d)] é contínua ú
direita. mas descontínua ü esquerda. pois
lim l{x) lim
-' -~,;' _,''i.
n l'(n)
mas lim f(x) 0 " lim
! _,,,
looc I!~ J :cF f(n)
Uma função f é contínua em um intervalo se for contínua em
todos os números do intervalo. (Se f for definida somente de um lado do extremo
do intervalo. entendemos continuidade no extremo como continuidade à direita ou
à esquerda.)
EXEMPLO 4
,----"'---::
Mostre que a função _((x) 1 ~ -Yl ~ xL é contínua no intervalo [ ~ 1 . 1].
SOLUÇÃO Se ~1 <a< I, então, usando as Leis do Limite, temos
\i:'l f(x) ~\i'?; (I - ,JI:::;i)
= 1 ~ lim~l ~x"
f(a)
Assim, peJa Definição 1 ,f é contínua em a se~ 1 <a < 1. Cálculos análogos mostram que
lim J(x) I /H)
_, __ ,-I~
e Jimf(x)''l'·'/(1) ,.,
logo,f é contínua à direita em~ I e contínua à esquerda
em 1. Conseqüentemente, de
acordo com a Definição 3,fé contínua em l-I, 1 _].
O gráfico de f está esboçado na Figura 4. É a metade inferior do círculo
x'+f(y-I)'~I
l-:m lugar de sempre usar as Definições 1, 2 e 3 para verificar a continuidade de uma
função como feito no Exemplo 4, muitas vezes é conveniente usar o próximo teorema, que
mostra como construir as funções contínuas complicadas a partir das simples.
James Stewart CAPÍTULO 2:
-;son~f;;a Se f c g forem contínuas em a e se c for uma constante. então as
seguintes funções são contínuas, também. em a:
1. f+ g 2. f~y 3. cf
4. fg j 5. seg(a);.oO
g
127
Pmva Cada uma das cinco partes desse teorema segue da corrcspo:1dente Lei do Limite
da Seção 2.3. Por exemplo, vamos dar a prova da parte 1. Uma vez que f e g são con-
tínuas em a. temos
c
Conseqüentemente
!i~~ (f+ g )(x) ~ !UJ; [f(x) + g(x)]
~(i~ f(x) + ~~'; g(x)
=/(a)+ g(a)
(/+!J)(a)
Isso mostra que f+ q é contínua em a.
Segue do Teorema 4 e da Definição 3 que se f e g forem contínuas em um intervalo,
então f+ g,f ~ g, cf,fg e (se g nunca for O)f!g também o são. O seguinte teorema foi enun-
ciado na Seção 2.3 como a Propriedade da Substituição Direta.
Teorema
Qualquer polinômio é contínuo em toda a parte; ou seja, é contínuo em
ff;! = (~x, x).
(b) Qualquer função racional é contínua sempre que estiver definida: ou seja, é
contínua em seu domínio.
Prova
(a) Um polinômio é urna função da forma
··· + c1x+c0
onde c0 , Cj, ... , Cn são constantes. Sabemos que
e m J,2, ... ,n
Essa equação é precisamente a informação de que a função f(x) = J.""" é uma função
contínua. Assim, peJa parte 3 do Teorema 4, a função g(x) = ct'~ é contínua. Uma vez
que Pé a soma das funções desta forma e urna função constante, segue-se da parte 1 do
Teorema 4 que Pé contínua.
Eclhvta Tlwmson
" I
~'i i ~ Plcosu.scntJ)
. \
'\
·-·····-----1.--------)-
x
e
-l (J. 0)
FIGURA 5
. Outra forma de estabelecer os
!imites em (6) é fazer uso do
Teorema do Confronto com a
desigualdade sen e< e (para O> O),
que está provado na Seçáo 3.4.
(h) Uma funçUo raclona"l fu-nção da forma
f (X)
P(x)
Q(x)
onde P e Q são polinômios. O domínio de fé D {x E LR;/Qtr) 0). Sabemos. da
pane (a), que P c Q são contínuos em toda a pane. Assim. pela pane 5 Jo Teorema 4.fé
contínua em todo o número em D.
Como urna ilustração do Teorema 5, observe que o volume de uma esfera varia conti-
nuamente com seu raio. pois a fórmula V(r) = a mostra que V é uma função polinomial
de r. Da mesma forma. se uma hola for atirada Ycrticalmentc no ar com uma velocidade de
~')() pés/s, então a altura da bola em pés após t segundos é dada pela 1\Snnula h = 50! - 1 61'.
Novamente. essa é uma função polinomial. portanto a altura é uma fun\-·üo contínua do
tempo decorrido.
O conhecimento de quais funções são contínuas nos capacita a calcular muito rapida-
mente alguns limites. como os dos exemplos a seguir. Compare-os com o Exemplo 2(b) da
Seção 2.3.
EXEMPLO 5 ' '2xc -I Encontre lim : __ ------
,·<'- 5~3x
SOLUÇÃO A função
é racional; assim. pelo Teorema S. é contínua em seu domínio. que é
Portanto.
Isso resulta que as funções familiares são contínuas em todos os números de seus
domínios. Por exemplo, a Lei do Limite lO implica que as funções raízes süo contínuas.
(0 Exemplo 3 da Seção 2.4 mostra que f(x) .[; é contínua à direita de 0.)
Da forma dos gráficos das funções seno e cosseno (Figura 18 da Seção 1 .2) iríamos cer-
tamente conjecturar que elas são contínuas. Sabemos das definições de sen e c cos e que
as coordenadas do ponto P na Figura 5 são (cose, sen 0). À medída que H ~o. vemos que
P tende ao ponto (1, 0) e. portanto, cos 8 ~I c senO --õ>O. Assim.
[!]
lim cosfl
I!-><)
hmsen 8-"' O
ll->()
Uma vez que cosO= l c scn O-""'-~ O, as equações em (6) asseguram que as funções seno e
cosseno são contínuas em O. As fórmulas de adição para seno c cosseno podem, então, ser
usadas para deduzir que essas funções são contínuas em toda a parte (veja os Exercícios
56 e 57).
Segue da parte 5 do Teorema 4 que
scn x
tgx=-~
~ cosx
FIGURA 6
y = tg X
-, As funções trigonométricas mversas
foram revistas na Seção 1 .6.
Esse teorema afirma que um
símbolo de iimite pode ser movido por
meio de um símbolo de função se ela
for continua e se o limite existir. Em
outras palavras, a ordem desses dois
símbolos pode ser revertida.
Jarnes Stevvzrt
-12
é contínua. exceto onde co;:, x =O. b:-:.u acontece s (:um múltiplo inteíro ínmar d
n/2. portanto _Y tg x tem descontínuidades in tini tas quando x =" +;r!L =.3~12. =_);r/2.-:: .._assir
por diante (veja a Figum 6).
A função inversa de qualquer função contínua é também contínua. (0 gráfico de r I
obtiúo refletindo o Jefem torno da reta y = x. Portanto, se o grátlco de f não tiver quebr
ísso também acontecerá com o de f -I.) Assim sendo. as funções trigonométricas inversa
são contínuas.
Na Seção 1.5 definimos a função exponencial _r = a' de fonna a preencher os buracc
no gráíko de y = a'. onde x é racional. Em outras palavras, a própria definição de y = (
ttxna-a uma função contínua em IR. Portanto, sua funçfto inversa y = Joga x é contínu
em (0. x).
[lJ Teorema Os seguintes tipos de funções são contínuas em todo o número de
seus domínios:
polinômio funções racionais funções raízes
funções trigonométricas funções trigonométricas inversas
funções exponenciais funções logarítmicas
EXEMPlO 6
, In .Y t x
Onde a função /(x)= _ 1 é contínua?
SOLUÇÃO Sabemos do Teorema 7 que a função y = In x é contínua para x > O e que
y = tg- 1 x é contínua em !R. Assim. pela parte 1 do Teorema 4, y = In x + tg 1x é contínua
em (0, x). O denominador y =_r- I é um polinômio, portanto é contínuo em toda a parte.
Assim. pela parte 5 do Teorema 4,f é contínua em todos os números positivos x, exceto
onde J:-~- 1 = O. Logo,f é contínua nos intervalos abertos (0
0
, 1) c ( 1, x).
Outra forma de combinar as funções contínuas f c g para obter novas funções contínua
é fonnar a função composta f o g. Esse fato é urna conseqüência do seguinte teorema.
Teorema Seja f contínua em b e limg(x) = b, então
Em outras palavras, ,-a
= J\b)
CÍllCULQ EtliJ'org Thnmson
Intuitivamente esse teorema ê razoável. pois se x esti-ver de tL entJn
próximo de h: e como f é contínua ern h. se g(x) csüver próximo de b. então
tará próximo de f(b). lJma prova do Teorema 8 está dada no ;\pêndicc F
, . i J- .Jx 'l Calcule llm arcscn ~---- 1 •
'
1
, 1- X )
SOLUÇÃO Uma vez que arcscn é uma função contínua. podemos aplicar o Teorema 8:
,-.
. (1-,Jx) hm arcscn -----
,.-1 l 1-x I'. I J~\ arcscn lu"!! j x·•• 1-x . .
(
. I .
'" arcsen hm --------= )
, , ..• 1 1 + .Jx,
I TI
''- arcsen - = -
2 6
cs-
Vamos aplicar agora o Teorema 8 no caso especial onde f(x)= if;:, onde n é um inteiro
positivo. Então
c
/(g(x))~ W(x)
f(\ir.?,g(x)) ~ ~;uj,g(x)
Se colocarmos essas expressões no Teorema 8 obteremos
e assim a Lei do Limite 11 foi provada. (Pressupomos que a raiz exista.)
Teorema Se g for contínua em a e f em g (a), então a função composta f o g
dada por(/ c g)(x) = f(g(x)) é contínua em a.
Esse teorema é com freqüência expresso informalmente como se segue: ''Uma função
contínua de uma função contínua é uma função contínua".
Prova: Uma vez que g é contínua em a, temos
\i':; g(x) g(a)
Uma vez que f é contínua em b = g (a). podemos aplicar o Teorema 8 para obter
\i:?, f(g(x)) = f(g(a))
que é precisamente a afirmação de que a função h(x) = f(g(x)) é contínua em a; isto é.fo g
é contínua em a.
2
-lO lO
i i li
11
-6
FIGURA 7
y -= In (1 + cos x)
f( a) y ffx)
N N
f(b)
b X
F!GUR.ll, 9
-Jsmes S.tewã~
EXEMPCD 8 Onde a:;. seguintes; funções sáo continuas'?
(a) h(x) '= scn(x-') (b) FCt) "-~-' ln(l + cos x)
SOLUÇÃO
(a) Temos que h(x) = f(yC-r)). onde
y(x) ~ x' e j(x) ~ sen x
Agora g é contínua em lR. pois trata-se de um polinômio, e f também é contínua em toda
a parte. Assím. h =f o g é contínua em [R pelo Teorema 9.
(b) Sabemos do Teorema 7 que j(.-r) = ln x é contínua c g(x) 1 + cos .r é contínua
(pois ambas, y l e y cos J:, são contínuas). Portanto. pelo Teorema 9, F(x) = f(y(x))
é contí~ua onde está definida. Agora In (l + cos x) está definida quando 1 + cos x >O.
Dessa forma, não está detinida quando cos x = -1, c isso acontece quando x = ±1T,
±37T,. Logo, F tem Jcscontinuídades quando x é um múltiplo ímpar de 7T e é con-
tínua nos intervalos entre esses valores (veja a Figura 7).
Uma propriedade importante das funções contínuas está expressa pelo teorema a seguir,
cuja pnwa pode ser encontrada em textos mais avançados de cálculo.
[!]] Teorema do Valor Intermediário Suponha que f seja contínua em um intervalo
fech3do [a. h] e seja Num número qualquer entre j(a) e f( h). onde f( a) * f(b).
existe um número c em (a, b) tal que f( c)"""" N.
O Teorema do Valor Intermediário estabelece que uma função contínua assume todos
os valores intermedi(rrios entre os valores funcionais f(a) e f(b). Isso está ilustrado na
Figura 8. Note que o valor N pode ser assumido uma vez rcomo na parte (a)] ou mais
[como na parte (b)].
y
j(b) ~---··-··---·-- ,,,._,._.__,_~
f\ a) y ~ f(x)
o C h X a
a '
FJGUR.4 8 (a) (h)
Se pcnsam10s em uma função contínua como aquela cujo gráfico não tem nem buracos
nem quebras, então é fácil acreditar que o Teorema do Valor Intermediário é verdadeiro.
Em termos geométricos, ele estabelece que se for dada uma ret;;t horizontal qualquer
y = N entre)' f( a) e y =f{ h), como na Figura 9, então o gniíico de f não poderá pular
sobre a reta~ ele precisará interceptar y = Nem algum ponto.
É importante que a função f do Teorema 10 seja contínua. O Teorema do Valor
Intermediário não é verdadeiro em geral para as funçf;es descontínuas (veja o Exercício 44).
Uma das aplicações do Teorema do Valor Intermediário é a localização das raízes de
equações, como no exemplo a seguir.
Mo,<,tre que existe uma raiz da equaçüo
4x' 6.-r' + 3J_- - 2 = O
entre I e 2.
SOLUÇÃO Sejaf(x) = 4x'- 6x: + 3x- L Estamos procurando por uma solução da
equação dada, isto é, um número c entre 1 e 2 tal quej{c) =O. Portanto, tomamos
a= l,h = 2eN= O no Teorema lO. Temos
e /(2) ~ 32 24 + 6 - 2 ~ > ()
Assim f( I) < O < /(2), isto é, N ~ O é um número entre f( I) e f(2), Como fé contínua
uma vez que é um polinômio, o Teorema do Valor Intermedbrio estabelece que existe
um número c entre 1 e 2 tal que f( c) = O. Em outra.;,; palavras, a equação 4x'- 6.:t"" + 3x 2 = O
tem pelo menos uma raíz c no intervalo (1, 2).
De fato, podemos localizar mais precisamente a raiz usando novamente o Teorema do
Valor Intermediário. Uma vez que
f(l ,2) ~ - 0,128 <o e f(! ,3) - 0,548 > o
uma raiz deve estar entre I ,2 e 1 ,3. Uma calculadora fornece, por tentativa e erro,
f( !22) - - 0,007008 < o e f(! ,23) ~ - 0,056068 > o
assim. uma raiz e~tá no intervalo ( 1.22. 1.23).
Podemos usar urna calculadora gráfica ou computador para ilustrar o uso do Teorema
do Valor Intermediário no Exemplo 9. A Figura 1 O mostra o gráfico de f em uma janela de
inspeção [-1, 3] por f-3, 3], e você pode ver o gráfko cruzando o eixo x entre l e 2. A
Figura li mostra o resultado de se aplicar o zoorn, obtendo a janela de inspeção [I ,2, 1 ,3]
por [-0,2, 0,21,
3 02
L2
-3
FIGURA 10 FIGURA 11
De fato, o Teorema do Valor Intermediário desempenha um papel na própria maneira
de funcionar desses instrumentos gráficos. Um computador calcula um número finito de
pontos sobre o gráfico e liga os pixels que contêm os pontos calculados; ele pressupõe que
a função é contínua e liga todos os valores intermediários entre dois pontos consecutivos.
O computador, portanto, conecta os pixels ligando os pixels intermediários.
Exercícios
1. Escreva uma cquaçào que expresse o fato de que uma funçâo f
é contínua no número 4.
2. Se .f é contínua em (~?:J. x), o que você pode dizer sobre seu
gráfico?
3. (a) Do gráflco de f. estabeleça os números nos quais f é
descontínua e explique por quê.
(b) Para cada um dos números estabelecidos na parte (a).
determine se f é contínua à direita ou à esquerda. ou nenhum
deles.
4. Do gráfico de g, estabeleça os intervalos nos quais g é
contínua.
yl
~ I ~
•
,...._.
-4 -2 6 8
5. Esboce o gráfico de uma função que é contínua em toda a
parte, exceto enl' x = 3 e é contínua à esquerda em 3.
X
6. Esboce o grMico de uma função que tenha um salto de
descontinuidade em x = 2 e uma descontinuídade removível em
x = 4, mas é contínua no restante.
7, Um estacionamento cobra$ 3 pela primeira hora, ou parte dela,
e$ 2 por hom sucessiva, ou parte, até o máximo de$ 10.
(a) Esboce o gráfico do custo do estacionamento como uma
função do tempo decorrido.
James Stewart \:APÍTüUJ 2 _ ''
{ b) Discuta as descontinuidades da função e su~t signiticfmcia
para alguém que us~ o estacionamento.
8. Explique por que cada função é contínua ou descontínua.
(a) A temperatura em um local específico como uma função
do tempo
(b) A temperatura em um tempo espedflco como uma função
da distância em direção a oeste a partir da cidude de Nova
York
(c) A altitude acima do nível do mar como uma função Ja
distância em direção a oeste a partir da cidade ôe Nova York
( d) O custo de uma corrida de táxi corno uma função da
distância percorrida
(c) A corrente no círcuito para as luzes de uma sala como um<
função do tempo
9. Se/e g forem funções contínuas, com.f(3) = 5 e
lím,_,[2f(x)- g(x)J ~ 4. encontre g(3).
10-12 Use a definição de continuidade e propriedades dos limite~
para provar que a função é contínua em um dado número.
10. j(x) ~ x' + ,)7- x. a ~ 4
11. f(x) ~ (x + 2x')', a ~ -I
12. g(x)
x·+-1
a=4
13--14 Use a definição da continuidade e propriedades de limites
para mostrar que a função é contínua no intervalo dado.
13. f(x) ~ lx + 3 (2. x) *
· x-2
14. q(x) = 2~, (~?:J, 3]
15-~20 Explique por que a função é descontínua no mímero dado
Esboce o gráfico da função .
15. j(x) ~ Inlx-21
16. f(x) ~{;~I SCX;;><l
sex= 1
j(x) ~{e: sex <O 17.
X se x ~O
18. f(x) ~ x 2 -I {
x 2 -x
se x ... t
I se x ~I se x = 1
{
x' -x-12 --~-- SeX;:>'!-3
19. /(x) ~ x + 3
-5 sex=-3
20. f(x) ~ {l+x' scx<l
4-x sex~ I
a=2
a~ I
a=O
a = 1
a = -3
a = 1
Eci!tura Thoms:m
Explique. usando os Teoremas 4. 5. 7 e 9. por que u
é continua em todo o número em seu domínio. E-;tahcleça
o· domínio.
X 22. G(x) {C ( 1 + x 3 21. F(x)~
+-5x·'- 6
23. R(x) - T + .J2x -=1 24. h(x)=~E:__-_:
. t -T-1
25. f(x) - e scn 5x 26. Frx) .. scn l(x" - I)
27. G(r) - In (r'- 1í 28. /J(x) ---- cos(e-:'
~i 29-30
gráfico.
Localize as descontinuidades da função c ilustre com um
29. 30. y;;;: lnítg-'x)
31-34 Use a continuidade para calcular o limite.
5 t ,[:;
31. lim ~--= 32. lim scnCr + scn x)
.,
'
X
33. lim ex2 34. lim ( X -4 ) arctg
.,. ~1x' - 6_~ l -~) ·-'
35--35 Mostre que f é contínua em ( -x . x )_
35. f(x) ~ ~ {
x'
;/x
se x <
36. f(x) ~
se x?:
Jsenx sex < T./4
(cus x se x _-?"' TI/4
37-39 Encontre os pontos nos quais f é descontínua. Em quais
desses pontos f é contínua à direita, à esquerda ou em nenhum
deles? Esboce o gráüco de f
37. f(x)
38. j(x) -
39. f(x) ~
ll+x2 sex::so 2-x se Ü*';x:N
1(x-2)' sex>2
l;/,1 -Jx-3 SCX?3 sex ::sI se J< x< 3
r~ SCX%: 0 se O%: X ::S 3 sex > l
40. A
força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de
massa a uma distância r do centro do planeta é
F(r) ~ l GJ>fr se r < R RJ GM se r? R r'
onde j\f é a ma~sa da Terra; R é seu raio; c c; é a consrante
gravitacional. F é uma função continua de r?
(--'i: . ~c!?
íc<>c >C r.,-
f{y)=)'
· ] esc·' ::.c ~-
42. Encontre a constante c'quc torna q contínua em {-T "Y.J.
f ,..:: -c·· :'t' .r '-t
y(x) = /
l esc~ -~ 1 () s." "~ -+
!.' '·- "'
43. Quais as seguintes funções f têm uma descontinuidade
rcmmtvd em a'? Se a descontinuidade for removíwL encontre
uma função g que é igual a f para x --t -"a e é contínua em R:.
(a) l(x)
ih) /(x)~
(c) f(x)
(d) f(x)
x: - 2x- B
x-t-2
x-7
.:c '· 64
X 4
3-0
9-x
(1 =- 7
a"''- --4
a:= 9
44. Suponha que uma função f seja contínua em [0. ! ]. exceto em
0,25, c guef(O) = 1 c f{ I) = 3. Seja N "-0 ' 2. Esboce dois
gráficos possíveis de f. um indicado que f pode não satisfazer a
conclusão do Teorema do Valor Intcnnediário e outro
mostrando que f pode satisfazer a mesma conclusão. (Mesmo
que não satisfaça as hipóteses)
45. Sef(x) x' -- x: +.r. mostre que existe um nümero c tal que
f(c) ~ lO.
46. Use o Teorema do Valor Intennediário para provar que existe
um número c positivo tal que seu qua.Qrado é igual a c2 = 2.
(Isso prova a existência do número ~2 .)
47~50 Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que
existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado.
47. x·1 +x-3=0, (1.2)
48. ~ = 1 - x. (0. 1)
49. cos.:r = x. 10. 1)
50. In x =c'. (L 2)
5'!~52 (a) Prow que a equação tem pelo menos uma raiz real.
(b) Use sua calculadora para encontrar o intervalo de comprimento
O .O I que contenha uma raiz.
51. e' = 2 x 52. x'- x~ + 2x + 3 = O
~~53-54 (a) Prove que a equação tem pelo menos uma raiz real.
(b) Use recursos gráficos para encontrar a raiz correta até a terceira
casa decimal.
53. x' -- x:- 4 = O 54.
55. Prove que f é contínua em a se e somente se
limf(a+h)~ f(a)
h -->0 .
56. Para pro-var que seno é contínuo. precisamos mostrar que
limx-vl sen x;;;: sen a para todo mJmero real a. Pelo Exercício
55 uma afimultiva equivalente é que
lim ::en(a + h) ~-; ~ên u
·C'
CAPÍTULO 2 _-
Use (6) para mostnu· que isso é H'rdadeiro. 62. (a) :v1ostre que ;t {unçdo Yalor aholutP Fuii [xi 0 cuntimu
em toda a pane.
57. Prove que o cosseno é uma funr,)o contínua. f h) Pron: que s<: f for uma funçfio contínua em um intcn·alo.
entâo . f também é.
58. (a) Prove a parte 3 do Teorema 4.
(h) Prove a parte 5 do Teorema 4.
(c) O inverso da atlrmativa da pane (b) também é -verdadeiro·?
Em outras palavras, se for contínua, segue que f
também é'? Se for assim, prove isso. Caso contrário.
encontre um contra-exemplo. 59. Para que valores de x a função fé contínua?
{
O se x 0 racional
/(x) ~
1 :-:c x é irracional
60. Para que valores de x a fun~Jo g é contínua?
63. Um monge tibetano deixa o monastério às 7 horas da manhà c
segue sua caminhqda usual para o topo da montanha. chegando
lá às 7 horas da noite. Na manhil seguinte. ele parte do topo às
7 horas da manhã. pega o mesmo caminho de volta e chega ao
monastério às 7 horas da noite. Use o Teorema do Valor Inter-
mediário para mostrar que existe um plmto no caminho que o
monge vai cruzar exatamente na mesma hora do dia em ambas
as caminhadas. {() gU:) :o= X se x é racional se x 0 irracional
Limites no Infinito; Assíntotas Horizontais
--~~~~--~~~~--~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~-, /(_y! -~
' I
'i i
n ' I
0.600(]{10 '
j 0)-\00000 i
~ il.8S2.i53
I
'
) 0.923077
lO \L%0 l 90
_)() P.91.J92\l0 I
I
]()0 \i.9990Uil
.DOC' O.\!Ci99CJS I
~
FIGURA 1
Nas Seções 2.2 e 2.4 estudamos os limites infinitos e as assíntotas verticais. Lá tomamo~
x tendendo a um número e, como resultado, os valores de y ficavam arbitrariamente
grandes (em módulo). Nesta seção vamos tornar x arbitrariamente grande (em módulo) l
ver o que acontece com y.
Vamos começar por analisar o comportamento da função f cldlnida por
.() x'-1 j X ~
• 0--j
quando x fica grande. A tabela ao lado fomece os valores dessa função corretos até a sext<
casa decimal, e o grá!ico de f feito por um computador está na Figura I.
y=
+ 1
Quanto maior o x, mais próximos de 1 ficam os valores de JVr). De fato, temos ;
impressão de que podemos tomar os valores de f(x) tão próximos de 1 quanto qui sermo:
tomando-se x suficientemente grande. Essa situação é expressa simbo1icamentt
escrevendo
Em geral, usamos a notação
para indicar que os valores def(x) ficam cada vez mais próximos de L à medida que x fie;
mmor.
)
_Y =L
y = ftx)
()
FIGURA 2
Exemplos ilustrando:~'; f(x) ,-L
-· +
X
funçilo definida em
lim i{xl,__-L
signiíka que os valores def(_x) pode-m llcar arbitrariamente prúximos de L
tomando-se x suücien!cmcnte grande.
Outra notação para lim,_~~ f(x) -,o L é
f(x) = L quando x -0 ~f."
O símbolo x não representa um número. Todavia. freqüentemente se lê a cxpres.süo
!i_:r;_ /C:d L como ·~
"o limite de f(x), quando x tende a inflnito. é L'
ou "o limite dcf(x), quando x 11ca infinito, é L''
ou ''o limite def(x), quando x cresce sem limitação. é L ..
O significado dessas frases é dado peJa Definição 1. Uma definiçfto mais precisa, análoga
àquela de E:, O da Seção 2.4. está dada no final desta seção.
As ilustrações geométricas da Definição I estão na Figura 2. Note que existem muitas
formas de o gráfico de f aproximar-se da reta _v = L (chamada assfntota horizontal) quando
fazemos x ir bem para a direita.
H \I
k
I ~-------r Y ~L - - ·-----.
I
------------- ------------------+
X
' t
j
~
I I , ~ /(')
·······-~1 -- ··-Oi
i
>
'
Com referência à Figura I, vemos que para os valores de x com grande valor absoluto.
porém negativos, os valores de f(x) estão próximos de 1. Fazendo x decrescer por meio de
valores negatívos sem limitação, podemos tornarf(x) tão próximos de 1 quanto quisermos.
Isso é expresso escrevendo-se
A definição geral é dada a seguir.
Seja fuma função definida em algum intervalo (--X • a). Então
lim f(x)~L
,~_,
significa que os valores de f(x) podem ficar arbitrariamente próximos de L,
tomando-se x suficientemente grande em valor absoluto, mas negativo.
-'---------
c c j(x)
y=L
o
)
j(x)
FIGURA 3
Exemplos ilustrando lim .f(x) -~·L
FIGURA 4
FIGURA 5
)1 ],
2
()
,f---
2
X
X
X
Novamente. o símboJo -x nüo representa um número: todavia. a -:::xpressão ,li:~
é freqüentemente lida como
"o limite de f(x). quando x tende a menos infinito, é L'.
A Definição 2 está ilustrada na Figura 3. Note que o gráfico aproxima-se da reta y
quando olhamos bem para a esquerda.
. it)'Ç)""Y'"-' A reta y::::: L é chamada assíntota horizontal da curva y = f(x) se ou
lim /{x)= L ou lim f(x)=L
L
Por exemplo, a curva ilustrada na Figura I tem a reta .r I como uma assíntota hori-
zontaL pois
I
. x' -I
Jm~~
, ..• ,_, x 2 + 1
Um exemplo de uma curva com duas assíntotas horizontais é J." = tg'"1x (veja a Figura 4).
De fato,
logo ambas as retas y --rr/2 e y = -rr/2 são assíntotas horizontais. (Isso segue do fato de
que as retas x = ±-rr/2 são assíntotas verticais do gráfico da tangente.)
EXEMPLO 1 Encontre os limites infinitos, limites no infinito e assíntotas para a função
f cujo gráfico está na Figura 5.
SOLUÇÃO Vemos que os valores de .f(r) ficam grandes quando x ~ -l por ambos os
lados; logo
lim f(x)=x
'~~- !
Ohserve quef(x) torna-se grande em valor absoluto (mas negativo) quando x tende a 2 à
esquerda, porém grande e positivo quando x tende a 2 à direita. Logo
lim f(x) "'- :x:
x-"-
e }jm /(x) o-c,- CD
' ··-c~
Assim, ambas as retas x = - j ex = 2 são assíntotas verticais.
Quando x torna-se grande, vemos que f(x) tende a 4. :rv1as quando x decresce,f(x)
tende a 2. Logo
lim {(x) 4
x-•cx"
e
lsso signiflca que y = 4 e y = 2 são assíntotas horizontais.
CÁi.CUUJ
o
FIGURA 6
lim -~'""'O. lim !-=-o
X
1
X
Encnntrc lim ,, lim 1 .
X
SOLUÇÃO Obscrvl: que quando x 0 grande. !/x é pt.:qucno. Por exemplo.
I
100 ().()] I () ,()()() CC. o,()()() 1 T.Oori:ooo ~ o ,ooooo 1
De fato, tomando :r grande o bastante. podemos fazer llx tão próximo de O quanto qui-
sermos. Portanto. conforme a Ddiniçâo 1. temos
!im-!.= O
Raciocínio análogo mostra que quando x ~ gramle em valor absoluto (porém negativo),
llx é pequeno em valor absoluto (mas negativo): logo temos também
. I !Jm -=O
'X
Segue-se que a reta _v= O (o eixo J_-_) é uma assíntota horizontal da curva y
uma hipérbole eqüi!átera: vCja a Figura 6.)
1/x. (Esta é
Muitas das Leis do Limite que foram dadas na Seção 2.3 também são verdadeiras para
os limites no inflnito. Pode ser provado que as Leis do Lirnite listadas na Seçüo 2 3 (com
exceçüo das Leis n'"-! 9 e 10) slio também nítidas se "x ---ó> a·· for substituído por "x-co"
ou "x- -oc··. Em particular. se combinarmos as Leis n'" 6 e ll com o resultado do Exem-
plo L obteremos a seguinte regra importante no cálculo de límitcs.
Teorema Se r> O for um número racional, então
. I !Hn ~~~~ O
"' x'
Se r> O for um número racional tal que x' seja definida para todo .r, então
. I hm -=0
'·+-C< xr
Calcule
lim
+4x+ 1
e indique quais as propriedades de limites que foram usadas em cada etapa.
SOLUÇÃO Como x cresce indefinidamente. ambos, o numerador e o denominador,
também crescem inúef1nidamente. logo não é nada óbvio o que ocorre com a razão entre
eles. Para eliminar essa indeterminação, precisaremos preliminarmente manipular
algebricamente a expressão. Para calcular o limite no infinito de uma função racional,
primeiro dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de x que ocorre
no denominador. (Podemos assurnir que x 4' O, uma vez que estamos interessados ape-
nas em valores grandes de ~r.) Nesse caso a maior potência de x no denominador é x2 ;
logo. temos
y::::: 0.6
X
FIGURA 7
3.~ ~x --2
Y Sx:c. + 4x + I
Jamss Stewar~
lim ---~-~ -- -- = lim ---"- __ ,,_
~- 4x -,
_c
cí-41) Hln[)+ _, C
'-•O'' X X
1- , 1. I 7 1. I 1111 .) - 1m - _ un - ,
' ·-4 -~----'--
----I I
1- - 41' I' JmJ+ m1 + tm
3-0-0
5+0+0
3
5
_,.,.4• x _, __ ,,_ x·
!Pel:-1 Ld n'· 7 ç Temem;;
Um cálculo análogo mostra que o limite quando x---;. ~x-é também~_ A Figura 7 ilustra o
resultado desses cálculos mostrando como o gráfico da função racional dada aproxima-se
da assíntota horizontal y = ~.
EXEMPlO 4 Determine as assíntotas horizontal e vertical do gráfico da função
/-( _ /Íx' +I xl--~
- ' 3x- 5
SOLUÇÃO Dividindo o numerador e o denominador por x e usando as propriedades de
limites, ternos
lim---
3x- 5
,/2-:,--0 J2
3~5·0 3
(uma vez que xparax>O)
);;'!!; 2 + ;;~·~'
- 3 - I hm -5 hm
x--·~- x--·-~ X
Portanto, a reta y J2i3 é urna assíntota horizontal do gráfico de f.
Computando o limite quando x ___,.. _et:,·, devemos lembrar que, para x <O, temos
F? Jx/ =- x. Logo, quando dividimos o numerador por x, para x < O, obtemos
I I --- I ,--- i!
--v2x2 1----..J2x -+ 1 =- r2 •
X H v
\'""
\' =
FIGURA 8
+I
y ---
3x- 5
ili Podemos pensar na função
introduzida corno tendo denominador 1.
y "--= Yx'+ I -'X
FIGURA 9
X
X
Portanto lim ~-----------
3x~ 5
' l ---~2 .
lim----'------ x
5 3~
X
--i . l
12-+-hm---0 ~
= 'L----=-x'_ = _ :J 2
- I. I 1 3-) lill ~
,_, __ ,_x
Dessa forma. a reta v_-,- .JiF3 é também uma assíntota horizontal.
Uma assíntota vertical provavelmente ocorre quando o denominador, 3x ~ 5. é O. isto
é, quando x = ~.Se xestiver próximo de~ c x> ~.então o denominador está próximo de
O. e 3x- 5 é positivo. O numerador .,J2x2 -r 1 é sempre positivo, logof(x) é positivo.
Portanto
. o./2x2 +l hm =x
_,-~(''3) 3x- 5
Se x estiver próximo de~. mas x> ; , então 3x- 5 < O, logo f(x) é muito grande em
valor absoluto (porém negativo). Assim
~2x' +I lim ---- -x:
x--(s,;)- 3x- 5
A assíntota vertical é x = ; . Todas as três assíntotas estão mostradas na Figura 8.
EXEMPLO 5 Compute _!i_r::( oJxc +I- x ).
SOLUÇÃO Como -Jx2 + 1 c x são grandes quando x é grande, é difícil ver o que acontece
com sua diferença; Jogo, usamos a álgebra para reescrever a função. Vamos primeiro
multiplicar o numerador c o denominador pela conjugada radical:
;dix' + 1-x)=;ír.r;(N +I- j;2;J +X
+l+x
. (x'+l)-x' . 1 hm'-c~;,_- ~ hm ~~-~
-<--·"' -Jx2 +1+x -'--~"-17-ti+x
O Teorema do Confronto poderia ser usado para mostrar que esse limite é O. Mas um
método mais fácil é dividir o numerador e o denominador por x. Fazendo isso e usando
as Leis do Limite, obtemos
I. I ~ )-1· I -1· X Jm{Vx- +I-x--1m - Jm~'r"'=-==----
_,_,"_' -'~~- -Jx2 +I+ x ,Jx' + 1 ;- x
A Figura 9 ilustra esse resultado.
O gráfico da função exponencial natural y = ex tem a reta y = O (o eixo x) como uma
assíntota horizontal. (O mesmo é verdadeiro para qualquer função exponencial com base
FIGURA 10
!!!! A estratégia problema-solução para o
Exemplo 6 esta em Introduzindo
Alguma Coisa Exira {veja a página 78}.
Aqui, a alguma coisa extra, a a1uda au-
xiliar, é a nova variável t.
J&mes Stewart CAPiTUUJ 2
a > 1-.) De fato: da figura lO c da tabe.la dos valores correspondentes YC11)os que
llm e'
Note que os valores de e-' tendem a O muito rapidamente.
Y+
i
-"c'
:o
Calcule lim e1·'
x..,.n--
1','\(FJ I
.onn _=-J I
()fj(i(iil." I
SOLUÇÃO Se tomarmos t = 1/x. sabemos que r··-";>_x" quando x-o. Conseqüentemente,
por (6).
lim e1 ' = lim c' =O
(Veja o Exercício 67 .)
Calcule lim sen x.
,4,
SOLUÇÃO Quando x cresce, os valores de sen x oscilam entre 1 e -1 um número infinito de
vezes; logo, eles não tendem a qualquer número definido.Assim, Jim,-x sen x não existe.
Limites Infinitos no Infinito
A notação
é usada para indicar que os valores de f(x) tornam-se tão grandes quanto x. Significados
análogos são dados aos seguintes símbolos:
lim f(x) = x lim f(x) = ~ x lim ((x) =- x
~-~-"'- rN>"' r-~-x ·
SOLUÇÃO Quando x torna-se grande.x' também fica muito grande. Por exemplo,
103 ~ 1.000 1003 = 1.000.000 1.0003 ~ 1.000.000.000
Na realidade, podemos fazer x' tão grande quanto quisermos tomando x grande o sufi~
ciente. Portanto podemos escrever
limx3 =oo
EtlítvrB Thomson
_q,
FIGURA 11
!imx;=-X·_ !im x' ~x
FIGURA 12
Para grandes valorc:-. de x. e'
é muito maior que_\>
i\nalogamcnte. yuando x é muíto grande em JTJódulo
AssinL
1' _,
;1i11 X
Essas afirmaçôcs sohrc o limite tamhém podem ser vistas no grMico de y
Figura 11.
Olhando para a Figura I O vemos que
lime' =x
mas. como demonstra a Figura 12. y
quando x _._,. x_
c' torna-se grande mais rapidamente que y x'
100
()
EXEMPlO 9 Encontre lim ( x2 - x). , __ "
SOLUÇÃO Note que nüo podemos escrever
··--+---+--
=X -X
)'""-'X'
----ó>"
X
A Lei do Limite não pode ser aplicada para os limites infinitos. pois x não é um número
(não podemos dcilnir x - x). Contudo. podemos escrever
~i:1;(x·: -x) !i~x(x~l)=x
porque. como x c x- I tornam-se arbitrariamente grandes, o mesmo acontece com seu
produto.
EXEMPlO Hl
\--' -~-X
Encontre lim ---.
·' -~·x- 3- X
SOLUÇÃO Como no Exemplo 3. vamos dividir o numerador c o denominador pela potên-
cia mais elevada do denominador, yue é justamente .. :c
. x
1 +x. x+I lnn --- =- hm ---- = ~ x
'~"3-x ,.~"~-!
X
pois x + l - x e 3/x - I- -1 quando x- -x.
FIGURA 13
James Stewart
O próximo exemplo mostra que usando o limite infinito no inflnito. junto com o inter~
cepto, podemos obter uma idéia aproximada do gráfico de um polinômio sem ter de dcsc~
nhar um grande número de pontos,
EXEMPLO Esboce o gráfico de y :c-::: (x- 2t(x + 1)-'(x- 1) achando seus intcrccptos
c seus limites quando x ~'L e quando x ~ x,
SOLUÇÃO O intercepto y é }(O) = (-2)'(1Y(-I) = -16, e o intercepto x é encontrado
fazendo-se y = 0: x = 2,-1, L Note que como (x 2)' é positivo, a função não muda de
sinal em 2; assim, o gráfico não cruza o eixo x em 2. O gráfico cruza o eixo em -1 e 1.
Para os valores grandes de x. todos os três fatores também são grandes: Jogo,
lim(x- 2)'(x + lf(x- 1) = x
'~"
quando os valores de x tiverem um módulo grande, porém negativos, o primeiro fator
será positivo e grande, ao passo que o segundo e o terceiro fatores têm grande valor
absoluto. porém são negativos, Portanto
Combinando essas informações, damos um esboço do gráfico na Figura 13.
\ yl )
\
. ~---+--~! ~
OI I I 2 X
W '' y ~ (x- 2) (X+ I) (x- l) -
I
Definições Precisas
Podemos estabelecer precisamente a Definição 1 da seguinte forma.
Seja fuma função àet1nida em algum intervalo (a, x). Então
limf(x) L
-'-""'
significa que para todo e > O existe um correspondente número N tal que
f(x)-L ,<e sempre que x>N
Em palavras, isso estabelece que os valores de f(x) podem ficar arbitrariamente próxi-
mos de L (dentro de uma distância e, onde e é qualquer número positivo), bastando ape-
nas tomar x suficientemente grande (maior que N, onde N depende de z). Graficamente
FJGURA 14
limf(x) =L
_,...,."'
FIGURA 15
isso quer dizer que escolhendo x suflclentcmente grande (maiór qüc algum número _\/)
podemos fazer o gráfico de f ficar entre duas retas horizontais dadas-_Y"" L <-:c _v== L+ e,
como na Figura 14. Isso deve ser verdadeiro não importando quão pequeno seja L A
Figura 15 indica que se for escolhido o menor valor de e, então será necessário maior valor
para N.
)
Y ~ /(x)
---::~:::=:::::----;T;c-----~----:~-----~~---::::::::=:::::= 1f(x) cstJ
-"-----"~,----~'---;-------,'---~---~---===-------- } aqui
N
Quando x está aqui
y = .f(x)
N X
limf(x) =L
-'""'"' Analogamente, pode ser dada uma versão precisa da Definição 2 pela Definição S, que
FIGURA 16
limf(x) =L
t-4---"'
está ílustrada na Figura 16.
DeEn~ção Seja fuma função definida em algum intervalo (-co, a). Então
lim f(x) = L
,_._,_ ___ "'
significa que para todo E > O positivo existe um correspondente número N tal que
N
No Exemplo 3 calculamos que
sempre que
()
-"> 2 'l _.,
I
. .)X ~x-... .J
Jm-- --~
x--~x 5x2 + 4x +] 5
x<N
X
No próximo exemplo vamos usar um recurso gráfico para relacionar isso com a Dc1lnição
7,sendoL= ~eE=O,l.
o 15
FIGURA 17
James Stewart
Use um gráfico para encontrar um número N tal que
i 3x' - '- 2 O, 61 < 0.1
i5x 1-4x -c-I sempre que x>N
SOLUÇÃO Vamos escrever a desigualdade dada como
Precisamos determinar os valores de x para os quais a curva dada fica entre as retas
horizontais)' 0.5 c .v= 0,7. Assim. fazemos o gráfico da curva e dessas retas na
Figura 17. Então usamos o ctrrSor para_ estimar que a curva cruza a reta y = 0,5 quando .t::::: 6,7.
À direita desse número a curva fica entre as retas y = 0,5 e y = 0.7. Arredondando.
podemos dizer que
I c I
(', -x-2 -0,61<0.1
Sx--+-4x+I
sempre que x>7
Em outras palavras, para E= 0,1 podemos escolher N = 7 (ou qualquer número maior)
na Definição 7,
EXEMPUJ 13
I
Use a Definição 7 para provar que lim ~ = O.
, .... ,. X
SOLUÇÃO
1. Análise Preliminar do Problema (uma conjectura sobre um valor para N). Dado
e > O, queremos encontrar N tal que
sempre que x>N
Ao computar esse limite podemos supor x > O, nesse caso,
Portanto, queremos
isto é.
I
-<E;
X
I
X >-
e
I] I li 'I I --01-- --;X ,X X
sempre que
sempre que
Isso sugere que devemos tomar N = l/e.
x>N
x>N
2. Prova (provando que esse N funciona). Dado I-;> O. escolhemos N = Ih:. Seja
x > N. Então
Assim sempre que x>N
FIGURA 18
FIGURA 19
lim f(x) ~ x
t __,. Y~,
Editora Thomson
Logo. pdu Definit;ãó 7.
!!m ,,, O
X
A Figura l8 ilu5tra a prova mostrando alguns valores de f c o_-.; vaiorcs corrcspomk:nks
de N.
N=W
Finalmente, notamos que pode ser definido um limite intlnito no inflnito da fom1a a
seguir. A ilustração geométrica está dada na Figura 19.
Definição Seja fuma função deflnida em algum intervalo (a, x). Então
limf(x) ~ x
signi11ca que para todo positivo !14 existe um correspondente número positivo N tal
que
sempre que x>N
Definições análogas podem ser feitas quando o símbolo x é substituído por -x (·veja
o Exercício 66).
Exercícios
1. Explique com suas palavras o signíflcado de cada um do<; itens
que se seguem.
F a) limf(x) ~ 5 (h) limf(x) 3
.\--->-"-" -' ~>--'
2. (a) O gráfico de y = j(x) pode interceptar uma assíntota
n:rtical? E uma assíntota horizontal? Ilustre com gráficos.
(b) Quantas assíntotas horizontais pode ter o gráfico de y =f
(x)? Ilustre com um gráfico as posc;ihilidade:>.
3. Para a função f, cujo gráfico é dado. dctcnnine os limítes.
la) limf(x) (b) limf(x) lc) limf(x)
_, .... : x->" r- _,~> j+
(d) !~>;f(x) (e) limf(x)
x...--"'
(f) Determine as equações das assíntotas.
4. Para a função y. cujo gráíiw 6 dado. (ktcnninc o que :,t~ puk.
(a) hm q(_x) (h) Jím q(x)
~ '_, ~ '
(c) Jim g(x)
(c) lim (j(x)
'-> ~ :-'-'
(O As cquaçt>cs das assíntotas
(d) lim y(x)
>~{l
5~8 Eshoce o gráfico de um exemplo de uma função f que
satisfaça a todas as condições dadas.
5. f(x) ~ O. f(x) ~ I. limf(x) =O fé ímpar
-<·">X
6. limf(x) ~ X limf(x) ~ ~X lim f(x) ~. I.
_t->0_,. >:->(f" ,____,.~_
limf(x) ~ 1
.~
'"
-
1. límf(x) - _:x; limf(x) ~ X , limf(x) o.
.>:42 x-"" .t...,. -~-.c
limf(x) ~ X limf(x) = -X
_r-c>Ü~ x_,_o--
8. 1im f(x) = x, limf(x) = 3, 1imf(x) ~ ~3
\-->-2. , ____ , _,_,.--,c
~i 9. Faça uma conjectura sobre o valor do limite
,,
lim ~
_\~~ 2'
calculando a funçãof(x) = .x"/2' para x = O. L 2. 3, 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10. 20.50 e 100. Então use o gráfico de f para sustentar
sua conjcctnra.
~~ 10. (a) Use o gráfico de
para estimar o valor de limx->-x-f(x) correto até a segunda
casa decimaL
(b) Use a tabela de valores def(x) para estimar o limite até
quatro ca."-as decimais.
!1-íZ Calcule o limite e ju_stifique cada passagem indicando a
propriedade apropriada dos limites.
3x2 -x+4
11
· !~~ 2x 2 +Sx-8 12. lim {12x
3
-5x+2
'f l+4x2 +3x3
.James Stewart: CAPÍTULO 2
Encontre o limile.
1
13. lim ---'----"'~
,_., 2x+3
1. .· 4u.·' +5 19. tm ~-·- (----:c----e) "~" (u' - 2) 2u' - 1
lim ~~~. --- x
21 .• ~, x'+l
23. }i~!' ( vf9x' +x- 3x)
25. !il!' ( Jx' + ax- ~x' + hx)
27. lim .r;:
29. ~~~ (X- .r;:)
31. 1im(xj+x5 )
,---7'
3 3
I. x+x +x 33. 1m -~,~-4 1-x +x
35. (a) Estíme o valor de
3x+ 5
í4. !im -----
x-4
16. lim -~~ 3Y 2
'"'5y 2 +4y
!2 + 2
18. lim-e--~
,~ -'" !3 + {2 -1
20. lim x+2
+I
22. lim
í9~,~-
"\j X -X
.\~-·X· +I
24. . ~) ,~~.(x+>Jx 2 +2x
26. hmcos x , .... ..,
28. limif;
l. x·' - 2x + 3 30. 1m·
5- 2x2
32. lim tg·-l ( x2 - x·l)
t->"
34. lim e'~'-'
}_i~"'(Jxz +x+l +x)
por meio do gráfico.f(x) = -I-.:) +x+1 +x.
(b) Use uma tabela de valores def(x) para fazer uma
conjectura sobre o valor de limite.
(c) Prove que sua conjectura está correta.
36. (a) Use o gráfico de
f(x) J.,-.;ii; 8x-,-G- ,)3x' + 3x +I
para estimar o valor de limx~>"' .f(x) com uma casa
decimal.
(b) Use uma tabela de valores def(x) para estimar o limite
com quatro casas decimais.
(c) Encontre o valor exato do limite.
37-42 Encontre as assíntotas horizontal e vertical de cada curva.
Confira seu trabalho por meio de um gráfico da curva e das
estimativas das assíntotas.
X
37. _y=
x+ 4
x-'
39. y= x~+ 3x--
h(x)~ X 41.
10
38. y=
40. )-' =
x 2 + 4
x2-:
3 + X
X
x-9
42. F(x)~
-J4x2 +3x+2
Editora Thomson
"E:l!cón,tre uma fónnula para a função f que S<ltisfaça as
seguintes condições:
Jim j(x) =O. limf(x)
X-lo ;':'o<: ! ->fl
/(2) =O,
lim f(x) = --:c_
X"">)-
lim f(x) = "-x
,~,~ .
44. Encontre uma fórmula para uma função que tenha por assínt(l~
tas verticais x = 1 ex = 3. c por assíntota horizontul y = 1.
4~48 Encontre os limites quando x- x c quando x -"""---X. llse
essa infonnaçào. bem como os intcrceptos. para fazer um esboço
do gráfico, como no Exemplo 11.
45. )" = x?(x -- 2)( 1 - x)
46. y = (2+x)'(l <)0-x)
47. } (x + 4Y(x- .i}'
48. Y ~ (I - x)(x 3y(x 5)'
I. sen x 49. Use o Teorema do Confronto para dctcrmínar 1m--.
50.
X
(b) Faça um gráfico de f(x) = (scn x)!x. Quantas vezes o gr:iiko
cmza a assíntota?
Por comportamento final de uma função queremos indicar uma
descrição do que acontece a seus valores quando x -x c
quando x ~~---x.
(a) DescreYa e compare o comportamento flnal das funções
P(x) = 3x' -- Sx-' + 2x Q(x) ~ 3x'
por meio do gráfico de ambas nas janelas de ínspcção [_ --2, 2]
por[- 2, 2] c [-10. 10] por [- HHXXJ, 1 0.000].
(b) Dizemos que duas funções têm o mesmo comportamento
final se :-ua razão tende a I quando x----"" x. Mostre quePe
Q têm o mesmo comportamento final.
51. Seja P e Q polinômíos. Encontre
I. P(x) Im--
, "Q(x)
se o grau de P for (a) menor que o grau de Q e (b) maior que o
grau de Q.
52. Faça um esboço da curva y = x" (n inteüo) nos seguintes casos:
53,
(í) n =O (ii) n > O,n ímpar
(iii) n >O. n par (iv) n < O.n ímpar
(v) n < O.n par
Então use esses esboços para encontrar os seguintes limites:
(a) lí:rf\ x" (b) lim x"
x__,.\l"" , ..... r,
(c) lim x" (d) lim x"
.l->---X t"">--X.
Encontre lim-"'"""'"'f(x) se
4<-l 4x2 _)_3x -·~ < /(x) < .:::_~:::.
X
para todox > 5.
54. (a) Um tanque contém 5.000 litros de água pura. A salmoura
contendo 30 g de sal por litro de água é bombeada para
dentro do tanque a uma taxa de 25 Llmin. ~-1ostre que a
C(t)- 30t
200--'-- I
( b l O que acontcct: com a concentração quando 1- x-.'
55. Seremos capazes de mostrar no Capítulo 9 do Volume II que.
S(_)b certas condições, a velocidade v(t) de uma gota de chuva
caindo no instante t é
v( r) = v*( l - c .,.,.)
onde g é a aceleração devida à gravidade: c v*. a -..-c]ocidade
final da gota.
(a) Encontre lim 1 ~" v(r).
(b) Faça o gráfico de v(t) se v*= 1 mls c g 9,8 m/s'. Quanto
tempo levará para a velocidade da gota atingir 990.· ele sua
velocidade final?
56. (a) Fazendo os grüficos de y """" e- .:r/lO c y = OJ na mesma
tela descubra quão grande você precisará tomar x para que
e·-' 10 < 0.1.
(b) A parte (a) pode ser resolvida sem usar um recurso gráfico?
57. Use o gráfico para encontrar um número N tal que
/6x 2 +5x-3
1 2x'-1
31 < 0,2 sempre que x>N
58. Para o limite
ilustre a Dcflnição 7, encontrando os valores de N correspon-
dentes a E= 0,5 c E= 0.1.
59. Para o limite
)4x' + 2 lim 2
x+ I
ilustre a Definição 8. encontrando os valores de N correspon-
dentes a f= 0.5 e E= 0.1.
60. Para o limite
61.
62.
. 2x+ 1
hm·-== x-
''" ,Jx+J
ilustre a Definição 9. encontrando um valor de N correspondente
a M lOO. .
(a) De que tamanho devemos tomar x para que líx' < 0,0001?
(b) Tomando r= 2no Teorema 5, temos a igualdade
. I O hm------::;-=
, -~co XL
Prove isso diretamente usando a Definição 7.
(a) De que t..·u-nanho devemos tomar x p<rra que I/J;; < 0.0001?
(b) Tomando r= ~no Teorema 5, temos a igualdade
. I hm-~o
''" ,[;
Prove isso diretamente usando a Definição 7.
1 Use a Definição 8 para provar que lim ---o- O.
<---~-X
Emüo u:-,c :;ua ddlnitJío pun: pro. ar q :'-'
64. Prove. u:>ando a Definição 9. que lim,~"x' = x_
67. Pnwe que
65. Use a Definição 9 para provar que lim,~-~- e' ,= x_ !im fc-n -,--, lim F(l!t)
_,--".,.. r~n"'"
66. Fonnule precisamente a definição de e lim fCd :co lirnf( !/!)
lífn j{x) = _J;
,--'> __ ., se esses limites existirem.
>·""'-->r
'XII!JlJ Tan~:Tentes, Velocidades e Outras Taxas de Variação
~~-===~~~==-~$6""=-'-'·7'~ ... ··---~~"'~"'·"'·"""""=-~~-·=·-~oo;c··c=--<·==c-:>-<r""~='·~cr=-"'-=='""-""·"·--
o
FiGURA 1
Na Seção 2.1 estimamos, com base em infonnações numéricas. as inclinações das reta
tangentes e as velocidades. Agora tendo já dcllnido limite c aprendido como calculá-los
retornamos a esses problemas com a capacidade de realmente computar as inclinações da
tangentes, velocidades e outras taxas de variação.
Tangentes
Se uma curva C tiver uma equação ~v = f(x) e quisermos encontrar a tangente a C em un
ponto P(a.j(a)), consideramos um ponto vizinho Q(.r,j{x)), onde x 7:. a. e calculamos.
inclinação da reta secante PQ: ·
j(x) -/(a)
mPQ = ~
x-a
Então fazemos Q aproximar-se de P ao longo da curva C ao obrigar x tender a a. Se mr
tender a um número m, então definimos a tangente t como a reta que passa por P e ten
inclinação m. (Isso implica dizer que a reta tangente é a posição-limite da reta secante P{
quando Q tende a P. Veja a Figura 1 .)
Editora Thamsnn
A forma ponto-inclinação da equação
da reta por um ponto (x1, y1) com uma
inclinação m é
2
2
FIGURA 2
A reta tangente a uma t.::urYa y
reta por P que tem a indinas:ão
).-~a
desde que esse limite exista.
crn um ponto P!o
Em nosso primeiro exemplo vamos conflrmar uma conjectura que foi feita no Exemplo I
da Seção 2.1.
EXEMPlO i Encontre uma equação da reta tangente à panihola y x:· no ponto P( I. I).
SOLUÇÃO Temos aqui a= l ef(x) = x:, logo a inclinação é
m lim j(x)- fll2 = lim '~:::_1
x-J x-< _y-J
. (x-l)(x I) hm --------------
x-~1 x-1
lim (x t ]) = I+ I 2
,--~1
Usando a fom1a ponto-inclinação da reta, encontramos que uma equação da reta tangente
em(l,l)é
y-1=2(x-1) ou
Algumas vezes nos referimos à inclinação da reta tangente como a inclinação da curva
no ponto. A idéia por detrás disso é que. se dermos um grande zoom em direção ao ponto,
a curva aparentará ser uma reta. A Figura 2 ilustra esse procedímcnto para a curva y = x2
do Exemplo 1. Quanto mais forte for o zoom. mais indistinguível da reta tangente será a
parábola.
1.5
l. 1)
. l)
05 15 0.9 J,J
Um zoom cada vez mais forte sobre a pan:íbola y ·- .r em direção ao ponto (I. I)
Há outra cxprcssi.lo para a inclinação da reta tangente. às vezes mais fácil de ser
usada. Seja
h= x-a
Então x =a+ h
FiGURA 3
james Stew.art
Jogo a inclinação da reta sccantc FQ é
{(a-h) ~(u}
m:,,, -- -----~-, -··
(Veja a Figura 3, na qual está ilustrado o caso h > O c Q está à direita de P. No caso de
h< O, o ponto Q estad à esquerda de P.)
Q(a+h . .J(a+h)J
f(a +h) ---j(a)
--------~-..
o X
Observe que quando x tende a a, h tende a O (pois h =x-a); assim, a expressão pan
a inclinação da reta tangente na Definição l fica
m=Iim
h --•i)
f(a+h)- f(a)
h
EXEMPLO 2 Encontre uma equação da reta tangente à hipérbole y = 3/x no ponto (3. 1).
SOLUÇÃO Scjaf(x) = 3/x. Então a inclinação da reta tangente em (3. 1) é
. }(3+/t)-/(3)
m '"' hm -----------
h-n h
J- +h)
Iim ___ l_-i_):L __ _
h-40 h
. -h .
=hm----=hm
h-·{) h(3 +h) h--~(1 3 +h
3
Portanto. urna equação da reta tangente no ponto (3, 1) é
1
v -I~- -(x- 3)
. 3
FIGURA 4
EUHnra Thnmson
(3. l)
guc se simplifica para o
A hipérbole e sua tangente c:;.tJo na Figura 4.
Encontre as inclinações das retas tangentes ao gráfico da função
nos pontos (L!)_ (4. 2) e (9. 3)_
SOLUÇÃO Como temos de calcular três inclinações, é mais eficiente encontrar a incli-
nação em um ponto genérico (a,...,!;;):
. f( a+ h)- /(a) . .J~h- J'c;
m = hm------- -~ ltm ---'"·-------
h ~o h h--·11 h
.-- ~
,Ja-'- h -f- .,Ja
)~~-+~h + :;~;
. (a+h)-a ~hm- ( , r·) h--·oh_--,Ja+h+.,Ja
. I I I hm -----~---=--
h--() ra+h + j;; j;; + lc7 2..[;;
No ponto (I. I) temos a= I: logo, a inclinacão da tangente é m c·-= L ( 2Jl) = t-
Em (4. 2), temos m = 11( 2.J4) =~:~em (9, 3), ;e mos m L'( 2./9) ~-
Velocidades
Na Seção 2.1 estudamos o movimento de uma bola a qual deixou-se cair de cima da Torre
CN, e sua velocidade foi definida como o valor-limite das velocidades médias em perío-
dos cada vez menores.
Suponha um objeto movendo-se sobre uma linha reta de acordo com a equação s = f(t),
onde sé o deslocamento do objeto a partir da origem no instante t. A função f que descreve
o movimento é chamada função posição do objeto. No intervalo de tempo entre t = a e
t = a + h a variação na posição será de f( a +h)~ f( a) (veja a Figura 5). A velocidade
média nesse intervalo é
velocidade média deslocamento __ f(a +h)- f( a)
tempo h
que é igual à inclinação da reta tangente PQ na Figura 6.
posição no posição no
tcmpot=a tempot,=a+h
o
f(a +h) -f(a)
f(a)
--f( a+ h) -- •
FIGURA 5 FIGURA 6
Q(a+h. f(a+h))
a
f( a+ h) -j(a)
----~,--
velocidade média
Lembre·se da Seç§o 2.1: .A distància
\em metros) percorrida após t
segundos é 4 .9t'
James Stewart CAPÍTULO 2
Suponha agora que a velocidade média seja caiculada em inten·ah;;., cada yez menores
[a, a+ h]. Em outras pal;:rvras, fazemos h tender a O. Como no exemPlo da queda da bola.
definimos velocidade (ou velocidade instantânea) n(a) no instante r -.::::: 0 como 0 limite
dessas velocidades médias:
Isso signilka que a velocidade no instante t = a é igual à inclinação da reta tangente em
P (compare as Equações 2 e 3).
Agora que sabemos computar os limítes, vamos reconsiderar o problerna da queda da bola.
EXEMPLO 4 Suponha que a bola foi deixada cair do posto de observação da torre.
450 m acima do solo.
(a) Qual a velocidade da bola após 5 segundos?
(b) Com qual velocidade a bola chega ao solo?
SOLUÇÃO Em primeiro lugar vamos usar a equação do movimentos = f(t) = 4,91" para
encontrar a velocidade v( a) após a segundos:
v(t) = lim f( a+ h)- f( a)
h-O h
I. 4.9(a+h)
1
-4,9a 2
!fi~~--~--'--
h-~·; h
lim ~__,._9(a 2 + 2ah + h2 - a lim ~_:_ 9{2ah +h~)
h-4 0 h h-4() h
lim 4.9(2a +h)= 9,8a
h-~o
(a) A velocidade após 5 sé de v(5) = (9,8)(5) = 49 m/s.
(b) Uma vez que o posto de observação está 450 m acima do solo, a bola vai atingir o
chão em t 1 quando s(t1) = 450, isto é.
4.9tf 450
Isso fornece
o 450
r=~
I 4,9
e
A velocidade com que a bola atinge o chão é, portanto,
450
v(t )~9.81 ~9 si~ ~94nis
' . ' ' v 4,9
Outras Taxas de Variação
Suponha que y é uma quantídade que depende de outra quantídade x. Assim, y é uma
função de x e escrevemos y = f(x). Se x variar de x1 para X2, então a variação de x (tam-
bém chamada incremento de x) é
CÁtCUUJ
I'
i\x
taxa média de variaçtlo mrQ
taxa de variação instantânea
nação da tangente em P
FIGUR!1 7
r(h) Ti''Cl rUI)
h
() 65 l :~
6.1 !--1-
2 5.6 ]:'i
3 4.9 16
4 --L2 17
5 4.0 !X
6 4Jl !9
7 '-U\ 20
8 6J 2!
9 83 '1-"l
j{) 10.\J
l i
i
LU 24
i2 l·L3
-----· I
incli-
Ti"C•
16.0
"
lK.2
1'"8
17.6
J (JJ)
J4J
i .i 5
)() .2
9.0
c
,9
7 _\!
c a variação correspoilJentc de -_:r _é
r:\y --- ) - f(x,)
O quociente de diferenças
c\l' /l\_]__:: _ _l1~J.}
D.x X 2 - X1
é denominado de taxa média de variação dey em relação a x no intervalo [x1.x2 ] e pode
ser interpretado como a inclinação da reta sccante PQ na Figura 7.
Por analogia com a velocidade. consideramos a taxa média de variação em intervalos
cada vez menores fazendo .-r: tender a XJ c. portanto. fazendo ..l.:r tender a O. O limite
deSsas taxas médias de variação é chamado taxa (instantânea) de variação de y em
relação a x em x = .r1• que é interpretada como a inclinação da tangente à curva y = j\x)
em P(x,,j(x,)):
taxa instantânea de variação "0 lim -~~'~ =-~ lim LJ::-c}- _!Jj)
.\,-·o A-r x: - x
1
EXEMPLO 5 Foram registradas as leituras de temperatura T (em graus Celsius) a cada
hora, começando à meia-noite, em um dia de abril na cidaJe de Whitefish. em Montana.
nos Estados Unidos. O tempo x foi medido em horas a partir da meía-noite. Os dados
estão na tabela.
(a) Encontre a taxa média de variação da temperatura em relação ao tempo
(i) do meio-dia até as 15 horas.
(iii) do meio-dia até as 13 horas"
(ii) do meio-dia até as 14 horas.
(b) Estime a taxa de variação instantânea ao meio-dia.
SOLUÇÃO
(a) (i) Do meio-dia às 15 horas a temperatura varia de 14,3 ''C a 18.2 °C: logo
t1F T(!S) T(12) = 18,2- 14.3 = 3,9 oc
enquanto a variação no tempo foi de à:r = 3 h. Dessa forma, a taxa de variação
média da temperatura em relação ao tempo lç
As unidades para a taxa média de
variação !1T/!1_x:. sao unidades de :::..T
divididas por ,l__t, iSto é, graus Ce!sius
por hora. Como a taxa de variação
instantânea é o iimite das taxas médias.
ela é n~edida na mesma unidade
Ce!sius por hora_
Outro método é tornar a média das
inclinações das duas retas secantes
VeJa o Exemp!o 2 na Seção 2_1
FIGURA 8
J:ames Stswart
(ii) Do mcitH.Jia ~1s l ,.f horas a laxa média de variaç~1o é
(iii) Do meio~dia ~ls 13 horas a taxa média de variação é
AT T(13)-T(I2) 16.0-14.3 ···---~·-· ~ .... __ ~I, 7 'C!h
13 ~ 12 1
155
(b) Desenhando os dados e usando-os para esboçar uma curva suave obtemos a Figura 8.
que aproxima a função temperatura. Então traçamos a reta tangente no ponto P, onde
X c_--::_ 12 c' após medir os lados do trifmgulo ABC. estimamos que a inclilla~·ão da tangente é
i Bel'= IIU = 1,9
IAC 5.5
Portanto. a taxa de variação instantânea da temperatura ao meio-dia é de 1.9 "C/h.
B
18
16
1"
12
10
s ~··· . ·~
6
" 2i
I
------·
o! 1 2 3
"
A velocidade de uma partícula é a taxa de variação do deslocamento em relação ao
tempo. Há também um interesse dos físicos por outras taxas de variação, como. por exem-
plo. a taxa de variação do trabalho em relação ao tempo (que é chamada potência). Quem
estuda as reações químicas se interessa pela taxa de variação da concentração de um
reagente em relação ao tempo (denominada taxa de reação). Uma siderúrgica se interessa
pela taxa de variação do custo de produção de x toneladas de aço por dia em relação a
.:r (definida como custo marginal). Um biólogo está interessado na taxa de variação popu-
lacional de uma colônia de bactérias no tempo. De fato, o cálcu]o de taxas de variaçôes é
ímportante nas engenharias e em todas as ciências naturais, exatas e até mesmo as sociais.
Posteriormente, na Seção 3.3, daremos outros exemplos.
Todas essas taxas podem ser interpretadas como inclinações de tangentes. Isso torna
significativa a solução do problema da tangente. Sempre que resolvemos um problema de
reta tangente, não estamos tão-somente resolvendo um problema geométrico. Implici-
tamente estamos resolvendo uma grande variedade de problemas envolvendo as taxas de
variação.
LÁlCUUJ Editora Thcmscm
1. C ma curva tem por equw,;ão y coe j(x).
(a) EscreYa uma expres:-.ão para a indinaçào da reta sccantc
pelos pontos Pi3.f{3)) c Q(x.fLr)).
(b) Escreva uma exprcssâo para a inclina<;J.o da rct<.t tangente em P.
2. Considere um objeto movem.Jo~sc
com uma função posiçi:ío
s ~/(r).
(a) Escreva uma expressão para a velocidade média dele no
intervalo de tempo dt.~sde t = a até t = u +h.
(h) Escreva uma expressão para a velocidade instantánca dele
no tempo t =a.
3. Considere a índínaçâo da curva em cada um dos cinco pontos da-
dos. Classifique-os em ordem decrescente e explique seu raciocínio.
B
c
o
4. Faça o grá!lco da curva y =e' nas janelas[·- L l] por [0, 2].
[ · 05. O"i] por [0,5, 15] e [ -OJ- OJ] por [0.9_ LI]. Dando um
zoom em direção ao ponto (O, I). o que você nota em (0. 1 )?
5. (a) Encontre a inclinação da reta tangente à parábola
y = x 1 + 2x no ponto ( --3. 3)
(i) usando a Definição l
(ii) usando a Equação 2
(b) Encontre a equação da reta tangente da parte (a).
(c) Faça os gráficos da parábola e da reta tangente. Como
verificação, dê um zoom em direção ao ponto (-3. 3) até
que parábola e a reta tangente fiquem não distinguíveis.
6. (a) Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = x' no
ponto(-l,-1)
(i) usando a Definição 1
(i i) usando a Equação 2
(b) Encontre a equação da reta tangente da parte (a).
(c) Faça um gráfico da curva c da reta tangente em retângulos
cada vez menores centrados no ponto (-L -1) até que a
curva c a tangente fiquem não distinguíveis.
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
7. y 1 +2x-x;. (1,2)
8. r --/2x+l, (4,3)
9. v ~ (x- 1)/(x- 2), (3, 2)
10. v~ 2</(x + 1)'. (L 2)
11. (a)
(b)
12. (a)
(b)
(c)
13. (a)
íb)
(c)
14. (a)
(b)
(c)
Encontre a inclinação da tangente à curva y ·= ...;... 3)
no ponto onde x = a.
Encontre as inclinações das retas tangentes nos pontos
cujas coordenadas x são (i) -1, (ii) O c (iií) I.
Encontre a inclinação da tangente à parábola
y 1 -1- x + x~ nos pontos ondex =a.
Encontre as inclinações das retas tangentes nos pontos
cujas coordenadas x são (i) -1. (ii) e (iiil J.
Faça o gráfico da curva e das três
retas tangentes em uma tela em comum.
Encontre a inclinação da tangente à curva
y = x 1 ~- 4x + I no ponto onde x = a.
Encontre as equações das retas tangentes nos pontos
íL -2) e (2, 1).
Faça o gráfico da curva c das tangentes em uma tela em comum.
Encontre a inclinação da tangente ü curva V = 1 / j; no
ponto onde x = a.
Encontre as equações das retas tangentes nos pontos (1, l)
e ( 4,1)
Faça o gráfico da curva e das tangentes em uma tela em comum.
15. O gráfico ilustra a função posição de um cano. Use a forma do
gráfico para explicar sua resposta para as seguintes questões.
(a) Qual a velocidade inicial do cano?
(b) O cano está mais rápido em B ou em C?
(c) O carro está aumentando ou diminuindo a rapidez em :1, B e C?
(d) O que aconteceu entre De E?
D
B
A
16. Valéria diríge em uma auto~estrada. Esboce o gráfico da função
posição do carro, se ela dirigir da seguinte maneira: no instante
t ==O, o cano está no ponto onde o marcador de milhas mostra
15 c viaja a uma velocidade constante de 55 milhas por hora.
Continua com essa velocidade por exatamente 1 hora. Então
gradualmente o cano vai diminuindo a velocidade em um
período de 2 minutos, quando Valéria pára para jantar. O jantar
dura 26 minutos c, assim. então ela recomeça a viagem aumen-
tando gradualmente a velocidade até 65 milhas por hora, em
um período de 2 minutos. Ela dirige a 65 milhas por hora por 2
horas c. então, num período de 3 minutos, gradualmente pára
completamente o cano.
11. Se uma bola for atirada ao ar com uma velocídade de 40 pés/s.
sua altnra (em pés) depois de t segundo:; é dada por y = 40t- 16f.
Encontre a velocidade quando t = 2.
Se uma t1echa é atirada para cima sobre a superfície da Lua
com uma vclocídadc de sg m!s. sua altura (em metros) após t
segundos é dada por H = S8t ~ 0,83('
(a) Encontre a velocídadc da flecha após um :::eg:undo.
(b) Encontre a velocidade da flecha quando r a.
{(:) Quando a t1ccha volta para a Lua?
(d) Com que Yelocidade ela atinge a Lua'?
19. O deslocamento (em metros) de uma partícula movendo-se ao
longo da reta é dado pela equaçfio do movimento _
s = 4t 3 + 61 + 2. onde t é medido em segundos. Encontre a
velocidade da partícula no Instante 1 ~· a. t = l. t ""~ 2 e t = 3.
20. O deslocamento (em metros) de uma partícula moYcndo-se ao
longo da reta é dado pela equação s f~ 8t + ! 8. onde r é
medído em segundos.
{a) Encontre as velocidades médias sobre os seguintes
intervalos de tempo:
(i) [3. 4] (ii) [3.5. 4] (iii) [4. 5] (iv) [4. 4.51
(b) Encontre a velocidade instantânea quando t = 4.
(c) Faça o gnitico de s como uma funçâo de f c desenhe as
retas sccantes cujas inclinações sejam as velocidades
médias da parte (a), e a reta tangente cuja inclinação seja a
velocidade instantânea da parte (b).
21. Uma lata de refrigerante morna é colocada na geladeira.
Esboce o grMko da temperàtura do refrigerante como uma
função do tempo. A taxa de variação inicial da temperatura é
maior ou menor que a taxa de variação após l hora?
22. Um peru assado é tirado do forno quando sua temperatura
atinge l85 "F e colocado sobre uma mesa na sala, na qual
lrtcmpcratura é de 75 "F. O gráfico mostra como decresce a
temperatura do peru até que se aproxime da temperatura da
sala. (Na Seção 9.4 poderemos usar a Lei do Resfriamento de
Newton para encontrar uma equação para T como uma função
do tempo.) Por meio da medida da inclinação da reta tangente.
estime a taxa de variação da temperatura após 1 hora.
Tf"F)
:200
p
!00 f-~------=:.::====
:'\0 60
·······--··-""'-·~··-
90 i20 150 r
(min)
23. (a) Use os dados do Exemplo 5 para achar a taxa média da
mudanca da temperatura em relação ao tempo
(i) da,s 8 horas da noite às 1! horas da noite.
(íi) das 8 horas da noi!e às lO horas da noite.
(iii) das 8 horas da noite às 9 horas da noite.
(b) Estime a taxa instantúnca da Yatiação de T em relação ao
insttmte 8 hora<> da noite medindo a indinação de uma tangente.
24. Uma estimativa anual da população da Bélgica, P (em milhares).
de 1992 a 2000 é mostrada na tabela a seguir.
CAPÍ1JjLQ 2 t:::'
( cl) Encontre a .taxa média do nescimento
(i) de 1992 a 1996 (iÚ de 1994a J99ú (íiihk·Jf)lf(,;; !?JS
Em cada caso. indua as unidades.
(hJ Estime a taxa inst<mtilnea de crescimento ícJn !996 tumando cl
média de dua .. <> t;:txas médias da Ymiacão. Qu<~i~ :;àn :,u~Ls unidade<?
(c) Estime a taxa instantânea de cres.cimt:nt\J em 1996
medindo a inclinação de uma tangente.
25. Uma estimativa anual dos usuários de telefone celular na
;\1alásia. N (em milhares). é mostrada na tah~.;Ja.
(a) Determinar a taxa médla de crescimento
(i) de 1995 a !997 (ii) de 1995 a 1996 (iíiH.k !994 a 1995
Em cada caso inclua as unidadt>:S.
(b) Dê uma estimati>:a da taxa de crescimento instantânea em
1995 tomando a média de duas taxas mtdias de variação.
Quais são suas unidades?
(C) Dê uma estimativa da taxa de crescimento instantànea em
1995 medindo a inclinação de uma tangente.
26. O número N de franquias de uma certa cadeia popular de
cafeteiras é mostrada na tabela. (Esse número é obtido no dia
30 de junho de cada ano.)
(a) Determinar a taxa médía de crescimento
(i) de I996a 1998 (ii)de 1997a !998 (iií)de 199Xa 1999
Em cada caso inclua as unidades.
(b) Dê uma estimativa da taxa de crescimento instantânea em
! 998 tomando a média de duas taxas médias de variação.
Quais são suas unidades?
(c) Dê uma estimativa da taxa de crescimento instantânea em
1998 medindo a inclinação de uma tangente.
27. O custo (em dólares) de produzir x unidades de uma certa
mercadoria é C(x) = 5.000 + !Ox + 0.05x'.
(a) Encontre a taxa média da variação de C em rdaçi'ío a x
quando os níveis de produção estiverem variando
(i) dex= l00ax=l05 (ii) dex= IOOax= 101
(b) Encontre a taxa instantânea
da variação de C em relação a
x quando x = 100. (Isso é chamado custo marginal. Seu
significado será explicado na Se~·ão 3.3.)
28. Se um tanque cilíndrico comporta 100.000 galões de água. que
podem ser escoados a partir da base do tanque em uma hora.
então a Leí de Torricelli fornece o volume V de água que
restou no tanque após t minuto.-; como
Vlt) ~ lOO.OOO(I - 1-)' O'' t ~ óO
. 60
Encontre a taxa segundo a qual a água está Jluíndo para fora do
tanque (a taxa ínstantânea da variação de V em relação a t)
como uma função de t. Quais são suas unidades? Para os
instantes t = O, 10. 20. 30. 40. 50 e 60 minutos. encontre a
taxa do fluxo e a quantidade de água restante no tanque.
Resuma o que você achou em uma ou duas sentenças. Em que
instante está a taxa do fluxo máximo? E o mínimo?
16!3 GA_lCULD
r( a) é lido "f linha de a"
Na Seção 2.7 dctlnimos a ínclina~'fio da tangente à curva com c-quaç~o y f\x) no ponto
onde x = a como
/(o + h) ·· fia)
m = lim
·Ü h
Também vimos que a velocidade de um objeto com uma função posü;ão s
ínstante t = a é
De fato, o limite da forma
. f( a + h) -f( o) hm ---~~--~~-
h--·u h
f (I) no
surge sempre que calculamos uma taxa de variação em uma das ciê-ncias ou engenharia.
tais como a taxa de reação em químíca ou o custo marginal em economia. Uma vez que
esse tipo de limíte ocorre amplamente, são dados a ele um nome c uma notação especiais.
[~21 Definição A derivada de uma função f em um número a, denotada por f'(a), é
1.,1 ) 1. f( a + h) ·· f(a) a = 1m
h •() h
se o limite exíste.
Se escrevermos x = a+ h, então h = x ~a, e h tende a O se e somente se x aproximar-
se de a. Conseqüentemente, urna maneira equivalente de enuncíar a definição da derivada.
como vimos na determinação das retas tangentes, é
f(x) f(a) r (a) ~ li m c!.é:.:.'..--"...:C
>_---·a x a
EXEMPlO 1 Encontre a derivada da função f(x) = _:r 2 - 8x + 9 em um número a.
SOLUÇÃO Da Definição 2 temos
'(.. . f(a + h) ··f( a) f a)~ hm-~~~~~~
. h ·(l lz
. [(a + h)' - 8(a + h) + 9] [a' - 8a ~l· 9] ~ hm · -"---"~
h ~o h
. a
2 + 2ah + h 2 - 8a -- 8h + 9 - a 2 T 8a - 9 hm ···~···~~·~~~~....-~
h 'O h
2ah +- h 2 - 8h
~ lim ······~-···~-~ - lim (2a
h --·() h h -->0 + h - 8)
~ 2a- 8
FIGURA 1
Interpretação geométrica de uma
derÍ\'ada
J.ames Stewart
Interpretação da Derivada con1o a Inclinação da Reta Tangente
Na Seção 2.7 dcíinimos a reta tangente ú curva _Y -:: f(x) no ponto P(a.f(a)) como a rçta
que passa em P e tem inclinação m dada pela Equação l. Uma vez que. pela Deíiniçfín :2.
isso é o mesmo que a derivada f'( a). podemos agora dizer o $Cguinte.
A reta tangente a y;::;; f(x) em (a.f(a)) é a reta que passa em (a.f(a)), cuja
ínclinaçiío é igual a f(a). a derivada de f em a.
Assim. a interpretação geométrica de uma derívada [como dclinida por (2) ou (3}j é
como ilustrado na Figura 1.
Yt
I
. y = f(x)
I
p +h)-j(a)
h
o
- --- -- ___ L___ • --~----·-- - - -- - -- ----· ,..
a u +h x
j(a +h)-- j(a)
(a) f'(a) occ Jün
h
" I
i
p
o
a X
/íx) -f(a) (bl j'(a) = lim
h--·o X a
y ~"' fü)
•
X
= inclinação da tangente em P
= inclinação da curYa em P
= inclinação da tangente em P
= inclinação da curva em P
Se usarmos a fomm ponto-inclinação da equação de uma reta, poderemos escrever um;:
equação da reta tangente à curva y f(x) no ponto (a,f(a)):
y- f(a) - f'(a)(x - a)
EXEMPLG 2 Encontre uma equação da reta tangente à parábola y = x 2 8x + 9 no
ponto (3, -6),
SOLUÇÃO Do Exemplo 1 sabemos que a derivada de f(x) = x 2 - 8x + 9 no número a é
f'( a) - 2a - 8, Portanto a inclinação da reta tangente em (3, -6) é
x f'(3) = 2{3)- 8 = -"2. Dessa fonna, uma equação da reta tangente, ilustrada na
Figura 2. é
-(3, ~6)
_v= ~2x
y- (-6) ~ (-2)(x- 3) ou y = -2x
FIGURA 2
~-~
'
IJ.I
0.01
o .00 !
I ononJ
I
OJ
~ (JJ)!
·-O JlO l
0.1!00 I
~
T
I
h
(_}_])/-;
0.696
0.093
' 0.693
I 0.670 0Ji9l
I
0.693
ONn
; ((). 1)
EXEM?UJ 3 Seja
_ . Estime o valor de
(a) l.Tsando a Dcflni~·ão 2 c tomando os valores de h suc,:;ss_iv~uncntc menores.
(b) lnteqm.:tando f'íO} como a inclinas:ão de uma t<mgente c usando uma calculadora
grát-ka para dar um ::.uom sobre o gráfico de y = 2 '.
SOLUÇAO
(a) Da Dcíiniçfío 2 temos
, . . f(h) j(O) f (0) - lnn ~·
. i, ,f) h
. 211 - I hrn ~~--·-
~, -•0 h
Uma vez que ainda não somos capazes de calcular esse limite exatamente. vamos usar
uma calculadora para aproximar os valores de (2 11 -- l)/ h. Da evidência numérica da
tahcla vemos que, quando h tende a O. esses Yalorcs parecem tender a um nLimCro pró-
ximo de 0.69. Logo nossa estimativa é
f'(O)"' 0~69
(b) Na Figura 3 vamos fazer um gráfico da curva y = 2' e dar um ::,oom em direção ao
ponto <0, 1). Quanto mais prôximo estivermos de (0. 1), mais a curva se parecerá com
uma reta. De fato, na Figura 3(c) a curva é praticamente indistinguível de sua reta
tangente em((), I). Uma vez que a escala _y c a escala _Y são amhas 0,01. vamos estimar
que a inclinação para essa reta é
0.14
·-~ 0.7
0.20
Logo nossa estimativa da derivada é f'( O):::::: 0.7. Na Seção 3.5 vamos mostrar que. cor~
reto até a sexta cas<rdccimaLf'(O):::::: 0.693147.
(o) [~I~ li por [O~ 21 (b) [ -0.5. 0.5] por [0.5. 1.5] (c)[-D~LOJ]porl0~9~ 1.11
F!GURA 3 Dando um :oom no gráfico de :r= 2' próximo de (O. 1)
Interpretação da Derivada como uma Taxa de Variação
Na Seção 2.7 definimos a taxa de variação instantánca de )' = /Ct) em relação a x em
x .:r 1 como o limite das taxas médias de variação sohre os intervalos cada vez menores.
Se o intervalo for [x 1,x:]. entã,o a variação em x é ..1x = x 2 - xi. a variação correspon-
dente em .r é
C.y ~ f(x,) - f(x,)
c
_I' A
I I;
-+
FIGURA4
-------·- ----~
X
Os valores de y estão mudando rapi-
damente em P e lentamente em Q
161
Da Equação 3 reconhecemos esse limite como sendo a derivada Je {em x;. isto é. f'(x 1)
Isso fornece uma segunda interpretação da derivada: ·
A deri-vada f'( a) é a taxa de variação instantünca de).~-- fCr) em relação a x quando
x c-~ a.
A conexão com a primeira interpretação é que se esboçarmos a .:urva y = f(x), então<
taxa instantânea da variação será a inclinação da tangente a essa curva no ponto onde x = a
Isso signitlca que quando a derivada for grande (c portanto a curva será fngreme no pont(
P na Figura 4). os valores de y mudarão rapidamente. Quando a derivada for pequena,;
curva será relativamente achatada, e os valores de y mudarão lentamente.
Em particular, se s = f(t) for a função posição de uma partícula que se move ao long<
de uma reta, cntüo, f'(_a) scrd a taxa de vmiação do deskx:m11cnto sem relação ao tempo t. Em ou
tras palavras.f'(a) é a velocidade da partícula no instunte t = a (veja a Seção 2.7). A rapi
dez da partícula é o valor absoluto da velocidade. isto é. !f'( a) 1-
EXEMPLO 4 A posição de uma partícula é dada pela equação do movimento
s = f(t) = I/O + t), onde t é medido em segundos c s. em metros. Encontre a
velocidade e a rapidez após 2 segundos.
SOLUÇÃO A derivada de f quando I ~ 2 é
f( J ~ h) fP) /'(2) ~ lim - ' · · -
. h-0 h
3 - (3 + h)
3 + h 3 3(3 + h)
~ lim ---,--- - lim ----,---'--
~;~o h h·· -o h
~lz 1
~ lim --- ~ Jim ----
;, •O 3(3 + h)lz ' ·O 3(3 + h) 9
Assim, a velocidade após 2 segundos é f'(2) = - ~; m/s, e a rapidez é
I f'í2l I - I · !j I - ( m/s
EXEMPLO 5 Um fabricante produz peças de fazenda com largura fixa, e o custo da
produção de x metros desse material é C = f(x).
(a) Qual o significado da derivada f'(x)? Quais suas unidades?
(h) Em termos práticos, o que significa dizer que f'( 1.000) = 9?
(c) O que você acha que é maior, f'í50) ou f'(500)"
E /'(5.000)?
SOLUÇÃO
(a) A derivada f'(x) é a taxa de variação instantânea de C em relação a _:r; isto é, f'(x)
significa a taxa de variação do custo de produção em relação ao número de metros pro-
duzidos. (Os economistas chamam essa taxa de variação de custo marginal. Essa idéia
está discutida em mais detalhes nas Seçües 3.3 e 4.8.)
Aqui estamos assumindo que a
função custo é bem comportada; ou
seja Ctr) náo oscila muito rapidamente
prówno a x t .000
Como
c:\. C
lim
;,, _,O ~.X
as unidades para f'(x) são iguais úque]as do quociente de difereni.;aS ...1C/ ..'lx. Uma \-ez
que .lC é medida em dólares c ilx em metros, segue que a unidade para f Cr) é dólares
por metros.
(b) A afirmação que f ( 1.000) = 9 significa que. depois de 1 .000 metros da peça terem
sido fabricados, a taxa segundo a qual o custo de produção estü aumenlando é$ 9/metw.
(Quando x = l.OOO. C está aumentando 9 vezes mais rápido que .:r.)
Uma vez que D.x ;;-~ I é pequeno compmado com x = 1.000. podemos usar a aproximaçflo
::.c ::.c
f (l.OOO)= ~ ~ ~ ~ :1C
· :1x I
e dizer que o custo de fabricação de I .000 metros (ou os 1.00 I primeiros metros) está
em torno de $ 9.
(c) A taxa segundo a qual o custo de produção está crescendo (por metro) é
provavelmente menor quando x = 500 do que quando x = 50 (o custo de fabrica~~ão do
500° metro é menor que o custo do 50° metro), em virtude da escala econômica. (Um
fabricante usa mais eficientemente os custos fixos de produção.) Então
f'[ 50)> }'(500)
Mas, à medida que a produção expande, a operação de larga escala resultante pode se
tomar ineficiente, e poderiam ocorrer custos de horas extras. Assim, é possível que a
taxa de crescimento dos custos em última análise comece a crescer
f'(S.OOO) > f'(500)
O exemplo a seguir mostra como estimar a derivada de uma função disposta em tabela,
isto é. urna função definida não por uma fónnula, mas por uma tahela de valores.
EXEMPLO Seja D(t) a dívida dos Estados Unidos no instante t. A seguinte tahela
concede os valores aproximados dessa função fornecendo as estimativas da dívida. ao
flm de cada ano, em bilhões de dólares. no período de 1980 a 2000. Interprete e estime
os valores de D' (1990).
SOLUÇÃO A derivada !Y ( 1990) indica a taxa de variação da dívida D com relação a r quando
1990. isto é. a taxa de crescimento da dívida nacional em 1990.
De acordo com a Equação 3,
U(l990) ~ lirn IJ~t)- JJ(I990)
•l%/rl f - J99()
-Jame:s Stewart CAPÍTUlO 2 UM!TES E DERiVADAS H33
Dessa forma, computamos os valores tabulados do quociente de diferenças (as taxa:-;
médias da variação) como a seguir:
257.43
~ Outro método é desenhar a função
dívida e estimar a inclinação da reta
tangente quando r"' ! 090 {veja o
Exemplo 5 da Seção 2.7).
Da tabela vemos que D'( 1990) situa-se em algum lugar entre 257.48 e 348,14. {Aqui
Jlzcmos uma suposição de que a dívida não teve uma variação violenta entre 1980 c
2000.j E:-.timamos que a taxa de crescimento da dívída nacional dos Estados Unidos em
1990 foi a média Jesses dois números, a saber:
Exercícios
1. Sobre um dado gráfico f, marque o comprimento que
represente f(2).f(2 + h),/(2 +h)- /12) e h. (Escolha h > 0.)
/(2 + h) -/121,, Qual reta tem a inclinação
h
_,_- = j(x)
~--+----------- "'"
2 ,-
2.. Para a função f cujo gráfico está ilustrado no Excrcícío l,
disponha os seguintes números em ordem crescente e
explique seu raciocínio:
o /'(2) /(3) - /(2) ; [/(4) - /(2)]
3, Para a função g cujo gráfico é dado, disponha os seguintes
números em ordem crescente e explique seu raciocínio:
o g'l-:2) g'(O) g'(2) g'i4)
"
·1 r g(x)~-
• / -;S~.
I I
I
4
•
X
4. Se a reta tangente a y = f(x) em (4. 3) passa no ponto (0, 2),
cncontrc/(4) e f'(4).
D' (1990) ~ 303 bilhões de dólares por ano
5. Esboce o gráfico de uma função de f para o qualf(O) =O,
f'(O) ~ 3, f' (I)~ O e f'(2) ~ -1.
6. Esboce o gráfico de uma função g para o qual g(O) = O.
g'(O) ~ 3.g'(J) ~ Oeg'(2)~ L
7. Sef(:r) = 3x:- Sx. encontre J'(2) e use~o para achar uma
equação da reta tangente à parábolay = 3x:- Sx no ponto (2. 2).
8. Se gCr) = I - x-'. encontre g' (0) e use~o para achar uma
equação"tla reta tangente à curvay = I -x'no ponto (0. 1).
9. (a) Se F(x) = x-' -- Sx + l, encontre F' (1) e use-o para achar
uma equação da reta tangente à curva y = .i'- 5x + 1 no
ponto (L -3).
(b) Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e a reta
tangente na mesma tela.
10. (a) Se G(x) = x/( I + 2x), encontre G'(a) e use-o para achar
uma equação da reta tangente à curva y = x/0 + 2x) no
ponto ( ·-;;. ).
(b) llustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e a reta
tangente na mesma tela.
11. Seja f(x) = 3'. Estime o valor de f'(l) de duas maneiras:
(a) Use a Definição 2 e tome os valores sucessivamente
menores de h.
(b) Dê um zoom sobre o gráfico de y = Y e estíme a
inclinação.
12. Seja g(x) = tg x. E;-;timc o valor de g'Crr/4) de duas maneiras:
(a) Use a Definiçilo 2 e tome os valores sucessivamente
menores de h.
(b) Dê um z.oom sobre o gráfico de y = tg x e e:;.time a
inclinação.
13-18 Encontre J'(a).
13 . .f(x) = 3-2x+4x1
2t +I 15. j(x) ~
1+3
14. j(x) = ('• -5t
16. f(x) ~ x
2 +I
x~2
18 .. f(x) ~ .,_i3_Y + 1
Cada limite representa a d~?rivada de alguma função f em
algum número a. Eslilhck:çafc o çm cada caso.
19.
(I+ h f'
lim--~-
h->L> h 20.
Em 1fF:/; - 2
h~ o h
2'- 32
21. lim---·
,__,_:; x~S 22.
tg x~l
!im ::r= íT/4
cos(o.+h)+ 1
23. lim--·--~-
~;__,_o h 24.
. t 4 +t-2 hm-~~--
1 _,1 1 - I
25~26 Uma partícula moYc-se ao longo de uma reta com a
equação do mo\·imento s =f( r), onde sé medido em metros e r em
segundos. Encontre a velocidade quando t = 2.
25. fít) ~ 12 - 61 ~ 5 26. fi!) ~- 2t 2 { +!
27. O custo da produção de x onças (I libra = 12 onças) de ouro
provenientes de uma nova mina é C = f(x) dólares.
(a) Qual o significado da derivada de f'(x)? Qu~Us são suas unidades?
(b) O que significa f' (SOO) = 17?
(c) Você acha que os valores de f'(x) vão crescer ou decrescer
a curto prazo? E a longo prazo·: Explique.
28. O número de bactéria depois de t horas em um laboratório
cxpcriment;JI controlado é n = f(t).
(a) Qual o significado da derivada de f'(5)? Quais são sua.<; unidades?
(b) Suponha que haja uma quantidade ilimitada de espaço e
nutrientes para a bactéria. O que é maior: f'(5) ou f'(IO)?
Se a oferta de nutrientes for limitada. o que afetaria sua
conclusão? Explique.
29. O consumo de combustível (medido em galôcs por hora) de um
carro ú~~jando a uma velocidade de v milhas por hora é c =f( v).
(a) Qual o significado da derivada de j'(v)? Quais suas unidades?
(b) Esçreva uma sentença (em termos leigos) que explique o
significado da equação f'(20) = -0.05,
30. A quantidade (em libras) de café vendida por uma companhia para
uma lanchonete a um preço de p dólares por libra é Q = f(p).
(a) Qual o significado da derivada de f(8)? Quais são suas mlidades?
(b) f'(8) é positivo ou negativo? Explique.
31. Seja T(t) a temperatura (em "F) em Dallas 1 horas após a meia~
noite em 2 de junho de 2001. A tabela mostra os valores dessa
função registrados de duas em duas horas. Qual o significado de
T'(lü)'? Estime o seu valor.
32. A expectativa úe Yida melhorou siznific:.ltÍ\"<lmente no século
XX. A tabela fomcce os valores J~ Eítl. a expectativa de Yida
no nascimento iem anps) de um menino no ano 1 nos Estados
Unidos. Interprete e estime os valores de E'{19!0) c E'(lt.l50).
i'-)'f;
33. /\quantidade de oxigênio dissolvido em água depende da
kmpcratura da água. (Logo. a poluição ténnica influencia o
oxigênio contido em üg:ua.) O gráfico mostra como a solubilidade
do oxigênioS varia como uma função da temperatura
T da água.
(a) Qual o significado da derivada S'U)? Quais são suas unidades?
(b) Dê uma estimativa do valor 5'(16) e interprete-o.
34.
.\A
rn;2_, L)·
16
16 ::'4
>
,-10 T('"C)
O grüfl:co mostra a inl1uência da temperatura T sobre S a
velocidade m{nima de nado sustentável do salmão Coho.
(a) Qual o significado da derivada S'(7)? Quais são suas unidades?
(b) Dê uma estimativa do valor S' ( 15) c de S' (25) c intcrprete~os.
S-~o
10 .2()
Deten11inc se existe ou não j'(O).
35. /(d- r
{
xsen_!_ se x 7"'- O
:ti. f(x)
{
' I
. ~-sen-;- se x ~O
O se x =O se x =O
Métodos Iniciais para Encontrar as Tangentes
A primeira péssoa a formular explicitamente a<; idéias de limite e dérivàda feri sir Isaac NéWtóri,- ení 166ft
Mas Ne\vton reconhecia que "Se vejo mais longe do que outros hoinen.'> é porque estoU Sobie OS ombíús
de gigantes". Dois desses gigantes eram Picrre Fermat ( 1601-1665) e seu professor em Cambridge, Isaac
Ban·ow (1630-1677). Newton estava familiarizado com os métodos deles para encontrar as retas
tangentes, e esses métodos desempenham papei importante na formulação final do cálculo de Newton.
Jemas Stewan
As seguintes referências contém explicaçües desses métodos. Leia uma ou maís referências e
escreva um relatório comparando os métodos ou de Fermat ou de Barrow com os métodos
modernos. Em particular, use o método da Seção 2.8 para achar uma equação da reta tangente à
curva y = x" + 2x no ponto (1, 3) e mostre como Fermat ou Barrow teriam resolvido o mesmo
problema. Embora você tenha usado as derivadas e eles não, mostre a analogia entre os métodos.
1. BOYER, Carl; MERZBACH Uta. A History of Mathematics. Nova York: John Wiley, 1989,
p. 389.432.
2. EDWARDS, C. H. The HistOTical Development ofthe Calculus. Nova York: Springer-Verlag,
1979. p. 124. 132.
3. EVES, Howard. An lntroduction to the Hiswry r~f Afathemmics. 6. ed. Nova York: Saunders,
1990. p. 391.395.
4. KLINE, Morrís. i\:!athematical Thought~from Ancient io !vlodern Time.'i·. Nova York: Oxford
University Press, 1972, p. 344, 346.
A Derivada como uma Função
Na seção precedente consideramos a derivada de uma função f em um número fixo a:
f '( ) 1. f(a + h) - j(a) a = 1m
11-·->0 h
Aqui mudamos nosso ponto de vista e vamos variar o número a. Se substituirmos a n<-
Equação I por uma variável x, obteremos
f'(x) = lim f(x + h) - f(x)
n-~o h
Dado um número x para o qual esse limite existe, atribuímos a x o número f'(x). Logo
podemos considerar f' como uma nova função, chamada derivada de f e definida pel.:
Equação 2. Sabemos que o valor de r em X, f'(x). pode ser interpretado geometricamentE
como a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x,f(x)).
A função f' é denominada derivada de .f, pois tem sido "derivada'' de f pela operação-
limite na Equação 2. O domínio de f' é o conjunto {x I f'(x) existe} e poderia ser meno1
que o domínio de f.
EXEMPLO 1 O gráfico de uma função fé ilustrado na Figura 1. Use-o para esboçar o
gráfico da derivada f'.
:q.
I
FIGURA 1
Observe que onde a derivada é
positiva {à direita de C e entre A e JJ), a
íunção f é crescente_ Onde [(x) é
negativa {à esquerda de A e entre
B e C) ,fé decrescente_ Na Seçao 4.3
provaremos que isso é válido para
todas as funções.
FIGURA 2
SOLUÇÃO Podemos estimar o valor da derivada de qualquer valor de x trctç;,mclo a
tangente no ponto (_~:.f(x)) e estimando sua inclinação. Por cxcmplzL pan1 ::::- 5 u''"'""''
a tangente em P na Fígura 2(a) e estimamos sua inclínação para c:-:tar em torno de _,_
assim f'(5) ~ 1.5. Isso nos permite desenhar o ponto ?'(5. 1.5) sobre o gráfico de f'
diretamente ahaixo de P. Repetindo c~se procedimento em vários pontos. obtemos o
gráfico ilustrado na Fígura 2(b). Note que as tangentes em A., B c C são horizontais;
logo, a derivada é o Já e o gráfico de r cruza o eixo .Y no ponto A.'. B' c C' diretamente
abaixo de A, B e C. Entre A e B as tangentes têm inclinação positiva; Jogo. f'(x) é posi-
tivo lá. Mas entre BeCas tangentes têm inclinação negativa: logo. f'(x) é negativo !;l.
)
B
A
Y = f(x) p
(l
X
c
(a)
P'(5. 1.5)
y ~ j'(x)
B'
c 5
(b)
Se uma função estiver detlnida por uma tabela de valores, então poderemos construir
uma tabela de valores aproximados de sua derivada. como no exemplo a seguir.
19SJ, l .5
19S6
l9KS 25 .ti
t990 3KJJ
1992 36.?-\
199·+ 29.0
!996 lh.S
199S S.5
' '
A Figura 3 ilustra o Exemplo 2
mostrando os gráficos da !unção
população B(!} e de sua derivada B'(t)
Observe que a taxa de crescimento
populacional cresce até um máximo
em 1990 e, depois, passa a decrescer.
James Stewart os
·;:>:E?I:V , __ _; "-- Seja B(t) a população da Bélgica no insiante L A tabela fornece os Yalorc;-;
médios anuais de B(t), ~m milhares. de 1980 a 2000. Construa urna tabela de Valorc:-
para a Uerivada dessa funçüo.
SOLUÇÃO Presumindo que não haja uma Hutuação víolcnta nessa populaçao entre os
valores estahclecidos, vamos começar dando urna aproxlmação para E'( 1988), a taxa de
crescimento populacional da Bélgica em 1988. Como
Ohtcmos
8 ,(!')SS). ~ lim 8(1988+11)-8(1988)
1!-\l h
8(1988+ h)- 8(1988) 8'(1988)~ ···~-··~'-~-·--'·
h
para os valores menores de h.
Para h = 2. temos
8,( 1988)~ 1.1(1990):-8(1988) ~ 2 9862- 9884 ---~39 2
(Essa é a taxa média de crescímento entre 1988 e 1990.) Para h = -2. temos
8(1986)-8(1988) 9962-9884 8'(1988)~- =2·--~ -2 11
que é a taxa média de crescimento entre 1986 e 1998. Teremos uma aproximação mais
precisa se tomarmos a média dessas duas taxas de variação:
8' ( 1988) ~ H 39 + 11) ~ 25
Isso significa que em 19~8 a população estava crescendo a uma taxa de 25 mil pessoas
por ano.
Fazendo os cálculos análogos para outros valores (exceto os extremos, 1980 e 2000),
temos a tabela que mostra os valores aproximados para a derivada.
F!GUR.i\ 3
Y+
10.200 l
10.100 r
10.000 I
::~ ;;"
20
10·
f--·~-·-::::_ __ t__:_:._:~~-
1 19SO !9X4
.... i·-·-'------'-~-----1-----· --~
!992 1996 2000 l
+--------+---+---: ---·· ·+·-----+----+·----
1988 1992 1996 2000 t
2
2
2
2
FIGURA 4
(a) Se j(x);:;: :r'- _:r. encontre uma fórmula
(b) nustre comparando os g:rülicos de I c r.
SOLUÇÃO
(a) Ao usar a Equação 2 para computar uma derivada. devemos nos kmhrar de que a
variável é h c de que x é considerado temporariamente como uma constante durante os
cálculos do limite.
f(x + h) - f(x) r (X I ~ lim -"-'--"-----"-~
h •() h h --·{) h
X; +- X
h -·()
cc lim (3x 2 + 3xh + h 2 - I) ~ 3x 2 -~ I
h---·0
(h) Vamos fazer os gráflcos de f c f' utilizando algum recurso gráflco. O resultado está
na Figura 4. Note qucf'(x) =O quando f tem tangentes horizontais, cf'(x) é positivo
quando as tangentes têm inclinação positiva. Assim, esses gráficos servem como
verificação do trabalho feito em (a).
EXEMPLO 4
SOLUÇÃO
Se f(x) = .,.i-x--1. encontre a derivada de f Estabeleça o domínio de f.
f(x + h)--- f(x) f' ( x) ~ li m -"-"c_--"'--~""
h -->0 h
-= lim -'------'-~----'-
,, ____ .n h
"/x + h - I -
= lim
h "Ü h
v'x +h
\.'X+ h
~ (x + h - !) - (x - !)
= h 111 - -~'7~~-:-"':=,;;e~
h ~o h(,:x + h I + ..jx I )
= lim --;,====~-""'=~
h ,\) v- x + h + ,,/x -·
Vemos que f\r) existe se X > 1; logo, o domínio de r é (I' X). Ele é menor que o
domínio de f que é [I~ x)~
Vejamos se o resultado do Exemplo 4 é razoável observando os gráficos de f e f' na
Figura 5. _Quando 5 estiver próximo de 1, v~ estará pn5ximo de O; logo,
f'(x) = 1/(2v1x - I) é muito grande, e isso corresponde a retas tangentes íngremes pró-
ximas de (1, O) na Figura S(a) c a grandes valores de .f'(x) exatamente à direita de 1 na
Figura 5(b). Quando x for grande, f'(x) será muito
pequena, e o que corresponde ao
achatamento das retas tangentes no extremo direito do grMico de f c à assíntota horizontal
do gráfico de r.
FIGURA 5
b d a!!-- h(
hd
EXEMPLG 5
SOLUÇÃO
CAPÍTUUJ 2
1-x
Encontre f' se j(x) - ---.
, 2 +X
, . . fíx + h) - f(x) f (x) = hm ·
h--.() h
l - (x + h) ] -X
2 + (x + h) 2 + x
= l im _:__:__:__:_:.:.:_ _ _:__:_:_
!J--·0 h
(b) j'(x) ~
)~
.Í, :..1 _-_cx_-_h..:.):.c( 2'---+-'-x~) _:_c(l:___-...:.·'~)('-=2--'-+ x + h)
= hm~
;, ·o h(2 + x + h)(2 + x)
12 - x- 2h - x' - xh) - (2 - x + h - x 2 - xh)
= lim -''=---'--'-=-"::---'=~~-=_:_ _ _:__=:c_
h ·O h(2 + x + h)(2 + x)
-3h
= lim
h-O h(2 + X + h)(2 + X)
-3 3
= lim
h-·o (2 + x + h)(2 + x) (2 +
Outras Notações
Se usannos a notação tradicional y = f(x) para indicar que a variável independente é_,
enquanto y é a variável dependente, então algumas notações alternativas para a derivada
são corno se segue:
f'(x) = y' = dy = df = _ri_ f(x) = Dfix) = DJ(x)
dxdxdx .
Os símbolos De d/ cü: são chamados operadores diferenciais, pois indicam a operação de
diferenciação, que é o processo de cálculo de uma derivada.
O símbolo dyíd:x.:, introduzido por Leibniz, não deve ser encarado corno um quociente
(por ora); trata-se simplesmente de um sinônimo para f'(x). Todavia, essa notação é muito
útil c proveitosa, especialmente quando usada em conjunto com a notação de incremento.
Podemos reescrever a definição de derivada (Equação 2.8.4) como
dy
dx
'"'·f(>tJIOfJia, filosofia e matemática na
universidade loca!, graduando-se com
17 anos. Após obter seu doutorado ern
direito aos 20 anos, Leibníz entrou para
o serviço d1piomát1CO, passando a
maior parte de sua vida viajando pelas
capitais européias em missóes
polítiCilS, Err. particular trabalhou para
afastar uma ameaça militar da França
contra a Alemanha e tentou reconciliar
as igrejas Católica e Protestante
Leibníz só conteçou a estudar
seriamente rnatemática em -1672,
quando em missão diplomática ern
Paris. La ele construiu uma máquina de
calcular e encontrou c1enftstas, corno
Huygens, que dirigiram sua atenç§o
para os últimos desenvoiwnentos da
matemática e da ctência. Leibniz
procurou desenvolver urna lógica
simbólica e um sistema de notaç§o
que simplificariam o raciocínio lógico.
Em particular, a versão do cálculo
publicada por eie em 1684 estabeleceu
a notação e as regras para encontrar as
derivadas usadas até hoje
Infelizmente, uma disputa muito
acirrada de prioridades surg1u em 1690
en1re os seguidores de Nev.;ton e os
de Le1bniz sobre quem tena !nveutado
primeiro o calculo. Le1bniz foi até
mesmo acusado de plágio pelos
membros da Royai Society na
Inglaterra. A verdade é que cada um
inventou independentemente o
cálculo. Newton chegou primeiro à sua
versão do cáicu!o, mas, por temer
controvérsias. não o publicou
imediatamente. Assim, a publicação do
cáicuio de Leibn!Z em 1684 fo1 a
pnme:ra a aparecer
Para indicar o valor de uma derivada d.v/dx na nc,t<u;iio de Leibniz em nn:1-mímero
flco a. usamos a notação
que é um sinônimo para J'(a).
J•;i
__ ::__I
cL,- :'
ou
Uma função fé diferenciável em a se f'(a) existir. É diferencián~)
em um intervalo aberto (a. b) f ou (a. ·x) ou (-:c, a) ou(~- x. x)J se for diferen-
ciúvcl em cada número do intervalo.
8 Onde a função f(x) := I x I é diferenciável'!
SOLUÇÃO Se x > O. então I x I = x e podemos escolher h suflcientcmcnte pequeno tal
que x +h> O c ainda lx +h I ::c-:: _:r+ h. Conseqüentemente. para x <O temos
(x + x
~ lim~-~--
h--et) h
h
Iim~ = lim I
h---·0 h ·()
c fé diferenciável para qualquer x >O.
Analogamente, para x <O temos I x I = -x c podemos escolher h suilcientementc
pequeno tal que x + h< O e, assim,/ x + h I = (x + h). Portanto. para x <O,
lx +h i - lxl f'(x) ~, lim
·U h
-h
= lim
-(x + h) ( -x)
,,
·OU h
lim-- ~ lim (-!) ~ -1
h--·0 h h ·0
e dessa forma fé diferenciável para qualquer x <O.
Para x = O temos de verificar
, . j(O + h) - f(O) f (O) ~ lim ,,~,~'-
,_ •() h
(se e !c cxíste)
Vamos computar o limite esquerdo e o direito:
e
h lim ~ = lim
·0' h h ·O·
Ih i
-'--h I = lim
h ·0
-h
~- ~ lim
h h-.•0 ( -1) -]
Uma vez que esses limites são diferentes. f'(O) não existe. Portanto,fé diferenciável
para todo x, exceto em O.
''""" ··-- >
X
'-·-·>
X
(b) y = f'(x)
FIGURA 6
James Stewut
Uma fónnu]a para f' é dada por
se _;r>· O
se x <O
e seu gráfico está ilustrado na Figura 6(b). O fato de que J'(O) não existe c:-tá rcf1ctido
geometricamente no fato de que a curva y = I x j não tenl rct;1 tangente em (0, 0).
[Veja a Figura 6(a).l
Tanto a continuidade como a d!ferenciabílicladc são propriedades desejáveis para um
função. O seguinte teorema mostra como essas propriedades ~stfl.o relacíonadas
Temema Se f for diferenciável em a, então fé contínua em a.
Prova Para provar que fé contínua em a, temos de mostrar Gl..le lim, -u f(x) =f( a).
Fazemos isso mostrando que a difercnçaf(x) ~f( a) tende a O.
A informação dada é que f é diferenciável em a, ísto é,
f .,1 ) 1. f(x) - f(a) a = nn
' -•a X~ a
existe (veja a Equação 2.8.3). Para conectar o dado com o desconhecido. dividimos e
multipUcamosf(x) -f( a) por x-a (o que pode ser feito quando x ::f:: a):
f(x) . f(x) /(a) fia) ~ · · · (x -· u)
x-a
Assim, usando a Lei do Produto e a Equação 2.8.3, podemos escrever
. [ .1 . .1 .1 . f(x) - j(a) . ) hm f x) -f a) ~ hm (x - a
, ___ ," _, ·a X~~ a
. f(x) -fia)
~ hm lim (x a)
x-a "~'"
~f'( a)· O= O
Para usar o que acabamos de provar. vamos começar comf(x) e somar e subtrairf(a):
lim f(x) ''' lim [f( a) + (J(x) -f( a )I]
, '" ' ,
~ !in; f(a) + !i'?; [f(x) -fia)]
=f( a) + O ~f( a)
Conseqüentemcnte,fé contínua em a.
NOTA u A recíproca do Tc\>rcrna -t é falsa. isto é. há fum,·ücs que s;:lo contínuas, mas nãc
são diferenciáveis. Por exemplo, a função f(x) = I x! é contínua em O, pois
limjh) ~ lim lxl =O~ f(O)
< --•0 A ·.•()
(Veja o Exemplo 7 na Seção 23.) Mas no Exemplo 6 mostramos que f não é diferenciáve
em O.
FIGURA 7
.ErlHvra nwmsun
FIGURA 8
Três formas de f deixar de
ser diferenciável em a
Vimos que a função y = ix! do Exemplo 6 não é difcrenci<hel ;,;mO. c a Figura
mostra que em x =O a curva muda abruptamente de direção. Em geraL se o gráíico de uma
funçãoftiver uma ··quina·· ou uma ·'dobra··. então o gráfico de f não terá tangente Jléssc
ponto, c f não será diferenciável ali. (Ao tentar calcular f(a). vamos descobrir que o limite
esquerdo e o direito são diferentes.)
O Teorema 4 nos dá outra forma de uma função deixar de ter uma derivada. Ele afirma
que se f for descontínua em a, então f não será diferenciável em a. Assím. em toda descem~
tinuidade def(por exemplo, um pulo de descontinujdade), ela deixa de ser diferenciável.
Uma terceira possibilidade surge quando a curva tem uma reta tangente vertical em
x = a, isto é.fé contínua em a e
lim I f'(x) I ~ x
,\·-•(1
lsso significa que a reta tangente fica cada vez mais íngreme quando x --> a. A Figura 7
mostra uma forma de isso acontecer. e a Figura 8(c), outra. A Figura 8 ilustra as três pos-
sibilidades discutidas.
~' t
I
~~·~·
I
-----+------- .. ,.
a x
(a) Quina
_q.
v_/
' I ~· -;,- ..
(h) Descontinuidade
. I
-(li ~-~------ -------~ ;
((c) Tangente vertical
As calculadoras grâficas e os computadores são outm possibilidade de análise da diferen-
ciabilidade. Se f for diferenciável em a, então, se dermos um zoom em direção ao ponto
(a, f(a)). o gráfico vai se endireitando e se parecerá cada vez mais com uma reta (veja a
Figura 9. Vimos um exemplo específico na Figura 3 da Seção 2.8). Por outro lado,
inde-
pendentemente da maneira como dermos o zoom em direção a pontos como os das Figuras
7 c 8(a), não poderemos eliminar a ponta aguda ou quina (veja a Figura 10).
y
a X
FIGURA 9
f é diferenciável em a
a
FIGURA 10
f não é diferenciável em a
•
X
1-3 Use os gráfkos dados para estimar o valor de cada dcrinda.
Esboce então o gráfico de f,
1. (a) j'(l)
(b) j'(2)
(c) f'(3)
(d) f'(4)
2. (a) f'(O)
(b) j'(l)
(c) /'(2)
(d) f'(3)
(e) f'(4)
(f) j'(5)
3. (a) f'(- 3)
(b) j'(-2)
(c) J'(-1)
(d) j'(O)
(e) j'(l)
(f) j'(2)
(g) j'(3)
Ff(x)
\ 1 y=nt.· I /=olf
I
4. Associe o gráfico de cada função em (a)-(d) com o gráfico de
sua derivada em I-IV. Dê razões para suas escolhas.
(b)
(c) (d)
Yt
I
1\!
-t--·--·-1--·-·-/-
" 0!\ I X
. \ /
v
" •
'
•
•
ri\'
James Stewan :n3
Yt
i
___ I/~-._
~·- .lü--: ''-../ .
i
Il y ....
I
------.. ·1/ I ! o
í
I i
X
IV
.n.
I
I -
Ül X
'
5--13 Trace ou copie o gráfico de f. (Suponha os eixos com a
mesma escala.) Use então o método do Exemplo 1 para esboçar o
gráfico de f'.
5.
7.
11. ; i
' n " \ i I '
-tf-out-';
13. yl
I
o
6.
8.
10.
12.
11\
--~ X
"
yl
~v.
OI
I
X
Êl~~~.~::1~~;s::~~~ corresponde ao da função populaçfio FUI.
:.· em laboratório. de célula:-: de levedo. Use o mêtodrl
E>,enopl'o 1 para obter o grátko da derivada P'(n. O que o
gráfico de P' nos diz sobre a popu!aç:lo da Jc\·ctlo".'
!'A (célulao; de kn:do)
!il
15. O grüflco mostra como a idade média dos homens japoneses
que se casam pela primeira vez ·variou na última rm:tadc do
século XX. Esboce o grMico da função derivada AI'{ f). QuaL.;,
os anos que a derivada foi negativa·.>
1960 !9'70 !9S() ]()O()
15~13 Faça um esboço cuidadoso de f c desenhe o gráflco de f'
como nos Exercícios 5-13. Você pode sugerir uma fônnula para
f' (:r) a partir de seu grâflco?
16. j(x) = sen x
17. f(x) ~ e'
18. f(x) = In x
19. Seja flx) = x'.
(a) Estime os valores de f'(O). r(D. f'( I) c /'(2) fazendo
uso de um recurso grMico para um ::oom no gráflco de f
(b) Use a simetria para deduzir os valores de f'(-~) . .f'(~~I) c
f'(- 2).
(c) Utilize os resultados de {a) e (b) para conjecturar uma fór-
mula paraf'(x).
(d) Use a definição de derivada para provar que sua conjectura
em (c) est:i correta.
20. Seja f(x) "-- x 3
(a) Estime os valores de j'(Ol, f'(D, f'( I). j'(2) e f'(3)
fazendo uso de um recurso gráfico para um ::.oom no
gráfico de f
(b) Use simetria para deduzir os valores de f'(-~). f'( --1),
f'(- 2) e j'(-3).
(c) Empregue os valores de (a) c (b) para para ÜlZér o f,'Táilco de f'.
(d) Conjecture uma fórmula paraf'(x).
(c) Use a definição de derivada para provar que sua conjec!ura
em (d) está correta.
21--31 Encontre a derivada da função dada usando a definicão.
Estabeleça os domínios da função e da derivada. ,
21. .1 /
23. 3r
25. _\_r + ::; 26. n \1
27.
-·'
3 + r
29. Gín .Jr 30. ylx)
31. /!x) x·'
32. I a) E~bocc o gráfico de f(x) = "_-(;··__:::- x começando pelo
gráf-ico de y '---" e usando as transform<H,;õcs da Seção l .3.
(h) l lse o gráfin1 tla parte (a) para esboçar o grático de f'.
(c) Use a dcliniçi.io de deriYada para encontrar f' {xl. Quais m
domínios de f e f'?
( d) Use um recurso grüi'lco para fazer o gnífico f' c compare-o
com o e.'>hoço de tb).
33. (a) Se f(x) .r (2/rl. encontre f'\ .r).
(h) Verifique se sua ft?sposta em (a) foi razoáYel comparando
os gráficos de f c f' .
34. (a) Se f(t) 6/(1 + t 2), encontre f'{t).
(b) Verifique se sua resposta em (a) foi razoáwl comparando
os gráficos de f e f'.
35. A taxa de desemprego U(t) varia com o tempo. A tabela (do
Burcau of Labor Statistics) Já a porcentagem de desemprego
na força de trabalho norte-americana de 1991 a 2000.
(a) Qual o sígniflcado de U' (t)'! Quais são suas unidades?
(b) Construa a tabela de valores de U'(f).
36. Seja P(t) a porcentagem de norte-americanos menores de 18
anos no tempo t. A tabela Já os valores dessa função nos cen-
sos realizados de 1950 a 2000.
(a) Qual o significado de P'(t)'? Quais são suas unidades?
(b) Construa uma tabela de valores para P'(t).
(c) Faça os gráficos de P e P'.
(d) Como seria possfvcl obter valores mais precisos para P'(t)'?
37. O gráfico de .f é dado. Estabeleça. explicando. os númcn)S nos
quais f nfio é diferenciável.
2 6 lO
38. O gr:ílico de y é dado.
(a) Em quais números g é descontínua'? Por quê?
(b) I:m quais números g não é difercnci:ívd'? Por quê?
X
~~ 39. Faça o gráfico da função f(x) = x + ,fGl. Dê um zoom
primeiro em direção ao ponto(-!, O) c então em direção à
origem. Qual a diferença entre os comport:1mentos de f nas
vizinhanças desses dois pontos? O que você conclui sobre a
Jiferenciabilidade de f'?
~i 40. Dê um ::.oom em direção aos pontos (1.0). {0. 1) e (--1,0)
sobre o gráfico da fun'í:·ão g(x) = (_,-··- 1)2· 3 • O que você
nota'? Relate o que você viu em termos da difercnciabilidade de g.
}la~
~"
41. Seja f(x) ~
(a)
lb)
(c)
42. (a)
(h)
(c)
ld)
Se a 'I' O. use a Equação 2.8.3 para encontrar j'(a).
Mostre que j'(O) não existe.
Mostre que y = tem uma reta tangente vertical em (0, 0).
(Lembre-se da forma do gráfico de f Veja a Figura 13 na
Seção 1.2.)
Se y(x) = x 2 ".mostre que g'fO) não existe.
Se a ':F- O, encontre g'{a).
Mostre que y = x 2 / 3 tem uma reta tangente em (0, 0).
Ilustre a parte (c) fazendo o gnífico de y = x 2/3.
43. Mostre que a função f(x) = I x 6! não é diferenciável em 6.
Encontre uma fórmula para f' e esboce seu gráfico.
.James Stewarj
44. (?nde a função maior inteiro f(x) = nân é diferenciôY,J'.'
btcontrc uma fórmula para f' e esboce seu gráfico.
45. (aJ
(h)
(c)
Esboce o gráfico da funcão f(x) = x i x f.
Para que os valores de; sã~ f diferen~íávcis?
Encontre uma fórmula para f' .
46. A derivada esquerda e a direita de f em a são definidas por
f' (a)= lim
h >(l
c -
fia + h) ~ f(_a) f', {a)~,-= lim - ... -- _
~()' h
st: esses limites existirem. Entãof'(a) existe se e somente se
essas derivadas unilaterais existirem e forem iguais.
{a) Encontre f'-(4) e j~(4) encontre a função
{ ~ ' fix) ~ ~ ~ ~ ~ I
5- X
(b) Esboce o gráfico de f.
(c) Onde f é descontínua?
(d) Onde f não é diferencián't·?
se x ,--c; O
~e0<x<4
se x? 4
47. Lembre-se de que uma função fé chamada por sef(-x) = jü)
para todo x em seu domínio. e ímpar se f(-x) = -f(x) para
todo x. Pro-ve cada uma das atlnnativas a seguir.
(a) A derivada de uma função par é uma função ímpar.
(b) A derlvada de uma função ímpar é uma função par.
48. Quando você abre urna torneira de água quente. a temperatura
T da água depende de quanto tempo a água está correndo.
(a) Esboce um grMico possível de T como uma função de t,
que decorreu desde que a torneira foi aberta.
(b) Descreva como é a taxa de variação de Tem relação a t
quando 1 está crescendo.
(c) Esboce um gráfico da derivada de T.
49. Seja f a reta tangente à parábola y = x 2 no ponto (!, I). O
ângulo de inclinação de f é o ângulo ri> que E faz com a
direção positiva do eixo x. Calcule rl> correta até o grau mais
próximo.
Revisão
VERIFiCAÇÃO DE CONCElTOS
1. Explique o significado de cada um dos límites a seguir e ilustre
com um es.hnço.
(a) !in;f(x) ~ L (b) lim j(x)
·'··-a-
L
(c) lim f(x) ~L (d) limf(x) ~ oo
" '"
(e) Jim.f(x) ·=L
' ·00
2. Descreva as várias situações para que um limite possa não
existir. Ilustre-as com uma figura.
3. Enuncie cada uma das seguintes Leis do Limite.
(a) Lei da Soma (b) Lei da Diferença
(c) Lei do Múltiplo Cons.tante (d) Lei do Produto
(c) Lei do QuocienteMais conteúdos dessa disciplina
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