Lista-Exercicios-DERIVADAS

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ECT1102 - Cálculo I
Lista 1 - Derivadas
1. Usando que m = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
f no ponto P (x0 , y0).
(a) f(x) = x2 + 2 , P (1, 3) (b) f(x) = x3 + x , P (0, 0) (c) f(x) = senx , P (0, 0)
(d) f(x) = − 3
x
, P ( 3, f(3) ) (e) f(x) =
2x− 3
5− x , P
(
3,
3
2
)
(f) f(x) = x3 − 2x2 + 3, P (34 , f (34))
2. Calcule a derivada das funções abaixo nos pontos dados usando a definição:
(a) f(x) = c ; com c ∈ R x = 3 (b) f(x) = x ; x = −2 (c) f(x) = 1x ; x = −3
(d) f(x) = x3 ; x = 53 (e) f(x) = cosx ; x =
pi
6 (f) f(x) =
√
x ; x = 9
3. Calcule a derivada da função dada pela definição, considerando c ∈ R , n,m ∈ N e
b ∈ ] 0 , +∞[− { 1 }.
(a) f(x) = c (b) f(x) = x (c) f(x) = x2 (d) f(x) = x3
(e) f(x) = xn (f) f(x) = senx (g) f(x) = cosx (h) f(x) = lnx
(i) f(x) = log x (j) f(x) = logb x (k) f(x) =
√
x (l) f(x) =
1
x
(m) f(x) =
1
x2
(n) f(x) =
1
xn
(o) f(x) = 3
√
x2 (p) f(x) = n
√
xm
(q) f(x) = ex (r) f(x) = bx
4. Usando as regras de derivação, calcule a derivada das funções abaixo:
(a) f(x) = c (b) f(x) = x (c) f(x) = x2
(d) f(x) = x−3 (e) f(x) = xn (f) f(x) = xc
(g) f(x) = 3x3 + 2x2 − 5x+ 9 (h) f(x) = pi
4
x−4 +
2pi
x3
(i) f(x) = 2x −
7
x5
(j) f(x) = senx (k) f(x) = cosx (l) f(x) = tg x
(m) f(x) = secx (n) f(x) = cossecx (o) f(x) = senx− cosx
(p) f(x) = 2 tg x− 5 secx (q) f(x) = lnx (r) f(x) = log x
(s) f(x) = logb x (t) f(x) = ex (u) f(x) = lnx+ ex
(v) f(x) = x · ex (w) f(x) = exlnx (x) f(x) = senx · cosx
(y) f(x) = lnxex (z) f(x) =
ex · senx
lnx
2
5. Usando regras de derivação, determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f no
ponto indicado.
(a) f(x) = tg x , x = 5pi4 (b) f(x) = (x
2 − x) · ex , P (2, 2e2) (c) f(x) = x+1x−1 , P (−1, 0)
6. Nas funções f abaixo, calcule f ′ e f ′′, se existirem.
(a) f(x) = x2 + 2x+ 3 (b) f(x) = x37 + x (c) f(x) =
√
x
(d) f(x) = (2x+ 7)(x2 − 2) (e) f(x) = 3√x+ 1 (f) f(x) = 5√x2(x+ 1)
(g) f(x) =
3x2 + 2x− 1√
x+ 2
(h) f(x) = 27−73 + e
x
x2
(i) f(x) = x2 ex
−2
(j) f(x) = sen(x2 + 1) (k) f(x) =
cos (x2)
x
(l) f(x) = ex
2
sen(x+ 1)
(m) f(x) = ln(x2 + 1) (n) f(x) = ln(ex
2
x) (o) f(x) = cos (ln(x))
(p) f(x) =
senx+ cosx
senx− cosx (q) f(x) = tg x− cotg x (r) f(x) = x · arcsenx
Derivada como taxa de variação
7. O potencial eletrostático gerado por uma carga positiva de valor q é dada pela equação
V =
q
4pi(r − r0) ,
onde (r − r0) é a distância entre a carga q em r0 e um ponto qualquer do espaço r (exceto
em r = r0). A força elétrica repulsiva que uma segunda carga positiva de valor e colocada
em r sente é proporcional à taxa de variação do potencial em relação ao ponto r, i.e.,
F = −edV
dr
.
a) Calcule a força que a carga q exerce sobre e em função de r.
b) Se o potencial fosse dado por V = −q e
−m(r−r0)
4pi(r − r0) (potencial de Yukawa), calcule a força
que a carga q exerceria sobre e em função de r.
8. Um balão esférico ao ser inflado tem seu raio dado em função do tempo pela expressão
r(t) = 3 3
√
t+ 8 para 0 ≤ t ≤ 10. Determine a taxa de variação em relação ao tempo das
seguintes grandezas em t = 8:
a) raio do balão r(t)
3
b) área da superfície do balão A(t)
c) volume do balão V (t),
onde a área da superfície do balão é dada por A = 4pir2, e o volume do balão é V =
4
3
pir3.
9. A Lei de Boyle para os gases afirma que PV = c, onde P é a pressão, V o volume e c
uma contante do gás. Suponhamos que a pressão dependa do tempo através da expressão
P (t) = (20 + 2t)g/cm3 para 0 ≤ t ≤ 10. Se o volume em t = 0 é 45cm3, determine:
a) a constante c,
b) a taxa de variação do volume em função do tempo,
c) a taxa de variação do volume em t = 5.
10. Carregando um capacitor num circuito RC.
Um circuito RC (figura acima) é caracterizado pela associação em série de uma fonte de
tensão (bateria) �, um resistor R e um capacitor C. A carga q no capacitor é dado em função
do tempo por
q(t) = C�
(
1− e−t/RC
)
.
Uma vez que a corrente no circuito é definida como i(t) =
dq(t)
dt
, calcule a corrente elétrica
em
a) t = 0, b) t = 1 e c) t = 10
se � = 12V , C = 1F e R = 2Ω.
d) A corrente no circuito aumenta ou diminui com o tempo? Qual a corrente no limite
t→∞?
Obs. Os símbolos V , F e Ω são usados para designar as unidades de potencial eletrostático
volt, capacitância Faraday e resistência elétrica ohm.
4
Derivação implícita
11. Supondo que cada equação abaixo defina uma função implícita tal que y = f(x), determine
y′.
(a) 8x2 + y2 = 10 (b) 4x3 − 2y3 = x (c) (y2 − 9)4 = (4x2 + 3x− 1)2
12. Em cada exercício abaixo ache a equação da reta tangente ao gráfico da equação dada no
ponto indicado:
(a) xy + 16 = 0 ; P (−2, 8) (b) y2 − 4x2 = 5 ; P (−1, 3)
Taxas relacionadas
13. Uma escada de 5m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da
escada se afasta horizontalmente da parede à razão de 3m/s, com que velocidade o topo da
escada desliza parede abaixo quando está a 3m do chão?
14. Quando duas resistências elétricasR1 eR2 são ligadas em paralelo, a resistência totalR é dada
por
1
R
=
1
R1
+
1
R2
. Se R1 e R2 aumentam à taxa de 0, 01 Ω/s e 0, 02 Ω/s, respectivamente,
determine:
a) a taxa de variação de R em função do tempo,
b) a taxa de variação de R no instante em que R1 = 30 Ω e R2 = 90 Ω.
Linearização e diferenciais
15. Por meio de diferenciais, calcule a área de um anel de espessura t, i.e., um anel de raio interno
r e raio externo r + dr = r + t. Qual o erro decorrente do emprego da fórmula aproximada
no lugar da exata?
5
16. (a) Calcule por meio de diferenciais o volume de borracha usada na confecção de uma bola
oca de espessura t, i.e., de raio interno r e raio externo r + dr = r + t. (b) Qual o erro
decorrente do emprego da fórmula aproximada no lugar da exata? (c) Suponha r = 20cm e
t = 1cm e calcule o volume aproximado da borracha utilizada e o erro decorrente do emprego
de tal fórmula. (Volume de uma esfera de raio R é V =
4
3
piR3).
17. Use diferenciais para aproximar 3
√
65. (Sugestão: faça y = f(x) = 3
√
x com x = 64 e ∆x = 1.
Considere f(x+ ∆x) ≈ f(x) + ∆y).
18. Segundo a Teoria da Relatividade Especial, a energia de uma partícula que se move com
velocidade v é dada por
E(v2) =
mc2√
1− v2/c2 ,
onde c é a velocidade da luz e m sua massa. Se a velocidade v da partícula é muito pequena
se comparada a c, i.e., v2 � c2, podemos linearizar a expressão da energia e identificar que as
primeira contribuições a E(v2) são a energia de repouso E0 e a energia cinética newtoniana
Ecin(v2). Usando esse fato, determine E(v2) para v2 � c2. (Sugestão: faça x = v2/c2 e
linearize a função f(x) =
1√
1− x através da expressão f(x) ≈ f(0) + f
′(0)∆x substituindo
∆x = x = v2/c2).
Respostas
1.
(a) y = 2x+ 1 (b) y = x (c) y = x
(d) y =
x
3
− 2 (e)y = 7x− 15
4
(f) y = −21
16
x+
105
32
2. (a) 0 (b) 1 (c) − 1
9
(d)
25
3
(e) − 1
2
(f)
1
6
6
3.
(a) 0 (b) 1 (c) 2x (d) 3x2
(e) nxn−1 (f) cos x (g)− sen x (h) 1
x
(i)
1
x ln 10
(j)
1
x ln b
(k)
1
2
√
x
(l) − 1
x2
(m) − 2
x3
(n) − n
xn+1
(o)
2
3
x−1/3 (p)
m
n
xm/n−1
(q) ex (r)
(
lim
h→0
bh − 1
h
)
bx
4.
(a) 0 (b) 1 (c) 2x
(d) − 3x−4 (e) nxn−1 (f) cxc−1
(g) 9x2 + 4x− 5 (h) − pix−5 − 6pi
x4
(i) − 2
x2
+
35
x6
(j) cosx (k) − sen x (l) sec2 x
(m) secx.tg x (n) − cotx.cossecx (o) cosx+ sen x
(p) 2sec2 x− 5secx.tg x (q) 1
x
(r)
1
x ln 10
(s)
1
x ln b
(t) ex (u)
1
x
+ ex
(v) ex(x+ 1) (w)
ex
lnx
(
1− 1
x lnx
)
(x) − sen2 x+ cos2 x
(y) − lnx
ex
(
1− 1
x lnx
)
(z)
ex
lnx
(
cos x+ sen x− sen x
x lnx
)
5. (a) y =
2x+
2− 5pi
2
(b) y = (5x− 8)e2 (c) y = −1
2
(x+ 1)
6. (a) f ′(x) = 2x+ 2 , f ′′(x) = 2
(b) f ′(x) = 37x36 + 1 , f ′′(x) = 1332x35
(c) f ′(x) =
1
2
√
x
, f ′′(x) = − 1
4x3/2
(d) f ′(x) = 6x2 + 14x− 4 , f ′′(x) = 12x+ 14
(e) f ′(x) =
(x+ 1)−2/3
3
, f ′′(x) = − 2
9(x+ 1)5/3
(f) f ′(x) =
x(3x+ 2)
5[x2(x+ 1)]4/5
, f ′′(x) = −2x
2(3x2 + 4x+ 3)
25[x2(x+ 1)]9/5
(g) f ′(x) =
9x2 + 26x+ 9
2(x+ 2)3/2
, f ′′(x) = −9x
2 + 46x+ 77
4(x+ 2)5/2
(h) f ′(x) =
x− 2
x3
ex , f ′′(x) =
(x2 − 4x+ 6)
x4
ex
(i) f ′(x) =
2(x2 − 1)
x
ex
−2
, f ′′(x) =
2(x4 − x2 + 2)
x4
ex
−2
(j) f ′(x) = 2x cos(x2 + 1) , f ′′(x) = 2[cos(x2 + 1)− 2x2sen(x2 + 1)]
7
(k) f ′(x) = −cosx
2
x2
− 2senx2 , f ′′(x) = 2
x3
[(1− 2x4) cosx2 + x2senx2]
(l) f ′(x) = ex2 [cos(x+ 1) + 2xsen(x+ 1)] , f ′′(x) = ex2 [4x cos(x+ 1) + (4x2 + 1)sen(x+ 1)]
(m) f ′(x) =
2x
x2 + 1
, f ′′(x) = −2(x
2 − 1)
(x2 + 1)2
(n) f ′(x) =
1
x
+ 2x , f ′′(x) = 2− 1
x2
(o) f ′(x) = −sen(lnx)
x
, f ′′(x) =
1
x2
[sen(lnx)− cos(lnx)]
(p) f ′(x) =
2
sen2x− 1 , f
′′(x) = −4(cos x+ sen x)
(cos x− sen x)3
(q) f ′(x) = 4csc2 2x , f ′′(x) = −8csc4(2x) · sen(4x)
(r) f ′(x) =
x√
1− x2 arcsen x , f
′′(x) =
2− x2
(1− x2)3/2
7. (a)F =
qe
4pi(r − r0)2 , (b)F = −qe
e−m(r−r0)
4pi(r − r0)2 [1 +m(r − r0)] .
8. (a)
1
4 3
√
4
(b)
6pi
3
√
4
(c) 36pi
9. (a) 900 g.cm (b)
dV (t)
dt
= −450(10 + t)−2 (c) −2 cm3/s
10. (a) 6A (b) ≈ 3, 6A (c) ≈ 4, 2× 10−2A (d) 0.
11. (a) y′ = −8x
y
(b) y′ =
12x2 − 1
6y2
(c) y′ = −(8x+ 3)(4x
3 + 3x− 1)
4y(y2 − 9)3
12. (a) y = 4x+ 16 (b) y = −4
3
x+
5
3
13. −4m/s
14. (a)R′ =
R21R
′
2 +R
2
2R
′
1
(R1 +R2)2
=
0, 01 R22 + 0.02 R
2
1
(R1 +R2)2
Ω/s (b) ≈ 1
144
Ω/s ≈ 6, 9× 10−3Ω/s
onde R′ =
dR
dt
.
15. A ≈ 2pirt , erro= pit2
16. (a) V ≈ 4pir2t , (b) erro= 4pirt2 + 4pi
3
t3,
(c) V ≈ 1600picm3, erro=
(
80 +
4
3
)
pi ≈ 81picm3
17. 3
√
65 ≈ 4, 02
18. E(v2) ≈ E0 + Ecin = mc2 + mv
2
2