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UNIVERSIDADE DA MADEIRA
Departamento de Gestão e Economia
MICROECONOMIA I
1º Semestre 2005/2006
CADERNO DE EXERCÍCIOS
Resolução
1
A. TEORIA DO CONSUMIDOR
A.1. A RESTRIÇÃO ORÇAMENTAL DO CONSUMIDOR
A.1.1. Defina os seguintes conceitos:
a) Cabaz de bens
Combinação de quantidades consumíveis de um conjunto de bens.
b) Conjunto de possibilidades de consumo
Conjunto de cabazes que podem ser comprados pelo consumidor num dado
momento, gastando parcial ou totalmente o seu rendimento monetário.
c) Restrição orçamental
Lugar geométrico dos cabazes que podem ser comprados se todo o rendimento do
consumidor for gasto.
d) Custo de oportunidade de um bem
Quantidade do outro bem que é preciso sacrificar para consumir mais uma
unidade do bem.
e) Bem numerário
Bem em relação ao qual é medido o preço do outro bem e o rendimento do
consumidor.
A.1.2. Considere um consumidor que enfrenta os preços Px e Py e dispõe de um
rendimento M. Para cada um dos casos seguintes, determine, analítica e
graficamente, o conjunto de possibilidades de consumo e a restrição orçamental.
a) 2Px = ; 4Py = ; 10M =
CPC: 10y4x2 ≤+
RO: 10y4x2 =+
b) 3Px = ; 5Py = ; 15M =
CPC: 15y5x3 ≤+
RO: 15y5x3 =+
c) 5Px = ; 1Py = ; 25M =
CPC: 25yx5 ≤+
RO: 25yx5 =+
d) 5,1Px = ; 6Py = ; 45M =
CPC: 45y6x5,1 ≤+
RO: 45y6x5,1 =+
e) 4Px = ; 7Py = ; 56M =
CPC: 56y7x4 ≤+
RO: 56y7x4 =+
2
A.1.3. O que acontece à restrição orçamental se:
a) o preço do bem X duplica e o do bem Y triplica
A restrição orçamental torna-se menos inclinada e desloca-se para a esquerda
b) o preço do bem X quadruplica e o do bem Y triplica
A restrição orçamental torna-se mais inclinada e desloca-se para a esquerda
c) ambos os preços duplicam
A restrição orçamental desloca-se paralelamente para a esquerda
d) ambos os preços duplicam e o rendimento triplica
A restrição orçamental desloca-se paralelamente para a direita
e) ambos os preços triplicam e o rendimento duplica
A restrição orçamental desloca-se paralelamente para a esquerda
f) o preço do bem X e o rendimento duplicam
A restrição orçamental roda para a direita
A.1.4. O Paulo tem uma mesada de 120 euros que lhe é paga pelos pais. A mesada é
gasta exclusivamente em jantares e bilhetes de teatro.
a) Identifique formalmente o conjunto de possibilidades de consumo do Paulo,
sabendo que cada jantar custa 20 euros e cada bilhete de teatro custa 10
euros.
120b10j20 ≤+
b) No mês de Agosto, o Paulo será visitado pelos avós que lhe dão sempre 100
euros. Durante esse mês, o Paulo pretende ir a 8 jantares e assistir a 8
espectáculos de teatro. Será que vai conseguir? E se ele passar a ir jantar a
restaurantes mais baratos, onde o preço médio da refeição é 15 euros? Qual é,
neste caso, o custo de oportunidade para o Paulo de ir a um jantar?
220100120M =+=
( ) ( ) →>=×+×⇒= 2202408108208,8b,j não consegue consumir este cabaz.
( ) ( ) →<=×+×⇒= 2202008108158,8b,j consegue consumir este cabaz.
5,1
10
15
CO ==
c) Dadas as fracas notas obtidas nos exames, os pais do Paulo reduziram-lhe a
mesada para metade e proibiram-no de ir a mais de 2 jantares no mês de
Agosto (os avós não sabem de nada). Identifique o conjunto de possibilidades
de consumo do Paulo nesta situação.
16010060M =+=
⎩⎨
⎧
≤
≤+
2j
160b10j20
3
d) Suponha que o Paulo pode beneficiar de 10% de desconto no preço dos
bilhetes de teatro se adquirir o cartão jovem. Sabendo que o cartão jovem
custa 10 euros, deverá o Paulo comprá-lo?
1501010060M =−+=
9109,0Pb =×=′
⎩⎨
⎧
≤
≤+
2j
150b9j20
Se adquirir o cartão, o Paulo expande o seu conjunto de possibilidades de
consumo, logo deverá adquiri-lo.
e) Descreva o conjunto de possibilidades de consumo do Paulo se o cartão jovem
lhe possibilitar 2 entradas gratuitas em espectáculos de teatro, adicionalmente
ao desconto mencionado na alínea anterior.
168921010060M =×+−+=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤
≤
≤+
2j
5,7j
168b9j20
f) Durante as férias, o Paulo fez um curso de Verão no qual tirou muito boas
notas. Consequentemente, os pais decidiram levantar-lhe as restrições aos
jantares e subsidiarem-lhe as idas ao teatro em 5 euros; no entanto,
mantiveram a redução da mesada. Admitindo que o Paulo não tem cartão
jovem, determine de novo, analítica e graficamente, o conjunto de
possibilidades de consumo do Paulo.
16010060M =+=
5510Pb =−=′
160b5j20 ≤+
A.1.5. Suponha que a Companhia de Telefones cobra mensalmente 30 euros, o que
garante aos seus assinantes o acesso à rede e a possibilidade de fazer 30 minutos
de chamadas por mês. Chamadas acima deste limite pagam um preço unitário de
15 cêntimos.
a) Escreva e represente a restrição orçamental de um consumidor representativo
que tem um rendimento M para gastar em minutos de chamadas telefónicas
(T) e num bem compósito (C) cujo preço é igual a 1.
⎩⎨
⎧
−≤
−=+⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≤
×+−=+
30MC
5,25MC1T15,0
1
30M
C
15,03030MC1T15,0
4
bem compósito
ch
am
ad
as
t
el
ef
ón
ic
as
b) Suponha que a companhia pondera duas alterações relativas à actual estrutura
de preços: i) diminuir para 20 o número de minutos oferecidos com a
assinatura mensal; ou ii) aumentar o preço unitário de chamadas acima dos 30
minutos para 20 cêntimos. Represente graficamente as restrições orçamentais
correspondentes às duas alternativas.
i)
⎩⎨
⎧
−≤
−=+⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≤
×+−=+
30MC
27MC1T15,0
1
30M
C
15,02030MC1T15,0
ii)
⎩⎨
⎧
−≤
−=+⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≤
×+−=+
30MC
24MC1T20,0
1
30M
C
20,03030MC1T20,0
bem compósito
ch
am
ad
as
te
le
fó
ni
ca
s
RO inicial alternativa i alternativa ii
A.1.6. A Ana consome dois bens, carne (C) e peixe (P), ambos adquiridos no
hipermercado, aos preços 5,7Pc = e 10PP = . Para chegar ao hipermercado, a Ana
demora 45 minutos. Para adquirir uma unidade de C demora mais 15 minutos,
enquanto que para a aquisição de uma unidade de P são precisos mais 12 minutos.
a) Represente o conjunto de possibilidades de escolha da Ana, admitindo que
esta tem um rendimento de 150 unidades monetárias e o seu tempo disponível
para compras é de 4 horas e meia.
5
⎩⎨
⎧
≤+
≤+⇔
⎩⎨
⎧
−×≤+
≤+
225p12c15
150p10c5,7
455,460p12c15
150p10c5,7
0
5
10
15
20
0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5
carne
pe
ix
e
RO
RT
b) A Ana muda de emprego e passa a não ter tempo para ir ao hipermercado. No
seu prédio, há um supermercado onde a Ana não perde tempo e enfrenta os
preços 10Pc = e 15Pp = . Neste novo emprego, além das 150 unidades
monetárias, a Ana recebe 10,5 unidades de C, que não pode vender.
Represente o novo conjunto de possibilidades de escolha.
⎩⎨
⎧
≤
≤+⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤
×+≤+
10p
255p15c10
15
150
p
105,10150p15c10
0
2
4
6
8
10
12
0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5 25 27,5
carne
pe
ix
e
A.1.7. O João vive em Santana e desloca-se todos os dias ao Funchal, onde tem uma
pastelaria. O seu rendimento diário é de 200 euros, que é gasto em bilhetes de
autocarro (B) e outros bens (X). O bilhete custa 2 euros, enquanto o preço dos
outros bens é de 10 euros. O tempo útil diário do João é de 8 horas, gastando 1
hora na viagem Santana – Funchal e 15 minutos para adquirir uma unidade de X.
a) Represente o conjunto de possibilidades de escolha do João.
⎩⎨
⎧
≤+
≤+
8x25,0b1
200x10b2
b) Nos dias em que o João tem de fazer mais de
duas viagens entre Santana e o
Funchal, fica de mau humor. Isto reduz-lhe a clientela da pastelaria,
6
implicando uma redução do rendimento diário do João de 50 euros.
Represente de novo o conjunto de possibilidades de escolha.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤+
>≤+
≤≤+
8x25,0b1
2bse150x10b2
2bse200x10b2
c) Depois da quarta viagem, o João chega a casa depois do supermercado fechar.
Isso obriga-o a fazer as compras num outro supermercado, onde o
estacionamento custa 1 euro.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤+
>≤+
≤<≤+
≤≤+
8x25,0b1
4bse149x10b2
4b2se150x10b2
2bse200x10b2
d) Suponha agora que, a partir da segunda passagem, o João passa a ir na
carrinha da pastelaria. Nesse caso, o tempo necessário para a viagem é de
meia hora e o custo do combustível 1 euro. Represente novamente o conjunto
de possibilidades de escolha do João, considerando um rendimento de 200
euros.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>≤+
≤≤+
>≤+
≤≤+
2bse8x25,0b5,0
2bse8x25,0b1
2bse200x10b1
2bse200x10b2
7
A.2. UTILIDADE E PREFERÊNCIAS
A.2.1. Defina os seguintes conceitos:
a) Bem económico
Produto (ou serviço) definidos pelas suas características físicas, de localização e
tempo, e que proporciona a satisfação de uma necessidade do consumidor.
b) Mal económico
Produto (ou serviço) cujo consumo causa uma diminuição na satisfação do
consumidor.
c) Bem neutral
Produto (ou serviço) cujo consumo não afecta a satisfação do consumidor.
d) Utilidade
Forma de medir a satisfação dos desejos do consumidor. Valor atribuído ao uso de
um ou mais bens.
e) Utilidade marginal de um bem
Variação na utilidade total de um consumidor quando a quantidade consumida de
um bem aumenta de uma forma infinitesimal, mantendo-se a quantidade
consumida dos outros bens.
f) Curva de indiferença
Conjunto de cabazes de dois bens em relação aos quais o consumidor é
indiferente, isto é, que proporcionam o mesmo nível de utilidade.
g) Taxa marginal de substituição no consumo de Y por X
Mede o número de unidades de Y que têm de ser sacrificadas por unidade
infinitesimal a mais de X de forma a que o consumidor mantenha o nível de
satisfação.
A.2.2. Enumere e explique os axiomas e hipóteses das relações de preferência e as
propriedades das curvas de indiferença.
Axioma da exaustão ou da relação completa
Uma ordem de preferências é completa se permite ao consumidor ordenar todas as
combinações possíveis de bens e serviços.
Axioma da transitividade
Dizer que uma ordem de preferências é transitiva significa que, relativamente a três
cabazes A, B e C, se o consumidor prefere A a B e B a C, então gostará mais de A que
de C.
Hipótese da não saciedade ou monotocidade
Esta hipótese significa simplesmente que, quando todo o resto se mantém constante,
uma maior quantidade de um bem é melhor que uma menor quantidade desse mesmo
bem.
8
Hipótese da convexidade
Sejam 3 cabazes, A, B e C tais que B é pelo menos tão bom como A e C é estritamente
preferido a A. A hipótese da convexidade implica que qualquer combinação linear dos
cabazes B e C é preferível a A. Economicamente, esta hipótese relaciona-se com a
necessidade de um consumidor ser compensado com maiores quantidades de um bem,
à medida que sacrifica sucessivas unidades de outro. Ou seja: a taxa marginal de
substituição no consumo entre dois bens é decrescente.
Hipótese da continuidade
Os cabazes que são preferidos ou indiferentes a um determinado cabaz e os cabazes
que são menos preferidos ou indiferentes formam conjuntos fechados. Esta hipótese é
meramente técnica.
Propriedade 1: As curvas de indiferença têm inclinação negativa.
Propriedade 2: As curvas de indiferença nunca se intersectam.
Propriedade 3: Curvas de indiferença para NE representam níveis de satisfação mais
elevados.
Propriedade 4: As curvas de indiferença são convexas em relação à origem.
Propriedade 5: As curvas de indiferença são densas em todo o espaço de bens.
A.2.3. Diga, de entre as situações seguintes, aquelas que violam os axiomas e hipóteses
que regem as preferências.
a) A Isabel gosta mais de chocolates que de caramelos e prefere caramelos a
rebuçados; mas entre rebuçados e chocolates, escolhe os primeiros.
Viola o axioma da transitividade
b) O Francisco não sabe se gosta mais de duas horas de vela ou três de natação.
Viola o axioma da exaustão
c) Quanto mais toca piano, mais a Catarina gosta de tocar.
Viola a hipótese da convexidade
d) Depois de quatro horas de estudo, o Diogo já não estuda mais nenhuma.
Viola a hipótese da monotocidade
e) A Beatriz começou a gostar mais de ir à praia depois de ir muitas vezes.
Viola a hipótese da convexidade
A.2.4. Represente graficamente os mapas de indiferença para os seguintes casos:
a) Dois bens económicos
9
bem
be
m
b) Um bem e um mal económico
mal
be
m
c) Um bem económico e um neutro
neutro
be
m
d) Existência de um ponto de saciedade
10
x
y
e) Bens complementares
x
y
f) Bens substitutos
x
y
A.2.5. Represente as preferências dos consumidores para os seguintes casos, verificando
em cada um se se tratam de preferências bem comportadas.
a) O Gonçalo bebe sempre um café com um copo de água.
11
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
cafés
co
po
s
de
á
gu
a
b) A Graça é indiferente entre utilizar papel A4 pautado e papel A4 liso.
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
pautado
lis
o
c) Ao almoço, a Maria não consegue comer mais de 220 gramas de carne, mas
bebe toda a Coca-Cola que lhe servirem.
0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440
carne
co
ca
-c
ol
a
d) O Pedro é indiferente entre jogar uma hora de futebol ou duas horas de ténis.
12
0
1
2
3
4
5
0 0,5 1 1,5 2 2,5
futebol
té
ni
s
e) A D. Carlota bebe sempre cada chávena de chá com meio pacote de açúcar.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 1 2 3 4 5 6
chá
aç
úc
ar
f) A Joaninha adora leite com torradas. Ao lanche, não consegue comer mais de
4 torradas, mas bebe todo o leite que lhe servirem.
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8
torradas
le
it
e
A.2.6. Considere as seguintes funções utilidade:
i. 5,05,0 yxU =
ii. yx3U ++−=
iii. { }y,xminU =
13
iv. yxU +=
Para cada uma delas:
a) Indique o tipo de preferências.
b) Represente o mapa de indiferença.
c) Calcule as utilidades marginais.
d) Determine a taxa marginal de substituição de y por x.
e) Encontre uma função que represente as mesmas preferências.
5,05,0 yxU = yx3U ++−= { }y,xminU = yxU +=
a) Cobb-Douglas Substitutos perfeitos Complementares Quasi-lineares
b)
bem
be
m
U1
U2
U3
bem
be
m
U1
U2
U3
bem
be
m
U1
U2
U3
U1
U2
U3
c)
5,05,0 yx5,0xUmg −=
5,05,0 yx5,0yUmg −=
1xUmg =
1yUmg =
0xUmg =
0yUmg =
1xUmg =
5,0y5,0yUmg −=
d)
x
y
TMS x,y = 1TMS x,y = Não tem y2TMS x,y =
e) 5,05,0 yx2V = yxV ++= { }y3,x3minV = yyx2xV 2 ++=
A.2.7. A utilidade que um consumidor retira da utilização de gás e de electricidade é
dada pela função 5,05,0 yx2U = em que =x n.º de litros gás/dia e =y n.º Kw/hora.
a) Identifique as diferentes combinações de x e y que permitem ao consumidor
atingir o nível de utilidade de 2 e 4. Qual o conceito subjacente?
x
1
y2yx22U 5,05,0 =⇔=⇔=
x
4
y4yx24U 5,05,0 =⇔=⇔=
O conceito aqui subjacente é o de curva de indiferença.
b) Admita que este consumidor se encontra
actualmente a consumir 5 litros de
gás por dia e 0,2 Kw/hora. Qual a quantidade de electricidade que teria de
sacrificar, se quisesse consumir um litro adicional de gás, de forma a manter o
mesmo nível de satisfação?
( ) 22,052U2,0;5 5,05,0 =××=⇒
61yy622 5,05,0 =⇔××=
14
A.2.8. O António tem uma função de utilidade yxU = .
a) Suponha que inicialmente consome 4 unidades do bem x e 12 unidades do bem
y. Se passar a consumir 8 unidades do bem y, quantas unidades terá de
consumir do bem x de modo a que a sua utilidade de mantenha constante?
( ) ( ) 48124U12,4y,x =×=⇒=
6xx848 =⇔=
b) Calcule a y,xTMS . O que acontece ao valor desta taxa quando o António
aumenta o consumo do bem x?
0
x
TMS
y
x
xUmg
yUmg
TMS y,xy,x >∂
∂→==
c) Responda novamente às alínea a) e b) admitindo que as preferências do
António são descritas por ylnxU += .
( ) ( ) 48,612ln4U12,4y,x ≈+=⇒=
41,4x8lnx48,6 ≈⇔+=
0
x
TMS
y
1
1
y1
xUmg
yUmg
TMS
1
2,1
y,x =∂
∂→===
O consumo do bem x não influencia a taxa a que o António se dispõe a trocar os
bens.
d) De entre os seus amigos, quem tem as mesmas preferências que o António?
Considere o quadro abaixo e a função utilidade inicial.
Ana xy1000V =
Filipa xyW =
Sofia ( )1xy/1Z +−=
Margarida 10000xyF −=
Teresa y/xG =
Bernardo ( )1yxH +=
Ana
y
x
y1000
x1000
TMS y,x ==
Filipa
y
x
TMS y,x =
Sofia
( )
( ) y
x
yxy1
yxx1
TMS
2
2
y,x =−
−= −
−
Margarida
y
x
TMS y,x =
Teresa
y
x
y1
yx
TMS
2
y,x −=−=
Bernardo
1y
x
TMS 1,2 +=
A Teresa e o Bernardo não têm as mesmas preferências do António.
15
A.2.9. Comente as seguintes afirmações:
a) Não é possível que duas curvas de indiferença «bem comportadas» se cruzem.
A frase é verdadeira. Para prová-lo assumamos que a frase é falsa ou seja que
duas curvas de indiferença bem comportadas se podem cruzar, conforme
mostrado na figura.
A
B=D
C
U1
U0
Por definição, diferentes curvas de indiferença representam diferentes níveis de
utilidade. E uma curva de indiferença bem comportada é aquela que respeita,
entre outros, o axioma da transitividade e a hipótese da monoticidade. Se, no
gráfico, as preferências não violarem o axioma da monoticidade, então C será
preferido a A porque tem o mesmo de um dos bens, mas mais do outro. Como C e
B estão na mesma curva de indiferença são, por definição, indiferentes entre si.
Então B deveria, sendo as preferências transitivas, ser preferível a A. Mas B e A
estão sobre a mesma curva de indiferença, significando isso que são indiferentes.
Ou seja, duas curvas de indiferença que se intersectem violam o axioma da
transitividade e a hipótese da monotocidade, logo não podem ser bem
comportadas.
b) Se as preferências forem monotónicas, então a linha diagonal (no espaço dos
bens) que passa pela origem cruza cada curva de indiferença apenas 1 vez.
Consideremos que a frase é falsa. Se é falsa é porque a linha diagonal (no espaço
dos bens) que passa pela origem pode cruzar cada curva de indiferença mais que
1 vez. Vamos admitir que a cruza em dois pontos distintos, A e B. Se A e B estão
sobre a diagonal, então um destes pontos tem de estar acima e à direita do outro.
Mas se está acima e à direita, então representa um cabaz com mais de ambos os
bens o que, pela hipótese da monotocidade, implica uma utilidade superior. Mas
se tem utilidade superior não pode, por definição, estar sobre a mesma curva de
indiferença. Então, a frase tem de ser verdadeira.
c) Se dois bens forem substitutos perfeitos então a taxa marginal de substituição
ou é igual a zero ou é infinito.
Se dois bens são substitutos perfeitos, então a utilidade marginal associada a cada
um deles é constante. Logo, também é constante a taxa marginal de substituição.
16
Se esta for zero ou infinito é porque uma das utilidades marginais é zero ou
infinito. Mas isso não faz sentido. Portanto, a frase é falsa.
d) A convexidade estrita das preferências pode ser entendida como uma
expressão formal de uma preferência dos consumidores por diversificação.
A convexidade das curvas de indiferença decorre da hipótese de taxa marginal de
substituição (TMS) decrescente. Esta hipótese estabelece que, ao longo de
qualquer curva de indiferença, quanto maior a quantidade de um bem um
consumidor possuir, tanto mais exige receber desse bem, para renunciar a uma
unidade do outro bem. Ou seja, os consumidores estão, geralmente, dispostos a
prescindir de bens que já possuem em grande quantidade, para obterem mais
unidades daqueles que, naquele momento, detêm em menor quantidade. Mas isso
significa uma preferência dos consumidores por diversificação.
e) Para que a taxa marginal de substituição no consumo seja decrescente, é
preciso que a utilidade marginal seja decrescente.
Frase falsa como facilmente se constata pela análise do seguinte contra-exemplo.
yUmg
xUmg
TMS x,y = . Se x tiver uma utilidade marginal constante, para que a taxa
marginal de substituição seja decrescente a utilidade marginal de y terá de ser
crescente.
17
A.3. A ESCOLHA ÓPTIMA DO CONSUMIDOR
A.3.1. Para cada um dos consumidores
i. deduza as funções procura de ambos os bens;
ii. determine a escolha óptima;
iii. calcule o nível de satisfação; e
iv. avalie a taxa marginal de substituição no ponto óptimo.
a) Consumidor A: 5,05,0 yx5U = ; 2Px = ; 10Py = ; 100m =
FUNÇÕES PROCURA
( )yPxPmy5x
myPxP.a.s
yx5Umax
yx
5,00,5
yx
5,05,0
y,x −−λ+=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−−
=λ−×
=λ−×
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
−
−
−
−
myPxP
Pyx5,2
Pyx5,2
0yPxPm
0Pyx5,05
0Pyx5,05
0
0y
0x
yx
y
5,05,0
x
5,05,0
yx
y
5,05,0
x
5,05,0
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ
λ=−
−
myPxP
x
P
P
y
myPxP
P
P
x
y
myPxP
P
P
yx5,2
yx5,2
yx
y
x
yx
y
x
yx
y
x
5,05,0
5,05,0
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
x
y
xx
y
x
y
x
yx
y
x
P
m5,0
x
P
m5,0
y
mxPxP
x
P
P
y
mx
P
P
PxP
x
P
P
y
ESCOLHA ÓPTIMA
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×=
=×=
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
25
2
1005,0
x
5
10
1005,0
y
100m
10P
2P
y
x
NÍVEL DE SATISFAÇÃO
9,555255U 5,05,0 ≈××=
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO
( ) ( )
2,0
25
5
yUmg
xUmg
TMS
5;25
5;25x,y
===
b) Consumidor B: 6,04,0 yx2U = ; 1Px = ; 6Py = ; 50m =
FUNÇÕES PROCURA
( )yPxPmy2x
myPxP.a.s
yx2Umax
yx
6,00,4
yx
6,04,0
y,x −−λ+=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
18
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−−
=λ−×
=λ−×
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
−
−
−
−
myPxP
Pyx2,1
Pyx8,0
0yPxPm
0Pyx6,02
0Pyx4,02
0
0y
0x
yx
y
4,04,0
x
6,06,0
yx
y
4,04,0
x
6,06,0
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ
λ=−
−
myPxP
x
P
P
5,1y
myPxP
P
P
x3
y2
myPxP
P
P
yx2,1
yx8,0
yx
y
x
yx
y
x
yx
y
x
4,04,0
6,06,0
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
x
y
xx
y
x
y
x
yx
y
x
P
m4,0
x
P
m6,0
y
mxP5,1xP
x
P
P
5,1y
mx
P
P
5,1PxP
x
P
P
5,1y
ESCOLHA ÓPTIMA
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×=
=×=
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
20
1
504,0
x
5
6
506,0
y
50m
6P
1P
y
x
NÍVEL DE SATISFAÇÃO
4,175202U 6,04,0 ≈××=
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO
( ) ( ) 6
1
203
52
yUmg
xUmg
TMS
5;20
5;20x,y
=×
×==
c) Consumidor C: 23yxU = ; 5,1Px = ; 4Py = ; 45m =
FUNÇÕES PROCURA
( )yPxPmyx
myPxP.a.s
yxUmax
yx
23
yx
23
y,x −−λ+=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−−
=λ−
=λ−
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
myPxP
Pyx2
Pyx3
0yPxPm
0Pyx2
0Pyx3
0
0y
0x
yx
y
3
x
22
yx
y
3
x
22
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ
λ=
myPxP
x
P3
P2
y
myPxP
P
P
x2
y3
myPxP
P
P
yx2
yx3
yx
y
x
yx
y
x
yx
y
x
3
22
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
x
y
xx
y
x
y
x
yx
y
x
P
m6,0
x
P
m4,0
y
mxp
3
2
xP
x
P3
P2
y
mx
P3
P2
pxP
x
P3
P2
y
ESCOLHA ÓPTIMA
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×=
=×=
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
18
5,1
456,0
x
5,4
4
454,0
y
45m
4P
5,1P
y
x
NÍVEL DE SATISFAÇÃO
1180985,418U 23 =×=
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO
19
( ) ( )
375,0
182
5,43
yUmg
xUmg
TMS
5,4;18
5,4;18x,y
=×
×==
d) Consumidor E: y3x2U += ; 1Px = ; 4Py = ; 60m =
FUNÇÕES PROCURA
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
<
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
>
=
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
<
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
>
=→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
+=
y
x
y
y
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
x
x
yx
y,x
P
P
3
2
P
m
P
P
3
2
P
m
;0
P
P
3
2
0
y
P
P
3
2
0
P
P
3
2
P
m
;0
P
P
3
2
P
m
x
myPxP.a.s
y3x2Umax
ESCOLHA ÓPTIMA
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==⇒=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
0y
60
1
60
x
25,0
P
P
60m
4P
1P
y
x
y
x
NÍVEL DE SATISFAÇÃO
12003602U =×+×=
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO
( ) ( ) 3
2
yUmg
xUmg
TMS
0;60
0;60x,y
==
e) Consumidor F: y2x5U += ; 3Px = ; 1Py = ; 12m =
FUNÇÕES PROCURA
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
<
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
>
=
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
<
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
>
=→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
+=
y
x
y
y
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
x
x
yx
y,x
P
P
2
5
P
m
P
P
2
5
P
m
;0
P
P
2
5
0
y
P
P
2
5
0
P
P
2
5
P
m
;0
P
P
2
5
P
m
x
myPxP.a.s
y2x5Umax
ESCOLHA ÓPTIMA
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=
⇒=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
12
1
12
y
0x
3
P
P
12m
1P
3P
y
x
y
x
NÍVEL DE SATISFAÇÃO
2412205U =×+×=
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO
( ) ( ) 2
5
yUmg
xUmg
TMS
12;0
12;0x,y
==
f) Consumidor G: y4x3U += ; 6Px = ; 8Py = ; 150m =
FUNÇÕES PROCURA
20
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
<
=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
>
=
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
<
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
>
=→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
+=
y
x
y
y
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
x
x
yx
y,x
P
P
4
3
P
m
P
P
4
3
P
m
;0
P
P
4
3
0
y
P
P
4
3
0
P
P
4
3
P
m
;0
P
P
4
3
P
m
x
myPxP.a.s
y4x3Umax
ESCOLHA ÓPTIMA
[ ]
[ ]⎩⎨
⎧
∈
∈⇒=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
75,18;0y
25;0x
4
3
P
P
150m
8P
6P
y
x
y
x
NÍVEL DE SATISFAÇÃO
75253U =×=
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO
4
3
yUmg
xUmg
TMS x,y ==
g) Consumidor H: { }y5,x2minU = ; 2Px = ; 10Py = ; 72m =
FUNÇÕES PROCURA { }
⇔
⎩⎨
⎧
=+
=⇔
⎩⎨
⎧
=+
=→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
myPxP
y5,2x
myPxP
y5x2
myPxP.a.s
y5,x2minUmax
yxyxyx
y,x
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=
⇔
⎩⎨
⎧
=+
=
xy
yx
xy
yx
P5,2p
m
y
P4,0P
m
x
P5,2p
m
y
y5,2x
myPyP5,2
y5,2x
ESCOLHA ÓPTIMA
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×+=
=×+=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
8,4
25,210
72
y
12
104,02
72
x
72m
10P
2P
y
x
NÍVEL DE SATISFAÇÃO { } 248,45;122minU =××=
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO
Não faz sentido
h) Consumidor I: { }y,x3minU = ; 6Px = ; 2Py = ; 48m =
FUNÇÕES PROCURA { }
⇔
⎩⎨
⎧
=+
=⇔
⎩⎨
⎧
=+
=→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
mxP3xP
x3y
myPxP
yx3
myPxP.a.s
y,x3minUmax
yxyxyx
y,x
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=
yx
yx
yx P3p
m
x
P3P
m3
y
P3p
m
x
x3y
ESCOLHA ÓPTIMA
21
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×+=
=×+
×=
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
4
236
48
x
12
236
483
y
48m
2P
6P
y
x
NÍVEL DE SATISFAÇÃO { } 1212;43minU =×=
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO
Não faz sentido
i) Consumidor H: { }y,x2minU = ; 4Px = ; 2Py = ; 100m =
FUNÇÕES PROCURA { }
⇔
⎩⎨
⎧
=+
=⇔
⎩⎨
⎧
=+
=→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
mxP2xP
x2y
myPxP
yx2
myPxP.a.s
y,x2minUmax
yxyxyx
y,x
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
=
yx
xy
yx P2p
m
x
P5,0P
m
y
P2p
m
x
x2y
ESCOLHA ÓPTIMA
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=×+=
=×+=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
5,12
224
100
x
25
45,02
100
y
100m
2P
4P
y
x
NÍVEL DE SATISFAÇÃO { } 2525;5,122minU =×=
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO
Não faz sentido
j) Consumidor K: ylnx4U += ; 10Px = ; 1Py = ; 5,62m =
FUNÇÕES PROCURA
( )yPxPmyln4x
myPxP.a.s
ylnx4Umax
yx
yx
y,x −−λ++=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
+=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−
=λ−
=λ−
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
−−
myPxP
Py
P4
0yPxPm
0Py
0P4
0
0y
0x
yx
y
1
x
yx
y
1
x
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ
λ=−
myPxP
P4
P
y
myPxP
P
P
y4
myPxP
P
P
y
4
yx
y
x
yx
y
x
yx
y
x
1
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
x
x
y
x
x
x
y
x
y
x
yx
y
x
P
4
P
m
x
P4
P
y
m
4
P
xP
P4
P
y
m
P4
P
pxP
P4
P
y
ESCOLHA ÓPTIMA
22
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
−
=
=×=
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
6
10
4
10
5,62
x
5,2
14
10
y
5,62m
1P
10P
y
x
NÍVEL DE SATISFAÇÃO
9,245,2ln64U ≈+×=
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO
( ) ( )
10
5,2
4
yUmg
xUmg
TMS
1
5,2;6
5,2;6x,y
=== −
k) Consumidor L: 2x5,0yU += ; 6Px = ; 2Py = ; 28m =
FUNÇÕES PROCURA
( ) ( )0yPmxPmy0x:cantodesolução
myPxP.a.s
x5,0yUmax
xy
yx
2
y,x =∧=∨=∧=→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
+=
y
1
y P
m
u
Pmy
0x =⇒
⎩⎨
⎧
=
=
2
x
2
2
x
P
m5,0
u
0y
Pmx =⇒
⎩⎨
⎧
=
=
m5,0
P
P
P
m5,0
P
m
uu
y
2
x
2
x
2
y
21 >⇔>⇔>
⎩⎨
⎧=
0
Pm
x x
se
se
m5,0PP
m5,0PP
y
2
x
y
2
x
≥
≤
⎩⎨
⎧=
xPm
0
y
se
se
m5,0PP
m5,0PP
y
2
x
y
2
x
≥
≤
ESCOLHA ÓPTIMA
⎩⎨
⎧
=
=⇒=>=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
14y
0x
14m5,018
P
P
28m
2P
6P
y
2
x
y
x
NÍVEL DE SATISFAÇÃO
1405,014U 2 =×+=
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO
( ) ( )
0
1
0
yUmg
xUmg
TMS
14;0
14;0x,y
===
l) Consumidor M: 5,0y12x3U += ; 2Px = ; 5,0Py = ; 100m =
FUNÇÕES PROCURA
( )yPxPmy123x
myPxP.a.s
y12x3Umax
yx
0,5
yx
5,0
y,x −−λ++=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
+=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−
=λ−
=λ−
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
−−
myPxP
Py6
P3
0yPxPm
0Py6
0P3
0
0y
0x
yx
y
5,0
x
yx
y
5,0
x
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ
λ= −−
myPxP
P
P
4y
myPxP
P
P
y5,0
myPxP
P
P
y6
3
yx
2
y
x
yx
y
x5,0
yx
y
x
5,0
23
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
⇔
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=+
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
⇔
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
x
y
2
x
2
y
x
y
2
x
x
2
y
x
2
y
x
yx
2
y
x
P
P
P
4m
x
P
P
4y
m
P
P
4xP
P
P
4y
m
P
P
P4xP
P
P
4y
ESCOLHA ÓPTIMA
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
34
2
5,0
2
4100
x
64
5,0
2
4y
100m
5,0P
2P
2
2
y
x
NÍVEL DE SATISFAÇÃO
1986412343U 5,0 =×+×=
TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO
( ) ( )
4
646
3
yUmg
xUmg
TMS
5,0
64;34
64;34x,y
=×== −
A.3.2. A Joana tem a seguinte função de utilidade: 5,05,0 yx10U = e aufere 100 euros por
semana que gasta no consumo dos bens X e Y, cujos preços são, respectivamente,
2Px = e 1Py = , ambos denominados em euros.
a) Suponha que a Joana detém hoje 12,5 unidades do bem X e 75 unidades do
bem Y. Qual a X,YTMS nesse cabaz de dotações iniciais? Como se compara com
os preços relativos? Se a Joana puder realizar trocas no mercado, que trocas
tenderá ela a fazer? Explique a lógica do seu raciocínio.
( ) ( ) ( )
2
P
P
6
x
y
yUmg
xUmg
TMS
Y
X
75;5,1275;5,12
75;5,12x,y
=>===
A Joana dispõe-se a trocar 6 unidades de Y por 1 de X. No mercado, para ter 1
unidade adicional de X, exigem 2 unidades de Y. Logo, a Joana trocará Y por X.
b) Qual o cabaz semanal óptimo da Joana?
( )yx2100y10x
100yx2.a.s
yx10Umax
5,00,5
5,05,0
y,x −−λ+=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−−
=λ−
=λ−
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
−
−
−
−
100yx2
yx5
2yx5
0yx2100
0yx5
02yx5
0
0y
0x
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
⇔
⎩⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ
λ=−
−
100yx2
x2y
100yx2
2
x
y
100yx2
2
yx5
yx5
5,05,0
5,05,0
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨
⎧
=+
=
25x
50y
25x
x2y
100x2x2
x2y
24
c) Qual a utilidade marginal do rendimento da Joana?
m
U
54,3250255
50y
25x
2yx5
5,05,0
5,05,0
∂
∂=≈λ⇔λ=××⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
λ=
−
−
A.3.3. Suponha que, para um determinado consumidor, a taxa marginal de substituição
avaliada na combinação de consumo x0 é ( ) 5,0xTMS 02,1 = . Sabendo que
1p/p 21 = , diga se este cabaz será escolhido pelo consumidor. Em caso de
resposta negativa, indique que tipo de trocas estará ele disposto a efectuar.
Se para este consumidor os bens 1 e 2 forem substitutos perfeitos, então x0 pode ser a
escolha do consumidor desde que corresponda a um cabaz em que todo o rendimento
é gasto no bem 1. Caso contrário, x0 não será o cabaz óptimo e este consumidor
dispõe-se a trocar o bem 2 pelo bem 1.
A.3.4. Um consumidor tem preferências descritas pela função utilidade y25,0xU += ,
adquire os bens aos preços 1Px = e 2Py = e dispõe de 100 unidades monetárias
de rendimento.
a) Indique, sem efectuar cálculos, a escolha óptima de consumo.
Para este consumidor, os bens x e y são substitutos. O bem x tem maior utilidade
marginal e tem menor custo, logo o cabaz óptimo será afectar todo o rendimento
ao consumo do bem x: ( ) ( )0,100y,x = .
b) Suponha que uma guerra obriga a um esquema de racionamento do bem X, de
acordo com o qual cada consumidor só pode adquirir 50 unidades desse bem.
Qual é a escolha óptima do consumidor?
O consumidor continua a escolher o máximo que puder de x, portanto o cabaz
óptimo será ( ) ( )25,50y,x = .
c) Responda de novo à questão anterior admitindo que, em vez do esquema de
racionamento, o preço do bem X sobe para 3 unidades monetárias.
5,1
2
3
P
P
4
25,0
1
TMS
y
x
x,y ==>==
A solução óptima continua a ser gastar todo o rendimento em 1: ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= 0,
3
100
y,x
A.3.5. Seja o José Pedro com a seguinte função de utilidade yx2U = .
a) Determine os consumos óptimos de X e Y, sujeitos à restrição orçamental
100y4x5 ≤+ .
25
( )y4x5100y2x
100y4x5.a.s
yx2Umax
y,x −−λ+=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ
λ=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−−
=λ−
=λ−
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
100y4x5
4
5
x2
y2
100y4x5
4x2
5y2
0y4x5100
04x2
05y2
0
0y
0x
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨
⎧
=×+
=⇔
⎩⎨
⎧
=+
=
10x
5,12y
10x
x25,1y
100x25,14x5
x25,1y
100y4x5
x25,1y
b) Suponha, agora, que o José Pedro está sujeito a um sistema de racionamento.
Os preços das senhas de X e Y são 3 e 6, respectivamente, existindo um
racionamento total de 80 senhas. Determine os novos consumos óptimos.
Poderá resolver-se a questão pelo método dos multiplicadores de Lagrange?
Porquê? Serão ambas as restrições activas no cabaz óptimo?
( ) ( )yx80y6x3100y2x
80yx
100y6x3
.a.s
yx2Umax
y,x
−−μ+−−λ+=Γ→
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎩⎨
⎧
≤+
≤+
=
As restrições sobre as variáveis não se podem exprimir com equações. Assim, não
se pode recorrer ao método dos multiplicadores de Lagrange. Tem de se fazer uso
das condições de Kuhn-Tucker:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≥μ
≥λ
=−−μ
=−−λ
≤+
≤+
=μ−λ−
=μ−λ−
0:8
0:7
0yx80:6
0y6x3100:5
80yx:4
100y6x3:3
06x2:2
03y2:1
Se 0=λ
( )
( ) ⎩⎨
⎧
μ=
μ=⇔
⎩⎨
⎧
μ=
μ=⇔
⎩⎨
⎧
=μ−
=μ−
5,0x
5,0y
x2
y2
0x2:2
0y2:1
Substituindo em (6) vem:
( ) 80005,05,080 =μ∨=μ⇔=μ−μ−μ
→==⇒=μ 0yx0 não é solução
→=×+×⇒==⇒=μ 36040640340yx80 viola (3), não é solução.
Se 0=μ
( )
( ) ⎩⎨
⎧
λ=
λ=⇔
⎩⎨
⎧
λ=
λ=⇔
⎩⎨
⎧
=λ−
=λ−
3x
5,1y
6x2
3y2
06x2:2
03y2:1
Substituindo em (5) vem:
( ) 181000099100 =λ∨=λ⇔=λ−λ−λ
→=λ=μ 0 não é solução, já se viu anteriormente
26
→=+⇒
⎩⎨
⎧
=
=⇒=λ 25
3
25
3
50
325y
350x
18
100
não viola (4)
0, >μλ
( ) ( )
( ) ( ) ⎩⎨
⎧
−=
=⇔
⎩⎨
⎧
=−−
=−−⇔
⎩⎨
⎧
=−−μ
=−−λ
3140y
3380x
0yx80
0y6x3100
0yx80:6
0y6x3100:5
Também não é solução.
Portanto, ( ) ( )325,350y,x = e 0=μ , ou seja, a restrição do racionamento total
de 80 senhas não é activa.
c) Faça a representação gráfica dos dois equilíbrios.
X0
X1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
0 20 40 60 80 100
x
y
RO a)
RO b)
RO b)
U=250
U=277,78
A.3.6. Comente as seguintes afirmações:
a) A escolha óptima do consumidor caracteriza-se pela igualdade entre a taxa
marginal de substituição e o rácio dos preços.
A frase é falsa. Embora seja verdadeira para preferências bem comportadas, não
se aplica, por exemplo, a bens substitutos perfeitos.
b) Dois indivíduos com cabazes de consumo idênticos têm certamente
preferências idênticas.
Considerem-se dois consumidores cujas preferências são dadas por y2xU += e
y3xU += e que dispõem ambos de 100 u.m. Os preços são 2Px = e 1Py = . Para
ambos os consumidores a escolha óptima será 0x = e 0y = . Ou seja, eles
escolhem o mesmo
cabaz. No entanto, não apresentam a mesma TMS pelo que as
suas preferências não são idênticas. Portanto, este exemplo demonstra que a
frase é falsa.
c) Se a função utilidade de um consumidor é do tipo ( ) βα= yxy,xU , a
percentagem de rendimento gasta no consumo do bem Y é sempre igual a β .
27
A frase é falsa, pois com uma função utilidade do tipo ( ) βα= yxy,xU a
percentagem de rendimento gasta no consumo do bem Y será sempre igual a
β+α
β
. Passando a demonstrar:
( )yPxPmyx
myPxP.a.s
yxUmax
yx
yx
y,x −−λ+=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
= βα
βα
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
λ=β
λ=α
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−−
=λ−β
=λ−α
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
−βα
β−α
βα
β−α
myPxP
Pyx
Pyx
0yPxPm
0Pyx
0Pyx
0
0y
0x
yx
y
1
x
1
yx
y
x
1
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
α
β=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=β
α
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ
λ=β
α
−βα
β−α
myPxP
x
P
P
y
myPxP
P
P
x
y
myPxP
P
P
yx
yx
yx
y
x
yx
y
x
yx
y
x
1
1
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
α
β+
α
β=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=α
β+
α
β=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=α
β+
α
β=
mxP1
x
P
P
y
mxpxP
x
P
P
y
mx
P
P
pxP
x
P
P
y
x
y
x
xx
y
x
y
x
yx
y
x
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
β+α
α
=
β+α
β
=
⇔
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
β+α
α
=
α
β=
⇔
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
α
β+α=
α
β=
⇔
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
α
β+
=
α
β=
x
y
x
y
x
x
y
x
x
y
x
P
m
x
P
m
y
P
m
x
x
P
P
y
P
m
x
x
P
P
y
P1
m
x
x
P
P
y
d) Se dois bens são complementares perfeitos, o consumidor vai sempre escolher
comprar igual quantidade de ambos.
Se dois bens são complementares perfeitos serão consumidos sempre na mesma
proporção o que não significa que se consuma igual quantidade de ambos. Como
exemplo tomem-se as alíneas g)-i) do exercício A.3.1. A frase é, então, falsa.
e) Quando as preferências são quasi-lineares, a escolha do consumidor é sempre
uma solução de canto.
Uma solução de canto é aquela em que o rendimento é gasto em apenas um dos
bens. A frase é, obviamente, falsa: basta ver o exemplo das alíneas j)-l) do
exercício A.3.1.
f) Se dois bens são substitutos perfeitos e yxy,x PPTMS > , o consumo de X é
nulo.
A frase é verdadeira. Se a y,xTMS é maior que o preço relativo de x, então x,yTMS
é menor que o preço relativo de x. Como x,yTMS é o rácio da utilidade marginal
de x e de y, dizer que aquela é menor que o rácio dos preços de x e de y significa
que x tem um custo relativo superior à satisfação relativa que proporciona. E,
como tal, não compensa comprá-lo.
28
A.4. ANÁLISE DE ESTÁTICA COMPARADA
A.4.1. Defina os seguintes conceitos:
a) Curva consumo-rendimento
Lugar geométrico dos cabazes de equilíbrio do consumidor correspondentes a
diferentes níveis de rendimento.
b) Bem normal
Bem cujo consumo varia proporcionalmente menos ou na mesma proporção do
rendimento monetário.
c) Bem inferior
Bem cujo consumo varia inversamente com o rendimento.
d) Curva de Engel
Representação da relação entre a quantidade consumida de um bem e o
rendimento do consumidor.
e) Curva consumo-preço
Lugar geométrico dos cabazes de equilíbrio de um consumidor que resultam de
variações no preço de um bem.
f) Bem de Giffen
Bem cuja procura varia directamente com o seu preço.
g) Efeito substituição
Variação na quantidade procurada de um bem, resultante da variação no preço
desse bem, mantendo-se constante o rendimento real do consumidor (se esse
rendimento real estiver expresso em termos de poder de compra(nível de
satisfação), tem-se a abordagem à Slutsky(Hicks)).
h) Efeito rendimento
Variação na quantidade procurada de um bem, resultante da alteração do
rendimento real do consumidor (se esse rendimento real estiver expresso em
termos de poder de compra(nível de satisfação), tem-se a abordagem à
Slutsky(Hicks)).
A.4.2. Mostre que um bem de Giffen é necessariamente inferior.
A variação no consumo de um bem devida a uma alteração do respectivo preço pode
ser desdobrada em dois efeitos, o substituição e o rendimento:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]m,pxm,pxm,pxm,pxm,pxm,pxxxx ns ′′−′+−′′=−′⇔Δ+Δ=Δ
Enquanto o efeito substituição tem de ser negativo – isto é, por efeito substituição, a
variação no consumo tem sinal oposto ao da variação no preço – o efeito rendimento
pode ser negativo ou positivo.
29
Um bem de Giffen é aquele cuja procura ordinária varia directamente com o seu
preço, ceteris paribus. Portanto, a variação total tem de ter sinal positivo. Ora, para
que a soma de uma parcela negativa com outra seja positiva, esta outra parcela tem
de ser positiva. Logo, para que um bem seja de Giffen, o efeito rendimento tem de
ter sinal positivo. Mas um bem só tem efeito rendimento de sinal positivo se for
inferior. Concluindo: um bem de Giffen tem de ser necessariamente inferior.
A.4.3. Considere o espaço de consumo de 2 bens, X e Y, relativo a um determinado
consumidor. Apresente uma interpretação gráfica dos efeitos substituição e
rendimento numa situação em que o preço do bem X diminui. O bem X é um bem
normal. Efectue as explicações que entender necessárias para acompanhar a
leitura do gráfico. Reporte-se às abordagens de Hicks e Slutsky.
ABORDAGEM DE HICKS
Para decompor a variação total em efeito substituição e efeito rendimento, Hicks
determina a quantidade consumida de X num cenário em que o preço deste bem
diminui, mas o bem-estar do consumidor mantém-se. Ou seja, Hicks encontra uma
restrição orçamental (a verde) com o mesmo declive que a restrição orçamental final
(a azul claro) mas que seja tangente à curva de indiferença que também o é à
restrição orçamental inicial (a azul escuro).
E1 E2
EI
x
y
RO inicial
RO final
RO intermédia
CI
ES
ER
ABORDAGEM DE SLUTSKY
Para decompor a variação total em efeito substituição e efeito rendimento, Slutsky
determina a quantidade consumida de X num cenário em que o preço deste bem
diminui, mas o poder de compra do consumidor mantém-se. Ou seja, Slutsky encontra
uma restrição orçamental (a verde) com o mesmo declive que a restrição orçamental
final (a azul claro) mas que passa pelo cabaz inicial. Dada essa restrição orçamental
(a verde), Slutsky calcula a quantidade óptima de X.
30
E1 E2
EI
x
y
RO inicial
RO final
RO intermédia
ES
ER
A.4.4. Determine e represente as curvas
i. consumo-rendimento
ii. consumo-preço do bem X
iii. consumo-preço do bem Y
iv. de Engel do bem X
v. de Engel do bem Y
para as seguintes situações:
a) 5,05,0 yx5U = ; 2Px = ; 10Py = ; 100m =
CURVA CONSUMO-RENDIMENTO
x2,0y
10
2
x
y
P
P
TMS
y
x
x,y =⇔=⇔=
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X
⇔
⎩⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
100y10xP
y10xP
100y10xP
10
P
x
y
myPxP
P
P
TMS
x
x
x
x
yx
y
x
x,y
5y
100y10y10
y10xPx =⇔
⎩⎨
⎧
=+
=
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧ =+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
100yPx2
x2yP
100yPx2
P
2
x
y
myPxP
P
P
TMS
y
y
y
y
yx
y
x
x,y
25x
100x2x2
x2yPy =⇔
⎩⎨
⎧
=+
=
CURVA DE ENGEL DO BEM X
m25,0x
2
m5,0
x
P
m5,0
x
x
=⇔=⇔=
CURVA DE ENGEL DO BEM Y
31
m05,0y
10
m5,0
y
P
m5,0
y
y
=⇔=⇔=
b) 6,04,0 yx2U = ; 1Px = ; 6Py = ; 50m =
CURVA CONSUMO-RENDIMENTO
x25,0y
6
1
x6,0
y4,0
P
P
TMS
y
x
x,y =⇔=⇔=
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X
⇔
⎩⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
50y6xP
y4xP
50y6xP
6
P
x6,0
y4,0
myPxP
P
P
TMS
x
x
x
x
yx
y
x
x,y
5y
50y6y4
y4xPx =⇔
⎩⎨
⎧
=+
=
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧ =+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
50yPx
x5,1yP
50yPx
P
1
x6,0
y4,0
myPxP
P
P
TMS
y
y
y
y
yx
y
x
x,y
20x
50x5,1x
x5,1yPy =⇔
⎩⎨
⎧
=+
=
CURVA DE ENGEL DO BEM X
m4,0x
1
m4,0
x
P
m4,0
x
x
=⇔=⇔=
CURVA DE ENGEL DO BEM Y
m1,0y
6
m6,0
y
P
m6,0
y
y
=⇔=⇔=
c) 23yxU = ; 5,1Px = ; 4Py = ; 45m =
CURVA CONSUMO-RENDIMENTO
x25,0y
4
5,1
x2
y3
P
P
TMS
y
x
x,y =⇔=⇔=
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X
⇔
⎩⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
45y4xP
y6xP
45y4xP
4
P
x2
y3
myPxP
P
P
TMS
x
x
x
x
yx
y
x
x,y
5,4y
45y4y6
y6xPx =⇔
⎩⎨
⎧
=+
=
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧ =+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
=
45yPx5,1
xyP
45yPx5,1
P
5,1
x2
y3
myPxP
P
P
TMS
y
y
y
y
yx
y
x
x,y
18x
45xx5,1
xyPy =⇔
⎩⎨
⎧
=+
=
CURVA DE ENGEL DO BEM X
m4,0x
5,1
m6,0
x
P
m6,0
x
x
=⇔=⇔=
CURVA DE ENGEL DO BEM Y
32
m1,0y
4
m4,0
y
P
m4,0
y
y
=⇔=⇔=
d) y3x2U += ; 1Px = ; 4Py = ; 60m =
CURVA CONSUMO-RENDIMENTO
0yTMS
3
2
4
1
P
P
x,y
y
x =⇒=<=
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X
se 0y38Px =⇒<
se x3215y38Px −=⇒=
se 0x38Px =⇒>
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y
se 0x5,1Py =⇒<
se x3240y5,1Py −=⇒=
se 0y5,1Py =⇒>
CURVA DE ENGEL DO BEM X
mx
1
m
x
P
m
x
x
=⇔=⇔=
CURVA DE ENGEL DO BEM Y
0y =
e) y2x5U += ; 3Px = ; 1Py = ; 12m =
CURVA CONSUMO-RENDIMENTO
0xTMS
2
5
1
3
P
P
x,y
y
x =⇒=>=
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X
se 0y5,2Px =⇒<
se x5,212y5,2Px −=⇒=
se 0x5,2Px =⇒>
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y
se 0x2,1Py =⇒<
se x5,210y2,1Py −=⇒=
se 0y2,1Py =⇒>
CURVA DE ENGEL DO BEM X
0x =
CURVA DE ENGEL DO BEM Y
my
1
m
y
P
m
y
y
=⇔=⇔=
f) y4x3U += ; 6Px = ; 8Py = ; 150m =
CURVA CONSUMO-RENDIMENTO
É todo o espaço dos bens.
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X
se 0y6Px =⇒<
se x75,075,18y6Px −=⇒=
se 0x6Px =⇒>
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y
se 0x8Py =⇒<
33
se x75,075,18y8Py −=⇒=
se 0y8Py =⇒>
CURVA DE ENGEL DO BEM X
É todo o espaço dos bens.
CURVA DE ENGEL DO BEM Y
É todo o espaço dos bens.
g) { }y5,x2minU = ; 2Px = ; 10Py = ; 72m =
CURVA CONSUMO-RENDIMENTO
x4,0yy5x2 =⇔=
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X
x4,0yy5x2 =⇔=
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y
x4,0yy5x2 =⇔=
CURVA DE ENGEL DO BEM X
6
m
x
104,02
m
x
P4,0P
m
x
yx
=⇔×+=⇔+=
CURVA DE ENGEL DO BEM Y
15
m
y
25,210
m
y
P5,2P
m
y
xy
=⇔×+=⇔+=
h) { }y,x3minU = ; 6Px = ; 2Py = ; 48m =
CURVA CONSUMO-RENDIMENTO
x3y =
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X
x3y =
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y
x3y =
CURVA DE ENGEL DO BEM X
12
m
x
236
m
x
P3P
m
x
yx
=⇔×+=⇔+=
CURVA DE ENGEL DO BEM Y
m25,0y
236
m3
y
P3P
m3
y
yx
=⇔×+=⇔+=
i) { }y,x2minU = ; 4Px = ; 2Py = ; 100m =
CURVA CONSUMO-RENDIMENTO
x2y =
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X
x2y =
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y
x2y =
CURVA DE ENGEL DO BEM X
m125,0x
224
m
x
P2P
m
x
yx
=⇔×+=⇔+=
CURVA DE ENGEL DO BEM Y
m25,0y
45,02
m
y
P5,0P
m
y
xy
=⇔×+=⇔+=
j) ylnx4U += ; 10Px = ; 1Py = ; 5,62m =
CURVA CONSUMO-RENDIMENTO
34
5,2y
1
10
y
4
P
P
TMS
1
y
x
x,y =⇔=⇔= −
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X
⇔
⎩⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
−
5,62´yxP
y4P
5,62yxP
1
P
y
4
myPxP
P
P
TMS
x
x
x
x
1
yx
y
x
x,y
x41
5,62
y
5,62yyx4
y4Px
+=⇔⎩⎨
⎧
=+
=
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧ =+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
= −
5,62yPx10
5,2yP
5,62yPx10
P
10
y
4
myPxP
P
P
TMS
y
y
y
y
1
yx
y
x
x,y
6x
5,625,2x10
5,2yPy =⇔
⎩⎨
⎧
=+
=
CURVA DE ENGEL DO BEM X
25,0m1,0x
10
5,2m
x
P
4
P
m
x
x
x
−=⇔−=⇔
−
=
CURVA DE ENGEL DO BEM Y
5,2y
14
10
y
P4
P
y
y
x =⇔×=⇔=
k) 2x5,0yU += ; 6Px = ; 2Py = ; 28m =
CURVA CONSUMO-RENDIMENTO
Se 18y00x36m ≤<∧=⇒≤
Se 0y6x36m =∧≥⇒≥
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X
Se 0y28x28Px =∧≥⇒≤
Se 14y0x28Px =∧=⇒≥
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y
Se 998y0x718Py ≥∧=⇒≤
Se 0y314x718Py =∧=⇒≥
CURVA DE ENGEL DO BEM X
Se 0x36m =⇒≤
Se 6mx36m =⇒≥
CURVA DE ENGEL DO BEM Y
Se m5,0y36m =⇒≤
Se 0y36m =⇒≥
l) 5,0y12x3U += ; 2Px = ; 5,0Py = ; 100m =
CURVA CONSUMO-RENDIMENTO
64y
5,0
2
y6
3
P
P
TMS
5,0
y
x
x,y =⇔=⇔= −
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧ =+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
−
100´y5,0xP
y25,0P
100y5,0xP
5,0
P
y6
3
myPxP
P
P
TMS
x
5,0
x
x
x
5,0
yx
y
x
x,y
35
5,05,0
5,0
x
y25,0
y5,0100
x
100y5,0xy25,0
y25,0P −=⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
= −
100yPx2
y
4
P
100yPx2
P
2
y6
3
myPxP
P
P
TMS
y
5,0y
y
y
5,0
yx
y
x
x,y
( )2
5,0
5,0y x5,025y
100y4x2
y
4
P −=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
CURVA DE ENGEL DO BEM X
16m5,0x
P
P
P
4m
x
x
y
2
x
−=⇔
−
=
CURVA DE ENGEL DO BEM Y
64y
5,0
2
4y
P
P
4y
22
y
x =⇔⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇔⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
A.4.5. Calcule:
i. efeito substituição e efeito rendimento à Slutsky
ii. efeito substituição e efeito rendimento à Hicks
iii. variação no excedente
iv. variação compensatória
v. variação equivalente
para as seguintes situações:
a) 5,05,0 yx5U = ; 2Px = ; 10Py = ; 100m = ; 5Px =′
5
10
1005,0
y25
2
1005,0
x
100m
10P
2P
iiy
x
=×==×=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
5
10
1005,0
y10
5
1005,0
x
100m
10P
5P
ffy
x
=×==×=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=′
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY
175510255yPxPm iyix =×+×=+′=′
5,17
5
1755,0
x
170m
10P
5P
y
x
=×=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=
=′
5,7255,17ES −=−=
5,75,1710ER −=−=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS
36
⇔⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′=××⇔⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ′′
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
′
′′=
5,05,0
5,05,0
5,0
y
5,0
x
i 10
m5,0
5
m5,0
55255
P
m5,0
P
m5,0
5U
158m
50
m25,0
125
2
≈′′⇔′′=
8,15
5
1585,0
x
158m
10P
5P
y
x
=×=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′′
=
=′
2,9258,15ES −=−=
8,58,1510ER −=−=
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE
x
50
P
P
50
x x
x
=⇔=
25x2Px =⇒=
10x5Px =⇒=
[ ] [ ] =−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−=−=Δ ∫∫ 250100
25
0
10
0
if xln50xln50225dxx
50
510dx
x
50
XCXCXC
( ) ( )[ ] 81,450ln25ln0ln10ln50 −≈−−−=
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA
58100158mmVC =−=−′′=
VARIAÇÃO EQUIVALENTE
⇔⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′′⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′′=××⇔⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ′′′
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ′′′=
5,05,0
5,05,0
5,0
y
5,0
x
f 10
m5,0
2
m5,0
55105
P
m5,0
P
m5,0
5U
63m
20
m25,0
50
2
≈′′′⇔′′′=
3710063mmVE −=−=−′′′=
b) 6,04,0 yx2U = ; 1Px = ; 6Py = ; 50m = ; 4Py =′
5
6
506,0
y20
1
504,0
x
50m
6P
1P
iiy
x
=×==×=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
5,7
4
506,0
y20
1
504,0
x
50m
4P
1P
ffy
x
=×==×=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=′
=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY
4054201yPxPm iyix =×+×=′+=′
6
4
406,0
y
40m
4P
1P
y
x
=×=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=′
=
156ES =−=
5,165,7ER =−=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS
37
⇔⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′=××⇔⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
′
′′
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ′′=
6,04,0
6,04,0
6,0
y
4,0
x
i 4
m6,0
1
m4,0
25202
P
m6,0
P
m4,0
2U
39mm15,04,0520 6,04,06,04,0 ≈′′⇔′′×=×
85,5
4
396,0
y
39m
4P
1P
y
x
=×=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′′
=′
=
85,0585,5ES =−=
65,185,55,7ER =−=
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE
y
30
P
P
30
y y
y
=⇔=
5y6Py =⇒=
5,7y4Py =⇒=
[ ] [ ] =−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−=−=Δ ∫∫ 505,70
5
0
5,7
0
if yln30yln3065dyy
30
45,7dy
y
30
XCXCXC
( ) ( )[ ] 16,120ln5ln0ln5,7ln30 ≈−−−=
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA
115039mmVC −=−=−′′=
VARIAÇÃO EQUIVALENTE
⇔⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′′⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′′=××⇔⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ′′′
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ′′′=
6,04,0
6,04,0
6,0
y
4,0
x
f 6
m6,0
1
m4,0
25,7202
P
m6,0
P
m4,0
2U
63mm1,04,05,720 6,04,06,04,0 ≈′′′⇔′′′×=×
135063mmVE =−=−′′′=
c) 23yxU = ; 5,1Px = ; 4Py = ; 45m = ; 3Px =′
5,4
4
454,0
y18
5,1
456,0
x
45m
4P
5,1P
iiy
x
=×==×=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
5,4
4
454,0
y9
3
456,0
x
45m
4P
3P
ffy
x
=×==×=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=′
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY
725,44183yPxPm iyix =×+×=+′=′
8,10
4
726,0
x
72m
4P
3P
y
x
=×=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=
=′
2,7188,10ES −=−=
8,18,109ER −=−=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS
⇔⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′=×⇔⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ′′
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
′
′′=
23
23
2
y
3
x
i 4
m4,0
3
m6,0
5,418
P
m4,0
P
m6,0
U
38
68mm1,02,05,418 52323 ≈′′⇔′′×=×
6,13
3
686,0
x
68m
4P
3P
y
x
=×=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′′
=
=′
4,4186,13ES −=−=
6,46,139ER −=−=
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE
x
27
P
P
27
x x
x
=⇔=
18x5,1Px =⇒=
9x3Px =⇒=
[ ] [ ] =−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−=−=Δ ∫∫ 18090
18
0
9
0
if xln27xln275,118dxx
27
39dx
x
27
XCXCXC
( ) ( )[ ] 71,180ln18ln0ln9ln27 −≈−−−=
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA
234568mmVC =−=−′′=
VARIAÇÃO EQUIVALENTE
⇔⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′′⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′′′=×⇔⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ′′′
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ′′′=
23
23
2
y
3
x
f 4
m4,0
5,1
m6,0
5,49
P
m4,0
P
m6,0
U
30mm1,04,05,49 52323 ≈′′′⇔′′×=×
154530mmVE −=−=−′′′=
d) y3x2U += ; 1Px = ; 4Py = ; 60m = ; 3Px =′
0y60
1
60
x
60m
4P
1P
iiy
x
===⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
15
4
60
y0x
60m
4P
3P
ffy
x
===⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=′
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY
18004603yPxPm iyix =×+×=+′=′
0x
180m
4P
3P
y
x
=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=
=′
60600ES −=−=
000ER =−=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS
160m
4
m
30203602
P
m
302U
y
i =′′⇔′′×+×=×+×⇔′′×+×=
0x
160m
4P
3P
y
x
=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′′
=
=′
60600ES −=−=
39
000ER =−=
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE
[ ]
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>=
=∈
<=
38Pse0x
38Pse5,22;0x
38PseP60x
x
x
xx
60x1Px =⇒=
0x3Px =⇒=
[ ] ( ) 85,585,22ln60ln60xln60160dx
x
60
3
8
5,220XCXCXC 60 5,22
60
5,22
if −≈−−=−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−+×−=−=Δ ∫
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA
10060160mmVC =−=−′′=
VARIAÇÃO EQUIVALENTE
5,22m03
1
m
21530203
P
m
2U
x
f =′′⇔×+′′×=×+×⇔×+′′×=
5,37605,22mmVE −=−=−′′′=
e) y2x5U += ; 3Px = ; 1Py = ; 12m = ; 8,0Py =′
12
1
12
y0x
12m
1P
3P
iiy
x
===⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
15
8,0
12
y0x
12m
8,0P
3P
ffy
x
===⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=′
=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY
6,9128,003yPxPm iyix =×+×=′+=′
12
8,0
6,9
y
6,9m
8,0P
3P
y
x
==′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=′
=
01212ES =−=
31215ER =−=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS
6,9m
8,0
m
20512205
P
m
205U
y
i =′′⇔′′×+×=×+×⇔′′×+×=
12
8,0
6,9
y
6,9m
8,0P
3P
y
x
==′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=′
=
01212ES =−=
31215ER =−=
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE
[ ]
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>=
=∈
<=
2,1Pse0y
2,1Pse10;0y
2,1PseP12y
x
x
xy
12y1Py =⇒=
15y8,0Py =⇒=
40
( ) ( ) [ ] ( ) 68,212ln15ln12xln128,01128,01215dy
y
12
XCXCXC 1512
15
12
if ≈−==−×+×−−=−=Δ ∫
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA
4,2126,9mmVC −=−=−′′=
VARIAÇÃO EQUIVALENTE
15m
1
m
20515205
P
m
205U
y
f =′′⇔′′×+×=×+×⇔′′×+×=
31215mmVE =−=−′′′=
f) y4x3U += ; 6Px = ; 8Py = ; 150m = ; 10Py =′
[ ] [ ]75,18;0y25;0x
150m
8P
6P
iiy
x
∈∈⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
0y25
6
150
x
150m
10P
6P
ffy
x
===⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=′
=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY
Indeterminado
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS
Indeterminado
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE
Indeterminada
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA
Indeterminada
VARIAÇÃO EQUIVALENTE
Indeterminada
g) { }y5,x2minU = ; 2Px = ; 10Py = ; 72m = ; 5Py =′
8,4
25,210
72
y12
104,02
72
x
72m
10P
2P
iiy
x
=×+==×+=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
2,7
25,25
72
y18
54,02
72
x
72m
5P
2P
ffy
x
=×+==×+=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=′
=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY
488,45122yPxPm iyix =×+×=′+=′
8,4
25,25
48
y
48m
5P
2P
y
x
=×+=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=′
=
08,48,4ES =−=
4,28,42,7ER =−=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS
41
48m
54,02
m
2122
P5,2P
m
5,
P4,0P
m
2minU
xyyx
i =′′⇔×+
′′×=×⇔
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
′′
′+
′′=
8,4
25,25
48
y
48m
5P
2P
y
x
=×+=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=′
=
08,48,4ES =−=
4,28,42,7ER =−=
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE
5
y
72
P
5P
72
y y
y
−=⇔+=
8,4y10Py =⇒=
2,7y5Py =⇒=
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−−−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−−=−=Δ ∫∫
8,4
0
2,7
0
if 108,4dy5y
72
52,7dy5
y
72
XCXCXC
[ ] [ ] [ ] [ ] =++−−−= 48y5yln7236y5yln72 8,408,402,702,70
( ) ( ) 2,29128,42,758,4ln2,7ln72 ≈+−−−=
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA
247248mmVC −=−=−′′=
VARIAÇÃO EQUIVALENTE
108m
104,02
m
2182
P5,2P
m
5,
P4,0P
m
2minU
xyyx
f =′′′⇔×+
′′′×=×⇔⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
′′′
+
′′′=
3672108mmVE =−=−′′′=
h) { }y,x3minU = ; 6Px = ; 2Py = ; 48m = ; 4Px =′
12
236
483
y4
236
48
x
48m
2P
6P
iiy
x
=×+
×==×+=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
4,14
234
483
y8,4
234
48
x
48m
2P
4P
ffy
x
=×+
×==×+=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=′
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY
4012244yPxPm iyix =×+×=+′=′
4
234
40
x
40m
2P
4P
y
x
=×+=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=
=′
044ES =−=
8,048,4ER =−=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS
40m
234
m3
12
P3P
m3
,
P3P
m
3minU
yxyx
i =′′⇔×+
′′=⇔
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+′
′′
+′
′′=
42
4
234
40
x
40m
2P
4P
y
x
=×+=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=
=′
044ES =−=
8,048,4ER =−=
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE
6
x
48
P
6P
48
x x
x
−=⇔+=
4x6Px =⇒=
8,4x4Px =⇒=
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−−−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−−=−=Δ ∫∫
4
0
8,4
0
if 64dx6x
48
48,4dx6
x
48
XCXCXC
[ ] [ ] [ ] [ ] =++−−−= 24x6xln482,19x6xln48 40408,408,40
( ) ( ) 75,88,448,464ln8,4ln48 ≈+−−−=
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA
84840mmVC −=−=−′′=
VARIAÇÃO EQUIVALENTE
6,57m
236
m
38,43
P3P
m3
,
P3P
m
3minU
yxyx
f =′′′⇔×+
′′′×=×⇔⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
′′′
+
′′′=
6,9486,57mmVE =−=−′′′=
i) { }y,x2minU = ; 4Px = ; 2Py = ; 100m = ; 5Px =′
25
45,02
100
y5,12
224
100
x
100m
2P
4P
iiy
x
=×+==×+=⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
9
200
55,02
100
y
9
100
225
100
x
100m
2P
5P
ffy
x
=×+==×+=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=′
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY
5,1122525,125yPxPm iyix =×+×=+′=′
5,12
225
5,112
x
5,112m
2P
5P
y
x
=×+=′⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=′
=
=
05,125,12ES =−=
18255,129100ER −=−=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS
5,112m
55,02
m
25
P5,0P
m
,
P2P
m
2minU
xyyx
i =′′⇔×+
′′=⇔
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
′+
′′
+′
′′=
5,12
225
5,112
x
5,112m
2P
5P
y
x
=×+=′⇒⎪⎩
⎪⎨
⎧
=′
=
=
05,125,12ES =−=
43
18255,129100ER −=−=
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE
4
x
100
P
4P
100
x x
y
−=⇔+=
5,12x4Px =⇒=
9100x5Px =⇒=
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−−−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−−=−=Δ ∫∫
5,12
0
9100
0
if 45,12dx4x
100
5
9
100
dx4
x
100
XCXCXC
[ ] [ ] [ ] [ ] =++−−−= 50x4xln1009500x4xln100 5,1205,1209100091000
( ) ( ) ≈+−−−= 9505,12910045,12ln9100ln100
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA
5,121005,112mmVC =−=−′′=
VARIAÇÃO EQUIVALENTE
9
800
m
45,02
m
9
200
P5,0P
m
,
P2P
m
2minU
xyyx
f =′′′⇔×+
′′′=⇔⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
′′′
+
′′′=
9
100
100
9
800
mmVE −=−=−′′′=
j) ylnx4U += ; 10Px = ; 1Py = ; 5,62m = ; 2Py =′
5,2
14
10
y6
10
1025,05,62
x
5,62m
1P
10P
iiy
x
=×==
×−=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
25,1
24
10
y6
10
1025,05,62
x
5,62m
2P
10P
ffy
x
=×==
×−=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=′
=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY
655,22610yPxPm iyix =×+×=′+=′
25,1
24
10
y
65m
2P
10P
y
x
=×=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=′
=
25,15,225,1ES −=−=
025,125,1ER =−=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS
23,64m25,1ln1m4,05,2ln64
24
10
ln
10
5,2m
4Ui ≈′′⇔+−′′=+×⇔×+
−′′=
25,1
24
10
y
23,64m
2P
10P
y
x
=×=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′′
=′
=
25,15,225,1ES −=−=
025,125,1ER =−=
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE
y
5,2
P
P4
10
y y
y
=⇔=
44
5,2y1Py =⇒=
25,1y2Py =⇒=
[ ] [ ] =−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×−=−=Δ ∫∫ 5,2025,10
5,2
0
25,1
0
if yln5,2yln5,215,2dyy
5,2
225,1dy
y
5,2
XCXCXC
( ) ( )[ ] 73,10ln5,2ln0ln25,1ln5,2 −≈−−−=
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA
73,15,6223,64mmVC =−=−′′=
VARIAÇÃO EQUIVALENTE
77,60m5,2ln1m4,025,1ln64
14
10
ln
10
5,2m
4Uf ≈′′⇔+−′′=+×⇔×+
−′′=
73,15,6277,60mmVE −=−=−′′′=
k) 2x5,0yU += ; 6Px = ; 2Py = ; 28m = ; 4Px =′
14y0x
28m
2P
6P
iiy
x
==⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
0y7x
28m
2P
4P
ffy
x
==⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=′
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY
2814204yPxPm iyix =×+×=′+=′
7x
28m
2P
4P
y
x
=′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=
=′
707ES =−=
077ER =−=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS
448m
4
m
5,005,014
4
m
5,0oU
2
2
2
i =′′⇔⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′=×+⇔⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′+=
3,5x
448m
2P
4P
y
x
≈′⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′′
=
=′
3,503,5ES =−=
7,13,57ER =−=
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE
⎩⎨
⎧=
0
P28
x x
se
se
28P
28P
x
x
≥
≤
0x6Px =⇒=
7x4Px =⇒=
( ) [ ] ( ) 14287xln2804287dx
x
28
XCXCXC 7
28
7
28
if ≈×−−=−×−−=−=Δ ∫
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA
83,628448mmVC −=−=−′′=
45
VARIAÇÃO EQUIVALENTE
42m
6
m
5,075,00
6
m
5,00U
2
2
2
f =′′′⇔⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′′=×+⇔⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′′′+=
142842mmVE =−=−′′′=
l) 5,0y12x3U += ; 2Px = ; 5,0Py = ; 100m = ; 1Px =′
64
5,0
2
4y34
2
5,024100
x
100m
5,0P
2P 2
i
2
iy
x
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==×−=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
16
5,0
1
4y92
1
5,014100
x
100m
5,0P
1P 2
i
2
iy
x
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==×−=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=′
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY
66645,0341yPxPm iyix =×+×=+′=′
58
1
5,01466
x
66m
5,0P
1P 2
iy
x
=×−=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′
=
=′
243458ES =−=
345892ER =−=
EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS
58m4824m36412343
5,0
1
412
1
5,014m
3U 5,0
5,022
i =′′⇔+−′′=×+×⇔⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×+×−′′=
50
1
5,01458
x
58m
5,0P
1P 2
iy
x
=×−=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′′
=
=′
163450ES =−=
425092ER =−=
VARIAÇÃO NO EXCEDENTE ( )
16
3200xx
P
P
P8100
x
5,02
x
x
2
x ++−=⇔−=
34x2Px =⇒=
92x1Px =⇒= ( ) ( ) ( ) =−×+×−−++−=−=Δ ∫ 123413492dx16 3200xxXCXCXC
92
34
5,02
if
=−⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−= 243200xxln16003200xx5,02
x
16
1 92
34
22
92
34
2
31,57≈
VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA
4210058mmVC −=−=−′′=
VARIAÇÃO EQUIVALENTE
46
184m9648m5,11612923
5,0
2
412
2
5,024m
3U 5,0
5,022
f =′′⇔+−′′=×+×⇔⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×+×−′′=
84100184mmVE =−=−′′′=
A.4.6. Comente as seguintes afirmações:
a) A curva de Engel de um bem de Giffen é positivamente inclinada.
Um bem de Giffen é necessariamente inferior. Um bem inferior é aquele cuja
quantidade consumida varia inversamente com o rendimento. Logo, a curva que
representa a relação entre quantidade consumida e rendimento, a curva de
Engel, é negativamente inclinada. Portanto, a frase é falsa.
b) A probabilidade de um bem ser inferior para um dado consumidor aumenta à
medida que aumenta o seu nível de rendimento.
Preferências quasi-lineares implicam que a procura de um dos bens não dependa
do rendimento. Se não depende do rendimento, também não tem efeito
rendimento. E se não tem efeito rendimento não pode ser inferior. Portanto, a
frase é falsa.
c) A curva consumo-preço de um bem normal nunca pode ser decrescente.
A curva consumo-preço de um bem é o lugar geométrico dos cabazes de equilíbrio
que resultam de variações no preço desse bem. Admitamos, sem perda de
generalidade, que o bem em questão é o X e é normal. Se é normal, terá de ser
ordinário. Um bem ordinário é aquele cuja quantidade consumida varia
inversamente com o seu preço. Portanto, à medida que o preço de X baixa, a
quantidade consumida vai estar cada vez mais à direita. Dizer que a curva
consumo-preço não pode ser decrescente significa, neste contexto, que a
quantidade consumida de Y ou não varia ou aumenta. Mas não há nada que
garanta que assim seja. Logo, a frase é falsa.
d) Para um orçamento inteiramente gasto em dois bens, um aumento no preço de
um deles causará necessariamente um descréscimo no consumo de ambos, a
não ser que pelo menos um dos bens seja inferior.
Falso. Basta pensar em preferências Cobb-Douglas. Nenhum dos bens é inferior e,
no entanto, quando o preço de um deles aumenta, o consumo do outro não se
altera. Portanto,
apenas um dos bens vê o seu consumo reduzido.
e) Quando o efeito rendimento é superior ao efeito substituição mas de sentido
contrário a este, estamos na presença de um bem de Giffen.
A variação no consumo de um bem devida a uma alteração do respectivo preço
pode ser desdobrada em dois efeitos, o substituição e o rendimento:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]m,pxm,pxm,pxm,pxm,pxm,pxxxx ns ′′−′+−′′=−′⇔Δ+Δ=Δ
O efeito substituição tem sempre sinal negativo. Se o efeito rendimento for
positivo e de maior magnitude que o efeito substituição, o efeito total – que é a
47
soma dos dois – será positivo. Mas um efeito total positivo significa que a
quantidade consumida varia positivamente com o preço. E isso é a definição de
um bem de Giffen. A frase é, pois, verdadeira.
f) Um bem inferior é necessariamente um bem de Giffen.
A frase é falsa. A variação no consumo de um bem devida a uma alteração do
respectivo preço pode ser desdobrada em dois efeitos, o substituição e o
rendimento:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]m,pxm,pxm,pxm,pxm,pxm,pxxxx ns ′′−′+−′′=−′⇔Δ+Δ=Δ
Um bem inferior é aquele cuja quantidade consumida varia inversamente com o
rendimento. Para estes bens, o efeito rendimento é positivo. Ou seja, tem sinal
oposto ao do efeito substituição. Obviamente, o sinal do efeito total dependerá
da magnitude dos dois efeitos referidos, podendo o bem ser de ordinário ou de
Giffen.
g) Se um bem é normal para qualquer nível de rendimento, então a curva de
Engel é negativamente inclinada.
Um bem normal é aquele cuja quantidade consumida varia positivamente com o
rendimento. Logo, a curva que representa a relação entre quantidade consumida
e rendimento, a curva de Engel, é positivamente inclinada. Portanto, a frase é
verdadeira.
h) A variação compensatória é, em termos absolutos, sempre superior à variação
equivalente.
Embora geralmente a variação compensatória seja, em termos absolutos, superior
à variação equivalente, tal não sucede, por exemplo, com as preferências quasi-
lineares, caso em que as duas medidas têm sempre o mesmo valor absoluto. Logo,
a frase é falsa.
48
A.5. PROCURA DE MERCADO
A.5.1. Determine a função procura do mercado do bem X dadas as seguintes funções
procura individuais:
p1,010x i −= 10,,1i K=
jx230p −= 5,,1j K=
p06,325xt −= 25,,1t K=
100p0xp1,010x ii =⇔=→−=
30p0xp5,015xx230p jjj =⇔=→−=⇔−=
17,806,325P0xp06,325x tt ≈=⇔=→−=
⇔
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
≤<
≤<+
≤≤++
=
∑
∑∑
∑∑∑
=
==
===
100p30sex
30p06,325sexx
06,325p0sexxx
X
10
1i
i
10
1i
i
5
1j
j
10
1i
i
5
1j
j
25
1t
t
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<−
≤<−+−
≤≤−+−+−
=
100p30sep1,01010
30p06,325sep1,01010p5,0155
06,325p0sep1,01010p5,0155p06,32525
X
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<−
≤<−+−
≤≤−+−+−
=
100p30sep100
30p06,325sep100p5,275
06,325p0sep1005,275p5,76625
X
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤<−
≤<−
≤≤−
=
100p30sep100
30p06,325sep5,3175
06,325p0sep80800
X
A.5.2. O Pedro e o Carlos são irmãos com preferências musicais idênticas. A procura
individual de CDs pode ser expressa pela função ix15p −= .
a) Determine a função procura agregada dos dois.
p15xx15p ii −=⇔−=
( ) p230p152xX i −=−== ∑
Suponha que cada CD custa 3 u.m.
b) Calcule a elasticidade-preço da procura individual
( )
p15
p
1
p15
p
dp
dx
x
p i
i −
=−×−==ε
25,03p =ε⇒=
c) Calcule a elasticidade-preço da procura agregada
( )
p15
p
2
p230
p
dp
dX
X
p
−=−×−==ε
25,03p =ε⇒=
49
d) Compare e analise os resultados obtidos nas alíneas b) e c).
A elasticidade-preço da procura individual é a mesma da procura agregada.
A.5.3. Considere a seguinte função procura linear: p210y −= .
a) Represente a função e indique em que zonas a procura é elástica, rígida e
unitária.
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
y
p
elástica
rígida
unitária
( ) 5,2p1
p210
p2
12
p210
p
1
dp
dy
y
p
1 =⇔=−⇔=−×−⇔=⇔=ε
15,2p >ε⇒> 15,2P <ε⇒<
b) Identifique o ponto da recta que corresponde ao máximo da despesa total.
( ) 10p2p210pypDT 2 +−=−=×=
5,2p0p4100pDTDTmax =⇔=−⇔=∂∂⇒
A.5.4. Seja a função de utilidade 25,025,0 yxU = . Para a compra de X e Y, o consumidor
individual dispõe de um nível de rendimento M. Calcule:
a) A elasticidade procura-preço do bem X.
1
P
m5,0
m5,0
P
P
m5,0
Pm5,0
P
dP
dx
x
P
2
x
2
x
2
xx
x
x
x
xx −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−×==ε
b) A elasticidade procura-preço do bem Y.
1
P
m5,0
m5,0
P
P
m5,0
Pm5,0
P
dP
dy
y
P
2
y
2
y
2
yy
y
y
y
yy −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−×=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−×==ε
c) A elasticidade procura-preço cruzada do bem X em relação ao bem Y.
00
Pm5,0
P
dP
dx
x
P
x
y
y
y
xy =×==ε
d) A elasticidade procura-preço cruzada do bem Y em relação ao bem X.
00
Pm5,0
P
dP
dy
y
P
y
x
x
x
yx =×==ε
e) A elasticidade procura-rendimento do bem X.
1
P
5,0
Pm5,0
m
dm
dx
x
m
xx
x =×==η
f) A elasticidade procura-rendimento do bem Y.
50
1
P
5,0
Pm5,0
m
dm
dy
y
m
yy
y =×==η
g) Verifique que 0xxyxx =η+ε+ε , onde xxε , xyε e xη representam,
respectivamente, a elasticidade procura-preço directa do bem X, a
elasticidade procura-preço cruzada entre o bem X e o bem Y e a elasticidade
procura-rendimento do bem X.
0101Xxyxx =++−=η+ε+ε
51
B. TEORIA DO PRODUTOR
B.1. TECNOLOGIA
B.1.1. Defina os seguintes conceitos:
a) Factor produtivo
b) Produtividade média
Produto total por unidade de factor.
c) Produtividade marginal
Acréscimo do produto total por unidade adicional do factor, mantendo-se o outro
constante.
d) Lei dos rendimentos marginais decrescentes
Lei segundo a qual se aumentarmos a quantidade de um dos factores produtivos,
mantendo fixas as quantidades dos restantes, os resultantes acréscimos do
produto são cada vez menores, podendo atingir-se uma região de acréscimos do
produto negativos.
e) Rendimentos crescentes à escala
Tecnologia em que o acréscimo de x% na utilização de todos os factores
produtivos permite obter um acréscimo do produto superior a x%.
f) Rendimentos constantes à escala
Tecnologia em que o acréscimo de x% na utilização de todos os factores
produtivos permite obter um acréscimo do produto igual a x%.
g) Rendimentos decrescentes à escala
Tecnologia em que o acréscimo de x% na utilização de todos os factores
produtivos permite obter um acréscimo do produto inferior a x%.
B.1.2. Determinada empresa tem a seguinte função de produção: 32 LKLQ −= , em que K
e L são factores de produção e Q é a quantidade produzida. A empresa encontra-
se a produzir na dimensão 18K = .
a) Determine a expressão analítica do produto total, produtividade média e
produtividade marginal do factor L.
Produto total: 32 LL18Q −=
Produtividade média: 2LL18
L
Q −=
Produtividade marginal: 2L3L36
L
Q −=∂
∂
52
b) Represente graficamente as funções mencionadas, acompanhadas do
respectivo estudo, e explicando os zeros e andamento de tais funções.
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 L
PT
PMe
PMg
A função produto total apresenta dois zeros, para 0L = e 18L = . É crescente até
12L = ; neste ponto tem um máximo e a partir daí é decrescente.
Os zeros da produtividade média são também os da função produto total ( 0L
= e
18L = ). A função é crescente até 12L = ; neste ponto tem um máximo e a partir
daí é decrescente.
A produtividade marginal apresenta dois zeros, para 0L = e 12L = . É crescente
até 6L = ; neste ponto tem um máximo e a partir daí é decrescente.
c) Faça a leitura geométrica da produtividade média e produtividade marginal do
factor L a partir do gráfico da produção total.
Os zeros da produtividade média são os mesmos do produto total. Ou seja,
produto total e produtividade média têm o mesmo sinal.
O primeiro zero da produtividade marginal coincide com o primeiro zero do
produto total; o segundo ocorre no ponto em que o produto total é máximo.
Portanto, a produtividade marginal é positiva enquanto o produto total for
crescente.
d) Estabeleça as relações entre as funções produto total, produtividade média e
produtividade marginal do factor L.
Os zeros do produto total e da produtividade média coincidem.
O andamento da função produto total é dado pelo comportamento da sua
derivada, que corresponde à produtividade marginal. Assim, a função produto
total tem um máximo quando a produtividade marginal é zero. À esquerda desse
ponto, a produtividade marginal é positiva, logo a função produto total é
crescente; à sua direita, a produtividade marginal é negativa, pelo que a função
produto total é decrescente.
O máximo da produtividade média ocorre no ponto em que a curva desta
intersecta a curva da produtividade marginal. À esquerda deste ponto, a
53
produtividade marginal é superior à produtividade média, logo esta é crescente; à
direita, a produtividade marginal é inferior à produtividade média, portanto esta
é decrescente.
e) A partir de que nível de utilização do factor L se começa a verificar a lei dos
rendimentos marginais decrescentes? Justifique.
A partir de 6L = , o aumento da quantidade de trabalho resulta em acréscimos do
produto cada vez menores. O que corresponde ao estabelecido pela lei dos
rendimentos marginais decrescentes.
f) Qual o volume de produção para o qual é máxima a produtividade média do
factor fixo?
KQKPme = . Como K está fixo, a sua produtividade média será máxima quando o
produto total for máximo, o que ocorre para 12L = .
B.1.3. Uma função de produção Cobb-Douglas é dada por ( ) βα= yxAy,xf . O tipo de
rendimentos à escala desta função vai depender dos valores de α+β. Relacione-os
com os diferentes tipos de rendimentos à escala.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )y,xftyAxtytxAttytxAty,txf β+αβαβ+αββααβα ====
Se 1<β+α tem-se rendimentos decrescentes à escala (DRS).
Se 1=β+α tem-se rendimentos constantes à escala (CRS).
Se 1>β+α tem-se rendimentos crescentes à escala (IRS).
B.1.4. Considere a expressão genérica da função de produção do tipo Cobb-Douglas com
dois factores, trabalho (L) e capital (K): βα= KALy .
a) Determine as expressões algébricas da produtividade média e da
produtividade marginal de ambos os factores.
β−α== KALLyLPme 1
β−αα=∂∂= KALLyLPmg 1
1KALKyKPme −βα==
1KALKyKPmg −βαβ=∂∂=
b) Verifique se se trata de uma função homogénea. Quais as condições que se
têm de verificar para que o processo de produção que ela traduz admita
rendimentos constantes, decrescentes ou crescentes à escala?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) →=== β+αβαβ+αβα K,LytKALttKtLAtK,tLy fç homogénea de grau α+β
1<β+α → função homogénea de grau inferior a 1 → DRS
1=β+α → função homogénea de garu 1 → CRS
1>β+α → função homogénea de grau superior a 1 → IRS
54
B.1.5. Caracterize as seguintes funções de produção quanto a rendimentos à escala e
produtividades marginais:
a) 5,05,0 LK4y =
( ) ( ) ( ) ( ) →== L,KyttLtK4tL,tKy 5,05,0 CRS
( ) 5,05,05,0 KL2KL45,0KyKPmg =×=∂∂= −
( ) 5,05,05,0 LK2KL45,0LyLPmg =×=∂∂= −
Ambas as produtividades marginais são positivas e obedecem à LRMD.
b) 22 LKy β+α=
( ) ( ) ( ) →=β+α= yttLtKtL,tKy 222 IRS
K2KyKPmg α=∂∂=
L2LyLPmg β=∂∂=
Ambas as produtividades marginais não obedecem à LRMD. O seu sinal depende
dos parâmetros α e β.
c) { }bL,aKminy =
( ) { } →== tybtL,atKmintL,tKy CRS
0KPmg =
0LPmg =
Ambas as produtividades marginais são nulas, não obedecendo à LRMD.
d) L2K4y +=
( ) →=+= tytL2tK4tL,tKy CRS
4KyKPmg =∂∂=
2LyLPmg =∂∂=
Ambas as produtividades marginais são positivas e não obedecem à LRMD.
e) 6,05,0 LKy =
( ) ( ) ( ) ( ) →== L,KyttLtKtL,tKy 1,16,05,0 IRS
( ) 1,05,05,06,0 LKL5,0KL5,0KyKPmg ==∂∂= −
( ) 1,04,05,04,0 KLK6,0KL6,0LyLPmg ==∂∂= −
Ambas as produtividades marginais são positivas e obedecem à LRMD.
B.1.6. Comente as seguintes afirmações:
a) Desde que seja usado um só factor na produção de um bem e que a tecnologia
apresente rendimentos decrescentes à escala, a produtividade marginal do
factor é decrescente.
Consideremos a seguinte função de produção ( )LfQ = .
O Teorema de Euler estabelece que se ( )n21 x,,x,xfy K= é uma função
homogénea de grau α , então y
x
y
x
n
1i i
i α=∂
∂∑
=
. No caso da função de produção
considerada vem Q
L
Q
L α=∂
∂
. Como a tecnologia é DRS, 10 <α< pelo que
Q
L
Q
L <∂
∂
. Dividindo tudo por L fica
L
Q
L
Q <∂
∂
ou seja LPmeLPmg < .
55
Mas se LPmeLPmg < , então a produtividade marginal é decrescente. Portanto, a
frase é verdadeira.
b) Se a tecnologia apresenta rendimentos constantes à escala então duplicar a
quantidade usada de um factor de produção duplica a quantidade produzida.
Falso, como se comprova pelo seguinte contra-exemplo. 5,05,0 LKQ = é uma função
de produção que exibe CRS. Se 4K = e 9L = , então 6Q = . Duplicando apenas a
quantidade de K, vem 485,8Q ≈ que não é, obviamente, o dobro da quantidade
produzida inicial.
c) Se a tecnologia apresenta rendimentos decrescentes à escala, então ao
duplicar a produção, passamos para uma isoquanta inferior.
Falso. As isoquantas são lugar geométrico das várias combinações de factores que
permitem produzir uma mesma quantidade. Se a tecnologia é DRS, para se
duplicar a produção, ter-se-á de mais que duplicar as quantidades utilizadas de
factores. Se se está a aumentar as quantidades de factores, então está-se numa
isoquanta superior.
d) Se a tecnologia exibir rendimentos constantes à escala, então a produtividade
marginal dos factores é constante.
Falso. Basta tomar como contra-exemplo a alínea a) do exercício B.1.5.
56
B.2. MINIMIZAÇÃO DE CUSTOS
B.2.1. Defina os seguintes conceitos:
a) Custo fixo
Custo que não varia com o nível de produção e que a empresa tem de suportar
ainda que nada produza.
b) Custo variável
Custo que varia com o nível de produção
c) Custo total
Soma dos custos variáveis e custos fixos.
d) Custo fixo médio
Custo fixo por unidade produzida.
e) Custo variável médio
Custo variável por unidade produzida.
f) Custo total médio
Custo total por unidade produzida.
g) Custo marginal
Acréscimo no custo total por produzir mais uma unidade.
B.2.2. Explique porque é que a curva de custo marginal intersecta as curvas de custo
total médio e custo variável médio nos respectivos pontos mínimos.
Admita-se que se está a produzir numa zona em que o custo médio é decrescente.
Então, nesta zona, o custo marginal tem de ser inferior ao custo médio: a única forma
de baixar uma média é adicionando-lhe números que lhe são inferiores.
Analogamente, se o custo médio é crescente, o custo marginal tem de lhe ser
superior. Sabe-se, então, que a curva do custo marginal fica abaixo da do custo médio
à esquerda do mínimo desta; e acima à direita. O que implica que no ponto mínimo as
duas curvas se intersectam. Este mesmo argumento se aplica ao caso da curva do
custo variável médio.
B.2.3. Os custos de uma empresa são mostrados parcialmente na tabela abaixo. Complete
os espaços que estão em branco.
Q CT CF CV CTMe CFMe CVMe CMg
0 24 24 0 – – – –
1 40 24 16 40 24 16 16
2 74 24 50 37 12 25 34
3 108 24 84 36 8 28 34
57
4 160 24 136 40 6 34 52
5 220 24 196 44 4,8 39,2 60
6 282 24 258 47 4 43 62
B.2.4. Para cada uma das situações seguintes, determine as estruturas de custos de
curto e longo prazo.
a) 5,05,0 LKQ = ; 1r = ; 4w = ; 2K =
CURTO PRAZO
225,05,0 Q5,0LL2QL2Q2K =⇔=⇔=⇒=
2Q2CT21Q5,04CTrKwLCT 22 +=⇔×+×=⇔+=
2Q2CV =
2CF =
Q
2
Q2
Q
2Q2
Q
CT
CTme
2
+=+==
Q2
Q
Q2
Q
CV
CVme
2
===
Q
2
Q
CF
CFme ==
Q4QCTCmg =∂∂=
LONGO PRAZO
( )5,05,0
5,05,0
K,L LKQKL4
QLK.a.s
KL4CTmin
−λ++=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
+=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=λ
=λ
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
=λ−
=λ−
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
−
−
−
−
QLK
1LK5,0
4LK5,0
0LKQ
0LK5,01
0LK5,04
0
0K
0L
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
( ) ⇔⎪⎩
⎪⎨⎧ =
=⇔⎪⎩
⎪⎨⎧ =
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=λ
λ
−
−
QLL4
L4K
QLK
L4K
QLK
4
L
K
QLK
1
4
LK5,0
LK5,0
5,05,05,05,0
5,05,05,05,0
5,05,0
5,05,0
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨
⎧
=
=
Q5,0L
Q2K
Q5,0L
L4K
QL2
L4K
Q4CVCTQ21Q5,04CVCTrKwLCVCT ==⇔×+×==⇔+==
4QQ4CVmeCTme ===
4QCTCmg =∂∂=
b) 2,03,0 LKQ = ; 5r = ; 5w = ; 4K =
CURTO PRAZO
55,15,152,03,0 Q4LL4QL4Q4K −=⇔=⇔=⇒=
20Q45CT45Q45CTrKwLCT 55,155,1 +×=⇔×+×=⇔+= −−
55,1 Q45CV −×=
20CF =
Q
20
Q45
Q
20Q45
Q
CT
CTme 45,1
55,1
+×=+×== −
−
58
45,1
55,1
Q45
Q
Q45
Q
CV
CVme −
−
×=×==
Q
20
Q
CF
CFme ==
45,1 Q425QCTCmg −×=∂∂=
LONGO PRAZO
( )2,03,0
2,03,0
K,L LKQK5L5
QLK.a.s
K5L5CTmin
−λ++=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
+=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=λ
=λ
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
=λ−
=λ−
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
−
−
−
−
QLK
5LK3,0
5LK2,0
0LKQ
0LK3,05
0LK2,05
0
0K
0L
2,03,0
2,07,0
8,03,0
2,03,0
2,07,0
8,03,0
( ) ⇔⎪⎩
⎪⎨⎧ =
=⇔⎪⎩
⎪⎨⎧ =
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=λ
λ
−
−
QLL5,1
L5,1K
QLK
L5,1K
QLK
1
L3
K2
QLK
5
5
LK3,0
LK2,0
2,03,02,03,0
2,03,02,03,0
2,07,0
8,03,0
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=⇔⎪⎩
⎪⎨⎧ =
=⇔⎪⎩
⎪⎨⎧ =
=
− 26,0
24,0
26,05,03,0 Q5,1L
Q5,1K
QL5,1
L5,1K
QL5,1
L5,1K
⇔×+×==⇔+== − 24,026,0 Q5,15Q5,15CVCTrKwLCVCT ( ) 26,0 Q55,15,1CVCT 4,0+== − ( ) ( ) Q55,15,1QQ55,15,1CVmeCTme 4,04,0 6,026,0 +=+== −− ( ) Q105,15,1QCTCmg 4,06,0 +=∂∂= −
c) L2K4Q += ; 5r = ; 4w = ; 2K =
CURTO PRAZO
4Q5,0LL224Q2K −=⇔+×=⇒=
( ) 1016Q2CT254Q5,04CTrKwLCT +−=⇔×+−=⇔+=
16Q2CV −=
10CF =
Q
6
2
Q
6Q2
Q
CT
CTme −=−==
Q
16
2
Q
16Q2
Q
CV
CVme −=−==
Q
10
Q
CF
CFme ==
2QCTCmg =∂∂=
LONGO PRAZO
Q25,0KK4Q0L8,0rw5,0TMST L,K =⇔=⇔=⇒=<=
Q25,1CVCTQ25,0504CVCTrKwLCVCT ==⇔×+×==⇔+==
25,1QQ25,1CVmeCTme ===
25,1QCTCmg =∂∂=
d) L3KQ += ; 2r = ; 5,1w = ; 6K =
CURTO PRAZO
59
2Q31LL36Q6K −=⇔+=⇒=
( ) 126Q5,0CT624Q315,1CTrKwLCT +−=⇔×+−=⇔+=
6Q5,0CV −=
12CF =
Q
6
5,0
Q
6Q5,0
Q
CT
CTme +=+==
Q
6
5,0
Q
6Q5,0
Q
CV
CVme −=−==
Q
12
Q
CF
CFme ==
5,0QCTCmg =∂∂=
LONGO PRAZO
Q31LL3Q0K75,0rw3TMST L,K =⇔=⇔=⇒=>=
Q5,0CVCT02Q315,1CVCTrKwLCVCT ==⇔×+×==⇔+==
5,0QQ5,0CVmeCTme ===
5,0QCTCmg =∂∂=
e) { }L3,K2minQ = ; 8r = ; 12w = ; 9K =
CURTO PRAZO
6LL3189KL3K2 =⇔=⇔=∧=
CF144CT98612CTrKwLCT ==⇔×+×=⇔+=
0CV =
Q
144
CFmeCTme ==
0CVme =
LONGO PRAZO
Q31LQ5,0KQL3K2 =∧=⇔==
Q8CVCTQ5,08Q3112CVCTrKwLCVCT ==⇔×+×==⇔+==
8QQ8CVmeCTme ===
8QCTCmg =∂∂=
B.2.5. Considere a seguinte função de produção KL10Q = .
a) Encontre as quantidades óptimas dos factores produtivos L e K necessários à
produção de 1024 unidades de produto, tendo em conta que a empresa os
adquire às taxas de 2 u.m. e 5 u.m., respectivamente.
( )KL101024K5L2
1024KL10.a.s
K5L2CTmin
K,L −λ++=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
+=
60
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=λ
λ
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=λ
=λ
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
=λ−
=λ−
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
1024KL10
5
2
L10
K10
1024KL10
5L10
2K10
0KL101024
0L105
0K102
0
0K
0L
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨
⎧
=××
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
16L
4,6K
16L
L4,0K
1024LL4,010
L4,0K
1024KL10
5
2
L
K
b) Determine o custo por unidade de produto.
0625,0
1024
4,65162
Q
CT
Cme =×+×==
c) Suponha que a empresa introduz uma série de inovações de forma que a
função de produção se altera para KL15Q = . Se a empresa pretender manter
o mesmo nível de produção, terá de alterar as quantidades dos factores
produtivos? Se sim, para quanto?
( )KL151024K5L2
1024KL15.a.s
K5L2CTmin
K,L −λ++=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
+=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=λ
λ
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=λ
=λ
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
=λ−
=λ−
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
1024KL15
5
2
L15
K15
1024KL15
5L15
2K15
0KL151024
0L155
0K152
0
0K
0L
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨
⎧
≈
=⇔
⎩⎨
⎧
=××
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
1,13L
24,5K
1,13L
L4,0K
1024LL4,015
L4,0K
1024KL15
5
2
L
K
d) Verifique se o custo unitário é afectado.
05,0
1024
24,551,132
Q
CT
Cme ≈×+×==
B.2.6. Considere a seguinte função de produção 055,0 LK10Q = .
a) Apresente a expressão das isoquantas que se podem obter a partir desta
função de produção. Qual seria o aspecto deste mapa de isoquantas?
Justifique.
1225,05,0 LQ01,0KQKL100QLK10 −=⇔=⇔=
Estas isoquantas serão convexas e negativamente inclinadas.
b) Deduza a expressão geral da taxa marginal de substituição técnica relativa às
isoquantas deste mapa.
L
K
LK105,0
LK105,0
KPmg
LPmg
TMST
5,05,0
5,05,0
L,K =×
×== −
−
c) Sabendo que 1r = e 4w = , calcule o máximo produto que se pode obter
com um custo de 32 u.m. Qual o valor da taxa marginal de substituição nesse
ponto?
61
( )KL432LK10
32KL4.a.s
LK10Qmax
5,05,0
5,05,0
K,L −−λ+=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
λ
λ=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+
λ=
λ=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−−
=λ−
=λ−
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
−
−
−
−
−
−
32KL4
4
LK5
LK5
32KL4
LK5
4LK5
0KL432
0LK5
04LK5
0
0K
0L
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨
⎧
=+
=⇔
⎩⎨
⎧
=+
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
4L
16K
32L4L4
L4K
32KL4
L4K
32KL4
4
L
K
( ) ( ) 8041610Q16;4K,L 5,05,0 =××=⇒=
( ) 44
16
TMST
16;4L,K
==
d) Se os preços se mantiverem constantes, qual a combinação de factores que
minimizará o custo para uma produção de 80? Qual é o custo nesse ponto?
( )5,05,0
5,05,0
K,L LK1080KL4
80LK10.a.s
KL4CTmin
−λ++=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
+=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=λ
λ
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=λ
=λ
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
=λ−
=λ−
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
−
−
−
−
−
−
80LK10
1
4
LK5
LK5
80LK10
1LK5
4LK5
0LK1080
0LK51
0LK54
0
0K
0L
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
5,05,0
( ) ⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨
⎧
=
=⇔⎪⎩
⎪⎨⎧ =
=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
4L
16K
80L20
L4K
80LL410
L4K
80LK10
4
L
K
5,05,0
5,05,0
( ) ( ) 3244161CT16;4K,L =×+×=⇒=
62
C. MERCADOS
C.1. CONCORRÊNCIA PERFEITA
C.1.1. 3
2
3
1
LK5Q = é a função de produção de certa empresa.
a) Suponha que os
preços dos factores são 2r = e 4w = e que a empresa
opera num mercado concorrencial. Calcule a oferta individual da empresa.
Comente o resultado.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −λ++=Γ→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
+=
3
2
3
1
3
2
3
1
LK5QK2L4
LK5Q.a.s
K2L4CTmin
K,L
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
λ
λ
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=λ
=λ
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
=λ−
=λ−
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=λ∂Γ∂
=∂Γ∂
=∂Γ∂
−
−
−
−
−
−
QLK5
2
4
LK35
LK310
QLK5
2LK35
4LK310
0LK5Q
0LK352
0LK3104
0
0K
0L
3
2
3
1
3
2
3
2
3
1
3
1
3
2
3
1
3
2
3
2
3
1
3
1
3
2
3
1
3
2
3
2
3
1
3
1
⎩⎨
⎧
=
=⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
Q2,0L
Q2,0K
QLL5
LK
QLK5
2
L
K2
3
2
3
1
3
2
3
1
2,1CmgQ2,1CTQ2,02Q2,04CTK2L4CT =⇒=⇔×+×=⇔+=
[ ]
⎩⎨
⎧
<
≥∞=⇒=⇔=
2,1pse0
2,1pse,0
q2,1PCmgP
Esta empresa exibe rendimentos constantes à escala, pelo que a sua curva da
oferta coincidirá com a sua curva de custo médio de longo prazo, sendo uma linha
recta. Ou seja, a empresa está disposta a oferecer qualquer quantidade quando
minCp = e não oferece nada para preços abaixo deste.
b) Se nesta indústria existirem mais 90 empresas tecnologicamente idênticas,
qual será a oferta agregada?
[ ]
⎩⎨
⎧
<
≥∞=
2,1pse0
2,1pse,0
Q
c) Sabendo que a procura é dada por P100Q −= , calcule o equilíbrio de
mercado.
8,982,1100Q2,1P =−=⇒=
C.1.2. Certa empresa em concorrência perfeita tem uma função custo total dada por
30Q5Q2,0CT 2 +−= . Se o preço for de 6:
a) Que quantidade deverá a empresa vender?
5,27Q5Q4,06CmgP =⇔−=⇔=
b) Que lucro obtém a empresa a esse preço?
63
( ) 25,121305,2755,272,05,276CTRT 2 =+×−×−×=−=π
c) Deverá a empresa encerrar?
O lucro é positivo, logo a empresa não deverá encerrar.
C.1.3. A função lucro de uma empresa que actua num mercado perfeitamente
competitivo é dada por: 10Q80Q20Q2PQ 23 −−+−=π .
a) Calcule a função oferta de curto prazo.
10Q80Q20Q2CT 23 ++−=
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−≥+−
=−+−⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−≥
+−=⇔
⎩⎨
⎧
≥
=
80Q20Q280Q40Q6
0p80Q40Q6
80Q20Q2p
80Q40Q6p
CVmep
Cmgp
22
2
2
2
( ) ( )
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
−+=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−
×
−××−−+=
5Q
12
320p2440
Q
0Q20Q4
62
p80644040
Q
2
2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥−+=⇒≥⇒≥⇒≥
30pse0
30pse
12
320p2440
Q30p30Cmg5Q
b) Determine e represente o limiar de encerramento e de rentabilidade.
Limiar de encerramento
30CVme5Q020Q40QCVmeCVmemin =⇒=⇔=−⇔=∂∂⇒
30pse0Q <=
Limiar de rentabilidade
98,31CVme1,5Q0Q1020Q40QCmeCmemin 2 =⇒≈⇔=−−⇔=∂∂⇒
98,31pse0 ≥≥π
c) Sabendo que a procura de mercado é P101000Q −= e que existem 20
empresas no mercado, calcule o preço de equilíbrio.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥−+×=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥−+=
30pse0
30pse
12
320p2440
20Q
30pse0
30pse
12
320p2440
q
P5,050
12
320P2440
P101000
12
320P2440
20 −=−+⇔−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+
⇔−=−⇔−=−+ P6560320P24P6600320P2440
( ) ⇔+−=−⇔−=− 22 P36P6720313600320P24P6560320P24
⇔×
××−±=⇔=+−
362
31392036467446744
P0313920P6744P36
2
2
439,136Q3561,86P =⇒=
C.1.4. A indústria produtora do bem y é constituída por um grande número de pequenas
empresas de diferentes dimensões cujas funções de custo total pertencem à
64
família de curvas: ( ) ( ) 223 k5Qk11Q9,0Q04,0QC +−+−= , onde k é o parâmetro
definidor da dimensão da empresa. Nesta indústria existem 3 tipos de empresas, a
produzir nas seguintes dimensões: 1k1 = ; 1875,1k2 = e 3k3 = .
a) Obtenha a expressão analítica das funções oferta de curto prazo para cada um
dos tipos de empresas.
5Q10Q9,0Q04,0CT1k 23 ++−=⇒=
24,0
56,1p48,08,1
Q10Q8,1Q12,0pCmgp 2
−±=⇔+−=⇔=
25,11Q10Q9,0Q04,010Q8,1Q12,0CVmep 22 ≥⇔+−≥+−⇔≥
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥−+=
30pse0
30pse
24,0
56,1p48,0
5,7
Q
05078125,7Q8125,9Q9,0Q04,0CT1875,1k 23 ++−=⇔=
24,0
47,1p48,08,1
Q8125,9Q8,1Q12,0pCmgp 2
−±=⇔+−=⇔=
25,11Q8125,9Q9,0Q04,08125,9Q8,1Q12,0CVmep 22 ≥⇔+−≥+−⇔≥
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥−+=
75,4pse0
75,4pse
24,0
47,1p48,0
5,7
Q
45y8y9,0y04,0CT3k 23 ++−=⇔=
24,0
6,0p48,08,1
Q8Q8,1Q12,0pCmgp 2
−±=⇔+−=⇔=
25,11Q8Q9,0Q04,08Q8,1Q12,0CVmep 22 ≥⇔+−≥+−⇔≥
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥−+=
9375,2pse0
9375,2pse
24,0
6,0p48,0
5,7
Q
b) Determine o preço e a quantidade de equilíbrio de curto prazo, sabendo que a
procura e oferta agregadas são dadas por:
( )P62,72
005664,0
1
Qd −= e ( )25,58P
002,0
1
Qs −=
( ) ( ) 1875Q62pP62,72
005664,0
1
25,58P
002,0
1 =⇒=⇔−=−
c) Determine os níveis de produção individuais dos três tipos de empresas.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
⇒=
30Q
66,29Q
63,29Q
62P
3
2
1
65
C.1.5. Suponha um sector que funciona de acordo com os princípios da concorrência
perfeita e em que existem empresas com diferentes estruturas de custos:
30 empresas do tipo A: 2Q6Q3CT +=
40 empresas do tipo B: 2Q10Q5CT +=
10 empresas do tipo C: 32 Q5,0Q3Q9CT +−=
Obtenha a curva da oferta desta indústria.
OFERTAS INDIVIDUAIS
Empresa tipo A
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
−=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
−=⇔
⎩⎨
⎧
+≥+
+=⇔
⎩⎨
⎧
+≥
+=⇔
⎩⎨
⎧
≥
=
3P
12
3P
Q
0Q
12
3P
Q
3Q63Q12
3Q12P
3Q6P
3Q12P
CVmeP
CmgP
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥−=
3Pse0
3Pse
12
3P
Q
Empresa tipo B
⇔
⎩⎨
⎧
≥
−=⇔
⎩⎨
⎧
+≥+
+=⇔
⎩⎨
⎧
+≥
+=⇔
⎩⎨
⎧
≥
=
0Q
25,0P05,0Q
5Q105Q20
5Q20P
5Q10P
5Q20P
CVmeP
CmgP
⎩⎨
⎧
<
≥−=⇒
⎩⎨
⎧
≥
−=
5Pse0
5Pse25,0P05,0
Q
5P
25,0P05,0Q
Empresa tipo C
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−≥+−
=−+−⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−≥
+−=⇔
⎩⎨
⎧
≥
=
9Q3Q5,09Q6Q5,1
0P9Q6Q5,1
9Q3Q5,0P
9Q6Q5,1P
CVmeP
CmgP
22
2
2
2
( ) ( )
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥∨≥
−±=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−
−±=⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥−
×
−××−−±=
3Q0Q
3
18P66
Q
0Q3Q
3
18P66
Q
0Q3Q
5,12
P95,1466
Q
22
2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥−±=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
−±=
5,4Pse0
5,4Pse
3
18P66
Q
5,4P
3
18P66
Q
OFERTA AGREGADA PARA CADA TIPO
⎩⎨
⎧ −=
0
5,7P5,2
Q A 3Pse
3Pse
<
≥
⎩⎨
⎧ −=
0
10P2
Q B 5Pse
5Pse
<
≥
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥−+=
5,4Pse0
5,4Pse
3
18P61060
Q C
OFERTA DA INDÚSTRIA
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≥−++
<≤−++
<≤−
<
=
5Pse
3
18P610
P5,45,2
5P5,4se
3
18P610
P210
5,4P3se5,7P5,2
3Pse0
Q
66
C.1.6. A procura agregada num sector concorrencial é P2001200Q −= e a curva do
custo total de cada empresa é Q4Q2QCT 23 +−= .
a) Determine a curva da oferta individual de cada empresa, o número de
empresas e o equilíbrio no longo prazo.
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−≥+−
=−+−⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−≥
+−=⇔
⎩⎨
⎧
≥
=
4q2q4q4q3
0p4q4q3
4q2qP
4q4q3P
CVmeP
CmgP
22
2
2
2
( ) ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
−+=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
−+=⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥−
×
−××−−+=
3p
6
32P124
q
1q
6
32P124
q
0q2q2
32
P43444
q
2
2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥−+=
3pse0
3pse
6
32P124
q
600n1q60032001200Q3P =⇒=∧=×−=⇒=
b) A expansão da curva da procura para P2001600Q −= foi acompanhada pela
criação de barreiras à entrada. Determine o equilíbrio de mercado.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<
≥−+×=
3pse0
3pse
6
32P124
600Q
⇔−=−⇔−=−+ P200120032P12100P200160032P12100400
( ) ⇔+−=−⇔−=−⇔−=− 22 P4P4814432P12P21232P12P21232P12
( )
800Q4P
12
44141515
p0176p36p4
2
2 =⇒=⇔×
××−−+==+−
c) Compare graficamente esta situação, do ponto de vista do excedente do
consumidor e do produtor, com a que se verificaria sem barreiras à entrada.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
Q
P
Yd Ys (C/b) Ys (S/b)
67
C.1.7. Suponha que a procura de viagens de táxis numa dada cidade é dada por:
P51000Q −= , onde Q é medido em quilómetros por ano e P é o preço em u.m.
por quilómetro. A curva da oferta de longo prazo é dada por 80P4Q S −= .
a) Se esta indústria for perfeitamente competitiva, mostre que o número de
viagens de equilíbrio é 400Q = . Qual será o preço de equilíbrio?
400Q120P80P4P51000QQ SD =⇒=⇔−=−⇒=
b) Para a situação de equilíbrio, determine o excedente do consumidor e o
excedente do produtor.
( )
16000
2
400120200
XC =×−= ( ) 20000
2
40020120
XP =×−=
c) Suponha que a Câmara Municipal dessa cidade decide controlar o trânsito,
limitando o número de viagens para 300Q = . Nestas condições, qual o valor
da perda social líquida?
( ) ( )( )
15000
2
300400120140
2
400120200
XC =−−−×−=
( ) ( )( )
15000
2
30040095120
2
40020120
XP =−−−×−=
( ) ( ) 600020000160001500015000BE −=+−+=Δ
d) Em relação à alínea anterior, como é que o excedente do consumidor e do
produtor é afectado, se 140P = e 95P = ? Compare os resultados obtidos.
140P =
( )
6000150009000XC9000
2
300140200
XC −=−=Δ→=×−=
( ) ( ) 97501500024750XP2475030095140
2
3002095
XP =−=Δ→=×−+×−=
95P =
( ) ( ) 75001500022500XC2250030095140
2
300140200
XC =−=Δ→=×−+×−=
( )
7500150007500XP7500
2
3002095
XP −=−=Δ→=×−=
C.1.8. Certa indústria, perfeitamente competitiva, é composta por 10000 produtores,
cada qual apresentando a seguinte função custo total: 2QQ5,0CT 2 ++= . A
curva da procura de mercado é dada por P1000070000Q −= .
a) Deduza as curvas de oferta de curto prazo da empresa e da indústria.
⇔
⎩⎨
⎧
≥
+=⇔
⎩⎨
⎧
+≥+
+=⇔
⎩⎨
⎧
+≥
+=⇔
⎩⎨
⎧
≥
=
0q
1qP
1q5,01q
1qP
1q5,0P
1qP
CVmeP
CmgP
68
⎩⎨
⎧ −=⇒
⎩⎨
⎧
≥
−=
0
1P
q
1p
1Pq
1Pse
1Pse
<
≥
⎩⎨
⎧ −=→
0
10000P10000
Q
1Pse
1Pse
<
≥
b) Qual a quantidade produzida por cada empresa perfeitamente concorrencial e
pela indústria? Determine o lucro económico de cada empresa.
30000Q4P10000P10000P1000070000QQ SD =⇒=⇔−=−⇒=
3q4P =⇒= ( ) 5,22335,034 2 =++×−×=π
c) Admita que 5,0Q5,0CMg += é a função de custo marginal de cada empresa no
longo prazo e que está vedada a entrada no mercado a novos produtores.
Determine o equilíbrio de mercado.
⇔
⎩⎨
⎧
≥
+=⇔
⎩⎨
⎧
+≥+
+=⇔
⎩⎨
⎧
≥
=
0q
5,0q5,0P
5,0q25,05,0q5,0
5,0q5,0P
CVmeP
CmgP
⎩⎨
⎧ −=⇒
⎩⎨
⎧
≥
−=
0
1p2
q
5,0p
1p2q
5,0Pse
5,0Pse
<
≥
⎩⎨
⎧ −=→
0
10000P20000
Q
5,0Pse
5,0Pse
<
≥
3
130000
Y
3
8
P10000P20000P1000070000YY SD =⇒=⇔−=−⇒=
313q38P =⇒=
3
169
3
13
5,0
3
13
25,0
3
13
3
8 2 =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ×+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×−×=π
d) Suponha agora que são permitidas as importações deste bem, cujo preço de
importação é 0,5. Que sucederá, no longo prazo, a esta indústria nacional?
Se as importações custam 0,5 é 0,5 o preço que as empresas nacionais terão de
praticar. Mas a esse preço, a quantidade oferecida é zero. Logo, o bem será
oferecido exclusivamente por importações e esta indústria desaparece.
C.1.9. Comente as seguintes afirmações:
a) Se existem rendimentos constantes à escala numa indústria perfeitamente
competitiva, então a curva da oferta da indústria é horizontal no longo prazo.
Considere-se uma função de produção ( )L,KfQ = , tal que ( )00 L,K é a combinação
óptima de factores para produzir 0Q . Então, para todo o 0>λ , ( )00 L,K λλ é a
combinação óptima para produzir 0Qλ . Logo, se o custo de produzir 0Q é 0CT , o
de produzir 0Qλ será 0CTλ . Ou seja, o custo médio é sempre constante. Pelo que
o custo marginal também o será (e igual àquele).
Tratando-se de uma indústria perfeitamente competitiva, da condição de
maximização do lucro resulta que CmgP = . Como o custo marginal é constante, o
preço é constante, o que corresponde a uma curva da oferta horizontal. A frase é,
então, verdadeira.
69
b) Suponha que uma indústria concorrencial está em equilíbrio de longo prazo.
Se houver uma contracção da procura agregada, no novo equilíbrio de longo
prazo, o preço será menor.
Falso. Esta situação não se verifica se a produção apresentar rendimentos
constantes à escala, caso em que a curva da oferta é horizontal, o que significa
que o preço é sempre o mesmo e os ajustamentos se fazem exclusivamente pela
quantidade.
c) Como existe livre entrada e saída de empresas num mercado de concorrência
perfeita, o número de empresas a operar no mercado no longo prazo é
indeterminado.
Falso. Como existe livre entrada e saída de empresas, o lucro terá de ser zero.
Logo o preço terá de igualar o custo médio. Conhecendo o preço, determina-se a
quantidade transaccionada no mercado (por substituição na procura) e a
quantidade oferecida por cada empresa (por substituição na oferta individual).
Sabendo quanto se produz no total e quanto produz cada empresa, calcula-se o
número de empresas. Este é, pois, determinado endogenamente, sendo
indeterminado apenas no caso de tecnologia CRS.
d) Num mercado de concorrência perfeita, como existe livre entrada e saída de
empresas no mercado, o lucro de curto prazo de cada empresa nunca é
negativo.
Falso. O que caracteriza o curto prazo é a existência de custos fixos, os quais têm
de ser suportados pela empresa, quer esta produza ou não. Logo, no curto prazo,
os custos variáveis são os únicos que interessam: a empresa não deve encerrar
desde que o preço seja igual ou superior ao custo variável médio. No entanto,
esta condição não garante a rentabilidade.
70
C.2. MONOPÓLIO E OLIGOPÓLIO
C.2.1. Mostre matematicamente que um monopolista estabelecerá sempre um preço
acima do custo marginal.
O objectivo do monopolista é, naturalmente, a maximização do lucro, pelo que:
CMgRMg0qCTRTmax =⇔=∂π∂⇒−=π
Pense-se na receita marginal como a soma do ganho na receita resultante das novas
vendas e a perda devida a vender a quantidade anterior ao novo preço que é inferior.
Quando o monopolista vende 0Q unidades, a sua receita é 00PQ . Para vender mais
QΔ , terá de reduzir o preço para PP0 Δ− , pelo que a sua receita será:
( )( ) QPPQQPQPQQPPRT 000000 ΔΔ−Δ−Δ+=Δ+Δ−=
Para calcular a receita marginal é subtrair a receita total inicial e dividir pela
variação do produto:
( )
PQ
Q
P
P
Q
QPQPPQQPQP
RMg 00
000000 Δ−Δ
Δ−=Δ
−ΔΔ−Δ−Δ+=
Ora, se o monopolista iguala o custo marginal à receita marginal e esta é inferior ao
preço, então o preço é superior ao custo marginal.
C.2.2. Determine o lucro máximo, o correspondente preço e a quantidade de um
monopolista cujas funções procura e custo total são, respectivamente:
Q53000P −= e 2Q10200CT += .
( ) ( ) 200Q3000Q15Q10200QQ53000CTRT 22 −+−=+−−=−=π
100Q03000Q300Qmax =⇔=+−⇔=∂π∂⇒π
1498002500p100Q =π∧=⇒=
C.2.3. Uma empresa monopolista utiliza um factor de produção, L, que adquire ao preço
fixo de 5 u.m., para produzir o bem Y. As funções procura do bem e de produção
são, respectivamente: y50P −= e L2y = . Determine os valores de P, y e L que
maximizam o lucro do monopolista.
y5,2L5CTy5,0LL2y ==⇒=⇔=
( ) y5,47yy5,2yy50CTRT 2 +−=−−=−=π
875,11L25,26p75,23y05,47y20ymax =∧=⇒=⇔=+−⇔=∂π∂⇒π
71
C.2.4. Considere uma empresa que é um monopólio no mercado do produto final. Esta
empresa enfrenta uma procura dada pela expressão Q100P −= e possui uma
função custo total representada por 2Q10CT += .
a) Tendo como objectivo
a maximização do lucro, que quantidade deverá este
monopolista produzir? E qual o preço que deverá praticar?
( ) ( ) 10Q100Q2Q10QQ100CTRT 22 −+−=+−−=−=π
75p25Q0100Q40Qmax =⇒=⇔=+−⇔=∂π∂⇒π
b) Determine a quantidade e o preço no caso do monopolista optar por uma
estratégia de maximização do valor das vendas.
50p50Q0Q21000QRTRTmax =⇒=⇔=−⇔=∂∂⇒
C.2.5. As curvas de custo total e da procura de um monopolista são dadas,
respectivamente, por: Q2200CT += e Q4180P −= .
a) Determine o lucro do monopolista.
( ) ( ) 200Q178Q4Q2200QQ4180CTRT 2 −+−=+−−=−=π
25,22Q0178Q80Qmax =⇔=+−⇔=∂π∂⇒π
25,178091p25,22Q =π∧=⇒=
b) Suponha que o monopolista é obrigado a praticar o preço correspondente ao
mercado de concorrência perfeita. Qual seria a variação líquida no bem-estar
dos consumidores?
5,44Q2PCMgP =⇔=⇔=
( ) ( )
25,2959
2
25,2291180
2
5,442180
XC =×−−×−=Δ
C.2.6. Um monopolista enfrenta a seguinte procura: Q004,0104P −= . Inicialmente, a
sua tecnologia era traduzida pela função custo total: Q72Q02,0CT 20 += , mas,
devido à adopção de uma política redutora de custos, essa tecnologia foi
substituída, passando o custo total a ser representado por: Q12Q04,0CT 21 += .
a) Determine a produção e o preço praticado pelo monopolista, antes e depois da
inovação tecnológica.
Antes da inovação tecnológica
( ) ( ) Q32Q024,0Q72Q02,0QQ004,0104CTRT 22 +−=+−−=−=π
32000Q032Q048,00Qmax =⇔=+−⇔=∂π∂⇒π
3304p32000Q =⇒=
Depois da inovação tecnológica
( ) ( ) Q92Q044,0Q12Q04,0QQ004,0104CTRT 22 +−=+−−=−=π
1111500Q092Q088,00Qmax =⇔=+−⇔=∂π∂⇒π
72
111098p1111500Q =⇒=
b) Analise os efeitos daquela alteração no mercado, evidenciando os ganhos e
perdas do monopolista e dos consumidores.
( ) ( )
84,11133
2
320003304104
2
1111500111098104
XC ≈×−−×−=Δ
24,37424
3
2000
32
3
2000
024,0
11
11500
92
11
11500
044,0
22
≈
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ×+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×−−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ×+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×−=πΔ
C.2.7. As empresas Bordados Maravilha e Bordados Espanto são as únicas produtoras de
bordados (Q). A curva de custos é a mesma para ambas e igual a 2Q5,0CT = . A
procura de bordados é dada por Q5,0100P −= . Admitindo que as empresas têm
um comportamento Cournot, determine o equilíbrio da indústria.
Função reacção da empresa Bordados Maravilha (M)
( )[ ] ( ) ME2M2MMEMM qq5,0100qq5,0qqq5,0100 −+−=−+−=π
EMEMMMM q25,050q0q5,0100q20qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π
Função reacção da empresa Bordados Espanto (E)
( )[ ] ( ) EM2E2EEEME qq5,0100qq5,0qqq5,0100 −+−=−+−=π
MEMEEEE q25,050q0q5,0100q20qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π
Equilíbrio
⎩⎨
⎧
=π
=π⇒=⇒=⇒
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨
⎧
−=
−=
1600
1600
60P80Q
40q
40q
q25,050q
q25,050q
E
M
E
M
ME
EM
C.2.8. Num determinado mercado existem apenas dois produtores e a curva da procura é
Q2200P −= . As curvas de custos de cada um dos produtores são: 211 q6c = e
2
22 q2c = . Determine:
a) O equilíbrio de Cournot.
Função reacção da empresa 1
( )[ ] ( ) 1221211211 qq2200q8q6qqq2200 −+−=−+−=π
2121111 q125,05,12q0q2200q160qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π
Função reacção da empresa 2
( )[ ] ( ) 2122222212 qq2200q4q2qqq2200 −+−=−+−=π
1212222 q25,025q0q2200q80qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π
Equilíbrio
73
⇒=⇒
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨
⎧
−=
−=
31
1000
Q
31700q
31300q
q25,025q
q125,05,12q
2
1
12
21
⎩⎨
⎧
=π
=π⇒=
54,2039
22,749
31
4200
P
2
1
b) O equilíbrio de Stackelberg.
Empresa 1 é líder
Função reacção da empresa 2
( )[ ] ( ) 2122222212 qq2200q4q2qqq2200 −+−=−+−=π
1212222 q25,025q0q2200q80qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π
Equilíbrio
( )[ ] 211211111 q5,7q150q6qq25,0252q2200 −=−−−−=π
5,22q10q0150q150qmax 211111 =⇒=⇒=+−⇔=∂π∂⇒π
⎩⎨
⎧
=π
=π⇒=⇒=⇒
⎩⎨
⎧
=
=
2025
750
135P5,32Q
5,22q
10q
2
1
2
1
Empresa 2 é líder
Função reacção da empresa 1
( )[ ] ( ) 1221211211 qq2200q8q6qqq2200 −+−=−+−=π
2121111 q125,05,12q0q2200q160qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π
Equilíbrio
( )[ ] 222222222 q75,3q175q2qq125,05,122q2200 −=−−−−=π
12115q370q0175q5,70qmax 222222 =⇒=⇒=+−⇔=∂π∂⇒π
⎩⎨
⎧
=π
=π⇒=⇒=⇒
⎩⎨
⎧
=
=
67,2041
72,734
6
805
P
12
395
Q
370q
12115q
2
1
2
1
C.2.9. Num determinado mercado de oligopólio, a curva da procura é Q2200P −= e as
curvas de custos de cada um dos produtores são: 211 q2c = e 22 q12c = .
Determine:
a) O equilíbrio de Cournot.
Função reacção da empresa 1
( )[ ] ( ) 1221211211 qq2200q4q2qqq2200 −+−=−+−=π
2121111 q25,025q0q2200q80qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π
Função reacção da empresa 2
( )[ ] ( ) 212222212 qq2188q2q12qqq2200 −+−=−+−=π
1212222 q5,047q0q2188q40qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π
Equilíbrio
74
⇒=⇒
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨
⎧
−=
−=
7
382
Q
7276q
7106q
q5,047q
q25,025q
2
1
12
21
⎩⎨
⎧
=π
=π⇒=
22,3109
22,917
7
636
P
2
1
b) O equilíbrio onde a empresa 2 assume a liderança do mercado.
Função reacção da empresa 1
( )[ ] ( ) 1221211211 qq2200q4q2qqq2200 −+−=−+−=π
2121111 q25,025q0q2200q80qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π
Equilíbrio
( )[ ] 22222222 q5,1q238q12qq25,0252q2200 −=−−−−=π
1631q3238q0238q30qmax 222222 =⇒=⇒=+−⇔=∂π∂⇒π
⎩⎨
⎧
=π
=π⇒=⇒=⇒
⎩⎨
⎧
=
=
33,1507
78,106
31P5,84Q
3238q
631q
2
1
2
1
C.2.10. Considere duas empresas num mercado de oligopólio que enfrentam a seguinte
curva da procura: Q60P −= . As empresas têm os seguintes custos:
A
2
AA q4qc += e B2BB q5q5,1c += .
a) Sabendo que as empresas se comportam à Cournot, determine:
i. Preço e quantidades de equilíbrio.
Função reacção da empresa A
( )[ ] ( ) ( ) AB2AA2AABAA qq56q2q4qqqq60 −+−=+−+−=π
BABAAAA q25,014q0q56q40qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π
Função reacção da empresa B
( )[ ] ( ) ( ) BA2BB2BBBAB qq55q5,2q5q5,1qqq60 −+−=+−+−=π
ABABBBB q2,011q0q55q50qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π
Equilíbrio
19
751
P
19
389
Q
19164q
19225q
q2,011q
q25,014q
B
A
AB
BA =⇒=⇒
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨
⎧
−=
−=
ii. Bem-estar dos consumidores.
( )
59,209
2
193891975160
XC =×−=
iii. Bem-estar dos produtores.
47,280A =π e 26,186B =π
iv. Bem-estar social.
32,676BE =
b) Sabendo que a empresa A se comporta como líder, determine:
75
i. Preço e quantidades de equilíbrio.
Função reacção da empresa B
( )[ ] ( ) ( ) BA2BB2BBBAB qq55q5,2q5q5,1qqq60 −+−=+−+−=π
ABABBBB q2,011q0q55q50qmax −=⇒=−+−⇔=∂π∂⇒π
Equilíbrio
( )[ ] ( ) A2AA2AAAAA q45q9,0q4qqq2,011q60 +−=+−−−−=π
25q045q8,10qmax AAAAA =⇒=+−⇔=∂π∂⇒π
29P31Q6q25q BA =⇒=⇒=⇒=
ii. Bem-estar dos consumidores.
( )
5,480
2
312960
XC =×−=
iii. Bem-estar dos produtores.
0A =π e 90B =π
iv. Bem-estar social.
5,570BE =
C.2.11. Comente as seguintes afirmações:
a) A solução de um mercado de monopólio pode ser eficiente.
Verdadeira. A solução de monopólio será eficiente no caso em que a empresa
monopolista consiga fazer discriminação perfeita de preços. Neste caso, o
monopolista vende cada unidade adicional do bem ao preço máximo que os
consumidores estão dispostos a pagar. Assim sendo, a receita marginal é igual à
curva da procura. Logo, ao fazer CmgRmg = está a fazer-se CmgP = , que é
também a solução de concorrência perfeita. Esta solução é, tal como em
concorrência perfeita, eficiente; no entanto, contrariamente a esta, não há
excedente do consumidor, o qual é totalmente absorvido pelo monopolista.
b) Um monopolista que maximize o lucro escolherá sempre uma quantidade para
a qual a procura tenha elasticidade unitária.
Se o objectivo do monopolista é a maximização do lucro, ele escolherá uma
quantidade para a
qual CmgRmg = . Pense-se na receita marginal como a soma
do ganho na receita resultante das novas vendas e a perda devida a vender a
quantidade anterior ao novo preço que é inferior. Portanto, suponha que o
monopolista pretende aumentar o produto de 0Q para QQ 0 Δ+ . Quando vende
0Q unidades, a sua receita é 00PQ . Para vender mais QΔ , terá de reduzir o
preço para PP0 Δ− , pelo que a sua receita será:
( )( ) QPPQQPQPQQPPRT 000000 ΔΔ−Δ−Δ+=Δ+Δ−=
76
Para calcular a receita marginal é subtrair a receita total inicial e dividir pela
variação do produto:
( )
PQ
Q
P
P
Q
QPQPPQQPQP
Rmg 00
000000 Δ−Δ
Δ−=Δ
−ΔΔ−Δ−Δ+=
Repare-se que:
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
ε−=⇔⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
Δ
Δ−=⇔Δ
Δ−=⇒→Δ 11PRMg
P
Q
Q
P
1PRMgQ
Q
P
PRmg0P 0
0
0
000
Assim, para valores da elasticidade inferiores a 1, a receita marginal virá
negativa. Logo, a empresa monopolista não opera na zona inelástica da curva da
procura. O que não é o mesmo que dizer que escolhe uma quantidade para a qual
a procura tem elasticidade unitária. Portanto, a frase é falsa.
c) Colocar um imposto de quantidade sobre um monopolista causará sempre uma
subida do preço no montante do imposto.
Falso. Considere-se, sem perda de generalidade, um monopolista cujo custo
marginal é constante e que enfrenta uma procura linear. Quando é colocado um
imposto sobre este monopolista, o custo marginal aumenta no montante do
imposto. Consequentemente, a intersecção entre custo marginal e receita
marginal desloca-se para a esquerda, isto é, o preço de equilíbrio aumenta. Mas
como a inclinação da curva da procura é metade da inclinação da curva da receita
marginal, o preço aumenta em metade do montante do imposto. Esta situação
está representada no gráfico abaixo:
Algebricamente,
2
1
t
p
b2
1
t
y
b2
tca
ytcby2aCmgRmg =Δ
Δ⇒−=Δ
Δ⇒−−=⇔+=−⇔=
Cmg+t
Cmg
D Rmg
Y* Y’
t
Δp=t/2
A. TEORIA DO CONSUMIDOR
A.1. A RESTRIÇÃO ORÇAMENTAL DO CONSUMIDOR
A.1.1. Defina os seguintes conceitos:
A.1.2. Considere um consumidor que enfrenta os preços Px e Py e dispõe de um rendimento M. Para cada um dos casos seguintes, determine, analítica e graficamente, o conjunto de possibilidades de consumo e a restrição orçamental.
A.1.3. O que acontece à restrição orçamental se:
A.1.4. O Paulo tem uma mesada de 120 euros que lhe é paga pelos pais. A mesada é gasta exclusivamente em jantares e bilhetes de teatro.
A.1.5. Suponha que a Companhia de Telefones cobra mensalmente 30 euros, o que garante aos seus assinantes o acesso à rede e a possibilidade de fazer 30 minutos de chamadas por mês. Chamadas acima deste limite pagam um preço unitário de 15 cêntimos.
A.1.6. A Ana consome dois bens, carne (C) e peixe (P), ambos adquiridos no hipermercado, aos preços e . Para chegar ao hipermercado, a Ana demora 45 minutos. Para adquirir uma unidade de C demora mais 15 minutos, enquanto que para a aquisição de uma unidade de P são precisos mais 12 minutos.
A.1.7. O João vive em Santana e desloca-se todos os dias ao Funchal, onde tem uma pastelaria. O seu rendimento diário é de 200 euros, que é gasto em bilhetes de autocarro (B) e outros bens (X). O bilhete custa 2 euros, enquanto o preço dos outros bens é de 10 euros. O tempo útil diário do João é de 8 horas, gastando 1 hora na viagem Santana – Funchal e 15 minutos para adquirir uma unidade de X.
A.2. UTILIDADE E PREFERÊNCIAS
A.2.1. Defina os seguintes conceitos:
A.3. A ESCOLHA ÓPTIMA DO CONSUMIDOR
A.1.
A.4. ANÁLISE DE ESTÁTICA COMPARADA
A.1.
A.5. PROCURA DE MERCADO
B. TEORIA DO PRODUTOR
B.1. TECNOLOGIA
A.1.
B.2. MINIMIZAÇÃO DE CUSTOS
C. MERCADOS
C.1. CONCORRÊNCIA PERFEITA
C.1.5. Suponha um sector que funciona de acordo com os princípios da concorrência perfeita e em que existem empresas com diferentes estruturas de custos:
C.1.6. A procura agregada num sector concorrencial é e a curva do custo total de cada empresa é .
C.1.7. Suponha que a procura de viagens de táxis numa dada cidade é dada por: , onde Q é medido em quilómetros por ano e P é o preço em u.m. por quilómetro. A curva da oferta de longo prazo é dada por .
C.1.8. Certa indústria, perfeitamente competitiva, é composta por 10000 produtores, cada qual apresentando a seguinte função custo total: . A curva da procura de mercado é dada por .
A.1.
C.2. MONOPÓLIO E OLIGOPÓLIOMais conteúdos dessa disciplina
Capital da Austrália- 666
- Introdução às Artes Visuais
- Lernery Khishen seria 177 177 , 177
- multipartImage.jpg
- How to install Belkin ScreenCast AV4 Wireless AV-to-HDTV Adapter
- two-photon-polymerization (2PP)
- ciencias_fund
- Captura de Tela 2024-06-10 as 14 32 32
- SubjectControllerTest_getMaterialsByFilter
- updateOrder 0
- Filosofico
- qual a estrela mais proxima da terra sem ser o sol?
- Resumo G1
- WL-Questões-02-Direito Civil-035-PCI
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- Filosofico
- qual a estrela mais proxima da terra sem ser o sol?
- Resumo G1
- WL-Questões-02-Direito Civil-035-PCI