Movimento de Partículas

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Aula 17: 24/05/2012
Movimento de Partículas em Fluidos 
- Balanço de forças em uma partícula 
- Velocidade terminal
- Reynolds da Partícula
- Coeficiente de arraste (Cd)
TA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS I
- Lei de Stokes
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MOVIMENTO DE PARTÍCULAS EM FLUIDOS 
Não é uma operação unitária, é um conceito físico que será utilizado em várias operações unitárias de transferência de quantidade de movimento, como:
Fluidização
Transporte de sólidos em leito de fluido
Sedimentação simples
Centrifugação
etc.
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As partículas ao cair no seio de um fluido, sob ação de uma força constante, por exemplo a força da gravidade, sofrem aceleração durante um período de tempo muito curto e depois disso se movem à uma velocidade constante. 
Velocidade Terminal: definição
aceleração
Velocidade constante (terminal)
Essa máxima velocidade que as partículas podem alcançar é chamada de velocidade terminal, e depende da densidade, tamanho e forma da partícula, além das propriedades do fluido e do campo.
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Que forças agem sobre uma partícula sólida em movimento em um fluido (líquido ou gás)? 
Força de empuxo:
Força de arraste (atrito):
Força resultante
As forças de campo, de empuxo e de arraste 
*
[1]
*
Abaixo, encontram-se possibilidades para a velocidade relativa de uma partícula em uma corrente de fluido sob ação de um campo gravitacional:
vp = 0
vf = 0
Velocidade da partícula (+)
Velocidade do fluido (+)
*
vp = velocidade partícula
vf = velocidade do fluido
+
-
vp = 0
vf = 0
+
-
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
*
Consideremos uma partícula isolada, sob ação de força gravitacional e em movimento uniforme (sem aceleração). Do balanço de forças [1], tem-se:
Como não há aceleração da partícula, tem-se:
Rearranjando tem-se:
Como calcular Vp, Ac e Cd?
[2]
[1]
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A área característica é a área projetada. Quando a partícula é esférica, tem-se:
Calculo de Vp e Ac:
Área projetada
Partícula esférica
Área projetada de uma esfera
Volume de uma esfera
Para partículas não esféricas, usar o diâmetro equivalente (deq) definido na “aula de sólidos particulados”.
[3]
[4]
Fluxo de fluido
*
E o valor de Cd? 
Substituindo [3] e [4] em [2] tem-se:
[5]
*
O coeficiente de arraste (Cd) é função do número de Reynolds da Partícula:
Regime Laminar
(Eq. de Stokes)
Regime 
Intermediário
Regime Turbulento
(Eq. Newton)
, onde
Regime Alta
Turbulência
[6]
*
0.1
1
10
100
1000
0.1
1
10
102
103
104
105
106
107
Região camada quase laminar
Região camada turbulenta
Região alta turbulência
Regime laminar Lei de Stokes
Gráfico do Coeficiente de Atrito
Reynolds da Partícula
*
Ao aumentar a velocidade relativa (vR), as linhas de corrente começam a oscilar na parte de trás da esfera.
A pressão na parte frontal aumenta e ocorre um atrito adicional devido as oscilações.
Quando o Re atinge valores altos ocorre uma separação de camada de fluido, no início laminar depois turbulenta 
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Video sobre escoamento laminar:
http://www.youtube.com/watch?v=rbMx2NMqyuI&feature=relmfu 
Vídeo sobre escoamento turbulento: http://www.youtube.com/watch?v=7KKFtgx2anY&NR=1
http://www.youtube.com/watch?v=LvVuuaqCC7A&feature=related 
*
No regime laminar tem-se:
Lei de Stokes
Substituindo Rep [6] em Cd laminar e usando [5]
[5]
[6]
Equação fundamental do movimento de partículas em fluidos.
Se obtém:
*
De forma análoga para os outros regimes tem-se:
Regime laminar
Regime de transição
Regime turbulento sem oscilações
Mas como saber o regime se Rep depende de vr?
*
Abordagens para o cálculo de vr:
Método 
1
Método 
2
*
As equações [5] e [6] podem ser utilizadas para calcular vR por tentativa e erro.
Processo de cálculo com laço de interação:
Se propõe um valor de vR
Gráfico
O laço de interação continua até que o valor da velocidade calculada seja igual (próximo) ao valor da velocidade proposta.
Método 
1
vR
Comparar valores. Propor novo valor
ou aceitar o valor de vR calculado
Início
[6]
[5]
*
Define-se o número adimensional de Arquimedes Cd Rep2
Método 
2
Gráfico
Cd Rep2 versus Rep
Isola-se vr de [6] e substitui-se em [5].
vr
*
Esfericidade
Esfericidade
*
Exemplo:
(1) Para o sistema onde um fluido tem um fluxo ascendente e uma partícula sólida descende, utilize os dois métodos estudados para calcular a velocidade relativa. Trata-se de um grão de soja cujas características são:
dp = 0,006m; p = 0,98; p = 1190 kg/m3 
f = 1,2 kg/m3
μf = 1,7.10-5 kg/m.s 
O fluido é ar a 20ºC:
Método 
1
*
0.1
1
10
100
1000
0.1
1
10
102
103
104
105
106
107
Região camada quase laminar
Região camada turbulenta
Região alta turbulência
Regime laminar Lei de Stokes
Gráfico do Coeficiente de Atrito
Reynolds da Partícula
0.5
*
1,35.10^7
6,00.103
Método 
2
vr=14,3m/s
*
(2) Calcule a velocidade relativa de partículas de pó com 60 m e 10 m de diâmetro, em ar a 21oC e 100 kPa de pressão. Se assume que as partículas são esféricas, com densidade de 1280kg/m3, que o ar tem uma viscosidade de 1,8.10-5 N.s/m2 e uma densidade de 1,2 kg/m3. Assuma regime laminar para iniciar os cálculos.
Para a partícula de 60 m:
  vR =    (60 10-6)2  9,8 (1280 – 1,2)  = 0,139 m s-1 
                     18 (1,8 10-5)
Regime Laminar
Regime Transição
Verificando o Re para a partícula de 60 m:
Re = (60 10-6) 0,14 (1,2) / (1,8 10-5) = 0,556 (Transição)
Recalculando para regime transição:
 vR =  0,303 m s-1 ; Re = 1,212 (confirmado regime de transição).
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Para a partícula de 10m:
  vR =    (10 10-6)2  9,8 (1280 – 1,2)  = 0,00387 m s-1                      18 (1,8 10-5) 
Verificando o Re para a partícula de 10 m:
Re = (10 10-6) 0,00387 (1,2) / (1,8 10-5) = 0,0026 (Laminar)
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