Apostila de Derivadas

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DERIVADAS FUNDAMENTAIS
Vamos estudar algumas regras que nos permitirão calcular a derivada de uma função f(x) . A demonstração dessas regras pode ser feita com a aplicação da definição . Vejamos algumas derivadas fundamentais:
Derivada da função constante
Se “c” é uma função constante e f(x) = c, para todo “x” real, então f’(x) = 0
 f(x) = c ( f’(x) = 0
Exemplos:
f(x) = 8 ( f´(x) = 0 ;	f(x) = 
 ( f´(x) = 0 ; f(x) = 
 ( f´(x)= 0
Derivada da função potência
Se f(x) = xn, com “n” ( R , então f’(x) = n . x n - 1 
 Fórmula: f(x) = xn ( f’(x) = n . xn - 1 
Exemplos: f(x) = x ( f’(x) = 1. x1 - 1 = 1.x x0 = 1
	 f(x) =x7 ( f’(x) = 7.x7 – 1 = 7 x6
 - f(x) = x- 4 ( f’(x) = - 4.x- 4 - 1 = -4 x- 5 ( f’(x) = 
- f(x) = x
( f’(x) =
. x
( f’(x) =
. x
( f’(x) =
 ( f’(x) =
- f(x) = 
( f(x) = x
( f’(x) = 
. x
( f’(x) = 
. x
 ( 		 f’(x) = 
 ( f’(x) =
-
- f(x) =
 ( f(x) = x–3 ( f’(x) = -3.x–3-1 ( f’(x) = -3.x–4 ( 
f’(x) = 
 
Derivada do produto de uma constante por uma potência
Se g(x) = c . f(x), com “c” igual a uma constante e f(x) derivável, então
g’(x) = c . f’(x) 
Exemplos:
	- g(x) = 5x3 ( g’(x) = 5.3. x3 - 1 = 15 x2 
	- f(x) = 
 ( g’(x) = 
 ( g’(x) = 
 
Propriedades Operatórias 
Sejam u(x) e v(x) duas funções tais que u’(x) e v’(x) exista; então são válidas as seguintes propriedades:
a) Derivada da soma e da diferença de funções
	Se f(x) = u(x) + v(x), então f’(x) = u’(x) + v’(x)
De modo análogo tem-se que se: 
	Se f(x) = u(x) - v(x), então f’(x) = u’(x) - v’(x) (F)
Donde se conclui que:
“Se as funções u(x) e v(x) são deriváveis, a derivada da soma ou da diferença é igual à soma ou à diferença das derivadas de cada uma das funções”
Vejamos alguns exemplos:
1) Dada a função: f(x) = 3x4 + 5 x3 - x2 + x, calcular f’(x).
f(x) = 3x4 + 5 x3 - x2 + x ( f’(x) = 4.3.x4-1+3.5.x3-1-2.x2-1+1.x1-1 
( f’(x) = 12x3 + 15x2 - 2x + x0 ( f’(x) = 12x3 + 15x2 - 2x + 1
2) Dada a função: f(x) = 3x-3 - 2x-5 + x-2, calcular f’(x).
f(x) = 3x-3 - 2x-5 + x-2 ( f’(x) = -3.3.x-3-1 –(-5).2.x-5-1 +(-2).x-2-1
( f’(x) = -9x-4 + 10x-6 - 2x-3
3) Dada a função: 
, calcular f’(t) 
Solução:
4) Dada a função: 
, calcular f’(t) 
Derivada de um produto de funções
Se f(x) = u(x) . v(x), então f’(x) = u’ . v + v’ . u 
De modo mais simples, podemos escrever: 
 y = u . v ( y’ = u’ . v + v’ . u 	(F)
Vejamos alguns exemplos:
- 1) Calcular a derivada de (2 + 5x).(7 – 3x)
Resolução: 
Fazendo y = (2 + 5x).(7 – 3x) , temos : 
u = (2 + 5x), logo u’ = 5
v = (7 – 3x), temos v’ = –3
Aplicando a fórmula da derivada do produto vem que:
y’ = u’ . v + v’ . u ( y’ = 5 . (7 – 3x) + (–3) . (2 + 5x) (
y’ = 35 – 15x – 6 – 15x ( y’ = –30x + 29
- 2) Calcular a derivada de f(x) = x (3x – 1).(x + 2)
Resolução: 
Preparando a função, temos
f(x) = x (3x – 1).(x + 2 ( f(x) = (3x2 – x).(x + 2)
Transformando, temos: 
u(x) = 3x2 – x ( u’(x) = 6x – 1 
v(x) = x + 2 ( v’(x) = 1 
Aplicando a fórmula da derivada do produto vem que:
y = u . v ( y’ = u’ . v + v’ . u 
y’ = (6x – 1).( x + 2) + 1 . (3x2 – x) ( y’ = 6x2 + 12x – x – 2 + 3x2 – x
 y’ = 9 x2 + 10x – 2
Derivada de um quociente de funções
Se 
, com v(x) ( 0, 
então 
De modo mais simples, podemos escrever: 
	
 ( 
	(F)
Vejamos alguns exemplos:
- 1) Dada a função 
, calcular f’(x)
Resolução:
Sabemos que: 
Fazendo:
u = x2 + 1 vem que: u’ = 2x 
v = x – 3 vem que: v’ = 1
Aplicando-se a fórmula vem:
Efetuando-se as operações vem que:
Derivada da potência de uma função
Consideremos a função f(x) = [g(x)]n, com n ( R. 
Então f’(x) = n.[g(x)]n – 1. g’(x).	De uma forma mais simples,
podemos escrever: y = g n 	 y’ = n . g n – 1 . g’
1º Exemplo: Dada a função 
, calcular f’(6)
Solução: 
Transformando temos: 
Fazendo-se g(x) = (x – 2). Obtemos g’(x) = 1
Se 
Daí vem que:
2º Exemplo: 
Dada a função f(x) = (2x + 1)4, calcular f’(x)
Solução: 
	Fazendo-se g(x) = 2x + 1, e derivando-se, obteremos g’(x) = 2
Logo, temos:
y = g4 	 y’	= 4 . g4 – 1 . g’
y’ = 4 . (2x + 1)4 – 1 . 2		 y’ = 8 . (2x + 1)3	
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