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MATEMÁTICA FINANCEIRA
PROF. ELISSON DE ANDRADE
Blog: www.profelisson.com.br
AULA 2: DESCONTO SIMPLES
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RESUMO SOBRE DESCONTO SIMPLES
Fórmulas:
D = VF - VP
D = VF.d.n
VP = VF (1 - d . n)
Obs: considerar um mês como sendo 30 dias; e um ano contendo 360 dias.
Lembre-se dos 4 passos:
1) Identifique as variáveis: muito importante antes de
iniciar qualquer exercício
2) Escolha qual equação utilizar: com base nas
informações dos exercícios, escolheremos as fórmulas
que possuírem as variáveis informadas
3) Verifique se d e n estão na mesma unidade de
tempo: se não estiverem, será preciso transformar
uma das variáveis
4) Resolva a equação: aqui a questão é pura álgebra
EXERCÍCIOS
Imprima esta folha e tente resolver os exercícios abaixo, sem olhar na
resolução comentada. Aplique os conceitos aprendidos no vídeo
correspondente à Aula 2.
Exercícios: resolva-os apenas considerando as fórmulas de juros simples:
1) Uma duplicata foi descontada por um banco à taxa de 3,2% ao mês. Sabendo-se que seu
valor nominal é de R$5.000,00 e que o vencimento se dará após 90 dias, qual o valor
entregue ao cliente?
2) Qual o valor do desconto de um título de R$4.500,00, a vencer depois de 38 dias, sendo
a taxa de desconto simples de 2,2% ao mês?
3) Qual a taxa anual de desconto de uma duplicata que irá vencer depois de 75 dias,
sabendo-se que seu valor de face é de R$10.000,00 e que o valor creditado na conta do
cliente foi de R$9.654,25?
4) Quantos dias faltam para vencer uma duplicata que possui um valor de resgate de
R$6.000,00, que sofreu um desconto de R$280,00, sendo sua taxa de desconto simples
de 2,5% ao mês?
5) João precisa de R$1.000,00 hoje e possui um cheque pré-datado no valor de
R$1.200,00, que só poderá ser descontado em 75 dias. Considerando que o banco onde
João tem sua conta, cobra uma taxa de desconto simples de 0,1% ao dia, ele conseguirá
o dinheiro que precisa?
6) Um título sofreu um desconto de R$210,00. Sabendo-se que a taxa de desconto simples
utilizada foi de 4,5% ao bimestre e que o prazo para vencimento é de 51 dias, qual valor
deverá ser entregue ao portador desse título?
7) Nádia recebeu em sua conta R$1.200,00 após o desconto de uma duplicata, que iria
vencer em 45 dias. A taxa de desconto simples utilizada foi de 20% ao ano. Pergunta-
se: qual o valor do desconto?
8) Qual deve ser a taxa mensal de desconto (d) para que uma duplicata sofra um desconto
de um terço de seu valor de face, sabendo-se que faltam 90 dias para o vencimento?
9) Uma empresa apresenta três duplicatas no valor de R$2.500,00, com vencimentos para
60, 90 e 120 dias. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco será de 2,5%
ao mês, qual será o valor creditado na conta da empresa?
10) A que taxa mensal de desconto simples deverão ser descontados 3 títulos, no valor de
R$3.000,00 cada um, sendo seus vencimentos de 30, 60 e 90 dias, para que se tenha um
crédito em conta num valor total de R$8250,00?
1) Uma duplicata foi descontada por um banco à taxa de 3,2% ao mês. Sabendo-se que
seu valor nominal é de R$5.000,00 e que o vencimento se dará após 90 dias, qual o
valor entregue ao cliente?
RESOLUÇÃO
PASSO 1: identificar as variáveis
As variáveis são: VP = ? ; VF = 5000 ; n = 90 dias ; d = 3,2% ao mês
Importante ressaltar que VALOR NOMINAL é aquele valor escrito na duplicata, que só
será convertido em dinheiro no vencimento. Portanto, ele é valor futuro, sendo o valor
presente o quanto o banco irá depositar na conta do cliente HOJE.
PASSO 2: escolher a equação
Como temos VF e VP, e não aparece a variável D, só é possível utilizar a equação:
VP = VF (1 – d . n)
PASSO 3: verificar se d e n estão na mesma unidade de tempo
A taxa de juros é mensal, então o mais fácil aqui é representar 90 dias em meses
(90dias/30 = 3 meses).
PASSO 4: resolver a equação
Substituindo as variáveis do PASSO 1 na equação escolhida no PASSO 2, temos
�� = ����(� − �, �
� .
)
Veja que a porcentagem deve ser substituída na forma decimal, bastando dividir o 3,2%
por 100. Já o prazo, perceba que considerou-se os 3 meses, e não os 90 dias.
Continuando a álgebra:
�� = ����(� − �, ���)
�� = ���� . �, ���
�� = ����
Ou seja, serão depositados R$4.520,00 na conta do cliente HOJE, depois de descontada
uma duplicata com valor de face de R$5.000,00 a vencer depois de 3 meses.
2) Qual o valor do desconto de um título de R$4.500,00, a vencer depois de 38 dias,
sendo a taxa de desconto simples de 2,2% ao mês?
RESOLUÇÃO
PASSO 1: identificar as variáveis
As variáveis são: D = ? ; VF = 4500 ; n = 38 dias ; d = 2,2% ao mês
Ao contrário do exercício anterior, em que era pedido o valor a ser creditado na conta
do cliente, nesse exercício a pergunta se refere a quanto foi descontado do valor de
face do título. Ou seja, o título vale R$4.500,00, mas será feito um desconto para que o
dinheiro seja entregue hoje.
PASSO 2: escolher a equação
Como temos VF e D, e não aparece a variável VP, só é possível utilizar a equação:
D = VF . d . n
PASSO 3: verificar se d e n estão na mesma unidade de tempo
A taxa é mensal e o período está em dias. Podemos, portanto, transformar 38 dias em
mês, da seguinte forma: 38/30 = 1,266666 mês.
PASSO 4: resolver a equação
Substituindo as variáveis do PASSO 1 na equação escolhida no PASSO 2, além da
transformação da unidade de tempo realizada no PASSO 3, temos
� = ���� . �, ��� . �, ������
� = �$���, ��
3) Qual a taxa anual de desconto de uma duplicata que irá vencer depois de 75 dias,
sabendo-se que seu valor de face é de R$10.000,00 e que o valor creditado na conta do
cliente foi de R$9.654,25?
RESOLUÇÃO
PASSO 1: identificar as variáveis
As variáveis são: VP = 9654,25 ; VF = 10000 ; n = 75 dias ; d = ?
PASSO 2: escolher a equação
Como temos VF e VP, utilizaremos a equação:
VP = VF (1 – d . n)
PASSO 3: verificar se d e n estão na mesma unidade de tempo
Como a resposta a ser dada é em anos, podemos transformar 75 dias em anos. Dessa
forma, basta dividir 75 por 360, chegando a 75/360 = 0,2083333 ano. Também seria
possível deixar o período em dias e transformar a taxa a ser obtida ao final do
exercício. Aqui optaremos por já substituir o período expresso em anos.
PASSO 4: resolver a equação
Substituindo as variáveis do PASSO 1 na equação escolhida no PASSO 2, além da
transformação da unidade de tempo realizada no PASSO 3, temos
����, �� = �����(� − �, ���
. �)
����, ��
�����
= � − �, ���
. �
Nesse passo anterior, é importante que não se subtraia 0,208333 de 1. Isso porque,
primeiramente, deve ser respeitada a multiplicação.
�, ������ = � − �, ���
. �
Passando o termo -0,208333 para o lado esquerdo, inverte-se o sinal. Mesma coisa
para o termo 0,965425, que ao passar para a direita fica negativo.
�, ���
. � = � − �, ������
�, ���
. � = �, �
����
� =
�, �
����
�, ���
� = �, ����
Ao multiplicar a resposta por 100, para transformar em porcentagem, temos
0,1659 . 100 = 16,59% ao ano
4) Quantos dias faltam para vencer uma duplicata que possui um valor de resgate de
R$6.000,00, que sofreu um desconto de R$280,00, sendo sua taxa de desconto simples
de 2,5% ao mês?
RESOLUÇÃO
PASSO 1:
identificar as variáveis
As variáveis são: D = 280 ; VF = 6000 ; n = ? ; d = 2,5% ao mês
PASSO 2: escolher a equação
Como temos VF e D, e não aparece a variável VP, só é possível utilizar a equação:
D = VF . d . n
PASSO 3: verificar se d e n estão na mesma unidade de tempo
A taxa de desconto (d) está ao mês e pede-se o período (n) em dias. Pode-se
transformar de início a taxa em diária. Ou obter a resposta em mês (utilizando 2,5%
a.m.) na fórmula, e só aí transformar em dias. No exercício anterior, a transformação
foi realizada antes. Nesse exercício, para fazermos o contraponto, farei a
transformação no fim do exercício.
PASSO 4: resolver a equação
Substituindo as variáveis do PASSO 1 na equação escolhida no PASSO 2, temos
��� = ���� . �, ��� . �
��� = ��� . �
���
���
= �
� = �, ��������
A resposta está expressa em mês. Para transformar esse período em dias, basta
multiplicar esse resultado por 30.
1,866666 . 30 = 56 dias (aproximadamente)
5) João precisa de R$1.000,00 hoje e possui um cheque pré-datado no valor de
R$1.200,00, que só poderá ser descontado em 75 dias. Considerando que o banco onde
João tem sua conta, cobra uma taxa de desconto simples de 0,1% ao dia, ele
conseguirá o dinheiro que precisa?
RESOLUÇÃO
PASSO 1: identificar as variáveis
As variáveis são: VP = ? ; VF = 1200 ; n = 75 dias ; d = 0,1% ao dia
Importante notar que o que se quer achar é o valor que se consegue obter com o
desconto desse título, ou seja, seu VP. Os R$1.000,00 que João precisa só serão
utilizados para responder se ele conseguirá o dinheiro desejado ou não.
PASSO 2: escolher a equação
Como temos VF e VP, utilizaremos a equação:
VP = VF (1 – d . n)
PASSO 3: verificar se d e n estão na mesma unidade de tempo
Prazo (n) e taxa de desconto (d) expressos em dias. Portanto, não há necessidade de
qualquer transformação.
PASSO 4: resolver a equação
Substituindo as variáveis do PASSO 1 na equação escolhida no PASSO 2, temos:
�� = ����(� − �, ��� . ��)
�� = ����(� − �, ���)
�� = ���� . �, ���
�� = ����
Conclusão: como, após o desconto, João receberá R$1.110,00, ele conseguirá até mais
do que os R$1.000,00 necessários.
6) Um título sofreu um desconto de R$210,00. Sabendo-se que a taxa de desconto
simples utilizada foi de 4,5% ao bimestre e que o prazo para vencimento é de 51 dias,
qual valor deverá ser entregue ao portador desse título?
RESOLUÇÃO
PASSO 1: identificar as variáveis
As variáveis são: D = 210 ; VP = ? ; n = 51 dias ; d = 4,5% ao bimestre
PASSO 2: escolher a equação
Esse é um caso diferente dos anteriores. É dado o valor de D e é pedido VP. Como não
apresentamos nenhuma fórmula para lidar com tal situação, utilizaremos duas:
D = VF . d . n e D = VF - VP
PASSO 3: verificar se d e n estão na mesma unidade de tempo
Podemos transformar o prazo (n) em bimestre ou a taxa (d) em dias. Para este
exercício, façamos essa segunda opção. Para isso, basta dividir a taxa bimestral por
60, para achar diária, da seguinte forma: 4,5%/60 = 0,075% ao dia.
PASSO 4: resolver a equação
Primeiramente, utilizemos a primeira fórmula do PASSO 2
��� = �� . �, ����� . ��
��� = �� . �, �
���
���
�, �
���
= ��
�� = ����, ��
Depois de calculado o valor de face do título, basta calcular quanto será creditado na
conta do cliente:
��� = ����, �� − ��
�� = ����, �� − ���
�� = ����, ��
7) Nádia recebeu em sua conta R$1.200,00 após o desconto de uma duplicata, que iria
vencer em 45 dias. A taxa de desconto simples utilizada foi de 20% ao ano. Pergunta-
se: qual o valor do desconto?
RESOLUÇÃO
PASSO 1: identificar as variáveis
As variáveis são: D = ? ; VP = 1200 ; n = 45 dias ; d = 20% ao ano
PASSO 2: escolher a equação
Esse é um caso especial, pois é dado o valor de VP e é pedido D. Como não
apresentamos nenhuma fórmula para lidar com tal situação, utilizaremos duas:
VP = VF (1 – d . n) e D = VF - VP
PASSO 3: verificar se d e n estão na mesma unidade de tempo
Podemos transformar o prazo (n) para anos ou a taxa (d) para dias. Isso significa
dividir 20% por 360 (20/360=0,05555% ao dia), ou 45 por 360 (0,125 ano). Vamos
utilizar essa última opção, pela comodidade de não ser uma dízima periódica.
PASSO 4: resolver a equação
Primeiramente, utilizemos a primeira fórmula do PASSO 2
���� = ��(� − �, � . �, ���)
���� = ��(� − �, ���)
���� = �� . �, ���
����
�, ���
= ��
�� = ��
�, ��
Calculado o valor nominal da duplicata, basta subtrair desse valor o dinheiro recebido
na conta, para achar o desconto, conforme a seguir (uso da segunda fórmula do PASSO
2).
� = ��
�, �� − ���� = �$
�, ��
8) Qual deve ser a taxa mensal de desconto (d) para que uma duplicata sofra um
desconto de um terço de seu valor de face, sabendo-se que faltam 90 dias para o
vencimento?
RESOLUÇÃO
PASSO 1: identificar as variáveis
As variáveis são: D = ? ; VF = ? ; n = 90 dias ; d = ?
PASSO 2: escolher a equação
Esse exercício parece complicado à primeira vista, pois apenas oferece o valor de n e
pede o de d. Todavia, existem uma informação importante no problema: “desconto de
um terço de seu valor de face”, ou seja, � = �
�
��. Dessa forma, poderemos usar a
fórmula:
D = VF . d . n
PASSO 3: verificar se d e n estão na mesma unidade de tempo
Como se quer a taxa em meses, basta transformar 90 dias em meses, ou seja 90/30 = 3
meses.
PASSO 4: resolver a equação
Sabendo-se que o desconto é igual a um terço do valor de face, podemos utilizar a
equação do PASSO 2, mas substituindo no lugar de D, a relação �
�
��
�
�� = ��. � .
Passando o VF, à direita do sinal de igual, para a esquerda (dividindo), temos
�. ��
. ��
= � .
Como qualquer número dividido por ele mesmo dá um (VF/VF = 1)
�
= � .
Passando o número 3 que está multiplicando d para o outro lado, dividindo, temos
�
.
= �
� =
�
�
= �, ����
Em que multiplicando esse valor por 100, chegamos à taxa de desconto de 11,11% ao
mês.
9) Uma empresa apresenta três duplicatas no valor de R$2.500,00, com vencimentos
para 60, 90 e 120 dias. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco será de
2,5% ao mês, qual será o valor creditado na conta da empresa?
RESOLUÇÃO
PASSO 1: identificar as variáveis
As variáveis são:
Duplicata 1: VF = 2500 ; n = 60 dias ; d = 2,5% ao mês
Duplicata 1: VF = 2500 ; n = 90 dias ; d = 2,5% ao mês
Duplicata 1: VF = 2500 ; n = 120 dias ; d = 2,5% ao mês
Quer saber: VP das três duplicatas somadas
PASSO 2: escolher a equação
Temos VF em todas as situações e queremos saber o VP, logo, escolheremos a fórmula
VP = VF (1 – d . n)
PASSO 3: verificar se d e n estão na mesma unidade de tempo
Transformando todos os períodos (n) em meses: 60 dias = 2 meses, 90 dias = 3 meses e
120 dias = 4 meses.
PASSO 4: resolver a equação
Fazendo uma fórmula para cada duplicata
Duplicata 1: VP = 2500 (1 – 0,025 . 2)
Duplicata 2: VP = 2500 (1 – 0,025 . 3)
Duplicata 3: VP = 2500 (1 – 0,025 . 4)
Note que o que muda de uma equação para outra são os valores de n.
Resolvendo as equações acima, chegamos a:
Duplicata 1: VP = 2375
Duplicata 2: VP = 2312,5
Duplicata 3: VP = 2250
Somando-se os VPs recebidos por cada uma das duplicatas, chegamos a
VP = 2375 + 2312,5 + 2250 = 6937,5
Ou seja, a empresa receberá R$6.937,50 depois de descontadas todas as duplicatas
10) A que taxa mensal de desconto simples deverão ser descontados 3 títulos, no valor
de R$3.000,00 cada um, sendo seus vencimentos de 30, 60 e 90 dias, para que se tenha
um crédito em
conta num valor total de R$8250,00?
RESOLUÇÃO
PASSO 1: identificar as variáveis
As variáveis são:
Título 1: VF = 3000 ; n = 30 dias ; d = ?
Título 2: VF = 3000 ; n = 60 dias ; d = ?
Título 3: VF = 3000 ; n = 90 dias ; d = ?
Sabe-se também que o crédito total da conta será de VP = 8250
PASSO 2: escolher a equação
Temos VF em todas as situações e queremos saber o VP, logo, escolheremos a fórmula
VP = VF (1 – d . n)
PASSO 3: verificar se d e n estão na mesma unidade de tempo
Transformando n em meses: 30 dias = 1 mês; 60 dias = 2 meses; 90 dias = 3 meses
PASSO 4: resolver a equação
Como sabemos quanto caiu na conta, o VP total de 8250 será a soma do VP de cada
um dos títulos. Portanto, faremos a fórmula da seguinte maneira.
VP = VF (1 – d . n) + VF (1 – d . n) + VF (1 – d . n)
Veja que estamos somando o valor presente de cada um dos títulos. Substituindo, temos
8250 = 3000 (1 – d . 1) + 3000 (1 – d . 2) + 3000 (1 – d . 3)
Colocando 3000 em evidência
8250 = 3000 {(1 – d . 1) + (1 – d . 2) + (1 – d . 3)}
Passando o 3000 dividindo o 8250 e eliminando todos os parênteses entre chaves
8250/3000 = 1 – d . 1 + 1 – d . 2 + 1 – d . 3
Título 1 Título 2 Título 3
Além da divisão de 8250/3000, irei separar os termos da direita, deixando quem tem a
variável d multiplicando de um lado, e os números 1 que estão sozinhos, à direita
2,75 = – d . 1 – d . 2 – d . 3 + 1 + 1 + 1
Se tenho menos 1 .d, menos 2 . d, menos 3 . d, fico com menos 6 . d (só perceber que
-1-2-3=-6
Por outro lado, 1+1+1=3
Dessa forma, a equação fica da seguinte maneira
2,75 = – d . 6 + 3
Passando o três para o lado esquerdo, negativo
2,75 - 3 = – d . 6
-0,25 = – d . 6
Multiplicando ambos os lados por -1, para deixar os sinais positivos.
0,25 = d . 6
Por fim, basta passar o 6 dividindo o 0,25, de onde tiramos o valor da taxa de desconto
d = 0,25/6 = 0,04166
Multiplicando 0,04166 por 100, chegamos a uma taxa de desconto dos 3 títulos de
4,166% ao mês
