Aulas de Calculo I

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Derivada De Func¸o˜es Trigonome´tricas
Derivada De Func¸o˜es Trigonome´tricas
Jairo Menezes e Souza
UFG/CAC
04/06/2013
Jairo Menezes e Souza Derivada De Func¸o˜es Trigonome´tricas
Derivada De Func¸o˜es Trigonome´tricas
Derivada Do Seno
Derivada Do Cosseno
Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
x
y
y = sin x
−3pi2 −pi2 3pi2pi2
x
y
y = cos x
−3pi2 −pi2 3pi2pi2
Jairo Menezes e Souza Derivada De Func¸o˜es Trigonome´tricas
Derivada De Func¸o˜es Trigonome´tricas
Derivada Do Seno
Derivada Do Cosseno
Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
x
y
y = sin x
−3pi2 −pi2 3pi2pi2
x
y
y = cos x
−3pi2 −pi2 3pi2pi2
Jairo Menezes e Souza Derivada De Func¸o˜es Trigonome´tricas
Derivada De Func¸o˜es Trigonome´tricas
Derivada Do Seno
Derivada Do Cosseno
Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Note que nos pontos em que a tangente ao gra´fico de y = sin x e´
horizontal, temos que cos x = 0.
Observando mais atentamente o
gra´fico podemos conjecturar que a inclinac¸a˜o da reta tangente ao
gra´fico de y = sin x e´ cos x .
Derivada do seno
Seja f (x) = sin x enta˜o f ′(x) = cos x .
Jairo Menezes e Souza Derivada De Func¸o˜es Trigonome´tricas
Derivada De Func¸o˜es Trigonome´tricas
Derivada Do Seno
Derivada Do Cosseno
Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Note que nos pontos em que a tangente ao gra´fico de y = sin x e´
horizontal, temos que cos x = 0. Observando mais atentamente o
gra´fico podemos conjecturar que a inclinac¸a˜o da reta tangente ao
gra´fico de y = sin x e´ cos x .
Derivada do seno
Seja f (x) = sin x enta˜o f ′(x) = cos x .
Jairo Menezes e Souza Derivada De Func¸o˜es Trigonome´tricas
Derivada De Func¸o˜es Trigonome´tricas
Derivada Do Seno
Derivada Do Cosseno
Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Note que nos pontos em que a tangente ao gra´fico de y = sin x e´
horizontal, temos que cos x = 0. Observando mais atentamente o
gra´fico podemos conjecturar que a inclinac¸a˜o da reta tangente ao
gra´fico de y = sin x e´ cos x .
Derivada do seno
Seja f (x) = sin x enta˜o f ′(x) = cos x .
Jairo Menezes e Souza Derivada De Func¸o˜es Trigonome´tricas
Derivada De Func¸o˜es Trigonome´tricas
Derivada Do Seno
Derivada Do Cosseno
Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Limite fundamental
1 Lembre do limite fundamental
lim
x→0
sin x
x
= 1
.
2 Como consequeˆncia temos que
lim
x→0
cos x − 1
x
= 0
.
Jairo Menezes e Souza Derivada De Func¸o˜es Trigonome´tricas
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Derivada Do Seno
Derivada Do Cosseno
Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Limite fundamental
1 Lembre do limite fundamental
lim
x→0
sin x
x
= 1
.
2 Como consequeˆncia temos que
lim
x→0
cos x − 1
x
= 0
.
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Derivada De Func¸o˜es Trigonome´tricas
Derivada Do Seno
Derivada Do Cosseno
Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
lim
x→0
cos x − 1
x
= lim
x→0
cos x − 1
x
[
cos x + 1
cos x + 1
]
= lim
x→0
cos2 x − 1
x(cos x + 1)
= lim
x→0
− sin
2 x
x(cos x + 1)
.
= lim
x→0
−sin x
x
lim
x→0
sin x
cos x + 1
= 1 · 0
2
= 0.
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Derivada Do Seno
Derivada Do Cosseno
Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
lim
x→0
cos x − 1
x
= lim
x→0
cos x − 1
x
[
cos x + 1
cos x + 1
]
= lim
x→0
cos2 x − 1
x(cos x + 1)
= lim
x→0
− sin
2 x
x(cos x + 1)
.
= lim
x→0
−sin x
x
lim
x→0
sin x
cos x + 1
= 1 · 0
2
= 0.
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Derivada Do Seno
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Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
lim
x→0
cos x − 1
x
= lim
x→0
cos x − 1
x
[
cos x + 1
cos x + 1
]
= lim
x→0
cos2 x − 1
x(cos x + 1)
= lim
x→0
− sin
2 x
x(cos x + 1)
.
= lim
x→0
−sin x
x
lim
x→0
sin x
cos x + 1
= 1 · 0
2
= 0.
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Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
lim
x→0
cos x − 1
x
= lim
x→0
cos x − 1
x
[
cos x + 1
cos x + 1
]
= lim
x→0
cos2 x − 1
x(cos x + 1)
= lim
x→0
− sin
2 x
x(cos x + 1)
.
= lim
x→0
−sin x
x
lim
x→0
sin x
cos x + 1
= 1 · 0
2
= 0.
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Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
lim
x→0
cos x − 1
x
= lim
x→0
cos x − 1
x
[
cos x + 1
cos x + 1
]
= lim
x→0
cos2 x − 1
x(cos x + 1)
= lim
x→0
− sin
2 x
x(cos x + 1)
.
= lim
x→0
−sin x
x
lim
x→0
sin x
cos x + 1
= 1 · 0
2
= 0.
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Derivada Do Seno
Derivada Do Cosseno
Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
lim
x→0
cos x − 1
x
= lim
x→0
cos x − 1
x
[
cos x + 1
cos x + 1
]
= lim
x→0
cos2 x − 1
x(cos x + 1)
= lim
x→0
− sin
2 x
x(cos x + 1)
.
= lim
x→0
−sin x
x
lim
x→0
sin x
cos x + 1
= 1 · 0
2
= 0.
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Derivada Do Seno
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Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
Derivada do Seno
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= lim
h→0
sin (x + h)− sin x
h
= lim
h→0
sin x cos h + sin h cos x − sin x
h
= lim
h→0
sin x(cos h − 1) + sin h cos x
h
= sin x lim
h→0
cos h − 1
h
+ cos x lim
h→0
sin h
h
= cos x
notando que limh→0 cos h−1h = 0 e limh→0
sin h
h = 1.
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Derivada Do Seno
Derivada Do Cosseno
Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
Derivada do Seno
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= lim
h→0
sin (x + h)− sin x
h
= lim
h→0
sin x cos h + sin h cos x − sin x
h
= lim
h→0
sin x(cos h − 1) + sin h cos x
h
= sin x lim
h→0
cos h − 1
h
+ cos x lim
h→0
sin h
h
= cos x
notando que limh→0 cos h−1h = 0 e limh→0
sin h
h = 1.
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Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
Derivada do Seno
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= lim
h→0
sin (x + h)− sin x
h
= lim
h→0
sin x cos h + sin h cos x − sin x
h
= lim
h→0
sin x(cos h − 1) + sinh cos x
h
= sin x lim
h→0
cos h − 1
h
+ cos x lim
h→0
sin h
h
= cos x
notando que limh→0 cos h−1h = 0 e limh→0
sin h
h = 1.
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Derivada Do Seno
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Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
Derivada do Seno
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= lim
h→0
sin (x + h)− sin x
h
= lim
h→0
sin x cos h + sin h cos x − sin x
h
= lim
h→0
sin x(cos h − 1) + sin h cos x
h
= sin x lim
h→0
cos h − 1
h
+ cos x lim
h→0
sin h
h
= cos x
notando que limh→0 cos h−1h = 0 e limh→0
sin h
h = 1.
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Derivada Do Seno
Derivada Do Cosseno
Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
Derivada do Seno
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= lim
h→0
sin (x + h)− sin x
h
= lim
h→0
sin x cos h + sin h cos x − sin x
h
= lim
h→0
sin x(cos h − 1) + sin h cos x
h
= sin x lim
h→0
cos h − 1
h
+ cos x lim
h→0
sin h
h
= cos x
notando que limh→0 cos h−1h = 0 e limh→0
sin h
h = 1.
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Derivada Do Seno
Derivada Do Cosseno
Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
Derivada do Seno
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= lim
h→0
sin (x + h)− sin x
h
= lim
h→0
sin x cos h + sin h cos x − sin x
h
= lim
h→0
sin x(cos h − 1) + sin h cos x
h
= sin x lim
h→0
cos h − 1
h
+ cos x lim
h→0
sin h
h
= cos x
notando que limh→0 cos h−1h = 0 e limh→0
sin h
h = 1.
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Derivada Do Seno
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Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
Derivada do Seno
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
= lim
h→0
sin (x + h)− sin x
h
= lim
h→0
sin x cos h + sin h cos x − sin x
h
= lim
h→0
sin x(cos h − 1) + sin h cos x
h
= sin x lim
h→0
cos h − 1
h
+ cos x lim
h→0
sin h
h
= cos x
notando que limh→0 cos h−1h = 0 e limh→0
sin h
h = 1.
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Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Exemplo
Ache a derivade de y = x2 sin x
dy
dx
=
d
dx
(x2) sin x + (x2)
d
dx
(sin x)
= 2x sin x + (x2) cos x
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Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Exemplo
Ache a derivade de y = x2 sin x
dy
dx
=
d
dx
(x2) sin x + (x2)
d
dx
(sin x)
= 2x sin x + (x2) cos x
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Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
x
y
y = f (x) = x2 sin x
y = dfdx
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Derivada Do Seno
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Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Derivada do cosseno
Se g(x) = cos x enta˜o g ′(x) = − sin x .
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Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
g ′(x) = lim
h→0
g(x + h)− g(x)
h
= lim
h→0
cos (x + h)− cos x
h
= lim
h→0
cos x cos h − sin x sin h − cos x
h
= lim
h→0
cos x(cos h − 1)− sin x sin h
h
= cos x lim
h→0
cos h − 1
h
− sin x lim
h→0
sin h
h
= − sin x
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Derivada Do Seno
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Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
g ′(x) = lim
h→0
g(x + h)− g(x)
h
= lim
h→0
cos (x + h)− cos x
h
= lim
h→0
cos x cos h − sin x sin h − cos x
h
= lim
h→0
cos x(cos h − 1)− sin x sin h
h
= cos x lim
h→0
cos h − 1
h
− sin x lim
h→0
sin h
h
= − sin x
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Derivada Do Seno
Derivada Do Cosseno
Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
g ′(x) = lim
h→0
g(x + h)− g(x)
h
= lim
h→0
cos (x + h)− cos x
h
= lim
h→0
cos x cos h − sin x sin h − cos x
h
= lim
h→0
cos x(cos h − 1)− sin x sin h
h
= cos x lim
h→0
cos h − 1
h
− sin x lim
h→0
sin h
h
= − sin x
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Derivada Do Seno
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Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
g ′(x) = lim
h→0
g(x + h)− g(x)
h
= lim
h→0
cos (x + h)− cos x
h
= lim
h→0
cos x cos h − sin x sin h − cos x
h
= lim
h→0
cos x(cos h − 1)− sin x sin h
h
= cos x lim
h→0
cos h − 1
h
− sin x lim
h→0
sin h
h
= − sin x
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Derivada Do Seno
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Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
g ′(x) = lim
h→0
g(x + h)− g(x)
h
= lim
h→0
cos (x + h)− cos x
h
= lim
h→0
cos x cos h − sin x sin h − cos x
h
= lim
h→0
cos x(cos h − 1)− sin x sin h
h
= cos x lim
h→0
cos h − 1
h
− sin x lim
h→0
sin h
h
= − sin x
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Derivada Do Seno
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Derivada Da Cotangente
Derivada da Tangente
d
dx
(tan x) = sec2 x
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Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
d
dx
(tan x) =
d
dx
(
sin x
cos x
)
=
d
dx (sin x) cos x − sin x ddx (cos x)
[cos x ]2
=
cos x cos x − sin x(− sin x)
cos2 x
=
cos2 x + sin2 x
cos2 x
=
1
cos2 x
= sec2 x
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Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
d
dx
(tan x) =
d
dx
(
sin x
cos x
)
=
d
dx (sin x) cos x − sin x ddx (cos x)
[cos x ]2
=
cos x cos x − sin x(− sin x)
cos2 x
=
cos2 x + sin2 x
cos2 x
=
1
cos2 x
= sec2 x
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Derivada Do Seno
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Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da CossecanteDerivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
d
dx
(tan x) =
d
dx
(
sin x
cos x
)
=
d
dx (sin x) cos x − sin x ddx (cos x)
[cos x ]2
=
cos x cos x − sin x(− sin x)
cos2 x
=
cos2 x + sin2 x
cos2 x
=
1
cos2 x
= sec2 x
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Derivada Do Seno
Derivada Do Cosseno
Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
d
dx
(tan x) =
d
dx
(
sin x
cos x
)
=
d
dx (sin x) cos x − sin x ddx (cos x)
[cos x ]2
=
cos x cos x − sin x(− sin x)
cos2 x
=
cos2 x + sin2 x
cos2 x
=
1
cos2 x
= sec2 x
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Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
d
dx
(tan x) =
d
dx
(
sin x
cos x
)
=
d
dx (sin x) cos x − sin x ddx (cos x)
[cos x ]2
=
cos x cos x − sin x(− sin x)
cos2 x
=
cos2 x + sin2 x
cos2 x
=
1
cos2 x
= sec2 x
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Derivada Do Seno
Derivada Do Cosseno
Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
d
dx
(tan x) =
d
dx
(
sin x
cos x
)
=
d
dx (sin x) cos x − sin x ddx (cos x)
[cos x ]2
=
cos x cos x − sin x(− sin x)
cos2 x
=
cos2 x + sin2 x
cos2 x
=
1
cos2 x
= sec2 x
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Derivada Do Seno
Derivada Do Cosseno
Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Derivada Da Secante
d
dx
(sec x) = sec x tan x
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Derivada Do Seno
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Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
d
dx
(sec x) =
d
dx
(
1
cos x
)
=
d
dx (1) cos x − 1 ddx (cos x)
cos2 x
=
sin x
cos2 x
=
sin x
cos x
1
cos x
= tan x sec x
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Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
d
dx
(sec x) =
d
dx
(
1
cos x
)
=
d
dx (1) cos x − 1 ddx (cos x)
cos2 x
=
sin x
cos2 x
=
sin x
cos x
1
cos x
= tan x sec x
Jairo Menezes e Souza Derivada De Func¸o˜es Trigonome´tricas
Derivada De Func¸o˜es Trigonome´tricas
Derivada Do Seno
Derivada Do Cosseno
Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
d
dx
(sec x) =
d
dx
(
1
cos x
)
=
d
dx (1) cos x − 1 ddx (cos x)
cos2 x
=
sin x
cos2 x
=
sin x
cos x
1
cos x
= tan x sec x
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Derivada Do Seno
Derivada Do Cosseno
Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
d
dx
(sec x) =
d
dx
(
1
cos x
)
=
d
dx (1) cos x − 1 ddx (cos x)
cos2 x
=
sin x
cos2 x
=
sin x
cos x
1
cos x
= tan x sec x
Jairo Menezes e Souza Derivada De Func¸o˜es Trigonome´tricas
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Derivada Do Seno
Derivada Do Cosseno
Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
d
dx
(sec x) =
d
dx
(
1
cos x
)
=
d
dx (1) cos x − 1 ddx (cos x)
cos2 x
=
sin x
cos2 x
=
sin x
cos x
1
cos x
= tan x sec x
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Derivada Do Seno
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Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Derivada Da Cossecante
d
dx
(csc x) = − csc x cot x
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Derivada Do Seno
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Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
d
dx
(csc x) =
d
dx
(
1
sin x
)
=
d
dx (1) sin x − 1 ddx (sin x)
sin2 x
=
− cos x
sin2 x
= −cos x
sin x
1
sin x
= − cot x csc x
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Derivada Do Seno
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Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
d
dx
(csc x) =
d
dx
(
1
sin x
)
=
d
dx (1) sin x − 1 ddx (sin x)
sin2 x
=
− cos x
sin2 x
= −cos x
sin x
1
sin x
= − cot x csc x
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Derivada Do Seno
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Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
d
dx
(csc x) =
d
dx
(
1
sin x
)
=
d
dx (1) sin x − 1 ddx (sin x)
sin2 x
=
− cos x
sin2 x
= −cos x
sin x
1
sin x
= − cot x csc x
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Derivada Do Seno
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Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
d
dx
(csc x) =
d
dx
(
1
sin x
)
=
d
dx (1) sin x − 1 ddx (sin x)
sin2 x
=
− cos x
sin2 x
= −cos x
sin x
1
sin x
= − cot x csc x
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Derivada Do Seno
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Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
d
dx
(csc x) =
d
dx
(
1
sin x
)
=
d
dx (1) sin x − 1 ddx (sin x)
sin2 x
=
− cos x
sin2 x
= −cos x
sin x
1
sin x
= − cot x csc x
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Derivada Do Seno
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Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Derivada da cotangente
d
dx
(cot x) = − csc2 x
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Derivada Do Seno
Derivada Do Cosseno
Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Derivada da cotangente
d
dx
(cot x) = − csc2 x
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Derivada Do Seno
Derivada Do Cosseno
Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
d
dx
(cot x) =
d
dx
(cos x
sin x
)
=
d
dx (cos x) sin x − cos x ddx (sin x)
sin2 x
=
− sin2 x − cos2 x
sin2 x
= − 1
sin2 x
= − csc2 x
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Derivada Do Seno
Derivada Do Cosseno
Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
d
dx
(cot x) =
d
dx
(cos x
sin x)
=
d
dx (cos x) sin x − cos x ddx (sin x)
sin2 x
=
− sin2 x − cos2 x
sin2 x
= − 1
sin2 x
= − csc2 x
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Derivada Do Seno
Derivada Do Cosseno
Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
d
dx
(cot x) =
d
dx
(cos x
sin x
)
=
d
dx (cos x) sin x − cos x ddx (sin x)
sin2 x
=
− sin2 x − cos2 x
sin2 x
= − 1
sin2 x
= − csc2 x
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Derivada Do Seno
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Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Demonstrac¸a˜o.
d
dx
(cot x) =
d
dx
(cos x
sin x
)
=
d
dx (cos x) sin x − cos x ddx (sin x)
sin2 x
=
− sin2 x − cos2 x
sin2 x
= − 1
sin2 x
= − csc2 x
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Derivada Do Seno
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Derivada Da Cotangente
Exemplo
Derive f (x) = sec x1+tan x . Ache os pontos do gra´fico que tem
tangente horizontal.
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Derivada Da Secante
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Resoluc¸a˜o
f ′(x) =
d
dx (sec x)(1 + tan x)− sec x ddx (1 + tan x)
[1 + tan x ]2
=
sec x tan x(1 + tan x)− sec x sec2 x
[1 + tan x ]2
=
sec x tan x + sec x tan2 x − sec3 x
[1 + tan x ]2
=
sec x tan x + sec x(tan2 x − sec2 x)
[1 + tan x ]2
=
sec x(tan x − 1)
[1 + tan x ]2
Usamos a identidade tan2 x + 1 = sec2 x para a
simplificac¸a˜o.Temos que a derivada se anula quando
sin x − cos x = 0⇒ x = pi4 , 5pi4 .
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Resoluc¸a˜o
f ′(x) =
d
dx (sec x)(1 + tan x)− sec x ddx (1 + tan x)
[1 + tan x ]2
=
sec x tan x(1 + tan x)− sec x sec2 x
[1 + tan x ]2
=
sec x tan x + sec x tan2 x − sec3 x
[1 + tan x ]2
=
sec x tan x + sec x(tan2 x − sec2 x)
[1 + tan x ]2
=
sec x(tan x − 1)
[1 + tan x ]2
Usamos a identidade tan2 x + 1 = sec2 x para a
simplificac¸a˜o.Temos que a derivada se anula quando
sin x − cos x = 0⇒ x = pi4 , 5pi4 .
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Derivada Da Cotangente
Resoluc¸a˜o
f ′(x) =
d
dx (sec x)(1 + tan x)− sec x ddx (1 + tan x)
[1 + tan x ]2
=
sec x tan x(1 + tan x)− sec x sec2 x
[1 + tan x ]2
=
sec x tan x + sec x tan2 x − sec3 x
[1 + tan x ]2
=
sec x tan x + sec x(tan2 x − sec2 x)
[1 + tan x ]2
=
sec x(tan x − 1)
[1 + tan x ]2
Usamos a identidade tan2 x + 1 = sec2 x para a
simplificac¸a˜o.Temos que a derivada se anula quando
sin x − cos x = 0⇒ x = pi4 , 5pi4 .
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Derivada Do Seno
Derivada Do Cosseno
Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Resoluc¸a˜o
f ′(x) =
d
dx (sec x)(1 + tan x)− sec x ddx (1 + tan x)
[1 + tan x ]2
=
sec x tan x(1 + tan x)− sec x sec2 x
[1 + tan x ]2
=
sec x tan x + sec x tan2 x − sec3 x
[1 + tan x ]2
=
sec x tan x + sec x(tan2 x − sec2 x)
[1 + tan x ]2
=
sec x(tan x − 1)
[1 + tan x ]2
Usamos a identidade tan2 x + 1 = sec2 x para a
simplificac¸a˜o.Temos que a derivada se anula quando
sin x − cos x = 0⇒ x = pi4 , 5pi4 .
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Derivada Do Seno
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Derivada Da Cotangente
Resoluc¸a˜o
f ′(x) =
d
dx (sec x)(1 + tan x)− sec x ddx (1 + tan x)
[1 + tan x ]2
=
sec x tan x(1 + tan x)− sec x sec2 x
[1 + tan x ]2
=
sec x tan x + sec x tan2 x − sec3 x
[1 + tan x ]2
=
sec x tan x + sec x(tan2 x − sec2 x)
[1 + tan x ]2
=
sec x(tan x − 1)
[1 + tan x ]2
Usamos a identidade tan2 x + 1 = sec2 x para a
simplificac¸a˜o.Temos que a derivada se anula quando
sin x − cos x = 0⇒ x = pi4 , 5pi4 .
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Derivada Do Seno
Derivada Do Cosseno
Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Resoluc¸a˜o
f ′(x) =
d
dx (sec x)(1 + tan x)− sec x ddx (1 + tan x)
[1 + tan x ]2
=
sec x tan x(1 + tan x)− sec x sec2 x
[1 + tan x ]2
=
sec x tan x + sec x tan2 x − sec3 x
[1 + tan x ]2
=
sec x tan x + sec x(tan2 x − sec2 x)
[1 + tan x ]2
=
sec x(tan x − 1)
[1 + tan x ]2
Usamos a identidade tan2 x + 1 = sec2 x para a
simplificac¸a˜o.
Temos que a derivada se anula quando
sin x − cos x = 0⇒ x = pi4 , 5pi4 .
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Derivada Do Seno
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Derivada Da Tangente
Derivada Da Secante
Derivada Da Cossecante
Derivada Da Cotangente
Resoluc¸a˜o
f ′(x) =
d
dx (sec x)(1 + tan x)− sec x ddx (1 + tan x)
[1 + tan x ]2
=
sec x tan x(1 + tan x)− sec x sec2 x
[1 + tan x ]2
=
sec x tan x + sec x tan2 x − sec3 x
[1 + tan x ]2
=
sec x tan x + sec x(tan2 x − sec2 x)
[1 + tan x ]2
=
sec x(tan x − 1)
[1 + tan x ]2
Usamos a identidade tan2 x + 1 = sec2 x para a
simplificac¸a˜o.Temos que a derivada se anula quando
sin x − cos x = 0⇒ x = pi4 , 5pi4 .
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Figura : f (x) = sec x1+tan x ,f
′(x) = sec x(tan x−1)(1+tan x)2
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	Derivada De Funções Trigonométricas
	Derivada Do Seno
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	Derivada Da Secante
	Derivada Da Cossecante
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