aula_03

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Infereˆncias sobre o vetor de Me´dia
(Johnson & Wichern, Cap. 5)
Considere o problema univariado no qual tem-
se uma amostra aleato´ria de tamanho n da
distribuic¸a˜o N(µ, σ2), em que ambos os paraˆ-
metros de me´dia e variaˆncia sa˜o desconheci-
dos.
A estat´ıstica dada por
t =
X¯ − µ√
s2/n
tem distribuic¸a˜o t-de-Student com n− 1 graus
de liberdade.
X¯ = 1n
∑n
i=1Xi, s
2 = 1n−1
∑n
i=1(Xi − X¯)2 e
X1, X2, ..., Xn compo˜em a amostra aleato´ria da
N(µ, σ2).
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Tomando o quadrado da estat´ıstica t, observe
que ela pode ser escrita na forma
t2 =
√
n(X¯ − µ)T
(
s2
)−1√
n(X¯ − µ).
Esta u´ltima expressa˜o nos sugere uma versa˜o
multivariada desta estat´ıstica, a saber,
T2 = n(X¯ − µ)TS−1(X¯ − µ),
X¯ = 1n
∑n
i=1Xi,
S = 1n−1
∑n
i=1(Xi−X¯)(Xi−X¯)T e X1, X2, ..., Xn
compo˜em uma amostra aleato´ria da Np(µ,Σ).
A estat´ıstica T2 e´ chamada estat´ıstica T2 de
Hotelling em homenagem a Harold Hotelling,
pioneiro na Ana´lise Multivariada e o primeiro a
obter a sua distribuic¸a˜o amostral.
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Proposic¸a˜o 1: Sejam X1, X2, ..., Xn uma amostra
aleato´ria da distribuic¸a˜o Np(µ,Σ) e
T2 = n(X¯ − µ)TS−1(X¯ − µ).
Enta˜o
n− p
(n− 1)pT
2 ∼ Fp,n−p.
Natureza da estat´ıstica T2:
√
n(X¯ − µ)T︸ ︷︷ ︸
Np(0,Σ)
(Wp(n−1,Σ)n−1 )
−1︷ ︸︸ ︷{
1
n− 1
n∑
i=1
(Xi − X¯)(Xi − X¯)T
}
√
n(X¯ − µ)︸ ︷︷ ︸
Np(0,Σ)
√
n(X¯ − µ) e ∑ni=1(Xi − X¯)(Xi − X¯)T
independentes.
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Considere o problema de testar as hipo´teses
H0 : µ = µ0 versus H1 : µ 6= µ0 quando se tem
uma amostra aleato´ria da distribuic¸a˜o normal
multivariada.
A estat´ıstica de teste neste caso sera´ dada por
T2 = n(X¯ − µ0)TS−1(X¯ − µ0).
Sob H0, a estat´ıstica T
2 tem distribuic¸a˜o
(n−1)p
n−p Fp,n−p de acordo com a proposic¸a˜o 1.
Assim, ao n´ıvel de significaˆncia α, rejeitamos
H0 se
T2 ≥ (n−1)pn−p Fp,n−p(1−α)
com Fp,n−p(1−α) representando o quantil de
100(1− α)% da distribuic¸a˜o Fp,n−p.
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Exemplo: A transpirac¸a˜o de 20 mulheres sau-
da´veis foi analisada. As observac¸o˜es aqui sa˜o
tri-variadas, a saber, X1 - taxa de suor, X2 -
conteu´do de so´dio e X3 - conteu´do de pota´ssio.
Os dados esta˜o dispon´ıveis no arquivo t5-1.dat
dos autores. Deseja-se testar, ao n´ıvel de sig-
nificaˆncia de 10%, as hipo´teses
H0 : µ
T = (4,50,10) versus H1 : µ
T 6= (4,50,10).
Os dados foram salvos no arquivo suor.txt com
primeira linha informando os nomes das varia´-
veis, a saber, suor, sodio e potassio, no di-
reto´rio www.im.ufrj.br/flavia/mad484.
Lembrem-se antes de verificar a normalidade
dos dados!
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dados=read.table(”http://www.im.ufrj.br/flavia/mad484/
suor.txt”,header=T)
A normalidade univariada e´ simples e ra´pida de
ser verificada e a distribuic¸a˜o normal univariada
e´ aceita´vel para as treˆs medidas isoladamente.
Fac¸a
xbarra=mean(dados), S=cov(dados),
IS=solve(S), m0=c(4,50,10),
n=20, p=3, a=0.1,
T2=n*(xbarra-m0)% *%IS% *%(xbarra-m0)
RC=(n-1)*p*qf(1-a,p,n-p)/(n-p)
Compare T2 com RC.
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Obteve-se
T2 ' 9.738773 ' 9.74 e
RC ' 8.172573 ' 8.17.
Logo, ao n´ıvel de significaˆncia de 10%, rejeita-
mos a hipo´tese nula.
Qual e´ o p-valor deste teste?
Calcule T2*(n-p)/[p*(n-1)] e obtenha a cauda
superior da distribuic¸a˜o Fp,n−p associada a este
valor.
qpv=T2*(n-p)/((n-1)*p)' 2.904546
p-valor=1 − pf(qpv, p, n − p) ' 0.06492834 '
6.5%.
Portanto, para qualquer n´ıvel de significaˆncia
menor que 6,5%, H0 na˜o seria rejeitada.
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A estat´ıstica T2 e´ invariante sob transformac¸o˜es
de escala e posic¸a˜o.
Defina Y = CX+d, com X p×1, Y p×1 vetores
aleato´rios, d vetor de constantes fixadas p× 1
e C matriz p × p na˜o-singular de constantes
fixadas.
Enta˜o,
Y¯ = CX¯ + d e SY = CSXC
T .
Ale´m disso,
µY = CµX + d.
Assim,
T 2Y = n(Y¯ − µY )T
(
S−1Y
)
(Y¯ − µY ) =
= n(CX¯ − CµX)T(CSXCT)−1(CX¯ − CµX) =
= n(X¯ − µX)T CT(CT)−1︸ ︷︷ ︸
Ip
S−1X C
−1C︸ ︷︷ ︸
Ip
(X¯ − µX) =
= n(X¯ − µX)TS−1X (X¯ − µX) = T 2X
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A Estat´ıstica T2 e os Testes de Raza˜o de Veros-
similhanc¸a.
Uma metodologia muito usada na construc¸a˜o
de testes de hipo´teses e´ conhecida como teste
da raza˜o de verossimilhanc¸as (teste RV).
Em linhas gerais se temos uma amostra aleato´-
ria de uma distribuic¸a˜o que depende de um
paraˆmetro θ, que pode ser um escalar ou um
vetor, cuja densidade e´ fn(x|θ) e desejamos
testar
H0 : θ ∈ Θ0 versus H1 : θ 6∈ Θ0, a estat´ıstica
do teste RV e´ dada por
Λ(x) =
maxθ∈Θ0 L(θ|x)
maxθ L(θ|x)
com L(θ|x) a func¸a˜o de verossimilhanc¸a.
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Observe que a estat´ıstica Λ(x) e´ um nu´mero
entre 0 e 1.
Se o ma´ximo sob H0 for o ma´ximo global, te-
remos Λ(x) = 1.
Caso contra´rio, Λ(x) < 1 e como Λ(x) repre-
senta uma raza˜o entre quantidades positivas,
segue que 0 < Λ(x) ≤ 1.
Assim, e´ razoa´vel dizer que a hipo´tese nula sera´
rejeitada para valores pequenos de Λ(x) tal que
as regio˜es cr´ıticas nos testes RV sa˜o da forma
Λ(x) ≤ c.
Para obter o valor de c e´ necessa´rio conhecer a
distribuic¸a˜o amostral de Λ(x). Esta distribuic¸a˜o
nem sempre e´ fa´cil de ser obtida e muitas vezes
sa˜o necessa´rios me´todos aproximados para ava-
liar o valor de c para um dado n´ıvel de sig-
nificaˆncia.
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Distribuic¸a˜o Assinto´tica da estat´ıstica Λ
−2lnΛ a∼ χ2ν−ν0
em que ν e´ a dimensa˜o do espac¸o de paraˆmetros
e ν0 e´ a dimensa˜o do sub-espac¸o correspon-
dente a` hipo´tese nula.
Vamos calcular a estat´ıstica Λ(x) no contexto
do teste das hipo´teses
H0 : µ = µ0 versus H1 : µ 6= µ0, quando se tem
uma amostra aleato´ria da distribuic¸a˜o normal
multivariada.
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Ja´ vimos que o ma´ximo global da func¸a˜o de
verossimilhanc¸a e´ obtido quando µˆ = X¯ e
Σˆ = n−1n S e e´ dado por
L(µˆ, Σˆ) = (2pi)−np/2|Σˆ|−n/2e−np/2.
Portanto, ja´ temos o denominador da estat´ıstica
Λ(x), neste caso.
Para obter o numerador, observe que sob H0
ha´ apenas um valor poss´ıvel para µ dado por
µ0. Neste caso, usando os resultados apre-
sentados na sec¸a˜o de estimac¸a˜o de maxima-
verossimilhanc¸a, e´ fa´cil ver que a matriz que
maximiza a verossimilhanc¸a sob H0 e´ dada por
Σˆ0 =
1
n
∑n
i=1(Xi − µ0)(Xi − µ0)T .
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Assim, o numerador de Λ(x) e´
L(µ0, Σˆ0) = (2pi)
−np/2|Σˆ0|−n/2e−np/2
Logo,
Λ =
( |Σˆ|
|Σˆ0|
)n/2
=
( |∑ni=1(Xi − X¯)(Xi − X¯)T |
|∑ni=1(Xi − µ0)(Xi − µ0)T |
)n/2
A estat´ıstica equivalente Λ2/n = |Σˆ|/|Σˆ0| e´
chamada lambda de Wilks.
E´ fa´cil, por meio de artif´ıcios alge´bricos, mostrar
que as estat´ısticas T2 e Λ para o teste aqui
considerado satisfazem a relac¸a˜o
Λ2/n =
(
1 +
T2
n− 1
)−1
e, usando esta relac¸a˜o, chegamos a uma outra
e´xpressa˜o para o ca´lculo da estat´ıstica T2:
T2 = (n−1)|Σˆ0||Σˆ| − (n− 1).
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Calcule a estat´ıstica do teste RV para os dados
da base suor.txt. Verifique a relac¸a˜o entre as
estat´ısticas T2 e Λ.
Aqui sera´ necessa´rio corrigir os dados pela me´dia
µ0 dada por (4,50,10).
dados.m0=matrix(0,20,3)
m0=matrix(0,1,3)
m0[1,1]=4, m0[1,2]=50, m0[1,3]=10
for (i in 1:n) for (j in 1:p) dados.m0[i,j]=dados[i,j]-m0[1,j]
S0=matrix(0,3,3)
for (i in 1:n) S0=S0+dados.m0[i,]%*%t(dados.m0[i,])
S0=S0/n, Shat=(n-1)*S/n
T2.b=(n-1)*(det(S0)/det(Shat)-1)
T2.b' 9.738773 que e´ exatamente o mesmo valor, como
esperado, obtido anteriormente.
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Conteu´do do cap´ıtulo 5 a ser cobrado na P1:
Sec¸o˜es 5.1 a 5.3.
Exerc´ıcios sugeridos: 5.1 a 5.4.
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