P2 (2011.2)

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matema´tica
Departamento de Me´todos Matema´ticos
2a Prova de Ca´lculo III
1a Questa˜o: (3,0 pontos)
(a) Seja D regia˜o do plano xy, limitada pelas retas x = −1, x = 1, y = x + 2 e pela para´bola
y = x2 − 1. Esboce D e descreva algebricamente (como um conjunto de inequac¸o˜es) na
forma de regia˜o tipo I.
(b) Seja ~F (x, y) =
(
(x2 + 1)100 + ex
2 − y210 , 45xy
)
. Determine o trabalho realizado por ~F para
mover um objeto do ponto A(1, 3) ate´ o ponto B(1, 0), ao longo da curva aberta C, que e´
a parte mais longa da fronteira de D que liga estes dois pontos.
(c) Justifique de duas maneiras distintas porque ~F (do item (b))na˜o e´ conservativo em IR2.
2a Questa˜o: (2,0 pontos) Seja S a parte do parabolo´ide z = 16− x2 − y2 situada acima do plano
z + 4y = 16. Esboce S e esboce a regia˜o D obtida projetando-se S no plano xy. Determine a
massa de S, se a densidade em cada ponto for f(x, y, z) = 4√
1+4(16−z) .
3a Questa˜o: (2,5 pontos) Seja ~F (x, y, z) = (2z−16, z+4y, y+kx−2) e C a curva fechada obtida
pela intersec¸a˜o do parabolo´ide z = 16− x2 − y2 com o plano z + 4y = 16.
(a) Suponha que k = 0. Esboce e parametrize a curva fechada C. Calcule
∮
C
~F .~dl.
(b) Suponha que k = 2. Mostre que ~F e´ conservativo em IR3, obtendo uma candidata a func¸a˜o
potencial (pelo me´todo de resoluc¸a˜o de sistemas visto em sala) e depois comprovando que
a candidata e´ realmente a func¸a˜o potencial solicitada. Calcule
∮
C
~F .~dl.
4a Questa˜o: (2,5 pontos) Considere o so´lido Ω, que e´ a regia˜o externa ao cilindro circular, situada
abaixo da superf´ıcie do cone e interna a` esfera, isto e´,
Ω = {(x, y, z) ∈ IR3 , x2 + y2 ≥ 1 , z ≤
√
x2 + y2 , x2 + y2 + z2 ≤ 8 }.
Esboce Ω e esboce a projec¸a˜o de Ω no plano xy. Utilizando somente integral tripla emudanc¸a
cil´ındrica, determine o volume de Ω.
LEMBRETES:
sen 2α = 1−cos (2α)2 cos
2 α = 1+cos (2α)2
sen (pi6 ) = cos (
pi
3 ) =
1
2 sen (
pi
4 ) = cos (
pi
4 ) =
√
2
2 sen (
pi
3 ) = cos (
pi
6 ) =
√
3
2
sen (pi2 ) = 1 cos (
pi
2 ) = 0
mudanc¸a polar mudanc¸a cil´ındrica mudanc¸a esfe´rica
x = r cos θ, |J | = r x = r cos θ, |J | = r x = ρ senϕ cos θ, |J | = ρ2 senϕ
x = r sen θ x = r sen θ, z = z y = ρ senϕ sen θ, z = ρ cosϕ