final08 324

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Universidade de Sa˜o Paulo - Departamento de Economia
EAE 0324 - Econometria I
Prof. Dr. Ricardo Avelino
1o Semestre de 2008
2a prova
Esse e´ um exame sem consulta.
Voceˆ tem 1h50 para completa´-lo.
O uso de calculadora na˜o e´ permitido.
Ha´ 4 questo˜es. Voceˆ deve resolver todas.
Voceˆ deve sempre explicar todas as suas respostas,
a menos que seja dito para responder uma questa˜o sem provar.
Cre´dito parcial sera´ conferido.
Voceˆ DEVE manter a prova grampeada.
BOA SORTE!
Nome ....................................................
1
1. (24 pontos) Suponha que a relac¸a˜o entre as varia´veis yi e xi possa ser
expressa pela seguinte equac¸a˜o:
yNa˜o padra˜oi = α˜+ β˜xi + γ
2x2i + θi modelo na˜o padra˜o
Ale´m disso, assuma em todos os itens que xi e´ na˜o estoca´stico.
Suponha que θi ∼ N(0, σ2).
Entretanto, um econometrista descuidado roda a regressa˜o de yi em xi
com um intercepto. Ele acredita que o modelo verdadeiro e´ o modelo
linear cla´ssico, isto e´, que
yi = yPadra˜oi = α+ βxi + εi, com E[εi] = 0
Ele computa os estimadores de MQO αˆ e βˆ.
(a) (4 pontos) Deˆ as fo´rmulas para αˆ e βˆ, os estimadores de MQO de
α e β do modelo linear cla´ssico. Se o modelo linear cla´ssico fosse o
verdadeiro, os estimadores de MQO αˆ e βˆ seriam estimadores na˜o
viesados de α e β, respectivamente? Na˜o e´ necessa´rio provar, apenas
responda sim ou na˜o e diga o que ser na˜o viesado significa para αˆ e
βˆ.
(b) (4 pontos) Qual e´ o valor estimado (previsto) yˆhi que esse
econometrista forneceria utilizando seus estimadores de MQO se fosse
dado apenas xi para um indiv´ıduo i. Use somente αˆ e βˆ. Voceˆ na˜o
precisa substituir pelas fo´rmulas achadas na parte a).
(c) (4 pontos) Se o modelo do econometrista (o modelo linear cla´ssico)
fosse verdadeiro (yi = yPadra˜oi ), qual seria o erro yi − yˆhi em termos
de xi, α, β, εi, αˆ e βˆ ? Qual seria a esperanc¸a do erro?
(d) (4 pontos) Ache o erro sistema´tico verdadeiro yi − yˆhi , que e´ a
diferenc¸a entre o valor de yi no modelo verdadeiro (utilizando o
modelo na˜o padra˜o yi = y
Na˜o padra˜o
i ) e o valor que o econometrista
forneceria dado xi (seu resultado na questa˜o b), yˆhi , em termos de xi,
α˜, β˜, γ, εi, αˆ e βˆ.
(e) (4 pontos) Qual e´ a esperanc¸a desse erro em termos de xi, α˜, β˜, γ,
εi, E[αˆ] e E[βˆ]? (Voceˆ na˜o precisa computar E[αˆ] e E[βˆ]).
(f) (4 pontos) Suponha que α˜ = E[αˆ], β˜ = E[βˆ], 0 < γ e 0 < xi. Qual
e´ o sinal de E[yi− yˆhi ]? Compare o resultado com a resposta do item
c).
2
(Questa˜o 1)
3
(Questa˜o 1)
4
2. (24 pontos) Considere o modelo de regressa˜o
yt = xtβ + εt
no qual yt e xt sa˜o escalares, t = 1, ..., T , xt > 0 para todo t, E(εt|xt) = 0
e V ar(εt|xt) = '2λ (xt) , com λ (xt) > 0, λ (1) = 1 e E(εiεj |x) = 0 para
todo i 6= j. Por exemplo, no´s podemos ter λ (xt) = √xt.
(a) (4 pontos)Mostre que o estimador de mı´nimos quadrados ordina´rios
(MQO) de β e´ dado por
βˆOLS =
TP
t=1
xtyt
TP
t=1
x2t
(b) (5 pontos) Derive uma expressa˜o para a variaˆncia do estimador de
MQO de β, condicional em x = [x1, ..., xT ]
0 .
(c) (5 pontos) Mostre que o estimador de mı´nimos quadrados
generalizados e´ igual a
βˆGLS =
TP
t=1
(xtyt/λ (xt))
TP
t=1
(x2t/λ (xt))
(d) (5 pontos) Mostre que a variaˆncia do estimador de mı´nimos quadra-
dos generalizados, condicional em x = [x1, ..., xT ]
0 , pode ser expressa
como
V ar
³
βˆGLS |x
´
=
'2
TP
t=1
(x2t/λ (xt))
(e) (5 pontos) Considere o seguinte estimador de β :
βˆA =
1
T
TP
t=1
yt
1
T
TP
t=1
xt
βˆA e´ a raza˜o entre as me´dias aritme´ticas dos valores de y e de x. βˆA
e´ o melhor estimador linear na˜o viesado de β para qual especificac¸a˜o
de λ (xt)?
5
(Questa˜o 2)
6
(Questa˜o 2)
7
3. (28 pontos) Considere o seguinte modelo de regressa˜o:
y = Xβ + ε
no qual y e ε sa˜o vetores n× 1, X e´ uma matriz n× k e β e´ um vetor de
paraˆmetros k × 1. Adicionalmente, E (ε|X) = 0 e E (εε0|X) = Ω, sendo
que Ω denota uma matriz gene´rica sime´trica positiva definida n× n, na˜o
necessariamente diagonal. Todas as outras suposic¸o˜es do modelo cla´ssico
sa˜o satisfeitas.
(a) (5 pontos) Derive o estimador eficiente de β.
(b) (5 pontos) Derive a variaˆncia do estimador da parte (a).
(c) (5 pontos) Agora suponha que n = 5 e k = 1.
Ω =


1 0 0 0 0
0 3 0 0 0
0 0 6 0 0
0 0 0 9 0
0 0 0 0 12


Voceˆ tem acesso apenas a dados agrupados. Especificamente, voceˆ
tem observac¸o˜es para dois grupos. O primeiro grupo consiste das
duas primeiras observac¸o˜es e o segundo grupo consiste das treˆs u´ltimas
observac¸o˜es. Tudo que voceˆ tem a sua disposic¸a˜o sa˜o as me´dias dos
grupos, y¯j e X¯j para j = 1, 2.
Ache o estimador de mı´nimos quadrados generalizados e determine
os pesos para implementar mı´nimos quadrados ponderados.
(d) (5 pontos) Especialize o modelo da parte (a) para o caso k = 3, isto
e´,
y = β0 + β1X1 + β2X2 + ε
Descreva os passos para testar a hipo´tese nula de que β1+(β2)
2 = 0.
(e) (5 pontos) Agora suponha que n = 4, k = 1,
Ω = σ2


2 1 0 0
1 6 0 0
0 0 3 1
0 0 1 4

 ,X =


1
1
1
1

 e y =


0
3
2
0

 .
Qual e´ a estimativa eficiente de β nesse caso? Sua resposta deve ser
um valor nume´rico.
(f) (3 pontos) Suponha que o modelo da parte (e) seja verdadeiro. En-
tretanto, um econometrista acha que todas as hipo´teses do
modelo linear cla´ssico sa˜o satisfeitas. Em particular, ele acredita que
E (εε0|X) = σ2I. Ele conduz infereˆncia baseado nessas suposic¸o˜es e
acha uma matriz de variaˆncia estimada para β que e´ inferior a` matriz
de variaˆncia para β que algue´m acharia utilizando a fo´rmula para a
variaˆncia do estimador de mı´nimos quadrados generalizados da parte
(e). Como isso e´ poss´ıvel?
8
(Questa˜o 3)
9
(Questa˜o 3)
10
4. (24 pontos) Considere um mercado em que q e´ a quantidade de Q, p o
seu prec¸o, e z e´ o prec¸o de Z, um bem relacionado. No´s assumimos que z
entra somente na equac¸a˜o de demanda. Especificamente,
qd = α0 + α1p+ α2z + �1 (demanda)
qs = β0 + β1p+ �2 (oferta)
qd = qs = q (equilı´brio)
com
E [�1] = E [�2] = 0
E
£
�21
¤
= σ21, E
£
�22
¤
= σ22, E [�1�2] = σ12
E [�1z] = E [�2z] = 0
(a) (6 pontos) Resolva para p e q em termos de z, �1, �2, α0, α1, α2, β0
e β1.
(b) (6 pontos) Suponha que voceˆ rode regresso˜es de MQO nas equac¸o˜es
de demanda e oferta. Voceˆ obte´m estimativas consistentes dos
paraˆmetros? Explique.
(c) (6 pontos) Discuta a identificac¸a˜o do sistema.
(d) (6 pontos) Como sua resposta para a parte (c) mudaria se z entrasse
tanto na equac¸a˜o de demanda quanto na equac¸a˜o de oferta? Em
outras palavras, suponha que o modelo verdadeiro seja
qd = α0 + α1p+ α2z + �1 (demanda)
qs = β0 + β1p+ β2z + �2 (oferta)
qd = qs = q (equilı´brio)
11
(Questa˜o 4)
12
(Questa˜o 4)
13