01-Teoria dos Conjuntos

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Teoria dos Conjuntos
GST0019 - Matemática para Negócios
Prof. Antonio Sérgio
Definição
• Conjunto:representa uma coleção de objetos, 
geralmente representado por letras maiúsculas;
– Ex:A={1,2,3} “está entre chaves”
• Elemento:qualquer um dos componentes de um 
conjunto, geralmente representado por letras 
minúsculas.
– Ex:1,2,3 “não tem chaves”
Exemplos
Represente:
1)Conjunto das vogais
2)Conjunto dos algarismos romanos
3)Conjunto dos números ímpares positivos
4)Conjunto dos planetas do sistema solar
5)Conjunto dos números prímos positivos
6)Conjunto dos naipes das cartas de um baralho
7)Conjunto dos nomes dos meses de 31 dias
Exemplos - Resolução
1) a,e, i, o, u
2) I, V, X, L, C, D, M
3) 1,3,5,7,9,11,...
4) Mercúrio, Venus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, 
Urano, Netuno, Plutão,..
5) 2,3,5,7,11,13,...
6) Paus, ouro, copas, espada
7) Janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, 
dezembro
Pertinência
• Pertence ou não pertence(∈ou∉)
– É usado entre elemento e conjunto.
• Está contido (⊂ ou ⊄)
– É usado entre subconjunto e conjunto.
• Contém (⊃)
– É usado entre conjunto e subconjunto.
Igualdade
• Dois conjuntos são iguais quando possuem os 
mesmos elementos.
• Ex: {1, 2} = {1, 1, 1, 2, 2, 2}
OBS:
• A quantidade de vezes que os elementos dos 
conjuntos aparecem não importa.
Conjunto Vazio, Unitário e Universo
• Conjunto vazio ( { } ou Ø )
– É o conjunto que não possui elementos.
• Conjunto Unitário ( {a} )
– É conjunto formado por um elemento.
• Conjunto Universo ( U )
– É conjunto formado por todos os elementos de um 
problema.
Subconjuntos
• Dizemos que um conjunto A é subconjunto de outro 
conjunto B quando todos os elementos de A também 
pertencem a B:
– A = { 1,2,3 } e B = { 1,2,3,4,5,6 } 
– Nesse caso A é subconjunto de B (A⊂B).
• O conjunto B é subconjunto de si mesmo, pois todo 
conjunto é subconjunto de si mesmo.
OBS: O conjunto vazio, { } ou Ø, é um subconjunto de 
todos os conjuntos.
Conjunto das Partes
• Dado A, def: conjunto das partes de A → P(A)
– o conjunto que contém todos os subconjuntos de A 
(incluindo o conjunto vazio e o próprio conjunto A). 
• Se A = { 1, 2, 3 }, então: 
• P(A) = { , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }.
OBS: Se o conjunto A tem n elementos, o conjunto 
P(A) terá 2n elementos. 
P(A) = 2n
Complementar de um conjunto
• Complementar de A, em relação ao universo 
U, é o conjunto que contém todos os 
elementos presentes no universo e que não 
pertençam a A (contanto que um deles seja 
subconjunto do outro).
– Complementar de B em relação a A.
• Dados U={1, 2, 3,4} e A = {1, 2} :
B
AC
}4,3{=AUC
Operações com Conjuntos
União ou Reunião
• Dados dois conjuntos quaisquer A e B, chama-se 
união ou reunião de A e B o conjunto formado pelos 
elementos que pertencem a pelo menos um desses 
conjuntos (podendo, evidentemente, pertencer aos 
dois), isto é, o conjunto formado pelos elementos 
que pertencem a A ou a B. Em símbolos: 
AUB={x | x∈A ou x∈B}
A B
Operações com Conjuntos
União ou Reunião
• {1, 2} U {3, 4} = {1, 2, 3, 4}
• {a,b,c} U {d,e,f} = {a,b,c,d,e,f} 
• {2,5,9} U { } = {2,5,9}
• {1,2,3} U {3,4,5} = {1,2,3,4,5}
4
5
1 
3
2
Operações com Conjuntos
Intersecção
• Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos 
intersecção de A e de B (ou de A com B) a um novo 
conjunto, assim definido:
A∩B={x|x∈A e X∈B}
• {1,2} ∩ {3,4} = { } ou∅
• {a,b,c} ∩ {b,c,d} = {b,c}
A B
A
∩
B
Operações com Conjuntos
Diferença
• Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos a 
diferença entre A e B o conjunto dos elementos de A que 
não pertencem a B. 
A – B = {x|x∈A e x∉B}
• {a,b,c} – {a,c,d,e,f} = {b}
• {a,b} – {e,f,g,h,i} = {a,b}
• {a,b} – {a,b,c,d,e} = { } ou∅
A-B B
Número de elementos da União de 
conjuntos
• Sejam A e B dois conjuntos, tais que:
– número de elementos de A seja n(A) 
– número de elementos de B seja n(B) 
– número de elementos da interseção A∩B por n(A∩B)
– número de elementos da união A∪B por n(A∪B)
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) 
n(A) N(B)
n
(
A
∩
B
)
Exercícios
1. Se A∩B={6,8,10}; A={4,x,8,10} e B={2,x,y,10,12}. Então qual o 
valor de x.y?
2. O resumo do resultado de uma pesquisa de mercado:
a) Qual o número de pessoas pesquisadas?
3. Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2000 pessoas 
usam produtos A ou B. O produto B é usado por 800 pessoas 
e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. 
Quantas pessoas usam o produto A?
Bebidas A B Ambas Nenhuma
Consumidores 230 200 150 40
Exercícios
4. Numa pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais, foram 
consultadas 470 pessoas e o resultado foi o seguinte: 250 delas lêem o 
jornal A, 180 lêem o jornal B e 60 lêem os jornais A e B. Pergunta-se:
a) Quantas pessoas lêem apenas o jornal A?
b) Quantas pessoas lêem apenas o jornal B?
c) Quantas pessoas lêem jornais?
d) Quantas pessoas não lêem jornais
5. Uma cidade que tem 10.000 habitantes possui dois clubes de futebol: A e 
B. Numa pesquisa com todos os habitantes, constatou-se que 1200 não 
apreciam nenhum dos clubes, 1300 pessoas apreciam os dois clubes e 
4500 pessoas apreciam o clube A. Pergunta-se;
a) Quantas pessoas apreciam apenas o clube A?
b) Quantas pessoas apreciam apenas o clube B?
c) Quantas pessoas apreciam o clube B?